2024年山东省聊城市莘县中考二模数学试题

中小学教育资源及组卷应用平台 【备考2024】浙教版中考一模试题4 姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________ 、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 下列各数的相反数中，最大的是（ ） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 下列整数中，与最接近的整数是( )． A．3 B．4 C．5 D．6 下列哪个图形是正方体的展开图（ ） A． B．C．D． 如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF＝120°，DE与地面平行，∠ABD＝50°，则∠ACB＝（　　） A．70° B．65° C．60° D．50° 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A． B． C． D． 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若人坐一辆车，则两辆车是空的；若人坐一辆车，则人需要步行．问：人与车各多少？设有辆车，人数为，根据题意可列方程组为（ ） A． B． C． D． 已知x+=3，则下列三个等式：①x2+=7，②x﹣，③2x2﹣6x=﹣2中，正确的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（　　） A．43903.89（1+x）＝53109.85 B．43903.89（1+x）2＝53109.85 C．43903.89x2＝53109.85 D．43903.89（1+x2）＝53109.85 下列运算正确的是（　　） A．a3+a2＝a5 B．a6÷a3＝a2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．＝5 如图，在平面直角坐标系中，，，，，将四边形向左平移个单位后，点恰好和原点重合，则的值是（ ） A．11.4 B．11.6 C．12.4 D．12.6 、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E，若PE=3，则点P到AD的距离为 已知x＝5，则代数式﹣的值为 　 　． 一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据： 实验者 德·摩根 蒲丰 费勒 皮尔逊 罗曼诺夫斯基 掷币次数 6140 4040 10000 36000 80640 出现“正面朝上”的次数 3109 2048 4979 18031 39699 频率 0.506 0.507 0.498 0.501 0.492 请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为__________(精确到0.1)． 已知是方程3x+2y=10的一个解，则m的值是____________． 如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC的中点为O，分别以点A，C为圆心，以AO的长为半径画弧，分别与正方形的边相交．则图中的阴影部分的面积为__________．（结果保留） 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均落在格点上，点B在网格线上，且． （Ⅰ）线段的长等于___________； （Ⅱ）以为直径的半圆与边相交于点D，若分别为边上的动点，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）_______． 、解答题（本大题共8小题，共66分） （1）计算：+|﹣4|﹣（2003﹣π）0﹣2cos30°， （2）先化简，再求值：（a+2﹣）÷，其中a为满足0＜a＜4的整数． 6月26日是“国际禁毒日”某中学组织七、八年级全体学生开展了“禁毒知识”网上竞赛活动，为了解竞赛情况，从两个年级各抽取10名学生的成绩（满分为100分），收集数据为：七年级90，95，95，80，85，90，85，90，85，100；八年级：85，85，95，80，95，90，90，90，100，90； 整理数据： 分析数据： 根据以上信息回答下列问题： （1）请直接写出表格中的值 （2）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？说明理由； （3）该校七八年级共600人，本次竞赛成绩不低于90分的为“优秀”估计这两个年级共多少名学生达到“优秀”？ 5月18日，我市九年级学生安全有序开学复课．为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我市某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生．已知每盒口罩有100只，每盒水银体温计有10支，每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元．用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同． （1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？ （2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m盒（m为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m的代数式表示． （3）在民联药店累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买，共支付w元，求w关于m的函数关系式．若该校九年级有900名学生，需要购买口罩和水银体温计各多少盒？所需总费用为多少元？ 如图，一艘船由西向东航行，在A处测得北偏东60°方向上有一座灯塔C，再向东续航行60km到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的周围47km内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？ 如图，在中，AB>AD． （1）用尺规完成以下基本作图：在AB上截取AE，使得AE=AD；作∠BCD的平分线交AB于点F．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，连接DE交CF于点P，猜想△CDP按角分类的类型，并证明你的结论． 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上． （1）尺规作图：作∠BAC的平分线，与⊙O交于点D，连接OD，交BC于点E（不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑）， （2）探究OE与AC的位置及数量关系，并证明你的结论． 如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，点Q是x轴上方抛物线上一点，射线QM⊥x轴于点N，若QM＝BM，且tan∠MBN＝，请直接写出点Q的坐标． （3）如图2，点E是第一象限内一点，连接AE交y轴于点D，AE的延长线交抛物线于点P，点F在线段CD上，且CF＝OD，连接FA，FE，BE，BP，若S△AFE＝S△ABE，求△PAB的面积． 在四边形ABCD中，∠BAD的平分线AF交BC于F，延长AB到E使BE＝FC，G是AF的中点，GE交BC于O，连接GD． （1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，求证：①GE＝GD，②BO?GD＝GO?FC． （2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，（1）中的结论都成立．请给出结论②的证明． 答案解析 、选择题 【考点】相反数 【分析】根据相反数的概念先求得每个选项中对应的数据的相反数，然后再进行有理数的大小比较． 解：2的相反数是﹣2， 1的相反数是﹣1， ﹣1的相反数是1， ﹣2的相反数是2， ∵2＞1＞﹣1＞﹣2， 故选：D． 【点评】本题考查相反数的概念及有理数的大小比较，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数；两个负数比大小，绝对值大的反而小． 【考点】估算无理数的大小 【分析】由于，于是，10与9的距离小于16与10的距离，可得答案． 解：由于，于是，10与9的距离小于16与10的距离，可得答案． 解：∵， ∴， 10与9的距离小于16与10的距离， ∴与最接近的是3． 故选：A． 【点睛】本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题． 【考点】正方体的展开图 【分析】根据正方体展开图的11种特征，选项A．C、D不是正方体展开图；选项B是正方体展开图的“1-4-1”型． 解：根据正方体展开图的特征，选项A．C、D不是正方体展开图；选项B是正方体展开图． 故选B． 【点睛】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1-4-1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2-2-2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3-3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1-3-2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形． 【考点】平行线的性质，三角形的外角性质． 【分析】由平行线的性质可得∠D＝∠ABD＝50°，再利用三角形的外角性质可求得∠DCE的度数，结合对顶角相等即可求∠ACB的度数． 解：∵DE∥AB，∠ABD＝50°， ∴∠D＝∠ABD＝50°， ∵∠DEF＝120°，且∠DEF是△DCE的外角， ∴∠DCE＝∠DEF﹣∠D＝70°， ∴∠ACB＝∠DCE＝70°． 故选：A． 【点评】本题主要考查平行线的性质，三角形的外角性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用． 【考点】解一元一次不等式以，在数轴上表示不等式的解集 【分析】求出不等式的解集，再根据“大于向右，小于向左，不包括端点用空心，包括端点用实心”的原则将解集在数轴上表示出来． 解：解不等式， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 系数化为得：， 表示在数轴上如图： 故选：B． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组 【分析】设有辆车，人数为，根据“如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 解：设有辆车，人数为人，依题意得： ， 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【考点】完全平方公式；分式的混合运算． 【分析】将x+=3两边同时平方，然后通过恒等变形可对①作出判断，由x﹣=±可对②作出判断，方程2x2﹣6x=﹣2两边同时除以2x，然后再通过恒等变形可对③作出判断． 解：∵x+=3， ∴（x+）2=9，整理得：x2+=7，故①正确． x﹣=±=±，故②错误． 方程2x2﹣6x=﹣2两边同时除以2x得：x﹣3=﹣，整理得：x+=3，故③正确． 故选：C． 【点评】本题主要考查的是完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【分析】设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元，据此列方程． 解：设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x， 根据题意得，43903.89（1+x）2＝53109.85， 故选：B． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程． 【考点】完全平方公式，算术平方根，合并同类项，同底数幂的除法． 【分析】分别应用整式的加法法则，同底数幂相除，完全平方公式及二次根式的性质． 解：A：不是同类项不能合并，故A不符合题意， B：同底数幂相除，底数不变，指数相减，故B不符合题意， C：完全平方公式的结果是三项式，故C不符合题意， D：.＝5．故D符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了整式的基本运算，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【考点】相似三角形的判定与性质，图形的平移，矩形的判定与性质，勾股定理 【分析】由题意可得，的值就是线段的长度，过点作，过点作，根据勾股定理求得的长度，再根据三角形相似求得，矩形的性质得到，即可求解． 解：由题意可得，的值就是线段的长度， 过点作，过点作，如下图： ∵， ∴， 由勾股定理得 ∵ ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴，即 解得， ∵ ∴ ∴ ∴，即 解得 由题意可知四边形为矩形，∴ 故选A 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，图形的平移，矩形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 、填空题 【考点】角平分线的性质；菱形的性质 【分析】作PF⊥AD于D，由菱形的性质得AC平分∠BAD，由角平分线的性质得PF=PE即解：解：作PF⊥AD于D，如图，? ∵四边形ABCD为菱形，? ∴AC平分∠BAD， ∵PE⊥AB，PF⊥AD，? ∴PF=PE=3，? 即点P到AD的距离为3．? 故答E=3． 【点评】本题主要考查了菱形的对角线平分一组对角的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【考点】分式的化简求值． 【分析】根据分式的减法法则把原式化简，把x的值代入计算即可． 解：原式＝﹣ ＝ ＝ ＝， 当x＝5时，原式＝＝， 故答案为：． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的减法法则是解题的关键． 【考点】利用频率估计概率 【分析】由于表中硬币出现“正面朝上”的频率在0．5左右波动，则根据频率估计概率可得到硬币出现“正面朝上”的概率． 解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在0．5左右波动， 所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0．5． 故答案为0.5． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． 【考点】解一元一次方程,二元一次方程的解 【分析】把解代入方程,得6+2m=10，转化为关于m的一元一次方程，求解即可． 解：∵是方程的一个解， ∴6+2m=10， 解得m=2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了二元一次方程的解，一元一次方程的解法，灵活运用方程的解的定义，转化为一元一次方程求解是解题的关键． 【考点】扇形的面积计算，正方形的性质 【分析】根据图形可得，由正方形的性质可求得扇形的半径，利用扇形面积公式求出扇形的面积，即可求出阴影部分面积． 解：由图可知， ， ， ∵四边形ABCD是正方形，边长为2， ∴， ∵点O是AC的中点， ∴OA=， ∴, ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了求阴影部分面积，扇形面积公式，正方形的性质，解题的关键是观察图形得出． 【考点】勾股定理,作图—应用与设计作图,轴对称-最短路线问题 【分析】（1）将AC放在一个直角三角形，运用勾股定理求解； （2）取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点；连接，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接并延长，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求． 解：（Ⅰ）如图，在Rt△AEC中，CE=3,AE=2,则由勾股定理，得AC==； （Ⅱ）如图，取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点；连接，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接并延长，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求． 【点评】本题考查作图-应用与设计，勾股定理，轴对称-最短问题，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型． 、解答题 【考点】分式的化简求值，零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的运算． 【分析】（1）利用二次根式的性质，绝对值的意义，零指数幂的意义和特殊角的三角函数值化简运算即可， （2）利用分式的混合运算的法则化简后，将x＝1代入运算即可． 解：（1）原式＝2+4﹣1﹣2× ＝2+4﹣1﹣ ＝+3， （2）原式＝ ＝ ＝ ＝﹣2（a+3） ＝﹣2a﹣6． ∵a为满足0＜a＜4的整数， ∴a＝1，2，3， ∵a﹣2≠0，a﹣3≠0， ∴a＝1． 当a＝1时， 原式＝﹣2﹣6＝﹣8． 【点评】本题主要考查了实数的运算，用二次根式的性质，绝对值的意义，零指数幂的意义和特殊角的三角函数值，分式的化简求值，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键． 【考点】中位数，众数，方差，平均数，用样本估计总体 【分析】（1）通过八年级抽取人数10人，即可得到a，根据中位数、平均数、众数的定义得到b、c、d； （2）由于中位数和众数相同，通过分析平均数和方差即可得到答案； （3）根据抽取的人中，不低于90分的比例即可得到两个年级共多少名学生达到“优秀”． 解：（1）， 七年级成绩按从小到大顺序排列为80，85，85，85，90，90，90，95，95，100， ∴中位数， ， 八年级成绩90出现次数最多，因此众数， ∴； （2）七八年级成绩的众数和中位数相同，但是八年级的平均成绩比七年级的高，且从方差看，八年级的成绩更稳定，综上八年级成绩较好． （3）七年级抽取的10人中，不低于90分的有6人， 八年级抽取的10人中，不低于90分的有7人， （人） 所以两个年级共390名学生达到“优秀”． 【点评】本题考查了中位数、众数、方差、平均数，以及样本估计总体，审清题中数据并了解基本的定义是解题的关键． 【考点】分式方程的应用，一次函数的应用 【分析】（1）设每盒水银体温计的价格是x元，根据用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计的盒数相同列出方程，求解即可； （2）先用m表示出需要水银体温计的支数，再表示出水银体温计的盒数； （3）分当m≤4时，当m＞4时，分别得出关系式，再合并，根据若该校九年级有900名学生求出口罩的盒数m，从而得到体温计的盒数以及总费用. 解：（1）设每盒水银体温计的价格是x元，则每盒口罩的价格是x+150元， 根据题意可得：， 解得：x=50， 经检验：x=50是原方程的解， 50+150=200元， ∴每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是200元，50元； （2）∵购买口罩m盒， ∴共有口罩100m个， ∵给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计， ∴需要发放支水银体温计， ∴需要购买盒水银体温计； （3）由题意可得： 令200m+5m×50=1800， 解得：m=4， 若未超过1800元，即当m≤4时， 则w=200m+5m×50=450m， 若超过1800元，即当m＞4时， w=（200m+5m×50-1800）×0.8+1800=360m+360， ∴w关于m的函数关系式为， 若该校九年级有900名学生，即=900， 解得：m=18， 则=6840， 答：需要购买口罩18盒，水银体温计90盒，所需总费用为6840元. 【点评】本题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，弄清口罩盒数与体温计盒数的配套关系. 【考点】解直角三角形的应用 【分析】过C作CD⊥AB于点D，根据方向角的定义及余角的性质求出∠BCA＝30°，∠ACD＝60°，证∠ACB＝30°＝∠BCA，根据等角对等边得出BC＝AB＝12，然后解Rt△BCD，求出CD即可． 解：过点C作CD⊥AB，垂足为D．如图所示: 根据题意可知∠BAC＝90°﹣30°＝60°,∠DBC＝90°﹣30°＝60°, ∵∠DBC＝∠ACB+∠BAC, ∴∠BAC＝30°＝∠ACB, ∴BC＝AB＝60km, 在Rt△BCD中,∠CDB＝90°,∠CBD＝60°,sin∠CBD＝, ∴sin60°＝, ∴CD＝60×sin60°＝60×＝30（km）＞47km, ∴这艘船继续向东航行安全. 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用,准确记住特殊角的三角函数值是关键. 【考点】基本作图，平行四边形的性质，三角形内角和定理 【分析】（1）直接利用角平分线的作法得出符合题意的答案； （2）先证明∠ADE=∠CDE，再利用平行线的性质“同旁内角互补”，得出∠CPD=90即可得出答案． 解：（1）如图所示：E，F即为所求； （2）△CDP是直角三角形． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AD∥BC． ∴∠CDE=∠AED，∠ADC+∠BCD=180°， ∵AD=AE， ∴∠ADE=∠AED． ∴∠CED=∠ADE=∠ADC． ∵CP平分∠BCD， ∴∠DCP=∠BCD， ∴∠CDE+∠DCP=90°． ∴∠CPD=90°． ∴△CDP是直角三角形． 【点评】本题主要考查了基本作图以及平行四边形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【考点】圆周角定理，作图—基本作图 【分析】（1）利用基本作图作AD平分∠BAC，然后连接OD得到点E， （2）由AD平分∠BAC得到∠BAD＝∠BAC，由圆周角定理得到∠BAD＝∠BOD，则∠BOD＝∠BAC，再证明OE为△ABC的中位线，从而得到OE∥AC，OE＝AC． 解：（1）如图所示， （2）OE∥AC，OE＝AC． 理由如下： ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠BAC， ∵∠BAD＝∠BOD， ∴∠BOD＝∠BAC， ∴OE∥AC， ∵OA＝OB， ∴OE为△ABC的中位线， ∴OE∥AC，OE＝AC． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作已知线段的垂直平分线，作已知角的角平分线，过一点作已知直线的垂线）．也考查了圆周角定理． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）由待定系数法即可求解， （2）设MN＝4m，NB＝3m，则BM＝5m，得到点M、N、Q的坐标，即可求解， （3）求出直线AP的表达式，利用S△AFE＝S△ABE，得到DF×（xE﹣xA）＝AB×yE，求出点P的坐标，即可求解． 解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）， 则﹣3a＝3，则a＝﹣1， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3， （2）∵tan∠MBN＝， 故设MN＝4m，NB＝3m，则BM＝5m， 则点N、M的坐标分别为：（3﹣3m，0）、（3﹣3m，4m）， 当x＝3﹣3m时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣9m2+12m， 则点Q（3﹣3m，﹣9m2+12m）， ∵QM＝BM， 即﹣9m2+12m﹣4m＝5m， 解得：m＝0（舍去）或， 则点Q（2，3）， （3）设点P（m，﹣m2+2m+3）， 由点A．P的坐标得，直线AP的表达式为：y＝﹣（m﹣3）（x+1）， 则点D（0，3﹣m）， 则OD＝CF＝3﹣m， 则DF＝3﹣OD﹣CF＝2m﹣3， 设点E的坐标为：（t，（3﹣m）（t+1））， ∵S△AFE＝S△ABE， 即DF×（xE﹣xA）＝AB×yE， 即（2m﹣3）（t+1）＝4×（3﹣m）（t+1）， 解得：m＝3， 即点P的坐标为：（，）， 则△PAB的面积＝AB×yP＝4×＝． 【点评】本题为二次函数综合题，主要考查了二次函数图象和性质、一次函数的应用、锐角三角函数、面积的计算等知识，确定关键点的坐标是本题解题的关键 【考点】相似形综合题． 【分析】（1）连接CG，过点G作GJ⊥CD于点J．证明△EAG≌△DAG（SAS），可得EG＝DG，∠AEG＝∠ADG，再证明△OBE∽△OGC，推出＝，可得结论， （2）过点D作DT⊥BC于点T，连接GT．证明△EAG≌△DAG（SAS），推出EG＝DG，∠AEG＝∠ADG，再证明△OBE∽△OGT，推出＝，可得结论． （1）证明：连接CG，过点G作GJ⊥CD于点J． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AD＝BC， ∵AF平分∠BAD， ∴∠BAF＝∠DAF＝45°， ∴∠AFB＝∠BAF＝45°， ∴BA＝BF， ∵BE＝CF， ∴AE＝AB+BE＝BF+CF＝BC＝AD， ∵AG＝AG， ∴△EAG≌△DAG（SAS）， ∴EG＝DG，∠AEG＝∠ADG， ∵AD∥FC，AG＝GF， ∴DJ＝JC， ∵GJ⊥CD， ∴GD＝GC， ∴∠GDC＝∠GCD， ∵∠ADC＝∠BCD＝90°， ∴∠ADG＝∠GCO， ∴∠OEB＝∠OCG， ∵∠BOE＝∠GOC， ∴△OBE∽△OGC， ∴＝， ∵GC＝GD，BE＝CF， ∴BO?GD＝GO?FC， （2）解：过点D作DT⊥BC于点T，连接GT． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠DAG＝∠AFB， ∵AF平分∠DAB， ∴∠DAG＝∠BAF， ∴BAF＝∠AFB， ∴AB＝BF， ∴AE＝AB+BE＝BF+CF＝BC＝AD， ∵AG＝AG， ∴△EAG≌△DAG（SAS）， ∴∠AEG＝∠ADG， ∵AD∥FT，AG＝GF， ∴DJ＝JT， ∵GJ⊥DT， ∴GD＝GT， ∴∠GDT＝∠GTD， ∵∠ADT＝∠BTD＝90°， ∴∠ADG＝∠GTO， ∴∠OEB＝∠OTG， ∵∠BOE＝∠GOT， ∴△OBE∽△OGT， ∴＝， ∵GC＝GD，BE＝CF， ∴BO?GD＝GO?FC． 解法二：延长EG交AD于点M，在DM上取一点N，使得GN＝GM． 证明△OGF≌△MGA，推出OM＝OG＝GN，∠AMG＝∠GOF， 再证明△BOE∽△GDN，可得结论． 【点评】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 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中小学教育资源及组卷应用平台 【备考2024】浙教版中考一模试题3 姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________ 、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） a的相反数为-3，则a等于（ ） A．-3 B．3 C． D． 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（　　） A．三棱柱 B．圆柱 C．圆台 D．圆锥 下列计算结果，正确的是（　　） A．（a2）3＝a5 B．＝3 C．＝2 D．cos30°＝ 如图，直线，相交于点，，垂足为点．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 信息技术课上，在老师的指导下，小好同学训练打字速度（字/），数据整理如下：15，17，23，15，17，17，19，21，21，18，对于这组数据，下列说法正确的是（ ） A．众数是17 B．众数是15 C．中位数是17 D．中位数是18 如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是（　　） A． B．C．D． 《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺＝10寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为（　　） A．（x+4.5）＝x﹣1 B．（x+4.5）＝x+1 C．（x﹣4.5）＝x+1 D．（x﹣4.5）＝x﹣1 如图，正三角形ABC的边长为3，将△ABC绕它的外心O逆时针旋转60°得到△A'B'C'，则它们重叠部分的面积是（　　） A．2 B． C． D． 若关于x的一元二次方程x2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根,则一次函数y=kx+b 的大致图象可能是（ ） 如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点在线段上从点至点运动，连接，以为边作等边三角形，点和点分别位于两侧，下列结论：①；②；③；④点运动的路程是，其中正确结论的序号为（ ） A．①④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 若|m|=，则m=　 ． 不等式组的解集是x＞﹣1，则a的取值范围是　 　． 如果关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是　　　　　　． 若12xm﹣1y2与3xyn+1是同类项，点P（m，n）在双曲线上，则a的值为　　　　　　． 如图，在中，，，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则的度数是_______． 正方形OA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3，按如图放置，其中点A1、A2、A3在x轴的正半轴上，点B1、B2、B3在直线y=﹣x+2上，则点A3的坐标为 ． 、解答题（本大题共9小题，共66分） 计算：． 扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱．某商场根据市场需求，采购了A，B两种型号扫地机器人．已知B型每个进价比A型的2倍少400元．采购相同数量的A，B两种型号扫地机器人，分别用了96000元和168000元．请问A，B两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？ 某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线，点A．B分别在、上，斜坡AB的长为18米，过点B作于点C，且线段AC的长为米． （1）求该斜坡的坡高BC；（结果用最简根式表示） （2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡脚为60°，过点M作于点N，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？ 为增强学生体质，各学校普遍开展了阳光体育活动，某校为了解全校1000名学生每周课外体育活动时间的情况，随机调查了其中的50名学生，对这50名学生每周课外体育活动时间x（单位：小时）进行了统计．根据所得数据绘制了一幅不完整的统计图，并知道每周课外体育活动时间在6≤x＜8小时的学生人数占24%．根据以上信息及统计图解答下列问题： （1）本次调查属于　　　　　　调查，样本容量是　　　　　　； （2）请补全频数分布直方图中空缺的部分； （3）求这50名学生每周课外体育活动时间的平均数； （4）估计全校学生每周课外体育活动时间不少于6小时的人数． 如图，AB是圆O的直径，点D在直径AB上（D与A，B不重合），CD⊥AB，且CD=AB，连接CB与圆O交于点F，在CD上取一点E，使得EF=EC． （1）求证：EF是圆O的切线； （2）若D是OA的中点，AB=4，求CF的长． 攀枝花得天独厚，气候宜人，农产品资源极为丰富，其中晚熟芒果远销北上广等大城市。某水果店购进一批优质晚熟芒果，进价为10元/千克，售价不低于15元/千克，且不超过40元/每千克，根据销售情况，发现该芒果在一天内的销售量（千克）与该天的售价（元/千克）之间的数量满足如下表所示的一次函数关系。 销售量（千克） … 32.5 35 35.5 38 … 售价（元/千克） … 27.5 25 24.5 22 … （1）某天这种芒果售价为28元/千克。求当天该芒果的销售量 （2）设某天销售这种芒果获利元，写出与售价之间的函数关系式。如果水果店该天获利400元，那么这天芒果的售价为多少元？ 如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形． （Ⅰ）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长； （Ⅱ）若AP=，求CF的长． 如图，在平面直角坐标系中，的顶点是坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，动点从开始以每秒1个单位长度的速度沿轴正方向运动，设运动的时间为t秒（），过点作轴，分别交于点，． （1）填空：的长为_____，的长为____ （2）当时，求点的坐标： （3）请直接写出的长为_____（用含的代数式表示）； （4）点是线段上一动点（点不与点重合），和的面积分别表示为和，当时，请直接写出（即与的积）的最大值为__________． 答案解析 、选择题 【考点】相反数 【分析】根据相反数的定义解答即可． 解：因为3的相反数是﹣3，所以a=3． 故选：B． 【点评】本题考查了相反数的定义，属于应知应会题型，熟知概念是关键． 【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，再根据几何体的特点即可得出答案． 解：根据俯视图为圆的有球，圆锥，圆柱等几何体，主视图和左视图为三角形的只有圆锥， 则这个几何体的形状是圆锥． 故选：D． 【点评】此题考查了由三视图判断几何体，关键是对三视图能熟练掌握和灵活运用，体现了对空间想象能力的考查． 【考点】特殊角的三角函数值,立方根,幂的乘方与积的乘方,二次根式的性质与化简． 【分析】根据幂的乘方的运算法则对A选项进行判断,利用二次根式的乘法法则对B选项进行判断,根据立方根对C选项进行判断,根据特殊角的三角函数值对D选项进行判断． 解：A． （a2）＝a6，所以A选项不符合题意, B． ＝＝2，所以B选项不符合题意, C． ＝2，所以C选项符合题意, D．cos30°＝，所以D选项不符合题意, 故选：C． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．也考查了幂的乘方． 【考点】垂直的性质，邻补角定义 【分析】已知，，根据邻补角定义即可求出的度数． 解：∵ ∴ ∵ ∴ 故选：B 【点评】本题考查了垂直的性质，两条直线垂直，形成的夹角是直角；利用邻补角的性质求角的度数，平角度数为180°． 【考点】众数，中位数 【分析】根据中位数、众数的概念求解可得． 解：以上数据重新排列为：15，15，17，17，17，18，19，21，21，23， 众数为17、中位数为， 故选：． 【点评】本题考查的是众数和中位数的概念；熟练掌握中位数、众数的概念是解题的关键． 【考点】函数的图象． 【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案． 解： ①先注甲池水未达连接地方时，乙水池中的水面高度没变化； ②当甲池中水到达连接的地方，乙水池中水面快速上升； ③当乙到达连接处时，乙水池的水面持续增长较慢； ④最后超过连接处时，乙水池的水上升较快，但比第②段要慢． 故选：D． 【考点】由实际问题抽象出一元一次方程． 【分析】设长木长为x尺，则用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，可知绳子长为（x+4.5）尺，绳子对折再量木条，木条剩余1尺可知：（x+4.5）＝x﹣1，即可列出相应的方程． 解：设长木长为x尺， ∵用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺， ∴绳子长为（x+4.5）尺， ∵绳子对折再量木条，木条剩余1尺， 得方程为：（x+4.5）＝x﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的一元一次方程． 【考点】三角形的外心，等边三角形的性质，旋转的性质 【分析】根据重合部分是正六边形，连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形，据此即可求解． 解：作AM⊥BC于M，如图： 重合部分是正六边形，连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形． ∵△ABC是等边三角形，AM⊥BC， ∴AB＝BC＝3，BM＝CM＝BC＝，∠BAM＝30°， ∴AM＝BM＝， ∴△ABC的面积＝BC×AM＝×3×＝， ∴重叠部分的面积＝△ABC的面积＝； 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的外心、等边三角形的性质以及旋转的性质，理解连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都为全等的等边三角形是关键． 【考点】根的判别式；一次函数的图象．. 【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，得到判别式大于0，求出kb的符号，对各个图象进行判断即可． 解：∵x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根， ∴△=4﹣4（kb+1）＞0， 解得kb＜0， A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确； B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确； C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确； D．k＞0，b=0，即kb=0，故D不正确； 故选：B． 【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根． 【考点】等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理 【分析】连接OE并延长交DC于点H，先证△ADO为等边三角形，得出∠2=∠DAF=60°，再根据△DEF为等边三角形，得出①正确；证出△DOE≌△COE，得到ED=EC，得出②正确；证出∠ADF=∠3，看得出③正确；根据△DOE≌△COE，得出点E在OH上运动，可得④正确． 解：连接OE并延长交DC于点H， ∵矩形ABCD， ∴OA=OD=OC， ∵∠DAC=60°， ∴△ADO为等边三角形， ∴∠2=∠DAF=60°， ∵△DEF为等边三角形， ∴∠1=60°=∠5， ∴∠1=∠2， ∴D、F、O、E四点共圆， ∴∠3=∠4，①正确； ∴∠5=∠6=60°， ∴∠7=∠6=60°， ∵OD=OC，OE=OE， ∴△DOE≌△COE， ∴∠3=∠8， ∴∠CDE=∠DCE， ∴ED=EC，②正确； ∵∠ADO=∠FDE=60°， ∴∠ADF=∠3， ∴∠ADF=∠8，即∠ADF=∠ECF，③正确； ∵△DOE≌△COE， ∴点E在∠DOC的角平分线上与CD的交点为H，即点E在OH上运动， ∴OH=BC， ∴OH=，④错误． 故选B． 【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆的性质，解题的关键是灵活运用这些性质． 、填空题 【考点】绝对值，分式的性质 【分析】利用绝对值和分式的性质可得m﹣1≠0，m﹣3=0或|m|=1，可得m． 解：由题意得， m﹣1≠0， 则m≠1， （m﹣3）|m|=m﹣3， ∴（m﹣3）（|m|﹣1）=0， ∴m=3或m=±1， ∵m≠1， ∴m=3或m=﹣1， 故答案为：3或﹣1． 【点评】本题主要考查了绝对值和分式的性质，熟记分式分母不为0是解答此题的关键． 【考点】解一元一次不等式组． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了，结合不等式组的解集即可确定a的范围． 解：解不等式x+1＞0，得：x＞﹣1， 解不等式a﹣x＜0，得：x＞3a， ∵不等式组的解集为x＞﹣1， 则3a≤﹣1， ∴a≤﹣， 故答案为：a≤﹣． 【点评】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。　 【考点】根的判别式；解一元一次方程． 【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论． 解：∵关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根， ∴△=（﹣3）2﹣4×1×k=9﹣4k=0， 解得：k=． 故答案为：． 【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次方程，解题的关键是找出9﹣4k=0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程解的情况结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键． 【考点】同类项，反比例函数图象上点的坐标特点 【分析】先根据同类项的定义求出m、n的值，故可得出P点坐标，代入反比例函数的解析式即可得出结论． 解：∵12xm﹣1y2与3xyn+1是同类项， ∴m﹣1=1，n+1=2，解得m=2，n=1， ∴P（2，1）． ∵点P（m，n）在双曲线上， ∴a﹣1=2，解得a=3． 故答案为：3． 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【考点】等腰三角形的性质 【分析】分①点P在BC的延长线上，②点P在CB的延长线上两种情况，再利用等腰三角形的性质即可得出答案． 解：①当点P在BC的延长线上时，如图 ∵，， ∴ ∴ ∵以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P， ∴AC=PC ∴ ∵ ∴ ∴ ②当点P在CB的延长线上时，如图 由①得， ∵AC=PC ∴ ∴ 故答案为：或 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，分类讨论不重不漏是解题的关键． 【考点】一次函数的性质，坐标的变化规律 【分析】首先根据直线的解析式，分别求得B1，B2，B3…的坐标，可以得到一定的规律，从而求得A1，A2，A3…的坐标，得到规律，据此即可求解． 解：∵四边形OA1B1C1是正方形， ∴A1B1=B1C1． ∵点B1在直线y=-x+2上， ∴设B1的坐标是（x，-x+2）， ∴x=-x+2，x=1． ∴B1的坐标是（1，1）． ∴点A1的坐标为（1，0）． ∵A1A2B2C2是正方形， ∴B2C2=A1C2， ∵点B2在直线y=-x+2上， ∴B2C2=B1C2， ∴B2C2=A1B1=， ∴OA2=OA1+A1A2=1+， ∴点A2的坐标为（1+，0）． 同理，可得到点A3的坐标为（1++，0） ∴点A3 (,0) 【点评】此题主要考查了一次函数的性质和坐标的变化规律，正确得到点的坐标的规律是解题的关键． 、解答题 【考点】绝对值,算术平方根,零指数幂,二次根式的加减 【分析】根据零次幂、算术平方根及二次根式的加减运算可直接进行求解． 解：原式 ． 【点评】本题主要考查零次幂、算术平方根及二次根式的加减运算，熟练掌握零次幂、算术平方根及二次根式的加减运算是解题的关键． 【考点】分式方程的应用． 【分析】设每个A型扫地机器人的进价为x元，则每个B型扫地机器人的进价为（2x﹣400）元，利用数量＝总价÷单价，结合用96000元购进A型扫地机器人的数量等于用168000元购进B型扫地机器人的数量，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出每个A型扫地机器人的进价，再将其代入（2x﹣400）中即可求出每个B型扫地机器人的进价． 解：设每个A型扫地机器人的进价为x元，则每个B型扫地机器人的进价为（2x﹣400）元， 依题意得：＝， 解得：x＝1600， 经检验，x＝1600是原方程的解，且符合题意， ∴2x﹣400＝2×1600﹣400＝2800． 答：每个A型扫地机器人的进价为1600元，每个B型扫地机器人的进价为2800元． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【考点】解直角三角形 【分析】（1）运用勾股定理解题即可； （2）根据勾股定理列出方程，求出AM，问题得解． 解：（1）在Rt△ABC中，； （2）∵， ∴， ∴， ∵在Rt△ABC中，， ∴ ∴， ∴，∴． 综上所述，长度增加了2米． 【点评】本题考查了解直角三角形，题目难度不大，理解好题意运用勾股定理解题是关键． 【考点】频数（率）分布直方图；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；加权平均数． 【分析】（1）根据题目中的信息可知本次调查为抽样调查，也可以得到样本容量； （2）根据每周课外体育活动时间在6≤x＜8小时的学生人数占24%，可以求得每周课外体育活动时间在6≤x＜8小时的学生人数，从而可以求得2≤x＜4的学生数，从而可以将条形统计图补充完整； （3）根据条形统计图可以得到这50名学生每周课外体育活动时间的平均数； （4）根据条形统计图，可以估计全校学生每周课外体育活动时间不少于6小时的人数． 解：（1）由题意可得， 本次调查属于抽样调查，样本容量是50， 故答案为：抽样，50； （2）由题意可得， 每周课外体育活动时间在6≤x＜8小时的学生有：50×24%=12（人）， 则每周课外体育活动时间在2≤x＜4小时的学生有：50﹣5﹣22﹣12﹣3=8（人）， 补全的频数分布直方图如右图所示， （3）由题意可得， =5， 即这50名学生每周课外体育活动时间的平均数是5； （4）由题意可得， 全校学生每周课外体育活动时间不少于6小时的学生有：1000×（人）， 即全校学生每周课外体育活动时间不少于6小时的学生有300人． 【点评】本题考查频数分布直方图、样本、总体、样本容量、用样本估计总体、加权平均数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 【考点】圆周角定理，圆的切线的判定，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理 【分析】(1)连接OF和AF，证明∠GFE=∠AGD，进而可证明∠OFE=90°后即可求解； (2)先由AB=CD=4，BD=3，在Rt△BCD中结合勾股定理求出BC，再证明△ABF∽△CBD，由对应边成比例求出BF的长，最后用BC减去BF就是所求的CF的长． 解：(1)连接OF和AF，设AF与DC相交于点G，如下图所示： ∵OA=OF， ∴∠A=∠OFA， ∵AB为圆O的直径，∴∠AFB=∠AFC=90°， ∴∠C+∠CGF=90°，∠GFE+∠EFC=90° 又EC=EF，∴∠C=∠EFC， ∴∠CGF=∠GFE, 又∠CGF=∠AGD， ∴∠GFE=∠AGD ∴∠OFE=∠OFA+∠GFE=∠A+∠AGD=180°-∠ADG=180°-90°=90°， ∴OF⊥EF， ∴EF是圆O的切线． (2)如下图所示， ∵D是OA的中点，且AB=4， ∴DO=1，BD=BO+DO=3， 又AB=CD=4， ∴在Rt△BCD中，BC?=BD?+CD?=3?+4?=5?， ∴BC=5， 又∠BDC=∠BFA=90°，且∠B=∠B， ∴△ABF∽△CBD， ∴，代入数据后得：， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握其定理及性质是解决此类题的关键． 【考点】一次函数的应用，二次函数的应用 【分析】（1）用待定系数求出一次函数解析式，再代入自变量的值求得函数值； （2）根据利润＝销量×（售价?成本），列出m与x的函数关系式，再由函数值求出自变量的值． 解：（1）设该一次函数解析式为 则，解得： ∴（） ∴当时，， ∴芒果售价为28元/千克时，当天该芒果的销售量为32千克 （2）由题易知， 当时，则 整理得： 解得：， ∵ ∴ 所以这天芒果的售价为20元 【点评】本题是一次函数与二次函数的应用的综合题，主要考查了用待定系数法求函数的解析式，由函数值求自变量，由自变量的值求函数值，正确求出函数解析式是解题的关键． 【考点】四边形综合题． 【分析】（Ⅰ）先求出AC，再分三种情况讨论计算即可得出结论； （Ⅱ）方法1、先判断出OC=ED，OC=PF，进而得出OC=OP=OF，即可得出∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，最后判断出△ADP∽△CDF，得出比例式即可得出结论． 方法2、先判断出∠CEF=∠FDC，得出点E，C，F，D四点共圆，再判断出点P也在此圆上，即可得出∠DAP=∠DCF，此后同方法1即可得出结论． 方法3、先判断出△PME∽△DNP即可得出，进而用两边对应成比例夹角相等判断出△ADP∽△CDF，得出比例式即可得出结论． 解：（Ⅰ）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC=90°， ∴DC=AB=6， ∴AC==10， 要使△PCD是等腰三角形， ①当CP=CD时，AP=AC﹣CP=10﹣6=4， ②当PD=PC时，∠PDC=∠PCD， ∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°， ∴∠PAD=∠PDA， ∴PD=PA， ∴PA=PC， ∴AP=AC=5， ③当DP=DC时，如图1，过点D作DQ⊥AC于Q，则PQ=CQ， ∵S△ADC=AD?DC=AC?DQ， ∴DQ==， ∴CQ==， ∴PC=2CQ=， ∴AP=AC﹣PC=10﹣=； 所以，若△PCD是等腰三角形时，AP=4或5或； （Ⅱ）方法1、如图2，连接PF，DE，记PF与DE的交点为O，连接OC， ∵四边形ABCD和PEFD是矩形， ∴∠ADC=∠PDF=90°， ∴∠ADP+∠PDC=∠PDC+∠CDF， ∴∠ADP=∠CDF， ∵∠BCD=90°，OE=OD， ∴OC=ED， 在矩形PEFD中，PF=DE， ∴OC=PF， ∵OP=OF=PF， ∴OC=OP=OF， ∴∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC， ∵∠OPC+∠OFC+∠PCF=180°， ∴2∠OCP+2∠OCF=180°， ∴∠PCF=90°， ∴∠PCD+∠FCD=90°， 在Rt△ADC中，∠PCD+∠PAD=90°， ∴∠PAD=∠FCD， ∴△ADP∽△CDF， ∴， ∵AP=， ∴CF=． 方法2、如图， ∵四边形ABCD和DPEF是矩形， ∴∠ADC=∠PDF=90°， ∴∠ADP=∠CDF， ∵∠DGF+∠CDF=90°， ∴∠EGC+∠CDF=90°， ∵∠CEF+∠CGE=90°， ∴∠CDF=∠FEC， ∴点E，C，F，D四点共圆， ∵四边形DPEF是矩形， ∴点P也在此圆上， ∵PE=DF，∴， ∴∠ACB=∠DCF， ∵AD∥BC， ∴∠ACB=∠DAP， ∴∠DAP=∠DCF， ∵∠ADP=∠CDF， ∴△ADP∽△CDF， ∴， ∵AP=， ∴CF=． 方法3、如图3， 过点P作PM⊥BC于M交AD于N， ∴∠PND=90°， ∵PN∥CD， ∴， ∴， ∴AN=， ∴ND=8﹣=（10﹣） 同理：PM=（10﹣） ∵∠PND=90°， ∴∠DPN+∠PDN=90°， ∵四边形PEFD是矩形， ∴∠DPE=90°， ∴∠DPN+∠EPM=90°， ∴∠PDN=∠EPM， ∵∠PND=∠EMP=90°， ∴△PND∽△EMP， ∴=， ∵PD=EF，DF=PE． ∴， ∵， ∴，∵∠ADP=∠CDF， ∴△ADP∽△CDF， ∴=， ∵AP=， ∴CF=． 【考点】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解（Ⅰ）的关键是分三种情况讨论计算，解（Ⅱ）的关键是判断出△ADP∽△CDF，是一道中考常考题． 【考点】勾股定理，相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式 【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可； （2）利用待定系数法求得直线AB的解析式，令求解即可得到点N的坐标； （3）根据题意可得，利用相似三角形的性质即可求解； （4）根据求解即可． 解：（1）∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，， 故答案为：，； （2）设直线AB的解析式为，将，代入得： ，解得， ∴， 由题意可知点N的纵坐标为1， ∴令得，解得， ∴； （3）∵动点从开始以每秒1个单位长度的速度沿轴正方向运动，运动的时间为t秒， ∴到OB的距离为t， ∴的高为， ∴与的高之比为， ∵， ∴， ∴，即； （4）当时，， ∴， ∴， 故答案为：16． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式等内容，掌握数形结合思想是解题的关键． _21?????????è?????(www.21cnjy.com)_

广东省湛江市第二十九小学2023-2024学年二年级下学期期中数学试题

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