2023-2024学年山东省泰山区博文学校九年级（上）期中数学试卷(含解析)

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ID：3-19920765

版本：人教版

类型：试卷

地区：山东省

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日期：2024-04-16

作者：nazx王梓锋

星级：3

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2023-2024学年山东省泰山区博文学校九年级（上）期中数学试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型．如图所示，它的底面半径OB＝6cm，高OC＝8cm．则这个圆锥漏斗的侧面积是（　　） A．30cm2 B．30πcm2 C．60πcm2 D．120cm2 3．（3分）若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x﹣13的解为（　　） A．2 B．4 C．2和4 D．无解 4．（3分）下列图象中，当ab＞0时，函数y＝ax2与y＝ax+b的图象是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的正半轴交于点A（x1，0），点B（x2，0），与y的正半轴交于点C（0，y1）且x1＝y1，x2＝2x1，那么b的值为（　　） A． B．﹣ C． D．﹣ 6．（3分）a、b为两个不等实数，，则（a﹣1）（b﹣1）的值等于（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 7．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC＝∠ABC，AC＝2，则的长度为（　　） A． B．2π C． D． 8．（3分）矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以AB为直径在矩形内作半圆．DE切⊙O于点E（如图），则tan∠CDF的值为（　　） A． B． C． D． 9．（3分）如图，△DEC是由Rt△ABC绕点C顺时针旋转得到的图形，若点E恰好落在AB上，且∠A＝20°，DE与AC交于点F，则∠AFD的度数是（　　） A．70° B．60° C．50° D．40° 10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c大致图象如图所示，其中顶点为（2，﹣9a），下列结论①abc＞0；②4a﹣2b+c＞0；③若方程a（x﹣5）（x+1）＝﹣1有两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2，其中正确的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）在平面直角坐标系中，点（a，5）关于原点对称的点的坐标是（1，b+1），则点（a，b）的坐标是　　． 12．（3分）半径为5的⊙O中，两平行弦AB、CD的长度分别为6、8，则两平行弦AB、CD间的距离等于　　． 13．（3分）抛物线y＝x2+x+2的图象上有三个点（﹣3，a）、（﹣2，b）、（3，c），则a、b、c的大小关系是　　（用“＜”连接）． 14．（3分）如图，有一个圆锥形粮堆，正三角形ABC的边长为6m，粮堆母线AC的中点P处有一只鼠正在吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面P处捉老鼠，小猫所经过的最短路程是　　m． 15．（3分）腰长为4的等腰直角△ABC放在如图所示的平面直角坐标系中，点A，C均在y轴上，C（0，2），∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，平行于y轴的直线x＝﹣2交线段AB于点D，点P是直线x＝﹣2上一动点，且在点D的上方．当S△ABP＝4时，以PB为直角边作等腰直角△BPM，则所有符合条件的点M的坐标为　　．三．解答题（共7小题，满分55分） 16．（6分）在6×6的网格中建立如图的平面直角坐标系，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，2），B（4，0），C（5，2），⊙Q是ABC的外接圆，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按要求完成下列问题：（1）画圆心Q；（2）画弦BD，使BD平分∠ABC；（3）画弦DP，使DP＝AB；（4）弦BD的长为　　． 17．（9分）如图，△ABC中A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2）．（1）将△ABC各点的横坐标增加4个单位长度，纵坐标保持不变，得△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）将△ABC各点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘以﹣1，得△A2B2C2，画出△A2B2C2；（3）将△A2B2C2各点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘以﹣1，得△A3B3C3，画出△A3B3C3；（4）在△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3中，△　　与△　　成轴对称，对称轴是　　；△　　与△　　成中心对称，对称中心的坐标是　　． 18．（6分）解下列方程：（1）2x2+x﹣6＝0；（2）（x﹣1）2﹣（x﹣1）＝12． 19．（6分）一个不透明的袋子中装有分别标注着汉字“文”、“明”、“广”、“州”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．（1）若从中任取一球，请直接写出球上的汉字恰好是“明”的概率为　　；（2）若从袋中任取一球，记下汉字后放回袋中，然后再从中任取一球，再次记下球上的汉字，请用画树状图或列表的方法，求两次的汉字恰好组成“文明”或“广州”这两个词的概率． 20．（9分）某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为W元．（1）该农户想要每天获得150元得销售利润，销售价应定为每千克多少元？（2）如果物价部门规定这种农产品的销售价不高于每千克28元，销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 21．（8分）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（60°＜α＜180°）．点D是BC边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转α到线段AE，连接BE．（1）求证：A，E，B，D四点共圆；（2）如图2，当AD＝CD时，⊙O是四边形AEBD的外接圆，求证：AC是⊙O的切线． 22．（11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接PC．（1）求直线BC的解析式；（2）抛物线对称轴与BC交于点D，点P为直线BC下方对称轴右侧抛物线上的一点，连接PB，PD．当△BDP的面积最大时，Q从点P出发，先沿适当的路径运动到y轴上的点M处，再沿适当的路径运动到抛物线对称轴上点N处，最后沿适当的路径运动到点B处停止．求点Q经过的最短路径的长；（3）将△BOC绕点O顺时针旋转60°得到△B'OC'，点B，C的对应点分别为B'，C′，点E为直线BC上一点，连接B'E，C'E．当△B'C'E为等腰三角形时，求符合条件的点E的坐标． 2023-2024学年山东省泰山区博文学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意．故选：D． 2．解：∵OB＝6，OC＝8， ∴BC＝＝10cm， ∴圆锥的底面周长是2π×6＝12πcm， ∴这个漏斗的侧面积为S＝×BC×12π＝60π（cm2）．故选：C． 3．解：∵二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2， ∴， ∴b＝﹣4，则x2+bx﹣5＝2x﹣13可化为：x2﹣4x﹣5＝2x﹣13，解得x1＝2，x2＝4．故选：C． 4．解：A、对于直线y＝ax+b，得a＞0，b＜0，与ab＞0矛盾，所以A选项错误； B、由抛物线y＝ax2开口向上得到a＞0，而由直线y＝ax+b经过第二、四象限得到a＜0，所以B选项错误； C、由抛物线y＝ax2开口向下得到a＜0，而由直线y＝ax+b经过第一、三象限得到a＞0，所以C选项错误； D、由抛物线y＝ax2开口向下得到a＜0，则直线y＝ax+b经过第二、四象限，由于ab＞0，则b＜0，所以直线与y轴的交点在x轴下方，所以D选项正确．故选：D． 5．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的正半轴交于点A（x1，0），点B（x2，0），与y的正半轴交于点C（0，y1）且x1＝y1，x2＝2x1， ∴c＝x1， ∴， ∴b＝﹣3ax1，代入第一个方程得 b＝﹣．故选：B． 6．解：根据题意得：a，b是方程x﹣＝1的两个根，即：x2﹣x﹣1＝0， ∴a+b＝1，ab＝﹣1， ∴原式＝ab﹣（a+b）+1 ＝﹣1﹣1+1 ＝﹣1．故选：A． 7．解：∵对的圆周角是∠D，对的圆心角是∠AOC， ∴∠D＝∠AOC， ∵∠AOC＝∠ABC， ∴∠D＝ABC， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ABC+∠D＝180°， ∴ABC+∠ABC＝180°，解得：∠ABC＝120°， ∴∠AOC＝∠ABC＝120°，过O作OE⊥AC于E，则∠OEA＝90°， ∵OE过O，AC＝2， ∴AE＝CE＝AC＝， ∴OA＝OC，OE⊥AC，∠AOC＝120°， ∴∠OAE＝30°， ∴OE＝AE×tan30°＝＝1， ∴OA＝2OE＝2， ∴的长度是＝，故选：C． 8．解：如图，设FC＝x，AB的中点为O，连接DO、OE． ∵AD、DE都是⊙O的切线， ∴DA＝DE＝3．又∵EF、FB都是⊙O的切线， ∴EF＝FB＝3﹣x． ∴在Rt△DCF中，由勾股定理得，（6﹣x）2＝x2+42，解得，x＝，则tan∠CDF＝＝＝．故选：B． 9．解：∵∠A＝20°，∠ACB＝90°， ∴∠B＝70°， ∵△DEC是由△ABC绕点C顺时针旋转得到的图形， ∴CB＝CE，∠B＝∠DEC＝70°， ∴∠B＝∠CEB＝70°， ∴∠AEF＝40°， ∴∠AFD＝∠A+∠AEF＝60°，故选：B． 10．解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴在y轴右侧， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0， ∴abc＜0，故①错误， ∵抛物线的顶点为：（2，﹣9a）， ∴，， ∴b＝﹣4a，c＝﹣5a， ∴抛物线为：y＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣5）（x+1）， ∴抛物线与x轴的交点坐标为：（5，0），（﹣1，0）， ∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，故②错误，方程a（x﹣5）（x+1）＝﹣1的解可看作抛物线y＝a（x﹣5）（x+1）与直线y＝﹣1的交点，如图， ∴x1＜﹣1＜5＜x2，故③正确，故选：B．二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．解：∵点（a，5）关于原点对称的点的坐标是（1，b+1）， ∴a＝﹣1，b+1＝﹣5，解得：b＝﹣6，故点（a，b）的坐标是：（﹣1，﹣6）．故答案为：（﹣1，﹣6）． 12．解：当弦AB与CD在圆心O的异侧时，如图1所示，过O作EF⊥AB，由AB∥CD，得到EF⊥CD，则E为AB中点，F为CD中点，即AE＝BE＝AB＝3，CF＝DF＝CD＝4，在Rt△AOE中，OA＝5，AE＝3，根据勾股定理得：OE＝＝4，在Rt△COF中，OC＝5，CF＝4，根据勾股定理得：OF＝＝3，此时两平行弦AB、CD间的距离EF＝OE+OF＝4+3＝7；当弦AB与CD在圆心O的同侧时，如图2所示，同理可得EF＝OE﹣OF＝4﹣3＝1，综上，两平行弦AB、CD间的距离等于7或1．故答案为：7或1． 13．解：把（﹣3，a）、（﹣2，b）、（3，c）分别代入抛物线y＝x2+x+2得， a＝9﹣3+2＝8，b＝4﹣2+2＝4，c＝9+3+2＝14；因此有b＜a＜c．故答案为：b＜a＜c． 14．解：∵△ABC为正三角形， ∴BC＝6， ∴l＝2π×3＝6π， ∵底面积圆的周长等于展开后扇形的弧长，得：＝6π， ∴n＝180°，则∠B′AC＝90°， ∴B′P＝＝3（m），故答案为：3． 15．解：如图， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，平行于y轴的直线x＝﹣2交线段AB于点D，C（0，2）， ∴D（﹣2，4）， ∵S△ABP＝4， ∴PD?BC＝4， ∴PD＝2， ∴P（﹣2，6），以PB为直角边作等腰直角△BPM1，作M1R⊥PD于R， ∵PM1＝PB，∠M1RP＝∠PSB＝90°，∠RM1P＝90°﹣∠RPM1＝∠SPB， ∴△RM1P≌△SPB（AAS）， ∴M1R＝PS＝4，RP＝BS＝2， ∴M1（﹣6，8）；以PB为直角边作等腰直角△BPM2，同理可得M2（2，4）；以PB为直角边作等腰直角△PBM3，同理可得M3（﹣8，4）；以PB为直角边作等腰直角△PBM4，同理可得M4（0，0）．故答案为：（﹣6，8）或（2，4）或（﹣8，4）或（0，0）．三．解答题（共7小题，满分55分） 16．解：（1）如图，点Q即为所求；（2）如图，线段BD即为所求；（3）如图，线段DP或DP′即为所求；（4）由作图可知，D（，），B（4，0）， ∴BD＝＝．故答案为：． 17．解：（1）（2）（3）见右图．（4）△ABC与△A2B2C2，x轴或直线y＝0； △ABC与△A3B3C3，原点O． 18．解：（1）2x2+x﹣6＝0，因式分解，得（2x﹣3）（x+2）＝0，于是，得 2x﹣3＝0或x+2＝0，解得x1＝，x2＝﹣2．（2）（x﹣1）2﹣（x﹣1）＝12，（x﹣1）2﹣（x﹣1）﹣12＝0，因式分解，得（x﹣1﹣4）（x﹣1+3）＝0，于是，得 x﹣5＝0或x+2＝0，解得x1＝5，x2＝﹣2． 19．解：（1）若从中任取一球，球上的汉字恰好是“明”的概率为，故答案为：；（2）画树状图如图：共有16个等可能的结果，两次的汉字恰好组成“文明”或“广州”这两个词的结果有4个， ∴两次的汉字恰好组成“文明”或“广州”这两个词的概率为＝． 20．解：（1）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+80）＝150，解得：x1＝25，x2＝35，答：该农户想要每天获得150元得销售利润，销售价应定为每千克25元或35元；（2）由题意得：W＝（x﹣20）（﹣2x+80）＝﹣2（x﹣30）2+200， ∵a＝﹣2， ∴抛物线开口向下，当x＜30时，y随x的增大而增大，又由于这种农产品的销售价不高于每千克28元 ∴当x＝28时，W最大＝﹣2×（28﹣30）2+200＝192（元）． 21．证明：（1）由旋转的性质可得AE＝AD，∠DAE＝α， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠BAD＝∠DAE﹣∠BAD，即∠BAE＝∠CAD，又∵AB＝AC， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴∠AEB＝∠ADC， ∵∠ADC+∠ADB＝180°， ∴∠AEB+∠ADB＝180°， ∴A、B、D、E四点共圆；（2）如图所示，连接OA，OD， ∵AB＝AC，AD＝CD， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠DAC， ∵⊙O是四边形AEBD的外接圆， ∴∠AOD＝2∠ABC， ∴∠AOD＝2∠ABC＝2∠DAC， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵∠OAD+∠ODA+∠AOD＝180°， ∴2∠DAC+2∠OAD＝180°， ∴∠DAC+∠OAD＝90°，即∠OAC＝90°， ∴OA⊥AC，又∵OA是⊙O的半径， ∴AC是⊙O的切线． 22．解：（1）∵抛物线y＝x2﹣x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，当x＝0时，y＝﹣3，当y＝0时，x2﹣x﹣3＝0，解得：x1＝﹣，x2＝3， ∴A（﹣，0），B（3，0），C（0，﹣3），设直线BC解析式为y＝kx+b，将B（3，0），C（0，﹣3）代入，得：，解得：， ∴直线BC解析式为y＝x﹣3；（2）如图1，过点P作PG∥y轴，由（1）知：直线BC解析式为y＝x﹣3，B（3，0），设P（a，a2﹣a﹣3）， ∴G（a，a﹣3）， ∴PG＝a﹣3﹣（a2﹣a﹣3）＝﹣a2+a， ∵y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣）2﹣4， ∴抛物线对称轴为x＝， ∴点D的横坐标为， S△PBD＝×（3﹣）×PG＝（﹣a2+a）＝﹣（a﹣）2+， ∵0＜a＜3，﹣＜0， ∴当a＝时，S△PBD最大，此时点P（，﹣），如图2，作点P关于y轴的对称点P′（﹣，﹣），连接P′B，交y轴于点M，交抛物线对称轴于点N，连接PM，点Q沿P→M→N→B运动，M所走的路径最短，即最短路径的长为PM+MN+NB的长， ∵P、P′关于y轴对称， ∴PM＝P′M， ∴PM+MN+NB＝P′M+MN+NB＝P′B，作P′H⊥x轴于点H，P′B＝＝＝， ∴点Q经过的最短路径的长为PM+MN+AN＝；（3）如图3，过C′作C′R⊥x轴于点R，作B′T⊥y轴于点T，设E（m，m﹣3）， ∵将△BOC绕点O顺时针旋转60°得到△B'OC'， ∴∠COC′＝∠BOB′＝60°，OC′＝OC＝3，OB′＝OB＝3， ∴∠C′OR＝∠B′OT＝30°， ∵∠ORC′＝∠OTB′＝90°， ∴C′R＝，OR＝，B′T＝，OT＝， ∴C′（﹣，﹣），B′（，﹣）， ∴B′C′2＝BC2＝OB2+OC2＝（3）2+32＝36， C′E2＝[m﹣（﹣）2+[m﹣3﹣（﹣）]2＝m2+2m+9， B′E2＝（m﹣）2+[m﹣3﹣（﹣）]2＝m2﹣2m+9， ∵△B'C'E为等腰三角形， ∴B′C′＝C′E或B′C′＝B′E或C′E＝B′E，当B′C′＝C′E时，36＝m2+2m+9，解得：m＝＝， ∴E（，）或（，）；当B′C′＝B′E时，36＝m2﹣2m+9，解得：m＝＝， ∴E（，）或（，），当C′E＝B′E时，m2+2m+9＝m2﹣2m+9，解得：m＝0，当m＝0时，点B′，C′，E三点在一条直线上，不能构成三角形．综上所述，点E的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．第1页（共1页）