江苏省南京河西外国语学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（含解析）

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ID：3-19946621

版本：苏教版（2019）

类型：试卷

地区：江苏省

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日期：2024-04-17

作者：21jy_145100707

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南京河西外国语学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题一．单选题（共8小题,每题5分，共40分） 1．已知复数z满足（1- i）?z＝2-4 i，其中i为虚数单位，则复数z的虚部是（　　） A．2 B．1 C．-2 D．i 2．已知向量＝（2，1），＝（1，x），若+2与垂直，则x的值为（　　） A．7 B．﹣7 C． D．﹣false 3．在△ABC中，c＝2bcosB，．则∠B＝（　　） A． B． C． D．或 4．如图是水平放置的△ABC的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点，∠A′D′C′＝45°，A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中的线段AB，AD，AC，那么（　　） A．最短的是AC B．最短的是AB C．最短的是AD D．无法确定谁最短 5．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE：EB＝AF：FD＝1：3，H，G分别为BC，CD的中点，则（　　） A．BD∥平面EFGH且EFGH为矩形 B．EF∥平面BCD且EFGH为梯形 C．HG∥平面ABD且EFGH为菱形 D．HE∥平面ADC且EFGH为平行四边形 6．已知，求＝（　　） A． B． C． D． 7．已知向量，满足||＝4，||＝5，?＝4，则cos＜，＞＝（　　） A． B． C． D． 8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，bcos A＝c﹣a，点D在AC上，2AD＝DC，BD＝2，则△ABC的面积的最大值为（　　） A． B． C．4 D．6 二．多选题（共3小题，共18分） 9．下列选项中，与的值相等的是（　　） A．2cos215o﹣1 B．cos18°cos42°﹣sin18°sin42° C．2sin15°sin75° D． 10．已知复数z满足|z|＝|z﹣1|＝1，且复数z对应的点在第一象限，则下列结论正确的是（　　） A．复数z的虚部为 B． C．z2＝z﹣1 D．复数z的共轭复数为 11．在△ABC中，下列命题正确的是（　　） A．若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰或直角三角形 B．若sinA＝cosB，则△ABC为直角三角形 C．若sin2A+sin2B+sin2C＜2，则△ABC为钝角三角形 D．若cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）＝1，则△ABC为正三角形三．填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，cosA＝，则其外接圆的面积为　　． 13．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为BC、CC1的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面积为　　． 14．如图，半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝，P是弧AB上的一点，且满足OP⊥OB，M，N分别是线段OA，OB上的动点，则的最大值为　　．四．解答题（共5小题，共77分） 15．（13分）若复数z＝（m2+m﹣6）+（m2﹣m﹣2）i（m∈R，i是虚数单位）．（1）若z是纯虚数，求m的值；（2）若z在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围． 16．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别AB，PD的中点，且PA＝AD．（1）求证：AF∥平面PEC；（2）求证：AF⊥平面PCD． 17．（15分）已知向量＝（cosα，sinβ+2sinα），＝（sinα，cosβ﹣2cosα），且∥．（1）求cos（α+β）的值；（2）若α，β∈（0，），且tanα＝，求2α+β的值． 18．（17分）在平行四边形ABCD中，M，N分别是线段AB，BC的中点．（1）令＝，＝，试用向量，表示，；（2）若DM＝1，DN＝2，∠MDN＝，求?的值． 19．（17分）已知O为坐标原点，对于函数f（x）＝asinx+bcosx，称向量为函数f（x）的相伴特征向量，同时称函数f（x）为向量的相伴函数．（1）若为的相伴特征向量，求实数m的值；（2）记向量的相伴函数为f（x），求当且时sinx的值；（3）已知A（﹣2，3），B（2，6），h（x）为（1）中函数，，请问在y＝φ（x）的图象上是否存在一点P，使得，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．南京河西外国语学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题参考答案与试题解析一．选择题（共8小题） 1．已知复数z满足（1- i）?z＝2-4 i，其中i为虚数单位，则复数z的虚部是（　　） A．2 B．1 C．-2 D．i 【解答】解：（1- i）?z＝2-4 i， Z=2+i． ∴复数z的虚部是1．故选：B． 2．已知向量＝（2，1），＝（1，x），若+2与垂直，则x的值为（　　） A．7 B．﹣7 C． D．﹣false 【解答】解：；+2=（4,1+2x） ∵+2与垂直； ∴8+1+2x=0； ∴x＝﹣false．故选：D． 3．在△ABC中，c＝2bcosB，．则∠B＝（　　） A． B． C． D．或【解答】解：∵c＝2bcosB，则由正弦定理可得sinC＝2sinBcosB＝sin2B， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得．故选：C． 4．如图是水平放置的△ABC的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点，∠A′D′C′＝45°，A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中的线段AB，AD，AC，那么（　　） A．最短的是AC B．最短的是AB C．最短的是AD D．无法确定谁最短【解答】解：A′D′∥y′轴，根据斜二测画法规则，在原图形中应有AD⊥BC，又AD为BC边上的中线， ∴△ABC为等腰三角形，AD为BC边上的高，则有AB、AC相等且最长，AD最短．故选：C． 5．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE：EB＝AF：FD＝1：3，H，G分别为BC，CD的中点，则（　　） A．BD∥平面EFGH且EFGH为矩形 B．EF∥平面BCD且EFGH为梯形 C．HG∥平面ABD且EFGH为菱形 D．HE∥平面ADC且EFGH为平行四边形【解答】解：在平面ABD内，∵AE：EB＝AF：FD＝1：3， ∴EF∥BD．又BD?平面BCD，EF?平面BCD， ∴EF∥平面BCD．又在平面BCD内， ∵H，G分别是BC，CD的中点， ∴HG∥BD．∴HG∥EF．又＝＝，＝＝， ∴EF≠HG．在四边形EFGH中，EF∥HG且EF≠HG， ∴四边形EFGH为梯形．故选：B． 6．已知，求＝（　　） A． B． C． D．【解答】解：因为，所以＝cos[（2α+）﹣π]＝﹣cos（2α+）＝2sin2（）﹣1＝2×﹣1＝﹣．故选：D． 7．已知向量，满足||＝4，||＝5，?＝4，则cos＜，＞＝（　　） A． B． C． D．【解答】解：向量，满足||＝4，||＝5，?＝4，可得＝＝＝7，＝＝16+4＝20， cos＜，＞＝＝＝．故选：A． 8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，bcos A＝c﹣a，点D在AC上，2AD＝DC，BD＝2，则△ABC的面积的最大值为（　　） A． B． C．4 D．6 【解答】解：在△ABC中，bcos A＝c﹣a，由正弦定理可得sinBcosA＝sinC﹣sinA，可得sinBcosA＝sin（A+B）﹣sinA＝sinAcosB+cosAsinB﹣sinA，即sinAcosB＝sinA，由于sinA≠0，所以cosB＝，由B∈（0，π），可得B＝，设AD＝x，则CD＝2x，AC＝3x，在△ADB，△BDC，△ABC中分别利用余弦定理，可得cos∠ADB＝，cos∠CDB＝，cos∠ABC＝，由于cos∠ADB＝﹣cos∠CDB，可得6x2＝a2+2c2﹣12，再根据cos∠ABC＝，可得a2+c2﹣9x2＝ac，所以4c2+a2+2ac＝36，根据基本不等式可得4c2+a2≥4ac，所以ac≤6，当且仅当a＝2，c＝时等号成立，所以△ABC的面积S＝acsin∠ABC＝ac≤．故选：A．二．多选题（共3小题）（多选）9．下列选项中，与的值相等的是（　　） A．2cos215o﹣1 B．cos18°cos42°﹣sin18°sin42° C．2sin15°sin75° D．【解答】解：对于A，2cos215o﹣1＝cos30°＝；对于B，cos18°cos42°﹣sin18°sin42°＝cos（18°+42°）＝cos60°＝；对于C，2sin15°sin75°＝2sin15°cos15°＝sin30°＝；对于D，＝tan（30°+15°）＝tan45°＝1．故选：BC．（多选）10．已知复数z满足|z|＝|z﹣1|＝1，且复数z对应的点在第一象限，则下列结论正确的是（　　） A．复数z的虚部为 B． C．z2＝z﹣1 D．复数z的共轭复数为【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），由|z|＝|z﹣1|＝1，得，解得或（舍去）． ∴z＝，复数z的虚部为，故A错误；＝，故B正确；＝＝，故C正确；，故D错误．故选：BC．（多选）11．在△ABC中，下列命题正确的是（　　） A．若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰或直角三角形 B．若sinA＝cosB，则△ABC为直角三角形 C．若sin2A+sin2B+sin2C＜2，则△ABC为钝角三角形 D．若cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）＝1，则△ABC为正三角形【解答】解：选项A，由sin2A＝sin2B，知2A＝2B或2A+2B＝π，所以A＝B或A+B＝，即△ABC为等腰或直角三角形，故A正确；选项B，sinA＝cosB＝sin（﹣B），因为A，B∈（0，π），所以A＝﹣B或A+（﹣B）＝π，即A+B＝或A﹣B＝，所以△ABC为直角或钝角三角形，即选项B错误；选项C，由正弦定理知，＝＝，所以sinA＝，sinC＝，因为sin2A+sin2B+sin2C＜2，所以（）2+sin2B+（）2＝sin2B＜2，又sin2B≤1，所以＜2，即a2+c2＜b2，由余弦定理知，cosB＝＜0，所以角B为钝角，即△ABC为钝角三角形，故选项C正确；选项D，因为cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）＝1，所以由三角函数的有界性可知，三个都是1或者两个﹣1，一个1，当三个都是1时，有A＝B＝C，此时△ABC为正三角形；当两个﹣1，一个1时，例如A﹣B＝π，不符合A，B∈（0，π），舍去，综上，△ABC是正三角形，即选项D正确．故选：ACD．三．填空题（共3小题） 12．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，cosA＝，则其外接圆的面积为　　．【解答】解：根据题意，由0＜A＜π，cosA＝，得sinA＝＝；又根据余弦定理得BC2＝AB2+AC2﹣2|AB||AC|cosA＝4+9﹣2×2×3×＝5，所以BC＝，则2R＝＝×＝3，解得R＝，所以△ABC外接圆面积为S＝πR2＝．故答案为：． 13．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为BC、CC1的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面积为　　．【解答】解：如图，把截面AEF补形为四边形AEFD1，连接AD1，则EF∥AD1，可得等腰梯形AEFD1为平面AEF截正方体所得的截面图形，由正方体ABCD﹣A1B1G1D1的棱长为1，得AD1＝，EF＝， AE＝＝，则E到AD1的距离为＝， ∴S四边形AEFD1＝（+）×＝，故答案为：． 14．如图，半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝，P是弧AB上的一点，且满足OP⊥OB，M，N分别是线段OA，OB上的动点，则的最大值为　1　．【解答】解：由题可得，以O为坐标原点，OA为x轴，建立平面直角坐标系，则A（1，0），B（﹣，），因为OP⊥OB，所以P（，），设M（a，0），N（﹣λ，λ），所以＝（a﹣，﹣），＝（﹣﹣，λ），所以＝（a﹣）（﹣﹣）﹣（λ）＝﹣λa﹣a+λ﹣λ+1 ＝﹣λa﹣a+1，因为0≤a≤1，0≤λ≤1，所以可知﹣λa﹣a+1≤1，所以的最大值为1．故答案为：1．四．解答题（共5小题） 15．若复数z＝（m2+m﹣6）+（m2﹣m﹣2）i（m∈R，i是虚数单位）．（1）若z是纯虚数，求m的值；（2）若z在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围．【解答】解：（1）∵z是纯虚数，∴，解得，m＝﹣3， ∴m的值为﹣3；（2）∵z在复平面内对应的点在第二象限，∴，解得，﹣3＜m＜﹣1， ∴m的取值范围是（﹣3，﹣1）． 16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别AB，PD的中点，且PA＝AD．（1）求证：AF∥平面PEC；（2）求证：AF⊥平面PCD．【解答】证明：（1）设G是PC的中点，由于F是PD的中点，所以，由于E是AB的中点，四边形ABCD是矩形，所以，所以GF∥AE，GF＝AE，所以四边形AFGE是平行四边形，所以AF∥EG，因为AF?平面PEC，EG?平面PEC，所以AF∥平面PEC．（2）由于PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD，因为CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA、AD?平面PAD，所以CD⊥平面PAD，因为AF?平面PAD，所以CD⊥AF，因为PA＝AD，F是PD的中点，所以AF⊥PD，因为PD∩CD＝D，PD、CD?平面PCD，所以AF⊥平面PCD． 17．已知向量＝（cosα，sinβ+2sinα），＝（sinα，cosβ﹣2cosα），且∥．（1）求cos（α+β）的值；（2）若α，β∈（0，），且tanα＝，求2α+β的值．【解答】解：（1）因为∥，所以cosα（cosβ﹣2cosα）﹣sinα（sinβ+2sinα）＝0，所以（cosαcosβ﹣sinαsinβ）＝2（sin2α+cos2α）＝2，所以cos（α+β）＝2，即cos（α+β）＝．（2）因为α，β∈（0，），所以0＜α+β＜π，因为cos（α+β）＝，所以sin（α+β）＝，所以tan（α+β）＝，因为tanα＝，所以tan（2α+β）＝＝＝1，因为0＜α+β＜π，且cos（α+β）＝＞0，所以0，因为，所以0＜2α+β＜π．因为tan（2α+β）＝1，所以2α+β＝． 18．在平行四边形ABCD中，M，N分别是线段AB，BC的中点．（1）令＝，＝，试用向量，表示，；（2）若DM＝1，DN＝2，∠MDN＝，求?的值．【解答】解：＝﹣＝﹣＝﹣，＝+＝+＝﹣＝﹣．（2）由（1）知＝﹣，＝﹣．所以，又?＝||||cos∠MDN＝1，所以?＝（﹣）?（﹣）＝||2﹣?+||2 ＝﹣+＝． 19．已知O为坐标原点，对于函数f（x）＝asinx+bcosx，称向量为函数f（x）的相伴特征向量，同时称函数f（x）为向量的相伴函数．（1）若为的相伴特征向量，求实数m的值；（2）记向量的相伴函数为f（x），求当且时sinx的值；（3）已知A（﹣2，3），B（2，6），h（x）为（1）中函数，，请问在y＝φ（x）的图象上是否存在一点P，使得，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1），又＝（﹣，1）为的相伴特征向量， ∴m＝﹣2；（2）∵向量的相伴函数为，又， ∴，∵，∴， ∴， ∴；（3）由题可知， ∴，设，∵A（﹣2，3），B（2，6）， ∴，，又∵，∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，又∵， ∴当且仅当x＝0时，和同时等于， ∴在y＝h（x）图像上存在点P（0，2），使得．