湖北省高中名校联盟2023-2024学年高三下学期3月月考数学试题（含解析）

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ID：3-19657239

版本：人教A版（2019）

类型：试卷

地区：湖北省

文件：890.3KB

日期：2024-03-27

作者：21jy_145100707

星级：2

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湖北省高中名校联盟2023-2024学年高三下学期3月月考数学试卷本试卷共4页，19题．满分150分．考试用时120分钟．考试时间：2024年3月27日下午15：00—17：00 注意事项： 1．答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数false，则false（） A．0 B．2 C．false D．false 2．已知集合false，false，若定义集合运算：false，则集合false的所有元素之和为（） A．6 B．3 C．2 D．0 3．画false条直线，将圆的内部区域最多分割成（） A．false部分 B．false部分 C．false部分 D．false部分 4．某运动爱好者最近一周的运动时长数据如下表：星期一二三四五六日时长（分钟） 60 150 30 60 10 90 120 则（） A．运动时长的第30百分位数是30 B．运动时长的平均数为60 C．运动时长的极差为120 D．运动时长的众数为60 5．已知数列false中，false，false，false，则下列说法不正确的是（） A．false B．false C．false是等比数列 D．false 6．若false，则false（） A．88 B．87 C．86 D．85 7．已知函数false，false，若false有两个零点false，则（） A．false B．false C．false D．false 8．以false表示数集false中的报小值，已知不全为0的实数x，y，二元函数false，则false的最大值为（） A．0 B．false C．1 D．2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数false为函数false的一个极值点，则（） A．false B．false C．false D．false 10．已知抛物线false，过false的焦点false的直线false与false交于A，B两点，设false的中点为false，分别过A，B两点作抛物线的切线false，false相交于点false，则（） A．点false必在抛物线的准线上 B．false C．false面积的最小值为false D．过false作直线false的平行线交false轴于点false，则false 11．已知函数false，则（） A．当false时，方程false无解 B．当false时，存在实数false使得函数false有两个零点 C．若false恒成立，则false D．若方程false有3个不等的实数解，则false 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知数列false中，false，false，false，则false的前false项和false__________． 13．已知直线false与椭圆false交于A，B两点，与椭圆false交于C，D两点，若false，则实数false__________． 14．所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫作拟柱体．在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫作拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫作拟柱体的高．现有一拟柱体，上下底面均为正六边形，且下底面边长为4，上底面各顶点在下底面的射影点为下底面各边的中点，高为2，则该拟柱体的体积为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解笞应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在false中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，false，且false．（1）判断false的形状；（2）若false在边false上，且false，false，以false和false为边，，向外作两个正方形，求这两个正方形面积和的最小值． 16．（15分）如图，已知三棱锥false中，平面false底面false，false平面false，且false，false．（1）求三棱锥false的体积；（2）已知false，求平面false与平面false所成二面角的正弦值． 17．（15分）已知函数false．（1）证明：函数false有三个不同零点的必要条件是false；（2）由代数基本定理，false次复系数多项式方程在复数域内有且只有false个根（重根按重数计算）．若false，证明：方程false至多有3个实数根． 18．（17分）在平面直角坐标系内，以原点false为圆心，a，b（false，false，a，b为定值）为半径分别作同心圆false，false，设false为圆false上任一点（不在false轴上），作直线false，过点false作圆false的切线false与false轴交于点false，过圆false与false轴的交点false作圆false的切线false与直线false交于点false，过点false，false分别作false轴，false轴的垂线false交于点false．（1）求动点false的轨迹false的方程；（2）设false，点false，false，过点false的直线与轨迹false交于A，B两点（两点均在y轴左侧）．（i）若false，false的内切圆的圆心的纵坐标为false，求false的值；（ii）若点false是曲线false上（false轴左侧）的点，过点false作直线与曲线false在false处的切线平行，交false于点false，证明：false的长为定值． 19．（17分）设false的所有可能取值为false，称false（false）为二维离散随机变量false的联合分布列，用表格表示为： Y X false false … false … false false false false false … false … false false false false false … false … false false … … … … … … … … false false false … false … false false … … … … … … … … false false false … false … false false false false false … false … false 1 仿照条件概率的定义，有如下离散随机变量的条件分布列：定义false，对于固定的false，若false，则称false为给定false条件下的false条件分布列．离散随机变量的条件分布的数学期望（若存在）定义如下：false．（1）设二维离散随机变量false的联合分布列为 Y X 1 2 3 4 1 0.1 0.3 0.2 0.6 2 0．05 0.2 0.15 0.4 false 0.15 0.5 0.35 1 求给定false条件下的false条件分布列；（2）设false为二维离散随机变量，且false存在，证明：false；（3）某人被困在有三个门的迷宫里，第一个门通向离开迷宫的道，沿此道走30分钟可走出迷宫；第二个门通一条迷道，沿此迷道走50分钟又回到原处；第三个门通一条迷道，沿此迷道走70分钟也回到原处．假定此人总是等可能地在三个门中选择一个，试求他平均要用多少时间才能走出迷宫．湖北省高中名校联盟2023-2024学年高三下学期3月月考数学试卷参考答案与评分细则 1．B【解析】因为false，所以false，选B． 2．A【解析】因为false，所以集合false的所有元素之和为6，选A． 3．B【解析】设画false条直线，将圆最多分割成false部分，有false，false，所以false，选B． 4．D【解析】数据排序为：10，30，60，60，90，120，150．由false，得第30百分位数为60，A错；平均数为false，B错；极差为140，C错；众数为60，D对．选D． 5．D【解析】由false，false，得false，所以false，false，故false，false，ABC正确，选D． 6．A【解析】易知，当false时，false，所以false，而false，所以false，选A． 7．C【解析】由false，得false或false，所以false或false，由false，所以false，false，A、B错误．falsefalse，C正确，false，D错误，选C． 8．C【解析】易知false．当false时，false；当false时，false，所以false，选C． 9．AC【解析】由false，false，有false，false，false，A正确，B错误；false是函数图象的对称轴，C正确；false是函数的对称中心，D错误，选AC． 10．ABC【解析】设false，与抛物线方程联立有false，设false，false，有false，false，false，false的斜率分别为false，false，有false，false，解得false，所以A正确；false，false，经计算，false，B正确；对C，false，易知当false时false取最小值false，C正确；对D，由于false轴，所以四边形false为平行四边形，所以false，而falsefalse，D错误，选ABC． 11．BCD【解析】对A，false，false，false，令false，false，易知false，false，false，false，所以false，方程false有解，A错误；对B，false有两个零点0false，所以当false时，false有两个零点，正确；对C，若false恒成立，即false恒成立，即false恒成立，令false，则false，令false，则false，所以false在false是增函数，又false，false，因此，false，使得false①，所以当false时，false，即false，则false在false上是减函数，当false时，false，即false，则false在false上式增函数，则false②，由①得false，又设false，易知false在false是增函数，所以false③，将③代入②得false，因此false，正确．对D，false或false，即false或false两个方程有3个解，令false，false，可知false在false上递减，在false上递增，且当false时false，从而false，从而false，正确．选BCD． 12．false，所以false，false，所以falsefalse，所以false．填：false 13．将直线方程分别与两个椭圆方程联立，有false，false，设false，false，false，false，有false，false，所以线段false与false的中点重合，故false，所以false．填：1． 14．过上底顶点向下底作垂线，可得该拟柱体的体积为中间正六棱柱的体积与外侧6个四棱雉的体积之和，上底面边长为false，正六棱柱的体积false，四棱锥的体积为false，从而拟柱体的体积为false．填：false． 15．（1）由false及正弦定理可得，false．整理有false．从而false，或false．而false，所以false是直角三角形．（2）由（1）知，false，设false，false，在false中，由正弦定理，false，false．同理在false中，false．所以两个正方形面积和false．当且仅当false，即false时等号成立，所以两个正方形面积和的最小值为false． 16．（1）取false中点为false，连结false，由false，falsefalse平面false，所以false． false．又平面false底面false，所以false平面false．所以false．所以false底面false．从而false的体积为false．（2）由（1）以false为原点，过点false作false平行线为false轴，false，false分别为x，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．有false，false，false，false． false，false，false．设false为平面false的法向量，false，false，有false．平面false的法向量false．有false．所以平面false与平面false所成二面角的正弦值为false． 17．解：（1）false，其判别式false．若函数false有三个不同零点，则false必有极大值点与极小值点．故false，从而其必要条件为false．（3）令false． false． false． false．由false，可知false．所以false在定义域上单调递增，则其仅有唯一零点，不妨记为false，可知在false上false，在false上false，故false先减后增．所以false至多有两个不同的零点，不妨设为false，false，从而false在false上递增，false，递减，false递增．从而false至多有三个不同零点．所以方程false至多有3个实数根． 18．（1）设false，则false．过false的切线方程为false，所以false 由false和false，得false．设false，则false即false 由false，得false为所求false的方程．（2）设false内切圆圆心为false，点G，H，J分别为圆与false，false，false的切点．（i）由（1）可知，轨迹false是以false为焦点的双曲线，由双曲线定义可知，false，false，false．由false，有false，r为内切圆false的半径．从而false，有false．又false，所以切点与false重合，设false，有false，false．联立有false，所以false．（ii）设false，过点false作false的角平分线，交false轴于点false，设false，false，false，由角平分线定理，false，有false，解得false．从而false．设切线为false，与双曲线方程联立，解得false，所以切线即为false，从而false．延长false至false，使得false，连结false，有false，设过原点false的与false处切线平行的直线与false交于点false，由于false为false中点，所以false为false中点，又false，所以false．从而false．所以false． 19．（1）因为false，所以用第一行各元素分别除以0．6，可得给定false条件下的false条件分布列： false 1 2 3 false false false false （2）二维离散随机变量false的概率为false，有由false， false．于是，false．由false，有false．（3）由（2）知，对于二维离散随机变量false，false．设他需要false小时离开迷宫，记false表示第一次所选的门，事件false表示选第false个门，由题设有false．因为选第一个门后30分钟可离开迷宫，所以false．又因为选第二个门后50分钟回到原处，所以false．又因为选第三个门后70分钟也回到原处，所以false．所以false．解得false，即他平均要150分钟才能离开迷宫．