4.2 第1课时 指数函数的概念、图象和性质课件——高中数学人教A版（2019）必修第一册
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| 版本：人教A版（2019） |
| 类型： 课件 |
| 地区：全国 |
| 文件：1022.5KB |
| 日期：2024-04-15 |
| 作者：21jy_202489346 |
| 星级：2 |
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内容预览
4.2 指数函数
4.2.1 指数函数的概念
4.2.2 指数函数的图象和性质
学习目标
1.通过指数函数的实际背景,理解指数函数的概念,提升数学抽象素养.
2.通过借助计算工具画出指数函数的图象,归纳指数函数的性质,掌握指数函数图象和性质的简单应用,提升直观想象和逻辑推理素养.
3.通过指数函数的实际应用,培养数学建模素养.
第1课时 指数函数的概念、
图象和性质
1
知识梳理
自主探究
拿一张报纸,将这张报纸连续对折,折叠次数x与对应的层数y、对折后的面积S(设原面积为1)之间的对应关系如表:
探究:对应的层数y与折叠次数x之间存在怎样的函数关系?对折后的面积S与折叠次数x之间呢?你得到的两个函数解析式有什么共同特征?
1.指数函数的概念
一般地,函数 叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.
思考1:为什么规定指数函数的底数a>0,且a≠1?
提示:(1)若a<0,则对于x的某些数值,可使ax无意义.
(2)若a=0,则当x>0时,ax=0;当x≤0时,ax无意义.
(3)若a=1,则对于任何x∈R,ax=1,没有研究的必要性.
为了避免上述各种情况,所以规定a>0,且a≠1.
y=ax(a>0,且a≠1)
2.指数函数的图象和性质
a>1
00时, ;
当x<0时, .
当x>0时, ;
当x<0时, .
既不是奇函数,也不是偶函数
R
(0,+∞)
上方
(0,1)
增
减
y>1
01
提示:关于y轴对称.
2
师生互动
合作探究
[例1] (1) 下列函数:①y=x2;②y=(-2)x;③y=2x+1;④y=(a-1)x(a>1且a≠2).其中指数函数的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
指数函数的概念
√
解析:(1)①函数y=x2是二次函数;②函数y=(-2)x底数小于0,故不是指数函数;③函数y=2x+1的指数为x+1,故不是指数函数;④因为a>1且a≠2,可得出a-1>0且a-1≠1,则y=(a-1)x是指数函数.故选A.
A.-3 B.9 C.27 D.81
√
判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合y=ax(a>0,且a≠1)这一结构形式,其具备的特点为
针对训练1:(1)若y=(a2-3a+3)ax是指数函数,则有( )
A.a=1或2 B.a=1
C.a=2 D.a>0且a≠1
√
(2)若函数f(x)是指数函数,且f(2)=2,则f(x)等于( )
√
指数函数的图象
角度1 图象过定点问题
(-1,3)和(2,3)
解决指数型函数图象过定点问题的思路
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象过定点(0,1),据此,可解决形如y=k·ax+c+b(k≠0,a>0,且a≠1)的函数图象过定点的问题,即令x=-c,得y=k+b,则函数图象过定点
(-c,k+b).
针对训练2:已知常数a>0且a≠1,若无论a取何值,函数y=ax-b+m(b,m为实数)的图象过定点(1,3),则b= ,
m= .?
解析:y=ax-b+m,当x=b时,y=1+m,
故函数过定点(b,1+m),即b=1,m=2.
1
2
角度2 指数函数图象的识别
[例3] 已知函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的大致图象如图所示,则下列不等式一定成立的是( )
A.b+d>a+c B.b+db+c D.a+dd>1>a>b>0,
所以b+d0,且a≠1)的图象经过第一、第三、第四象限,则必有( )
A.00 B.01,b<0 D.a>1,b>0
√
解析:法一 由指数函数y=ax(a>1)图象的性质知函数y=ax(a>1)的图象过第一、第二象限,且恒过点(0,1),而函数y=ax-(b+1)的图象是由y=ax的图象向下平移(b+1)个单位长度得到的,如图,若函数y=ax-(b+1)的图象过第一、第三、第四象限,则a>1,且b+1>1,从而a>1,且b>0.故选D.
法二 由函数是增函数知a>1,又x=0时,
f(0)<0知b>0.故选D.
根据函数图象特征,确定指数型函数y=ax+b+c(a>0,且a≠1)中的参数,可借助图象的升、降确定a的范围,利用函数图象与y轴的交点,确定c的范围,也可利用图象的平移变化确定c的范围.
针对训练4:(1)若函数y=ax+b的部分图象如图所示,则
( )
A.01,-11,00,且a≠
1)和一次函数y=ax+a的图象关系可能是( )
√
解析:(2)一次函数y=ax+a的图象与x轴交于(-1,0),与y轴交于(0,a),故排除B选项;
对于A选项,y=ax+a中a>1,而y=ax中01,故D选项不正确;
对于C选项,y=ax+a中a>1,y=ax中的a>1,故C选项正确.故选C.
[例5] 求下列函数的定义域和值域.
与指数函数有关的定义域、值域问题
(4)y=4x+2x+1+3.
解:(4)显然定义域为R.
由题意,得y=4x+2x+1+3=(2x+1)2+2,
由于2x>0,
所以(2x+1)2>1,
所以y=4x+2x+1+3的值域是(3,+∞).
(1)对于y=af(x)这类函数:
①定义域是指使f(x)有意义的x的取值范围.
②值域问题,应分以下两步求解:
a.由定义域求出u=f(x)的值域;
b.利用指数函数y=au的单调性求得此函数的值域.
(2)利用指数函数y=ax的定义域和值域求与之有关的初等函数的定义域与值域时的方法如下.
①由于指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的定义域是R,所以函数y=af(x)(a>0,且a≠1)与函数f(x)的定义域相同,利用指数函数的单调性求值域.
②形如f(x)=k·a2x+m·ax+t(a>0,且a≠1,k,m≠0)型函数的值域,常用换元法转化为二次函数在给定区间上的最值问题.
解析:(1)由题意得3x-27≥0,即3x≥33,解得x≥3.
故选C.
√
(2)下列函数中,值域为(0,+∞)的函数是( )
√
(3)已知函数f(x)=4x-2x+1+4,x∈[-1,1],则函数y=f(x)的值域为( )
√
√
1.若指数函数y=f(x)的图象过点(2,4),则f(3)的值为
( )
A.4 B.8
C.16 D.1
√
1
2
3
4
1
2
3
4
解析:设指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1),又由函数的图象经过点(2,4),则a2=4,
解得a=2或a=-2(舍去),即f(x)=2x,所以f(3)=23=8.故选B.
A.原点对称 B.x轴对称
C.y轴对称 D.直线y=-x对称
1
2
3
4
√
1
2
3
4
1
2
3
4
√
3.函数f(x)=ax+1-2(a>0,且a≠1)的图象恒过的点为
( )
A.(-1,-1) B.(-1,0)
C.(0,-1) D.(-1,-3)
1
2
3
4
解析:令x+1=0,则x=-1,f(-1)=-1,
所以函数f(x)=ax+1-2(a>0,且a≠1)的图象恒过的点为(-1,-1).
故选A.
A.(-∞,0) B.(-∞,0]
C.[0,+∞) D.(0,+∞)
1
2
3
4
√
1
2
3
4
[例1] 函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与y=2x的图象关于y轴对称,则f(x)=( )
A.2x+1 B.2x-1
C.2-x-1 D.2-x+1
√
[例2] (多选题)设指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),则下列等式中不正确的是( )
√
√
[例3] (多选题)已知实数a,b满足等式3a=6b,则下列可能成立的关系式为( )
A.a=b B.01时,
若3a=6b=k,则01,则3a<3b<2b·3b=6b,
故选项D错误.故选ABC.
(2,0)
[例4] 不论a为何值时,函数f(x)=ax-1-a(a>0且a≠1)恒过定点 .?
解析:因为f(x)=ax-1-a=a(ax-2-1),f(2)=0恒成立,所以恒过定点(2,0).
解析:(1)因为f(x)的定义域为(0,1),所以0<3x<1,
所以x<0.
[例5] (1)若f(x)的定义域为(0,1),则f(3x)的定义域为
;?
(-∞,0)
0
粤公网安备 44030702000055号
