2019_2020学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质 3.2 函数的基本性质课件+学案含答案（8份打包）新人教A版必修第一册
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| 版本：人教A版（2019） |
| 类型： 学案 课件 |
| 地区：全国 |
| 文件：8.0MB |
| 日期：2020-03-27 |
| 作者：21jy_4416555252 |
| 星级：2 |
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(共36张PPT)
第1课时 函数的单调性
1．理解函数单调区间、单调性等概念．
2．会划分函数的单调区间，判断单调性．
3．会用定义证明函数的单调性．
1．函数的单调性
温馨提示：定义中的x1，x2有以下3个特征
(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；
(2)有大小，通常规定x1f(x2)
(3)[0，＋∞)．?x1，x2∈[0，＋∞)，若x14，
x1x2－4>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)0，x1＋x2<0，xx>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0，x2＋x1>0，xx>0.
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
∴函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数.
题型二求函数的单调区间
【典例2】 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝|x2－3x＋2|.
[思路导引] (1)先求出函数的定义域，再利用定义求解；(2)作出函数y＝x2－3x＋2的图象，再将x轴下方的图象翻折到x轴上方，结合图象写出f(x)的单调区间．
[解] (1)函数f(x)＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，
?x1，x2∈(－∞，1)，且x10，x1－1<0，x2－1<0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，同理函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
综上，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，1)，(1，＋∞)．
(2)f(x)＝|x2－3x＋2|
＝
作出函数的图象，如图所示．
根据图象，可知，
单调递增区间是和[2，＋∞)；
单调递减区间是(－∞，1]和.
(1)求函数单调区间的2种方法
①定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．
②图象法：即先画出图象，根据图象求单调区间．
(2)求函数单调区间的注意点
一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接．
[针对训练]
2．函数f(x)＝＋2的单调递减区间是________________．
[解析] 函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
当x10，∴f(x)在(－∞，0)上为减函数；
当00，
∴f(x)在(0，＋∞)上为减函数．
∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．
[答案] (－∞，0)，(0，＋∞)
3．作出函数f(x)＝的图象，并指出函数的单调区间．
[解] f(x)＝
的图象如图所示．
由图象可知：函数的单调递减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞).
题型三函数单调性的应用
【典例3】 (1)已知函数f(x)＝x2－2(1－a)x＋2在[4，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
(2)已知y＝f(x)在定义域(－∞，＋∞)上是减函数，且f(1－a)2a－1，得a<，∴a的取值范围是.
[变式] (1)若本例(1)条件改为“函数f(x)＝x2－2(1－a)x＋2的单调递增区间为[4，＋∞)”，其他条件不变，如何求解？
(2)若本例(2)中“定义域(－∞，＋∞)”改为“定义域(－1,1)”，其他条件不变，如何求解？
[解] (1)∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，
∴f(x)的递增区间为[1－a，＋∞)．
∴1－a＝4，得a＝－3.
(2)由题意可知
解得02a－1，即a<.②
由①②可知，0f(2a) B．f(a2)a2，∴f(a2＋1)0或>0.
对减函数的判断，当x1f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0或<0.
3.熟悉一些常见函数的单调性结论，包括一次函数，二次函数，反比例函数等.
4.若f(x)，g(x)都是增函数，h(x)是减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f(x)＋g(x)单调递增，f(x)－h(x)单调递增，②－f(x)单调递减，③单调递减(f(x)≠0).
5.对于函数值恒正(或恒负)的函数f(x)，证明单调性时，也可以作商与1比较.
1．如图所示，函数y＝f(x)在下列哪个区间上是增函数( )
A．[－4,4]
B．[－4，－3]∪[1,4]
C．[－3,1]
D．[－3,4]
[解析] 观察题中图象知，函数在[－3,1]上是增函数．
[答案] C
2．下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是( )
A．y＝x2－2 B．y＝
C．y＝1＋2x D．y＝－(x＋2)2
[解析] 选项A，B在(－∞，0)上为减函数，选项D在(－2，0]上为减函数，只有选项C满足在(－∞，0]内为增函数．故选C.
[答案] C
3．若函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
[解析] 由一次函数的性质得2a－1<0，即a<.故选D.
[答案] D
4．已知函数f(x)为定义在区间[－1,1]上的增函数，则满足f(x)x2>0，
f(x1)－f(x2)＝－＝，
由x1>x2>0知x1＋1>0，x2＋1>0，x1－x2>0，
故f(x1)－f(x2)>0，即f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
课后作业(十九)
复习巩固
一、选择题
1．若函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a，b)∪(b，c)上( )
A．必是增函数 B．必是减函数
C．是增函数或减函数 D．无法确定单调性
[解析] 函数在区间(a，b)∪(b，c)上无法确定单调性．如y＝－在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上也是增函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上并不具有单调性．
[答案] D
2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( )
A．y＝|x| B．y＝3－x
C．y＝ D．y＝－x2＋4
[解析] 因为－1<0，所以一次函数y＝－x＋3在R上递减，反比例函数y＝在(0，＋∞)上递减，二次函数y＝－x2＋4在(0，＋∞)上递减．故选A.
[答案] A
3．对于函数y＝f(x)，在给定区间上有两个数x1，x2，且x1f(0) B．f(x2)>f(0)
C．f(3a＋1)f(2a)．故选D.
[答案] D
二、填空题
6．若函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，－2)时是减函数，则f(1)＝________.
[解析] 由条件知x＝－2是函数f(x)图象的对称轴，所以＝－2，m＝－8，则f(1)＝13.
[答案] 13
7．已知函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)是单调函数，则a的取值范围是________．
[解析] 因为函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－a]，所以－a≥－1，解得a≤1.
[答案] (－∞，1]
8．已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x－2)－ B．a≥－
C．－≤a<0 D．－≤a≤0
[解析] 当a＝0时，f(x)＝2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的；当a>0时，由函数f(x)＝ax2＋2x－3的图象知，不可能在区间(－∞，4)上是单调递增；当a<0时，只有－≥4，即a≥－满足函数f(x)在区间(－∞，4)上是单调递增的，综上可知实数a的取值范围是－≤a≤0.
[答案] D
12．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝1，则( )
A．f(－1)0，则f(－3)与f(－π)的大小关系是________．
[解析] 由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，可知函数f(x)为增函数．又－3>－π，所以f(－3)>f(－π)．
[答案] f(－3)>f(－π)
15．设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为________．
[解析] 由条件可得f(x)＋f(－2)＝f(－2x)，又f(3)＝1，∴不等式f(x)＋f(－2)>1，即为f(－2x)>f(3)．
∵f(x)是定义在R上的增函数，∴－2x>3，
解得x<－.故不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为.
[答案]
16．已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
[解] 设11.
∵函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
∴f(x1)－f(x2)＝x1－＋－
＝(x1－x2)<0.
∵x1－x2<0，∴1＋>0，即a>－x1x2.
∵11，∴－x1x2<－1，∴a≥－1.
∴a的取值范围是[－1，＋∞)．
1
(共39张PPT)
第2课时 函数的最大(小)值
1．理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义．
2．会借助单调性求最值．
3．掌握求二次函数在闭区间上的最值．
1．最大值
(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①?x∈I，都有f(x)≤M；
②?x0∈I，使得f(x0)＝M.
那么，称M是函数y＝f(x)的最大值．
(2)几何意义：函数y＝f(x)的最大值是图象最高点的纵坐标．
2．最小值
(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①?x∈I，都有f(x)≥M；
②?x0∈I，使得f(x0)＝M.
那么，称M是函数y＝f(x)的最小值．
(2)几何意义：函数y＝f(x)的最小值是图象最低点的纵坐标．
温馨提示：(1)最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素．
(2)并不是每一个函数都有最值，如函数y＝，既没有最大值，也没有最小值．
(3)最值是函数的整体性质，即在函数的整个定义域内研究其最值．
1．函数y＝f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，试指出此函数的最小值、最大值和相应的x的值．
[答案] f(x)的最小值为－1，此时x＝－2；
f(x)的最大值为2，此时x＝1
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何函数都有最大值或最小值．( )
(2)函数的最小值一定比最大值小．( )
(3)函数f(x)＝－x在[2,3)上的最大值为－2，无最小值．( )
(4)函数最大值对应图象中的最高点，且该点只有一个．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
题型一图象法求函数的最大(小)值
【典例1】 (1)已知函数f(x)＝求f(x)的最大值、最小值；
(2)画出函数f(x)＝的图象，并写出函数的单调区间，函数的最小值．
[思路导引] 作出函数f(x)的图象，结合图象求解．
[解] (1)作出函数f(x)的图象(如图1)．
由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(±1)＝1；当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝0，故f(x)的最大值为1，最小值为0.
(2)f(x)的图象如图2所示，f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f(0)＝－1.
图象法求最大(小)值的步骤
[针对训练]
1．利用图象求下列函数的最大值和最小值．
(1)y＝－，x∈[1,3]；
(2)y＝|x＋1|－|x－2|.
[解] (1)作出函数图象如右图所示，该函数的图象既有最高点，也有最低点(1，－2)，所以函数y＝－，x∈[1,3]有最大值－，最小值－2；
(2)y＝|x＋1|－|x－2|
＝
作出函数的图象，由右图可知，y∈[－3,3]．所以函数的最大值为3，最小值为－3.
题型二利用单调性求函数的最大(小)值
【典例2】 已知函数f(x)＝x＋.
(1)证明：f(x)在(1，＋∞)内是增函数；
(2)求f(x)在[2,4]上的最值．
[解] (1)证明：设?x1，x2∈(1，＋∞)，且x1x1>1，∴x1－x2<0，
又∵x1x2>1，∴x1x2－1>0，
故(x1－x2)·<0，即f(x1)0，x1－1>0，
∴f(x2)－f(x1)<0.∴f(x2)4时，f(x)在[2,4]上是减函数，
∴f(x)min＝f(4)＝18－8a.
当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2.
∴f(x)min＝
[变式] 本例(2)条件变为，若f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[2,4]时，f(x)≤a恒成立，求实数a的取值范围．
[解] 在[2,4]内，f(x)≤a恒成立，
即a≥x2－2ax＋2在[2,4]内恒成立，
即a≥f(x)max，x∈[2,4]．
又f(x)max＝
①当a≤3时，a≥18－8a，解得a≥2，此时有2≤a≤3.
②当a>3时，a≥6－4a，解得a≥，此时有a>3.
综上有实数a的取值范围是[2，＋∞)．
求解二次函数最值问题的顺序
(1)确定对称轴与抛物线的开口方向、作图．
(2)在图象上标出定义域的位置．
(3)观察单调性写出最值．
[针对训练]
3．已知函数f(x)＝x2＋2x＋a(x∈[0,2])有最小值－2，则f(x)的最大值为( )
A．4 B．6 C．1 D．2
[解析] 函数f(x)＝x2＋2x＋a的对称轴为x＝－1，在[0,2]上为增函数，所以f(x)的最小值为f(0)＝a＝－2，f(x)的最大值为f(2)＝8＋a＝6.
[答案] B
4．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________．
[解析] 如图可知f(x)在[1，a]内是单调递减的，
又∵f(x)的单调递减区间为(－∞，3]，∴1400时，f(x)＝60000－100x是减函数，f(x)<60000－100×400＝20000<25000.
∴当x＝300时，f(x)max＝25000.
即每月生产300台仪器时公司所获利润最大，最大利润为25000元．
求解函数最大(小)值的实际问题应注意的2点
(1)解实际应用题要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围．
(2)实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决．
[针对训练]
5．将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个．已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润是多少？
[解] 设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x－50)元，销量减少10(x－50)个．
∴y＝(x－40)(1000－10x)
＝－10(x－70)2＋9000≤9000.
故当x＝70时，ymax＝9000.
答：售价为70元时，利润最大为9000元.
课堂归纳小结
1．求函数最大(小)值的常用方法
(1)值域．求出函数f(x)的值域，即可求其最值(注意必须确保存在函数值里的最值)；
(2)单调性法．通过研究函数的单调性来求函数的最值；
(3)特殊函数法．利用特殊函数[如一次函数、二次函数、反比例函数、函数y＝x＋(a>0)]的单调性来求其最值.
2.函数的值域与最大(小)值的区别
(1)函数的值域是一个集合，函数的最值是一个函数值，它是值域的一个元素，即定义域中一定存在一个x0，使f(x0)＝M(最值)．
(2)函数的值域一定存在，但函数并不一定有最大(小)值，如y＝x在x∈(－1,1)时无最值.
1．函数f(x)在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大、最小值分别为( )
A．3,0
B．3,1
C．3，无最小值
D．3，－2
[解析] 观察图象可以知道，图象的最高点坐标是(0,3)，从而其最大值是3；另外从图象看，无最低点，即该函数不存在最小值．故选C.
[答案] C
2．已知函数f(x)＝|x|，x∈[－1,3]，则f(x)的最大值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
[解析] 作出函数f(x)＝|x|，x∈[－1,3]的图象，如图所示．根据函数图象可知，f(x)的最大值为3.
[答案] D
3．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( )
A．y＝＋2 B．y＝3x－2
C．y＝x2 D．y＝1－x
[解析] B、C在[1,4]上均为增函数，A、D在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A.
[答案] A
4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________(m)．
[解析] 设矩形花园的宽为y m，
则＝，
即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20时，面积最大．
[答案] 20
5．已知二次函数y＝x2－4x＋5，分别求下列条件下函数的最小值：
(1)x∈[－1,0]；(2)x∈[a，a＋1]．
[解] (1)∵二次函数y＝x2－4x＋5的对称轴为x＝2且开口向上，
∴二次函数在x∈[－1,0]上是单调递减的．
∴ymin＝02－4×0＋5＝5.
(2)当a≥2时，函数在x∈[a，a＋1]上是单调递增的，
ymin＝a2－4a＋5；
当a＋1≤2即a≤1时，函数在[a，a＋1]上是单调递减的，
ymin＝(a＋1)2－4(a＋1)＋5＝a2－2a＋2；
当a<20时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a<0时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.综上知a＝±2.
[答案] C
5．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．(－∞，0]
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
[解析] 令f(x)＝－x2＋2x，
则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.
又∵x∈[0,2]，∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.
∴a<0.
[答案] C
二、填空题
6．函数y＝－，x∈[－3，－1]的最大值与最小值的差是________．
[解析] 因为函数y＝－在[－3，－1]上为增函数，所以ymin＝，ymax＝1，
所以ymax－ymin＝1－＝.
[答案]
7．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________．
[解析] 函数f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a，x∈[0,1]，且函数有最小值－2.
故当x＝0时，函数有最小值，
当x＝1时，函数有最大值．
∵当x＝0时，f(0)＝a＝－2，∴f(x)＝－x2＋4x－2，
∴当x＝1时，f(x)max＝f(1)＝－12＋4×1－2＝1.
[答案] 1
8.如图，某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系．那么水流喷出的高度h(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的函数关系式为h(x)＝－x2＋2x＋，x∈，则水流喷出的高度h的最大值是________m.
[解析] 由函数h(x)＝－x2＋2x＋，x∈的图象可知，函数图象的顶点就是水流喷出的最高点．此时函数取得最大值．
对于函数h(x)＝－x2＋2x＋，x∈，
若x＝1，函数有最大值h(x)max＝－12＋2×1＋＝(m)．
于是水流喷出的最高高度是m.
[答案]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝.
(1)证明：函数f(x)在上是减函数；
(2)求函数f(x)在[1,5]上的最大值和最小值．
[解] (1)证明：设x1、x2是区间上的任意两个实数，且x2>x1>，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝.
由于x2>x1>，
所以x2－x1>0，且(2x1－1)·(2x2－1)>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)＝在区间上是减函数．
(2)由(1)知，函数f(x)在[1,5]上是减函数，
因此，函数f(x)＝在区间[1,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最大值为f(1)＝3，最小值为f(5)＝.
10．求函数f(x)＝x2－2ax＋2在[－1,1]上的最小值．
[解] 函数f(x)图象的对称轴为直线x＝a，且函数图象开口向上，如图所示：
①当a>1时，f(x)在[－1,1]上单调递减，
故f(x)min＝f(1)＝3－2a；
②当－1≤a≤1时，f(x)在[－1,1]上先减后增，
故f(x)min＝f(a)＝2－a2；
③当a<－1时，f(x)在[－1,1]上单调递增，
故f(x)min＝f(－1)＝3＋2a.
综上可知f(x)的最小值为
f(x)min＝
综合运用
11．函数f(x)＝则f(x)的最大值与最小值分别为( )
A．10,6 B．10,8
C．8,6 D．以上都不对
[解析] ∵x∈[1,2]时，f(x)max＝2×2＋6＝10，f(x)min＝2×1＋6＝8；x∈[－1,1]时，f(x)max＝1＋7＝8，f(x)min＝－1＋7＝6，∴f(x)max＝10，f(x)min＝6.
[答案] A
12．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．[0,2]
C．(－∞，2] D．[1,2]
[解析] f(x)＝(x－1)2＋2，∵f(x)min＝2，f(x)max＝3，且f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，∴1≤m≤2，故选D.
[答案] D
13．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )
A．90万元 B．60万元
C．120万元 D．120.25万元
[解析] 设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)
＝－x2＋19x＋30＝－2＋30＋，
∴当x＝9或10时，L最大为120万元．
[答案] C
14．函数y＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为________．
[解析] 化简函数为
y＝
其图象如图所示，
所以函数的最小值为3.
[答案] 3
15．已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.
(1)求证：f(x)是R上的单调减函数．
(2)求f(x)在[－3,3]上的最小值．
[解] (1)证明：设x1，x2是任意的两个实数，且x10，因为x>0时，f(x)<0，
所以f(x2－x1)<0，
又因为x2＝(x2－x1)＋x1，
所以f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]
＝f(x2－x1)＋f(x1)，
所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0，
所以f(x2)0时，－x<0，
f(－x)＝1－(－2x)＝1＋2x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝1＋(－2x)＝1－2x＝f(x)．
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．
判断函数奇偶性的2种方法
(1)定义法
(2)图象法
[针对训练]
1．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝x2(x2＋2)；
(2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
[解] (1)∵x∈R，关于原点对称，
又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)∵x∈R，关于原点对称，
又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|
＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)
＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
(3)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，
又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
(4)显然函数f(x)的定义域关于原点对称．
当x>0时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x)，
当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x)，
∴f(－x)＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数.
题型二奇函数、偶函数的图象
【典例2】 已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．
(1)画出在区间[－5,0]上的图象．
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合．
[思路导引] 根据奇函数图象特征作出函数图象，再求解．
[解] (1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．
(2)由图象知，使f(x)<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．
[变式] 若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，试画出在区间[－5,0]上的图象．
[解] 因为函数f(x)是偶函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于y轴对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．
巧用奇、偶函数的图象求解问题
(1)依据：奇函数?图象关于原点对称，偶函数?图象关于y轴对称．
(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题．
[针对训练]
2．定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示．
(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象；
(2)比较f(1)与f(3)的大小．
[解] (1)由于f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称，其图象如图所示．
(2)观察图象，知f(3)0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝________.
[解析] ∵f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＝x2＋，
∴f(－1)＝－f(1)＝－＝－2.
[答案] －2
课堂归纳小结
1．一个条件：定义域关于原点对称是函数f(x)是奇(偶)函数的一个必要不充分条件．
2．两个性质：函数为奇函数?它的图象关于原点对称；函数为偶函数?它的图象关于y轴对称．
3．证明一个函数是奇函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)．而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了．
4．熟悉常见函数的奇偶性：一次函数y＝kx＋b(k≠0)，当b＝0时是奇函数；当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数．y＝(k≠0)为奇函数．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当b＝0时是偶函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数.
1．函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于( )
A．－1 B．0
C．1 D．无法确定
[解析] 由－1＋a＝0，得a＝1.选C.
[答案] C
2．下列函数是偶函数的是( )
A．y＝x B．y＝2x2－3
C．y＝ D．y＝x2，x∈[0,1]
[解析] A项中的函数为奇函数；C、D选项中的函数定义域不关于原点对称，既不是奇函数，也不是偶函数；B项中的函数为偶函数．故选B.
[答案] B
3．函数f(x)＝－x的图象( )
A．关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝－x对称
[解析] 函数f(x)＝－x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－－(－x)＝x－＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称．
[答案] C
4．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________.
[解析] 由f(x)＝(x＋a)(x－4)得f(x)＝x2＋(a－4)x－4a，若f(x)为偶函数，则a－4＝0，即a＝4.
[答案] 4
5．已知y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域都是[－3,3]，且它们在[0,3]上的图象如图所示，求不等式<0的解集．
[解] 由题知，y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数．
根据函数图象的对称性画出y＝f(x)，y＝g(x)在[－3，
0]上的图象如图所示．由图可知f(x)>0?00?10时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________.
[解析] 由题意知f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，∴f(－2)＋f(0)＝－5.
[答案] －5
三、解答题
9．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝x2＋|x＋a|＋1.
[解] (1)由x＋1≠0，得f(x)的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，所以函数f(x)＝不具有奇偶性．
(2)∴－1≤x≤1且x≠0，
∴定义域为{x|－1≤x≤1，且x≠0}．
∴f(x)＝，
∴f(－x)＝－＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(3)f(x)的定义域为R，
f(－x)＝x2＋|x－a|＋1.
又f(x)＝x2＋|x＋a|＋1，
当a＝0时，f(－x)＝f(x)，此时f(x)为偶函数；
当a≠0时，|x－a|≠|x＋a|，此时f(x)不具有奇偶性．
10．(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值．
(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小．
[解] (1)奇函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，－f(－x))关于原点的对称点为P′(x，f(x))，图③为图①补充后的图象，易知f(3)＝－2.
(2)偶函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(－x))关于y轴的对称点为P′(x，f(x))，图④为图②补充后的图象，易知f(1)>f(3)．
综合运用
11．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )
A．|f(x)|－g(x)是奇函数
B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数
D．f(x)＋|g(x)|是偶函数
[解析] ∵函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．
对于选项A，|f(－x)|－g(－x)＝|f(x)|＋g(x)≠±(|f(x)|－g(x))，故其不具有奇偶性；
对于选项B，f(－x)－|g(－x)|＝f(x)－|g(x)|，故函数为偶函数；
对于选项C，|f(－x)|＋g(－x)＝|f(x)|－g(x)≠±(|f(x)|＋g(x))，故其不具有奇偶性；
对于选项D，f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|g(x)|，故函数为偶函数．
综上，选D.
[答案] D
12．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于( )
A．4 B．3
C．2 D．1
[解析] 由题意知f(－1)＋g(1)＝－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝f(1)＋g(1)＝4.两式相加，解得g(1)＝3.
[答案] B
13．若函数f(x)＝为奇函数，则a等于________．
[解析] 函数f(x)的定义域为{x.
又f(x)为奇函数，定义域应关于原点对称，∴a＝.
[答案]
14．已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________．
[解析] 因为f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－6，所以(－3)2＋a×(－3)＝－6，解得a＝5.
[答案] 5
15．已知函数f(x)对一切x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12)．
[解] (1)证明：由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)，
令x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0.
所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，
故f(x)是奇函数．
(2)因为f(x)为奇函数．
所以f(－3)＝－f(3)＝a，
所以f(3)＝－a.
又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)，
所以f(12)＝－4a.
1
(共26张PPT)
第2课时 函数奇偶性的应用
1．掌握用奇偶性求解析式的方法．
2．理解奇偶性对单调性的影响并能用以解不等式．
3．理解函数的奇偶性的推广——对称性．
奇函数、偶函数的性质
(1)若一个奇函数在原点处有定义，即f(0)有意义，则一定有f(0)＝0.
(2)若f(x)是奇函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性一致．
(3)若f(x)是偶函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性相反．
1．观察下图，思考以下问题：
(1)奇函数、偶函数在原点处一定有定义吗？若有定义，f(0)的值能确定吗？
(2)函数的奇偶性如何影响函数的单调性？
[答案] (1)不一定．奇函数在原点处有定义，则f(0)＝0；偶函数在原点处有定义，f(0)的值不确定
(2)奇函数在对称区间上具有相同的单调性，偶函数在对称区间上具有相反的单调性
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)＝0，x∈R既是奇函数又是偶函数．( )
(2)在公共的定义域内，若f(x)为奇函数，g(x)为奇函数，则f(x)·g(x)为奇函数．( )
(3)偶函数f(x)在x＝0时有意义，则f(0)＝0.( )
(4)f(x)是定义在R上的奇函数的必要不充分条件是
f(0)＝0.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√
题型一利用奇偶性求函数的解析式
【典例1】 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求：
(1)f(0)；
(2)当x<0时，f(x)的解析式；
(3)f(x)在R上的解析式．
[思路导引] 借助奇函数的定义，利用x>0时的解析式，确定x<0，即－x>0时的解析式．
[解] (1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.
(2)当x<0时，－x>0，f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝2x2＋3x－1，x<0.
(3)函数f(x)在R上的解析式为
f(x)＝
[变式] 若将本例中的奇函数改为偶函数，其他条件不变，求当x<0时，函数f(x)的解析式．
[解] 当x<0时，－x>0，
∴f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.
∵f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(－x)．
∴f(x)＝－2x2－3x＋1，x<0.
利用函数奇偶性求函数解析式的3个步骤
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．
(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式．
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．
[针对训练]
1．已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－1，求函数f(x)的解析式．
[解] 当x<0，－x>0，
∴f(－x)＝2(－x)－1＝－2x－1.
又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝2x＋1.
又f(x)(x∈R)是奇函数，
∴f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.
∴所求函数的解析式为f(x)＝
题型二函数的单调性与奇偶性
【典例2】 (1)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，在[2,6]上是减函数，比较f(－5)与f(3)的大小；
(2)设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)f(x2)的形式；
②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式求解．
[针对训练]
2．如果奇函数f(x)的区间[－7，－3]上是减函数且最大值为5，那么函数f(x)在区间[3,7]上是( )
A．增函数且最小值为－5
B．增函数且最大值为－5
C．减函数且最小值为－5
D．减函数且最大值为－5
[解析] f(x)为奇函数，∴f(x)在[3,7]上的单调性与[－7，－3]上一致，且f(7)为最小值．又已知f(－7)＝5，∴f(7)＝－f(－7)＝－5，选C.
[答案] C
3．奇函数f(x)是定义在(－1,1)上的减函数，若f(m－1)＋f(3－2m)<0，求实数m的取值范围．
[解] 原不等式化为f(m－1)<－f(3－2m)．
因为f(x)是奇函数，所以f(m－1)2m－3，
所以m<2.
又f(x)的定义域为(－1,1)，
所以－10时，f(x)＝－x＋1，则当x<0时，f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝－x＋1 B．f(x)＝－x－1
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝x－1
[解析] 设x<0，则－x>0.
∴f(－x)＝x＋1，又函数f(x)是奇函数．
∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，
∴f(x)＝－x－1(x<0)．
[答案] B
2．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单凋递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是( )
A．f(－π)>f(3)>f(－2)
B．f(－π)>f(－2)>f(3)
C．f(3)>f(－2)>f(－π)
D．f(3)>f(－π)>f(－2)
[解析] ∵f(x)是R上的偶函数，
∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，
又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且2<3<π，
∴f(π)>f(3)f(3)>f(－2)．
[答案] A
3．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)1时，f(x)>0，且f(2)＝1.
(1)试判断函数f(x)的奇偶性；
(2)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性；
(3)求函数f(x)在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值；
(4)求不等式f(3x－2)≥4的解集．
[解] (1)令x＝y＝1，则f(1×1)＝f(1)＋f(1)，
得f(1)＝0；再令x＝y＝－1，则f[(－1)·(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，得f(－1)＝0.对于条件f(x·y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－1，则f(－x)＝f(x)＋f(－1)，
∴f(－x)＝f(x)．又∵函数f(x)的定义域关于原点对称，∴函数f(x)为偶函数．
(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x11.
又∵当x>1时，f(x)>0，∴f>0.而f(x2)＝f＝f(x1)＋f>f(x1)，∴函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)∵f(4)＝f(2×2)＝f(2)＋f(2)，又f(2)＝1，
∴f(4)＝2.又由(1)(2)知函数f(x)在区间[－4,0)∪(0,4]上是偶函数，且在(0,4]上是增函数，∴函数f(x)在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值为f(4)＝f(－4)＝2.
(4)∵4＝2＋2＝f(4)＋f(4)＝f(16)，∴原不等式转化为f(3x－2)≥f(16)．又∵函数f(x)为偶函数，且函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴原不等式又转化为|3x－2|≥16，即3x－2≥16或3x－2≤－16，∴不等式f(3x－2)≥4的解集为{x.
[点评] 对于抽象函数奇偶性、单调性的判断，定义法是一种常用手段．具体的解题策略是：首先通过赋值得到f(1)，f(0)，f(－1)之类的特殊自变量的函数值，然后再通过赋值构造f(x)与f(－x)或f(x2)与f(x1)之间的关系式进行函数奇偶性或单调性的判断．
课后作业(二十二)
复习巩固
一、选择题
1．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝x2 D．y＝2x
[解析] 易判断A、C为偶函数，B、D为奇函数，但函数y＝x2在(0，＋∞)上单调递增，所以选A.
[答案] A
2．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的表达式是( )
A．y＝x(x－2) B．y＝x(|x|＋2)
C．y＝|x|(x－2) D．y＝x(|x|－2)
[解析] 由x≥0时，f(x)＝x2－2x，
f(x)是定义在R上的奇函数得，当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x)＝x(－x－2)．
∴f(x)＝即f(x)＝x(|x|－2)．
[答案] D
3．若函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为( )
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．[1，＋∞)
[解析] 因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即该函数f(x)＝－2x2＋1，所以函数f(x)在(－∞，0]上单调递增．
[答案] A
4．f(x)是定义在R上的奇函数且单调递减，若f(2－a)＋f(4－a)<0，则a的取值范围是( )
A．a<1 B．a<3
C．a>1 D．a>3
[解析] ∵f(x)在R上为奇函数，
∴f(2－a)＋f(4－a)<0转化为f(2－a)<－f(4－a)＝f(a－4)．
又f(x)在R上单调递减，
∴2－a>a－4，得a<3.
[答案] B
5．奇函数f(x)在区间[3,6]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f(6)＋f(－3)的值为( )
A．10 B．－10
C．9 D．15
[解析] 由于f(x)在[3,6]上为增函数，f(x)的最大值为f(6)＝8，f(x)的最小值为f(3)＝－1，f(x)为奇函数，故f(－3)＝－f(3)＝1，∴f(6)＋f(－3)＝8＋1＝9.
[答案] C
二、填空题
6．已知y＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝________.
[解析] 因为g(x)＝f(x)＋2，g(1)＝1，所以1＝f(1)＋2，所以f(1)＝－1，又因为f(x)是奇函数，所以f(－1)＝1，则g(－1)＝f(－1)＋2＝3.
[答案] 3
7．设函数y＝f(x)是偶函数，它在[0,1]上的图象如图．则它在[－1,0)上的解析式为__________________．
[解析] 由题意知f(x)在[－1,0)上为一条线段，且过(－1,1)，(0,2)，设f(x)＝kx＋b(－1≤x<0)，代入解得k＝1，b＝2，所以f(x)＝x＋2(－1≤x<0)．
[答案] f(x)＝x＋2(－1≤x<0)
8．已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是________．
[解析] 由题意，知函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，所以其图象与x轴的四个交点也两两成对，关于y轴对称，即方程f(x)＝0的实根两两互为相反数，故其所有实根之和是0.
[答案] 0
三、解答题
9．已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－2x－1，求函数f(x)的解析式．
[解] 当x<0时，－x>0，
∴f(－x)＝(－x)2＋2x－1.
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－x2－2x＋1，
∵f(x)(x∈R)是奇函数，∴f(0)＝0.
∴所求函数的解析式为f(x)＝
10．设f(x)在R上是偶函数，在(－∞，0)上递减，若f(a2－2a＋3)>f(a2＋a＋1)，求实数a的取值范围．
[解] 由题意知f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
又a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0，
a2＋a＋1＝2＋>0，
且f(a2－2a＋3)>f(a2＋a＋1)，
所以a2－2a＋3>a2＋a＋1，解得a<.
综上，实数a的取值范围是.
综合运用
11．若f(x)满足f(－x)＝f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )
A．ff>f(2)，即f(2)0时，f(x)的递减区间是________．
[解析] 当x<0时，函数f(x)＝2x2＋x－1在上是递减的，又函数f(x)为奇函数，由奇函数图象的特征知，当x>0时，f(x)的递减区间是.
[答案]
14．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是________．
[解析] 由题意知f(－2)＝f(2)＝0，当x∈(－2,0)时，f(x)
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