高中数学必修第一册：3-4 函数的应用函数的零点与方程的解-教学设计（表格式）

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ID：3-19728958

版本：人教A版（2019）

类型：教案

地区：全国

文件：592.0KB

日期：2024-04-02

作者：21jy_3042995505

星级：1

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教学设计课程基本信息学科高中数学年级高一学期第一学期课题函数的零点与方程的解教科书书名：高中数学必修第一册教材出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月教学目标 1. 了解函数零点的概念：能够结合具体方程，说明方程的解、函数的零点、函数图象与x轴的交点三者之间的关系；会求一些简单函数的零点. 2. 理解函数零点存在性定理：通过一个生活实例“渡河”让学生初步理解函数图象连续不断的意义与作用，知道函数零点存在性定理只是函数存在零点的一个充分不必要条件. 3. 能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数及所在区间，达到直观想象、数学抽象核心素养学业水平一的层次. 教学内容教学重点： 1. 理解函数零点的概念，掌握函数零点与相应方程的解的求法. 2. 掌握函数零点存在性定理及其推论并能应用. 教学难点： 1. 数形结合思想、转化与化归思想的培养及应用. 2. 函数零点存在性定理的理解. 教学过程数学文化渗透在人类用智慧架设的无数座从已知通向未知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座.虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月. 从公元前编成的《九章算术》，到南宋数学家秦九韶，再到国外数学家花拉子米、阿贝尔、卡尔达诺，更有十六世纪最有影响的数学家之一的韦达提出的韦达定理，这些数学家们的伟大研究成果为我们求解方程提供了坚实的理论基础. 那么今天，让我们一起走进方程，亲身感受方程的奥秘. 二、新课引入问题1.求下列方程的解 ①false ②false ③false 画出下列函数的图象 ①false ②false ③false 设计意图：让学生观察发现每个方程的解都是对应函数与X轴交点的横坐标. 问题2：基于之前我们用二次函数的观点来认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数解就是相应的二次函数的零点，则对于一般函数而言，我们是否也可以用它的零点来研究其对应方程的解呢？设计意图：从学生的认知基础出发，从一元二次函数的零点与对应方程的解之间的关系，用类比的思想引入一般函数零点的概念. 三、探究新知探究一：函数的零点 1.函数的零点：对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。点睛：函数的零点是一个实数，而不是一个点，当自变量取该值时，其函数值等于零. 问题3：根据前面三个实例，你觉得一般函数与其对应的方程之间会有同样的结果吗？函数y=f(x)的零点? 方程f(x)=0的实数根? 函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标. 设计意图：强调这一关系为解决实际问题提供了方向，要求函数y=f(x)的零点，可以令f(x)=0，求出方程的解，也可以数形结合看图像与X轴交点的横坐标. 2.应用例1.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出（1）false （2）false （3）false 解析：（1）令false，解得false或false，所以函数false的零点是false和1。 (2) 令false，由于false，所以方程false无实数根，所以函数false不存在零点. (3) 当false时，令false，解得false，当false时，令false，解得false，则函数false的零点是false和-1. 设计意图：巩固训练零点的定义以及掌握求函数零点的方法. 问题4：函数f(x)=lnx+2x-6是否有零点?如何判断？零点的个数又是多少？设计意图：对于相对复杂的函数，当无法用方程法与图象法解决时，又该怎么办？让学生形成认知冲突，引发思考，同时，也为后续零点存在性定理的引出做好铺垫. 探究二：函数零点存在定理问题5：我们先来观察两组镜头，哪一组能说明她的行程一定曾渡河? ?? 71755038735-3714753810第1组第1组 725170266700 -9334579375第2组第2组学生观察回答将实际问题数学化：若将河流抽象成x轴，前后的两个位置视为A、B两点。请同学们用连续不断的曲线画出她的可能路径. 追问：从这两组可能的路径中，你能得出什么结论呢？问题6：若所画曲线能表示为函数，设A点横坐标为a,B点横坐标为b，怎样才能保证函数在[a,b]内有零点？函数有零点即函数图象与X轴有交点，即函数要“穿过”X轴，即函数端点值异号. 10261602749551394460126365函数图象与 X轴有交点函数图象与 X轴有交点 -2603597155函数有零点函数有零点 42195752819404527550158115函数端点值异号函数端点值异号 3053715140335函数图象“穿过”X轴函数图象“穿过”X轴 26155656985 追问1：如何用数学符号表示端点值异号呢？回答：f(a)·f(b) ＜ 0. 追问2：如果函数y=f(x)满足f(a)·f(b) ＜ 0，但图象不是连续不断的,能否一定有零点? 565153816350 y x 0 y x 回答：不一定。由图可知，虽然函数端点值异号，但它不连续，不一定保证有零点。只有当函数端点值异号，且函数图象连续，才能推出函数一定有零点. 22783801498600 y x 0 y x 设计意图：从生动的生活实例切入，通过层层设问，让学生自主自发地推出零点存在定理. 零点存在定理：如果函数y =f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0,则函数在(a,b)内有零点．即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程的解. 从定理可知，函数图像连续和f(a) ·f(b)<0是函数存在零点的充分条件. 问题7：如果函数f(x)存在零点，那么函数f(x)的图象一定连续不断吗？一定有f(a) ·f(b)<0吗？答案是否定的。如图，函数不连续但仍存在零点，函数端点值同号，但函数仍有零点。因此必要性不成立. 结论：“函数图像在给定区间[a,b]上连续”和“f(a) f(b)<0”是函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内有零点的充分不必要条件. 设计意图：通过对零点存在定理必要性的追问，加深学生对定理的认知. 问题8：函数零点存在定理告诉我们，如果函数y =f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a) ·f(b)<0,则函数在(a,b)内有零点．请问有几个零点？回答：答案是不确定。可以是一个两个，也可以是无数个。也就是说，函数零点存在定理只让我们判断零点存在，但无法确定零点的个数. 112395169545x a b x a b x a b x a b 追问：增加什么条件时，才能使函数在区间(a,b)上只有一个零点呢？ 267970360045x y 0 x y 0 回答：由图可知函数在一段区间上连续，端点值异号，若再加上图像单调，就可以保证函数在此区间上只有一个零点，以此类推，仍然适用. 零点存在定理的拓展：如果函数y =f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线，并且f(a) ·f(b)<0，若f(x)是单调函数，则函数在(a,b)内有且仅有一个零点．即存在唯一的c∈(a,b)，使得f(c)=0. 设计意图：完善函数零点存在定理，让学生不仅会判断零点存在，同时也学会判断函数零点的个数. 四、新知应用例2：求函数f(x)=lnx+2x－6的零点的个数解：函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且f(x)为连续函数， f(2)=ln2+4－6=ln2－20，由零点存在性定理可知，函数f(x)=lnx+2x－6在(2,3)上存在零点. 易知函数 f(x)=lnx+2x－6是(0,+∞)上的增函数，所以函数 f(x)=lnx+2x－6仅有一个零点，即方程 lnx+2x－6=0有唯一解. 3914775-194310解法二：令f(x)=0，得lnx+2x－6=0，即lnx=6－2x 即判断函数y=lnx与函数y=6－2x图像的交点个数如图可知,只有一个交点,即方程只有一解，函数有唯一零点. 设计意图：让学生学会用定理法与图象法解决问题，同时，体会函数与方程思想、数形结合思想. 五、课堂小结： false 六、课后作业： 1. 判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例（1）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a) ·f(b) < 0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点. （）（2）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a) ·f(b) ≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点. （）（3）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续且在区间(a,b)内存在零点，则f(x)必满足 f (a) ·f(b) < 0. （） 2. 求方程2－x =lnx的根的个数，并确定根所在的区间 [n，n+1](n∈Z)．七、结束语：以一首打油小诗结束本堂课：函数零点方程根，图象连续总有痕. 数形本是同根生，端值计算是根本. 借问零点何处有，端值互异零点生. 备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。