5.7 三角函数的应用-2023-2024学年高二数学(沪教版2020选择性必修第一册) 课件(共19张PPT)
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版本:人教A版(2019) |
类型: 课件 |
地区:全国 |
文件:2.8MB |
日期:2024-01-10 |
作者:21jywx_25025548 |
星级:2 |
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5.7 三角函数的应用
第1课时
1. 掌握简谐运动和交变电流模型应用的基本步骤;
2. 能从实际问题中抽象出三角函数模型,会用三角函数模型解决简单的实际问题.
知识点 1 :三角函数的实际应用
例 1:某个弹簧振子(简称振子)在完成一次全振动的过程中,
时间 t (单位:s)与位移 y (单位:mm) 之间的对应数据如下表所示.
请根据这些数据确定振子的位移关于时间的函数解析式.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}t
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
y
-20.0
-17.8
-10.1
0.1
10.3
17.7
20.0
17.7
10.3
0.1
-10.1
-17.8
-20.0
解:根据已知数据,
描出散点图:
由数据表和散点图可知,振子位移与时间的解析式为:
y = 20sin (???????????????????? – ????????),t∈[0,+ ∞).
?
现实生活中有大量类似弹簧振子的运动,如钟摆的摆动,水中浮标的上下浮动,琴弦的振动等.
这些振动都是物体在某一中心位置附近循环往复运动,在物理学中,把这样的运动成为“简谐运动”.
归纳总结
在适当的坐标系下,简谐运动可以用函数 y = Asin(ωx + φ) 表示.
A 是这个简谐运动的振幅,表示物体离开平衡位置的最大距离;
这个简谐运动的周期是 T = ???????????? ,表示物体往复运动一次需要的时间;
?
这个简谐运动的频率由公式 f = ????T = ???????????? 得出,物体单位时间内往返运动的次数;
?
ωx + φ 称为相位,x = 0 时的相位 φ 称为初相.
简谐运动的基本概念
练一练
1. 弹簧振子以 O 点为平衡位置,在 B,C 两点间做简谐运动,B,C两点相距 20 cm,某时刻振子处在 B 点,经 0.5 s 振子首次到达 C 点;求振动的振幅、周期和频率.
O
B
C
解:设振幅为 A,则 2A = 20 cm,即 A = 10 cm;
设周期为 T,频率为 f,则 ????2 = 0.5,即 T = 1.0 s;
所以 f = 1T = 1 Hz;
综上,该振子振动的振幅为 10 cm,周期为1.0 s,频率为 1 Hz.
?
例 2 :某次实验测得的交变电流 i (单位:A) 随时间 t (单位:s) 变化的图像放大之后如图,求电流 i 随时间 t 变化的函数关系式.
分析:由交流电的产生原理可知,电流 i 随时间 t 的变化规律可用 i = Asin (ωt + φ) 来刻画,其中 ???????????? 表示频率,A 表示振幅,φ 表示初相.
?
如图,求交变电流 i 随时间 t 变化的函数关系式.
解:电流 i 随时间 t 变化规律为:i = Asin (ωt + φ) ,
由图可知:电流最大值为 5 A,因此 A = 5;
电流变化的周期为 0.02 s,频率为 f = 1T = 50 Hz,
所以 f = ????2???? = 1T = 50,解得 ω = 100π;
再由初始状态(t = 0 s)的电流约为4.33 A,即 4.33 = 5sin φ,
解得 sin φ = 0.866,因此 φ 约为 ????3;
所以电流 i 随时间 t 变化的解析式为:i = 5sin (100πt + ????3) .
?
归纳总结
1. 频率指的是单位时间内完成周期性变化的次数,一般是指一秒内周期性变化的次数,频率 = 1周期,单位是赫兹,简称“赫”,记为 Hz;
?
2. 利用图像确定函数 y = Asin (ωt + φ) 的解析式,就是确定其中的参数 A、ω、φ 的值,其中:① A 由最大 (小) 值决定;② ω 由最小正周期决定;③ φ 由图像上的关键点求得,确定 φ 时,要注意它的不唯一性,一般是求|φ| 最小时的 φ 值.
交变电流模型的辨析
练一练
2. 已知某函数 y = Asin (ωt + φ) 的图像如图所示,求解析式?( 0 < φ < ????2 ) .
?
解:由图可知 A = 10,T = 2×(4300 – 1300) = 150,
所以 ω = 2???????? = 100π;
当 t = 0 时,y = 5,即 5 = 10sin φ,sin φ = 12,
又 0 < φ < ????2,故 φ = ????6;
所以函数解析式为: y = 10sin (100πt + ????6).
?
根据今天所学,回答下列问题:
(1)请简述,简谐运动和交变电流的图象中 振幅、周期、频率、相位 分别是什么意思?
(2)说说 ω、T、f 之间有着怎样的关系?
5.7 三角函数的应用
第2课时
1. 掌握三角函数模型应用基本步骤;
2. 能从实际问题中抽象出三角函数模型,会用三角函数模型解决简单的实际问题.
知识点 1 :三角函数的实际应用
例 1:如图,某地一天从 6 ~ 14 时的温度变化曲线近似满足函数:
y = Asin (ωx + φ) + b.
(1)求这一天 6 ~ 14 时的最大温差;
(2)写出这段曲线的函数解析式.
解:(1)由图可知:这段时间最大温差为 20 ℃;
(2)该图象是函数 y = Asin (ωx + φ) + b 的半个周期的函数图象,
所以 A = 10,b = 20, f = 1T = 1 Hz;又 12 ×2???????? = 14 – 6,解得 ω = ????8;
将 A = 10,b = 20,ω = ????8,x = 6,y = 10 代入,可得 φ = 3????4 .
综上,所求解析式为 y = 10sin (????8x + 3????4) + 20,x∈[6,14].
?
思考:如图,为什么一定要强调时间是 6 ~ 14 时的温度变化曲线?能不能用函数 y = Asin (ωx + φ) + b 表示全天的温度变化?
由于全天的温度波动过大,很难找到准确的函数解析式来表示全天的温度变化,故只能找某段时间内近似的变化曲线来用函数表示.
注意:一般求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,
因此要特别注意自变量的变化范围;如 y = 10sin (????8x + 3????4) + 20,x∈[6,14].
?
练一练
1. 商场人流量是指每分钟通过入口的人数. 元旦期间某商场的人流量满足函数 f (t) = 50 + 4sin ????2 (t ≥ 0),则下列时间段内人流量增加的是( )
A. [0,5] B. [5,10] C. [10,15] D. [15,20]
?
C
例 2 :某城市一年中 12 个月的平均气温 y 与月份 x 的关系可近似的用函数
????=????+????????????????????6?????6(????=1,2,3…11,12)来表示,已知6月份的平均气温最高为 28℃,12月份的月平均气温最低为18℃,则10月份的月平均气温是多少度?
?
解:由题意有28=????+????18=????+????????????????????612?6=?????????,解得 ????=23????=5,
?
所以????=23+5????????????????6?????6????=1,2,3…11,12;
?
当 x = 10 时,????=23+5????????????????610?6=23+5????????????2????3=20.5;
?
所以 10 月份的平均气温是 20.5℃.
练一练
2. 如图所示的是一个单摆,以平衡位置A为始边,OB为终边的角 θ (–π < θ < π) 与时间 t (s) 满足函数解析式 θ = 12 sin (2t + ????2),则当 t = 0 时,角 θ 的大小及单摆的频率是多少?
?
解:当 t = 0 时,θ = 12 sin (????2) = 12?,
由函数的解析式可知,函数的周期为 T = 2????2 = π,
则函数的频率为 f = 1???? = 1????.
?
????
?
????
?
????
?
????
?
三角函数模型应用基本步骤
实际问题
三角函数模型
三角函数模型的解
实际问题的解