[ID:3-5890441] [精]高中数学解题思路和方法探究—用集合法解数学题
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中小学教育资源及组卷应用平台 高中数学解题思路和方法探究 集合法解题的巧妙运用 大家是否有这样一种感觉,面对课本上学到的一大堆公式、定理不会运用,只能机械地模仿,常常束手无策、一筹莫展。当今学生的学习,尤其是理科学习,题海战法大行其道,但是做事要讲究方法,这种思维不能丢,因为思维方式不仅决定着学习的效果,还将影响今后生活和工作等各个方面。 数学家笛卡尔曾一针见血地指出:“没有正确的方法,即使是有眼睛的博学者也会像瞎子一样盲目摸索。”数学方法是数学的灵魂,只有掌握了数学方法,才能在看似错综复杂的数学习题前,从容不迫,得心应手。因此,要提高解题能力,必须在注重基础知识的同时,强化数学方法的学习和研究。 高中数学知识体系庞大,有必要对其解题方法和技巧做一番梳理和总结,强化在数学学习时把方法的掌握摆在十分突出的地位。下面首先试就用集合法解有关数学题做一初探。 在中学数学中,集合论的基础知识有着广泛的运用。许多问题,并不是以集合的形式给出的,但是,若用集合的思路方法去分析解决它们,则其解法思路清晰、简捷、明快,富有新意。这种利用集合的知识去解证数学问题的方法叫做集合法。随着学习和研究的深入,集合法将越来越引起人们的重视。 例1、 解不等式 【分析】观察可知,不等式比原不等式易解,为什么呢?因为原不等式的可正可负,两边同时平方就可能造成的范围扩大,最后的结果会出现错误。为了防止这种情况发生,就从问题的反面入手。因为在不等式里,只能大于等于零,两边同时平方就不存在上面的问题。若这个不等式的解集为A,这两个不等式允许的解集为I,则原不等式的解集为,因此只需要求出集合A。 解:显然,原不等式的允许值集为: ∴的解集为 于是 原不等式的解集为= 解说:本解法是补集思想的应用。 变式演练: 例2、 已知三个方程 ,, 中至少有一个方程有实根,求实根a的值集。 【分析】按“至少有一个方程有实根”进行讨论,问题比较复杂,但求解它的反面“三个方程都没有实根”比较简单,因此可用补集的思想去解决。 解:因这三个方程都无实数根的条件为: 所以使这三个方程中至少有一个方程有实根a的值集为 例3、 已知 ,求证: 证明:设集合A=, 集合B= 在平面直角坐标系中,集合A表示以点(-1,0)为圆心,1为半径的圆的内部(不包括边界)的点集,集合B表示以点(-3,0)为圆心,以1为半径的圆的外部(不包括边界)的点集。 由此易得 。从而若点 ,则点,即若,则 解说:本证法通过构造集合,运用解析集合知识极其巧妙。 变式演练:已知 ,求证: 例4、今有A、B、C、D、E五个学生站成一列,若A不站在排头,B不站在排尾,C不站在中间,共有多少种不同的站法。 解:设 表示这五个同学无限制条件的全排列种数, 分别表示A站在排头、B站在排尾、C站在中间的排列种数,分别表示A站在排头且B站在排尾、B站在排尾且C站在中间、A站在排头且C站在中间的排列种数,表示A站在排头、B站在排尾且C站在中间的排列种数,表示A站在排头或B站在排尾或C站在中间的排列种数,表示A不站在排头、B不站在排尾、C不站在中间的排列种数,则易得 =, , , 由图可得=- =-=64 解说:一般地说,用集合法解含有附加条件的排列组合问题,容易对问题进行科学分类,能避免重复或遗漏现象发生。 变式演练:8人排成一排,A不站在排头,B不站在排尾,共有多少种排法? 例5、求前1000个自然数中不能被7整除的数的个数。 解:设和分别表示前1000个自然数中可被7整除和不可被7整除的自然数的个数,设初值为7,得等差数列:,得 于是=1000-142=858. 例6、某校先后对高三语文、数学和外语三科进行抽测,学生中至少被抽测一科的:语文204人,数学180人,外语166人;至少被抽测两科的:语文和数学143人,语文和外语116人、数学和外语97人;三科都被抽测的89人。求被抽测的学生人数。 设被抽测语文、数学、外语的学生集合分别为A、B、C,则==204+180+166-143-116-97+89=283 变式演练答案: 解:显然,原不等式的允许值集为: ∴的解集为 于是 原不等式的解集为= 已知 ,求证: 证明:设集合A=, 集合B= 在平面直角坐标系中,集合A表示以点(1,0)为圆心,1为半径的圆的内部(不包括边界)的点集,集合B表示以点(-1,-2)为圆心,以1为半径的圆的外部(包括边界)的点集。 由此易得 。从而若点 ,则点,即若,则 8人排成一排,A不站在排头,B不站在排尾,共有多少种排法? 提示: =-= 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 7 页) HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com) " 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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  • 资料类型: 试卷
  • 资料版本:通用
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