5.1任意角与弧度制 练习（含解析）
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| 版本：人教A版（2019） |
| 类型： 试卷 |
| 地区：全国 |
| 文件：1.6MB |
| 日期：2024-01-12 |
| 作者：21jy_1106058281 |
| 星级：1 |
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内容预览
5.1任意角与弧度制 练习
一、单选题
1．二十四节气是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法，是中华民族劳动人民智慧的结晶．从立春起的二十四节气依次是立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒．二十四节气的对应图如图所示，从2022年4月20日谷雨节气到2022年12月7日大雪节气，圆上一点转过的弧所对圆心角的弧度数为（????）．
??????
A． B． C． D．
2．下列与2020°角的终边相同的角为（????）
A．200° B．140° C．-220° D．220°
3．我国采用的“密位制”是6000密位制，即将一个圆周分为6000等份，每一等份是一个密位，那么60密位等于（????）弧度．
A． B． C． D．
4．若角的终边落在如图所示的阴影部分内，则角的取值范围是（?????）
A． B．
C． D．
5．若扇形的周长为，面积为，则其圆心角的弧度数是（????）
A．1或4 B．1或2 C．2或4 D．1或5
6．在0°到范围内，与终边相同的角为（ ）
A． B．
C． D．
7．石碾子是我国电气化以前的重要粮食加工工具.它是依靠人力或畜力把谷子、稻子等谷物脱壳或把米碾碎成碴子或面粉的石制工具.如图，石碾子主要由碾盘、碾滚和碾架等组成，一个直径为60cm的圆柱形碾滚的最外侧与碾柱的距离为100cm，碾滚最外侧正上方为点，若人推动拉杆绕碾盘转动一周，则点距碾盘的垂直距离约为（????）
A．15cm B．cm
C．cm D．45cm
8．下列各角中，与角终边相同的角为：（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若角是第二象限角，则下列各角中是第三象限角的是（????）
A． B． C． D．
10．下列说法中正确的是（????）
A．度与弧度是度量角的两种不同的度量单位
B．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的
C．根据弧度的定义，一定等于弧度
D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关
11．已知是锐角，则（????）
A．是第三象限角 B．是小于的正角
C．是第一或第二象限角 D．是锐角
12．下列表示中正确的是（????）
A．终边在轴上的角的集合是
B．终边在第二象限的角的集合为
C．终边在坐标轴上的角的集合是
D．终边在直线上的角的集合是
三、填空题
13．已知某机械装置有两个相互鸣合的齿轮，大轮有48齿，小轮有18齿.如果小轮的转速为120转/分钟，大轮的半径为10cm，则大轮圆周上的一点每秒转过的弧长为 cm.
14．“一个角是第二象限角”是“这个角是钝角”的 条件.
15．已知扇形的面积为4，圆心角的弧度数是2，则该扇形的半径为 ．
16．已知一个扇形的弧所对的圆心角为40°，半径，则该扇形的弧长为 cm．
四、解答题
17．已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为.
(1)若，，求扇形的周长；
(2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，此时扇形的圆心角为多少弧度.
18．已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为．
(1)若，求扇形的弧长：
(2)若扇形的周长为12，当为多少弧度时，该扇形面积最大？并求出最大面积．
19．利用弧度制证明下列关于扇形的公式：其中是圆的半径，为圆心角，是扇形的弧长，是扇形的面积.
(1)；
(2)；
(3).
20．若扇形的周长是一定值C厘米（）．求证：该扇形面积有最大值，并求出面积最大时圆心角的弧度数．
21．在花样滑冰比赛中，运动员的动作是那么优美！尤其是原地转身和空中翻转的动作让我们叹为观止，运动员在原地转身的动作中，仅仅几秒内就能旋转十几圈，甚至二十几圈，因此，花样滑冰美丽而危险.
（1）他们顺时针旋转两圈半是多大的角度？
（2）若是逆时针旋转两圈半呢？
（3）把任意角化为且的形式的关键是什么？
22．园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为米，圆心角为(弧度）的扇形观景水池，其中为扇形的圆心，同时紧贴水池周边建设一圈理想的无宽度步道.要求总预算费用不超过24 万元，水池造价为每平米400元，步道造价为每米1000元.
（1）当和分别为多少时，可使得广场面积最大，并求出最大面积；
（2）若要求步道长为105米，则可设计出的水池最大面积是多少.
参考答案：
1．C
【分析】根据弧度制的定义计算出每一小格所代表的弧度即可得出答案.
【详解】依题意，二十四节气将一个圆24等分，所以每一份的弧度数位，
从谷雨到大雪，二十四节气圆盘需要顺时针旋转15个格，
所以转过的弧所对圆心角的弧度数为.
故选：C
2．D
【分析】根据终边相同的角相差的整数倍，即可求出．
【详解】因为，所以2020°与220°终边相同，其它角不满足.
故选：D.
3．B
【分析】先求出一个密位所对的弧长，再求出60密位所对的弧长为，从而可求出60密位的弧度数
【详解】解：因为将一个圆周分成6000等份，每一份是一个密位，
所以一个密位所对的弧长，
所以60密位所对的弧长为，
所以60密位的弧度数为，
故选：B
4．D
【分析】分析阴影部分的两条边界对应的内角的终边，然后直接写出范围即可.
【详解】阴影部分的两条边界分别是角的终边，所以的取值范围是.
故选D.
【点睛】本题考查根据阴影求角的范围表示，难度较易.求解角的范围时，注意两个点：（1）终边对应的范围内的角；（2）按逆时针方向表示.
5．A
【分析】由已知，设出扇形的半径和弧长，然后根据扇形周长和面积列出方程组，解出半径和弧长，然后直接计算圆心角的弧度数即可.
【详解】设扇形的半径为，弧长为，由题意得，解得或，
故扇形的圆心角的弧度数或 ．
故选：A.
6．B
【分析】根据终边相同角的概念判断即可；
【详解】解：因为，所以在0°到范围内与终边相同的角为；
故选：B
7．A
【分析】根据题意求出人推动拉杆绕碾盘转动一周，点所转过的角度进而确定点所在位置，利用角度和半径即可求出点到碾盘的垂直距离.
【详解】由题意碾滚最外侧滚过的距离为，碾滚的周长为，所以碾滚滚过圈，即滚过了，所以点距碾盘的垂直距离为.
故选：A.
8．A
【分析】与角终边相同的角为，取的值即可求解.
【详解】与角终边相同的角为，
令,可得，故A满足题意，其余选项代入可得k不是整数，
故选:A.
9．AC
【分析】利用不等式表示象限角，根据象限角的定义逐项判断可得答案.
【详解】因为角是第二象限角，所以，，
对于A ，，，故是第三象限角，故A正确；
对于B，，，故是第一象限角，故B不正确；
对于C ，，，故是第三象限角，故C正确；
对于D，,,故是第三象限角或轴负半轴上的角或第四象限角，故D不正确.
故选：AC
10．ABC
【分析】根据角度制与弧度制的定义，以及角度制和弧度制的换算公式，以及角的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】根据角度制和弧度制的定义可知，度与弧度是度量角的两种不同的度量单位，所以A正确；
由圆周角的定义知，1度的角是周角的，1弧度的角是周角的，所以B正确；
根据弧度的定义知，一定等于弧度，所以C正确；
无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短无关，只与弧长与半径的比值有关，故D不正确.
故选：ABC.
11．ABD
【分析】根据锐角的范围，直接利用不等式的运算法则即可求解.
【详解】由题知，
因为是锐角，所以，
对于A：所以，故A选项正确；
对于BC：，故B选项正确，C选项错误；
对于D：，故D选项正确；
故选：ABD.
12．ABC
【分析】利用终边相同的角的概念和象限角的概念进行判断即可.
【详解】A，B中表示显然正确；
对于C，终边在轴上的角的集合为，终边在轴上的角的集合为，其并集为，故C中表示正确；
对于D，终边在直线上的角的集合为或，其并集为，故D中表示不正确．
故选：ABC
13．15π
【分析】利用每秒转过的齿轮数相同即可求解.
【详解】由题意知，小轮每秒转过的圈数为，
则每秒大轮转过的圈数为，
所以大轮每秒转过的弧长为.
故答案为：.
14．必要不充分条件
【分析】写出第二象限角的范围以及钝角的范围，再按照充分必要条件的定义判断.
【详解】第二象限上的角满足，当时，这个角不是钝角，故不满足充分性，
钝角满足，这个角必在第二象限，满足必要性，
故“一个角在第二象限上”是“这个角为钝角”的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分条件.
15．
【分析】根据扇形的面积公式列式可求出结果.
【详解】依题意得，，设半径为，
由，得，得.
故答案为：
16．
【分析】直接利用弧长公式即可求解.
【详解】因为一个扇形的弧所对的圆心角为40°，所以圆心角的弧度数为，
所以该扇形的弧长为.
故答案为：
17．(1)
(2)最大值为，此时扇形的圆心角为弧度
【分析】（1）根据弧长公式计算即可；
（1）根据扇形的周长将用表示，再根据扇形的面积公式结合基本不等式即可得解.
【详解】（1），
故扇形的周长为；
（2）扇形的周长为20，
则，所以，
则扇形的面积，
当且仅当，即时取等号，
所以扇形面积的最大值为，此时扇形的圆心角为弧度.
18．(1)
(2)，最大值9
【分析】（1）将圆心角化为弧度，再由弧长公式求解即可；
（2）设扇形的弧长为，则，即，扇形的面积，由二次函数的性质求解即可.
【详解】（1），
（2）设扇形的弧长为，则，即，
扇形的面积，
所以当且仅当时，有最大值9，
此时．
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用弧度的定义证明即可；
（2）利用扇形的面积公式化简即可;
（3）利用和进行代换即可.
【详解】（1）由公式可得：.
（2）半径为，圆心角为的扇形的面积公式是：,
将转换为弧度制，得：，
于是.
（3）将代入，即得.
20．证明见解析，
【分析】先设出扇形得弧长和半径，利用扇形的弧长、半径与周长的关系以及弧长、半径与面积的关系建立等式求解即可.
【详解】设该扇形的弧长为，半径为，则有，得，
所以扇形面积，
所以当时此时面积有最大值，此时，
所以圆心角
21．（1）；（2）900°；（3）关键是确定.
【解析】（1）顺时针旋转决定是负角，再根据一圈是360度可得答案；
（2）逆时针旋转为正角；
（3）根据一条终边上的所有角相差360度的整数倍，所以关键是确定
【详解】（1）顺时针旋转两圈半，即.
（2）应为900°.
（3）关键是确定，可以用观察法（角的绝对值较小），也可用除法.
【点睛】本题考查了任意角的概念，考查了终边相同的角，属于基础题.
22．（1）见解析（2）337.5平方米
【详解】试题分析：（1）步道长为扇形周长，利用弧长公式及扇形面积公式可得不等式，利用基本不等式将不等式转化为关于的一元不等式，解得的范围，确定最大值为400.（2）由条件得，消得，由及，解出，根据二次函数最值取法得到当时，最大
试题解析：解：（1）由题意，弧长为，扇形面积为，
由题意，即，
即，
所以，所以，，则，
所以当时，面积的最大值为400.
（2）即，代入可得
或，
又，
当与不符，
在上单调，当时，最大平方米，此时.
粤公网安备 44030702000055号
