5.1.1任意角 课件（共30张PPT）
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| 版本：人教A版（2019） |
| 类型： 课件 |
| 地区：全国 |
| 文件：6.5MB |
| 日期：2024-01-04 |
| 作者：21jy_6422580045 |
| 星级：1 |
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内容预览
本章主体：三角函数
解决问题：周期问题、简谐运动、交变电流……
学习方法：类比
研究思路：定义—图象—性质—应用
现实世界中的周期现象
三角函数
任意角
弧度制
三角函数的图像和性质
简单的三角恒等变形
函数
y=Asin(ωx+φ)
三角函数模型的应用
基本关系式
诱导公式
周期性
单调性
奇偶性
最值
三角函数变换公式
任意角
5.1.1 任意角
高一上学期
重点：将0°到360°范围的角扩充到任意角，弧度制，弧度与角度的互换.
难点：任意角概念的构建，弧度的概念，用集合表示终边相同的角.
?
周期性变化现象随处可见，圆周运动是研究这种现象的变化规律的理想载体.
如图，⊙????上的点????以????为起点做逆时针方向的旋转.如何刻画点????的位置变化呢？
?
????
?
????
?
????
?
????
?
初中
角：有公共端点的两条射线构成的几何图形.
角的大小：0°—360°
?
始边OA
旋转角α的度数
旋转方向(逆时针)
终边OP
P为射线OP
与圆的交点
角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形
生活中的任意角
时钟慢了1小时10分钟，
校准时分针要顺时针旋转420°
体操运动员单手侧空翻转体540°
体操运动员前空翻转体720°
主动轮逆时针旋转80°
被动轮顺时针旋转80°
旋转的方向
旋转的度数
旋转可以进行任意圈次
角：射线OA绕着端点O从起始位置OA按一定方向旋转到终止位置OB，形成∠AOB，
始边
终边
正角：
负角：
一条射线绕其端点顺时针旋转形成的角.
如：α=﹣660?，α=﹣150?.
一条射线绕其端点逆时针旋转形成的角.
如：α=60?，α=750?.
零角：
一条射线没作任何旋转.
(零角的始边与终边重合)
任意角
任意角
大小关系：正角>零角>负角
方向用
正负表示
几何概念代数化
相等关系：对于?两个角????、????，若旋转方向相同且旋转量相等，则称????=????．
?
“角?”或“∠?”可以简写成“? ”
思考：两个角也能像实数那样进行加减运算吗？
角的加法：
O
A
B
x
y
C
几何表示
设α、????是任意两个角.
我们规定，把角α的终边旋转角????，这时终边所对应的角是α+????.
?
代数表示
于是，像实数减法的“减去一个数对于加上这个数的相反数”一样，
角的减法：
如图，我们把射线????????绕端点????按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为?α.
?
相反角：
我们有?????????=????+(?????).
这样，角的减法可以转化为角的加法.
?
O
A
B
x
y
O
A
B
x
y
O
A
B
x
y
C
C
C
几何表示
代数表示
练习：射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝( )
A．150° B．－150° C．390° D．－390°
解析：各角和的旋转量等于各角旋转量的和．所以120°＋(－270°)＝－150°.
B
①经过过1小时，时针旋转形成的角为30°.( )
②终边与始边重合的角是零角.( )
③小于90°的角是锐角.( )
④一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大.( )
练习：判断正误：
顺时针旋转30°，即为﹣30°
始边终边重合的角可为0°, 360°, 720°, -360°等，即k·360°
小于90°的角可为45°，-120°，0°等，锐角是大于0°小于90°的角.
零角的终边与始边重合.
大于90°的角都是钝角
?
?
?
?
?
?
我们通常在直角坐标系内讨论角。
使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合，则
角的终边在第几象限，就说该角是第几象限角。
象限角与轴线角
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
思考1:40°、-130°、400°、?490°分别是第几象限角？
?
思考2:任意一个角都是象限角吗？
若角的终边在坐标轴上，则认为此角不属于任何一个象限.也称其为轴线角
思考3：在直角坐标系中，给定一个角，则该角对应的终边唯一确定；
反之，若给定终边位置OB，则该终边对应的角唯一吗？
思考4：那与角????终边相同的角之间有何联系，可以怎样表示？
?
不唯一
O
x
y
B
O
x
y
B
O
x
y
B
O
x
y
B
观察归纳：所有与45°终边相同的角，可统一表示为：
代数特征
几何直观
以45o的终边为始边，再逆时针(k>0)或顺时针(k<0)旋转|k|圈.
O
x
y
B
练习：与45°终边相同的角为____________________
45°+k·360°(k∈Z)
与角α终边相同的角的表示
所有与?终边相同的角,连同角?在内,可构成一个集合
任何与角?终边相同的角，都可以表示成角?与整数个周角的和.
{ β | β=α+k·360?, k∈Z }
每次的旋转量
旋转起始角
表示在α的基础上旋转的次数
特殊
一般
具体
抽象
与角α终边相同的角的表示
练习：判断正误
（1）锐角在第一象限，第一象限角一定是锐角。 （ ）
（2）终边在y轴非负半轴上的角是直角。 （ ）
（3）第二象限角大于第一象限角。 （ ）
（4）小于180°的角是钝角、直角或锐角。 （ ）
（5）第一象限角一定不是负角。 （ ）
（6）相等的角终边一定相同. （ ）
（7）三角形的内角必是第一、二象限角 （ ）
?
?
?
?
?
?
?
?
例1：在直角坐标系中作出下列角，并指出分别是第几象限角．
（1）－420o； （2）-140o； （3）1300o．
O
x
y
O
x
y
O
x
y
例2：在0°~360°范围内，找出与-950o角终边相同的角，并判定它是第几象限角.
?
解：记与?950°角终边相同的角为????，则
????=?950°+????·360°， ????∈????.
由题得: 0°≤ β < 360°，解得????=3，此时????=130°.
所以与?950°角终边相同的角为130° ，是第二象限的角.
?
变式：在0°~?360°范围内，找出与-950°12′角终边相同的角，并断定它是第几象限角.
?
解：?950°12′=129°48′?3×360°，
所以在0°~?360°范围内，与?950°12′角终边相同的角是129°48′，它是第二象限角.
?
教材P170例1
例3：写出终边在????轴上的角的集合.
?
小试：写出终边在????轴正半轴上的角的集合.
?
小试：写出终边在????轴负半轴上的角的集合.
?
????1=????????=90°+?????360°,????∈????
?
可以是其它的角度吗？
????2=????????=270°+?????360°,????∈????
?
????=????????=90°+?????180°,????∈????
?
教材P170例2
轴线角的集合：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}角????终边的位置
角????的集合表示
在????轴的非负半轴上
{????|????=?????????????????°，????∈????}
在x轴的非正半轴上
{????|????=????????????°+?????????????????°，????∈????}
在y轴的非负半轴上
{????|????=????????°+?????????????????°，????∈????}
在y轴的非正半轴上
{????|????=????????????°+?????????????????°，????∈????}
在x轴上
{????|????=?????????????????°，????∈????}
在y轴上
{????|????=????????°+?????????????????°，????∈????}
在坐标轴上
{????|????=?????????????°，????∈????}
变式：写出终边在直线????=????上的角的集合????.
????中满足不等式?360°≤????≤720°的元素????有哪些？
?
解：画出直线????=????，可以发现它与????轴的夹角是45°，
在0°~?360°范围内,终边在????=????上的角有两个，45°，225°.
因此，终边在直线????=????上的角的集合
????={????|????=45°+?????360°，????∈????}∪{????|????=225°+?????360°，????∈????}
={????|????=45°+?????180°，????∈????}.
????中适合不等式?360°≤????≤720°的元素????有：
45°?2×180°=?315°，45°?1×180°=?135°，
45°+0×180°=45°，45°+1×180°=225°，
45°+2×180°=405°，45°+3×180°=585°.
?
教材P171例3
练习：与-463°终边相同的角可以表示为( ).
A.?????360+463°(????∈????) B.?????360+103°(????∈????)
C.?????360+257°(????∈????) D.?????360?257°(????∈????)
?
解：因为-463°=257°?2×360°，所以与-463°终边相同的角可以表示为?????360°+257°(????∈????).
?
C
例4：若角α的终边在如图所示的阴影部分(包括边界)，请指出角α的取值范围.
第一象限角：
第二象限角：
第三象限角：
第四象限角：
练习：已知角α的终边在如图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α∈ .
x
O
θ
-θ
y
C
D
C
y
x
教材P176 T7
二等分
逆时针标1-4
三等分
教材P171
终边具有一定对称性的两个角之间的关系
若角????与角????的终边分别有如下对称性，试探究????与????的数值关系.
（1）终边关于坐标原点对称；
（2）终边关于????轴对称；
（3）终边关于????轴对称；
（4）终边关于直线????=????对称
?
终边对称的角
练习：(多选)下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是( )
A．α＋β＝180° B．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z)
C．α＋β＝k·360°(k∈Z) D．α＋β＝(2k＋1)·180°(k∈Z)
解析：假设α，β为0°～180°内的角，如图所示，
因为α，β的终边关于y轴对称，所以α＋β＝180°，所以A满足条件；
结合终边相同的角的概念，则α＋β＝k·360°＋180°＝(2k+1)·180°(k∈Z)，
所以D满足条件，A、D都满足条件．
AD
粤公网安备 44030702000055号
