2023-2024学年广东省佛山市南海实验中学九年级（上）第二次月考数学试卷（含解析）
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2023-2024学年广东省佛山市南海实验中学九年级第一学期第二次月考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cm
C．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，4cm，6cm，9cm
2．下列说法错误的是（ ）
A．任意两个矩形都相似
B．任意两个正六边形都相似
C．任意两个正方形都相似
D．有一个角对应相等的菱形相似
3．用配方法解方程3x2+2x﹣1＝0，配方后的方程是（ ）
A．3（x﹣1）2＝0 B．（x+）2＝
C．（x+）2＝ D．（x+）2＝
4．观察表格中数据，一元二次方程x2﹣3x﹣4.6＝0的一个近似解为（ ）
x ﹣1.13 ﹣1.12 ﹣1.11 ﹣1.10 ﹣1.09 ﹣1.08 ﹣1.07
x2﹣3x 4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.35
A．﹣1.073 B．﹣1.089 C．﹣1.117 D．﹣1.123
5．在一个不透明的盒子中装有20个黄、白两种颜色的乒乓球，除颜色外其它都相同，小明进行了多次摸球试验，发现摸到白色乒乓球的频率稳定在0.2左右，由此可知盒子中黄色乒乓球的个数可能是（ ）
A．2个 B．4个 C．18个 D．16个
6．如图所示，在平行四边形纸片上作随机扎针试验，针头扎在阴影区域内的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（ ）
A．AC⊥BD B．AB＝CD C．AB∥CD D．AC＝BD
8．如图，在菱形ABCD中，直线MN分别交AB、CD、AC于点M、N和O，且AM＝CN，连接BO．若∠OBC＝65°，则∠DAC为（ ）
A．65° B．30° C．25° D．20°
9．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，则+的值是（ ）
A．1 B． C．﹣1 D．﹣
10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD．于点F，连接AP，EF，给出下列结论：
①PD＝PF；
②四边形PECF的周长为8；
③△APD一定是等腰三角形；
④AP＝EF．
其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．如图，已知l1∥l2∥l3，直线AB分别交l1、l2、l3于A、E、B点，直线CD分别交l1、l2、l3于C、F、D三点，且AE＝2，BE＝4，则的值为 ．
12．已知＝＝（b+d≠0），则的值为 ．
13．若一元二次方程的二次项系数为1，常数项为0，它的一个根为2，则该方程为 ．
14．小明所在的学校准备在国庆节当天举办一个大型的联欢会，为此小明设计了如图所示的A，B两个转盘和同学们做“配紫色”（红、蓝可配成紫色）的游戏，试问使用这两个转盘可以配成紫色的概率是 ．
15．如图，在△ABC中，AB＝8cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，沿射线AB方向以1cm/s的速度移动，点Q从B点出发，沿射线BC方向以4cm/s的速度移动．如果P、Q两点同时出发，问：经过 秒后△PBQ的面积等于7cm2．
三、解答题（16—18每题6分，19—21每题8分，22—23题10分，24题13分，共75分）
16．用适当的方法解下列方程：3x（x﹣2）＝x﹣2．
17．如图，E为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，AE：EC＝1：3，BE的延长线交CD的延长线于G，交AD于F，求证：BF：FG＝1：2．
18．如图，矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝EC，分别在图1和图2中按要求仅用无刻度的直尺画图．（保留画图痕迹）
（1）在图1中，画出∠DAE的平分线；
（2）在图2中，画出∠AEC的平分线EF，交AD于点F，并说明理由．
19．商店将进货为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现在采用提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品按每件的销售价每提高1元其销售量就减少20件，问应将每件涨价多少元时，才能使每天利润为700元？
20．有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西瓜，其中，所装西瓜的重量分别为6kg，6kg，7kg，7kg，8kg．现将这五个纸箱随机摆放．
（1）若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是 ；
（2）若从这五个纸箱中随机选2个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的概率．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根．
（2）若方程有一个根是负整数，求正整数m的值．
22．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使AF＝AE，且CF、DE相交于点G．
（1）当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形；
（2）当CG＝2时，求AE的长．
23．[综合与实践]：阅读材料，并解决以下问题．
[学习研究]：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以x2+2x﹣35＝0为例，构造方法如下：
首先将方程x2+2x﹣35＝0变形为x（x+2）＝35，然后画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图（1）所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为（x+x+2）2，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4，因此，可得新方程：（x+x+2）2＝144，∵x表示边长，∴2x+2＝12，即x＝5，遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．
[类比迁移]；小明根据赵爽的办法解方程x2+3x﹣4＝0，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变形为x2+3x﹣4＝0，即x（ ）＝4；
第二步：利用四个面积可用x表示为 的全等矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，标明各边长），并写出完整的解答过程：
第三步：
[拓展应用]，一般地对于形如：x2+ax＝b一元二次方程可以构造图2来解，已知图2是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么此方程的系数a＝ ，b＝ ，求得方程的一个正根为 ．
24．综合与实践
问题情境：
在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OE⊥AC交BC于点E，连接AE，F是AE的中点．
探究发现：
（1）如图1，直接写出∠OBF和∠ACB的数量关系： ；
探究拓展：
（2）勤奋小组的同学们在射线FB上任取一点P，将射线OP绕点O逆时针旋转得射线OQ，使∠POQ＝∠AEC，与射线BC交于点Q．在如图2中，猜想并证明线段OP与线段OQ之间的数量关系．
探究拓广：
（3）在（2）的条件下，若∠ACB＝30°，，当∠COQ＝15°时，直接写出FP的长度．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，4cm B．2cm，3cm，4cm，5cm
C．2cm，3cm，4cm，6cm D．3cm，4cm，6cm，9cm
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
解：A、∵1×4≠2×3，∴四条线段不成比例，不符合题意；
B、∵2×5≠3×4，∴四条线段不成比例，不符合题意；
C、∵2×6＝3×4，∴四条线段成比例，符合题意；
D、∵3×9≠4×6，∴四条线段成比例，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
2．下列说法错误的是（ ）
A．任意两个矩形都相似
B．任意两个正六边形都相似
C．任意两个正方形都相似
D．有一个角对应相等的菱形相似
【分析】根据相似图形的定义，对应的角相等，对应边的比相等对每个命题进行判断．
解：A、任意两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定成比例，所以不一定相似，符合题意；
B、任意两个正六边形的对应角都是60°，对应边的比成比例，所以一定相似，不符合题意；
C、任意两个正方形的对应角都是90°，对应边的比成比例，所以一定相似，不符合题意；
D、一个角对应相等的两个菱形满足满足四个角分别对应相等，四条边对应成比例，所以一定相似，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查的是相似图形的判定，掌握相似多边形各自的判定方法是解题的关键．
3．用配方法解方程3x2+2x﹣1＝0，配方后的方程是（ ）
A．3（x﹣1）2＝0 B．（x+）2＝
C．（x+）2＝ D．（x+）2＝
【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方可得到结果．
解：方程3x2+2x﹣1＝0，
变形得：x2+x＝，
配方得：x2+x+＝，即（x+）2＝，
故选：D．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．观察表格中数据，一元二次方程x2﹣3x﹣4.6＝0的一个近似解为（ ）
x ﹣1.13 ﹣1.12 ﹣1.11 ﹣1.10 ﹣1.09 ﹣1.08 ﹣1.07
x2﹣3x 4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.35
A．﹣1.073 B．﹣1.089 C．﹣1.117 D．﹣1.123
【分析】根据表格中的数据可得出“当x＝﹣1.12时，x2﹣3x＝4.61；当x＝﹣1.11时，x2﹣3x＝4.56．”即可得出结论．
解：当x＝﹣1.12时，x2﹣3x＝4.61；当x＝﹣1.11时，x2﹣3x＝4.56．
∴一元二次方程x2﹣3x﹣4.6＝0的一个近似解为﹣1.117．
故选：C．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键．
5．在一个不透明的盒子中装有20个黄、白两种颜色的乒乓球，除颜色外其它都相同，小明进行了多次摸球试验，发现摸到白色乒乓球的频率稳定在0.2左右，由此可知盒子中黄色乒乓球的个数可能是（ ）
A．2个 B．4个 C．18个 D．16个
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解．
解：设袋中有黄球x个，由题意得＝0.2，
解得x＝16．
故选：D．
【点评】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是利用黄球的概率公式列方程求解得到黄球的个数．
6．如图所示，在平行四边形纸片上作随机扎针试验，针头扎在阴影区域内的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】先根据平行四边形的性质求出对角线所分的四个三角形面积相等，再求出概率即可．
解：∵四边形是平行四边形，
∴对角线把平行四边形分成面积相等的四部分，
利用中心对称图形的性质可得，△AOB≌△COD，
则图中阴影部分面积＝S四边形，
∴针头扎在阴影区域内的概率为，
故选：B．
【点评】此题主要考查了几何概率，以及平行四边形的性质，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．
7．如图，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（ ）
A．AC⊥BD B．AB＝CD C．AB∥CD D．AC＝BD
【分析】根据三角形中位线定理得到EF＝AC，EF∥AC，GH＝AC，GH∥AC，EH∥BD，得到四边形EFGH为平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答即可．
解：∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，
∴EF＝AC，EF∥AC，GH＝AC，GH∥AC，EH∥BD，
∴EF＝GH，EF∥GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
当AC⊥BD时，EF⊥EH，则四边形EFGH为矩形，
故选：A．
【点评】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形的判定定理是解题的关键．
8．如图，在菱形ABCD中，直线MN分别交AB、CD、AC于点M、N和O，且AM＝CN，连接BO．若∠OBC＝65°，则∠DAC为（ ）
A．65° B．30° C．25° D．20°
【分析】由全等三角形的性质可证△AOM≌△CON，可得AO＝CO，由等腰三角形的性质可得BO⊥AC，即可求解．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB＝BC，BC∥AD，
∴∠MAO＝∠NCO，∠BCA＝∠CAD，
在△AOM和△CON中，
，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴AO＝CO，
∵AB＝BC，
∴BO⊥AC，
∴∠BCO＝90°﹣∠OBC＝25°＝∠DAC，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是本题的关键．
9．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，则+的值是（ ）
A．1 B． C．﹣1 D．﹣
【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算即可．
解：根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，
则+＝＝＝﹣．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD．于点F，连接AP，EF，给出下列结论：
①PD＝PF；
②四边形PECF的周长为8；
③△APD一定是等腰三角形；
④AP＝EF．
其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①根据正方形的对角线平分对角的性质，得△DPF是等腰直角三角形，在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝PF2+PF2＝2PF2，即可判断①；②先证明四边形PECF为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为2BC，即可判断②；③根据P的任意性可以判断△APD不一定是等腰三角形，即可判断③；④四边形PECF为矩形，通过正方形的轴对称性，即可判断④．
解：∵PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，CD⊥BC，
∴PF∥BC，
∴∠DPF＝∠DBC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC＝45°，
∴∠DPF＝∠DBC＝45°，
∴∠PDF＝∠DPF＝45°，
∴PF＝EC＝DF，
在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝PF2+PF2＝2PF2，
∴．
故①正确；
②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8，
故②正确；
③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP＝45°，
∴当∠PAD＝45°或67.5°或90°时，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，
故③错误．
④连接PC，
∵四边形PECF为矩形，
∴PC＝EF，
∵正方形为轴对称图形，BD所在直线是它的一条对称轴，
∴AP＝PC，
∴AP＝EF，
故④正确；
综上所述：正确的结论是①②④，共三个；
故选：C．
【点评】此题考查正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的运用，熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．如图，已知l1∥l2∥l3，直线AB分别交l1、l2、l3于A、E、B点，直线CD分别交l1、l2、l3于C、F、D三点，且AE＝2，BE＝4，则的值为 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．
解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵AE＝2，BE＝4，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
12．已知＝＝（b+d≠0），则的值为 ．
【分析】根据合比的性质即可求解．
解：∵＝＝（b+d≠0），
∴＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了比例线段，解题的关键是利用比例的基本性质．
13．若一元二次方程的二次项系数为1，常数项为0，它的一个根为2，则该方程为 x2﹣2x＝0 ．
【分析】直接利用已知要求得出符合题意的方程．
解：由题意可得，该方程的一般形式为：x2﹣2x＝0．
故答案为：x2﹣2x＝0．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握相关定义是解题关键．
14．小明所在的学校准备在国庆节当天举办一个大型的联欢会，为此小明设计了如图所示的A，B两个转盘和同学们做“配紫色”（红、蓝可配成紫色）的游戏，试问使用这两个转盘可以配成紫色的概率是 ．
【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出可以配成紫色的结果数，然后根据概率公式求解．
解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中可以配成紫色的结果数为3，
所以可以配成紫色的概率＝＝．
故答案为．
【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
15．如图，在△ABC中，AB＝8cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，沿射线AB方向以1cm/s的速度移动，点Q从B点出发，沿射线BC方向以4cm/s的速度移动．如果P、Q两点同时出发，问：经过 1或7或4+ 秒后△PBQ的面积等于7cm2．
【分析】过点Q作QE⊥AB于点E，则QE＝BQ，当运动时间为t秒时，AP＝t cm，BQ＝4t cm，PB＝|8﹣t|cm，QE＝2t cm，根据△PBQ的面积等于7cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
解：过点Q作QE⊥AB于点E，则QE＝BQ，如图所示.
当运动时间为t秒时，AP＝t cm，BQ＝4t cm，PB＝|8﹣t|cm，QE＝2t cm，
依题意得：|8﹣t|?2t＝7．
当0＜t≤8时，t2﹣8t+7＝0，
解得：t1＝1，t2＝7；
当t＞8时，t2﹣8t﹣7＝0，
解得：t1＝4﹣（不符合题意，舍去），t2＝4+．
∴经过1或7或4+秒后，△PBQ的面积等于7cm2．
故答案为：1或7或4+．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
三、解答题（16—18每题6分，19—21每题8分，22—23题10分，24题13分，共75分）
16．用适当的方法解下列方程：3x（x﹣2）＝x﹣2．
【分析】先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
解：∵3x（x﹣2）＝x﹣2，
∴3x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（3x﹣1）＝0，
则x﹣2＝0或3x﹣1＝0，
解得x1＝2，x2＝．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
17．如图，E为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，AE：EC＝1：3，BE的延长线交CD的延长线于G，交AD于F，求证：BF：FG＝1：2．
【分析】由平行四边形的性质证明△ABE∽△CGE，△ABF∽△DGF，得到AB：CG＝AE：EC＝1：3，进而得到AB＝λ，DG＝2λ，这是解决该题的关键结论；运用△ABF∽△DGF，列出比例式即可解决问题．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CG，AB＝CD（设为λ），
∴△ABE∽△CGE，△ABF∽△DGF，
∴AB：CG＝AE：EC＝1：3，
∴CG＝DG+λ＝3λ，DG＝2λ；
∵△ABF∽△DGF，
∴BF：FG＝AB：DG＝λ：（2λ）＝1：2．
【点评】该题主要考查了相似三角形的判定及其性质、平行四边形的性质等几何知识点的应用问题；解题的关键是深入观察图形结构，大胆猜测推理，科学求解论证．
18．如图，矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝EC，分别在图1和图2中按要求仅用无刻度的直尺画图．（保留画图痕迹）
（1）在图1中，画出∠DAE的平分线；
（2）在图2中，画出∠AEC的平分线EF，交AD于点F，并说明理由．
【分析】（1）连接AC，利用AD∥BC得到∠DAC＝∠ECA，利用EA＝EC得到∠ECA＝∠EAC，所以∠DAC＝∠EAC，即AC平分∠DAE；
（2）连接BD交AC于点O，延长EO交AD于F，利用等腰三角形的性质可得到EF平分∠AEC．
解：（1）如图1，AC为所作；
（2）如图2，EF为所作；
理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA＝OC，
∵EA＝EC，
∴EO平分∠AEC，
即EF平分∠AEC．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的性质．
19．商店将进货为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现在采用提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品按每件的销售价每提高1元其销售量就减少20件，问应将每件涨价多少元时，才能使每天利润为700元？
【分析】根据等量关系“每件利润×销量＝700”列出方程，解方程即可．
解：设应将每件售价提高x元时，才能使每天利润为700元，
（x+10﹣8）（200﹣20x）＝700，
解得：x1＝3，x2＝5．
答：应将每件售价提高3元或5元时，才能使每天利润为700元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
20．有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西瓜，其中，所装西瓜的重量分别为6kg，6kg，7kg，7kg，8kg．现将这五个纸箱随机摆放．
（1）若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是 ；
（2）若从这五个纸箱中随机选2个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有20种等可能的结果，其中所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的结果有4种，再由概率公式求解即可．
解：（1）若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的结果有4种，
∴所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的概率为＝．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根．
（2）若方程有一个根是负整数，求正整数m的值．
【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＝（m﹣6）2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）利用求根公式得到x1＝m﹣4，x2＝2，则m﹣4＜0，从而得到正整数m的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（m﹣2）2﹣4（2m﹣8）
＝m2﹣12m+36
＝（m﹣6）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：x＝＝，
∴x1＝m﹣4，x2＝2，
∵方程有一个根是负整数，
∴m﹣4＜0，
∴正整数m的值为1或2或3．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
22．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使AF＝AE，且CF、DE相交于点G．
（1）当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形；
（2）当CG＝2时，求AE的长．
【分析】（1）利用平行四边形的判定定理：两边平行且相等的四边形是平行四边形，
（2）利用三角形相似，求出此时FG的长，再借助直角三角形勾股定理求解．
【解答】（1）证明：连接DF，CE，如图所示：
，
∵E为AB中点，
∴AE＝AF＝AB，
∴EF＝AB＝CD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴EF∥CD，
∴四边形DFEC是平行四边形．
（2）解：作CH⊥BH，设AE＝FA＝m，如图所示，
，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD∥EF，
∴△CDG∽△FEG，
∴，
∴FG＝2m，
在Rt△CBH中，∠CBH＝60°，BC＝2，
sin60°＝，CH＝，
cos60°＝，BH＝1，
在Rt△CFH中，CF＝2+2m，CH＝，FH＝3+m，
CF2＝CH2+FH2，
即（2+2m）2＝（）2+（3+m）2，
整理得：3m2+2m﹣8＝0，
解得：m1＝，m2＝﹣2（舍去），
∴．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定，菱形的性质，解题关键是借助锐角三角比和勾股定理求解．
23．[综合与实践]：阅读材料，并解决以下问题．
[学习研究]：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以x2+2x﹣35＝0为例，构造方法如下：
首先将方程x2+2x﹣35＝0变形为x（x+2）＝35，然后画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图（1）所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为（x+x+2）2，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4，因此，可得新方程：（x+x+2）2＝144，∵x表示边长，∴2x+2＝12，即x＝5，遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．
[类比迁移]；小明根据赵爽的办法解方程x2+3x﹣4＝0，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变形为x2+3x﹣4＝0，即x（ x+3 ）＝4；
第二步：利用四个面积可用x表示为 长为x+3，宽为x 的全等矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，标明各边长），并写出完整的解答过程：
第三步：
[拓展应用]，一般地对于形如：x2+ax＝b一元二次方程可以构造图2来解，已知图2是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么此方程的系数a＝ ±2 ，b＝ 3 ，求得方程的一个正根为 1或3 ．
【分析】[类比迁移]根据赵爽的办法解答即可；
[拓展应用]根据题意把x2+ax＝b，变形为x（x+a）＝b，根据图2由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，即可得到答案．
解：[类比迁移]
第一步：将原方程变形为x2+3x﹣4＝0，即x（x+3）＝4；
第二步：利用四个面积可用x表示为长为x+3，宽为x的全等矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，标明各边长），
画四个长为x+3，宽为x的矩形，按如图所示的方式拼成如图，拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为（x+x+3）2，还可表示为四个矩形与一个边长为3的小正方形面积之和，即4x（x+3）+32＝4×4+9，因此，可得新方程：（x+x+3）2＝25，
∵x表示边长，
∴2x+3＝5，即x＝1，
第三步：方程的一个正根为x＝1；
故答案为：x+3；长为x+3，宽为x；
[拓展应用]
∵x2+ax＝b，
∴x（x+a）＝b，
∴四个小矩形的面积各为b，大正方形的面积是（x+x+a）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×b+a2，
∵图2是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，
∴b＝3，a2＝4，
解得：b＝3，a＝±2，
当a＝2时，（x+x+2）2＝4×3+4，2x+2＝4，x＝1，方程的一个正根为1；
当a＝﹣2时，（x+x﹣2）2＝4×3+4，2x﹣2＝4，x＝3，方程的一个正根为3．
综上所述，方程的一个正根为1或3．
故答案为：±2，3，1或3．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，能知道系数a，b与各图形面积的关系是解题的关键．
24．综合与实践
问题情境：
在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OE⊥AC交BC于点E，连接AE，F是AE的中点．
探究发现：
（1）如图1，直接写出∠OBF和∠ACB的数量关系： ∠OBF＝∠ACB ；
探究拓展：
（2）勤奋小组的同学们在射线FB上任取一点P，将射线OP绕点O逆时针旋转得射线OQ，使∠POQ＝∠AEC，与射线BC交于点Q．在如图2中，猜想并证明线段OP与线段OQ之间的数量关系．
探究拓广：
（3）在（2）的条件下，若∠ACB＝30°，，当∠COQ＝15°时，直接写出FP的长度．
【分析】（1）根据矩形的性质得OA＝OC，可得EA＝EC，由直角三角形斜边中线的性质得出OB＝OC，即：∠ACB＝∠OBC，再根据三角形的中位线定理得出OF∥BC，OF＝CE，进而得出OF＝BF，即可得出结论；
（2）只要证明△BOP≌△COQ（ASA），即可解决问题．
（3）分两种情形：如图2中，当点Q在BC的延长线上时，如图3中，当点Q在线段BC上时，作OH⊥BC于H．分别求解即可解决问题．
解：（1）∠OBF＝∠ACB，
证明：如图1中，连接OF．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，OA＝OC，OB＝OC，
∵OE⊥AC，
∴EA＝EC，
∵OB＝OC，
∴∠ACB＝∠OBC，
∵∠ABC＝90°，F是AE的中点，
∴BF＝EA＝EC，
∵OA＝OC，F是AE的中点，
∴OF∥BC，OF＝CE，
∴OF＝BF，∠BOF＝∠OBC，
∴∠OBF＝∠BOF，
∴∠OBF＝∠OBC＝∠ACB，
故答案为：∠OBF＝∠ACB；
（2）OP＝OQ，
证明：如图2中，
∵OC＝OB，EA＝EC，
∴∠ACB＝∠OBC＝∠CAE，
∴∠COB＝∠AEC，
∵∠POQ＝∠AEC，
∴∠COB＝∠POQ，
∴∠BOP＝∠COQ，
∵∠OBF＝∠ACB，
∴∠PBO＝∠QCO，
∵OB＝OC，
∴△BOP≌△COQ（ASA），
∴OP＝OQ．
（3）如图2中，当点Q在BC的延长线上时，
∵∠ACB＝30°＝∠COQ+∠Q，∠COQ＝15°，
∴∠COQ＝∠Q＝15°，
∴OC＝CQ＝AC＝AB＝，
∵△BOP≌△COQ，
∴BP＝CQ＝，
在Rt△ABE中，AB＝，∠AEB＝2∠ACB＝60°，
∴AE＝2，
∵F是AE的中点，
∴BF＝AE＝1，
∴FP＝BF+BP＝1+；
如图3中，当点Q在线段BC上时，作OH⊥BC于H．
∵∠COQ＝15°，∠ACB＝30°，
∴∠OQH＝15°+30°＝45°，
∴OH＝HQ＝AB＝，
∴CH＝，
∴BP＝CQ＝，
∵BF＝1，
∴FP＝BF﹣BP＝1﹣＝，
综上所述，FP的长度为1+或．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
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