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  • ID:3-7131447 2020年北师大版 数学八年级下学期 第3章 图形的平移与旋转 单元测试卷 (含详细答案 Word版+PDF版)

    初中数学/北师大版/八年级下册/第三章 图形的平移与旋转/本章综合与测试

    2020学年八年级下学期 第 3章 图形的平移与旋转 单元测试卷 一、选择题 1.下列图形中,可以看作是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 2.下列图形:①线段;②角;③等边三角形;④平行四边形;⑤矩形;⑥菱形;⑦正方形, 既是轴对称图形,又是中心对称图有几个 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 3.如图,将 ABC? 沿 BC方向平移 3cm得到 DEF? ,若 ABC? 的周长为14cm,则四边形 ABFD的周长为 ( ) A.14cm B.17cm C. 20cm D. 23cm 4.如图,将 ABC? 绕点 A旋转后得到 ADE? ,则旋转方式为 ( ) A.顺时针旋转 90? B.逆时针旋转90? C.顺时针旋转 45? D.逆时针旋转 45? 5.将点 ( 2, 3)P ? ? 向左平移 3个长度单位,再向上平移 2个长度单位得到点Q,则点Q的坐 标是 ( ) A. (1, 3)? B. ( 2,1)? C. ( 5, 1)? ? D. ( 5,5)? 6.如图在一块长为12m,宽为 6m的长方形草地上,有一条弯曲的柏油小路(小路任何地 方的水平宽度都是 2 )m 则空白部分表示的草地面积是 ( ) A.70 B.60 C.48 D.18 7.在俄罗斯方块游戏中,若某行被小方格块填满,则该行中的所有小方格会自动消失.现 在游戏机屏幕下面三行已拼成如图所示的图案,屏幕上方又出现一小方格块正向下运动, 为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失,你可以将图形 进行以下的操作 ( ) A.先逆时针旋转 90?,再向左平移 B.先顺时针旋转 90?,再向左平移 C.先逆时针旋转 90?,再向右平移 D.先顺时针旋转 90?,再向右平移 8.如图,把 ABC? 绕着点 A顺时针旋转得到△ AB C? ?,点C 的对应点C?落在 BC边上,若 40BAB? ? ? ?,则 C? 为 ( ) A. 50? B. 60? C. 70? D.80? 9.如图,Rt ABC? 中, 90C? ? ?, 30ABC? ? ?, 2AC ? , ABC? 绕点C顺时针旋转得 CEF? , 当 E落在 AB边上时,连接 BF ,取 BF 的中点D,连接 ED,则 ED的长度是 ( ) A. 7 B. 2 2 C.3 D. 2 3 10.如图,将 ABC? 绕点C顺时针旋转得到 DEC? ,使点 A的对应点 D恰好落在边 AB上, 点 B 的对应点为 E ,连接 BE ,其中有:① AC AD? ;② AB EB? ;③ BC DE? ;④ A EBC? ? ? ,四个结论,则结论一定正确的有 ( )个. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二.填空题(共 10小题) 11.已知,点 ( ,1)A a 和点 (3, )B b 关于原点O对称,则 a b? 的值为 . 12.如图是楼梯截面,其中 3AC m? , 4BC m? , 5AB m? ,要在其表面铺地毯,地毯长至 少需 米. 13.平移不改变图形的形状和大小.如图, DEF? 是由 ABC? 经过平移得到的,若 80C? ? ?, 33A? ? ?,则 EDF? ? , DEF? ? . 14.如图所示, COD? 是 AOB? 绕点O顺时针方向旋转35?后所得的图形,点C 恰好在 AB 上, 90AOD? ? ?,则 BOC? 的度数是 . 15.如图,将 ABC? 沿射线 AB的方向平移到 DEF? 的位置,点 A、B、C的对应点分别为 点D、 E、 F ,若 75ABC? ? ?,则 CFE? ? 16.如图,将Rt ABC? 绕直角顶点C顺时针旋转 90?,得到△ A B C? ? ?,连接 AA?,若 1 25? ? ?, 则 BAA?? 的度数是 . 17.如图,已知一块直角三角板的直角顶点与原点O重合,另两个顶点 A, B的坐标分别 为 ( 1,0)? , (0, 3),现将该三角板向右平移使点 A与点O重合,得到 OCB?? ,则点 B的对 应点 B?的坐标为 . 18.如图, ABC? 的顶点都在网格点上,将 ABC? 向右平移 3 个单位长度,再向上平移 2 个单位长度,则平移后得到的△ A B C? ? ?三个顶点 A?、 B?、C?的坐标分别是 . 19.如图,在平面直角坐标系中,点 A坐标为 (1,3),将线段OA向左平移 2 个单位长度, 得到线段O A? ?,则点 A的对应点 A?的坐标为 . 20.在直角梯形 ABCD中, / /AD BC, 90DAB? ? ?, 1AD ? , 2BC ? .连接 BD, 把 ABD? 绕着点 B逆时针旋转90?得到 EBF? ,若点 F 刚好落在DA的延长线上,则 C? ? ?. 三.解答题(共 7小题) 21.如图,在 ABC? 中, 90C? ? ?, 2AC cm? , 3AB cm? ,将 ABC? 绕点 B顺时针旋转 60? 得到 FBE? ,求点 E与点C之间的距离. 22.如图,四边形 ABCD是正方形, E、 F 分别是 AB和 AD延长线上的点, BE DF? , 在此图中是否存在两个全等的三角形,并说明理由;它们能够由其中一个通过旋转而得 到另外一个吗?简述旋转过程. 23.如图, ABC? 中,点 E在 BC边上, AE AB? ,将线段 AC 绕 A点旋转到 AF 的位置, 使得 CAF BAE? ? ? ,连接 EF , EF 与 AC 交于点G. (1)求证: EF BC? ; (2)若 65ABC? ? ?, 28ACB? ? ?,求 FGC? 的度数. 24.如图,在 Rt ABC? 中, 90ACB? ? ?,点 D、 E分别在 AB、 AC 上,且CE BC? ,连 接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转 90?后得到CF ,连接 EF . (1)求证: BDC EFC? ? ? ; (2)若 / /EF CD,求证: 90BDC? ? ?. 25.如图,在平面直角坐标系中,已知点 ( 3,4)A ? , ( 4,2)B ? , ( 2,0)C ? ,且点 ( , )P a b 是三 角形 ABC边上的任意一点,三角形 ABC经过平移后得到三角形 1 1 1A BC ,点 ( , )P a b 的对 应点 1( 6, 3)P a b? ? . (1)直接写出 1A的坐标 ; (2)在图中画出三角形 1 1 1A BC ; (3)求出三角形 ABC的面积. 26.如图,已知射线 / /CD OA , E 、 F 是 OA上的两动点, CE 平分 OCF? 且满足 FCA FAC? ? ? , O ADC? ? ? . (1)判断 AD与OB的位置关系,并证明你的结论; (2)当 60O? ? ?时,求 ACE? 的度数; (3)在(2)的条件下,当左右平移 AD时,请直接写出 OEC? 与 CAD? 之间的数量关系. 27.现有一块长方形花园(如图一所示),长为 12米,宽为 10米,现准备在花园中间修建 横竖两条小路(图中空白部分),已知横向小路的宽是竖向小路的宽的 2倍,设竖向小路的 宽为 x米 (x为正数). (1)两条小路的面积之和是多少? (2)当 1x ? 时,求花园剩余部分(阴影部分)的面积; (3)若把竖向小路的宽改为原来的 2.2倍、横向小路的宽改为原来的一半(如图二所示), 设图一与图二中花园剩余部分的面积分别为 1S 、 2S ,求 1S 与 2S 的差. 参考答案 一.选择题(共 10小题) 1.下列图形中,可以看作是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解: A、不是中心对称图形,故本选项不合题意; B、是中心对称图形,故本选项符合题意; C、不中心对称图形,故本选项不合题意; D、不中心对称图形,故本选项不合题意. 故选: B. 2.下列图形:①线段;②角;③等边三角形;④平行四边形;⑤矩形;⑥菱形;⑦正方形, 既是轴对称图形,又是中心对称图有几个 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解::①线段;②角;③等边三角形;④平行四边形;⑤矩形;⑥菱形;⑦正方形中,既是 轴对称图形,又是中心对称图有①⑤⑥⑦,共 4个. 故选: B. 3.如图,将 ABC? 沿 BC方向平移 3cm得到 DEF? ,若 ABC? 的周长为14cm,则四边形 ABFD的周长为 ( ) A.14cm B.17cm C. 20cm D. 23cm 解: ABC?? 沿 BC方向平移 3cm得到 DEF? , DF AC? ? , 3AD CF cm? ? , ABC?? 的周长为14cm,即 14AB BC AC cm? ? ? , 14 3 3 20( )AB BC CF DF AD AB BC AC AD CF cm? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 即四边形 ABFD的周长为 20cm. 故选:C. 4.如图,将 ABC? 绕点 A旋转后得到 ADE? ,则旋转方式为 ( ) A.顺时针旋转 90? B.逆时针旋转90? C.顺时针旋转 45? D.逆时针旋转 45? 解:根据题意得 AB AD? , AC AE? , 90BAD? ? ?, 90CAE? ? ?, 所以把 ABC? 绕点 A逆时针旋转 90?后得到 ADE? . 故选: B. 5.将点 ( 2, 3)P ? ? 向左平移 3个长度单位,再向上平移 2个长度单位得到点Q,则点Q的坐 标是 ( ) A. (1, 3)? B. ( 2,1)? C. ( 5, 1)? ? D. ( 5,5)? 解:根据题意,点Q的横坐标为: 2 3 5? ? ? ? ;纵坐标为 3 2 1? ? ? ? ; 即点Q的坐标是 ( 5, 1)? ? . 故选:C. 6.如图在一块长为12m,宽为 6m的长方形草地上,有一条弯曲的柏油小路(小路任何地 方的水平宽度都是 2 )m 则空白部分表示的草地面积是 ( ) A.70 B.60 C.48 D.18 解:草地面积 ?矩形面积 ?小路面积 12 6 2 6? ? ? ? 260( )m? . 故选: B. 7.在俄罗斯方块游戏中,若某行被小方格块填满,则该行中的所有小方格会自动消失.现 在游戏机屏幕下面三行已拼成如图所示的图案,屏幕上方又出现一小方格块正向下运动, 为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失,你可以将图形 进行以下的操作 ( ) A.先逆时针旋转 90?,再向左平移 B.先顺时针旋转 90?,再向左平移 C.先逆时针旋转 90?,再向右平移 D.先顺时针旋转 90?,再向右平移 解:屏幕上方又出现一小方格块正向下运动,为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失, 可以先逆时针旋转90?,再向左平移. 故选: A. 8.如图,把 ABC? 绕着点 A顺时针旋转得到△ AB C? ?,点C 的对应点C?落在 BC边上,若 40BAB? ? ? ?,则 C? 为 ( ) A. 50? B. 60? C. 70? D.80? 解:由旋转的性质得: 40BAB CAC? ?? ? ? ? ?, AC AC? ? , AC C C??? ? ? , 180C CAC AC C? ?? ? ? ? ? ? ?? , 180 40 70 2 C ? ? ??? ? ? ?, 故选:C. 9.如图,Rt ABC? 中, 90C? ? ?, 30ABC? ? ?, 2AC ? , ABC? 绕点C顺时针旋转得 CEF? , 当 E落在 AB边上时,连接 BF ,取 BF 的中点D,连接 ED,则 ED的长度是 ( ) A. 7 B. 2 2 C.3 D. 2 3 解: 90ACB? ? ?? , 30ABC? ? ?, 2AC ? , 90 60A ABC?? ? ? ?? ? ?, 4AB ? , 2 3BC ? , ABC?? 绕点C顺时针旋转得 CEF? , CA CE? ? , ACE BCF? ? ? , BC CF? , ACE?? 是等边三角形, 2AE AC BE EC? ? ? ? , 60BCF ACE?? ? ? ? ?, CB CF?? , BCF?? 是等边三角形, 2 3BF? ? , 60CBF? ? ?, ?点 D是 BF 中点, 3BD? ? ,且 2BE ? , 90ABF? ? ?, 2 2 3 4 7DE BD BE? ? ? ? ? ? , 故选: A. 10.如图,将 ABC? 绕点C顺时针旋转得到 DEC? ,使点 A的对应点 D恰好落在边 AB上, 点 B 的对应点为 E ,连接 BE ,其中有:① AC AD? ;② AB EB? ;③ BC DE? ;④ A EBC? ? ? ,四个结论,则结论一定正确的有 ( )个. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解:?将 ABC? 绕点C顺时针旋转得到 DEC? , AC CD? ? , BC CE? , AB DE? ,故①、③错误; ACD BCE?? ? ? , 1 (180 ) 2 A ADC ACD?? ? ? ? ? ?? , 1 (180 ) 2 CBE BCE? ? ? ?? , A EBC?? ? ? ,故④正确; A ABC? ? ?? 不一定等于 90?, ABC CBE?? ?? 不一定等于 90?,故②错误; 故选: A. 二.填空题(共 10小题) 11.已知,点 ( ,1)A a 和点 (3, )B b 关于原点O对称,则 a b? 的值为 4? . 解:?点 ( ,1)A a 是点 (3, )B b 关于原点O的对称, 3a? ? ? , 1b ? ? , 4a b? ? ? ? . 故答案为: 4? . 12.如图是楼梯截面,其中 3AC m? , 4BC m? , 5AB m? ,要在其表面铺地毯,地毯长至 少需 7 米. 解: 4 3 7? ? (米 ). 答:地毯长至少需 7米. 故答案为:7. 13.平移不改变图形的形状和大小.如图, DEF? 是由 ABC? 经过平移得到的,若 80C? ? ?, 33A? ? ?,则 EDF? ? 33? , DEF? ? . 解:?平移不改变图形的形状和大小, DEF?? 是由 ABC? 经过平移得到的, 若 80C? ? ?, 33A? ? ?,则 33EDF A? ? ? ? ?, 180 80 33 67DEF ABC? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 故答案为: 33?, 67?. 14.如图所示, COD? 是 AOB? 绕点O顺时针方向旋转35?后所得的图形,点C 恰好在 AB 上, 90AOD? ? ?,则 BOC? 的度数是 20? . 解: COD?? 是 AOB? 绕点O顺时针方向旋转 35?后所得的图形, 35AOC BOD?? ? ? ? ?,且 90AOD? ? ?, 20BOC?? ? ?, 故答案为 20? 15.如图,将 ABC? 沿射线 AB的方向平移到 DEF? 的位置,点 A、B、C的对应点分别为 点D、 E、 F ,若 75ABC? ? ?,则 CFE? ? 105? 解:由平移可知 75DEF ABC? ? ? ? ?, / /BE CF? , 180 180 75 105EFC DEF?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?. 故答案是:105?. 16.如图,将Rt ABC? 绕直角顶点C顺时针旋转 90?,得到△ A B C? ? ?,连接 AA?,若 1 25? ? ?, 则 BAA?? 的度数是 65? . 解: Rt ABC?? 绕直角顶点C顺时针旋转 90?得到△ A B C? ? , AC AC? ? ? , ACA?? ?是等腰直角三角形, 45CA A?? ? ? ?, 20CA B BAC? ? ? ? ? ? ? 180 70 45 65BAA?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, 故答案为: 65?. 17.如图,已知一块直角三角板的直角顶点与原点O重合,另两个顶点 A, B的坐标分别 为 ( 1,0)? , (0, 3),现将该三角板向右平移使点 A与点O重合,得到 OCB?? ,则点 B的对 应点 B?的坐标为 (1, 3) . 解:因为点 A与点O对应,点 ( 1,0)A ? ,点 (0,0)O , 所以图形向右平移 1个单位长度, 所以点 B的对应点 B?的坐标为 (0 1, 3)? ,即 (1, 3), 故答案为: (1, 3). 18.如图, ABC? 的顶点都在网格点上,将 ABC? 向右平移 3 个单位长度,再向上平移 2 个单位长度,则平移后得到的△ A B C? ? ?三个顶点 A?、 B?、C?的坐标分别是 (1,3)A? 、 ( 1,0)B? ? 、 (2, 1)C? ? . 解:因为点 ( 2,1)A ? 、 ( 4, 2)B ? ? 、 ( 1, 3)C ? ? , 所以向右平移 3个单位长度,再向上平移 2个单位长度平移后的对应点的坐标为: (1,3)A? 、 ( 1,0)B? ? 、 (2, 1)C? ? , 故答案为: (1,3)A? 、 ( 1,0)B? ? 、 (2, 1)C? ? . 19.如图,在平面直角坐标系中,点 A坐标为 (1,3),将线段OA向左平移 2 个单位长度, 得到线段O A? ?,则点 A的对应点 A?的坐标为 ( 1,3)? . 解:?点 A坐标为 (1,3), ?线段OA向左平移 2个单位长度,点 A的对应点 A?的坐标为 (1 2,3)? , 即 ( 1,3)? , 故答案为: ( 1,3)? . 20.在直角梯形 ABCD中, / /AD BC, 90DAB? ? ?, 1AD ? , 2BC ? .连接 BD, 把 ABD? 绕着点 B逆时针旋转90?得到 EBF? ,若点 F 刚好落在DA的延长线上,则 C? ? 45 ?. 解:作DH BC? 于H ,如图, / /AD BC? , 90DAB? ? ?, ?四边形 ABHD为矩形, 1BH AD? ? ? , AB DH? , 2 1 1HC BC BH? ? ? ? ? ? , ABD?? 绕着点 B逆时针旋转90?得到 EBF? , 90FBD?? ? ?, BF BD? , BDF?? 为等腰直角三角形, ?点F 刚好落在DA的延长线上, BA DF? ? , 1AB AF AD? ? ? ? , 1DH? ? , DHC?? 为等腰直角三角形, 45C?? ? ?. 故答案为45?. 三.解答题(共 7小题) 21.如图,在 ABC? 中, 90C? ? ?, 2AC cm? , 3AB cm? ,将 ABC? 绕点 B顺时针旋转 60? 得到 FBE? ,求点 E与点C之间的距离. 解:连接 EC,即线段 EC的长是点 E与点C之间的距离, 在Rt ACB? 中,由勾股定理得: 2 2 9 4 5BC AB AC? ? ? ? ? 将 ABC? 绕点 B顺时针旋转 60?得到 FBE? , BC BE? ? , 60CBE? ? ? BEC?? 是等边三角形 5EC BE BC? ? ? ? 22.如图,四边形 ABCD是正方形, E、 F 分别是 AB和 AD延长线上的点, BE DF? , 在此图中是否存在两个全等的三角形,并说明理由;它们能够由其中一个通过旋转而得 到另外一个吗?简述旋转过程. 解:在此图中存在两个全等的三角形,即 CDF CBE? ? ? .理由如下: ?点 F 在正方形 ABCD的边 AD的延长线上, 90CDF CDA?? ? ? ? ?; 在 CDF? 和 CBE? 中, 90 CD CB CDF CBE DF BE ?? ?? ? ? ? ?? ? ?? , ( )CDF CBE SAS?? ? ? , FCD ECB?? ? ? (全等三角形的对应角相等),CF CE? (全等三角形的对应边相等), 90FCE FCD DCE ECB DCE DCB?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?, CDF?? 是由 CBE? 绕点C 沿顺时针方向旋转 90?得到的. 23.如图, ABC? 中,点 E在 BC边上, AE AB? ,将线段 AC 绕 A点旋转到 AF 的位置, 使得 CAF BAE? ? ? ,连接 EF , EF 与 AC 交于点G. (1)求证: EF BC? ; (2)若 65ABC? ? ?, 28ACB? ? ?,求 FGC? 的度数. 【解答】(1)证明: CAF BAE? ? ?? , BAC EAF?? ? ? . ?将线段 AC 绕 A点旋转到 AF 的位置, AC AF? ? . 在 ABC? 与 AEF? 中, AB AE BAC EAF AC AF ?? ?? ? ?? ? ?? , ( )ABC AEF SAS?? ? ? , EF BC? ? ; (2)解: AB AE?? , 65ABC? ? ?, 180 65 2 50BAE?? ? ? ? ?? ? ?, 50FAG BAE?? ? ? ? ?. ABC AEF? ? ?? , 28F C?? ? ? ? ?, 50 28 78FGC FAG F?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?. 24.如图,在 Rt ABC? 中, 90ACB? ? ?,点 D、 E分别在 AB、 AC 上,且CE BC? ,连 接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转 90?后得到CF ,连接 EF . (1)求证: BDC EFC? ? ? ; (2)若 / /EF CD,求证: 90BDC? ? ?. 【解答】证明:(1)由旋转的性质得,CD CF? , 90DCF? ? ?, 90DCE ECF?? ?? ? ?, 90ACB? ? ?? , 90BCD DCE?? ?? ? ?, BCD ECF?? ? ? , 在 BDC? 和 EFC? 中, CE BC BCD ECF CD CF ?? ?? ? ?? ? ?? , ( )BDC EFC SAS?? ? ? ; (2) / /EF CD? , 180F DCF?? ?? ? ?, 90DCF? ? ?? , 90F?? ? ?, BDC EFC? ? ?? , 90BDC F?? ? ? ? ?. 25.如图,在平面直角坐标系中,已知点 ( 3,4)A ? , ( 4,2)B ? , ( 2,0)C ? ,且点 ( , )P a b 是三 角形 ABC边上的任意一点,三角形 ABC经过平移后得到三角形 1 1 1A BC ,点 ( , )P a b 的对 应点 1( 6, 3)P a b? ? . (1)直接写出 1A的坐标 (3,1) ; (2)在图中画出三角形 1 1 1A BC ; (3)求出三角形 ABC的面积. 解:(1)如图所示,点 ( , )P a b 的对应点为 1( 6, 3)P a b? ? , ?平移的方向和距离为:向右平移 6个单位,向下平移 3个单位, 又 ( 3,4)A ?? , 1A? 的坐标为 (3,1). 故答案为: (3,1). (2)如图所示,△ 1 1 1A BC 即为所求; (3)如图所示,作长方形CDEF ,则 2CF ? , 4CD ? , 1AE ? , 2BE ? , 2BF ? , 1AD ? , ABC?? 的面积为: 1 1 1 2 2 2 CF CD AD CD AE BE BF CF? ? ?? ? ? ? 1 1 12 4 1 4 1 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8 2 1 2? ? ? ? 3? . 26.如图,已知射线 / /CD OA , E 、 F 是 OA上的两动点, CE 平分 OCF? 且满足 FCA FAC? ? ? , O ADC? ? ? . (1)判断 AD与OB的位置关系,并证明你的结论; (2)当 60O? ? ?时,求 ACE? 的度数; (3)在(2)的条件下,当左右平移 AD时,请直接写出 OEC? 与 CAD? 之间的数量关系. 解:(1) / /CD OA? , BCD O?? ? ? , O ADC? ? ?? , BCD CDA?? ? ? , / /AD OB? ; (2) 60O ADC? ? ? ? ?? , 60BCD?? ? ?, 120OCD?? ? ?, / /CD OA? , DCA CAO?? ? ? , FCA FAC? ? ?? , DCA FCA?? ? , CE? 平分 OCF? , OCE FCE?? ? ? , 1 60 2 ECF ACF OCD?? ?? ? ? ? ?, 60ACE?? ? ?; (3) 180CAD OEC? ?? ? ?, 理由: / /AD OC? , CAD OCA?? ? ? , 60OCA OCE ACE OCE? ? ? ?? ? ? ? ?? , 60AEC O OCE OCE? ? ? ?? ? ? ? ?? , AEC CAD?? ? ? , 180AEC OEC? ?? ? ?? , 180CAD OEC?? ? ? ? ?. 27.现有一块长方形花园(如图一所示),长为 12米,宽为 10米,现准备在花园中间修建 横竖两条小路(图中空白部分),已知横向小路的宽是竖向小路的宽的 2倍,设竖向小路的 宽为 x米 (x为正数). (1)两条小路的面积之和是多少? (2)当 1x ? 时,求花园剩余部分(阴影部分)的面积; (3)若把竖向小路的宽改为原来的 2.2倍、横向小路的宽改为原来的一半(如图二所示), 设图一与图二中花园剩余部分的面积分别为 1S 、 2S ,求 1S 与 2S 的差. 解:(1)设纵向道路的宽是 x米, ?横向道路的宽是纵向道路的宽的 2倍, ?横向道路的宽为 2x米; 两条小路的面积之和为: 2 212 2 (10 2 ) 2 34 ( )x x x x x m? ? ? ? ? ? ; (2)当 1x ? 时,求花园剩余部分(阴影部分)的面积为: 2 212 10 ( 2 1 34 1) 88m? ? ? ? ? ? ? ; (3)在图(一 )中,菜地的面积为: 2 21 12 10 (34 2 ) 120 34 2S x x x x? ? ? ? ? ? ? (平方米), 在图(二 )中,菜地的面积为: 22 12 10 (12 10 2.2 2.2 ) 120 34 2.2S x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?? (平 方米), 2 2 2 2 1 (120 34 2.2 ) (120 34 2 ) 0.2S S x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? . 2020学年八年级下学期 第3章 图形的平移与旋转 单元测试卷 一、选择题 1.下列图形中,可以看作是中心对称图形的是   A. B. C. D. 2.下列图形:①线段;②角;③等边三角形;④平行四边形;⑤矩形;⑥菱形;⑦正方形,既是轴对称图形,又是中心对称图有几个   A.3 B.4 C.5 D.6 3.如图,将沿方向平移得到,若的周长为,则四边形的周长为   A. B. C. D. 4.如图,将绕点旋转后得到,则旋转方式为   A.顺时针旋转 B.逆时针旋转 C.顺时针旋转 D.逆时针旋转 5.将点向左平移3个长度单位,再向上平移2个长度单位得到点,则点的坐标是   A. B. C. D. 6.如图在一块长为,宽为的长方形草地上,有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是则空白部分表示的草地面积是   A.70 B.60 C.48 D.18 7.在俄罗斯方块游戏中,若某行被小方格块填满,则该行中的所有小方格会自动消失.现在游戏机屏幕下面三行已拼成如图所示的图案,屏幕上方又出现一小方格块正向下运动,为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失,你可以将图形进行以下的操作   A.先逆时针旋转,再向左平移 B.先顺时针旋转,再向左平移 C.先逆时针旋转,再向右平移 D.先顺时针旋转,再向右平移 8.如图,把绕着点顺时针旋转得到△,点的对应点落在边上,若,则为   A. B. C. D. 9.如图,中,,,,绕点顺时针旋转得,当落在边上时,连接,取的中点,连接,则的长度是   A. B. C.3 D. 10.如图,将绕点顺时针旋转得到,使点的对应点恰好落在边上,点的对应点为,连接,其中有:①;②;③;④,四个结论,则结论一定正确的有  个. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二.填空题(共10小题) 11.已知,点和点关于原点对称,则的值为  . 12.如图是楼梯截面,其中,,,要在其表面铺地毯,地毯长至少需  米. 13.平移不改变图形的形状和大小.如图,是由经过平移得到的,若,,则   ,   . 14.如图所示,是绕点顺时针方向旋转后所得的图形,点恰好在上,,则的度数是  . 15.如图,将沿射线的方向平移到的位置,点、、的对应点分别为点、、,若,则   16.如图,将绕直角顶点顺时针旋转,得到△,连接,若,则的度数是   . 17.如图,已知一块直角三角板的直角顶点与原点重合,另两个顶点,的坐标分别为,,现将该三角板向右平移使点与点重合,得到,则点的对应点的坐标为  . 18.如图,的顶点都在网格点上,将向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,则平移后得到的△三个顶点、、的坐标分别是  . 19.如图,在平面直角坐标系中,点坐标为,将线段向左平移2个单位长度,得到线段,则点的对应点的坐标为   . 20.在直角梯形中,,,,.连接,把绕着点逆时针旋转得到,若点刚好落在的延长线上,则   . 三.解答题(共7小题) 21.如图,在中,,,,将绕点顺时针旋转得到,求点与点之间的距离. 22.如图,四边形是正方形,、分别是和延长线上的点,,在此图中是否存在两个全等的三角形,并说明理由;它们能够由其中一个通过旋转而得到另外一个吗?简述旋转过程. 23.如图,中,点在边上,,将线段绕点旋转到的位置,使得,连接,与交于点. (1)求证:; (2)若,,求的度数. 24.如图,在中,,点、分别在、上,且,连接,将线段绕点按顺时针方向旋转后得到,连接. (1)求证:; (2)若,求证:. 25.如图,在平面直角坐标系中,已知点,,,且点是三角形边上的任意一点,三角形经过平移后得到三角形,点的对应点. (1)直接写出的坐标  ; (2)在图中画出三角形; (3)求出三角形的面积. 26.如图,已知射线,、是上的两动点,平分且满足,. (1)判断与的位置关系,并证明你的结论; (2)当时,求的度数; (3)在(2)的条件下,当左右平移时,请直接写出与之间的数量关系. 27.现有一块长方形花园(如图一所示),长为12米,宽为10米,现准备在花园中间修建横竖两条小路(图中空白部分),已知横向小路的宽是竖向小路的宽的2倍,设竖向小路的宽为米为正数). (1)两条小路的面积之和是多少? (2)当时,求花园剩余部分(阴影部分)的面积; (3)若把竖向小路的宽改为原来的2.2倍、横向小路的宽改为原来的一半(如图二所示),设图一与图二中花园剩余部分的面积分别为、,求与的差. 参考答案 一.选择题(共10小题) 1.下列图形中,可以看作是中心对称图形的是   A. B. C. D. 解:、不是中心对称图形,故本选项不合题意; 、是中心对称图形,故本选项符合题意; 、不中心对称图形,故本选项不合题意; 、不中心对称图形,故本选项不合题意. 故选:. 2.下列图形:①线段;②角;③等边三角形;④平行四边形;⑤矩形;⑥菱形;⑦正方形,既是轴对称图形,又是中心对称图有几个   A.3 B.4 C.5 D.6 解::①线段;②角;③等边三角形;④平行四边形;⑤矩形;⑥菱形;⑦正方形中,既是轴对称图形,又是中心对称图有①⑤⑥⑦,共4个. 故选:. 3.如图,将沿方向平移得到,若的周长为,则四边形的周长为   A. B. C. D. 解:沿方向平移得到, ,, 的周长为,即, , 即四边形的周长为. 故选:. 4.如图,将绕点旋转后得到,则旋转方式为   A.顺时针旋转 B.逆时针旋转 C.顺时针旋转 D.逆时针旋转 解:根据题意得,,,, 所以把绕点逆时针旋转后得到. 故选:. 5.将点向左平移3个长度单位,再向上平移2个长度单位得到点,则点的坐标是   A. B. C. D. 解:根据题意,点的横坐标为:;纵坐标为; 即点的坐标是. 故选:. 6.如图在一块长为,宽为的长方形草地上,有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是则空白部分表示的草地面积是   A.70 B.60 C.48 D.18 解:草地面积矩形面积小路面积 . 故选:. 7.在俄罗斯方块游戏中,若某行被小方格块填满,则该行中的所有小方格会自动消失.现在游戏机屏幕下面三行已拼成如图所示的图案,屏幕上方又出现一小方格块正向下运动,为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失,你可以将图形进行以下的操作   A.先逆时针旋转,再向左平移 B.先顺时针旋转,再向左平移 C.先逆时针旋转,再向右平移 D.先顺时针旋转,再向右平移 解:屏幕上方又出现一小方格块正向下运动,为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失,可以先逆时针旋转,再向左平移. 故选:. 8.如图,把绕着点顺时针旋转得到△,点的对应点落在边上,若,则为   A. B. C. D. 解:由旋转的性质得:,, , , , 故选:. 9.如图,中,,,,绕点顺时针旋转得,当落在边上时,连接,取的中点,连接,则的长度是   A. B. C.3 D. 解:,,, ,,, 绕点顺时针旋转得, ,,, 是等边三角形,, , , 是等边三角形, ,, 点是中点, ,且,, , 故选:. 10.如图,将绕点顺时针旋转得到,使点的对应点恰好落在边上,点的对应点为,连接,其中有:①;②;③;④,四个结论,则结论一定正确的有  个. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解:将绕点顺时针旋转得到, ,,,故①、③错误; , ,, ,故④正确; 不一定等于, 不一定等于,故②错误; 故选:. 二.填空题(共10小题) 11.已知,点和点关于原点对称,则的值为  . 解:点是点关于原点的对称, ,, . 故答案为:. 12.如图是楼梯截面,其中,,,要在其表面铺地毯,地毯长至少需 7 米. 解:(米. 答:地毯长至少需7米. 故答案为:7. 13.平移不改变图形的形状和大小.如图,是由经过平移得到的,若,,则  ,   . 解:平移不改变图形的形状和大小, 是由经过平移得到的, 若,,则,, 故答案为:,. 14.如图所示,是绕点顺时针方向旋转后所得的图形,点恰好在上,,则的度数是  . 解:是绕点顺时针方向旋转后所得的图形, ,且, , 故答案为 15.如图,将沿射线的方向平移到的位置,点、、的对应点分别为点、、,若,则   解:由平移可知, , . 故答案是:. 16.如图,将绕直角顶点顺时针旋转,得到△,连接,若,则的度数是  . 解:绕直角顶点顺时针旋转得到△, , 是等腰直角三角形, , , 故答案为:. 17.如图,已知一块直角三角板的直角顶点与原点重合,另两个顶点,的坐标分别为,,现将该三角板向右平移使点与点重合,得到,则点的对应点的坐标为  . 解:因为点与点对应,点,点, 所以图形向右平移1个单位长度, 所以点的对应点的坐标为,即, 故答案为:. 18.如图,的顶点都在网格点上,将向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,则平移后得到的△三个顶点、、的坐标分别是 、、 . 解:因为点、、, 所以向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度平移后的对应点的坐标为: 、、, 故答案为:、、. 19.如图,在平面直角坐标系中,点坐标为,将线段向左平移2个单位长度,得到线段,则点的对应点的坐标为  . 解:点坐标为, 线段向左平移2个单位长度,点的对应点的坐标为, 即, 故答案为:. 20.在直角梯形中,,,,.连接,把绕着点逆时针旋转得到,若点刚好落在的延长线上,则 45 . 解:作于,如图, ,, 四边形为矩形, ,, , 绕着点逆时针旋转得到, ,, 为等腰直角三角形, 点刚好落在的延长线上, , , , 为等腰直角三角形, . 故答案为. 三.解答题(共7小题) 21.如图,在中,,,,将绕点顺时针旋转得到,求点与点之间的距离. 解:连接,即线段的长是点与点之间的距离, 在中,由勾股定理得: 将绕点顺时针旋转得到, , 是等边三角形 22.如图,四边形是正方形,、分别是和延长线上的点,,在此图中是否存在两个全等的三角形,并说明理由;它们能够由其中一个通过旋转而得到另外一个吗?简述旋转过程. 解:在此图中存在两个全等的三角形,即.理由如下: 点在正方形的边的延长线上, ; 在和中, , , (全等三角形的对应角相等),(全等三角形的对应边相等), , 是由绕点沿顺时针方向旋转得到的. 23.如图,中,点在边上,,将线段绕点旋转到的位置,使得,连接,与交于点. (1)求证:; (2)若,,求的度数. 【解答】(1)证明:, . 将线段绕点旋转到的位置, . 在与中, , , ; (2)解:,, , . , , . 24.如图,在中,,点、分别在、上,且,连接,将线段绕点按顺时针方向旋转后得到,连接. (1)求证:; (2)若,求证:. 【解答】证明:(1)由旋转的性质得,,, , , , , 在和中, , ; (2), , , , , . 25.如图,在平面直角坐标系中,已知点,,,且点是三角形边上的任意一点,三角形经过平移后得到三角形,点的对应点. (1)直接写出的坐标  ; (2)在图中画出三角形; (3)求出三角形的面积. 解:(1)如图所示,点的对应点为, 平移的方向和距离为:向右平移6个单位,向下平移3个单位, 又, 的坐标为. 故答案为:. (2)如图所示,△即为所求; (3)如图所示,作长方形,则,,,,,, 的面积为: . 26.如图,已知射线,、是上的两动点,平分且满足,. (1)判断与的位置关系,并证明你的结论; (2)当时,求的度数; (3)在(2)的条件下,当左右平移时,请直接写出与之间的数量关系. 解:(1), , , , ; (2), , , , , , , 平分, , , ; (3), 理由:, , , , , , . 27.现有一块长方形花园(如图一所示),长为12米,宽为10米,现准备在花园中间修建横竖两条小路(图中空白部分),已知横向小路的宽是竖向小路的宽的2倍,设竖向小路的宽为米为正数). (1)两条小路的面积之和是多少? (2)当时,求花园剩余部分(阴影部分)的面积; (3)若把竖向小路的宽改为原来的2.2倍、横向小路的宽改为原来的一半(如图二所示),设图一与图二中花园剩余部分的面积分别为、,求与的差. 解:(1)设纵向道路的宽是米, 横向道路的宽是纵向道路的宽的2倍, 横向道路的宽为米; 两条小路的面积之和为:; (2)当时,求花园剩余部分(阴影部分)的面积为:; (3)在图(一中,菜地的面积为:(平方米), 在图(二中,菜地的面积为:(平方米), .

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  • ID:3-7131444 2020年北师大新版八年级下学期第3章《图形的平移与旋转》单元测试卷 解析版

    初中数学/北师大版/八年级下册/第三章 图形的平移与旋转/本章综合与测试

    2020学年八年级下学期 第 3章 图形的平移与旋转 单元测试卷 一、选择题 1.下列图形中,是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 2.下列图形中:①等边三角形;②矩形;③平行四边形;④菱形;既是中心对称图形又是 轴对称图形的有 ( )个. A.4 B.3 C.2 D.1 3.在平面直角坐标系内,将 (5,2)M 先向上平移 3 个单位,再向左平移 2 个单位,则称动 后的点的坐标是 ( ) A. (2,0) B. (3,5) C. (8,4) D. (2,3) 4.如图,将 AOB? 绕点O按逆时针方向旋转 40?后得到 COD? ,若 15AOB? ? ?,则 AOD? 的度数是 ( ) A. 45? B.55? C. 60? D. 65? 5.如图是用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”,由四个全等的直角三角形和一个 小正方形拼成的大正方形,对其对称性表述,正确的是 ( ) A.轴对称图形 B.中心对称图形 C.既是轴对称图形又是中心对称图形 D.既不是轴对称图形又不是中心对称图形 6.如图,把 ABC? 绕点C顺时针旋转 90?得到 DEC? ,若 25A? ? ?,则 (CED? ? ) A. 45? B.55? C. 65? D. 75? 7.如图,把周长为 10的 ABC? 沿 BC方向平移 1个单位得到 DEF? ,则四边形 ABFD的周 长为 ( ) A.14 B.12 C.10 D.8 8.如图, ABC? 中 100BAC? ? ?,将 ABC? 绕点 A逆时针旋转150?,得到 ADE? ,这时点 B、 C、D恰好在同一直线上,则 E? 的度数为 ( ) A. 50? B. 75? C. 65? D. 60? 9.如图,在小正三角形组成的网格中,已有 7个小正三角形涂黑,还需要涂黑 n个小正三 角形,使它们和原来涂黑的小正三角形组成新的图案后既是轴对称图形又是中心对称图形, 则 n的最小值为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 10.如图,在 Rt ABC? 中, 90ACB? ? ?,将 ABC? 绕顶点C逆时针旋转得到△ A B C? ? ,M 是 BC的中点,N是 A B? ?的中点,连接MN ,若 4BC ? , 60ABC? ? ?,则线段MN 的最大 值为 ( ) A.4 B.8 C. 4 3 D.6 二.填空题(共 10小题) 11.点 (4, 2)P b ? 与点 ( , 1)Q a ? 关于原点对称,则 a b? 的值为 . 12.如图,一块长方形草地,长为 20米,宽为 10 米,草地上有一条弯曲的小路(小路任 何地方的宽度都是 2米),请你写出小路部分所占的面积是 米 2. 13.如图,在 ABC? 中, AB AC? , 70B? ? ?,把 ABC? 绕点C 顺时针旋转得到 EDC? , 若点 B恰好落在 AB边上D处,则 1? ? ?. 14.如图, DEC? 与 ABC? 关于点C 成中心对称, 3AB ? , 1AC ? , 90D? ? ?,则 AE的 长是 . 15.如图,已知:钝角 ABC? 中, 30A? ? ?,CD是 AB边上的中线,将 ACD? 绕着点 D旋 转,点C落在 BC边的C ?处,点 A落在点 A?处,连接 BA?.如果点 A、C、 A?在同一直线 上,那么 BA C? ?? 的度数为 . 16.如图所示,将一个含 30?角的直角三角板 ABC绕点 A旋转,使得点 B, A,C?在同一 条直线上,则三角板 ABC旋转的角度是 . 17.如图, ABP? 是由 ACD? 按顺时针方向旋转某一角度得到的,若 60BAP? ? ?,则在这 转过程中,旋转中心是 ,旋转的角度为 . 18.如图, OAB? 的顶点 A的坐标为 (3, 3), B的坐标为 (4,0);把 OAB? 沿 x轴向右平移 得到 CDE? ,如果 D的坐标为 (6, 3),那么OE的长为 . 19.已知,大正方形的边长为 5 厘米,小正方形的边长为 2 厘米,起始状态如图所示.大 正方形固定不动,把小正方形以 1厘米 /秒的速度向右沿直线平移,设平移的时间为 t秒, 两个正方形重叠部分的面积为 S平方厘米.当 2S ? 时,小正方形平移的时间为 秒. 20.如图,在Rt ABC? 中,已知 90C? ? ?, 55B? ? ?,点 D在边 BC上, 2BD CD? .把 ABC? 绕着点 D逆时针旋转 (0 180)m m? ? 度后,如果点 B恰好落在初始 Rt ABC? 的边上,那么 m ? . 三.解答题(共 6小题) 21.如图, ABC? 中,点 E在 BC边上, AE AB? ,将线段 AC 绕 A点逆时针旋转到 AF 的 位置,使得 CAF BAE? ? ? ,连接 EF , EF 与 AC 交于点G.求证: EF BC? . 22.如图,在 ABC? 中, 90C? ? ?, 6CB ? , 8CA ? ,将 ABC? 绕点 B顺时针旋转得到 DBE? , 使点C的对应点 E恰好落在 AB上,求线段 AE的长. 23.在如图所示 8 7? 的正方形网格中, (2,0)A , (3,2)B , (4,2)C ,请按要求解答下列问题: (1)将 ABO? 向右平移 4个单位长度得到△ 1 1 1A BO ,请画出△ 1 1 1A BO 并写出点 1A的坐标; (2)将 ABO? 绕点 (4,2)C 顺时针旋转 90?得到△ 2 2 2A B O ,请画出△ 2 2 2A B O 并写出点 2A 的坐 标; (3)将△ 1 1 1A BO 绕点Q旋转 90?可以和△ 2 2 2A B O 完全重合,请直接写出点Q的坐标. 24.如图,将 BCE? 绕点C顺时针旋转 60?得到 ACD? ,点 D恰好落在 BC的延长线上,连 接 AB,DE. BE 分别交 AC , AD于点G、 F , AD交CE 于点H . (1)求 AFE? 的角度; (2)求证: CAH CBG? ? ? . 25.如图,粗线 A C B? ? 和细线 A D E F G H B? ? ? ? ? ? 是公交车从少年宫 A到 体育馆 B的两条行驶路线. (1)判断两条线的长短; (2)小丽坐出租车由体育馆 B到少年宫 A,架设出租车的收费标准为:起步价为 7元,3 千米以后每千米 1.8元,用代数式表示出租车的收费m元与行驶路程 ( 3)s s ? 千米之间的关 系; (3)如果(2)中的这段路程长 5千米,小丽身上有 10元钱,够不够小丽坐出租车由体育 馆到少年宫呢?说明理由. 26.如图,四边形 ABCD中, 45ABC ADC? ? ? ? ?,将 BCD? 绕点C 顺时针旋转一定角度 后,点 B的对应点恰好与点 A重合,得到 ACE? . (1)请求出旋转角的度数; (2)请判断 AE与 BD的位置关系,并说明理由; (3)若 2AD ? , 3CD ? ,试求出四边形 ABCD的对角线 BD的长. 参考答案 一.选择题(共 10小题) 1.下列图形中,是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解: A、不是中心对称图形,故此选项不合题意; B、不是中心对称图形,故此选项不合题意; C、是中心对称图形,故此选项符合题意; D、不是中心对称图形,故此选项不合题意; 故选:C. 2.下列图形中:①等边三角形;②矩形;③平行四边形;④菱形;既是中心对称图形又是 轴对称图形的有 ( )个. A.4 B.3 C.2 D.1 解:②矩形;④菱形既是中心对称图形又是轴对称图形,共 2个, 故选:C. 3.在平面直角坐标系内,将 (5,2)M 先向上平移 3 个单位,再向左平移 2 个单位,则称动 后的点的坐标是 ( ) A. (2,0) B. (3,5) C. (8,4) D. (2,3) 解:把点 (5,2)A 先向上平移 3个单位长度,再向左平移 2个单位长度得到点的坐标为 (3,5), 故选: B. 4.如图,将 AOB? 绕点O按逆时针方向旋转 40?后得到 COD? ,若 15AOB? ? ?,则 AOD? 的度数是 ( ) A. 45? B.55? C. 60? D. 65? 解:?将 AOB? 绕点O按逆时针方向旋转 40?后得到 COD? , 15AOB COD?? ? ? ? ?, 40AOC BOD? ? ? ? ?, 55AOD AOB BOD?? ? ? ? ? ? ?, 故选: B. 5.如图是用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”,由四个全等的直角三角形和一个 小正方形拼成的大正方形,对其对称性表述,正确的是 ( ) A.轴对称图形 B.中心对称图形 C.既是轴对称图形又是中心对称图形 D.既不是轴对称图形又不是中心对称图形 解:“赵爽弦图”是中心对称图形,不是轴对称图形, 故选: B. 6.如图,把 ABC? 绕点C顺时针旋转 90?得到 DEC? ,若 25A? ? ?,则 (CED? ? ) A. 45? B.55? C. 65? D. 75? 解:?把 ABC? 绕点C顺时针旋转 90?得到 DEC? , 25A D?? ? ? ? ?, 90ACB DCE? ? ? ? ?, 90 25 65CED?? ? ? ? ? ? ?, 故选:C. 7.如图,把周长为 10的 ABC? 沿 BC方向平移 1个单位得到 DEF? ,则四边形 ABFD的周 长为 ( ) A.14 B.12 C.10 D.8 解: ABC?? 沿 BC方向平移 1个单位得到 DFE? , DF AC? ? , 1CF AD? ? , ?四边形 ABFD的周长 AB BC CF DF AD? ? ? ? ? , AB BC AC AD CF? ? ? ? ? , ABC? ? 的周长 AD CF? ? , 10 1 1? ? ? , 12? . 故选: B. 8.如图, ABC? 中 100BAC? ? ?,将 ABC? 绕点 A逆时针旋转150?,得到 ADE? ,这时点 B、 C、D恰好在同一直线上,则 E? 的度数为 ( ) A. 50? B. 75? C. 65? D. 60? 解:?将 ABC? 绕点 A逆时针旋转150?,得到 ADE? , 150BAD?? ? ?, AD AB? , E ACB? ? ? , ?点 B,C, D恰好在同一直线上, BAD?? 是顶角为150?的等腰三角形, B BDA?? ? ? , 1 (180 ) 15 2 B BAD?? ? ? ?? ? ?, 180 180 100 15 65E ACB BAC B?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?, 故选:C. 9.如图,在小正三角形组成的网格中,已有 7个小正三角形涂黑,还需要涂黑 n个小正三 角形,使它们和原来涂黑的小正三角形组成新的图案后既是轴对称图形又是中心对称图形, 则 n的最小值为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解:如图所示,再涂黑 5 个小正三角形,可使它们和原来涂黑的小正三角形组成新的图案 后既是轴对称图形,又是中心对称图形, 故选:C. 10.如图,在 Rt ABC? 中, 90ACB? ? ?,将 ABC? 绕顶点C逆时针旋转得到△ A B C? ? ,M 是 BC的中点,N是 A B? ?的中点,连接MN ,若 4BC ? , 60ABC? ? ?,则线段MN 的最大 值为 ( ) A.4 B.8 C. 4 3 D.6 解:连接CN ,如图所示: 在Rt ABC? 中, 90ACB? ? ?, 4BC ? , 60B? ? ?, 30A?? ? ?, 2 8AB A B BC? ? ? ? ? ? , NB NA? ? ?? , 1 4 2 CN A B? ? ? ? ? , 2CM BM? ?? , 6MN CN CM? ? ?? , MN? 的最大值为 6, 故选:D. 二.填空题(共 10小题) 11.点 (4, 2)P b ? 与点 ( , 1)Q a ? 关于原点对称,则 a b? 的值为 5? . 解:?点 (4, 2)P b ? 与点 ( , 1)Q a ? 关于原点对称, 2 1b? ? ? , 4a ? ? , 4a? ? ? , 1b ? ? , 5a b? ? ? ? . 故答案为: 5? . 12.如图,一块长方形草地,长为 20米,宽为 10 米,草地上有一条弯曲的小路(小路任 何地方的宽度都是 2米),请你写出小路部分所占的面积是 20 米 2. 解:小路部分所占的面积是: 2 10 20? ? , 故答案为:20. 13.如图,在 ABC? 中, AB AC? , 70B? ? ?,把 ABC? 绕点C 顺时针旋转得到 EDC? , 若点 B恰好落在 AB边上D处,则 1? ? 100 ?. 解: AB AC?? , 70B? ? ?, 70ACB B?? ? ? ? ?, 180 70 70 140A?? ? ? ? ? ? ? ? ?, ABC?? 绕点C顺时针旋转得到 EDC? , 70CDE B?? ? ? ? ?, BC CD? , 70B BDC?? ? ? ? ?, 180 70 70 40ADE?? ? ? ? ? ? ? ? ?, 1 180 40 40 100?? ? ? ? ? ? ? ? ?, 故答案为:100. 14.如图, DEC? 与 ABC? 关于点C 成中心对称, 3AB ? , 1AC ? , 90D? ? ?,则 AE的 长是 13 . 解: DEC?? 与 ABC? 关于点C成中心对称, ABC DEC?? ? ? , 3AB DE? ? ? , 1AC DC? ? , 2AD? ? , 90D? ? ?? , 2 2 2 22 3 13AE DE AD? ? ? ? ? ? , 故答案为 13 . 15.如图,已知:钝角 ABC? 中, 30A? ? ?,CD是 AB边上的中线,将 ACD? 绕着点 D旋 转,点C落在 BC边的C ?处,点 A落在点 A?处,连接 BA?.如果点 A、C、 A?在同一直线 上,那么 BA C? ?? 的度数为 30? . 解:如图,将 ADC? 绕着点 D顺时针旋转,点C落在 BC边上的点C?处,点 A落在点 A?处, 则DA DA? ?, 30DAC A? ? ? ? ? ? ? 30DA A A?? ? ? ? ? ?, 60A DB??? ? ? CD? 为边 AB上的中线, DA DB? ? , DA DB? ? ? , 60DA B DBA?? ? ? ? ? ? ?, 30BAC?? ? ? ? ?. 故答案为: 30?. 16.如图所示,将一个含 30?角的直角三角板 ABC绕点 A旋转,使得点 B, A,C?在同一 条直线上,则三角板 ABC旋转的角度是 150? . 解:?将一个含30?角的直角三角板 ABC绕点 A旋转,使得点 B,A,C?在同一条直线上, ?旋转角为 CAC ?? , 180BAC CAC?? ? ? ? ?, 150CAC ??? ? ?, 故答案为:150?. 17.如图, ABP? 是由 ACD? 按顺时针方向旋转某一角度得到的,若 60BAP? ? ?,则在这 转过程中,旋转中心是 A ,旋转的角度为 . 解:旋转中心为点 A, 旋转角为 60 30 90BAC BAP PAC? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?; 故答案为 A, 90?. 18.如图, OAB? 的顶点 A的坐标为 (3, 3), B的坐标为 (4,0);把 OAB? 沿 x轴向右平移 得到 CDE? ,如果 D的坐标为 (6, 3),那么OE的长为 7 . 解:?点 A的坐标为 (3, 3),D的坐标为 (6, 3),把 OAB? 沿 x轴向右平移得到 CDE? , 6 3 3AD BE? ? ? ? ? , B? 的坐标为 (4,0), 4OB? ? , 7OE OB BE? ? ? ? , 故答案为:7. 19.已知,大正方形的边长为 5 厘米,小正方形的边长为 2 厘米,起始状态如图所示.大 正方形固定不动,把小正方形以 1厘米 /秒的速度向右沿直线平移,设平移的时间为 t秒, 两个正方形重叠部分的面积为 S平方厘米.当 2S ? 时,小正方形平移的时间为 1或 6 秒. 解:当 2S ? 时,重叠部分长方形的宽 2 2 1cm? ? ? , 重叠部分在大正方形的左边时, 1 1 1t ? ? ? 秒, 重叠部分在大正方形的右边时, (5 2 1) 1 6t ? ? ? ? ? 秒, 综上所述,小正方形平移的时间为 1或 6秒. 故答案为:1或 6. 20.如图,在Rt ABC? 中,已知 90C? ? ?, 55B? ? ?,点 D在边 BC上, 2BD CD? .把 ABC? 绕着点 D逆时针旋转 (0 180)m m? ? 度后,如果点 B恰好落在初始Rt ABC? 的边上,那么m ? 70或 120 . 解:①当点 B落在 AB边上时, 1DB DB?? , 1 55B DB B?? ? ? ? ?, 1 180 2 55 70m BDB? ? ? ? ? ? ? , ②当点 B落在 AC 上时, 在 2RT DCB? 中, 90C? ? ?? , 2 2DB DB CD? ? , 2 30CB D?? ? ?, 2 120m C CB D? ? ? ?? ? , 故答案为 70或 120. 三.解答题(共 6小题) 21.如图, ABC? 中,点 E在 BC边上, AE AB? ,将线段 AC 绕 A点逆时针旋转到 AF 的 位置,使得 CAF BAE? ? ? ,连接 EF , EF 与 AC 交于点G.求证: EF BC? . 【解答】证明: CAF BAE? ? ?? , BAC EAF?? ? ? , ?将线段 AC 绕 A点旋转到 AF 的位置, AC AF? ? , 在 ABC? 与 AEF? 中, AB AE BAC EAF AC AF ?? ?? ? ?? ? ?? , ( )ABC AEF SAS?? ? ? , EF BC? ? ; 22.如图,在 ABC? 中, 90C? ? ?, 6CB ? , 8CA ? ,将 ABC? 绕点 B顺时针旋转得到 DBE? , 使点C的对应点 E恰好落在 AB上,求线段 AE的长. 解:?在 ABC? 中, 90C? ? ?, 6CB ? , 8CA ? , 2 26 8 10AB? ? ? ? , 由旋转的性质得: 6BE BC? ? , 10 6 4AE AB BE? ? ? ? ? ? . 23.在如图所示 8 7? 的正方形网格中, (2,0)A , (3,2)B , (4,2)C ,请按要求解答下列问题: (1)将 ABO? 向右平移 4个单位长度得到△ 1 1 1A BO ,请画出△ 1 1 1A BO 并写出点 1A的坐标; (2)将 ABO? 绕点 (4,2)C 顺时针旋转 90?得到△ 2 2 2A B O ,请画出△ 2 2 2A B O 并写出点 2A 的坐 标; (3)将△ 1 1 1A BO 绕点Q旋转 90?可以和△ 2 2 2A B O 完全重合,请直接写出点Q的坐标. 解:(1)如图所示,△ 1 1 1A BO 即为所求,点 1A的坐标为 (6,0); (2)如图所示,△ 2 2 2A B O 即为所求,点 2A 的坐标为 (2,4); (3)如图所示,点Q的坐标为 (6,4). 24.如图,将 BCE? 绕点C顺时针旋转 60?得到 ACD? ,点 D恰好落在 BC的延长线上,连 接 AB,DE. BE 分别交 AC , AD于点G、 F , AD交CE 于点H . (1)求 AFE? 的角度; (2)求证: CAH CBG? ? ? . 解:(1) BCE?? 绕点C顺时针旋转 60?得到 ACD? , BCE ACD?? ? ? , 60ACB ECD? ? ? ? ?, GAF GBC?? ? ? , 又 AGF BGC? ? ?? , 60AFB ACB?? ? ? ? ?, 180 120AFE AFB?? ? ? ?? ? ?; (2)证明: BCE ACD? ? ?? , AC BC? ? , 180 60ACE ACB ECD? ? ? ?? ?? ? ?? , ACH GCB?? ? ? , 在 CAH? 和 CBG? 中, ACH BCG CA CB HAC GBC ? ? ?? ? ?? ?? ? ?? , ( )CAH CBG ASA?? ? ? . 25.如图,粗线 A C B? ? 和细线 A D E F G H B? ? ? ? ? ? 是公交车从少年宫 A到 体育馆 B的两条行驶路线. (1)判断两条线的长短; (2)小丽坐出租车由体育馆 B到少年宫 A,架设出租车的收费标准为:起步价为 7元,3 千米以后每千米 1.8元,用代数式表示出租车的收费m元与行驶路程 ( 3)s s ? 千米之间的关 系; (3)如果(2)中的这段路程长 5千米,小丽身上有 10元钱,够不够小丽坐出租车由体育 馆到少年宫呢?说明理由. 解:(1)如图所示: 根据平移可得:粗线 A C B? ? 和细线 A D E F G H B? ? ? ? ? ? 的长相等; (2)根据题意得: 7 1.8( 3) (1.8 1.6)m s s? ? ? ? ? (元 ); (3)当 5s ? 时, 7 1.8 (5 3) 10.6 10m ? ? ? ? ? ? , ?小丽不能坐出租车由体育馆到少年宫. 26.如图,四边形 ABCD中, 45ABC ADC? ? ? ? ?,将 BCD? 绕点C 顺时针旋转一定角度 后,点 B的对应点恰好与点 A重合,得到 ACE? . (1)请求出旋转角的度数; (2)请判断 AE与 BD的位置关系,并说明理由; (3)若 2AD ? , 3CD ? ,试求出四边形 ABCD的对角线 BD的长. 解:(1)?将 BCD? 绕点C顺时针旋转得到 ACE? BCD ACE?? ? ? AC BC? ? , 又 45ABC? ? ?? , 45ABC BAC?? ? ? ? ? 90ACB?? ? ? 故旋转角的度数为 90? (2) AE BD? . 理由如下: 在Rt BCM? 中, 90BCM? ? ? 90MBC BMC?? ?? ? ? BCD ACE? ? ?? DBC EAC?? ? ? 即 MBC NAM? ? ? 又 BMC AMN? ? ?? 90AMN CAE?? ? ? ? ? 90AND?? ? ? AE BD? ? (3)如图,连接DE, 由旋转图形的性质可知 CD CE? , BD AE? ,旋转角 90DCE? ? ? 45EDC CED?? ? ? ? ? 3CD ?? , 3CE? ? 在Rt DCE? 中, 90DCE? ? ? 2 2 9 9 3 2DE CD CE? ? ? ? ? ? 45ADC? ? ?? 90ADE ADC EDC?? ? ? ? ? ? ? 在Rt ADE? 中, 90ADE? ? ? 2 2 18 4 22EA AD DE? ? ? ? ? ? 22BD? ? 2020学年八年级下学期 第3章 图形的平移与旋转 单元测试卷 一、选择题 1.下列图形中,是中心对称图形的是   A. B. C. D. 2.下列图形中:①等边三角形;②矩形;③平行四边形;④菱形;既是中心对称图形又是轴对称图形的有  个. A.4 B.3 C.2 D.1 3.在平面直角坐标系内,将先向上平移3个单位,再向左平移2个单位,则称动后的点的坐标是   A. B. C. D. 4.如图,将绕点按逆时针方向旋转后得到,若,则的度数是   A. B. C. D. 5.如图是用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”,由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形,对其对称性表述,正确的是   A.轴对称图形 B.中心对称图形 C.既是轴对称图形又是中心对称图形 D.既不是轴对称图形又不是中心对称图形 6.如图,把绕点顺时针旋转得到,若,则   A. B. C. D. 7.如图,把周长为10的沿方向平移1个单位得到,则四边形的周长为   A.14 B.12 C.10 D.8 8.如图,中,将绕点逆时针旋转,得到,这时点、、恰好在同一直线上,则的度数为   A. B. C. D. 9.如图,在小正三角形组成的网格中,已有7个小正三角形涂黑,还需要涂黑个小正三角形,使它们和原来涂黑的小正三角形组成新的图案后既是轴对称图形又是中心对称图形,则的最小值为   A.3 B.4 C.5 D.6 10.如图,在中,,将绕顶点逆时针旋转得到△,是的中点,是的中点,连接,若,,则线段的最大值为   A.4 B.8 C. D.6 二.填空题(共10小题) 11.点与点关于原点对称,则的值为  . 12.如图,一块长方形草地,长为20米,宽为10米,草地上有一条弯曲的小路(小路任何地方的宽度都是2米),请你写出小路部分所占的面积是  米. 13.如图,在中,,,把绕点顺时针旋转得到,若点恰好落在边上处,则  . 14.如图,与关于点成中心对称,,,,则的长是  . 15.如图,已知:钝角中,,是边上的中线,将绕着点旋转,点落在边的处,点落在点处,连接.如果点、、在同一直线上,那么的度数为  . 16.如图所示,将一个含角的直角三角板绕点旋转,使得点,,在同一条直线上,则三角板旋转的角度是  . 17.如图,是由按顺时针方向旋转某一角度得到的,若,则在这转过程中,旋转中心是  ,旋转的角度为  . 18.如图,的顶点的坐标为,的坐标为;把沿轴向右平移得到,如果的坐标为,那么的长为  . 19.已知,大正方形的边长为5厘米,小正方形的边长为2厘米,起始状态如图所示.大正方形固定不动,把小正方形以1厘米秒的速度向右沿直线平移,设平移的时间为秒,两个正方形重叠部分的面积为平方厘米.当时,小正方形平移的时间为  秒. 20.如图,在中,已知,,点在边上,.把绕着点逆时针旋转度后,如果点恰好落在初始的边上,那么  . 三.解答题(共6小题) 21.如图,中,点在边上,,将线段绕点逆时针旋转到的位置,使得,连接,与交于点.求证:. 22.如图,在中,,,,将绕点顺时针旋转得到,使点的对应点恰好落在上,求线段的长. 23.在如图所示的正方形网格中,,,,请按要求解答下列问题: (1)将向右平移4个单位长度得到△,请画出△并写出点的坐标; (2)将绕点顺时针旋转得到△,请画出△并写出点的坐标; (3)将△绕点旋转可以和△完全重合,请直接写出点的坐标. 24.如图,将绕点顺时针旋转得到,点恰好落在的延长线上,连接,.分别交,于点、,交于点. (1)求的角度; (2)求证:. 25.如图,粗线和细线是公交车从少年宫到体育馆的两条行驶路线. (1)判断两条线的长短; (2)小丽坐出租车由体育馆到少年宫,架设出租车的收费标准为:起步价为7元,3千米以后每千米1.8元,用代数式表示出租车的收费元与行驶路程千米之间的关系; (3)如果(2)中的这段路程长5千米,小丽身上有10元钱,够不够小丽坐出租车由体育馆到少年宫呢?说明理由. 26.如图,四边形中,,将绕点顺时针旋转一定角度后,点的对应点恰好与点重合,得到. (1)请求出旋转角的度数; (2)请判断与的位置关系,并说明理由; (3)若,,试求出四边形的对角线的长. 参考答案 一.选择题(共10小题) 1.下列图形中,是中心对称图形的是   A. B. C. D. 解:、不是中心对称图形,故此选项不合题意; 、不是中心对称图形,故此选项不合题意; 、是中心对称图形,故此选项符合题意; 、不是中心对称图形,故此选项不合题意; 故选:. 2.下列图形中:①等边三角形;②矩形;③平行四边形;④菱形;既是中心对称图形又是轴对称图形的有  个. A.4 B.3 C.2 D.1 解:②矩形;④菱形既是中心对称图形又是轴对称图形,共2个, 故选:. 3.在平面直角坐标系内,将先向上平移3个单位,再向左平移2个单位,则称动后的点的坐标是   A. B. C. D. 解:把点先向上平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度得到点的坐标为, 故选:. 4.如图,将绕点按逆时针方向旋转后得到,若,则的度数是   A. B. C. D. 解:将绕点按逆时针方向旋转后得到, ,, , 故选:. 5.如图是用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”,由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形,对其对称性表述,正确的是   A.轴对称图形 B.中心对称图形 C.既是轴对称图形又是中心对称图形 D.既不是轴对称图形又不是中心对称图形 解:“赵爽弦图”是中心对称图形,不是轴对称图形, 故选:. 6.如图,把绕点顺时针旋转得到,若,则   A. B. C. D. 解:把绕点顺时针旋转得到, ,, , 故选:. 7.如图,把周长为10的沿方向平移1个单位得到,则四边形的周长为   A.14 B.12 C.10 D.8 解:沿方向平移1个单位得到, ,, 四边形的周长, , 的周长, , . 故选:. 8.如图,中,将绕点逆时针旋转,得到,这时点、、恰好在同一直线上,则的度数为   A. B. C. D. 解:将绕点逆时针旋转,得到, ,,, 点,,恰好在同一直线上, 是顶角为的等腰三角形, , , , 故选:. 9.如图,在小正三角形组成的网格中,已有7个小正三角形涂黑,还需要涂黑个小正三角形,使它们和原来涂黑的小正三角形组成新的图案后既是轴对称图形又是中心对称图形,则的最小值为   A.3 B.4 C.5 D.6 解:如图所示,再涂黑5个小正三角形,可使它们和原来涂黑的小正三角形组成新的图案后既是轴对称图形,又是中心对称图形, 故选:. 10.如图,在中,,将绕顶点逆时针旋转得到△,是的中点,是的中点,连接,若,,则线段的最大值为   A.4 B.8 C. D.6 解:连接,如图所示: 在中,,,, , , , , , , 的最大值为6, 故选:. 二.填空题(共10小题) 11.点与点关于原点对称,则的值为  . 解:点与点关于原点对称, ,, ,, . 故答案为:. 12.如图,一块长方形草地,长为20米,宽为10米,草地上有一条弯曲的小路(小路任何地方的宽度都是2米),请你写出小路部分所占的面积是 20 米. 解:小路部分所占的面积是:, 故答案为:20. 13.如图,在中,,,把绕点顺时针旋转得到,若点恰好落在边上处,则 100 . 解:,, , , 绕点顺时针旋转得到, ,, , , , 故答案为:100. 14.如图,与关于点成中心对称,,,,则的长是  . 解:与关于点成中心对称, , ,, , , , 故答案为. 15.如图,已知:钝角中,,是边上的中线,将绕着点旋转,点落在边的处,点落在点处,连接.如果点、、在同一直线上,那么的度数为  . 解:如图,将绕着点顺时针旋转,点落在边上的点处,点落在点处, 则, , 为边上的中线, , , , . 故答案为:. 16.如图所示,将一个含角的直角三角板绕点旋转,使得点,,在同一条直线上,则三角板旋转的角度是  . 解:将一个含角的直角三角板绕点旋转,使得点,,在同一条直线上, 旋转角为,, , 故答案为:. 17.如图,是由按顺时针方向旋转某一角度得到的,若,则在这转过程中,旋转中心是  ,旋转的角度为  . 解:旋转中心为点, 旋转角为; 故答案为,. 18.如图,的顶点的坐标为,的坐标为;把沿轴向右平移得到,如果的坐标为,那么的长为 7 . 解:点的坐标为,的坐标为,把沿轴向右平移得到, , 的坐标为, , , 故答案为:7. 19.已知,大正方形的边长为5厘米,小正方形的边长为2厘米,起始状态如图所示.大正方形固定不动,把小正方形以1厘米秒的速度向右沿直线平移,设平移的时间为秒,两个正方形重叠部分的面积为平方厘米.当时,小正方形平移的时间为 1或6 秒. 解:当时,重叠部分长方形的宽, 重叠部分在大正方形的左边时,秒, 重叠部分在大正方形的右边时,秒, 综上所述,小正方形平移的时间为1或6秒. 故答案为:1或6. 20.如图,在中,已知,,点在边上,.把绕着点逆时针旋转度后,如果点恰好落在初始的边上,那么 70或120 . 解:①当点落在边上时, , , , ②当点落在上时, 在中,,, , , 故答案为70或120. 三.解答题(共6小题) 21.如图,中,点在边上,,将线段绕点逆时针旋转到的位置,使得,连接,与交于点.求证:. 【解答】证明:, , 将线段绕点旋转到的位置, , 在与中, , , ; 22.如图,在中,,,,将绕点顺时针旋转得到,使点的对应点恰好落在上,求线段的长. 解:在中,,,, , 由旋转的性质得:, . 23.在如图所示的正方形网格中,,,,请按要求解答下列问题: (1)将向右平移4个单位长度得到△,请画出△并写出点的坐标; (2)将绕点顺时针旋转得到△,请画出△并写出点的坐标; (3)将△绕点旋转可以和△完全重合,请直接写出点的坐标. 解:(1)如图所示,△即为所求,点的坐标为; (2)如图所示,△即为所求,点的坐标为; (3)如图所示,点的坐标为. 24.如图,将绕点顺时针旋转得到,点恰好落在的延长线上,连接,.分别交,于点、,交于点. (1)求的角度; (2)求证:. 解:(1)绕点顺时针旋转得到, ,, , 又, , ; (2)证明:, , , , 在和中, , . 25.如图,粗线和细线是公交车从少年宫到体育馆的两条行驶路线. (1)判断两条线的长短; (2)小丽坐出租车由体育馆到少年宫,架设出租车的收费标准为:起步价为7元,3千米以后每千米1.8元,用代数式表示出租车的收费元与行驶路程千米之间的关系; (3)如果(2)中的这段路程长5千米,小丽身上有10元钱,够不够小丽坐出租车由体育馆到少年宫呢?说明理由. 解:(1)如图所示: 根据平移可得:粗线和细线的长相等; (2)根据题意得:(元; (3)当时,, 小丽不能坐出租车由体育馆到少年宫. 26.如图,四边形中,,将绕点顺时针旋转一定角度后,点的对应点恰好与点重合,得到. (1)请求出旋转角的度数; (2)请判断与的位置关系,并说明理由; (3)若,,试求出四边形的对角线的长. 解:(1)将绕点顺时针旋转得到 , 又, 故旋转角的度数为 (2). 理由如下: 在中, 即 又 (3)如图,连接, 由旋转图形的性质可知 ,,旋转角 , 在中, 在中,

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  • ID:3-7131414 2019-2020学年人教A版河南省中原名校高三第二学期第一次质量考评(文科)数学试卷 Word版含解析

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    2019-2020学年高三第二学期质量考评数学试卷(文科) 一、选择题 1.复数 (i为虚数单位)的虚部为( ) A. B. C. D. 2.设集合 A={x|1≤log2x≤3},B={x|x2﹣3x﹣4<0},则 A∪B=( ) A.(﹣1,2) B.(﹣1,8] C.[2,4) D.[4,8] 3.若样本 1+x1,1+x2,1+x3,…,1+xn的平均数是 10,方差为 2,则对于样本 2+2x1,2+2x2, 2+2x3,…,2+2xn,下列结论正确的是( ) A.平均数为 20,方差为 4 B.平均数为 11,方差为 4 C.平均数为 21,方差为 8 D.平均数为 20,方差为 8 4.设 a=20.5,b=log0.50.6,c=tan ,则( ) A.a<b<c B.c<b<a C.b<c<a D.c<a<b 5.已知向量 =(m,1), =(3,m﹣2),则 m=3是 ∥ 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 6.函数 的图象与 x轴交点的横坐标构成一个公差为 的 等差数列,要得到函数 g(x)=Acosωx的图象,只需将 f(x)的图象( ) A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 7.根据最小二乘法由一组样本点(xi,yi)(其中 i=1,2,…,300),求得的回归方程是 = x+ ,则下列说法正确的是( ) A.至少有一个样本点落在回归直线 = x+ 上 B.若所有样本点都在回归直线 = x+ 上,则变量间的相关系数为 1 C.对所有的解释变量 xi(i=1,2….300).bxi+ 的值一定与 yi有误差 D.若回归直线 = x+ 的斜率 b>0,则变量 x与 y正相关 8.已知点M是抛物线 x2=4y上的一动点,F为抛物线的焦点,A是圆 C:(x﹣1)2+(y ﹣4)2=1上一动点,则|MA|+|MF|的最小值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 9.某三棱锥的三视图如图所示,网格纸上小正方形的边长为 1,则该三棱锥外接球的表面 积为( ) A.27π B.28π C.29π D.30π 10.在△ABC中,角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,若 a+b=8,c=2 ,(2a﹣b) (a2+b2﹣c2)=2abc(1﹣2sin2 ),则△ABC的面积为( ) A. B. C. D. 11.若 x,a,b均为任意实数,且(a+2)2+(b﹣3)2=1,则(x﹣a)2+(lnx﹣b)2的最 小值为( ) A.3 B.18 C.3 ﹣1 D.19﹣6 12.若函数 f(x)=m﹣x2+2lnx 在[ ]上有两个不同的零点,则实数 m 的取值范围为 ( ) A.(e,e2﹣2] B.[1 ] C.(1,4 ] D.[1,+∞) 二、填空题(共 4小题) 13.甲、乙、丙三人参加会宁一中招聘老师面试,最终只有一人能够被会宁一中录用,得 到面试结果后,甲说:“丙被录用了”;乙说:“甲被录用了”;丙说:“我没被录用”.若 这三人中仅有一人说法错误,则甲、乙、丙三人被录用的是 14.《九章算术》中有如下问题:“今有勾五步,股一十二步,问勾中容圆,径几何?” 其大意:“已知直角三角形两直角边长分别为 5步和 12步,问其内切圆的直径为多少步?” 现若向此三角形内随机投一粒豆子,则豆子落在其内切圆外的概率是 15.已知不等式 表示的平面区域为 D,若对任意的(x,y)∈D,不等式 x﹣ 2y﹣t≥0恒成立,则实数 t的最大值为 16.已知点 A(0,﹣1)是抛物线 x2=2py的准线上一点,F为抛物线的焦点,P为抛物线 上的点,且|PF|=m|PA|,若双曲线 C中心在原点,F是它的一个焦点,且过 P点,当 m 取最小值时,双曲线 C的离心率为 . 三、解答题(共 5小题,共 70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知数列{an}的前 n项和为 Sn,点(an,Sn)在直线 y=2x﹣2上,n∈N* (1)求{an}的通项公式; (2)若 bn=n+(an﹣1)log2an,求数列{bn}的前 n项和 Tn. 18.在三棱柱 ABC﹣A1B1C1中,AC=BC=2,∠ACB=120°,D为 A1B1的中点. (Ⅰ)证明:A1C∥平面 BC1D; (Ⅱ)若 A1A=A1C,点 A1在平面 ABC的射影在 AC上,且侧面 A1ABB1的面积为 , 求三棱锥 A1﹣BC1D的体积. 19.世界军人运动会,简称“军运会”,每四年举办一届,会期 7 到 10 天,比赛设有 27 个大项,参赛规模约 100多个国家近 10000余人,规模仅次于奥运会,根据各方达成共 识,军运会于 2019年 10月 18日至 27日在湖北武汉举行,赛期 10天,为了军运会顺利 召开,特招聘了 3万名志愿者.某部门为了了解志愿者的基本情况,调查了其中 100名 志愿者的年龄,得到了他们年龄的中位数为 34岁,年龄在[40,45)岁内的人数为 15人, 并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图: (1)求 m,n的值并估算出志愿者的平均年龄(同一组的数据用该组区间的中点值代表); (2)这次军运会志愿者主要通过直接到武汉军运会执委会志愿者部现场报名和登录第七 届世界军运会官网报名,即现场和网络两种方式报名调查.这 100位志愿者的报名方式 部分数据如表所示,完善下面的表格,通过计算说明能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下,认为“选择哪种报名方式与性别有关系”? 男性 女性 总计 现场报名 50 网络报名 31 总计 50 参考公式及数据: ,其中 n=a+b+c+d. P(K2≥k0) 0.05 0.01 0.005 0.001 k0 3.841 6.635 7.879 10.828 20.已知椭圆 C: =1(a>b>0)的长轴长为 4,直线 y=x被椭圆 C截得的线段 长为 . (1)求椭圆 C的标准方程; (2)过椭圆 C的右顶点作互相垂直的两条直线 l1,l2分别交椭圆 C于M,N两点(点M, N不同于椭圆 C的右顶点),证明:直线MN过定点( ,0). 21.已知函数 f(x)= ﹣ax+b在点(e,f(e))处的切线方程为 y=﹣ax+2e. (Ⅰ)求实数 b的值; (Ⅱ)若存在 x∈[e,e2],满足 f(x)≤ +e,求实数 a的取值范围. [选修 4-4:坐标系与参数方程] 22.已知在平面直角坐标系 xOy中,直线 l的参数方程为 (t为参数),以坐标原 点为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2= 0,点 P的极坐标是( , ). (1)求直线 l的极坐标方程及点 P到直线 l的距离; (2)若直线 l与曲线 C交于M,N两点,求△PMN的面积. [选修 4-5:不等式选讲] 23.已知函数 f(x)=|x+a|+|x﹣1|. (1)当 a=2时,求不等式 f(x)≥x+8的解集; (2)若关于 x的不等式 f(x)≤|x﹣5|的解集包含[0,2],求实数 a的取值范围. 参考答案 一、选择题(共 12小题,每小题 5分,共 60分) 1.复数 (i为虚数单位)的虚部为( ) A. B. C. D. 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 解:∵ = , ∴复数 的虚部为﹣ . 故选:B. 2.设集合 A={x|1≤log2x≤3},B={x|x2﹣3x﹣4<0},则 A∪B=( ) A.(﹣1,2) B.(﹣1,8] C.[2,4) D.[4,8] 【分析】先求出集合 A,B,由此能求出 A∪B. 解:因为集合 A={x|1≤log2x≤3},B={x|x2﹣3x﹣4<0}, 所以 A={x|2≤x≤8},B={x|﹣1<x<4}, 所以 A∪B={x|﹣1<x≤8}=(﹣1,8]. 故选:B. 3.若样本 1+x1,1+x2,1+x3,…,1+xn的平均数是 10,方差为 2,则对于样本 2+2x1,2+2x2, 2+2x3,…,2+2xn,下列结论正确的是( ) A.平均数为 20,方差为 4 B.平均数为 11,方差为 4 C.平均数为 21,方差为 8 D.平均数为 20,方差为 8 【分析】根据数据 x1,x2,x3,…,xn的平均数是 ,方差是 s2知, 样本 b+ax1,b+ax2,b+ax3,…,b+axn的平均数是 b+a ,方差为 a2?s2,计算即可. 解:样本 1+x1,1+x2,1+x3,…,1+xn的平均数是 10,方差为 2, 则数据 x1,x2,x3,…,xn的平均数是 9,方差是 2; 所以样本 2+2x1,2+2x2,2+2x3,…,2+2xn的平均数是 2+2×9=20,方差为 22×2=8. 故选:D. 4.设 a=20.5,b=log0.50.6,c=tan ,则( ) A.a<b<c B.c<b<a C.b<c<a D.c<a<b 【分析】由题意可得 a>1,0<b<1,c<0,即可求出. 解:a=20.5>1,0<b=log0.50.6<1,c=tan <0, 则 c<b<a, 故选:B. 5.已知向量 =(m,1), =(3,m﹣2),则 m=3是 ∥ 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 【分析】向量 =(m,1), =(3,m﹣2), ∥ ,则 3=m(m﹣2),即 m2﹣2m ﹣3=0,m=3或者﹣1,判断出即可. 解:向量 =(m,1), =(3,m﹣2), ∥ ,则 3=m(m﹣2),即 m2﹣2m﹣3=0, m=3或者﹣1, 所以 m=3是 m=3或者 m=﹣1的充分不必要条件条件, 故选:A. 6.函数 的图象与 x轴交点的横坐标构成一个公差为 的 等差数列,要得到函数 g(x)=Acosωx的图象,只需将 f(x)的图象( ) A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 【分析】函数 的图象与 x轴交点的横坐标构成一个公差 为 的等差数列,可知周期 T= ,可得ω的值,根据三角函数的平移变换规律可得 结论. 解:由题意,函数 的图象与 x轴交点的横坐标构成一个 公差为 的等差数列,可知周期 T= , 那么:ω= . 则 f(x)=Asin(3x+ )=Asin3(x+ ) 要得到 g(x)=Acos3x, 即 Acos3x=Asin(3x+ )=Asin3(x+ ) 由题意:可得:f(x)向左平移 可得 g(x) 故选:A. 7.根据最小二乘法由一组样本点(xi,yi)(其中 i=1,2,…,300),求得的回归方程是 = x+ ,则下列说法正确的是( ) A.至少有一个样本点落在回归直线 = x+ 上 B.若所有样本点都在回归直线 = x+ 上,则变量间的相关系数为 1 C.对所有的解释变量 xi(i=1,2….300).bxi+ 的值一定与 yi有误差 D.若回归直线 = x+ 的斜率 b>0,则变量 x与 y正相关 【分析】根据样本点可能全部不在回归直线上,可得 A错;根据相关系数绝对值为 1, 即 r=±1时,所有样本点都在 = x+ 上,可判断 B错误;根据所有的样本点都在 = x+ 上时,变量之间的关系为函数关系,此时 bxi+ 的值与 yi相等,可判断 C错误;根 据相关系数 r与 b符号相同,故 b>0可得变量 x与 y正相关,可得 D正确. 解:回归直线必过样本数据中心点,但样本点可能全部不在回归直线上,故 A错误; 所有样本点都在 = x+ 上,则变量间的相关系数为±1,故 B错误; 若所有的样本点都在 = x+ 上,则 bxi+ 的值与 yi相等,故 C错误; 相关系数 r与 b符号相同,若 = x+ 的斜率 >0,则 r>0,样本点应分布从左到右应 该是上升的,则变量 x与 y正相关,故 D正确. 故选:D. 8.已知点M是抛物线 x2=4y上的一动点,F为抛物线的焦点,A是圆 C:(x﹣1)2+(y ﹣4)2=1上一动点,则|MA|+|MF|的最小值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【分析】首先求出抛物线上的点到圆上及抛物线的焦点的距离最小使的位置,然后根据 三点共线求出相应的点的坐标,进一步求出最小值. 解:如图所示,利用抛物线的定义知:MP=MF, 当M、A、P三点共线时,|MA|+|MF|的值最小, 即:CM⊥x轴, CM所在的直线方程为:x=1与 x2=4y建立方程组解得: M(1, ) |CM|=4﹣ , 点M到圆 C的最小距离为|CM|﹣|AC|=3, 抛物线的准线方程 y=﹣1, 则|MA|+|MF|的值最小值为 3+1=4. 故选:B. 9.某三棱锥的三视图如图所示,网格纸上小正方形的边长为 1,则该三棱锥外接球的表面 积为( ) A.27π B.28π C.29π D.30π 【分析】由三视图还原原几何体,可知该几何体为三棱锥,ABCD为矩形,AB=4,BC =3,PA=2.求出 PC长度,可得四棱锥外接球的半径,代入球的表面积公式求解. 解:由三视图还原原几何体如图, 该几何体为三棱锥,P﹣BCD,ABCD为矩形,AB=4,BC=3,PA=2. 该几何体外接球的半径为 PC= = . ∴该几何体外接球表面积为 S=4π× =29π. 故选:C. 10.在△ABC中,角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,若 a+b=8,c=2 ,(2a﹣b) (a2+b2﹣c2)=2abc(1﹣2sin2 ),则△ABC的面积为( ) A. B. C. D. 【分析】由已知利用余弦定理,正弦定理,三角函数恒等变换的应用结合 sinA≠0,可 求 cosC的值,由余弦定理可求 ab的值,进而根据三角形的面积公式即可计算得解. 解:依题意,(2a﹣b)(a2+b2﹣c2)=2abccosB, 即 , 故(2a﹣b)?cosC=ccosB, 故 2acosC=bcosC+ccosB, 即 2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB=sinA, 因为 sinA≠0,故 ; 由余弦定理,c2=a2+b2﹣2abcosC=(a+b)2﹣3ab, 即 28=64﹣3ab,即 3ab=36,则 ab=12, 则△ABC的面积 = . 故选:C. 11.若 x,a,b均为任意实数,且(a+2)2+(b﹣3)2=1,则(x﹣a)2+(lnx﹣b)2的最 小值为( ) A.3 B.18 C.3 ﹣1 D.19﹣6 【分析】由题意可得(a,b)在(﹣2,3)为圆心,1为半径的圆上,(x﹣a)2+(lnx ﹣b)2表示点(a,b)与点(x,lnx)的距离的平方,设过切点(m,lnm)的切线与过 (﹣2,3)的法线垂直,由两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,解方程求得切点,圆心 和切点的距离 d,可得距离的最小值为 d﹣r,可得所求值. 解:(a+2)2+(b﹣3)2=1, 可得(a,b)在(﹣2,3)为圆心,1为半径 r的圆上, (x﹣a)2+(lnx﹣b)2表示点(a,b)与点(x,lnx)的距离的平方, 设过切点(m,lnm)的切线与过(﹣2,3)的法线垂直, 可得 ? =﹣1, 即有 lnm+m2+2m=3, 由 f(m)=lnm+m2+2m在 m>0递增,且 f(1)=3, 可得切点为(1,0), 圆心与切点的距离为 d= =3 , 可得(x﹣a)2+(lnx﹣b)2的最小值为(3 ﹣1)2=19﹣6 , 故选:D. 12.若函数 f(x)=m﹣x2+2lnx 在[ ]上有两个不同的零点,则实数 m 的取值范围为 ( ) A.(e,e2﹣2] B.[1 ] C.(1,4 ] D.[1,+∞) 【分析】令 g(x)=x2﹣2lnx,判断 g(x)的单调性和极值,根据 g(x)=m由两解得 出 m的范围. 解:令 f(x)=0可得 m=x2﹣2lnx, 令 g(x)=x2﹣2lnx,则 g′(x)=2x﹣ = . ∴当 ≤x≤1时,g′(x)≤0,当 1<x≤e时,g′(x)>0, ∴g(x)在[ ,1]上单调递减,在(1,e]上单调递增, ∴当 x=1时,g(x)取得极小值 g(1)=1, 又 g( )= +4,g(e)=e2﹣2,∴g( )<g(e), ∵m=g(x)有两解, ∴1<m≤ +4. 故选:C. 二、填空题(共 4小题,每小题 5分,共 20分) 13.甲、乙、丙三人参加会宁一中招聘老师面试,最终只有一人能够被会宁一中录用,得 到面试结果后,甲说:“丙被录用了”;乙说:“甲被录用了”;丙说:“我没被录用”.若 这三人中仅有一人说法错误,则甲、乙、丙三人被录用的是 甲 【分析】利用反证法,即可得出结论. 解:假设甲说的是真话,即丙被录用,则乙说的是假话,丙说的是假话,不成立; 假设甲说的是假话,即丙没有被录用,则丙说的是真话, 若乙说的是真话,即甲被录用,成立,故甲被录用; 若乙被录用,则甲和乙的说法都错误,不成立. 故答案为:甲. 14.《九章算术》中有如下问题:“今有勾五步,股一十二步,问勾中容圆,径几何?” 其大意:“已知直角三角形两直角边长分别为 5步和 12步,问其内切圆的直径为多少步?” 现若向此三角形内随机投一粒豆子,则豆子落在其内切圆外的概率是 【分析】利用分割面积法求出内切圆半径,进而求出内切圆的面积,再利用几何概型的 概率公式计算即可. 解:∵直角三角形两直角边长分别为 5步和 12步,∴斜边长为 13步, 设内切圆的半径为 r,则 r(5+12+13)= ×12×5,∴r=2, ∴内切圆的面积为:4π, 则豆子落在其内切圆外的概率是: = , 故答案为: . 15.已知不等式 表示的平面区域为 D,若对任意的(x,y)∈D,不等式 x﹣ 2y﹣t≥0恒成立,则实数 t的最大值为 ﹣5 【分析】根据已知不等式组画出可行域,可通过直线平移求得直线 z=x﹣2y的纵截距最 大时,z最小,代入 A点坐标求得 zmin,则 t≤zmin,即可得到结果. 解:由已知不等式组对应的可行域如图中阴影部分所示: 可求得 A(3,4),B(0,1),C(1,0). 当直线 z=x﹣2y经过点 A(3,4),时,直线的纵截距最大,z最小 ∴zmin=3﹣2×4=﹣5,∴t≤﹣5. 故答案为:﹣5. 16.已知点 A(0,﹣1)是抛物线 x2=2py的准线上一点,F为抛物线的焦点,P为抛物线 上的点,且|PF|=m|PA|,若双曲线 C中心在原点,F是它的一个焦点,且过 P点,当 m 取最小值时,双曲线 C的离心率为 +1 . 【分析】由题意可得 p=2,可得抛物线的方程,焦点 F和准线方程,过 P作准线的垂线, 垂足为 N,设 PA的倾斜角为α,由抛物线的定义可得当 m取得最小值时,sinα最小,此 时直线 PA 与抛物线相切,设出 PA 的方程 y=kx﹣1,联立抛物线的方程,运用判别式 为 0,求得 k,P的坐标,再由双曲线的定义和离心率公式,计算可得所求值. 解:点 A(0,﹣1)是抛物线 C:x2=2py(p>0)准线上的一点,可得 p=2, 抛物线的标准方程为 x2=4y, 则抛物线的焦点为 F(0,1),准线方程为 y=﹣1, 过 P作准线的垂线,垂足为 N, 则由地物线的定义可得|PN|=|PF|, ∵|PF|=m|PA|,则 , 设 PA的倾斜角为α,则 sinα=m, 当 m取得最小值时,sinα最小, 此时直线 PA与抛物线相切, 设直线 PA的方程为 y=kx﹣1,代入 x2=4y, 可得 x2=4(kx﹣1)即 x2﹣4kx+4=0, ∴△=16k2﹣16=0, ∴k=±1, ∴P(2,1), ∴双曲线的实轴长为 , ∴双曲线的离心率为 . 故答案为: +1. 三、解答题(共 5小题,共 70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知数列{an}的前 n项和为 Sn,点(an,Sn)在直线 y=2x﹣2上,n∈N* (1)求{an}的通项公式; (2)若 bn=n+(an﹣1)log2an,求数列{bn}的前 n项和 Tn. 【分析】(1)首先利用数列的递推关系式求出数列的通项公式. (2)利用(1)的结论,进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和. 解:(1)数列{an}的前 n项和为 Sn,点(an,Sn)在直线 y=2x﹣2上,n∈N* 所以:Sn=2an﹣2①, 当 n=1时,a1=2a1﹣2, 解得:a1=2. 当 n≥2时,Sn﹣1=2an﹣1﹣2②, ①﹣②得:an=2an﹣2an﹣1, 整理得: , 故:数列的通项公式为: (首项符合通项). 故: . (2)bn=n+(an﹣1)log2an, =n?2n, 所以 ①, ②, ①﹣②得: , 整理得: . 18.在三棱柱 ABC﹣A1B1C1中,AC=BC=2,∠ACB=120°,D为 A1B1的中点. (Ⅰ)证明:A1C∥平面 BC1D; (Ⅱ)若 A1A=A1C,点 A1在平面 ABC的射影在 AC上,且侧面 A1ABB1的面积为 , 求三棱锥 A1﹣BC1D的体积. 【分析】(I)连接 B1C交 BC1于点 E,连接 DE.利用中位线定理可得 DE∥A1C,故而 A1C∥平面 BC1D; (II)过点 A1作 A1O⊥平面 ABC,垂足为 O,则 O为 AC中点,利用勾股定理计算 A1O, 代入体积公式 = = 计算. 【解答】(Ⅰ)证明:连接 B1C交 BC1于点 E,连接 DE. 则 E为 B1C的中点,又 D为 A1B1的中点, ∴DE∥A1C,又 DE?平面 BC1D,A1C?平面 BC1D, ∴A1C∥平面 BC1D. (Ⅱ)解:过点 A1作 A1O⊥平面 ABC,垂足为 O,则 O在 AC上, ∵A1A=A1C,∴O为 AC的中点. 过点 O作 OF⊥AB于点 F,连接 A1F. ∵A1O⊥平面 ABC,∴A1O⊥AB, 又 A1O∩OF=O,A1D?平面 A1OF,OF?平面 A1OF, ∴AB⊥平面 A1OF,∴A1F⊥AB. ∴侧面 A1ABB1的面积为 AB?A1F=2 , 在△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=120°,∴AB=2 , ∴A1F=1,又 AO= AC=1,∠BAC=30°, ∴OF= ,AF= , 设 A1O=h,则 AA1= , 由 AA12=AF2+A1F2可得 h2+1= ,解得 h= . ∴ = = = = . 19.世界军人运动会,简称“军运会”,每四年举办一届,会期 7 到 10 天,比赛设有 27 个大项,参赛规模约 100多个国家近 10000余人,规模仅次于奥运会,根据各方达成共 识,军运会于 2019年 10月 18日至 27日在湖北武汉举行,赛期 10天,为了军运会顺利 召开,特招聘了 3万名志愿者.某部门为了了解志愿者的基本情况,调查了其中 100名 志愿者的年龄,得到了他们年龄的中位数为 34岁,年龄在[40,45)岁内的人数为 15人, 并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图: (1)求 m,n的值并估算出志愿者的平均年龄(同一组的数据用该组区间的中点值代表); (2)这次军运会志愿者主要通过直接到武汉军运会执委会志愿者部现场报名和登录第七 届世界军运会官网报名,即现场和网络两种方式报名调查.这 100位志愿者的报名方式 部分数据如表所示,完善下面的表格,通过计算说明能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下,认为“选择哪种报名方式与性别有关系”? 男性 女性 总计 现场报名 50 网络报名 31 总计 50 参考公式及数据: ,其中 n=a+b+c+d. P(K2≥k0) 0.05 0.01 0.005 0.001 k0 3.841 6.635 7.879 10.828 【分析】(1)根据题意,分析可得 m+2n=0.07以及 5m+4n=0.2,解可得 m、n的值, 据此计算可得答案; (2)根据题意,分析可得列联表,进而计算可得观测值 k的值,据此分析可得答案. 解:(1)根据题意,∵志愿者年龄在[40,45)内的人数为 15人, ∴志愿者年龄在[40,45)内的频率为: ; 由频率分布直方图得:(0.020+2m+4n+0.010)×5+0.15=1, 化简得:m+2n=0.07.① 由中位数为 34可得:0.020×5+2m×5+2n×(34﹣30)=0.5, 化简得:5m+4n=0.2,② 由①②解得:m=0.020,n=0.025. 志愿者的平均年龄为( 22.5× 0.020+27.5× 0.040+32.5× 0.050+37.5× 0.050+42.5× 0.030+47.5×0.010)×5=34(岁). (2)根据题意得到列联表: 男性 女性 总计 现场报名 19 31 50 网络报名 31 19 50 总计 50 50 100 ∴ , ∴不能在犯错误的概率不超过 0.001的前提下,认为选择哪种报名方式与性别有关系. 20.已知椭圆 C: =1(a>b>0)的长轴长为 4,直线 y=x被椭圆 C截得的线段 长为 . (1)求椭圆 C的标准方程; (2)过椭圆 C的右顶点作互相垂直的两条直线 l1,l2分别交椭圆 C于M,N两点(点M, N不同于椭圆 C的右顶点),证明:直线MN过定点( ,0). 【分析】(1)设直线 y=x与椭圆交于 P,Q两点,不妨设 P点在第一象限,由题意可 得点 P( , ),代入椭圆方程,结合 2a=4,即可求出 a,b 的值,从而得到 椭圆 C的标准方程; (2)显然直线 l1,l2的斜率存在且不为 0,设直线 l1的方程为:x=my+2,则直线 l2的 方程为:x=﹣ +2,联立直线 l1与椭圆方程,利用韦达定理可求出 M( , ),同理可得 N( , ),当 m≠±1 时,直线 MN 的方程 y= = ,所以直线MN过定点( ,0),当 m= ±1时,直线MN的方程为:x= ,直线也过点( ,0),故直线MN过定点( ,0). 解:(1)设直线 y=x与椭圆交于 P,Q两点,不妨设 P点在第一象限,又|PQ|= . ∴点 P( , ), ∴ ,即 , 又 2a=4, ∴a=2,b=1, ∴椭圆 C的标准方程为: ; (2)显然直线 l1,l2的斜率存在且不为 0,设直线 l1的方程为:x=my+2,则直线 l2的 方程为:x=﹣ +2, 联立方程 ,消去 x得:(m2+4)y2+4my=0, ∴ ,∴ , ∴M( , ), 同理可得 N( , ), 当 m≠±1时, , ∴直线MN的方程为:y+ = , 整理得:y= = , ∴直线MN过定点( ,0), 当 m=±1时,直线MN的方程为:x= ,直线也过点( ,0), 综上所述,直线MN过定点( ,0). 21.已知函数 f(x)= ﹣ax+b在点(e,f(e))处的切线方程为 y=﹣ax+2e. (Ⅰ)求实数 b的值; (Ⅱ)若存在 x∈[e,e2],满足 f(x)≤ +e,求实数 a的取值范围. 【分析】(Ⅰ)求导,利用导数的几何意义,直线的点斜式方程,即可求得实数 b的值; (Ⅱ)则 a≥ ﹣ 在[e,e2]上有解,构造辅助函数,求导,利用导数与函数单调性 的关系,求得 h(x)的取值. 解:(Ⅰ)f(x)= ﹣ax+b,x∈(0,1)∪(1,+∞), 求导,f′(x)= ﹣a, 则函数 f(x)在点(e,f(e))处切线方程 y﹣(e﹣ex+b)=﹣a(x﹣e), 即 y=﹣ax+e+b, 由函数 f(x)在(e,f(e))处的切线方程为 y=﹣ax+2e,比较可得 b=e, 实数 b的值 e; (Ⅱ)由 f(x)≤ +e,即 ﹣ax+e≤ +e, 则 a≥ ﹣ 在[e,e2],上有解, 设 h(x)= ﹣ ,x∈[e,e2], 求导 h′(x)= ﹣ = = , 令 p(x)=lnx﹣2 , ∴x在[e,e2]时,p′(x)= ﹣ = <0, 则函数 p(x)在[e,e2]上单调递减, ∴p(x)<p(e)=lne﹣2 <0, 则 h′(x)<0,及 h(x)在区间[e,e2]单调递减, h(x)≥h(e2)= ﹣ = ﹣ , ∴实数 a的取值范围[ ﹣ ,+∞). [选修 4-4:坐标系与参数方程] 22.已知在平面直角坐标系 xOy中,直线 l的参数方程为 (t为参数),以坐标原 点为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2= 0,点 P的极坐标是( , ). (1)求直线 l的极坐标方程及点 P到直线 l的距离; (2)若直线 l与曲线 C交于M,N两点,求△PMN的面积. 【分析】(1)现将直线方程转化为普通方程,再利用公式 求出直线的极坐 标方程,进而可得点到直线的距离; (2)在极坐标下,利用韦达定理求出MN的长度,从而得出面积. 【解答】解(1)由 消去 t, 得到 y= , 则ρsinθ= ρcosθ, ∴θ= , 所以直线 l的极坐标方程为θ= (ρ∈R). 点 P( , )到直线 l的距离为 d= ×sin( ﹣ )= × = . (2)由, 得,ρ2﹣ρ﹣2=0 所以ρ1+ρ2=1,ρ1ρ2=﹣2 所以,|MN|=|ρ1﹣ρ2|= =3 则△PMN的面积为.S△PMN= |MN|×d= × = . [选修 4-5:不等式选讲] 23.已知函数 f(x)=|x+a|+|x﹣1|. (1)当 a=2时,求不等式 f(x)≥x+8的解集; (2)若关于 x的不等式 f(x)≤|x﹣5|的解集包含[0,2],求实数 a的取值范围. 【分析】(1)a=2时函数 f(x)=|x+2|+|x﹣1|,利用分段讨论法去掉绝对值,求不等 式的解集即可; (2)不等式的解集包含[0,2],即不等式在 x∈[0,2]上恒成立,讨论 x的取值,去掉绝 对值,把不等式化为关于|x+a|的不等式,再求实数 a的取值范围. 解:(1)当 a=2时,函数 f(x)=|x+2|+|x﹣1|= , 不等式 f(x)≥x+8等价于 或 或 ; 解得 x≥7,或 x≤﹣3; 所以不等式 f(x)≥x+8的解集为(﹣∞,﹣3]∪[7,+∞); (2)不等式 f(x)≤|x﹣5|的解集包含[0,2],即|x+a|+|x﹣1|≤|x﹣5|在 x∈[0,2]上恒成 立, 当 x∈[0,1]时,不等式化为|x+a|+1﹣x≤5﹣x,即|x+a|≤4,解得﹣4≤x+a≤4,即﹣4﹣ a≤x≤4﹣a; 所以 ,解得﹣4≤a≤3; 当 x∈(1,2]时,不等式化为|x+a|+x﹣1≤5﹣x,即|x+a|≤6﹣2x, 解得 2x﹣6≤x+a≤6﹣2x,即 对任意 x∈(1,2]恒成立; 所以 ,解得﹣4≤a≤0; 综上知,实数 a的取值范围是﹣4≤a≤0. 2019-2020学年高三第二学期质量考评数学试卷(文科) 一、选择题 1.复数(i为虚数单位)的虚部为(  ) A. B. C. D. 2.设集合A={x|1≤log2x≤3},B={x|x2﹣3x﹣4<0},则A∪B=(  ) A.(﹣1,2) B.(﹣1,8] C.[2,4) D.[4,8] 3.若样本1+x1,1+x2,1+x3,…,1+xn的平均数是10,方差为2,则对于样本2+2x1,2+2x2,2+2x3,…,2+2xn,下列结论正确的是(  ) A.平均数为20,方差为4 B.平均数为11,方差为4 C.平均数为21,方差为8 D.平均数为20,方差为8 4.设a=20.5,b=log0.50.6,c=tan,则(  ) A.a<b<c B.c<b<a C.b<c<a D.c<a<b 5.已知向量=(m,1),=(3,m﹣2),则m=3是∥的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 6.函数的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列,要得到函数g(x)=Acosωx的图象,只需将f(x)的图象(  ) A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 7.根据最小二乘法由一组样本点(xi,yi)(其中i=1,2,…,300),求得的回归方程是=x+,则下列说法正确的是(  ) A.至少有一个样本点落在回归直线=x+上 B.若所有样本点都在回归直线=x+上,则变量间的相关系数为1 C.对所有的解释变量xi(i=1,2….300).bxi+的值一定与yi有误差 D.若回归直线=x+的斜率b>0,则变量x与y正相关 8.已知点M是抛物线x2=4y上的一动点,F为抛物线的焦点,A是圆C:(x﹣1)2+(y﹣4)2=1上一动点,则|MA|+|MF|的最小值为(  ) A.3 B.4 C.5 D.6 9.某三棱锥的三视图如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,则该三棱锥外接球的表面积为(  ) A.27π B.28π C.29π D.30π 10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a+b=8,c=2,(2a﹣b)(a2+b2﹣c2)=2abc(1﹣2sin2),则△ABC的面积为(  ) A. B. C. D. 11.若x,a,b均为任意实数,且(a+2)2+(b﹣3)2=1,则(x﹣a)2+(lnx﹣b)2的最小值为(  ) A.3 B.18 C.3﹣1 D.19﹣6 12.若函数f(x)=m﹣x2+2lnx在[]上有两个不同的零点,则实数m的取值范围为(  ) A.(e,e2﹣2] B.[1] C.(1,4] D.[1,+∞) 二、填空题(共4小题) 13.甲、乙、丙三人参加会宁一中招聘老师面试,最终只有一人能够被会宁一中录用,得到面试结果后,甲说:“丙被录用了”;乙说:“甲被录用了”;丙说:“我没被录用”.若这三人中仅有一人说法错误,则甲、乙、丙三人被录用的是    14.《九章算术》中有如下问题:“今有勾五步,股一十二步,问勾中容圆,径几何?”其大意:“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步,问其内切圆的直径为多少步?”现若向此三角形内随机投一粒豆子,则豆子落在其内切圆外的概率是    15.已知不等式表示的平面区域为D,若对任意的(x,y)∈D,不等式x﹣2y﹣t≥0恒成立,则实数t的最大值为    16.已知点A(0,﹣1)是抛物线x2=2py的准线上一点,F为抛物线的焦点,P为抛物线上的点,且|PF|=m|PA|,若双曲线C中心在原点,F是它的一个焦点,且过P点,当m取最小值时,双曲线C的离心率为   . 三、解答题(共5小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知数列{an}的前n项和为Sn,点(an,Sn)在直线y=2x﹣2上,n∈N* (1)求{an}的通项公式; (2)若bn=n+(an﹣1)log2an,求数列{bn}的前n项和Tn. 18.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=BC=2,∠ACB=120°,D为A1B1的中点. (Ⅰ)证明:A1C∥平面BC1D; (Ⅱ)若A1A=A1C,点A1在平面ABC的射影在AC上,且侧面A1ABB1的面积为,求三棱锥A1﹣BC1D的体积. 19.世界军人运动会,简称“军运会”,每四年举办一届,会期7到10天,比赛设有27个大项,参赛规模约100多个国家近10000余人,规模仅次于奥运会,根据各方达成共识,军运会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行,赛期10天,为了军运会顺利召开,特招聘了3万名志愿者.某部门为了了解志愿者的基本情况,调查了其中100名志愿者的年龄,得到了他们年龄的中位数为34岁,年龄在[40,45)岁内的人数为15人,并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图: (1)求m,n的值并估算出志愿者的平均年龄(同一组的数据用该组区间的中点值代表); (2)这次军运会志愿者主要通过直接到武汉军运会执委会志愿者部现场报名和登录第七届世界军运会官网报名,即现场和网络两种方式报名调查.这100位志愿者的报名方式部分数据如表所示,完善下面的表格,通过计算说明能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为“选择哪种报名方式与性别有关系”? 男性 女性 总计 现场报名 50 网络报名 31 总计 50 参考公式及数据:,其中n=a+b+c+d. P(K2≥k0) 0.05 0.01 0.005 0.001 k0 3.841 6.635 7.879 10.828 20.已知椭圆C:=1(a>b>0)的长轴长为4,直线y=x被椭圆C截得的线段长为. (1)求椭圆C的标准方程; (2)过椭圆C的右顶点作互相垂直的两条直线l1,l2分别交椭圆C于M,N两点(点M,N不同于椭圆C的右顶点),证明:直线MN过定点(,0). 21.已知函数f(x)=﹣ax+b在点(e,f(e))处的切线方程为y=﹣ax+2e. (Ⅰ)求实数b的值; (Ⅱ)若存在x∈[e,e2],满足f(x)≤+e,求实数a的取值范围. [选修4-4:坐标系与参数方程] 22.已知在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2=0,点P的极坐标是(,). (1)求直线l的极坐标方程及点P到直线l的距离; (2)若直线l与曲线C交于M,N两点,求△PMN的面积. [选修4-5:不等式选讲] 23.已知函数f(x)=|x+a|+|x﹣1|. (1)当a=2时,求不等式f(x)≥x+8的解集; (2)若关于x的不等式f(x)≤|x﹣5|的解集包含[0,2],求实数a的取值范围. 参考答案 一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分) 1.复数(i为虚数单位)的虚部为(  ) A. B. C. D. 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 解:∵=, ∴复数的虚部为﹣. 故选:B. 2.设集合A={x|1≤log2x≤3},B={x|x2﹣3x﹣4<0},则A∪B=(  ) A.(﹣1,2) B.(﹣1,8] C.[2,4) D.[4,8] 【分析】先求出集合A,B,由此能求出A∪B. 解:因为集合A={x|1≤log2x≤3},B={x|x2﹣3x﹣4<0}, 所以A={x|2≤x≤8},B={x|﹣1<x<4}, 所以A∪B={x|﹣1<x≤8}=(﹣1,8]. 故选:B. 3.若样本1+x1,1+x2,1+x3,…,1+xn的平均数是10,方差为2,则对于样本2+2x1,2+2x2,2+2x3,…,2+2xn,下列结论正确的是(  ) A.平均数为20,方差为4 B.平均数为11,方差为4 C.平均数为21,方差为8 D.平均数为20,方差为8 【分析】根据数据x1,x2,x3,…,xn的平均数是,方差是s2知, 样本b+ax1,b+ax2,b+ax3,…,b+axn的平均数是b+a,方差为a2?s2,计算即可. 解:样本1+x1,1+x2,1+x3,…,1+xn的平均数是10,方差为2, 则数据x1,x2,x3,…,xn的平均数是9,方差是2; 所以样本2+2x1,2+2x2,2+2x3,…,2+2xn的平均数是2+2×9=20,方差为22×2=8. 故选:D. 4.设a=20.5,b=log0.50.6,c=tan,则(  ) A.a<b<c B.c<b<a C.b<c<a D.c<a<b 【分析】由题意可得a>1,0<b<1,c<0,即可求出. 解:a=20.5>1,0<b=log0.50.6<1,c=tan<0, 则c<b<a, 故选:B. 5.已知向量=(m,1),=(3,m﹣2),则m=3是∥的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 【分析】向量=(m,1),=(3,m﹣2),∥,则3=m(m﹣2),即m2﹣2m﹣3=0,m=3或者﹣1,判断出即可. 解:向量=(m,1),=(3,m﹣2), ∥,则3=m(m﹣2),即m2﹣2m﹣3=0, m=3或者﹣1, 所以m=3是m=3或者m=﹣1的充分不必要条件条件, 故选:A. 6.函数的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列,要得到函数g(x)=Acosωx的图象,只需将f(x)的图象(  ) A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 【分析】函数的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列,可知周期T=,可得ω的值,根据三角函数的平移变换规律可得结论. 解:由题意,函数的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列,可知周期T=, 那么:ω=. 则f(x)=Asin(3x+)=Asin3(x+) 要得到g(x)=Acos3x, 即Acos3x=Asin(3x+)=Asin3(x+) 由题意:可得:f(x)向左平移可得g(x) 故选:A. 7.根据最小二乘法由一组样本点(xi,yi)(其中i=1,2,…,300),求得的回归方程是=x+,则下列说法正确的是(  ) A.至少有一个样本点落在回归直线=x+上 B.若所有样本点都在回归直线=x+上,则变量间的相关系数为1 C.对所有的解释变量xi(i=1,2….300).bxi+的值一定与yi有误差 D.若回归直线=x+的斜率b>0,则变量x与y正相关 【分析】根据样本点可能全部不在回归直线上,可得A错;根据相关系数绝对值为1,即r=±1时,所有样本点都在=x+上,可判断B错误;根据所有的样本点都在=x+上时,变量之间的关系为函数关系,此时bxi+的值与yi相等,可判断C错误;根据相关系数r与b符号相同,故b>0可得变量x与y正相关,可得D正确. 解:回归直线必过样本数据中心点,但样本点可能全部不在回归直线上,故A错误; 所有样本点都在=x+上,则变量间的相关系数为±1,故B错误; 若所有的样本点都在=x+上,则bxi+的值与yi相等,故C错误; 相关系数r与b符号相同,若=x+的斜率>0,则r>0,样本点应分布从左到右应该是上升的,则变量x与y正相关,故D正确. 故选:D. 8.已知点M是抛物线x2=4y上的一动点,F为抛物线的焦点,A是圆C:(x﹣1)2+(y﹣4)2=1上一动点,则|MA|+|MF|的最小值为(  ) A.3 B.4 C.5 D.6 【分析】首先求出抛物线上的点到圆上及抛物线的焦点的距离最小使的位置,然后根据三点共线求出相应的点的坐标,进一步求出最小值. 解:如图所示,利用抛物线的定义知:MP=MF, 当M、A、P三点共线时,|MA|+|MF|的值最小, 即:CM⊥x轴, CM所在的直线方程为:x=1与x2=4y建立方程组解得: M(1,) |CM|=4﹣, 点M到圆C的最小距离为|CM|﹣|AC|=3, 抛物线的准线方程y=﹣1, 则|MA|+|MF|的值最小值为3+1=4. 故选:B. 9.某三棱锥的三视图如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,则该三棱锥外接球的表面积为(  ) A.27π B.28π C.29π D.30π 【分析】由三视图还原原几何体,可知该几何体为三棱锥,ABCD为矩形,AB=4,BC=3,PA=2.求出PC长度,可得四棱锥外接球的半径,代入球的表面积公式求解. 解:由三视图还原原几何体如图, 该几何体为三棱锥,P﹣BCD,ABCD为矩形,AB=4,BC=3,PA=2. 该几何体外接球的半径为 PC==. ∴该几何体外接球表面积为S=4π×=29π. 故选:C. 10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a+b=8,c=2,(2a﹣b)(a2+b2﹣c2)=2abc(1﹣2sin2),则△ABC的面积为(  ) A. B. C. D. 【分析】由已知利用余弦定理,正弦定理,三角函数恒等变换的应用结合sinA≠0,可求cosC的值,由余弦定理可求ab的值,进而根据三角形的面积公式即可计算得解. 解:依题意,(2a﹣b)(a2+b2﹣c2)=2abccosB, 即, 故(2a﹣b)?cosC=ccosB, 故2acosC=bcosC+ccosB, 即2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB=sinA, 因为sinA≠0,故; 由余弦定理,c2=a2+b2﹣2abcosC=(a+b)2﹣3ab, 即28=64﹣3ab,即3ab=36,则ab=12, 则△ABC的面积=. 故选:C. 11.若x,a,b均为任意实数,且(a+2)2+(b﹣3)2=1,则(x﹣a)2+(lnx﹣b)2的最小值为(  ) A.3 B.18 C.3﹣1 D.19﹣6 【分析】由题意可得(a,b)在(﹣2,3)为圆心,1为半径的圆上,(x﹣a)2+(lnx﹣b)2表示点(a,b)与点(x,lnx)的距离的平方,设过切点(m,lnm)的切线与过(﹣2,3)的法线垂直,由两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,解方程求得切点,圆心和切点的距离d,可得距离的最小值为d﹣r,可得所求值. 解:(a+2)2+(b﹣3)2=1, 可得(a,b)在(﹣2,3)为圆心,1为半径r的圆上, (x﹣a)2+(lnx﹣b)2表示点(a,b)与点(x,lnx)的距离的平方, 设过切点(m,lnm)的切线与过(﹣2,3)的法线垂直, 可得?=﹣1, 即有lnm+m2+2m=3, 由f(m)=lnm+m2+2m在m>0递增,且f(1)=3, 可得切点为(1,0), 圆心与切点的距离为d==3, 可得(x﹣a)2+(lnx﹣b)2的最小值为(3﹣1)2=19﹣6, 故选:D. 12.若函数f(x)=m﹣x2+2lnx在[]上有两个不同的零点,则实数m的取值范围为(  ) A.(e,e2﹣2] B.[1] C.(1,4] D.[1,+∞) 【分析】令g(x)=x2﹣2lnx,判断g(x)的单调性和极值,根据g(x)=m由两解得出m的范围. 解:令f(x)=0可得m=x2﹣2lnx, 令g(x)=x2﹣2lnx,则g′(x)=2x﹣=. ∴当≤x≤1时,g′(x)≤0,当1<x≤e时,g′(x)>0, ∴g(x)在[,1]上单调递减,在(1,e]上单调递增, ∴当x=1时,g(x)取得极小值g(1)=1, 又g()=+4,g(e)=e2﹣2,∴g()<g(e), ∵m=g(x)有两解, ∴1<m≤+4. 故选:C. 二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) 13.甲、乙、丙三人参加会宁一中招聘老师面试,最终只有一人能够被会宁一中录用,得到面试结果后,甲说:“丙被录用了”;乙说:“甲被录用了”;丙说:“我没被录用”.若这三人中仅有一人说法错误,则甲、乙、丙三人被录用的是 甲  【分析】利用反证法,即可得出结论. 解:假设甲说的是真话,即丙被录用,则乙说的是假话,丙说的是假话,不成立; 假设甲说的是假话,即丙没有被录用,则丙说的是真话, 若乙说的是真话,即甲被录用,成立,故甲被录用; 若乙被录用,则甲和乙的说法都错误,不成立. 故答案为:甲. 14.《九章算术》中有如下问题:“今有勾五步,股一十二步,问勾中容圆,径几何?”其大意:“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步,问其内切圆的直径为多少步?”现若向此三角形内随机投一粒豆子,则豆子落在其内切圆外的概率是   【分析】利用分割面积法求出内切圆半径,进而求出内切圆的面积,再利用几何概型的概率公式计算即可. 解:∵直角三角形两直角边长分别为5步和12步,∴斜边长为13步, 设内切圆的半径为r,则r(5+12+13)=×12×5,∴r=2, ∴内切圆的面积为:4π, 则豆子落在其内切圆外的概率是:=, 故答案为:. 15.已知不等式表示的平面区域为D,若对任意的(x,y)∈D,不等式x﹣2y﹣t≥0恒成立,则实数t的最大值为 ﹣5  【分析】根据已知不等式组画出可行域,可通过直线平移求得直线z=x﹣2y的纵截距最大时,z最小,代入A点坐标求得zmin,则t≤zmin,即可得到结果. 解:由已知不等式组对应的可行域如图中阴影部分所示: 可求得A(3,4),B(0,1),C(1,0). 当直线z=x﹣2y经过点A(3,4),时,直线的纵截距最大,z最小 ∴zmin=3﹣2×4=﹣5,∴t≤﹣5. 故答案为:﹣5. 16.已知点A(0,﹣1)是抛物线x2=2py的准线上一点,F为抛物线的焦点,P为抛物线上的点,且|PF|=m|PA|,若双曲线C中心在原点,F是它的一个焦点,且过P点,当m取最小值时,双曲线C的离心率为 +1 . 【分析】由题意可得p=2,可得抛物线的方程,焦点F和准线方程,过P作准线的垂线,垂足为N,设PA的倾斜角为α,由抛物线的定义可得当m取得最小值时,sinα最小,此时直线PA与抛物线相切,设出PA的方程y=kx﹣1,联立抛物线的方程,运用判别式为0,求得k,P的坐标,再由双曲线的定义和离心率公式,计算可得所求值. 解:点A(0,﹣1)是抛物线C:x2=2py(p>0)准线上的一点,可得p=2, 抛物线的标准方程为x2=4y, 则抛物线的焦点为F(0,1),准线方程为y=﹣1, 过P作准线的垂线,垂足为N, 则由地物线的定义可得|PN|=|PF|, ∵|PF|=m|PA|,则, 设PA的倾斜角为α,则sinα=m, 当m取得最小值时,sinα最小, 此时直线PA与抛物线相切, 设直线PA的方程为y=kx﹣1,代入x2=4y, 可得x2=4(kx﹣1)即x2﹣4kx+4=0, ∴△=16k2﹣16=0, ∴k=±1, ∴P(2,1), ∴双曲线的实轴长为, ∴双曲线的离心率为. 故答案为:+1. 三、解答题(共5小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知数列{an}的前n项和为Sn,点(an,Sn)在直线y=2x﹣2上,n∈N* (1)求{an}的通项公式; (2)若bn=n+(an﹣1)log2an,求数列{bn}的前n项和Tn. 【分析】(1)首先利用数列的递推关系式求出数列的通项公式. (2)利用(1)的结论,进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和. 解:(1)数列{an}的前n项和为Sn,点(an,Sn)在直线y=2x﹣2上,n∈N* 所以:Sn=2an﹣2①, 当n=1时,a1=2a1﹣2, 解得:a1=2. 当n≥2时,Sn﹣1=2an﹣1﹣2②, ①﹣②得:an=2an﹣2an﹣1, 整理得:, 故:数列的通项公式为:(首项符合通项). 故:. (2)bn=n+(an﹣1)log2an, =n?2n, 所以①, ②, ①﹣②得:, 整理得:. 18.在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=BC=2,∠ACB=120°,D为A1B1的中点. (Ⅰ)证明:A1C∥平面BC1D; (Ⅱ)若A1A=A1C,点A1在平面ABC的射影在AC上,且侧面A1ABB1的面积为,求三棱锥A1﹣BC1D的体积. 【分析】(I)连接B1C交BC1于点E,连接DE.利用中位线定理可得DE∥A1C,故而A1C∥平面BC1D; (II)过点A1作A1O⊥平面ABC,垂足为O,则O为AC中点,利用勾股定理计算A1O,代入体积公式==计算. 【解答】(Ⅰ)证明:连接B1C交BC1于点E,连接DE. 则E为B1C的中点,又D为A1B1的中点, ∴DE∥A1C,又DE?平面BC1D,A1C?平面BC1D, ∴A1C∥平面BC1D. (Ⅱ)解:过点A1作A1O⊥平面ABC,垂足为O,则O在AC上, ∵A1A=A1C,∴O为AC的中点. 过点O作OF⊥AB于点F,连接A1F. ∵A1O⊥平面ABC,∴A1O⊥AB, 又A1O∩OF=O,A1D?平面A1OF,OF?平面A1OF, ∴AB⊥平面A1OF,∴A1F⊥AB. ∴侧面A1ABB1的面积为AB?A1F=2, 在△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=120°,∴AB=2, ∴A1F=1,又AO=AC=1,∠BAC=30°, ∴OF=,AF=, 设A1O=h,则AA1=, 由AA12=AF2+A1F2可得h2+1=,解得h=. ∴====. 19.世界军人运动会,简称“军运会”,每四年举办一届,会期7到10天,比赛设有27个大项,参赛规模约100多个国家近10000余人,规模仅次于奥运会,根据各方达成共识,军运会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行,赛期10天,为了军运会顺利召开,特招聘了3万名志愿者.某部门为了了解志愿者的基本情况,调查了其中100名志愿者的年龄,得到了他们年龄的中位数为34岁,年龄在[40,45)岁内的人数为15人,并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图: (1)求m,n的值并估算出志愿者的平均年龄(同一组的数据用该组区间的中点值代表); (2)这次军运会志愿者主要通过直接到武汉军运会执委会志愿者部现场报名和登录第七届世界军运会官网报名,即现场和网络两种方式报名调查.这100位志愿者的报名方式部分数据如表所示,完善下面的表格,通过计算说明能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为“选择哪种报名方式与性别有关系”? 男性 女性 总计 现场报名 50 网络报名 31 总计 50 参考公式及数据:,其中n=a+b+c+d. P(K2≥k0) 0.05 0.01 0.005 0.001 k0 3.841 6.635 7.879 10.828 【分析】(1)根据题意,分析可得m+2n=0.07以及5m+4n=0.2,解可得m、n的值,据此计算可得答案; (2)根据题意,分析可得列联表,进而计算可得观测值k的值,据此分析可得答案. 解:(1)根据题意,∵志愿者年龄在[40,45)内的人数为15人, ∴志愿者年龄在[40,45)内的频率为:; 由频率分布直方图得:(0.020+2m+4n+0.010)×5+0.15=1, 化简得:m+2n=0.07.① 由中位数为34可得:0.020×5+2m×5+2n×(34﹣30)=0.5, 化简得:5m+4n=0.2,② 由①②解得:m=0.020,n=0.025. 志愿者的平均年龄为(22.5×0.020+27.5×0.040+32.5×0.050+37.5×0.050+42.5×0.030+47.5×0.010)×5=34(岁). (2)根据题意得到列联表: 男性 女性 总计 现场报名 19 31 50 网络报名 31 19 50 总计 50 50 100 ∴, ∴不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为选择哪种报名方式与性别有关系. 20.已知椭圆C:=1(a>b>0)的长轴长为4,直线y=x被椭圆C截得的线段长为. (1)求椭圆C的标准方程; (2)过椭圆C的右顶点作互相垂直的两条直线l1,l2分别交椭圆C于M,N两点(点M,N不同于椭圆C的右顶点),证明:直线MN过定点(,0). 【分析】(1)设直线y=x与椭圆交于P,Q两点,不妨设P点在第一象限,由题意可得点P(,),代入椭圆方程,结合2a=4,即可求出a,b的值,从而得到椭圆C的标准方程; (2)显然直线l1,l2的斜率存在且不为0,设直线l1的方程为:x=my+2,则直线l2的方程为:x=﹣+2,联立直线l1与椭圆方程,利用韦达定理可求出M(,),同理可得N(,),当m≠±1时,直线MN的方程y==,所以直线MN过定点(,0),当m=±1时,直线MN的方程为:x=,直线也过点(,0),故直线MN过定点(,0). 解:(1)设直线y=x与椭圆交于P,Q两点,不妨设P点在第一象限,又|PQ|=. ∴点P(,), ∴,即, 又2a=4, ∴a=2,b=1, ∴椭圆C的标准方程为:; (2)显然直线l1,l2的斜率存在且不为0,设直线l1的方程为:x=my+2,则直线l2的方程为:x=﹣+2, 联立方程,消去x得:(m2+4)y2+4my=0, ∴,∴, ∴M(,), 同理可得N(,), 当m≠±1时,, ∴直线MN的方程为:y+=, 整理得:y==, ∴直线MN过定点(,0), 当m=±1时,直线MN的方程为:x=,直线也过点(,0), 综上所述,直线MN过定点(,0). 21.已知函数f(x)=﹣ax+b在点(e,f(e))处的切线方程为y=﹣ax+2e. (Ⅰ)求实数b的值; (Ⅱ)若存在x∈[e,e2],满足f(x)≤+e,求实数a的取值范围. 【分析】(Ⅰ)求导,利用导数的几何意义,直线的点斜式方程,即可求得实数b的值; (Ⅱ)则a≥﹣在[e,e2]上有解,构造辅助函数,求导,利用导数与函数单调性的关系,求得h(x)的取值. 解:(Ⅰ)f(x)=﹣ax+b,x∈(0,1)∪(1,+∞), 求导,f′(x)=﹣a, 则函数f(x)在点(e,f(e))处切线方程y﹣(e﹣ex+b)=﹣a(x﹣e), 即y=﹣ax+e+b, 由函数f(x)在(e,f(e))处的切线方程为y=﹣ax+2e,比较可得b=e, 实数b的值e; (Ⅱ)由f(x)≤+e,即﹣ax+e≤+e, 则a≥﹣在[e,e2],上有解, 设h(x)=﹣,x∈[e,e2], 求导h′(x)=﹣==, 令p(x)=lnx﹣2, ∴x在[e,e2]时,p′(x)=﹣=<0, 则函数p(x)在[e,e2]上单调递减, ∴p(x)<p(e)=lne﹣2<0, 则h′(x)<0,及h(x)在区间[e,e2]单调递减, h(x)≥h(e2)=﹣=﹣, ∴实数a的取值范围[﹣,+∞). [选修4-4:坐标系与参数方程] 22.已知在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2=0,点P的极坐标是(,). (1)求直线l的极坐标方程及点P到直线l的距离; (2)若直线l与曲线C交于M,N两点,求△PMN的面积. 【分析】(1)现将直线方程转化为普通方程,再利用公式求出直线的极坐标方程,进而可得点到直线的距离; (2)在极坐标下,利用韦达定理求出MN的长度,从而得出面积. 【解答】解(1)由消去t, 得到y=, 则ρsinθ=ρcosθ, ∴θ=, 所以直线l的极坐标方程为θ=(ρ∈R). 点P(,)到直线l的距离为d=×sin(﹣)=×=. (2)由, 得,ρ2﹣ρ﹣2=0 所以ρ1+ρ2=1,ρ1ρ2=﹣2 所以,|MN|=|ρ1﹣ρ2|==3 则△PMN的面积为.S△PMN=|MN|×d=×=. [选修4-5:不等式选讲] 23.已知函数f(x)=|x+a|+|x﹣1|. (1)当a=2时,求不等式f(x)≥x+8的解集; (2)若关于x的不等式f(x)≤|x﹣5|的解集包含[0,2],求实数a的取值范围. 【分析】(1)a=2时函数f(x)=|x+2|+|x﹣1|,利用分段讨论法去掉绝对值,求不等式的解集即可; (2)不等式的解集包含[0,2],即不等式在x∈[0,2]上恒成立,讨论x的取值,去掉绝对值,把不等式化为关于|x+a|的不等式,再求实数a的取值范围. 解:(1)当a=2时,函数f(x)=|x+2|+|x﹣1|=, 不等式f(x)≥x+8等价于或或; 解得x≥7,或x≤﹣3; 所以不等式f(x)≥x+8的解集为(﹣∞,﹣3]∪[7,+∞); (2)不等式f(x)≤|x﹣5|的解集包含[0,2],即|x+a|+|x﹣1|≤|x﹣5|在x∈[0,2]上恒成立, 当x∈[0,1]时,不等式化为|x+a|+1﹣x≤5﹣x,即|x+a|≤4,解得﹣4≤x+a≤4,即﹣4﹣a≤x≤4﹣a; 所以,解得﹣4≤a≤3; 当x∈(1,2]时,不等式化为|x+a|+x﹣1≤5﹣x,即|x+a|≤6﹣2x, 解得2x﹣6≤x+a≤6﹣2x,即对任意x∈(1,2]恒成立; 所以,解得﹣4≤a≤0; 综上知,实数a的取值范围是﹣4≤a≤0.

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  • ID:3-7131408 2019-2020学年人教A版河北省衡水市武邑中学高二第二学期第一次(3月份)月考数学试卷 Word版含解析

    高中数学/月考专区/高二下学期

    2019-2020学年高二第二学期第一次月考数学试卷(3月份) 一、选择题 1.已知集合 S={﹣4,﹣3,6,7},T={x|x2>4x},则 S∩T=( ) A.{6,7} B.{﹣3,6,7} C.{﹣4,6,7} D.{﹣4,﹣3,6,7} 2.已知等比数列{an}的前 n项和为 Sn,且 S5=4,S10=10,则 S15=( ) A.16 B.19 C.20 D.25 3.已知盒中装有 3只螺口与 7只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着, 现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则在他第 1次抽到的是螺 口灯泡的条件下,第 2次抽到的是卡口灯泡的概率为( ) A. B. C. D. 4.某射击运动员射击一次命中目标的概率为 p,已知他独立地连续射击三次,至少有一次 命中的概率 ,则 p为( ) A. B. C. D. 5.点 P在焦点为 F1(﹣4,0)和 F2(4,0)的椭圆上,若△PF1F2面积的最大值为 16, 则椭圆标准方程为( ) A. + =1 B. =1 C. =1 D. =1 6.关于椭圆 =1和双曲线 y2﹣ =1两曲线下列说法正确的是( ) A.与 y轴交点相同 B.有相同焦点坐标 C.有四个交点 D.离心率互为倒数 7.如图,已知|AB|=10,图中的一系列圆是圆心分别 A,B的两组同心圆,每组同心圆的 半径分别是 1,2,3,…,n,利用这两组同心圆可以画出以 A,B为焦点的椭圆,设其 中经过点M,N,P的椭圆的离心率分别是 eM,eN,eP,则( ) A.eM=eN=eP B.eP<eM=eN C.eM<eN<eP D.eP<eM<eN 8.函数 的图象大致为( ) A. B. C. D. 9.已知定点 B(3,0),点 A在圆(x+1)2+y2=4上运动,则线段 AB的中点M的轨迹方 程是( ) A.(x+1)2+y2=1 B.(x﹣2)2+y2=4 C.(x﹣1)2+y2=1 D.(x+2)2+y2=4 10.三棱锥的三条侧棱两两垂直,其长分别为 ,则该三棱锥的外接球的表面 积( ) A.24π B.18π C.10π D.6π 11.若点(m,n)在椭圆 9x2+y2=9上,则 的最小值为( ) A. B. C. D. 12.已知函数 f(x)=(x﹣3)ex+a(2lnx﹣x+1)在(1,+∞)上有两个极值点,且 f(x) 在(1,2)上单调递增,则实数 a的取值范围是( ) A.(e,+∞) B.(e,2e2) C.(2e2,+∞) D.(e,2e2)∪(2e2,+∞) 二、填空题 13.计算 = . 14.若 4个人重新站成一排,没有人站在自己原来的位置,则不同的站法共有 种. 15.(x+ ﹣1)(x﹣1)4的展开式中 x3的系数为 . 16.已知函数 f(x)=|log2|x﹣1||,若 f(x)=2的四个根为 x1,x2,x3,x4,且 k=x1+x2+x3+x4, 则 f(k+1)= . 三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤) 17.已知命题 p:(a﹣2)(6﹣a)>0:命题 q:函数 f(x)=x3+ax2+2x在 R上是增函数; 若命题命题“p∧q”为真,求实数 a的取值范围. 18.某校高二年级某班的数学课外活动小组有 6名男生,4名女生,从中选出 4人参加数学 竞赛考试,用 X表示其中男生的人数, (1)请列出 X的分布列; (2)根据你所列的分布列求选出的 4人中至少有 3名男生的概率. 19.在直角坐标系 xOy中,点( )在曲线 C: (φ为参数)上,对应参 数为φ= .以原点 O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点 P的极坐标 为(2, ). (1)直接写出点 P的直角坐标和曲线 C的极坐标方程; (2)设 A,B是曲线 C上的两个动点,且 OA⊥OB,求|OA|2+|OB|2的最小值. 20.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中侧面 PAB 为等边三角形且垂直于底面 ABCD,AB=BC= AD,E是 PD的中点. (1)证明:直线 CE∥平面 PAB; (2)求二面角 B﹣PC﹣D的余弦值. 21.已知椭圆 C: =1(a>b>0)的短轴长为 2 ,离心率为 . (1)求椭圆的方程; (2)求过椭圆的右焦点且倾斜角为 135°的直线,被椭圆截得的弦长; (3)若直线 l:y=kx+m与椭圆 C相交于 A,B两点(A,B不是左右顶点),且以 AB 为直径的圆过椭圆 C的右顶点,求证:直线 l过定点,并求出该定点的坐标. 22.已知函数 f(x)= x2﹣alnx﹣ (a∈R,a≠0). (Ⅰ)当 a=2时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅲ)若对任意的 x∈[1,+∞),都有 f(x)≥0成立,求 a的取值范围. 参考答案 一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 S={﹣4,﹣3,6,7},T={x|x2>4x},则 S∩T=( ) A.{6,7} B.{﹣3,6,7} C.{﹣4,6,7} D.{﹣4,﹣3,6, 7} 【分析】可求出集合 T,然后进行交集的运算即可. 解:T={x|x<0,或 x>4}; ∴S∩T={﹣4,﹣3,6,7}. 故选:D. 2.已知等比数列{an}的前 n项和为 Sn,且 S5=4,S10=10,则 S15=( ) A.16 B.19 C.20 D.25 【分析】由等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,得 S5,S10﹣S5,S15﹣S10成等比数列,即可 得到 S15﹣S10,进而得到 S15. 解:∵等比数列{an}的前 n项和为 Sn, ∴S5,S10﹣S5,S15﹣S10成等比数列, ∵S5=4,S10﹣S5=10﹣4=6, ∴S15﹣S10=6× =9, 所以 S15=S10+S15﹣S10=19, 故选:B. 3.已知盒中装有 3只螺口与 7只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着, 现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则在他第 1次抽到的是螺 口灯泡的条件下,第 2次抽到的是卡口灯泡的概率为( ) A. B. C. D. 【分析】把本题转化为古典概率来解,他第 2 次抽到时,盒子中还有 2只螺口灯泡与 7 只卡口灯泡,根据古典概率计算公式求得他第 2次抽到的是卡口灯泡的概率. 解:在他第 1 次抽到的是螺口灯泡的条件下,这时盒子中还有 2只螺口灯泡与 7只卡口 灯泡, 这时,第 2次抽到的是卡口灯泡的概率为 = , 故选:D. 4.某射击运动员射击一次命中目标的概率为 p,已知他独立地连续射击三次,至少有一次 命中的概率 ,则 p为( ) A. B. C. D. 【分析】由题意可得,独立地连续射击三次,至少有一次命中的概率 1﹣ = ,解方程可求. 解:由题意可得,独立地连续射击三次,至少有一次命中的概率 1﹣ = , 解可得,p= . 故选:A. 5.点 P在焦点为 F1(﹣4,0)和 F2(4,0)的椭圆上,若△PF1F2面积的最大值为 16, 则椭圆标准方程为( ) A. + =1 B. =1 C. =1 D. =1 【分析】由已知求得 c,结合△PF1F2面积的最大值为 16,求得 b,再由隐含条件求解 a, 则椭圆标准方程可求. 解:由题意,2c=8,即 c=4, ∵△PF1F2面积的最大值为 16,∴ , 即 4b=16,b=4, ∴a2=b2+c2=16+16=32. 则椭圆的标准方程为 . 故选:C. 6.关于椭圆 =1和双曲线 y2﹣ =1两曲线下列说法正确的是( ) A.与 y轴交点相同 B.有相同焦点坐标 C.有四个交点 D.离心率互为倒数 【分析】由椭圆及双曲线的方程可得焦点坐标所在的轴不同,且求出两个曲线的顶点坐 标,联立两个方程求出交点的个数,及求出两个曲线的离心率,可得所给命题的真假. 解:由椭圆及双曲线的方程可得椭圆的焦点在 x轴上,在 y轴的顶点坐标为:(0,±1), 双曲线的焦点在 y轴上,且顶点坐标为:(0,±1),故 A正确,B不正确; 可得 =0,x=0,y=±1,即只有两个交点,所以 C不正确; 椭圆的离心率为:e1= = , 双曲线的离心率 e2= = , 所以离心率不互为倒数,故 D不正确; 故选:A. 7.如图,已知|AB|=10,图中的一系列圆是圆心分别 A,B的两组同心圆,每组同心圆的 半径分别是 1,2,3,…,n,利用这两组同心圆可以画出以 A,B为焦点的椭圆,设其 中经过点M,N,P的椭圆的离心率分别是 eM,eN,eP,则( ) A.eM=eN=eP B.eP<eM=eN C.eM<eN<eP D.eP<eM<eN 【分析】通过数格子,得到焦半径 c,在分别求出过 P,M,N 的椭圆的长轴 2a,根据 椭圆的离心率 e= ,求出椭圆的离心率,再比较其大小. 解:通过数格子,得到椭圆的焦距一定为 10:2c=10 c=5 一下是各点的对应表:【指经过该点的圆的半径】 以 A为圆心的圆的半径 以 B为圆心的圆的半径 对 P:13 3 对M:3 11 对 N:5 7 所以由椭圆的第一定义得到: 对过 P点的椭圆:||PA|+|PB||=2a=|3+13|=16,a=8, 对过M点的椭圆:||MA|+MB||=2a=|3+11|=14,a=7, 对过 N点的椭圆:||NA|+|NB||=2a=|5+7|=12,a=6, 所以显而易见:eP<eM<eN 故选:D. 8.函数 的图象大致为( ) A. B. C. D. 【分析】根据函数的单调性排除 B,D,根据函数值,排除 C 解:由于函数 y= ﹣ln(x+1)在(﹣1,0),(0,+∞)单调递减,故排除 B,D, 当 x=1时,y=1﹣ln2>0,故排除 C, 故选:A. 9.已知定点 B(3,0),点 A在圆(x+1)2+y2=4上运动,则线段 AB的中点M的轨迹方 程是( ) A.(x+1)2+y2=1 B.(x﹣2)2+y2=4 C.(x﹣1)2+y2=1 D.(x+2)2+y2=4 【分析】设出动点坐标,利用已知条件确定坐标之间的关系,利用 P在圆上,可得结论. 解:设点M的坐标为(x,y),点 A(m,n),则(m+1)2+n2=4. ∵M是线段 AB上的中点, ∴(x﹣m,y﹣n)=(3﹣x,﹣y) ∴m=2x﹣3,n=2y, ∵(m+1)2+n2=4, ∴(2x﹣2)2+(2y)2=4, ∴(x﹣1)2+y2=1. 故选:C. 10.三棱锥的三条侧棱两两垂直,其长分别为 ,则该三棱锥的外接球的表面 积( ) A.24π B.18π C.10π D.6π 【分析】由已知中三棱锥的三条侧棱两两相互垂直,故可将其补充为一个长方体,根据 外接球的直径等于长方体的对角线,求出球的半径,代入球的表面积公式,即可求出答 案. 解:∵三棱锥的三条侧棱两两相互垂直,且三条侧棱长分别为 , ∴可将其补充为一个长宽高分别为 的长方体, ∴其外接球的直径 2R= = , ∴三棱锥的外接球的表面积 S=4πR2=6π, 故选:D. 11.若点(m,n)在椭圆 9x2+y2=9上,则 的最小值为( ) A. B. C. D. 【分析】设 y=k(x﹣3),代入椭圆方程,由△=0,解得:k. 解:设 y=k(x﹣3), 代入椭圆方程,9x2+k2(x﹣3)3=9,化为:(9+k2)x2﹣6k2x+9k2﹣9=0, 由△=36k4﹣4(9+k2)(9k2﹣9)=0, 解得:k=﹣ . 故选:D. 12.已知函数 f(x)=(x﹣3)ex+a(2lnx﹣x+1)在(1,+∞)上有两个极值点,且 f(x) 在(1,2)上单调递增,则实数 a的取值范围是( ) A.(e,+∞) B.(e,2e2) C.(2e2,+∞) D.(e,2e2)∪(2e2,+∞) 【分析】f′(x)=(x﹣2)ex+a( ﹣1)=(x﹣2)(ex﹣ ).x∈(1,+∞).由 f′(2)=0,可得 2是函数 f(x)的一个极值点.根据 f(x)在(1,+∞)上有两个极 值点,且 f(x)在(1,2)上单调递增,因此函数 f(x)的另一个极值点 x0>2,满足: ﹣ =0,即可得出. 解:f′(x)=(x﹣2)ex+a( ﹣1)=(x﹣2)(ex﹣ ),x∈(1,+∞). ∵f′(2)=0,可得 2是函数 f(x)的一个极值点. ∵f(x)在(1,+∞)上有两个极值点,且 f(x)在(1,2)上单调递增, ∴函数 f(x)的另一个极值点 x0>2,满足: ﹣ =0, 可得:a=x0 >2e2, 故选:C. 二、填空题 13.计算 = 1 . 【分析】直接利用有理指数幂与对数的运算性质化简求值. 解: = =4× . 故答案为:1. 14.若 4个人重新站成一排,没有人站在自己原来的位置,则不同的站法共有 9 种. 【分析】根据题意,假设 4人为 A、B、C、D,原来对应站的位置为 1、2、3、4,进而 分 3步进行分析,讨论 4人的站法数目,由分步计数原理计算可得答案. 解:根据题意,假设 4人为 A、B、C、D,原来对应站的位置为 1、2、3、4, 分 3步进行分析: ①、A不能在 1号位置,可以站在 2、3、4号位置,有 3种情况; ②、假设 A站在了 2号位置,则 B可以站在 1、3、4号位置,有 3种情况; ③,对于剩下 2人,都不能在原来的位置,有 1种情况, 则有 3×3=9种不同的站法; 故答案为:9. 15.(x+ ﹣1)(x﹣1)4的展开式中 x3的系数为 11 . 【分析】把(x﹣1)4按照二项式定理展开,可得(x+ ﹣1)(x﹣1)4的展开式中 x3 的系数. 解:∵(x+ ﹣1)(x﹣1)4=(x+ ﹣1)?(x4﹣4x3+6x2﹣4x+1), ∴它的展开式中 x3的系数为 6+1﹣(﹣4)=11, 故答案为:11. 16.已知函数 f(x)=|log2|x﹣1||,若 f(x)=2的四个根为 x1,x2,x3,x4,且 k=x1+x2+x3+x4, 则 f(k+1)= 2 . 【分析】检验可知 f(2﹣x)=|f(x),从而可得 f(x)的图象关于 x=1 对称,根据对 称性可 k=x1+x2+x3+x4,代入即可求解. 解:∵f(x)=|log2|x﹣1||, ∴f(2﹣x)=|log2|2﹣x﹣1||=|log2|x﹣1||=f(x), ∴f(x)的图象关于 x=1对称, 若 f(x)=2的四个根为 x1,x2,x3,x4, 根据对称性可知 k=4=x1+x2+x3+x4, 则 f(k+1)=f(5)=2, 故答案为:2. 三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤) 17.已知命题 p:(a﹣2)(6﹣a)>0:命题 q:函数 f(x)=x3+ax2+2x在 R上是增函数; 若命题命题“p∧q”为真,求实数 a的取值范围. 【分析】求出 p,q,由已知:p∧q为真,则命题 p,q均为真,求出即可 解:若命题 p为真,则 2<a<6, 若命题 q为真,则:f'(x)=3x2+2ax+2≥0在 R上恒成立, △=4a2﹣24≤0,∴﹣ , 由已知:p∧q为真,则命题 p,q均为真, ∴2<a< , 故实数 a的取值范围为 2<a< . 18.某校高二年级某班的数学课外活动小组有 6名男生,4名女生,从中选出 4人参加数学 竞赛考试,用 X表示其中男生的人数, (1)请列出 X的分布列; (2)根据你所列的分布列求选出的 4人中至少有 3名男生的概率. 【分析】(1)本题是一个超几何分步,用 X表示其中男生的人数,X可能取的值为 0, 1,2,3,4.结合变量对应的事件和超几何分布的概率公式,写出变量的分布列和数学 期望. (2)选出的 4人中至少有 3名男生,表示男生有 3个人,或者男生有 4人,根据第一问 做出的概率值,根据互斥事件的概率公式得到结果. 解:(1)依题意得,随机变量 X服从超几何分布, 随机变量 X表示其中男生的人数,X可能取的值为 0,1,2,3,4. . ∴所以 X的分布列为: X 0 1 2 3 4 P (2)由分布列可知至少选 3名男生, 即 P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)= + = . 19.在直角坐标系 xOy中,点( )在曲线 C: (φ为参数)上,对应参 数为φ= .以原点 O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点 P的极坐标 为(2, ). (1)直接写出点 P的直角坐标和曲线 C的极坐标方程; (2)设 A,B是曲线 C上的两个动点,且 OA⊥OB,求|OA|2+|OB|2的最小值. 【分析】(1)由极坐标公式可得 P的直角坐标为( ,1),将点( , )和φ= 代入求得 k=1,m=2,则曲线方程 x2+ =1,求得极坐标方程ρ2= ; (2)设 A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+ ),易知|OA|2= ,|OB|2= , 所以|OA|2+|OB|2= ,sin22θ=1时,|OA|2+|OB|2的最小值为 . 解:(1)点 P的直角坐标为( ,1), 曲线 C的极坐标方程为ρ2= . (2)由(1)知曲线 C:ρ2= . 由 A,B是曲线 C上的两个动点,且 OA⊥OB, 不妨设 A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+ ),且|OA|2=ρ12= , |OB|2=ρ22= = . ∴|OA|2+|OB|2=ρ12+ρ22= + , = ≥ = . 当 sin22θ=1时,|OA|2+|OB|2的最小值为 . |OA|2+|OB|2的最小值为 . 20.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中侧面 PAB 为等边三角形且垂直于底面 ABCD,AB=BC= AD,E是 PD的中点. (1)证明:直线 CE∥平面 PAB; (2)求二面角 B﹣PC﹣D的余弦值. 【分析】(1)证明四边形 EFBC是平行四边形,可得 CE∥BF,进而得证; (2)建立空间直角坐标系,求出两平面的法向量,利用向量的夹角公式即可求得余弦值. 解:(1)取 PA的中点 F,连接 FE,FB, ∵E是 PD的中点, ∴ , 又 , ∴ , ∴四边形 EFBC是平行四边形, ∴CE∥BF, 又 CE不在平面 PAB内,BF在平面 PAB内, ∴CE∥平面 PAB. (2)在平面 PAB内作 PO⊥AB于 O, 不妨令 ,则 AD=4, 由△PAB是等边三角形,则 PA=PB=2,O为 AB的中点, , 分别以 AB、PO所在的直线为 x 轴和 z轴,以底面内 AB 的中垂线为 y 轴建立空间直角 坐标系, 则 , ∴ , 设平面 PBC的法向量为 ,平面 PDC的法向量为 , 则 ,故可取 , ,故可取 , ∴ , 经检验,二面角 B﹣PC﹣D的余弦值的大小为 . 21.已知椭圆 C: =1(a>b>0)的短轴长为 2 ,离心率为 . (1)求椭圆的方程; (2)求过椭圆的右焦点且倾斜角为 135°的直线,被椭圆截得的弦长; (3)若直线 l:y=kx+m与椭圆 C相交于 A,B两点(A,B不是左右顶点),且以 AB 为直径的圆过椭圆 C的右顶点,求证:直线 l过定点,并求出该定点的坐标. 【分析】(1)根据题意列出关于 a,b,c的方程组,解出 a,b,c的值,即可求得椭圆 C的方程; (2)先求出直线方程,与椭圆方程联立,利用弦长公式即可求出直线被椭圆截得的弦长; (3)设 A(x3,y3),B(x4,y4),由 AP⊥BP得 ,即(2﹣x3)(2﹣x4)+y3y4 =0,联立直线 l与椭圆方程,利用韦达定理代入上式化简得到(2k+m)(2k+7m)=0, 又直线 l:y=kx+m不过右顶点 P,所以 2k+m≠0,所以 2k+7m=0,即 m=﹣ k,从而 得到直线 l的方程为:y=kx﹣ k=k(x﹣ ),直线 l过定点( ,0). 解:(1)由题意可知: ,解得 , ∴椭圆 C的方程为: ; (2)∵椭圆 C的方程为: ,∴椭圆的右焦点坐标为(1,0), ∴直线的方程为:y=﹣(x﹣1),即 y=1﹣x, 联立方程 ,消去 y得:7x2﹣8x﹣8=0, 设直线与椭圆的两个交点 C(x1,y1),D(x2,y2), ∴ , , ∴|CD|= = = , 即直线被椭圆截得的弦长为 ; (3)设 A(x3,y3),B(x4,y4), 联立方程 ,消去 y得:(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0, ∴ , , ∴y3y4=(kx3+m)(kx4+m)= = , ∵AB为直径的圆过椭圆 C的右顶点,设椭圆 C的右顶点为点 P,则 P(2,0), ∴AP⊥BP,∴ , ∴(2﹣x3)(2﹣x4)+y3y4=0, ∴4﹣2(x3+x4)+x3x4+y3y4=0, ∴ , 整理得:4k2+16km+7m2=0,即(2k+m)(2k+7m)=0, 又∵直线 l:y=kx+m不过右顶点 P,∴2k+m≠0, ∴2k+7m=0,∴m=﹣ k, ∴直线 l的方程为:y=kx﹣ k=k(x﹣ ), ∴直线 l过定点( ,0), 故直线 l过定点,该定点的坐标为( ,0). 22.已知函数 f(x)= x2﹣alnx﹣ (a∈R,a≠0). (Ⅰ)当 a=2时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅲ)若对任意的 x∈[1,+∞),都有 f(x)≥0成立,求 a的取值范围. 【分析】(Ⅰ)当 a=2时,写出 f(x)的表达式,对 f(x)进行求导,求出 x=1处的 斜率,再根据点斜式求出切线的方程; (Ⅱ)求出函数的定义域,令 f′(x)大于 0 求出 x 的范围即为函数的增区间;令 f′ (x)小于 0求出 x的范围即为函数的减区间; (Ⅲ)由题意可知,对任意的 x∈[1,+∞),使 f(x)≥0成立,只需任意的 x∈[1,+∞), f(x)min≥0.下面对 a进行分类讨论,从而求出 a的取值范围; 解:(Ⅰ)a=2时, 曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程 x+y﹣1=0 (Ⅱ) ①当 a<0时, 恒成立,函数 f(x)的递增区间为(0,+∞) ②当 a>0时,令 f'(x)=0,解得 或 x ( 0, ) ( f′(x) ﹣ + f(x) 减 增 所以函数 f(x)的递增区间为 ,递减区间为 (Ⅲ)对任意的 x∈[1,+∞),使 f(x)≥0成立,只需任意的 x∈[1,+∞),f(x)min ≥0 ①当 a<0时,f(x)在[1,+∞)上是增函数, 所以只需 f(1)≥0 而 所以 a<0满足题意; ②当 0<a≤1时, ,f(x)在[1,+∞)上是增函数, 所以只需 f(1)≥0 而 所以 0<a≤1满足题意; ③当 a>1时, ,f(x)在 上是减函数, 上是增函数, 所以只需 即可 而 从而 a>1不满足题意; 综合①②③实数 a的取值范围为(﹣∞,0)∪(0,1]. 2019-2020学年高二第二学期第一次月考数学试卷(3月份) 一、选择题 1.已知集合S={﹣4,﹣3,6,7},T={x|x2>4x},则S∩T=(  ) A.{6,7} B.{﹣3,6,7} C.{﹣4,6,7} D.{﹣4,﹣3,6,7} 2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S5=4,S10=10,则S15=(  ) A.16 B.19 C.20 D.25 3.已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着,现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下,第2次抽到的是卡口灯泡的概率为(  ) A. B. C. D. 4.某射击运动员射击一次命中目标的概率为p,已知他独立地连续射击三次,至少有一次命中的概率,则p为(  ) A. B. C. D. 5.点P在焦点为F1(﹣4,0)和F2(4,0)的椭圆上,若△PF1F2面积的最大值为16,则椭圆标准方程为(  ) A.+=1 B.=1 C.=1 D.=1 6.关于椭圆=1和双曲线y2﹣=1两曲线下列说法正确的是(  ) A.与y轴交点相同 B.有相同焦点坐标 C.有四个交点 D.离心率互为倒数 7.如图,已知|AB|=10,图中的一系列圆是圆心分别A,B的两组同心圆,每组同心圆的半径分别是1,2,3,…,n,利用这两组同心圆可以画出以A,B为焦点的椭圆,设其中经过点M,N,P的椭圆的离心率分别是eM,eN,eP,则(  ) A.eM=eN=eP B.eP<eM=eN C.eM<eN<eP D.eP<eM<eN 8.函数的图象大致为(  ) A. B. C. D. 9.已知定点B(3,0),点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,则线段AB的中点M的轨迹方程是(  ) A.(x+1)2+y2=1 B.(x﹣2)2+y2=4 C.(x﹣1)2+y2=1 D.(x+2)2+y2=4 10.三棱锥的三条侧棱两两垂直,其长分别为,则该三棱锥的外接球的表面积(  ) A.24π B.18π C.10π D.6π 11.若点(m,n)在椭圆9x2+y2=9上,则的最小值为(  ) A. B. C. D. 12.已知函数f(x)=(x﹣3)ex+a(2lnx﹣x+1)在(1,+∞)上有两个极值点,且f(x)在(1,2)上单调递增,则实数a的取值范围是(  ) A.(e,+∞) B.(e,2e2) C.(2e2,+∞) D.(e,2e2)∪(2e2,+∞) 二、填空题 13.计算=   . 14.若4个人重新站成一排,没有人站在自己原来的位置,则不同的站法共有   种. 15.(x+﹣1)(x﹣1)4的展开式中x3的系数为   . 16.已知函数f(x)=|log2|x﹣1||,若f(x)=2的四个根为x1,x2,x3,x4,且k=x1+x2+x3+x4,则f(k+1)=   . 三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤) 17.已知命题p:(a﹣2)(6﹣a)>0:命题q:函数f(x)=x3+ax2+2x在R上是增函数;若命题命题“p∧q”为真,求实数a的取值范围. 18.某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生,4名女生,从中选出4人参加数学竞赛考试,用X表示其中男生的人数, (1)请列出X的分布列; (2)根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率. 19.在直角坐标系xOy中,点()在曲线C:(φ为参数)上,对应参数为φ=.以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点P的极坐标为(2,). (1)直接写出点P的直角坐标和曲线C的极坐标方程; (2)设A,B是曲线C上的两个动点,且OA⊥OB,求|OA|2+|OB|2的最小值. 20.如图,四棱锥P﹣ABCD中侧面PAB为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,E是PD的中点. (1)证明:直线CE∥平面PAB; (2)求二面角B﹣PC﹣D的余弦值. 21.已知椭圆C:=1(a>b>0)的短轴长为2,离心率为. (1)求椭圆的方程; (2)求过椭圆的右焦点且倾斜角为135°的直线,被椭圆截得的弦长; (3)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标. 22.已知函数f(x)=x2﹣alnx﹣(a∈R,a≠0). (Ⅰ)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅲ)若对任意的x∈[1,+∞),都有f(x)≥0成立,求a的取值范围. 参考答案 一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合S={﹣4,﹣3,6,7},T={x|x2>4x},则S∩T=(  ) A.{6,7} B.{﹣3,6,7} C.{﹣4,6,7} D.{﹣4,﹣3,6,7} 【分析】可求出集合T,然后进行交集的运算即可. 解:T={x|x<0,或x>4}; ∴S∩T={﹣4,﹣3,6,7}. 故选:D. 2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S5=4,S10=10,则S15=(  ) A.16 B.19 C.20 D.25 【分析】由等比数列{an}的前n项和为Sn,得S5,S10﹣S5,S15﹣S10成等比数列,即可得到S15﹣S10,进而得到S15. 解:∵等比数列{an}的前n项和为Sn, ∴S5,S10﹣S5,S15﹣S10成等比数列, ∵S5=4,S10﹣S5=10﹣4=6, ∴S15﹣S10=6×=9, 所以S15=S10+S15﹣S10=19, 故选:B. 3.已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着,现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下,第2次抽到的是卡口灯泡的概率为(  ) A. B. C. D. 【分析】把本题转化为古典概率来解,他第2次抽到时,盒子中还有2只螺口灯泡与7只卡口灯泡,根据古典概率计算公式求得他第2次抽到的是卡口灯泡的概率. 解:在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下,这时盒子中还有2只螺口灯泡与7只卡口灯泡, 这时,第2次抽到的是卡口灯泡的概率为 =, 故选:D. 4.某射击运动员射击一次命中目标的概率为p,已知他独立地连续射击三次,至少有一次命中的概率,则p为(  ) A. B. C. D. 【分析】由题意可得,独立地连续射击三次,至少有一次命中的概率1﹣=,解方程可求. 解:由题意可得,独立地连续射击三次,至少有一次命中的概率1﹣=, 解可得,p=. 故选:A. 5.点P在焦点为F1(﹣4,0)和F2(4,0)的椭圆上,若△PF1F2面积的最大值为16,则椭圆标准方程为(  ) A.+=1 B.=1 C.=1 D.=1 【分析】由已知求得c,结合△PF1F2面积的最大值为16,求得b,再由隐含条件求解a,则椭圆标准方程可求. 解:由题意,2c=8,即c=4, ∵△PF1F2面积的最大值为16,∴, 即4b=16,b=4, ∴a2=b2+c2=16+16=32. 则椭圆的标准方程为. 故选:C. 6.关于椭圆=1和双曲线y2﹣=1两曲线下列说法正确的是(  ) A.与y轴交点相同 B.有相同焦点坐标 C.有四个交点 D.离心率互为倒数 【分析】由椭圆及双曲线的方程可得焦点坐标所在的轴不同,且求出两个曲线的顶点坐标,联立两个方程求出交点的个数,及求出两个曲线的离心率,可得所给命题的真假. 解:由椭圆及双曲线的方程可得椭圆的焦点在x轴上,在y轴的顶点坐标为:(0,±1),双曲线的焦点在y轴上,且顶点坐标为:(0,±1),故A正确,B不正确; 可得=0,x=0,y=±1,即只有两个交点,所以C不正确; 椭圆的离心率为:e1==, 双曲线的离心率e2==, 所以离心率不互为倒数,故D不正确; 故选:A. 7.如图,已知|AB|=10,图中的一系列圆是圆心分别A,B的两组同心圆,每组同心圆的半径分别是1,2,3,…,n,利用这两组同心圆可以画出以A,B为焦点的椭圆,设其中经过点M,N,P的椭圆的离心率分别是eM,eN,eP,则(  ) A.eM=eN=eP B.eP<eM=eN C.eM<eN<eP D.eP<eM<eN 【分析】通过数格子,得到焦半径c,在分别求出过P,M,N的椭圆的长轴2a,根据椭圆的离心率e=,求出椭圆的离心率,再比较其大小. 解:通过数格子,得到椭圆的焦距一定为10:2c=10 c=5 一下是各点的对应表:【指经过该点的圆的半径】 以A为圆心的圆的半径 以B为圆心的圆的半径 对P:13 3 对M:3 11 对N:5 7 所以由椭圆的第一定义得到: 对过P点的椭圆:||PA|+|PB||=2a=|3+13|=16,a=8, 对过M点的椭圆:||MA|+MB||=2a=|3+11|=14,a=7, 对过N点的椭圆:||NA|+|NB||=2a=|5+7|=12,a=6, 所以显而易见:eP<eM<eN 故选:D. 8.函数的图象大致为(  ) A. B. C. D. 【分析】根据函数的单调性排除B,D,根据函数值,排除C 解:由于函数y=﹣ln(x+1)在(﹣1,0),(0,+∞)单调递减,故排除B,D, 当x=1时,y=1﹣ln2>0,故排除C, 故选:A. 9.已知定点B(3,0),点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,则线段AB的中点M的轨迹方程是(  ) A.(x+1)2+y2=1 B.(x﹣2)2+y2=4 C.(x﹣1)2+y2=1 D.(x+2)2+y2=4 【分析】设出动点坐标,利用已知条件确定坐标之间的关系,利用P在圆上,可得结论. 解:设点M的坐标为(x,y),点A(m,n),则(m+1)2+n2=4. ∵M是线段AB上的中点, ∴(x﹣m,y﹣n)=(3﹣x,﹣y) ∴m=2x﹣3,n=2y, ∵(m+1)2+n2=4, ∴(2x﹣2)2+(2y)2=4, ∴(x﹣1)2+y2=1. 故选:C. 10.三棱锥的三条侧棱两两垂直,其长分别为,则该三棱锥的外接球的表面积(  ) A.24π B.18π C.10π D.6π 【分析】由已知中三棱锥的三条侧棱两两相互垂直,故可将其补充为一个长方体,根据外接球的直径等于长方体的对角线,求出球的半径,代入球的表面积公式,即可求出答案. 解:∵三棱锥的三条侧棱两两相互垂直,且三条侧棱长分别为, ∴可将其补充为一个长宽高分别为的长方体, ∴其外接球的直径2R==, ∴三棱锥的外接球的表面积S=4πR2=6π, 故选:D. 11.若点(m,n)在椭圆9x2+y2=9上,则的最小值为(  ) A. B. C. D. 【分析】设y=k(x﹣3),代入椭圆方程,由△=0,解得:k. 解:设y=k(x﹣3), 代入椭圆方程,9x2+k2(x﹣3)3=9,化为:(9+k2)x2﹣6k2x+9k2﹣9=0, 由△=36k4﹣4(9+k2)(9k2﹣9)=0, 解得:k=﹣. 故选:D. 12.已知函数f(x)=(x﹣3)ex+a(2lnx﹣x+1)在(1,+∞)上有两个极值点,且f(x)在(1,2)上单调递增,则实数a的取值范围是(  ) A.(e,+∞) B.(e,2e2) C.(2e2,+∞) D.(e,2e2)∪(2e2,+∞) 【分析】f′(x)=(x﹣2)ex+a(﹣1)=(x﹣2)(ex﹣).x∈(1,+∞).由f′(2)=0,可得2是函数f(x)的一个极值点.根据f(x)在(1,+∞)上有两个极值点,且f(x)在(1,2)上单调递增,因此函数f(x)的另一个极值点x0>2,满足:﹣=0,即可得出. 解:f′(x)=(x﹣2)ex+a(﹣1)=(x﹣2)(ex﹣),x∈(1,+∞). ∵f′(2)=0,可得2是函数f(x)的一个极值点. ∵f(x)在(1,+∞)上有两个极值点,且f(x)在(1,2)上单调递增, ∴函数f(x)的另一个极值点x0>2,满足:﹣=0, 可得:a=x0>2e2, 故选:C. 二、填空题 13.计算= 1 . 【分析】直接利用有理指数幂与对数的运算性质化简求值. 解: = =4×. 故答案为:1. 14.若4个人重新站成一排,没有人站在自己原来的位置,则不同的站法共有 9 种. 【分析】根据题意,假设4人为A、B、C、D,原来对应站的位置为1、2、3、4,进而分3步进行分析,讨论4人的站法数目,由分步计数原理计算可得答案. 解:根据题意,假设4人为A、B、C、D,原来对应站的位置为1、2、3、4, 分3步进行分析: ①、A不能在1号位置,可以站在2、3、4号位置,有3种情况; ②、假设A站在了2号位置,则B可以站在1、3、4号位置,有3种情况; ③,对于剩下2人,都不能在原来的位置,有1种情况, 则有3×3=9种不同的站法; 故答案为:9. 15.(x+﹣1)(x﹣1)4的展开式中x3的系数为 11 . 【分析】把(x﹣1)4按照二项式定理展开,可得(x+﹣1)(x﹣1)4的展开式中x3的系数. 解:∵(x+﹣1)(x﹣1)4=(x+﹣1)?(x4﹣4x3+6x2﹣4x+1), ∴它的展开式中x3的系数为6+1﹣(﹣4)=11, 故答案为:11. 16.已知函数f(x)=|log2|x﹣1||,若f(x)=2的四个根为x1,x2,x3,x4,且k=x1+x2+x3+x4,则f(k+1)= 2 . 【分析】检验可知f(2﹣x)=|f(x),从而可得f(x)的图象关于x=1对称,根据对称性可k=x1+x2+x3+x4,代入即可求解. 解:∵f(x)=|log2|x﹣1||, ∴f(2﹣x)=|log2|2﹣x﹣1||=|log2|x﹣1||=f(x), ∴f(x)的图象关于x=1对称, 若f(x)=2的四个根为x1,x2,x3,x4, 根据对称性可知k=4=x1+x2+x3+x4, 则f(k+1)=f(5)=2, 故答案为:2. 三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤) 17.已知命题p:(a﹣2)(6﹣a)>0:命题q:函数f(x)=x3+ax2+2x在R上是增函数;若命题命题“p∧q”为真,求实数a的取值范围. 【分析】求出p,q,由已知:p∧q为真,则命题p,q均为真,求出即可 解:若命题p为真,则2<a<6, 若命题q为真,则:f'(x)=3x2+2ax+2≥0在R上恒成立, △=4a2﹣24≤0,∴﹣, 由已知:p∧q为真,则命题p,q均为真, ∴2<a<, 故实数a的取值范围为2<a<. 18.某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生,4名女生,从中选出4人参加数学竞赛考试,用X表示其中男生的人数, (1)请列出X的分布列; (2)根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率. 【分析】(1)本题是一个超几何分步,用X表示其中男生的人数,X可能取的值为0,1,2,3,4.结合变量对应的事件和超几何分布的概率公式,写出变量的分布列和数学期望. (2)选出的4人中至少有3名男生,表示男生有3个人,或者男生有4人,根据第一问做出的概率值,根据互斥事件的概率公式得到结果. 解:(1)依题意得,随机变量X服从超几何分布, 随机变量X表示其中男生的人数,X可能取的值为0,1,2,3,4. . ∴所以X的分布列为: X 0 1 2 3 4 P (2)由分布列可知至少选3名男生, 即P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=+=. 19.在直角坐标系xOy中,点()在曲线C:(φ为参数)上,对应参数为φ=.以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点P的极坐标为(2,). (1)直接写出点P的直角坐标和曲线C的极坐标方程; (2)设A,B是曲线C上的两个动点,且OA⊥OB,求|OA|2+|OB|2的最小值. 【分析】(1)由极坐标公式可得P的直角坐标为(,1),将点(,)和φ=代入求得k=1,m=2,则曲线方程x2+=1,求得极坐标方程ρ2=; (2)设A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+),易知|OA|2=,|OB|2=,所以|OA|2+|OB|2=,sin22θ=1时,|OA|2+|OB|2的最小值为. 解:(1)点P的直角坐标为(,1), 曲线C的极坐标方程为ρ2=. (2)由(1)知曲线C:ρ2=. 由A,B是曲线C上的两个动点,且OA⊥OB, 不妨设A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+),且|OA|2=ρ12=, |OB|2=ρ22==. ∴|OA|2+|OB|2=ρ12+ρ22=+, = ≥= . 当sin22θ=1时,|OA|2+|OB|2的最小值为. |OA|2+|OB|2的最小值为. 20.如图,四棱锥P﹣ABCD中侧面PAB为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,E是PD的中点. (1)证明:直线CE∥平面PAB; (2)求二面角B﹣PC﹣D的余弦值. 【分析】(1)证明四边形EFBC是平行四边形,可得CE∥BF,进而得证; (2)建立空间直角坐标系,求出两平面的法向量,利用向量的夹角公式即可求得余弦值. 解:(1)取PA的中点F,连接FE,FB, ∵E是PD的中点, ∴, 又, ∴, ∴四边形EFBC是平行四边形, ∴CE∥BF, 又CE不在平面PAB内,BF在平面PAB内, ∴CE∥平面PAB. (2)在平面PAB内作PO⊥AB于O, 不妨令,则AD=4, 由△PAB是等边三角形,则PA=PB=2,O为AB的中点,, 分别以AB、PO所在的直线为x轴和z轴,以底面内AB的中垂线为y轴建立空间直角坐标系, 则, ∴, 设平面PBC的法向量为,平面PDC的法向量为, 则,故可取, ,故可取, ∴, 经检验,二面角B﹣PC﹣D的余弦值的大小为. 21.已知椭圆C:=1(a>b>0)的短轴长为2,离心率为. (1)求椭圆的方程; (2)求过椭圆的右焦点且倾斜角为135°的直线,被椭圆截得的弦长; (3)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标. 【分析】(1)根据题意列出关于a,b,c的方程组,解出a,b,c的值,即可求得椭圆C的方程; (2)先求出直线方程,与椭圆方程联立,利用弦长公式即可求出直线被椭圆截得的弦长; (3)设A(x3,y3),B(x4,y4),由AP⊥BP得,即(2﹣x3)(2﹣x4)+y3y4=0,联立直线l与椭圆方程,利用韦达定理代入上式化简得到(2k+m)(2k+7m)=0,又直线l:y=kx+m不过右顶点P,所以2k+m≠0,所以2k+7m=0,即m=﹣k,从而得到直线l的方程为:y=kx﹣k=k(x﹣),直线l过定点(,0). 解:(1)由题意可知:,解得, ∴椭圆C的方程为:; (2)∵椭圆C的方程为:,∴椭圆的右焦点坐标为(1,0), ∴直线的方程为:y=﹣(x﹣1),即y=1﹣x, 联立方程,消去y得:7x2﹣8x﹣8=0, 设直线与椭圆的两个交点C(x1,y1),D(x2,y2), ∴,, ∴|CD|===, 即直线被椭圆截得的弦长为; (3)设A(x3,y3),B(x4,y4), 联立方程,消去y得:(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0, ∴,, ∴y3y4=(kx3+m)(kx4+m)==, ∵AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,设椭圆C的右顶点为点P,则P(2,0), ∴AP⊥BP,∴, ∴(2﹣x3)(2﹣x4)+y3y4=0, ∴4﹣2(x3+x4)+x3x4+y3y4=0, ∴, 整理得:4k2+16km+7m2=0,即(2k+m)(2k+7m)=0, 又∵直线l:y=kx+m不过右顶点P,∴2k+m≠0, ∴2k+7m=0,∴m=﹣k, ∴直线l的方程为:y=kx﹣k=k(x﹣), ∴直线l过定点(,0), 故直线l过定点,该定点的坐标为(,0). 22.已知函数f(x)=x2﹣alnx﹣(a∈R,a≠0). (Ⅰ)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅲ)若对任意的x∈[1,+∞),都有f(x)≥0成立,求a的取值范围. 【分析】(Ⅰ)当a=2时,写出f(x)的表达式,对f(x)进行求导,求出x=1处的斜率,再根据点斜式求出切线的方程; (Ⅱ)求出函数的定义域,令f′(x)大于0求出x的范围即为函数的增区间;令f′(x)小于0求出x的范围即为函数的减区间; (Ⅲ)由题意可知,对任意的x∈[1,+∞),使f(x)≥0成立,只需任意的x∈[1,+∞),f(x)min≥0.下面对a进行分类讨论,从而求出a的取值范围; 解:(Ⅰ)a=2时, 曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程x+y﹣1=0 (Ⅱ) ①当a<0时,恒成立,函数f(x)的递增区间为(0,+∞) ②当a>0时,令f'(x)=0,解得或 x ( 0,) ( f′(x) ﹣ + f(x) 减 增 所以函数f(x)的递增区间为,递减区间为 (Ⅲ)对任意的x∈[1,+∞),使f(x)≥0成立,只需任意的x∈[1,+∞),f(x)min≥0 ①当a<0时,f(x)在[1,+∞)上是增函数, 所以只需f(1)≥0 而 所以a<0满足题意; ②当0<a≤1时,,f(x)在[1,+∞)上是增函数, 所以只需f(1)≥0 而 所以0<a≤1满足题意; ③当a>1时,,f(x)在上是减函数,上是增函数, 所以只需即可 而 从而a>1不满足题意; 综合①②③实数a的取值范围为(﹣∞,0)∪(0,1].

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  • ID:3-7131406 2019-2020学年人教A版贵州省铜仁一中高二第二学期开学(理科)数学试卷 Word版含解析

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    2019-2020学年高二第二学期开学数学试卷(理科) 一、选择题 1.抛物线 x2=2y的焦点到准线的距离是( ) A.2 B.1 C. D. 2.近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他 垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽 取了该市三类垃圾箱中总计 1000t生活垃圾.经分拣以后数据统计如表(单位:t):根 据样本估计本市生活垃圾投放情况,下列说法错误的是( ) “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 A.厨余垃圾投放正确的概率为 B.居民生活垃圾投放错误的概率为 C.该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱 D.厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为 20000 3.双曲线 ﹣y2=1过点 P(2 ,1),则双曲线的焦点是( ) A.( ,0),(﹣ ,0) B.( ,0),(﹣ ,0) C.(0, ),(0,﹣ ) D.(0, ),(0,﹣ ) 4.下列说法中正确的是( ) A.“a>b”是“a2>b2”成立的充分不必要条件 B.命题 p:?x∈R,2x>0,则 C.为了了解 800名学生对学校某项教改试验的意见,用系统抽样的方法从中抽取一个 容量为 40的样本,则分组的组距为 40 D.已知回归直线的斜率的估计值为 1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程 为 =1.23x+0.08 5.执行如图程序框图,则输出结果为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 6.椭圆 =1的焦点为 F1,点 P在椭圆上,如果线段 PF1的中点M在 y轴上,那么 点M的纵坐标是( ) A.± B.± C.± D.± 7.如图所示,在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1中,设 是 BC 的中点,试用 表示 =( ) A. B. C. D. 8.已知椭圆 E: 与双曲线 C: (a>0,b>0)有相同的焦点,则双 曲线 C的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 9.已知两异面直线的方向向量分别为 , ,且| |=| |=1, ? =﹣ ,则两直线的夹角 为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 10.设 F1、F2是椭圆 的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|:|PF2|=2:1,则 △F1PF2的面积等于( ) A.5 B.4 C.3 D.1 11.已知 F1,F2分别是双曲线 的两个焦点,过其中一个焦点与双曲 线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M,若点 M在以线段 F1F2为直 径的圆内,则双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,2) B.(2,+∞) C. D. 12.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中,O是 AC中点,点 P在线段 A1C1上,若直线 OP 与平面 A1BC1所成的角为θ,则 cosθ的取值范围是( ) A.[ , ] B.[ , ] C.[ , ] D.[ , ] 二、填空题 13.已知 =(1,1,0), =(0,1,1), =(1,0,1), = ﹣ , = +2 ﹣ , 则 ? = . 14.F是抛物线 y2=4x的焦点,定点 A(2,2),若点 P在抛物线上运动,那么|AP|+|PF| 的最小值为 . 15.某中学高二年级的甲、乙两个班各选出 5名学生参加数学竞赛,在竞赛中他们取得成 绩(满分 100分)的茎叶图如图所示,其中甲班 5名学生成绩的平均分是 83分,乙班 5 名学生成绩的中位数是 86.若从成绩在 85 分及以上的学生中随机抽 2 名,则至少有 1 名学生来自甲班的概率为 . 16.已知点 A,B为椭圆 C: +y2=1的左右顶点,点 M 为 x 轴上一点,过M作 x轴的 垂线交椭圆 C于 P,Q两点,过M作 AP的垂线交 BQ于点 N,则 = . 三、解答题(共 6小题,共 70分) 17.命题 p:方程 x2﹣3x+m=0有实数解,命题 q:方程 表示焦点在 x轴上的 椭圆. (1)若命题 p为真,求 m的取值范围; (2)若命题 p∧q为真,求 m的取值范围. 18.已知双曲线 C: ﹣ =1(a>0,b>0)的离心率为 . (1)若双曲线 C的焦距长为 2 ,求双曲线 C的方程: (2)若点(3,1)为双曲线 C上一点,求双曲线 C的方程. 19.某城市 100户居民的月平均用电量(单位:度)以[160,180),[180,200),[200, 220),[220,240)[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图: (1)求直方图中 x的值; (2)求月平均用电量的众数和中位数; (3)在月平均用电量[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户 中,用分层抽样的方法抽取 11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取 多少户? 20.如图,在四棱锥 P﹣ABCD中,底面 ABCD为菱形且∠DAB=60°,O为 AD中点. (Ⅰ)若 PA=PD,求证:平面 POB⊥平面 PAD; (Ⅱ)若平面 PAD⊥平面 ABCD,且 PA=PD=AD=2,试问在线段 PC 上是否存在点 M,使二面角M﹣BO﹣C的大小为 30°,如存在,求 的值,如不存在,说明理由. 21.在直角坐标系 xOy中,曲线 C的参数方程为 (α为参数),将 C上每一点的 横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 3倍,得曲线 C1.以 O为极点,x轴正半轴为极轴 建立极坐标系. (1)求 C1的极坐标方程 (2)设M,N为 C1上两点,若 OM⊥ON,求 的值. 22.在平面直角坐标系中,已知曲线 C上的动点 P到点 的距离与到直线 的距离相等. (1)求曲线 C的轨迹方程; (2)过点M(1,1)分别作射线MA、MB 交曲线 C于不同的两点 A、B,且MA⊥MB.试 探究直线 AB是否过定点?如果是,请求出该定点;如果不是,请说明理由. 参考答案 一、选择题(每小题 5分,共 60分) 1.抛物线 x2=2y的焦点到准线的距离是( ) A.2 B.1 C. D. 【分析】直接利用抛物线方程求解即可. 解:抛物线 x2=2y的焦点到准线的距离为:p=1. 故选:B. 2.近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他 垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽 取了该市三类垃圾箱中总计 1000t生活垃圾.经分拣以后数据统计如表(单位:t):根 据样本估计本市生活垃圾投放情况,下列说法错误的是( ) “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 A.厨余垃圾投放正确的概率为 B.居民生活垃圾投放错误的概率为 C.该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱 D.厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为 20000 【分析】由表格可得:厨余垃圾投放正确的概率= = ;可回收物投放正 确的概率= = ;其他垃圾投放正确的概率= = . A.可知:厨余垃圾投放正确的概率; B.居民生活垃圾投放错误的概率=由题意可知:生活垃圾投放错误有 200+60+20+20= 300,可得生活垃圾投放错误的概率; C.由计算该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高. D.厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的的投放量的平均 数 = = ,利用方差计算公式即可得出方差. 解:由表格可得:厨余垃圾投放正确的概率= = ;可回收物投放正确的 概率= = ;其他垃圾投放正确的概率= = . A.可知:厨余垃圾投放正确的概率= ,正确; B.居民生活垃圾投放错误的概率=由题意可知:生活垃圾投放错误有 200+60+20+20= 300,故生活垃圾投放错误的概率为 = ,正确; C.该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱,正确. D.厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的的投放量的平均 数 = = , 可 得 方 差 = = ≠20000. 故选:D. 3.双曲线 ﹣y2=1过点 P(2 ,1),则双曲线的焦点是( ) A.( ,0),(﹣ ,0) B.( ,0),(﹣ ,0) C.(0, ),(0,﹣ ) D.(0, ),(0,﹣ ) 【分析】先将点的坐标代入双曲线方程求出 a值,再利用双曲线的标准方程,就可求出 双曲线中的 a,b的值,根据双曲线中 a,b,c的关系式即可求出半焦距 c的值,判断焦 点位置,就可得到焦点坐标. 解:∵双曲线 ﹣y2=1过点 P(2 ,1), ∴ , ∴a2=4,b2=1,∴c2=4+1=5,c= 又∵双曲线焦点在 x轴上,∴焦点坐标为(± ,0) 故选:B. 4.下列说法中正确的是( ) A.“a>b”是“a2>b2”成立的充分不必要条件 B.命题 p:?x∈R,2x>0,则 C.为了了解 800名学生对学校某项教改试验的意见,用系统抽样的方法从中抽取一个 容量为 40的样本,则分组的组距为 40 D.已知回归直线的斜率的估计值为 1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程 为 =1.23x+0.08 【分析】由充分必要条件的判定方法判断 A;写出原命题的否定判断 B;求出系统抽样 的组距判断 C;求出回归直线方程判断 D. 解:取 a=2,b=﹣3,由 2>﹣3,不能得到 22>(﹣3)2, 即“a>b”是“a2>b2”成立的不充分条件,故 A错误; 命题 p:?x∈R,2x>0,则¬p:?x0∈R, ,故 B错误; 为了了解 800名学生对学校某项教改试验的意见, 用系统抽样的方法从中抽取一个容量为 40的样本,则分组的组距为 ,故 C错误; 已知回归直线的斜率的估计值为 1.23,即 b=1.23,可得 a= ﹣b ,又样本点的中心为 (4,5), ∴a=5﹣1.23×4=0.08. ∴回归直线方程为 =1.23x+0.08,故 D正确. 故选:D. 5.执行如图程序框图,则输出结果为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 【分析】模拟执行程序,依次写出每次循环得到的 T,S,n的值,当 T≤S时满足条件, 退出循环,即可写出输出 n的值. 解:模拟执行程序,可得 n=1,S=0,T=20 T=10,S=1,n=2 不满足条件 T≤S,T=5,S=3,n=3 不满足条件 T≤S,T= ,S=6,n=4 满足条件 T≤S,退出循环,输出 n的值为 4. 故选:B. 6.椭圆 =1的焦点为 F1,点 P在椭圆上,如果线段 PF1的中点M在 y轴上,那么 点M的纵坐标是( ) A.± B.± C.± D.± 【分析】设点 P 的坐标为(m,n),根据椭圆方程求得焦点坐标,进而根据线段 PF1 的中点M在 y轴上,推断 m+3=0求得 m,代入椭圆方程求得 n,进而求得M的纵坐标. 解:设点 P的坐标为(m,n),依题意可知 F1坐标为(3,0) ∴m+3=0 ∴m=﹣3,代入椭圆方程求得 n=± ∴M的纵坐标为± 故选:A. 7.如图所示,在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1中,设 是 BC 的中点,试用 表示 =( ) A. B. C. D. 【分析】根据平面向量的线性表示,利用 、 表示 即可. 解: = ﹣ = + ﹣ = + ﹣ = + ﹣ . 故选:A. 8.已知椭圆 E: 与双曲线 C: (a>0,b>0)有相同的焦点,则双 曲线 C的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 【分析】利用已知条件求出 a,然后求解双曲线的渐近线方程即可. 解:椭圆 E的焦点为(±3,0).故 a2=32﹣5=4. 双曲线 C: , 双曲线 C的渐近线方程为 . 故选:D. 9.已知两异面直线的方向向量分别为 , ,且| |=| |=1, ? =﹣ ,则两直线的夹角 为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 【分析】求出平面向量 、 的夹角,再计算两异面直线的夹角大小. 解:由题意知| |=| |=1, ? =﹣ , 所以 cos< , >= = =﹣ , 所以 、 的夹角为 120°, 所以两异面直线的夹角为 60°. 故选:B. 10.设 F1、F2是椭圆 的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|:|PF2|=2:1,则 △F1PF2的面积等于( ) A.5 B.4 C.3 D.1 【分析】根据椭圆方程,得 a=3,椭圆的焦点为 F1(﹣ ,0),F2( ,0).由椭 圆的定义结合|PF1|:|PF2|=2:1,得|PF1|=4,|PF2|=2,结合勾股定理的逆定理得△PF1F2 是以 P为直角顶点的直角三角形,由此不难得到△PF1F2的面积. 解:∵椭圆 , ∴a=3,b=2,c= .得椭圆的焦点为 F1(﹣ ,0),F2( ,0), ∵|PF1|+|PF2|=2a=6,且|PF1|:|PF2|=2:1, ∴|PF1|=4,|PF2|=2可得|PF1|2+|PF2|2=20=|F1F2|2, 因此,△PF1F2是以 P为直角顶点的直角三角形, 得△PF1F2的面积 S= |PF1|?|PF2|=4, 故选:B. 11.已知 F1,F2分别是双曲线 的两个焦点,过其中一个焦点与双曲 线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M,若点 M在以线段 F1F2为直 径的圆内,则双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,2) B.(2,+∞) C. D. 【分析】不妨设 F1(0,c),F2(0,﹣c),则过 F1与渐近线 平行的直线为 , 联立直线组成方程组,求出M坐标,利用点与圆的位置关系,列出不等式然后求解离心 率即可. 解:如图 1,不妨设 F1(0,c),F2(0,﹣c),则过 F1与渐近线 平行的直线为 , 联立 解得 即 因M在以线段 F1F2为直径的圆 x2+y2=c2内, 故 ,化简得 b2<3a2, 即 c2﹣a2<3a2,解得 ,又双曲线离心率 ,所以双曲线离心率的取值范围 是(1,2). 故选:A. 12.如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中,O是 AC中点,点 P在线段 A1C1上,若直线 OP 与平面 A1BC1所成的角为θ,则 cosθ的取值范围是( ) A.[ , ] B.[ , ] C.[ , ] D.[ , ] 【分析】不妨设正方体的棱长为 2.由正方体的性质可得:AC∥平面 A1BC1,可得点 A 与点 B1到平面 A1BC1的距离相等,点 O到此平面的距离 d= B1D= . 而点 P到 O点的最小距离与最大距离分别为:2, .即可得出 sinθ的取值范围,进而 得出 cosθ的取值范围. 解:不妨设正方体的棱长为 2. 由正方体的性质可得:AC∥A1C1,A1C1?平面 A1BC1,AC?平面 A1BC1,∴AC∥平面 A1BC1, ∴点 A与点 B1到平面 A1BC1的距离相等,∴点 O到此平面的距离 d= B1D= . 而点 P到 O点的最小距离与最大距离分别为:2, . ∴sinθ∈ . ∴cosθ∈ . 故选:B. 二、填空题(每小题 5分,共 20分) 13.已知 =(1,1,0), =(0,1,1), =(1,0,1), = ﹣ , = +2 ﹣ , 则 ? = ﹣1 . 【分析】根据向量的坐标运算与数量积的运算法则,计算即可. 解: =(1,1,0), =(0,1,1), =(1,0,1), 则 = ﹣ =(1,0,﹣1), = +2 ﹣ =(0,3,1), 则 ? =1×0+0×3+(﹣1)×1=﹣1. 故答案为:﹣1. 14.F是抛物线 y2=4x的焦点,定点 A(2,2),若点 P在抛物线上运动,那么|AP|+|PF| 的最小值为 3 . 【分析】由抛物线的方程可得焦点坐标及准线方程,再由抛物线的性质到焦点的距离等 于到准线的距离,当且仅当三点共线时取得最小值,进而求出最小值. 解:由抛物线的方程可得焦点 F(1,0),准线方程为:x=﹣1, 设 AA'垂直于准线交于 A'抛物线于 P', 设 P为抛物线上任意一点,|AP|+|PF|≥|AP'|+P'A'|=|AA'|=2﹣(﹣1)=3, 所以|AP|+|PF|的最小值为 3, 故答案为:3. 15.某中学高二年级的甲、乙两个班各选出 5名学生参加数学竞赛,在竞赛中他们取得成 绩(满分 100分)的茎叶图如图所示,其中甲班 5名学生成绩的平均分是 83分,乙班 5 名学生成绩的中位数是 86.若从成绩在 85 分及以上的学生中随机抽 2 名,则至少有 1 名学生来自甲班的概率为 . 【分析】由题意知求出 x=5,y=6.成绩在 85 分及以上的学生一共有 5 名,其中甲班 有 2名,乙班有 3名,由此能求出随机抽取 2名,至少有 1名来自甲班的概率. 解:由题意知: , 解得 x=5,y=6. 成绩在 85分及以上的学生一共有 5名,其中甲班有 2名,乙班有 3名, 随机抽取 2名,至少有 1名来自甲班的概率: P=1﹣ = . 故答案为: . 16.已知点 A,B为椭圆 C: +y2=1的左右顶点,点 M 为 x 轴上一点,过M作 x轴的 垂线交椭圆 C于 P,Q两点,过M作 AP的垂线交 BQ于点 N,则 = . 【分析】设 P(m,n),则 m2+4n2=4,可得直线 MN: ,直线 BQ: , 可 得 yN = = , 即 可 得 . 解:如图,设 P(m,n),则 m2+4n2=4, 则 , ∴直线MN: …① 直线 BQ: …② 由①②可得 yN= = , ∴ , , 故答案为: . 三、解答题(共 6小题,共 70分) 17.命题 p:方程 x2﹣3x+m=0有实数解,命题 q:方程 表示焦点在 x轴上的 椭圆. (1)若命题 p为真,求 m的取值范围; (2)若命题 p∧q为真,求 m的取值范围. 【分析】求出命题为真命题的等价条件,结合复合命题真假关系进行求解即可. 解:(1)若 x2﹣3x+m=0有实数解, ∴△=(﹣3)2﹣4m≥0,∴ , ∵若椭圆焦点在 x轴上,所以 ,∴ , (2)若命题 p∧q为真, 则 p,q都为真,∴ , ∴ . 18.已知双曲线 C: ﹣ =1(a>0,b>0)的离心率为 . (1)若双曲线 C的焦距长为 2 ,求双曲线 C的方程: (2)若点(3,1)为双曲线 C上一点,求双曲线 C的方程. 【分析】(1)由题意知,c=2 ,结合离心率的求法得到 a=3,所以由 c2=a2+b2求得 b= ,此题得解; (2)由离心率的求法得到 1+( )2= ;把点(3,1)代入双曲线方程得到 ﹣ =1,联立方程组,求得系数的值即可. 解:(1)由题意知,c=2 , 由 e= = = 得到 a=3. 所以 c2=a2+b2求得 b= , 故双曲线 C的方程是: ﹣ =1; (2)因为 e= = . 所以 1+( )2= ①. 把点(3,1)代入双曲线方程得到: ﹣ =1②. 联立①②,得 a2=12,b2=4. 故双曲线 C的方程是: ﹣ =1. 19.某城市 100户居民的月平均用电量(单位:度)以[160,180),[180,200),[200, 220),[220,240)[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图: (1)求直方图中 x的值; (2)求月平均用电量的众数和中位数; (3)在月平均用电量[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户 中,用分层抽样的方法抽取 11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取 多少户? 【分析】(1)由直方图的性质可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)×20 =1,解方程可得; (2)由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得,可得中位数在[220,240)内,设中 位数为 a,解方程(0.002+0.0095++0.011)×20+0.0125×(a﹣220)=0.5可得; (3)可得各段的用户分别为 25,15,10,5,可得抽取比例,可得要抽取的户数. 解:(1)由直方图的性质可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)×20=1, 解方程可得 x=0.0075,∴直方图中 x的值为 0.0075; (2)月平均用电量的众数是 =230, ∵(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.5, ∴月平均用电量的中位数在[220,240)内, 设中位数为 a,由(0.002+0.0095+0.011)×20+0.0125×(a﹣220)=0.5可得 a=224, ∴月平均用电量的中位数为 224; (3)月平均用电量为[220,240)的用户有 0.0125×20×100=25, 月平均用电量为[240,260)的用户有 0.0075×20×100=15, 月平均用电量为[260,280)的用户有 0.005×20×100=10, 月平均用电量为[280,300)的用户有 0.0025×20×100=5, ∴抽取比例为 = , ∴月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取 25× =5户 20.如图,在四棱锥 P﹣ABCD中,底面 ABCD为菱形且∠DAB=60°,O为 AD中点. (Ⅰ)若 PA=PD,求证:平面 POB⊥平面 PAD; (Ⅱ)若平面 PAD⊥平面 ABCD,且 PA=PD=AD=2,试问在线段 PC 上是否存在点 M,使二面角M﹣BO﹣C的大小为 30°,如存在,求 的值,如不存在,说明理由. 【分析】(I)由 PA=PD,O为 AD中点,可得 PO⊥AD,再利用菱形的性质可得:OB ⊥AD,利用线面面面垂直的判定定理即可得出结论. (II)由(I)及其平面 PAD⊥平面 ABCD,可得:PO⊥OB.建立如图所示的空间直角 坐标系.假设在线段 PC上存在点M,使二面角 M﹣BO﹣C的大小为 30°,设 =k , k∈(0,1].设平面 MOB的法向量为 =(x,y,z),则 ? = ? =0,可得 ,取 平面 COB的法向量为 =(0,0,1),利用向量夹角公式即可得出. 【解答】(I)证明:∵PA=PD,O为 AD中点,∴PO⊥AD, 又因为 ABCD为菱形且∠DAB=60°,所以 OB⊥AD, ∵PO∩OB=O,∴AD⊥面 POB, ∵AD?面 PAD,∴平面 POB⊥平面 PAD. (II)解:由(I)及其平面 PAD⊥平面 ABCD,可得:PO⊥OB.建立如图所示的空间 直角坐标系. 假设在线段 PC上存在点M,使二面角M﹣BO﹣C的大小为 30°,设 =k ,k∈(0, 1]. O(0,0,0),B(0, ,0),P(0,0, ),C(﹣2, ,0), = +k =(﹣2k, k, ﹣ k), =(0, ,0), 设平面MOB的法向量为 =(x,y,z),则 ? = ? =0,可得:﹣2kx+ ky+( ﹣ k)z=0, y=0. 取 =( ,0,2),取平面 COB的法向量为 =(0,0,1), ∴cos30°= = ,解得 k= . ∴在线段 PC上存在点M,使二面角M﹣BO﹣C的大小为 30°, = . 21.在直角坐标系 xOy中,曲线 C的参数方程为 (α为参数),将 C上每一点的 横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 3倍,得曲线 C1.以 O为极点,x轴正半轴为极轴 建立极坐标系. (1)求 C1的极坐标方程 (2)设M,N为 C1上两点,若 OM⊥ON,求 的值. 【分析】(1)直接利用转换关系,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换. (2)利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果. 解:(1)曲线 C的参数方程为 (α为参数),将 C上每一点的横坐标保持不 变,纵坐标变为原来的 3倍,得曲线 C1. 转化为 ,整理为 ,转换为极坐标方程为 . (2)M,N为 C1上两点,若 OM⊥ON, 设M(ρ1,θ),N( ), 所以 , , 所以 = = . 22.在平面直角坐标系中,已知曲线 C上的动点 P到点 的距离与到直线 的距离相等. (1)求曲线 C的轨迹方程; (2)过点M(1,1)分别作射线MA、MB 交曲线 C于不同的两点 A、B,且MA⊥MB.试 探究直线 AB是否过定点?如果是,请求出该定点;如果不是,请说明理由. 【分析】(1)设出 P的坐标,利用已知条件列出方程,即可求解轨迹方程. (2)直线 AB 经过定点(2,﹣1),直线 AB 斜率不能为 0,设直线 AB 的方程为 x= my+t,联立 y2=x得 y2﹣my﹣t=0,△=m2+4t>0,设 A(x1,y)、B(x2,y),通过 MA⊥MB 得到 x1x2﹣(x1+x2)+1+y1y2﹣(y1+y2)+1=0,利用点在抛物线上,转化求解 直线系方程直线 AB方程(x﹣2)﹣m(y+1)=0,推出结果. 解:(1)设动点 P(x,y),依题意动点 P到点 的距离与到直线 的 距离相等. 可得 ,即 , 化简得 y2=x,∴曲线 C的轨迹方程为 y2=x. (2)直线 AB经过定点(2,﹣1) ,依题意,直线 AB斜率不能为 0,所以设直线 AB的方程为 x=my+t 联立 y2=x得 y2﹣my﹣t=0,△=m2+4t>0①, 设 A(x1,y)、B(x2,y),则 y1+y2=m,y1y2=﹣t. 又MA⊥MB,∴ ,即(x1﹣1)(x2﹣1)+(y1﹣1)(y2﹣1)=0, 即 x1x2﹣(x1+x2)+1+y1y2﹣(y1+y2)+1=0, 又 , ,∴ , ∴t2﹣3t﹣m2﹣m+2=t2﹣3t﹣(m2+m﹣2)=(t+m﹣1)(t﹣m﹣2)=0, 依题意,直线 AB不经过M,∴m+t≠1, 所以,t=m+2.此时代入①式恒成立. 而当 t=m+2时,直线 AB方程为 x=my+m+2,即(x﹣2)﹣m(y+1)=0, 即直线 AB过定点(2,﹣1). 综上,直线 AB过定点(2,﹣1). 2019-2020学年高二第二学期开学数学试卷(文科) 一、选择题 1.抛物线x2=2y的焦点到准线的距离是(  ) A.2 B.1 C. D. 2.近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000t生活垃圾.经分拣以后数据统计如表(单位:t):根据样本估计本市生活垃圾投放情况,下列说法错误的是(  ) “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 A.厨余垃圾投放正确的概率为 B.居民生活垃圾投放错误的概率为 C.该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱 D.厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为20000 3.双曲线﹣y2=1过点P(2,1),则双曲线的焦点是(  ) A.(,0),(﹣,0) B.(,0),(﹣,0) C.(0,),(0,﹣) D.(0,),(0,﹣) 4.下列说法中正确的是(  ) A.“a>b”是“a2>b2”成立的充分不必要条件 B.命题p:?x∈R,2x>0,则 C.为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见,用系统抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本,则分组的组距为40 D.已知回归直线的斜率的估计值为1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程为=1.23x+0.08 5.执行如图程序框图,则输出结果为(  ) A.5 B.4 C.3 D.2 6.椭圆=1的焦点为F1,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点M在y轴上,那么点M的纵坐标是(  ) A.± B.± C.± D.± 7.若函数y=x3+ax+1(a∈R)在区间(﹣3,﹣2)上单调递减,则a的取值范围是(  ) A.[1,+∞) B.[﹣2,0) C.(﹣∞,﹣3] D.(﹣∞,﹣27] 8.已知椭圆E:与双曲线C:(a>0,b>0)有相同的焦点,则双曲线C的渐近线方程为(  ) A. B. C. D. 9.函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则下列结论成立的是(  ) A.a>0,b<0,c>0,d>0 B.a>0,b<0,c<0,d>0 C.a<0,b<0,c<0,d>0 D.a>0,b>0,c>0,d<0 10.设拋物线C:x2=4y的焦点为F,经过点P(l,5)的直线l与抛物线相交于A、B两点,且点P恰为AB的中点,则丨AF|+|BF|=(  ) A.12 B.8 C.4 D.10 11.已知F1,F2分别是双曲线的两个焦点,过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M,若点M在以线段F1F2为直径的圆内,则双曲线离心率的取值范围是(  ) A.(1,2) B.(2,+∞) C. D. 12.已知函数f(x)是定义在R上的可导函数,f′(x)为其导函数,若对于任意实数x,有f(x)﹣f'(x)>0,则(  ) A.ef(2019)<f(2020) B.ef(2019)>f(2020) C.ef(2019)=f(2020) D.ef(2019)与f(2020)的大小不确定 二、填空题 13.已知f(x)=sinx+lnx,则f′(1)=   . 14.已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在椭圆C上,则|PF1|+|PF2|=   . 15.在一个个体数目为2003的总体中,利用系统抽样抽取一个容量为100的样本,则总体中每个个体被抽到的机会为   . 16.已知点A,B为椭圆C:+y2=1的左右顶点,点M为x轴上一点,过M作x轴的垂线交椭圆C于P,Q两点,过M作AP的垂线交BQ于点N,则=   . 三、解答题(共6小题) 17.命题p:方程x2﹣3x+m=0有实数解,命题q:方程表示焦点在x轴上的椭圆. (1)若命题p为真,求m的取值范围; (2)若命题p∧q为真,求m的取值范围. 18.已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的离心率为. (1)若双曲线C的焦距长为2,求双曲线C的方程: (2)若点(3,1)为双曲线C上一点,求双曲线C的方程. 19.某城市100户居民的月平均用电量(单位:度)以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240)[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图: (1)求直方图中x的值; (2)求月平均用电量的众数和中位数; (3)在月平均用电量[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户? 20.设f(x)=ax3﹣x2﹣x, (1)当a=1时,求f(x)在[﹣1,2]上的最大值和最小值; (2)当a=0时,过点P(0,1)作函数y=f(x)的图象的切线,求切线方程. 21.已知函数f(x)=xlnx+ax2﹣1,且f'(1)=﹣1. (1)求f(x)的解析式; (2)若对于任意x∈(0,+∞),都有f(x)﹣mx≤﹣1,求m的最小值. 22.在平面直角坐标系中,已知曲线C上的动点P到点F(,0)的距离与到直线l:x=﹣的距离相等. (1)求曲线C的轨迹方程; (2)过点M(1,1)分别作射线MA、MB交曲线C于不同的两点A、B,且?=0.试探究直线AB是否过定点?如果是,请求出该定点;如果不是,请说明理由 参考答案 一、选择题(每小题5分,共60分) 1.抛物线x2=2y的焦点到准线的距离是(  ) A.2 B.1 C. D. 【分析】直接利用抛物线方程求解即可. 解:抛物线x2=2y的焦点到准线的距离为:p=1. 故选:B. 2.近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000t生活垃圾.经分拣以后数据统计如表(单位:t):根据样本估计本市生活垃圾投放情况,下列说法错误的是(  ) “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 A.厨余垃圾投放正确的概率为 B.居民生活垃圾投放错误的概率为 C.该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱 D.厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为20000 【分析】由表格可得:厨余垃圾投放正确的概率==;可回收物投放正确的概率==;其他垃圾投放正确的概率==. A.可知:厨余垃圾投放正确的概率; B.居民生活垃圾投放错误的概率=由题意可知:生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300,可得生活垃圾投放错误的概率; C.由计算该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高. D.厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的的投放量的平均数==,利用方差计算公式即可得出方差. 解:由表格可得:厨余垃圾投放正确的概率==;可回收物投放正确的概率==;其他垃圾投放正确的概率==. A.可知:厨余垃圾投放正确的概率=,正确; B.居民生活垃圾投放错误的概率=由题意可知:生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300,故生活垃圾投放错误的概率为=,正确; C.该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱,正确. D.厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的的投放量的平均数==,可得方差== ≠20000. 故选:D. 3.双曲线﹣y2=1过点P(2,1),则双曲线的焦点是(  ) A.(,0),(﹣,0) B.(,0),(﹣,0) C.(0,),(0,﹣) D.(0,),(0,﹣) 【分析】先将点的坐标代入双曲线方程求出a值,再利用双曲线的标准方程,就可求出双曲线中的a,b的值,根据双曲线中a,b,c的关系式即可求出半焦距c的值,判断焦点位置,就可得到焦点坐标. 解:∵双曲线﹣y2=1过点P(2,1), ∴, ∴a2=4,b2=1,∴c2=4+1=5,c= 又∵双曲线焦点在x轴上,∴焦点坐标为(±,0) 故选:B. 4.下列说法中正确的是(  ) A.“a>b”是“a2>b2”成立的充分不必要条件 B.命题p:?x∈R,2x>0,则 C.为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见,用系统抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本,则分组的组距为40 D.已知回归直线的斜率的估计值为1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程为=1.23x+0.08 【分析】由充分必要条件的判定方法判断A;写出原命题的否定判断B;求出系统抽样的组距判断C;求出回归直线方程判断D. 解:取a=2,b=﹣3,由2>﹣3,不能得到22>(﹣3)2, 即“a>b”是“a2>b2”成立的不充分条件,故A错误; 命题p:?x∈R,2x>0,则¬p:?x0∈R,,故B错误; 为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见, 用系统抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本,则分组的组距为,故C错误; 已知回归直线的斜率的估计值为1.23,即b=1.23,可得a=﹣b,又样本点的中心为(4,5), ∴a=5﹣1.23×4=0.08. ∴回归直线方程为=1.23x+0.08,故D正确. 故选:D. 5.执行如图程序框图,则输出结果为(  ) A.5 B.4 C.3 D.2 【分析】模拟执行程序,依次写出每次循环得到的T,S,n的值,当T≤S时满足条件,退出循环,即可写出输出n的值. 解:模拟执行程序,可得 n=1,S=0,T=20 T=10,S=1,n=2 不满足条件T≤S,T=5,S=3,n=3 不满足条件T≤S,T=,S=6,n=4 满足条件T≤S,退出循环,输出n的值为4. 故选:B. 6.椭圆=1的焦点为F1,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点M在y轴上,那么点M的纵坐标是(  ) A.± B.± C.± D.± 【分析】设点P的坐标为(m,n),根据椭圆方程求得焦点坐标,进而根据线段PF1的中点M在y轴上,推断m+3=0求得m,代入椭圆方程求得n,进而求得M的纵坐标. 解:设点P的坐标为(m,n),依题意可知F1坐标为(3,0) ∴m+3=0 ∴m=﹣3,代入椭圆方程求得n=± ∴M的纵坐标为± 故选:A. 7.若函数y=x3+ax+1(a∈R)在区间(﹣3,﹣2)上单调递减,则a的取值范围是(  ) A.[1,+∞) B.[﹣2,0) C.(﹣∞,﹣3] D.(﹣∞,﹣27] 【分析】由y′=3x2+a≤0在区间(﹣3,﹣2)上恒成立,结合二次函数的性质即可求解. 解:∵y=x3+ax+1(a∈R)在区间(﹣3,﹣2)上单调递减, ∴y′=3x2+a≤0在区间(﹣3,﹣2)上恒成立, 即a≤﹣3x2在区间(﹣3,﹣2)上恒成立, ∵﹣3x2∈(﹣27,﹣12), ∴a≤﹣27. 故选:D. 8.已知椭圆E:与双曲线C:(a>0,b>0)有相同的焦点,则双曲线C的渐近线方程为(  ) A. B. C. D. 【分析】利用已知条件求出a,然后求解双曲线的渐近线方程即可. 解:椭圆E的焦点为(±3,0).故a2=32﹣5=4. 双曲线C:, 双曲线C的渐近线方程为. 故选:D. 9.函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则下列结论成立的是(  ) A.a>0,b<0,c>0,d>0 B.a>0,b<0,c<0,d>0 C.a<0,b<0,c<0,d>0 D.a>0,b>0,c>0,d<0 【分析】根据函数的图象和性质,利用排除法进行判断即可. 解:f(0)=d>0,排除D, 当x→+∞时,y→+∞,∴a>0,排除C, 函数的导数f′(x)=3ax2+2bx+c, 则f′(x)=0有两个不同的正实根, 则x1+x2=﹣>0且x1x2=>0,(a>0), ∴b<0,c>0, 方法2:f′(x)=3ax2+2bx+c, 由图象知当当x<x1时函数递增,当x1<x<x2时函数递减,则f′(x)对应的图象开口向上, 则a>0,且x1+x2=﹣>0且x1x2=>0,(a>0), ∴b<0,c>0, 故选:A. 10.设拋物线C:x2=4y的焦点为F,经过点P(l,5)的直线l与抛物线相交于A、B两点,且点P恰为AB的中点,则丨AF|+|BF|=(  ) A.12 B.8 C.4 D.10 【分析】由图,求丨AF|+|BF|的问题,可以转化为求点A,B两点到准线的距离和的问题,而这两者的和转化为点P到准线距离和的2倍. 解:设P到准线的距离为d,如图,丨AF|+|BF|=|AE|+|BD|=2d 抛物线x2=4y,准线方程为y=﹣1 故点P到准线的距离是6, 所以丨AF|+|BF|=12 故选:A. 11.已知F1,F2分别是双曲线的两个焦点,过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M,若点M在以线段F1F2为直径的圆内,则双曲线离心率的取值范围是(  ) A.(1,2) B.(2,+∞) C. D. 【分析】不妨设F1(0,c),F2(0,﹣c),则过F1与渐近线平行的直线为,联立直线组成方程组,求出M坐标,利用点与圆的位置关系,列出不等式然后求解离心率即可. 解:如图1,不妨设F1(0,c),F2(0,﹣c),则过F1与渐近线平行的直线为, 联立解得即 因M在以线段F1F2为直径的圆x2+y2=c2内, 故,化简得b2<3a2, 即c2﹣a2<3a2,解得,又双曲线离心率,所以双曲线离心率的取值范围是(1,2). 故选:A. 12.已知函数f(x)是定义在R上的可导函数,f′(x)为其导函数,若对于任意实数x,有f(x)﹣f'(x)>0,则(  ) A.ef(2019)<f(2020) B.ef(2019)>f(2020) C.ef(2019)=f(2020) D.ef(2019)与f(2020)的大小不确定 【分析】依题意,可构造函数g(x)=,分析知g(x)=在R上单调递减,从而可得答案. 解:令g(x)=,因为对于任意实数x,有f(x)﹣f'(x)>0, 则g′(x)==<0, 故g(x)=在R上单调递减, 所以,>, 即ef(2019)>f(2020), 故选:B. 二、填空题(每小题5分,共20分) 13.已知f(x)=sinx+lnx,则f′(1)= cos1+1 . 【分析】求函数的导数,即可得到结论. 解:函数的导数为f′(x)=cosx+, 则f′(1)=cos1+1, 故答案为:cos1+1 14.已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在椭圆C上,则|PF1|+|PF2|= 8 . 【分析】根据椭圆定义可得则|PF1|+|PF2|=2a=8. 解:可得a2=16,a=4. 根据椭圆定义可得则|PF1|+|PF2|=2a=8. 故答案为:8.’ 15.在一个个体数目为2003的总体中,利用系统抽样抽取一个容量为100的样本,则总体中每个个体被抽到的机会为  . 【分析】根据系统抽样抽取样本时每个个体被抽到的机会均等,求出答案. 解:利用系统抽样抽取样本时,每个个体被抽到的机会是均等的, 所以被抽到的概率为P=. 故答案为:. 16.已知点A,B为椭圆C:+y2=1的左右顶点,点M为x轴上一点,过M作x轴的垂线交椭圆C于P,Q两点,过M作AP的垂线交BQ于点N,则=  . 【分析】设P(m,n),则m2+4n2=4,可得直线MN:,直线BQ:,可得yN==,即可得. 解:如图,设P(m,n),则m2+4n2=4, 则, ∴直线MN:…① 直线BQ:…② 由①②可得yN==, ∴, , 故答案为:. 三、解答题(共6小题,共70分) 17.命题p:方程x2﹣3x+m=0有实数解,命题q:方程表示焦点在x轴上的椭圆. (1)若命题p为真,求m的取值范围; (2)若命题p∧q为真,求m的取值范围. 【分析】求出命题为真命题的等价条件,结合复合命题真假关系进行求解即可. 解:(1)若x2﹣3x+m=0有实数解, ∴△=(﹣3)2﹣4m≥0,∴, ∵若椭圆焦点在x轴上,所以,∴, (2)若命题p∧q为真, 则p,q都为真,∴, ∴. 18.已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的离心率为. (1)若双曲线C的焦距长为2,求双曲线C的方程: (2)若点(3,1)为双曲线C上一点,求双曲线C的方程. 【分析】(1)由题意知,c=2,结合离心率的求法得到a=3,所以由c2=a2+b2求得b=,此题得解; (2)由离心率的求法得到1+()2=;把点(3,1)代入双曲线方程得到﹣=1,联立方程组,求得系数的值即可. 解:(1)由题意知,c=2, 由e===得到a=3. 所以c2=a2+b2求得b=, 故双曲线C的方程是:﹣=1; (2)因为e==. 所以1+()2=①. 把点(3,1)代入双曲线方程得到:﹣=1 ②. 联立①②,得a2=12,b2=4. 故双曲线C的方程是:﹣=1. 19.某城市100户居民的月平均用电量(单位:度)以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240)[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图: (1)求直方图中x的值; (2)求月平均用电量的众数和中位数; (3)在月平均用电量[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户? 【分析】(1)由直方图的性质可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)×20=1,解方程可得; (2)由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得,可得中位数在[220,240)内,设中位数为a,解方程(0.002+0.0095++0.011)×20+0.0125×(a﹣220)=0.5可得; (3)可得各段的用户分别为25,15,10,5,可得抽取比例,可得要抽取的户数. 解:(1)由直方图的性质可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)×20=1, 解方程可得x=0.0075,∴直方图中x的值为0.0075; (2)月平均用电量的众数是=230, ∵(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.5, ∴月平均用电量的中位数在[220,240)内, 设中位数为a,由(0.002+0.0095+0.011)×20+0.0125×(a﹣220)=0.5可得a=224, ∴月平均用电量的中位数为224; (3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.0125×20×100=25, 月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×100=15, 月平均用电量为[260,280)的用户有0.005×20×100=10, 月平均用电量为[280,300)的用户有0.0025×20×100=5, ∴抽取比例为=, ∴月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×=5户 20.设f(x)=ax3﹣x2﹣x, (1)当a=1时,求f(x)在[﹣1,2]上的最大值和最小值; (2)当a=0时,过点P(0,1)作函数y=f(x)的图象的切线,求切线方程. 【分析】(1)先把a=1代入,然后对函数求导,结合导数可判断函数的单调性,进而可求函数的最值; (2)把a=0代入,然后对函数求导,设出切点,然后根据导数的几何意义及直线的斜率公式可求切点坐标及切线斜率,进而可求切线方程. 解:(1)当a=1时,f(x)=x3﹣x2﹣x,f′(x)=3x2﹣2x﹣1=(3x+1)(x﹣1), 当﹣1时,f′(x)>0,函数单调递增,当﹣时,f′(x)<0,函数单调递减,当1<x≤2时,f′(x)>0,函数单调递增, 因为f(﹣1)=﹣1,f(1)=﹣1,故函数的最小值f(1)=f(﹣1)=﹣1, f(﹣)=,f(2)=2, 故函数的最大值为f(2)=2; (2)当a=0时,f(x)=﹣x2﹣x,f′(x)=﹣2x﹣1,设切点Q(x0,y0),则切线斜率为﹣2x0﹣1==, 解可得x0=1或x0=﹣1, 当x0=1时,切点(1,﹣2),斜率k=﹣3,切线方程为y+2=﹣3(x﹣1)即3x+y﹣1=0, 当x0=﹣1时,切点(﹣1,0),斜率k=1,切线方程为y=x+1即x﹣y+1=0. 21.已知函数f(x)=xlnx+ax2﹣1,且f'(1)=﹣1. (1)求f(x)的解析式; (2)若对于任意x∈(0,+∞),都有f(x)﹣mx≤﹣1,求m的最小值. 【分析】(1)求出函数的导数,根据f′(1)=﹣1,求出a的值,从而求出函数的解析式即可; (2)问题转化为对于任意x∈(0,+∞),都有lnx﹣x≤m.设g(x)=lnx﹣x,根据函数的单调性求出g(x)的最大值,从而求出m的最小值即可. 解:(1)对f(x)求导,得f'(x)=1+lnx+2ax, 所以f'(1)=1+2a=﹣1,解得a=﹣1, 所以f(x)=xlnx﹣x2﹣1. (2)由f(x)﹣mx≤﹣1,得xlnx﹣x2﹣mx≤0, 所以对于任意x∈(0,+∞),都有lnx﹣x≤m. 设g(x)=lnx﹣x,则. 令g'(x)=0,解得x=1. 当x变化时,g(x)与g'(x)的变化情况如下表: x (0,1) 1 (1,+∞) g'(x) + 0 g(x) ↗ 极大值 ↘ 所以当x=1时,g(x)max=g(1)=﹣1. 因为对于任意x∈(0,+∞),都有g(x)≤m成立, 所以m≥﹣1.所以m的最小值为﹣1. 22.在平面直角坐标系中,已知曲线C上的动点P到点F(,0)的距离与到直线l:x=﹣的距离相等. (1)求曲线C的轨迹方程; (2)过点M(1,1)分别作射线MA、MB交曲线C于不同的两点A、B,且?=0.试探究直线AB是否过定点?如果是,请求出该定点;如果不是,请说明理由 【分析】(1)由抛物线的定义可知,动点P的轨迹是以点F(,0)为焦点,以直线l:x=﹣为直线的抛物线,即可求出曲线C的轨迹方程; (2)显然直线AB的斜率不为0,设直线AB的方程为:x=my+t,利用韦达定理代入,得(t+m﹣1)(t﹣m﹣2)=0,依题意,直线AB不经过点M,所以m+t≠1,所以t﹣m﹣2=0,即t=m+2,所以直线AB的方程为:x=my+m+2,即(x﹣2)=m(y+1),从而直线AB过定点(2,﹣1). 解:(1)由抛物线的定义可知,动点P的轨迹是以点F(,0)为焦点,以直线l:x=﹣为准线的抛物线, 设抛物线方程为:y2=2px(p>0), ∴,∴p=, ∴抛物线方程为:y2=x, 即曲线C的轨迹方程为:y2=x; (2)显然直线AB的斜率不为0,设直线AB的方程为:x=my+t,A(x1,y1),B(x1,y1), 联立方程,消去x得:y2﹣my﹣t=0, ∴△=m2+4t>0,y1+y2=m,y1y2=﹣t, ∵?=0, ∴(x1﹣1)(x2﹣1)+(y1﹣1)(y2﹣1)=0, ∴x1x2﹣(x1+x2)+1+y1y2﹣(y1+y2)+1=0, 又∵,,∴,, ∴, ∴t2﹣3t﹣m2﹣m+2=0, ∴t2﹣3t﹣(m2+m﹣2)=0, ∴(t+m﹣1)(t﹣m﹣2)=0, 依题意,直线AB不经过点M,∴m+t≠1, ∴t﹣m﹣2=0,即t=m+2,此时△>0恒成立, ∴直线AB的方程为:x=my+m+2,即(x﹣2)=m(y+1), ∴直线AB过定点(2,﹣1).

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  • ID:3-7131404 2019-2020学年人教A版河南省鹤壁市高二第二学期第一次月考(文科)数学试卷 Word版含解析

    高中数学/月考专区/高二下学期

    2019-2020学年高二第二学期月考数学试卷(文科)(一) 一、选择题 1.在△ABC中,角 A、B、C所对应的边分别为 a,b,c,则“a≤b”是“sinA≤sinB”的 ( ) A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 2.在极坐标系中,直线 l的方程为 ,则点 到直线 l的距 离为( ) A. B. C. D. 3.已知△ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若△ABC 的面积为 , ,则 A=( ) A.105° B.75° C.30° D.15° 4.已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1(n∈N*),Sn为其前 n项和,则 S5的值为( ) A.57 B.61 C.62 D.63 5.已知 0<x<1,则 x(3﹣3x)取最大值时 x的值为( ) A. B. C. D. 6.已知关于 x 的不等式(a2﹣4)x2+(a﹣2)x﹣1≥0 的解集为空集,则实数 a 的取值范 围是( ) A.[﹣2, ] B.[﹣2, ) C.(﹣ ,2] D.(﹣∞,2]∪[2,+∞) 7.过抛物线 y2=4x的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果 x1+x2 =6,那么|AB|=( ) A.10 B.9 C.8 D.6 8.命题 p:x﹣1>0;命题 q:x2﹣x﹣6<0.若 p∧q为假命题,p∨q为真命题,则实数 x 的取值范围是( ) A.1<x<3 B.﹣2<x≤1或 x≥3 C.﹣2<x<1或 x≥3 D.﹣2<x<1或 x>3 9.设 F1、F2是椭圆 的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|:|PF2|=2:1,则△ F1PF2的面积等于( ) A.5 B.4 C.3 D.1 10.在锐角△ABC 中,内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若 sin2C﹣cos2C= ,则下 列各式正确的是( ) A.a+b=2c B.a+b≤2c C.a+b<2c D.a+b≥2c 11.若函数 f(x)= x3+x2﹣ 在区间(a,a+5)内存在最小值,则实数 a 的取值范围是 ( ) A.[﹣5,0) B.(﹣5,0) C.[﹣3,0) D.(﹣3,0) 12.设双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的右焦点为 F,右顶点为 A,过 F作 AF的垂线 与双曲线交于 B、C两点,过 B作 AC的垂线交 x 轴于点 D,若点 D到直线 BC 的距离 小于 a+ ,则 的取值范围为( ) A.(0,1) B.(1,+∞) C.(0, ) D.( ,+∞) 二、填空题(共 4小题) 13.在△ABC中,B=120°,AB= ,A的角平分线 AD= ,则 AC= . 14.已知等比数列{an}中,a1=2,前 n项和为 Sn,{an+1}成等比数列,则 Sn= . 15.在极坐标系中,点 P(2,﹣ )到圆ρ=﹣2cosθ的圆心的距离为 16.若点 P是曲线 y=x2﹣lnx 任意一点,则点 P到直线 y=x﹣2的最小值为 . 三、解答题(共 6小题) 17.已知 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),满足条件 f(x+1)﹣f(x)=2x(x∈R),且 f(0) =1. (Ⅰ)求 f(x)的解析式; (Ⅱ)当 x≥0时,f(x)≥mx﹣3恒成立,求实数 m的取值范围. 18.在△ABC中,角 A,B、C的对边分别为 a,b,c,且 . (1)求 A; (2)若 a=2,且 cos(B﹣C)=2sinBsinC﹣cosC,求△ABC的面积. 19.已知曲线 l的参数方程为 (t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建 立极坐标系,曲线 C的极坐标方程为 cos( ) (1)求曲线 C的直角坐标方程; (2)设 P(2,1),直线 l与曲线交于点 A,B,求|PA|?|PB|的值. 20.设 a∈R,命题 p:?x∈[1,2],满足(a﹣1)x﹣1>0,命题 q:?x∈R,x2+ax+1>0. (1)若命题 p∧q是真命题,求 a的范围; (2)(¬p)∧q为假,(¬p)∨q为真,求 a的取值范围. 21.已知过点 A(﹣4,0)作动直线 m与抛物线 G:x2=2py(p>0)相交于 B、C两点. (1)当直线的斜率是 时, =4 ,求抛物线 G的方程; (2)设 B、C的中点是M,利用(1)中所求抛物线,试求点M的轨迹方程. 22.已知函数 f(x)= x2﹣alnx﹣ (a∈R,a≠0). (Ⅰ)当 a=2时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅲ)若对任意的 x∈[1,+∞),都有 f(x)≥0成立,求 a的取值范围. 参考答案 一、选择题(共 12小题,每小题 5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.) 1.在△ABC中,角 A、B、C所对应的边分别为 a,b,c,则“a≤b”是“sinA≤sinB”的 ( ) A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 【分析】直接利用正弦定理以及已知条件判断即可. 解:由正弦定理可知 ? = , ∵△ABC中,∠A,∠B,∠C均小于 180°,角 A、B、C所对应的边分别为 a,b,c, ∴a,b,sinA,sinB都是正数, ∴“a≤b”?“sinA≤sinB”. ∴“a≤b”是“sinA≤sinB”的充分必要条件. 故选:A. 2.在极坐标系中,直线 l的方程为 ,则点 到直线 l的距 离为( ) A. B. C. D. 【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程,直接使用点到直线的距离公式求出结果. 解:点 的直角坐标为(﹣ , ), 直线:l: 即 ρsinθ+ρcosθ=1,化为直角坐标方程为 x+y﹣1=0. 由点到直线的距离公式得 d= = , 故选:B. 3.已知△ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若△ABC 的面积为 , ,则 A=( ) A.105° B.75° C.30° D.15° 【分析】推导出 S△ABC= absinC= ,从而由余弦定理可求 sinC=﹣ cosC,可求 tanC=﹣1,结合 C的范围可求 C,进而求 B,利用三角形内角和定理可求 A 的值. 解:∵△ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c.△ABC的面积为: , ∴S△ABC= absinC= =﹣ ×2abcosC, ∴sinC=﹣cosC,tanC=﹣1, ∵0<C<π, ∴C=135°. ∵ ,B为锐角,可得 B=30°, ∴A=180°﹣B﹣C=15°. 故选:D. 4.已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1(n∈N*),Sn为其前 n项和,则 S5的值为( ) A.57 B.61 C.62 D.63 【分析】由 an=2an﹣1+1,得 an+1=2(an﹣1+1)(n≥2),可判断{an+1}是以 2为公比, 2为首项的等比数列,由此可求得 an,然后利用分组求和法可得 Sn,当 n=5时,代入即 可求得 S5=64﹣5﹣2=57,即可得到答案. 解:由 an+1=2an+1 ∴an+1+1=2(an+1), ∵a1=1, ∴所以{an+1}是以 2为公比,2为首项的等比数列, 所以 an+1=2?2n﹣1=2n, ∴an=2n﹣1, ∴Sn=(2﹣1)+(22﹣1)+(23﹣1)+…+(2n﹣1) =(2+22+23+…+2n)﹣n, = ﹣n, Sn=2n+1﹣n﹣2. =2n+1﹣n﹣2. ∴当 n=5时,S5=64﹣5﹣2=57, 故选:A. 5.已知 0<x<1,则 x(3﹣3x)取最大值时 x的值为( ) A. B. C. D. 【分析】利用基本不等式的性质即可得出. 解:∵0<x<1, ∴x(3﹣3x)=3x(1﹣x) = ,当且仅当 x= 时取等号. ∴x(3﹣3x)取最大值 时 x的值为 . 故选:B. 6.已知关于 x 的不等式(a2﹣4)x2+(a﹣2)x﹣1≥0 的解集为空集,则实数 a 的取值范 围是( ) A.[﹣2, ] B.[﹣2, ) C.(﹣ ,2] D.(﹣∞,2]∪[2,+∞) 【分析】对 a分类讨论:当 a2﹣4=0,即 a=±2.直接验证即可.当 a2﹣4≠0,即 a≠ ±2时.由于关于 x的不等式(a2﹣4)x2+(a﹣2)x﹣1≥0的解集为空集,可得 , 解得即可. 解:①当 a2﹣4=0,即 a=±2. 当 a=2 时,不等式(a2﹣4)x2+(a﹣2)x﹣1≥0 化为﹣1≥0,其解集为空集,因此 a =2满足题意; 当 a=﹣2时,不等式(a2﹣4)x2+(a﹣2)x﹣1≥0化为﹣4x﹣1≥0,即 ,其解 集不为空集,因此 a=﹣2满足题意,应舍去; ②当 a2﹣4≠0,即 a≠±2时. ∵关于 x的不等式(a2﹣4)x2+(a﹣2)x﹣1≥0的解集为空集, ∴ ,解得﹣ <a<2. 综上可得:a的取值范围是(﹣ ,2]. 故选:C. 7.过抛物线 y2=4x的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果 x1+x2 =6,那么|AB|=( ) A.10 B.9 C.8 D.6 【分析】抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1)B(x2,y2)两点,故|AB| =x1+x2+2,由此易得弦长值. 解:由题意,p=2,故抛物线的准线方程是 x=﹣1, ∵抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1,y1)B(x2,y2)两点 ∴|AB|=x1+x2+2, 又 x1+x2=6 ∴∴|AB|=x1+x2+2=8 故选:C. 8.命题 p:x﹣1>0;命题 q:x2﹣x﹣6<0.若 p∧q为假命题,p∨q为真命题,则实数 x 的取值范围是( ) A.1<x<3 B.﹣2<x≤1或 x≥3 C.﹣2<x<1或 x≥3 D.﹣2<x<1或 x>3 【分析】根据题意得命题 p,q有且只有一个为真命题,分别讨论“p真 q假”与“p 假 q真”即可得出实数 x的取值范围. 解:∵命题 p:x﹣1>0?x>1; 命题 q:x2﹣x﹣6<0?﹣2<x<3; 又∵p∧q为假命题,p∨q为真命题,则可得 ①p为真命题,q为假命题?x≥3; ②p为假命题,q为真命题?﹣2<x≤1; 故 x取值范围为﹣2<x≤1或 x≥3; 故选:B. 9.设 F1、F2是椭圆 的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|:|PF2|=2:1,则△ F1PF2的面积等于( ) A.5 B.4 C.3 D.1 【分析】根据椭圆方程,得 a=3,椭圆的焦点为 F1(﹣ ,0),F2( ,0).由椭 圆的定义结合|PF1|:|PF2|=2:1,得|PF1|=4,|PF2|=2,结合勾股定理的逆定理得△PF1F2 是以 P为直角顶点的直角三角形,由此不难得到△PF1F2的面积. 解:∵椭圆 , ∴a=3,b=2,c= .得椭圆的焦点为 F1(﹣ ,0),F2( ,0), ∵|PF1|+|PF2|=2a=6,且|PF1|:|PF2|=2:1, ∴|PF1|=4,|PF2|=2可得|PF1|2+|PF2|2=20=|F1F2|2, 因此,△PF1F2是以 P为直角顶点的直角三角形, 得△PF1F2的面积 S= |PF1|?|PF2|=4, 故选:B. 10.在锐角△ABC 中,内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若 sin2C﹣cos2C= ,则下 列各式正确的是( ) A.a+b=2c B.a+b≤2c C.a+b<2c D.a+b≥2c 【分析】由已知及二倍角公式化简可得 cos2C=﹣ ,解得 C= .由余弦定理可得 c2 =b2+a2﹣ab,可求 c2≥ab,又 c2+3ab=(b+a)2,推出 (b+a)2≤4c2,即可解得 2c≥ b+a. 解:∵sin2C﹣cos2C= , ∴cos2C=﹣ ,解得:C= . ∵c2=b2+a2﹣2ab×cos∠C,即 c2=b2+a2﹣ab, ∴c2﹣ab=b2+a2﹣2ab=(b﹣a)2≥0,即 c2≥ab, 又∵c2=b2+a2+2ab﹣3ab=(b+a)2﹣3ab, 即 c2+3ab=(b+a)2, 因为 c2≥ab,推出 (b+a)2≤4c2, 可得:2c≥b+a, 故选:B. 11.若函数 f(x)= x3+x2﹣ 在区间(a,a+5)内存在最小值,则实数 a 的取值范围是 ( ) A.[﹣5,0) B.(﹣5,0) C.[﹣3,0) D.(﹣3,0) 【分析】由题意,求导 f′(x)=x2+2x=x(x+2)确定函数的单调性,从而作出函数的 简图,由图象求实数 a的取值范围. 解:由题意,f′(x)=x2+2x=x(x+2), 故 f(x)在(﹣∞,﹣2),(0,+∞)上是增函数, 在(﹣2,0)上是减函数, 作其图象如右图, 令 x3+x2﹣ =﹣ 得, x=0或 x=﹣3; 则结合图象可知, ; 解得,a∈[﹣3,0); 故选:C. 12.设双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的右焦点为 F,右顶点为 A,过 F作 AF的垂线 与双曲线交于 B、C两点,过 B作 AC的垂线交 x 轴于点 D,若点 D到直线 BC 的距离 小于 a+ ,则 的取值范围为( ) A.(0,1) B.(1,+∞) C.(0, ) D.( ,+∞) 【分析】由双曲线的对称性知 D在 x轴上,设 D(x,0),则由 BD⊥AB 得 ? =﹣1,求出 c﹣x,利用 D到直线 BC的距离小于 a+ ,即可得出结论. 解:由题意,A(a,0),B(c, ),C(c,﹣ ),由双曲线的对称性知 D在 x 轴上, 设 D(x,0),则由 BD⊥AB得 ? =﹣1, ∴c﹣x= , ∵D到直线 BC的距离小于 a+ , ∴c﹣x=| |<a+ , ∴ <c2﹣a2=b2, ∴0< <1, 故选:A. 二、填空题(本题共 4小题,每小题 5分,共 20分) 13.在△ABC中,B=120°,AB= ,A的角平分线 AD= ,则 AC= . 【分析】利用已知条件求出 A,C,然后利用正弦定理求出 AC即可. 解:由题意以及正弦定理可知: ,即 ,∠ADB=45 °, A=180°﹣120°﹣45°,可得 A=30°,则 C=30°,三角形 ABC是等腰三角形, AC=2 = . 故答案为: . 14.已知等比数列{an}中,a1=2,前 n项和为 Sn,{an+1}成等比数列,则 Sn= 2n . 【分析】设等比数列{an}的公比为 q,由题意可得 q的方程,解方程可得 q,可得答案. 解:设等比数列{an}的公比为 q, ∵a1=2,∴a2=2q,a3=2q2, 又{an+1}也成等比数列, ∴(2q+1)2=(2+1)(2q2+1), 解得 q=1,∴an=2, ∴Sn=2n 故答案为:2n 15.在极坐标系中,点 P(2,﹣ )到圆ρ=﹣2cosθ的圆心的距离为 【分析】先求出点 P的直角坐标,圆ρ=﹣2cosθ的直角坐标方程,然后利用两点间的距 离公式求出距离. 解:点 P(2,﹣ )的直角坐标为 , 圆ρ=﹣2cosθ的直角坐标方程为(x+1)2+y2=1, ∴圆心(﹣1,0)到 的距离 . 故答案为: . 16.若点 P是曲线 y=x2﹣lnx 任意一点,则点 P到直线 y=x﹣2的最小值为 . 【分析】由题意作图,故当点 P是曲线的切线中与直线 y=x﹣2平行的直线的切点时, 最近;从而解得. 解:由题意作图如下, 当点 P是曲线的切线中与直线 y=x﹣2平行的直线的切点时,最近; 故令 y′=2x﹣ =1解得,x=1; 故点 P的坐标为(1,1); 故点 P到直线 y=x﹣2的最小值为 = ; 故答案为: . 三、解答题(共 6小题,满分共 70分,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤) 17.已知 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),满足条件 f(x+1)﹣f(x)=2x(x∈R),且 f(0) =1. (Ⅰ)求 f(x)的解析式; (Ⅱ)当 x≥0时,f(x)≥mx﹣3恒成立,求实数 m的取值范围. 【分析】(Ⅰ)根据 f(0)=1.f(x+1)﹣f(x)=2x待定系数法,即可求解 a,b,c, 可得解析式; (Ⅱ)由题意得,x2﹣x+1≥mx﹣3,x∈[0,+∞)恒成立.即:g(x)=x2﹣(m+1)x+4 ≥0,x∈[0,+∞)恒成立.结合二次函数的性质讨论即可求实数 m的取值范围. 解:(Ⅰ)由 f(0)=1得,c=1, 由 f(x+1)﹣f(x)=2x,得 a(x+1)2+b(x+1)+1﹣(ax2+bx+c)=2x 化简得,2ax+a+b=2x, 所以:2a=2,a+b=1, 可得:a=1,b=﹣1,c=1, 所以 f(x)=x2﹣x+1; (Ⅱ)由题意得,x2﹣x+1≥mx﹣3,x∈[0,+∞)恒成立. 即:g(x)=x2﹣(m+1)x+4≥0,x∈[0,+∞)恒成立. 其对称轴 x= , 当 ≤0,即 m≤﹣1时,g(x)在(0,+∞)上单调递增, g(0)=4>0 ∴m≤﹣1成立②当 >0时, 满足 计算得:﹣1<m≤3 综上所述,实数 m的取值范围是(﹣∞,3]. 18.在△ABC中,角 A,B、C的对边分别为 a,b,c,且 . (1)求 A; (2)若 a=2,且 cos(B﹣C)=2sinBsinC﹣cosC,求△ABC的面积. 【分析】(1)由正弦定理,同角三角函数基本关系式化简已知等式可得 tanA= ,结 合范围 A∈(0,π),可求 A的值. (2)利用三角函数恒等变换的应用可求 cosC=cosA,结合 A,C∈(0,π),可求 C,B, c的值,进而根据三角形的面积公式即可求解. 解:(1)∵ , ∴由正弦定理 ,可得 sinA= ,可得 tanA= , ∵A∈(0,π), ∴A= . (2)∵cos(B﹣C)=2sinBsinC﹣cosC, ∴cosBcosC+sinBsinC=2sinBsinC﹣cosC,可得 cosBcosC=sinBsinC﹣cosC, ∴cosC=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣cos(B+C)=cosA, ∵A,C∈(0,π),A= ,a=2, ∴C=A= ,B=π﹣A﹣C= ,c=a=2, ∴△ABC的面积 S= acsinB= ×2×2× = . 19.已知曲线 l的参数方程为 (t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建 立极坐标系,曲线 C的极坐标方程为 cos( ) (1)求曲线 C的直角坐标方程; (2)设 P(2,1),直线 l与曲线交于点 A,B,求|PA|?|PB|的值. 【分析】(1)先将ρ=4 cos(θ﹣ )化为ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ,进而可得出其直角坐 标方程; (2)将直线参数方程代入(1)的结果,整理得到 t2+ t﹣7=0,再设 A,B两点对应的 参数分别为 t1,t2,进而可得|PA||PB|=|t1t2|,即可求出结果 【解答】解(1)由ρ=4 cos(θ﹣ )得ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ, ∴ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ, 又 x=ρcosθ,y=ρsinθ, ∴x2+y2=4x+4y即曲线 C的直角坐标方程为(x﹣2)2+(y﹣2)2=8. (2)将 代入 C的直角坐标方程,得 t2+(﹣ t﹣1)2=8, ∴t2+ t﹣7=0, 设 A,B两点对应的参数分别为 t1,t2, ∴t1t2=﹣7. 则|PA||PB|=|t1t2|=7. 20.设 a∈R,命题 p:?x∈[1,2],满足(a﹣1)x﹣1>0,命题 q:?x∈R,x2+ax+1>0. (1)若命题 p∧q是真命题,求 a的范围; (2)(¬p)∧q为假,(¬p)∨q为真,求 a的取值范围. 【分析】(1)根据题意,p∧q是真命题,即 p真 q真,求出不等式的交集即可; (2)由(¬p)∧q为假,(﹣p)∨q为真?p、q同时为假或同时为真,分情况讨论, 最后求出并集. 解:(1)p真,则 ,或 得 ; q真,则 a2﹣4<0,得﹣2<a<2, ∴p∧q真,故 a的取值范围为 ; (2)由(¬p)∧q为假,(﹣p)∨q为真?p、q同时为假或同时为真, 若 p假 q假,则 , 得 a≤﹣2; 若 p真 q真,则 , 所以, ; 综上 a≤﹣2或 . 故 a的取值范围是 . 21.已知过点 A(﹣4,0)作动直线 m与抛物线 G:x2=2py(p>0)相交于 B、C两点. (1)当直线的斜率是 时, =4 ,求抛物线 G的方程; (2)设 B、C的中点是M,利用(1)中所求抛物线,试求点M的轨迹方程. 【分析】(1)当直线 m 的斜率为 时,其方程为 x=2y﹣4,联立 ,得 2y2﹣ (8+p)y+8=0,由此利用根的判别式、韦达定理能,结合已知条件能求出抛物线 G 的 方程. (2)设直线 m的方程为 y=k(x+4),由 ,得 x2﹣4kx﹣16k=0,由此利用 韦达定理、根的判别式,结合已知条件能求出点M的轨迹方程. 解:(1)设 B(x1,y1),C(x2,y2),由题意知 y1>0,y2>0, 由题意知当直线 m的斜率为 时,其方程为 y= (x+4),即 x=2y﹣4, 又∵ =4 ,∴y2=4y1, 联立 ,消去 x,得 2y2﹣(8+p)y+8=0, ∴△=(8+p)2﹣64=p2+16p>0,且 y1+y2= ,y1y2=4, 联立 ,解得 p=2, ∴抛物线 G的方程为 x2=4y. (2)当直线 m垂直于 x轴时,其与抛物线只有一个公共点,不符合题意, ∴直线 m的方程可以设为 y=k(x+4), 设 B,C中点M(x,y), 由 ,消去 y,得 x2=4k(x+4), 即 x2﹣4kx﹣16k=0, 由△=16k2+64k>0,解得 k>0,或 k<﹣4,且 x1+x2=4k, ∴y1+y2=k(x1+x2+8)=4k2+8k, ∴ ,消去 k,得点M的轨迹方程:y= , ∵k>0,或 k<﹣4,∴x>0或 x<﹣8. ∴点M的轨迹方程为: (x>0或 x<﹣8). 22.已知函数 f(x)= x2﹣alnx﹣ (a∈R,a≠0). (Ⅰ)当 a=2时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅲ)若对任意的 x∈[1,+∞),都有 f(x)≥0成立,求 a的取值范围. 【分析】(Ⅰ)当 a=2时,写出 f(x)的表达式,对 f(x)进行求导,求出 x=1处的 斜率,再根据点斜式求出切线的方程; (Ⅱ)求出函数的定义域,令 f′(x)大于 0 求出 x 的范围即为函数的增区间;令 f′ (x)小于 0求出 x的范围即为函数的减区间; (Ⅲ)由题意可知,对任意的 x∈[1,+∞),使 f(x)≥0成立,只需任意的 x∈[1,+∞), f(x)min≥0.下面对 a进行分类讨论,从而求出 a的取值范围; 解:(Ⅰ)a=2时, 曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程 x+y﹣1=0 (Ⅱ) ①当 a<0时, 恒成立,函数 f(x)的递增区间为(0,+∞) ②当 a>0时,令 f'(x)=0,解得 或 x ( 0, ) ( f′(x) ﹣ + f(x) 减 增 所以函数 f(x)的递增区间为 ,递减区间为 (Ⅲ)对任意的 x∈[1,+∞),使 f(x)≥0成立,只需任意的 x∈[1,+∞),f(x)min ≥0 ①当 a<0时,f(x)在[1,+∞)上是增函数, 所以只需 f(1)≥0 而 所以 a<0满足题意; ②当 0<a≤1时, ,f(x)在[1,+∞)上是增函数, 所以只需 f(1)≥0 而 所以 0<a≤1满足题意; ③当 a>1时, ,f(x)在 上是减函数, 上是增函数, 所以只需 即可 而 从而 a>1不满足题意; 综合①②③实数 a的取值范围为(﹣∞,0)∪(0,1]. 2019-2020学年高二第二学期月考数学试卷(文科)(一) 一、选择题 1.在△ABC中,角A、B、C所对应的边分别为a,b,c,则“a≤b”是“sinA≤sinB”的(  ) A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 2.在极坐标系中,直线l的方程为,则点到直线l的距离为(  ) A. B. C. D. 3.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为,,则A=(  ) A.105° B.75° C.30° D.15° 4.已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1(n∈N*),Sn为其前n项和,则S5的值为(  ) A.57 B.61 C.62 D.63 5.已知0<x<1,则x(3﹣3x)取最大值时x的值为(  ) A. B. C. D. 6.已知关于x的不等式(a2﹣4)x2+(a﹣2)x﹣1≥0的解集为空集,则实数a的取值范围是(  ) A.[﹣2,] B.[﹣2,) C.(﹣,2] D.(﹣∞,2]∪[2,+∞) 7.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,那么|AB|=(  ) A.10 B.9 C.8 D.6 8.命题p:x﹣1>0;命题q:x2﹣x﹣6<0.若p∧q为假命题,p∨q为真命题,则实数x的取值范围是(  ) A.1<x<3 B.﹣2<x≤1或x≥3 C.﹣2<x<1或x≥3 D.﹣2<x<1或x>3 9.设F1、F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|:|PF2|=2:1,则△F1PF2的面积等于(  ) A.5 B.4 C.3 D.1 10.在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin2C﹣cos2C=,则下列各式正确的是(  ) A.a+b=2c B.a+b≤2c C.a+b<2c D.a+b≥2c 11.若函数f(x)=x3+x2﹣在区间(a,a+5)内存在最小值,则实数a的取值范围是(  ) A.[﹣5,0) B.(﹣5,0) C.[﹣3,0) D.(﹣3,0) 12.设双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B、C两点,过B作AC的垂线交x轴于点D,若点D到直线BC的距离小于a+,则的取值范围为(  ) A.(0,1) B.(1,+∞) C.(0,) D.(,+∞) 二、填空题(共4小题) 13.在△ABC中,B=120°,AB=,A的角平分线AD=,则AC=   . 14.已知等比数列{an}中,a1=2,前n项和为Sn,{an+1}成等比数列,则Sn=   . 15.在极坐标系中,点P(2,﹣)到圆ρ=﹣2cosθ的圆心的距离为    16.若点P是曲线y=x2﹣lnx任意一点,则点P到直线y=x﹣2的最小值为   . 三、解答题(共6小题) 17.已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0),满足条件f(x+1)﹣f(x)=2x(x∈R),且f(0)=1. (Ⅰ)求f(x)的解析式; (Ⅱ)当x≥0时,f(x)≥mx﹣3恒成立,求实数m的取值范围. 18.在△ABC中,角A,B、C的对边分别为a,b,c,且. (1)求A; (2)若a=2,且cos(B﹣C)=2sinBsinC﹣cosC,求△ABC的面积. 19.已知曲线l的参数方程为(t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为cos() (1)求曲线C的直角坐标方程; (2)设P(2,1),直线l与曲线交于点A,B,求|PA|?|PB|的值. 20.设a∈R,命题p:?x∈[1,2],满足(a﹣1)x﹣1>0,命题q:?x∈R,x2+ax+1>0. (1)若命题p∧q是真命题,求a的范围; (2)(¬p)∧q为假,(¬p)∨q为真,求a的取值范围. 21.已知过点A(﹣4,0)作动直线m与抛物线G:x2=2py(p>0)相交于B、C两点. (1)当直线的斜率是时,=4,求抛物线G的方程; (2)设B、C的中点是M,利用(1)中所求抛物线,试求点M的轨迹方程. 22.已知函数f(x)=x2﹣alnx﹣(a∈R,a≠0). (Ⅰ)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅲ)若对任意的x∈[1,+∞),都有f(x)≥0成立,求a的取值范围. 参考答案 一、选择题(共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.在△ABC中,角A、B、C所对应的边分别为a,b,c,则“a≤b”是“sinA≤sinB”的(  ) A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 【分析】直接利用正弦定理以及已知条件判断即可. 解:由正弦定理可知?=, ∵△ABC中,∠A,∠B,∠C均小于180°,角A、B、C所对应的边分别为a,b,c, ∴a,b,sinA,sinB都是正数, ∴“a≤b”?“sinA≤sinB”. ∴“a≤b”是“sinA≤sinB”的充分必要条件. 故选:A. 2.在极坐标系中,直线l的方程为,则点到直线l的距离为(  ) A. B. C. D. 【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程,直接使用点到直线的距离公式求出结果. 解:点的直角坐标为(﹣,), 直线:l: 即 ρsinθ+ρcosθ=1,化为直角坐标方程为 x+y﹣1=0. 由点到直线的距离公式得 d==, 故选:B. 3.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为,,则A=(  ) A.105° B.75° C.30° D.15° 【分析】推导出S△ABC=absinC=,从而由余弦定理可求sinC=﹣cosC,可求tanC=﹣1,结合C的范围可求C,进而求B,利用三角形内角和定理可求A的值. 解:∵△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.△ABC的面积为:, ∴S△ABC=absinC==﹣×2abcosC, ∴sinC=﹣cosC,tanC=﹣1, ∵0<C<π, ∴C=135°. ∵,B为锐角,可得B=30°, ∴A=180°﹣B﹣C=15°. 故选:D. 4.已知数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1(n∈N*),Sn为其前n项和,则S5的值为(  ) A.57 B.61 C.62 D.63 【分析】由an=2an﹣1+1,得an+1=2(an﹣1+1)(n≥2),可判断{an+1}是以2为公比,2为首项的等比数列,由此可求得an,然后利用分组求和法可得Sn,当n=5时,代入即可求得S5=64﹣5﹣2=57,即可得到答案. 解:由an+1=2an+1 ∴an+1+1=2(an+1), ∵a1=1, ∴所以{an+1}是以2为公比,2为首项的等比数列, 所以an+1=2?2n﹣1=2n, ∴an=2n﹣1, ∴Sn=(2﹣1)+(22﹣1)+(23﹣1)+…+(2n﹣1) =(2+22+23+…+2n)﹣n, =﹣n, Sn=2n+1﹣n﹣2. =2n+1﹣n﹣2. ∴当n=5时,S5=64﹣5﹣2=57, 故选:A. 5.已知0<x<1,则x(3﹣3x)取最大值时x的值为(  ) A. B. C. D. 【分析】利用基本不等式的性质即可得出. 解:∵0<x<1, ∴x(3﹣3x)=3x(1﹣x)=,当且仅当x=时取等号. ∴x(3﹣3x)取最大值时x的值为. 故选:B. 6.已知关于x的不等式(a2﹣4)x2+(a﹣2)x﹣1≥0的解集为空集,则实数a的取值范围是(  ) A.[﹣2,] B.[﹣2,) C.(﹣,2] D.(﹣∞,2]∪[2,+∞) 【分析】对a分类讨论:当a2﹣4=0,即a=±2.直接验证即可.当a2﹣4≠0,即a≠±2时.由于关于x的不等式(a2﹣4)x2+(a﹣2)x﹣1≥0的解集为空集,可得,解得即可. 解:①当a2﹣4=0,即a=±2. 当a=2时,不等式(a2﹣4)x2+(a﹣2)x﹣1≥0化为﹣1≥0,其解集为空集,因此a=2满足题意; 当a=﹣2时,不等式(a2﹣4)x2+(a﹣2)x﹣1≥0化为﹣4x﹣1≥0,即,其解集不为空集,因此a=﹣2满足题意,应舍去; ②当a2﹣4≠0,即a≠±2时. ∵关于x的不等式(a2﹣4)x2+(a﹣2)x﹣1≥0的解集为空集, ∴,解得﹣<a<2. 综上可得:a的取值范围是(﹣,2]. 故选:C. 7.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,那么|AB|=(  ) A.10 B.9 C.8 D.6 【分析】抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)B(x2,y2)两点,故|AB|=x1+x2+2,由此易得弦长值. 解:由题意,p=2,故抛物线的准线方程是x=﹣1, ∵抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)B(x2,y2)两点 ∴|AB|=x1+x2+2, 又x1+x2=6 ∴∴|AB|=x1+x2+2=8 故选:C. 8.命题p:x﹣1>0;命题q:x2﹣x﹣6<0.若p∧q为假命题,p∨q为真命题,则实数x的取值范围是(  ) A.1<x<3 B.﹣2<x≤1或x≥3 C.﹣2<x<1或x≥3 D.﹣2<x<1或x>3 【分析】根据题意得命题p,q有且只有一个为真命题,分别讨论“p真q假”与“p假q真”即可得出实数x的取值范围. 解:∵命题p:x﹣1>0?x>1; 命题q:x2﹣x﹣6<0?﹣2<x<3; 又∵p∧q为假命题,p∨q为真命题,则可得 ①p为真命题,q为假命题?x≥3; ②p为假命题,q为真命题?﹣2<x≤1; 故x取值范围为﹣2<x≤1或x≥3; 故选:B. 9.设F1、F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|:|PF2|=2:1,则△F1PF2的面积等于(  ) A.5 B.4 C.3 D.1 【分析】根据椭圆方程,得a=3,椭圆的焦点为F1(﹣,0),F2(,0).由椭圆的定义结合|PF1|:|PF2|=2:1,得|PF1|=4,|PF2|=2,结合勾股定理的逆定理得△PF1F2是以P为直角顶点的直角三角形,由此不难得到△PF1F2的面积. 解:∵椭圆, ∴a=3,b=2,c=.得椭圆的焦点为F1(﹣,0),F2(,0), ∵|PF1|+|PF2|=2a=6,且|PF1|:|PF2|=2:1, ∴|PF1|=4,|PF2|=2可得|PF1|2+|PF2|2=20=|F1F2|2, 因此,△PF1F2是以P为直角顶点的直角三角形, 得△PF1F2的面积S=|PF1|?|PF2|=4, 故选:B. 10.在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin2C﹣cos2C=,则下列各式正确的是(  ) A.a+b=2c B.a+b≤2c C.a+b<2c D.a+b≥2c 【分析】由已知及二倍角公式化简可得cos2C=﹣,解得C=.由余弦定理可得c2=b2+a2﹣ab,可求c2≥ab,又c2+3ab=(b+a)2,推出 (b+a)2≤4c2,即可解得2c≥b+a. 解:∵sin2C﹣cos2C=, ∴cos2C=﹣,解得:C=. ∵c2=b2+a2﹣2ab×cos∠C,即 c2=b2+a2﹣ab, ∴c2﹣ab=b2+a2﹣2ab=(b﹣a)2≥0,即c2≥ab, 又∵c2=b2+a2+2ab﹣3ab=(b+a)2﹣3ab, 即 c2+3ab=(b+a)2, 因为 c2≥ab,推出 (b+a)2≤4c2, 可得:2c≥b+a, 故选:B. 11.若函数f(x)=x3+x2﹣在区间(a,a+5)内存在最小值,则实数a的取值范围是(  ) A.[﹣5,0) B.(﹣5,0) C.[﹣3,0) D.(﹣3,0) 【分析】由题意,求导f′(x)=x2+2x=x(x+2)确定函数的单调性,从而作出函数的简图,由图象求实数a的取值范围. 解:由题意,f′(x)=x2+2x=x(x+2), 故f(x)在(﹣∞,﹣2),(0,+∞)上是增函数, 在(﹣2,0)上是减函数, 作其图象如右图, 令x3+x2﹣=﹣得, x=0或x=﹣3; 则结合图象可知, ; 解得,a∈[﹣3,0); 故选:C. 12.设双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B、C两点,过B作AC的垂线交x轴于点D,若点D到直线BC的距离小于a+,则的取值范围为(  ) A.(0,1) B.(1,+∞) C.(0,) D.(,+∞) 【分析】由双曲线的对称性知D在x轴上,设D(x,0),则由BD⊥AB得?=﹣1,求出c﹣x,利用D到直线BC的距离小于a+,即可得出结论. 解:由题意,A(a,0),B(c,),C(c,﹣),由双曲线的对称性知D在x轴上, 设D(x,0),则由BD⊥AB得?=﹣1, ∴c﹣x=, ∵D到直线BC的距离小于a+, ∴c﹣x=||<a+, ∴<c2﹣a2=b2, ∴0<<1, 故选:A. 二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分) 13.在△ABC中,B=120°,AB=,A的角平分线AD=,则AC=  . 【分析】利用已知条件求出A,C,然后利用正弦定理求出AC即可. 解:由题意以及正弦定理可知:,即,∠ADB=45°, A=180°﹣120°﹣45°,可得A=30°,则C=30°,三角形ABC是等腰三角形, AC=2=. 故答案为:. 14.已知等比数列{an}中,a1=2,前n项和为Sn,{an+1}成等比数列,则Sn= 2n . 【分析】设等比数列{an}的公比为q,由题意可得q的方程,解方程可得q,可得答案. 解:设等比数列{an}的公比为q, ∵a1=2,∴a2=2q,a3=2q2, 又{an+1}也成等比数列, ∴(2q+1)2=(2+1)(2q2+1), 解得q=1,∴an=2, ∴Sn=2n 故答案为:2n 15.在极坐标系中,点P(2,﹣)到圆ρ=﹣2cosθ的圆心的距离为   【分析】先求出点P的直角坐标,圆ρ=﹣2cosθ的直角坐标方程,然后利用两点间的距离公式求出距离. 解:点P(2,﹣)的直角坐标为, 圆ρ=﹣2cosθ的直角坐标方程为(x+1)2+y2=1, ∴圆心(﹣1,0)到的距离. 故答案为:. 16.若点P是曲线y=x2﹣lnx任意一点,则点P到直线y=x﹣2的最小值为  . 【分析】由题意作图,故当点P是曲线的切线中与直线y=x﹣2平行的直线的切点时,最近;从而解得. 解:由题意作图如下, 当点P是曲线的切线中与直线y=x﹣2平行的直线的切点时,最近; 故令y′=2x﹣=1解得,x=1; 故点P的坐标为(1,1); 故点P到直线y=x﹣2的最小值为=; 故答案为:. 三、解答题(共6小题,满分共70分,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0),满足条件f(x+1)﹣f(x)=2x(x∈R),且f(0)=1. (Ⅰ)求f(x)的解析式; (Ⅱ)当x≥0时,f(x)≥mx﹣3恒成立,求实数m的取值范围. 【分析】(Ⅰ)根据f(0)=1.f(x+1)﹣f(x)=2x待定系数法,即可求解a,b,c,可得解析式; (Ⅱ)由题意得,x2﹣x+1≥mx﹣3,x∈[0,+∞)恒成立.即:g(x)=x2﹣(m+1)x+4≥0,x∈[0,+∞)恒成立.结合二次函数的性质讨论即可求实数m的取值范围. 解:(Ⅰ)由f(0)=1得,c=1, 由f(x+1)﹣f(x)=2x,得a(x+1)2+b(x+1)+1﹣(ax2+bx+c)=2x 化简得,2ax+a+b=2x, 所以:2a=2,a+b=1, 可得:a=1,b=﹣1,c=1, 所以f(x)=x2﹣x+1; (Ⅱ)由题意得,x2﹣x+1≥mx﹣3,x∈[0,+∞)恒成立. 即:g(x)=x2﹣(m+1)x+4≥0,x∈[0,+∞)恒成立. 其对称轴x=, 当≤0,即m≤﹣1时,g(x)在(0,+∞)上单调递增, g(0)=4>0 ∴m≤﹣1成立②当>0时, 满足 计算得:﹣1<m≤3 综上所述,实数m的取值范围是(﹣∞,3]. 18.在△ABC中,角A,B、C的对边分别为a,b,c,且. (1)求A; (2)若a=2,且cos(B﹣C)=2sinBsinC﹣cosC,求△ABC的面积. 【分析】(1)由正弦定理,同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanA=,结合范围A∈(0,π),可求A的值. (2)利用三角函数恒等变换的应用可求cosC=cosA,结合A,C∈(0,π),可求C,B,c的值,进而根据三角形的面积公式即可求解. 解:(1)∵, ∴由正弦定理,可得sinA=,可得tanA=, ∵A∈(0,π), ∴A=. (2)∵cos(B﹣C)=2sinBsinC﹣cosC, ∴cosBcosC+sinBsinC=2sinBsinC﹣cosC,可得cosBcosC=sinBsinC﹣cosC, ∴cosC=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣cos(B+C)=cosA, ∵A,C∈(0,π),A=,a=2, ∴C=A=,B=π﹣A﹣C=,c=a=2, ∴△ABC的面积S=acsinB=×2×2×=. 19.已知曲线l的参数方程为(t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为cos() (1)求曲线C的直角坐标方程; (2)设P(2,1),直线l与曲线交于点A,B,求|PA|?|PB|的值. 【分析】(1)先将ρ=4cos(θ﹣)化为ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ,进而可得出其直角坐标方程; (2)将直线参数方程代入(1)的结果,整理得到t2+t﹣7=0,再设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,进而可得|PA||PB|=|t1t2|,即可求出结果 【解答】解(1)由ρ=4cos(θ﹣)得ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ, ∴ρ2=4ρcosθ+4ρsinθ, 又x=ρcosθ,y=ρsinθ, ∴x2+y2=4x+4y即曲线C的直角坐标方程为(x﹣2)2+(y﹣2)2=8. (2)将代入C的直角坐标方程,得t2+(﹣t﹣1)2=8, ∴t2+t﹣7=0, 设A,B两点对应的参数分别为t1,t2, ∴t1t2=﹣7. 则|PA||PB|=|t1t2|=7. 20.设a∈R,命题p:?x∈[1,2],满足(a﹣1)x﹣1>0,命题q:?x∈R,x2+ax+1>0. (1)若命题p∧q是真命题,求a的范围; (2)(¬p)∧q为假,(¬p)∨q为真,求a的取值范围. 【分析】(1)根据题意,p∧q是真命题,即p真q真,求出不等式的交集即可; (2)由(¬p)∧q为假,(﹣p)∨q为真?p、q同时为假或同时为真,分情况讨论,最后求出并集. 解:(1)p真,则,或得; q真,则a2﹣4<0,得﹣2<a<2, ∴p∧q真,故a的取值范围为; (2)由(¬p)∧q为假,(﹣p)∨q为真?p、q同时为假或同时为真, 若p假q假,则, 得a≤﹣2; 若p真q真,则, 所以,; 综上a≤﹣2或. 故a的取值范围是. 21.已知过点A(﹣4,0)作动直线m与抛物线G:x2=2py(p>0)相交于B、C两点. (1)当直线的斜率是时,=4,求抛物线G的方程; (2)设B、C的中点是M,利用(1)中所求抛物线,试求点M的轨迹方程. 【分析】(1)当直线m的斜率为时,其方程为x=2y﹣4,联立,得2y2﹣(8+p)y+8=0,由此利用根的判别式、韦达定理能,结合已知条件能求出抛物线G的方程. (2)设直线m的方程为y=k(x+4),由,得x2﹣4kx﹣16k=0,由此利用韦达定理、根的判别式,结合已知条件能求出点M的轨迹方程. 解:(1)设B(x1,y1),C(x2,y2),由题意知y1>0,y2>0, 由题意知当直线m的斜率为时,其方程为y=(x+4),即x=2y﹣4, 又∵=4,∴y2=4y1, 联立,消去x,得2y2﹣(8+p)y+8=0, ∴△=(8+p)2﹣64=p2+16p>0,且y1+y2=,y1y2=4, 联立,解得p=2, ∴抛物线G的方程为x2=4y. (2)当直线m垂直于x轴时,其与抛物线只有一个公共点,不符合题意, ∴直线m的方程可以设为y=k(x+4), 设B,C中点M(x,y), 由,消去y,得x2=4k(x+4), 即x2﹣4kx﹣16k=0, 由△=16k2+64k>0,解得k>0,或k<﹣4,且x1+x2=4k, ∴y1+y2=k(x1+x2+8)=4k2+8k, ∴,消去k,得点M的轨迹方程:y=, ∵k>0,或k<﹣4,∴x>0或x<﹣8. ∴点M的轨迹方程为:(x>0或x<﹣8). 22.已知函数f(x)=x2﹣alnx﹣(a∈R,a≠0). (Ⅰ)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅲ)若对任意的x∈[1,+∞),都有f(x)≥0成立,求a的取值范围. 【分析】(Ⅰ)当a=2时,写出f(x)的表达式,对f(x)进行求导,求出x=1处的斜率,再根据点斜式求出切线的方程; (Ⅱ)求出函数的定义域,令f′(x)大于0求出x的范围即为函数的增区间;令f′(x)小于0求出x的范围即为函数的减区间; (Ⅲ)由题意可知,对任意的x∈[1,+∞),使f(x)≥0成立,只需任意的x∈[1,+∞),f(x)min≥0.下面对a进行分类讨论,从而求出a的取值范围; 解:(Ⅰ)a=2时, 曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程x+y﹣1=0 (Ⅱ) ①当a<0时,恒成立,函数f(x)的递增区间为(0,+∞) ②当a>0时,令f'(x)=0,解得或 x ( 0,) ( f′(x) ﹣ + f(x) 减 增 所以函数f(x)的递增区间为,递减区间为 (Ⅲ)对任意的x∈[1,+∞),使f(x)≥0成立,只需任意的x∈[1,+∞),f(x)min≥0 ①当a<0时,f(x)在[1,+∞)上是增函数, 所以只需f(1)≥0 而 所以a<0满足题意; ②当0<a≤1时,,f(x)在[1,+∞)上是增函数, 所以只需f(1)≥0 而 所以0<a≤1满足题意; ③当a>1时,,f(x)在上是减函数,上是增函数, 所以只需即可 而 从而a>1不满足题意; 综合①②③实数a的取值范围为(﹣∞,0)∪(0,1].

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  • ID:3-7131401 2019-2020学年人教A版山西省运城市芮城县高二第二学期3月月考(理科)数学试卷 Word版解析版

    高中数学/月考专区/高二下学期

    2019-2020学年高二第二学期 3月月考数学试卷(理科) 一、选择题 1.已知复数 (i是虚数单位),则 ( 是 z的共轭复数)的虚部为( ) A. B. C. D. 2.设 f(x)是可导函数,且满足 ,则曲线 y=f(x)在点(1, f(1))处的切线斜率为( ) A.4 B.﹣1 C.1 D.﹣4 3.如图是函数 y=f(x)的导函数 y=f'(x)的图象,则下列说法正确的是( ) A.x=a是函数 y=f(x)的极小值点 B.当 x=﹣a或 x=b时,函数 f(x)的值为 0 C.函数 y=f(x)关于点(0,c)对称 D.函数 y=f(x)在(b,+∞)上是增函数 4.若数列{an}是等差数列,则数列 也为等差数列.类比这一性质可知, 若正项数列{cn}是等比数列,且 dn也是等比数列,则 dn的表达式应为( ) A. B. C. D. 5.已知函数 f(x)是偶函数,当 x>0 时,f(x)=xlnx+1,则曲线 y=f(x)在 x=﹣1 处的切线方程为( ) A.y=﹣x B.y=﹣x+2 C.y=x D.y=x﹣2 6.观察下列各式:55=3125,56=15625,57=78125,…,则 52019的末四位数字为( ) A.3125 B.5625 C.0625 D.8125 7.已知复数 z=x+yi(x,y∈R),且|z﹣2|= ,则 的最大值为( ) A. B. C.2+ D.2﹣ 8.用反证法证明命题:“a,b,c,d∈R,a+b=1,c+d=1,且 ac+bd>1,则 a,b,c,d 中至少有一个负数”时的假设为( ) A.a,b,c,d中至少有一个正数 B.a,b,c,d全为正数 C.a,b,c,d全都大于等于 0 D.a,b,c,d中至多有一个负数 9.若关于 x的方程 x3﹣3x+m=0在[0,2]上有根,则实数 m的取值范围是( ) A.[﹣2,0] B.[0,2] C.[﹣2,2] D.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) 10.函数 f(x)的定义域为 R,f(﹣1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x)>2x+4 的解集为( ) A.(﹣1,1) B.(﹣1,+∞) C.(﹣∞,﹣l) D.(﹣∞,+∞) 11.若函数 f(x)=lnx+ ﹣bx存在单调递减区间,则实数 b的取值范围为( ) A.[2,+∞) B.(2,+∞) C.(﹣∞,2) D.(﹣∞,2] 12.已知 ,f'(x)是 f(x)的导函数,则 f(2019)+f'(2019)+f (﹣2019)﹣f'(﹣2019)=( ) A.8056 B.4028 C.1 D.2 二、填空题( 13.已知函数 y=f(x)的图象在点 M(1,f(1))处的切线方程是 y= x+2,则 f(1) +f′(1)= . 14.若 ,则|z|= . 15.集合{a,b,c}={1,2,3},现有甲、乙、丙三人分别对 a,b,c的值给出了预测,甲 说 a≠3,乙说 b=3,丙说 c≠1.已知三人中有且只有一个人预测正确,那么 a+10b+100c = 16.已知定义在 R上的可导函数 f(x)的导函数为 f′(x),满足 f′(x)<f(x),且 f(x+2)为偶函数,f(4)=1,则不等式 f(x)<ex的解集为 . 三、解答题(第 17题 10分,18-22题每题 12分) 17.已知:复数 z1与 z2在复平面上所对应的点关于 y轴对称,且 z1(1﹣i)=z2(1+i)(i 为虚数单位),|z1|= . (Ⅰ)求 z1的值; (Ⅱ)若 z1的虚部大于零,且 (m,n∈R),求 m,n的值. 18.选择恰当的方法证明下列各式: (1) ; (2) . 参考答案 一、单选题(每小题 5分,共 60分) 1.已知复数 (i是虚数单位),则 ( 是 z的共轭复数)的虚部为( ) A. B. C. D. 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 解:∵ = , ∴ , 则 的虚部为﹣ . 故选:D. 2.设 f(x)是可导函数,且满足 ,则曲线 y=f(x)在点(1, f(1))处的切线斜率为( ) A.4 B.﹣1 C.1 D.﹣4 【分析】把已知等式变形,求得 ,则答案可求. 解:由 ,得 , 即 , ∴f′(1)=﹣4. 则曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为﹣4. 故选:D. 3.如图是函数 y=f(x)的导函数 y=f'(x)的图象,则下列说法正确的是( ) A.x=a是函数 y=f(x)的极小值点 B.当 x=﹣a或 x=b时,函数 f(x)的值为 0 C.函数 y=f(x)关于点(0,c)对称 D.函数 y=f(x)在(b,+∞)上是增函数 【分析】结合导数与函数单调性 关系可知,f′(x)<0,函数 f(x)单调 递减,f′ (x)>0,函数 f(x)单调 递增,结合选项即可判断. 解:结合导数与函数单调性的关系可知,当 x<b时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递 减,当 x>b时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增, 故当 x=a时,函数取得极小值. 结合选项可知,D正确. 故选:D. 4.若数列{an}是等差数列,则数列 也为等差数列.类比这一性质可知, 若正项数列{cn}是等比数列,且 dn也是等比数列,则 dn的表达式应为( ) A. B. C. D. 【分析】利用等差数列的求和公式,等比数列的通项公式,即可得到结论. 解:∵数列{an}是等差数列,∴数列 =a1+ d也为等差数列 ∵正项数列{cn}是等比数列,设首项为 c1,公比为 q ∴ = = ∴ 是等比数列 故选:D. 5.已知函数 f(x)是偶函数,当 x>0 时,f(x)=xlnx+1,则曲线 y=f(x)在 x=﹣1 处的切线方程为( ) A.y=﹣x B.y=﹣x+2 C.y=x D.y=x﹣2 【分析】依题意,可求得 x<0时的解析式为 f(x)=﹣xln(﹣x)+1,求导,可得曲线 y=f(x)在 x=﹣1处的切线的斜率,继而可得答案. 解:因为函数 f(x)是偶函数,当 x>0时,f(x)=xlnx+1, 所以当 x<0时,﹣x>0, 所以 f(x)=f(﹣x)=﹣xln(﹣x)+1, 所以 f(﹣1)=1, 又 f'(x)=﹣ln(﹣x)﹣1, 所以 f'(﹣1)=﹣1, 所以曲线 y=f(x)在 x=﹣1处的切线方程为 y=﹣x. 故选:A. 6.观察下列各式:55=3125,56=15625,57=78125,…,则 52019的末四位数字为( ) A.3125 B.5625 C.0625 D.8125 【分析】由 5n(n≥5)的最后四位数的周期性及简单的合情推理可得:52019的末四位数 字与 57的末四位数字相同,即可得解. 解:由 55=3125,56=15625,57=78125,58=390625,59=1953125,510=9765625…, 可归纳出 5n(n≥5)的最后四位数为 3125,5625,8125,0625,且以 4为周期, 又 2019=503×4+7, 即 52019的末四位数字与 57的末四位数字相同, 即 52019的末四位数字为 8125, 故选:D. 7.已知复数 z=x+yi(x,y∈R),且|z﹣2|= ,则 的最大值为( ) A. B. C.2+ D.2﹣ 【分析】复数 z=x+yi(x,y∈R),且|z﹣2|= ,可得(x﹣2)2+y2=3.设圆的切线 l: y=kx﹣1,利用圆的切线的性质与点到直线的距离公式可得 k2﹣4k﹣2=0,解出即可. 解:∵复数 z=x+yi(x,y∈R),且|z﹣2|= , ∴ = , ∴(x﹣2)2+y2=3. 设圆的切线 l:y=kx﹣1, 则 , 化为 k2﹣4k﹣2=0, 解得 . ∴ 的最大值为 2+ . 故选:C. 8.用反证法证明命题:“a,b,c,d∈R,a+b=1,c+d=1,且 ac+bd>1,则 a,b,c,d 中至少有一个负数”时的假设为( ) A.a,b,c,d中至少有一个正数 B.a,b,c,d全为正数 C.a,b,c,d全都大于等于 0 D.a,b,c,d中至多有一个负数 【分析】用反证法证明数学命题时,应先假设结论的否定成立. 解:“a,b,c,d中至少有一个负数”的否定为“a,b,c,d全都大于等于 0”, 由用反证法证明数学命题的方法可得,应假设“a,b,c,d全都大于等于 0”, 故选:C. 9.若关于 x的方程 x3﹣3x+m=0在[0,2]上有根,则实数 m的取值范围是( ) A.[﹣2,0] B.[0,2] C.[﹣2,2] D.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) 【分析】由题意可得﹣m=x3﹣3x,x∈[0,2],利用导数判断函数在[0,1]上增,在[1,2] 上减,由此求得函数﹣m在[0,2]上的值域,从而求得 m的范围. 解:由题意可知方程 x3﹣3x+m=0在[0,2]上有解,则函数﹣m=x3﹣3x,x∈[0,2]. 求出此函数的值域,即可得到实数 m的取值范围. 令 y=x3﹣3x,x∈[0,2],则 y'=3x2﹣3, 令 y'>0,解得 x>1,故此函数在[0,1]上减,在[1,2]上增, 又当 x=1,y=﹣2; 当 x=2,y=2; 当 x=0,y=0. ∴函数 y=x3﹣3x,x∈[0,2]的值域是[﹣2,2], 故﹣m∈[﹣2,2],∴m∈[﹣2,2], 故选:C. 10.函数 f(x)的定义域为 R,f(﹣1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x)>2x+4 的解集为( ) A.(﹣1,1) B.(﹣1,+∞) C.(﹣∞,﹣l) D.(﹣∞,+∞) 【分析】把所求的不等式的右边移项到左边后,设左边的式子为 F(x)构成一个函数, 把 x=﹣1代入 F(x)中,由 f(﹣1)=2出 F(﹣1)的值,然后求出 F(x)的导函数, 根据 f′(x)>2,得到导函数大于 0即得到 F(x)在 R上为增函数,根据函数的增减 性即可得到 F(x)大于 0的解集,进而得到所求不等式的解集. 解:设 F(x)=f(x)﹣(2x+4), 则 F(﹣1)=f(﹣1)﹣(﹣2+4)=2﹣2=0, 又对任意 x∈R,f′(x)>2,所以 F′(x)=f′(x)﹣2>0, 即 F(x)在 R上单调递增, 则 F(x)>0的解集为(﹣1,+∞), 即 f(x)>2x+4的解集为(﹣1,+∞). 故选:B. 11.若函数 f(x)=lnx+ ﹣bx存在单调递减区间,则实数 b的取值范围为( ) A.[2,+∞) B.(2,+∞) C.(﹣∞,2) D.(﹣∞,2] 【分析】由 f'(x)= ≤0,即 b ,x>0得到 b≥2,又 b=2不成立,得出 结论. 解:f(x)=lnx+ ﹣bx, f'(x)= ≤0,即 b (x>0), 当 x>0时, ,x=1时取等号, 故 b≥2, 当 b=2时,f'(x)= = ≥0, f(x)递增,不成立, 故 b>2, 故选:B. 12.已知 ,f'(x)是 f(x)的导函数,则 f(2019)+f'(2019)+f (﹣2019)﹣f'(﹣2019)=( ) A.8056 B.4028 C.1 D.2 【分析】根据题意,分析可得 f(x)=1+ ,设 g(x)=f(x)﹣1,分析可得 g(x)为奇函数,由奇函数的性质可得 g(2019)+g(﹣2019)=0即[f(2019)﹣1]+[f (﹣2019)﹣1]=0,变形可得 f(2019)+f(﹣2019)=2,进而可得若函数 g(x)为奇 函数,则其导数 g′(x)为偶函数,分析可得 g′(2019)﹣g′(﹣2019)=0,即 f′ (2019)+f(﹣2019)=0,相加即可得答案. 解:根据题意, =1+ , 设 g(x)=f(x)﹣1= ,则 g(﹣x)=﹣( )=﹣g(x),故函数 g(x)为奇函数, 则有 g(2019)+g(﹣2019)=0即[f(2019)﹣1]+[f(﹣2019)﹣1]=0,变形可得 f(2019) +f(﹣2019)=2, 若函数 g(x)为奇函数,则其导数 g′(x)为偶函数,则有 g′(2019)﹣g′(﹣2019) =0,即 f′(2019)+f(﹣2019)=0, 故 f(2019)+f'(2019)+f(﹣2019)﹣f'(﹣2019)=2; 故选:D. 二、填空题(每小题 5分,共 20分) 13.已知函数 y=f(x)的图象在点 M(1,f(1))处的切线方程是 y= x+2,则 f(1) +f′(1)= 3 . 【分析】因为切点坐标一定满足切线方程,所以据此可以求出 f(1)的值,又因为切线 的斜率是函数在切点处的导数,就可求出 f′(1)的值,把 f(1)和 f′(1)代入即可. 解:∵点M(1,f(1))是切点, ∴点M在切线上, ∴f(1)= +2= , ∵函数 y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线的方程是 y= x+2, ∴切线斜率是 , 即 f′(1)= , ∴f(1)+f'(1)= + =3. 故答案为:3. 14.若 ,则|z|= 8 . 【分析】利用复数的运算法则、棣莫佛定理即可得出. 解:∵(1+i)4=(2i)2=﹣4,(1﹣i)12=[(1﹣i)2]6=(﹣2i)6=﹣64. = =﹣ 128× =﹣ 128 =﹣64 . ∴z= =﹣4﹣4 i. ∴|z|= =8. 故答案为:8. 15.集合{a,b,c}={1,2,3},现有甲、乙、丙三人分别对 a,b,c的值给出了预测,甲 说 a≠3,乙说 b=3,丙说 c≠1.已知三人中有且只有一个人预测正确,那么 a+10b+100c = 213 【分析】由简单的合情推理分甲、乙、丙三人分别预测正确讨论即可得解. 解:设只有甲预测正确,则乙说 b=3,丙说 c≠1.不满足题意, 设只有乙预测正确,即 b=3,所以甲说 a≠3也正确,即乙预测正确不满足题意, 设只有丙预测正确,则 a=3,b=1,c=2,满足题意, 即 a+10b+100c=213, 故答案为:213. 16.已知定义在 R上的可导函数 f(x)的导函数为 f′(x),满足 f′(x)<f(x),且 f(x+2)为偶函数,f(4)=1,则不等式 f(x)<ex的解集为 (0,+∞) . 【分析】令 ,利用导数和已知即可得出其单调性.再利用函数的奇偶性和 已知可得 g(0)=1,即可得出. 解:令 , 则 = , ∵f′(x)<f(x),∴g′(x)<0. ∴g(x)在 R上单调递减. ∵函数 f(x+2)是偶函数, ∴函数 f(﹣x+2)=f(x+2), ∴函数关于 x=2对称, ∴f(0)=f(4)=1, 原不等式等价为 g(x)<1, ∵g(0)= =1. ∴g(x)<1?g(x)<g(0), ∵g(x)在 R上单调递减, ∴x>0. ∴不等式 f(x)<ex的解集为(0,+∞). 故答案为:(0,+∞). 三、解答题(第 17题 10分,18-22题每题 12分) 17.已知:复数 z1与 z2在复平面上所对应的点关于 y轴对称,且 z1(1﹣i)=z2(1+i)(i 为虚数单位),|z1|= . (Ⅰ)求 z1的值; (Ⅱ)若 z1的虚部大于零,且 (m,n∈R),求 m,n的值. 【分析】(Ⅰ)设 z1=x+yi(x,y∈R),则 z2=﹣x+yi,由题意列方程组求得 x,y的值, 则答案可求; (Ⅱ)求得 z1,代入 ,利用复数代数形式的乘除运算化简化简,再由复数 相等的条件求解. 解:(Ⅰ)设 z1=x+yi(x,y∈R),则 z2=﹣x+yi, ∵z1(1﹣i)=z2(1+i),|z1|= , ∴ ,解得 或 , 即 z1=1﹣i或 z1=﹣1+i; (Ⅱ)∵z1的虚部大于零,∴z1=﹣1+i,则 , 则有 , ∴ ,解得 . 18.选择恰当的方法证明下列各式: (1) ; (2) . 【分析】(1)利用分析法可知,要证 ,只需证 ,即证 1>0; (2)要证 ,即证 ,然后利 用基本不等式和不等式的基本性质即可证明 成 立. 【解答】证明:(1)要证 , 只需证 , 只需证 , 只需证 ,只需证 , 即证 n2+2n+1>n2+2n,即证 1>0,显然 1>0成立, ∴ . (2)要证 , 即证 , ∵a>0,b>0,由基本不等式,得 , , 当且仅当 a=b时,上述两个不等式取等号, 由不等式的基本性质,得 , ∴ 成立. 2019-2020学年高二第二学期3月月考数学试卷(理科) 一、选择题 1.已知复数(i是虚数单位),则(是z的共轭复数)的虚部为(  ) A. B. C. D. 2.设f(x)是可导函数,且满足,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为(  ) A.4 B.﹣1 C.1 D.﹣4 3.如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,则下列说法正确的是(  ) A.x=a是函数y=f(x)的极小值点 B.当x=﹣a或x=b时,函数f(x)的值为0 C.函数y=f(x)关于点(0,c)对称 D.函数y=f(x)在(b,+∞)上是增函数 4.若数列{an}是等差数列,则数列也为等差数列.类比这一性质可知,若正项数列{cn}是等比数列,且dn也是等比数列,则dn的表达式应为(  ) A. B. C. D. 5.已知函数f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=xlnx+1,则曲线y=f(x)在x=﹣1处的切线方程为(  ) A.y=﹣x B.y=﹣x+2 C.y=x D.y=x﹣2 6.观察下列各式:55=3125,56=15625,57=78125,…,则52019的末四位数字为(  ) A.3125 B.5625 C.0625 D.8125 7.已知复数z=x+yi(x,y∈R),且|z﹣2|=,则的最大值为(  ) A. B. C.2+ D.2﹣ 8.用反证法证明命题:“a,b,c,d∈R,a+b=1,c+d=1,且ac+bd>1,则a,b,c,d中至少有一个负数”时的假设为(  ) A.a,b,c,d中至少有一个正数 B.a,b,c,d全为正数 C.a,b,c,d全都大于等于0 D.a,b,c,d中至多有一个负数 9.若关于x的方程x3﹣3x+m=0在[0,2]上有根,则实数m的取值范围是(  ) A.[﹣2,0] B.[0,2] C.[﹣2,2] D.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) 10.函数f(x)的定义域为R,f(﹣1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为(  ) A.(﹣1,1) B.(﹣1,+∞) C.(﹣∞,﹣l) D.(﹣∞,+∞) 11.若函数f(x)=lnx+﹣bx存在单调递减区间,则实数b的取值范围为(  ) A.[2,+∞) B.(2,+∞) C.(﹣∞,2) D.(﹣∞,2] 12.已知,f'(x)是f(x)的导函数,则f(2019)+f'(2019)+f(﹣2019)﹣f'(﹣2019)=(  ) A.8056 B.4028 C.1 D.2 二、填空题( 13.已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y=x+2,则f(1)+f′(1)=   . 14.若,则|z|=   . 15.集合{a,b,c}={1,2,3},现有甲、乙、丙三人分别对a,b,c的值给出了预测,甲说a≠3,乙说b=3,丙说c≠1.已知三人中有且只有一个人预测正确,那么a+10b+100c=    16.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x),满足f′(x)<f(x),且f(x+2)为偶函数,f(4)=1,则不等式f(x)<ex的解集为   . 三、解答题(第17题10分,18-22题每题12分) 17.已知:复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称,且z1(1﹣i)=z2(1+i)(i为虚数单位),|z1|=. (Ⅰ)求z1的值; (Ⅱ)若z1的虚部大于零,且(m,n∈R),求m,n的值. 18.选择恰当的方法证明下列各式: (1); (2). 参考答案 一、单选题(每小题5分,共60分) 1.已知复数(i是虚数单位),则(是z的共轭复数)的虚部为(  ) A. B. C. D. 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 解:∵=, ∴, 则的虚部为﹣. 故选:D. 2.设f(x)是可导函数,且满足,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为(  ) A.4 B.﹣1 C.1 D.﹣4 【分析】把已知等式变形,求得,则答案可求. 解:由,得, 即, ∴f′(1)=﹣4. 则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为﹣4. 故选:D. 3.如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象,则下列说法正确的是(  ) A.x=a是函数y=f(x)的极小值点 B.当x=﹣a或x=b时,函数f(x)的值为0 C.函数y=f(x)关于点(0,c)对称 D.函数y=f(x)在(b,+∞)上是增函数 【分析】结合导数与函数单调性 关系可知,f′(x)<0,函数f(x)单调 递减,f′(x)>0,函数f(x)单调 递增,结合选项即可判断. 解:结合导数与函数单调性的关系可知,当x<b时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,当x>b时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增, 故当x=a时,函数取得极小值. 结合选项可知,D正确. 故选:D. 4.若数列{an}是等差数列,则数列也为等差数列.类比这一性质可知,若正项数列{cn}是等比数列,且dn也是等比数列,则dn的表达式应为(  ) A. B. C. D. 【分析】利用等差数列的求和公式,等比数列的通项公式,即可得到结论. 解:∵数列{an}是等差数列,∴数列=a1+d也为等差数列 ∵正项数列{cn}是等比数列,设首项为c1,公比为q ∴== ∴是等比数列 故选:D. 5.已知函数f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=xlnx+1,则曲线y=f(x)在x=﹣1处的切线方程为(  ) A.y=﹣x B.y=﹣x+2 C.y=x D.y=x﹣2 【分析】依题意,可求得x<0时的解析式为f(x)=﹣xln(﹣x)+1,求导,可得曲线y=f(x)在x=﹣1处的切线的斜率,继而可得答案. 解:因为函数f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=xlnx+1, 所以当x<0时,﹣x>0, 所以f(x)=f(﹣x)=﹣xln(﹣x)+1, 所以f(﹣1)=1, 又f'(x)=﹣ln(﹣x)﹣1, 所以f'(﹣1)=﹣1, 所以曲线y=f(x)在x=﹣1处的切线方程为y=﹣x. 故选:A. 6.观察下列各式:55=3125,56=15625,57=78125,…,则52019的末四位数字为(  ) A.3125 B.5625 C.0625 D.8125 【分析】由5n(n≥5)的最后四位数的周期性及简单的合情推理可得:52019的末四位数字与57的末四位数字相同,即可得解. 解:由55=3125,56=15625,57=78125,58=390625,59=1953125,510=9765625…, 可归纳出5n(n≥5)的最后四位数为3125,5625,8125,0625,且以4为周期, 又2019=503×4+7, 即52019的末四位数字与57的末四位数字相同, 即52019的末四位数字为8125, 故选:D. 7.已知复数z=x+yi(x,y∈R),且|z﹣2|=,则的最大值为(  ) A. B. C.2+ D.2﹣ 【分析】复数z=x+yi(x,y∈R),且|z﹣2|=,可得(x﹣2)2+y2=3.设圆的切线l:y=kx﹣1,利用圆的切线的性质与点到直线的距离公式可得k2﹣4k﹣2=0,解出即可. 解:∵复数z=x+yi(x,y∈R),且|z﹣2|=, ∴=, ∴(x﹣2)2+y2=3. 设圆的切线l:y=kx﹣1, 则, 化为k2﹣4k﹣2=0, 解得. ∴的最大值为2+. 故选:C. 8.用反证法证明命题:“a,b,c,d∈R,a+b=1,c+d=1,且ac+bd>1,则a,b,c,d中至少有一个负数”时的假设为(  ) A.a,b,c,d中至少有一个正数 B.a,b,c,d全为正数 C.a,b,c,d全都大于等于0 D.a,b,c,d中至多有一个负数 【分析】用反证法证明数学命题时,应先假设结论的否定成立. 解:“a,b,c,d中至少有一个负数”的否定为“a,b,c,d全都大于等于0”, 由用反证法证明数学命题的方法可得,应假设“a,b,c,d全都大于等于0”, 故选:C. 9.若关于x的方程x3﹣3x+m=0在[0,2]上有根,则实数m的取值范围是(  ) A.[﹣2,0] B.[0,2] C.[﹣2,2] D.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) 【分析】由题意可得﹣m=x3﹣3x,x∈[0,2],利用导数判断函数在[0,1]上增,在[1,2]上减,由此求得函数﹣m在[0,2]上的值域,从而求得m的范围. 解:由题意可知方程x3﹣3x+m=0在[0,2]上有解,则函数﹣m=x3﹣3x,x∈[0,2]. 求出此函数的值域,即可得到实数m的取值范围. 令y=x3﹣3x,x∈[0,2],则 y'=3x2﹣3, 令y'>0,解得x>1,故此函数在[0,1]上减,在[1,2]上增, 又当x=1,y=﹣2; 当x=2,y=2; 当x=0,y=0. ∴函数y=x3﹣3x,x∈[0,2]的值域是[﹣2,2], 故﹣m∈[﹣2,2],∴m∈[﹣2,2], 故选:C. 10.函数f(x)的定义域为R,f(﹣1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为(  ) A.(﹣1,1) B.(﹣1,+∞) C.(﹣∞,﹣l) D.(﹣∞,+∞) 【分析】把所求的不等式的右边移项到左边后,设左边的式子为F(x)构成一个函数,把x=﹣1代入F(x)中,由f(﹣1)=2出F(﹣1)的值,然后求出F(x)的导函数,根据f′(x)>2,得到导函数大于0即得到F(x)在R上为增函数,根据函数的增减性即可得到F(x)大于0的解集,进而得到所求不等式的解集. 解:设F(x)=f(x)﹣(2x+4), 则F(﹣1)=f(﹣1)﹣(﹣2+4)=2﹣2=0, 又对任意x∈R,f′(x)>2,所以F′(x)=f′(x)﹣2>0, 即F(x)在R上单调递增, 则F(x)>0的解集为(﹣1,+∞), 即f(x)>2x+4的解集为(﹣1,+∞). 故选:B. 11.若函数f(x)=lnx+﹣bx存在单调递减区间,则实数b的取值范围为(  ) A.[2,+∞) B.(2,+∞) C.(﹣∞,2) D.(﹣∞,2] 【分析】由f'(x)=≤0,即b,x>0得到b≥2,又b=2不成立,得出结论. 解:f(x)=lnx+﹣bx, f'(x)=≤0,即b(x>0), 当x>0时,,x=1时取等号, 故b≥2, 当b=2时,f'(x)==≥0, f(x)递增,不成立, 故b>2, 故选:B. 12.已知,f'(x)是f(x)的导函数,则f(2019)+f'(2019)+f(﹣2019)﹣f'(﹣2019)=(  ) A.8056 B.4028 C.1 D.2 【分析】根据题意,分析可得f(x)=1+,设g(x)=f(x)﹣1,分析可得g(x)为奇函数,由奇函数的性质可得g(2019)+g(﹣2019)=0即[f(2019)﹣1]+[f(﹣2019)﹣1]=0,变形可得f(2019)+f(﹣2019)=2,进而可得若函数g(x)为奇函数,则其导数g′(x)为偶函数,分析可得g′(2019)﹣g′(﹣2019)=0,即f′(2019)+f(﹣2019)=0,相加即可得答案. 解:根据题意,=1+, 设g(x)=f(x)﹣1=,则g(﹣x)=﹣()=﹣g(x),故函数g(x)为奇函数, 则有g(2019)+g(﹣2019)=0即[f(2019)﹣1]+[f(﹣2019)﹣1]=0,变形可得f(2019)+f(﹣2019)=2, 若函数g(x)为奇函数,则其导数g′(x)为偶函数,则有g′(2019)﹣g′(﹣2019)=0,即f′(2019)+f(﹣2019)=0, 故f(2019)+f'(2019)+f(﹣2019)﹣f'(﹣2019)=2; 故选:D. 二、填空题(每小题5分,共20分) 13.已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y=x+2,则f(1)+f′(1)= 3 . 【分析】因为切点坐标一定满足切线方程,所以据此可以求出f(1)的值,又因为切线的斜率是函数在切点处的导数,就可求出f′(1)的值,把f(1)和f′(1)代入即可. 解:∵点M(1,f(1))是切点, ∴点M在切线上, ∴f(1)=+2=, ∵函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线的方程是y=x+2, ∴切线斜率是, 即f′(1)=, ∴f(1)+f'(1)=+=3. 故答案为:3. 14.若,则|z|= 8 . 【分析】利用复数的运算法则、棣莫佛定理即可得出. 解:∵(1+i)4=(2i)2=﹣4,(1﹣i)12=[(1﹣i)2]6=(﹣2i)6=﹣64. ==﹣128×=﹣128=﹣64. ∴z==﹣4﹣4i. ∴|z|==8. 故答案为:8. 15.集合{a,b,c}={1,2,3},现有甲、乙、丙三人分别对a,b,c的值给出了预测,甲说a≠3,乙说b=3,丙说c≠1.已知三人中有且只有一个人预测正确,那么a+10b+100c= 213  【分析】由简单的合情推理分甲、乙、丙三人分别预测正确讨论即可得解. 解:设只有甲预测正确,则乙说b=3,丙说c≠1.不满足题意, 设只有乙预测正确,即b=3,所以甲说a≠3也正确,即乙预测正确不满足题意, 设只有丙预测正确,则a=3,b=1,c=2,满足题意, 即a+10b+100c=213, 故答案为:213. 16.已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x),满足f′(x)<f(x),且f(x+2)为偶函数,f(4)=1,则不等式f(x)<ex的解集为 (0,+∞) . 【分析】令,利用导数和已知即可得出其单调性.再利用函数的奇偶性和已知可得g(0)=1,即可得出. 解:令, 则=, ∵f′(x)<f(x),∴g′(x)<0. ∴g(x)在R上单调递减. ∵函数f(x+2)是偶函数, ∴函数f(﹣x+2)=f(x+2), ∴函数关于x=2对称, ∴f(0)=f(4)=1, 原不等式等价为g(x)<1, ∵g(0)==1. ∴g(x)<1?g(x)<g(0), ∵g(x)在R上单调递减, ∴x>0. ∴不等式f(x)<ex的解集为(0,+∞). 故答案为:(0,+∞). 三、解答题(第17题10分,18-22题每题12分) 17.已知:复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称,且z1(1﹣i)=z2(1+i)(i为虚数单位),|z1|=. (Ⅰ)求z1的值; (Ⅱ)若z1的虚部大于零,且(m,n∈R),求m,n的值. 【分析】(Ⅰ)设z1=x+yi(x,y∈R),则z2=﹣x+yi,由题意列方程组求得x,y的值,则答案可求; (Ⅱ)求得z1,代入,利用复数代数形式的乘除运算化简化简,再由复数相等的条件求解. 解:(Ⅰ)设z1=x+yi(x,y∈R),则z2=﹣x+yi, ∵z1(1﹣i)=z2(1+i),|z1|=, ∴,解得或, 即z1=1﹣i或z1=﹣1+i; (Ⅱ)∵z1的虚部大于零,∴z1=﹣1+i,则, 则有, ∴,解得. 18.选择恰当的方法证明下列各式: (1); (2). 【分析】(1)利用分析法可知,要证,只需证,即证1>0; (2)要证,即证,然后利用基本不等式和不等式的基本性质即可证明成立. 【解答】证明:(1)要证, 只需证, 只需证, 只需证,只需证, 即证n2+2n+1>n2+2n,即证1>0,显然1>0成立, ∴. (2)要证, 即证, ∵a>0,b>0,由基本不等式,得,, 当且仅当a=b时,上述两个不等式取等号, 由不等式的基本性质,得, ∴成立.

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  • ID:3-7131400 2019-2020学年人教A版贵州省铜仁一中高二第二学期开学(文科)数学试卷 Word PDF解析版

    高中数学/月考专区/高二下学期

    2019-2020学年高二第二学期开学数学试卷(文科) 一、选择题 1.抛物线 x2=2y的焦点到准线的距离是( ) A.2 B.1 C. D. 2.近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他 垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽 取了该市三类垃圾箱中总计 1000t生活垃圾.经分拣以后数据统计如表(单位:t):根 据样本估计本市生活垃圾投放情况,下列说法错误的是( ) “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 A.厨余垃圾投放正确的概率为 B.居民生活垃圾投放错误的概率为 C.该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱 D.厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为 20000 3.双曲线 ﹣y2=1过点 P(2 ,1),则双曲线的焦点是( ) A.( ,0),(﹣ ,0) B.( ,0),(﹣ ,0) C.(0, ),(0,﹣ ) D.(0, ),(0,﹣ ) 4.下列说法中正确的是( ) A.“a>b”是“a2>b2”成立的充分不必要条件 B.命题 p:?x∈R,2x>0,则 C.为了了解 800名学生对学校某项教改试验的意见,用系统抽样的方法从中抽取一个 容量为 40的样本,则分组的组距为 40 D.已知回归直线的斜率的估计值为 1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程 为 =1.23x+0.08 5.执行如图程序框图,则输出结果为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 6.椭圆 =1的焦点为 F1,点 P在椭圆上,如果线段 PF1的中点M在 y轴上,那么 点M的纵坐标是( ) A.± B.± C.± D.± 7.若函数 y=x3+ax+1(a∈R)在区间(﹣3,﹣2)上单调递减,则 a的取值范围是( ) A.[1,+∞) B.[﹣2,0) C.(﹣∞,﹣3] D.(﹣∞,﹣27] 8.已知椭圆 E: 与双曲线 C: (a>0,b>0)有相同的焦点,则双 曲线 C的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 9.函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则下列结论成立的是( ) A.a>0,b<0,c>0,d>0 B.a>0,b<0,c<0,d>0 C.a<0,b<0,c<0,d>0 D.a>0,b>0,c>0,d<0 10.设拋物线 C:x2=4y 的焦点为 F,经过点 P(l,5)的直线 l与抛物线相交于 A、B两 点,且点 P恰为 AB的中点,则丨 AF|+|BF|=( ) A.12 B.8 C.4 D.10 11.已知 F1,F2分别是双曲线 的两个焦点,过其中一个焦点与双曲 线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M,若点 M在以线段 F1F2为直 径的圆内,则双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,2) B.(2,+∞) C. D. 12.已知函数 f(x)是定义在 R上的可导函数,f′(x)为其导函数,若对于任意实数 x, 有 f(x)﹣f'(x)>0,则( ) A.ef(2019)<f(2020) B.ef(2019)>f(2020) C.ef(2019)=f(2020) D.ef(2019)与 f(2020)的大小不确定 二、填空题 13.已知 f(x)=sinx+lnx,则 f′(1)= . 14.已知椭圆 C: + =1的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P在椭圆 C上,则|PF1|+|PF2| = . 15.在一个个体数目为 2003的总体中,利用系统抽样抽取一个容量为 100的样本,则总体 中每个个体被抽到的机会为 . 16.已知点 A,B为椭圆 C: +y2=1的左右顶点,点 M 为 x 轴上一点,过M作 x轴的 垂线交椭圆 C于 P,Q两点,过M作 AP的垂线交 BQ于点 N,则 = . 三、解答题(共 6小题) 17.命题 p:方程 x2﹣3x+m=0有实数解,命题 q:方程 表示焦点在 x轴上的 椭圆. (1)若命题 p为真,求 m的取值范围; (2)若命题 p∧q为真,求 m的取值范围. 18.已知双曲线 C: ﹣ =1(a>0,b>0)的离心率为 . (1)若双曲线 C的焦距长为 2 ,求双曲线 C的方程: (2)若点(3,1)为双曲线 C上一点,求双曲线 C的方程. 19.某城市 100户居民的月平均用电量(单位:度)以[160,180),[180,200),[200, 220),[220,240)[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图: (1)求直方图中 x的值; (2)求月平均用电量的众数和中位数; (3)在月平均用电量[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户 中,用分层抽样的方法抽取 11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取 多少户? 20.设 f(x)=ax3﹣x2﹣x, (1)当 a=1时,求 f(x)在[﹣1,2]上的最大值和最小值; (2)当 a=0时,过点 P(0,1)作函数 y=f(x)的图象的切线,求切线方程. 21.已知函数 f(x)=xlnx+ax2﹣1,且 f'(1)=﹣1. (1)求 f(x)的解析式; (2)若对于任意 x∈(0,+∞),都有 f(x)﹣mx≤﹣1,求 m的最小值. 22.在平面直角坐标系中,已知曲线 C上的动点 P到点 F( ,0)的距离与到直线 l:x= ﹣ 的距离相等. (1)求曲线 C的轨迹方程; (2)过点 M(1,1)分别作射线MA、MB 交曲线 C于不同的两点 A、B,且 ? =0.试 探究直线 AB是否过定点?如果是,请求出该定点;如果不是,请说明理由 参考答案 一、选择题(每小题 5分,共 60分) 1.抛物线 x2=2y的焦点到准线的距离是( ) A.2 B.1 C. D. 【分析】直接利用抛物线方程求解即可. 解:抛物线 x2=2y的焦点到准线的距离为:p=1. 故选:B. 2.近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他 垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽 取了该市三类垃圾箱中总计 1000t生活垃圾.经分拣以后数据统计如表(单位:t):根 据样本估计本市生活垃圾投放情况,下列说法错误的是( ) “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 A.厨余垃圾投放正确的概率为 B.居民生活垃圾投放错误的概率为 C.该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱 D.厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为 20000 【分析】由表格可得:厨余垃圾投放正确的概率= = ;可回收物投放正 确的概率= = ;其他垃圾投放正确的概率= = . A.可知:厨余垃圾投放正确的概率; B.居民生活垃圾投放错误的概率=由题意可知:生活垃圾投放错误有 200+60+20+20= 300,可得生活垃圾投放错误的概率; C.由计算该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高. D.厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的的投放量的平均 数 = = ,利用方差计算公式即可得出方差. 解:由表格可得:厨余垃圾投放正确的概率= = ;可回收物投放正确的 概率= = ;其他垃圾投放正确的概率= = . A.可知:厨余垃圾投放正确的概率= ,正确; B.居民生活垃圾投放错误的概率=由题意可知:生活垃圾投放错误有 200+60+20+20= 300,故生活垃圾投放错误的概率为 = ,正确; C.该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱,正确. D.厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的的投放量的平均 数 = = , 可 得 方 差 = = ≠20000. 故选:D. 3.双曲线 ﹣y2=1过点 P(2 ,1),则双曲线的焦点是( ) A.( ,0),(﹣ ,0) B.( ,0),(﹣ ,0) C.(0, ),(0,﹣ ) D.(0, ),(0,﹣ ) 【分析】先将点的坐标代入双曲线方程求出 a值,再利用双曲线的标准方程,就可求出 双曲线中的 a,b的值,根据双曲线中 a,b,c的关系式即可求出半焦距 c的值,判断焦 点位置,就可得到焦点坐标. 解:∵双曲线 ﹣y2=1过点 P(2 ,1), ∴ , ∴a2=4,b2=1,∴c2=4+1=5,c= 又∵双曲线焦点在 x轴上,∴焦点坐标为(± ,0) 故选:B. 4.下列说法中正确的是( ) A.“a>b”是“a2>b2”成立的充分不必要条件 B.命题 p:?x∈R,2x>0,则 C.为了了解 800名学生对学校某项教改试验的意见,用系统抽样的方法从中抽取一个 容量为 40的样本,则分组的组距为 40 D.已知回归直线的斜率的估计值为 1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程 为 =1.23x+0.08 【分析】由充分必要条件的判定方法判断 A;写出原命题的否定判断 B;求出系统抽样 的组距判断 C;求出回归直线方程判断 D. 解:取 a=2,b=﹣3,由 2>﹣3,不能得到 22>(﹣3)2, 即“a>b”是“a2>b2”成立的不充分条件,故 A错误; 命题 p:?x∈R,2x>0,则¬p:?x0∈R, ,故 B错误; 为了了解 800名学生对学校某项教改试验的意见, 用系统抽样的方法从中抽取一个容量为 40的样本,则分组的组距为 ,故 C错误; 已知回归直线的斜率的估计值为 1.23,即 b=1.23,可得 a= ﹣b ,又样本点的中心为 (4,5), ∴a=5﹣1.23×4=0.08. ∴回归直线方程为 =1.23x+0.08,故 D正确. 故选:D. 5.执行如图程序框图,则输出结果为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 【分析】模拟执行程序,依次写出每次循环得到的 T,S,n的值,当 T≤S时满足条件, 退出循环,即可写出输出 n的值. 解:模拟执行程序,可得 n=1,S=0,T=20 T=10,S=1,n=2 不满足条件 T≤S,T=5,S=3,n=3 不满足条件 T≤S,T= ,S=6,n=4 满足条件 T≤S,退出循环,输出 n的值为 4. 故选:B. 6.椭圆 =1的焦点为 F1,点 P在椭圆上,如果线段 PF1的中点M在 y轴上,那么 点M的纵坐标是( ) A.± B.± C.± D.± 【分析】设点 P 的坐标为(m,n),根据椭圆方程求得焦点坐标,进而根据线段 PF1 的中点M在 y轴上,推断 m+3=0求得 m,代入椭圆方程求得 n,进而求得M的纵坐标. 解:设点 P的坐标为(m,n),依题意可知 F1坐标为(3,0) ∴m+3=0 ∴m=﹣3,代入椭圆方程求得 n=± ∴M的纵坐标为± 故选:A. 7.若函数 y=x3+ax+1(a∈R)在区间(﹣3,﹣2)上单调递减,则 a的取值范围是( ) A.[1,+∞) B.[﹣2,0) C.(﹣∞,﹣3] D.(﹣∞,﹣27] 【分析】由 y′=3x2+a≤0 在区间(﹣3,﹣2)上恒成立,结合二次函数的性质即可求 解. 解:∵y=x3+ax+1(a∈R)在区间(﹣3,﹣2)上单调递减, ∴y′=3x2+a≤0在区间(﹣3,﹣2)上恒成立, 即 a≤﹣3x2在区间(﹣3,﹣2)上恒成立, ∵﹣3x2∈(﹣27,﹣12), ∴a≤﹣27. 故选:D. 8.已知椭圆 E: 与双曲线 C: (a>0,b>0)有相同的焦点,则双 曲线 C的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 【分析】利用已知条件求出 a,然后求解双曲线的渐近线方程即可. 解:椭圆 E的焦点为(±3,0).故 a2=32﹣5=4. 双曲线 C: , 双曲线 C的渐近线方程为 . 故选:D. 9.函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则下列结论成立的是( ) A.a>0,b<0,c>0,d>0 B.a>0,b<0,c<0,d>0 C.a<0,b<0,c<0,d>0 D.a>0,b>0,c>0,d<0 【分析】根据函数的图象和性质,利用排除法进行判断即可. 解:f(0)=d>0,排除 D, 当 x→+∞时,y→+∞,∴a>0,排除 C, 函数的导数 f′(x)=3ax2+2bx+c, 则 f′(x)=0有两个不同的正实根, 则 x1+x2=﹣ >0且 x1x2= >0,(a>0), ∴b<0,c>0, 方法 2:f′(x)=3ax2+2bx+c, 由图象知当当 x<x1时函数递增,当 x1<x<x2时函数递减,则 f′(x)对应的图象开口 向上, 则 a>0,且 x1+x2=﹣ >0且 x1x2= >0,(a>0), ∴b<0,c>0, 故选:A. 10.设拋物线 C:x2=4y 的焦点为 F,经过点 P(l,5)的直线 l与抛物线相交于 A、B两 点,且点 P恰为 AB的中点,则丨 AF|+|BF|=( ) A.12 B.8 C.4 D.10 【分析】由图,求丨 AF|+|BF|的问题,可以转化为求点 A,B两点到准线的距离和的问 题,而这两者的和转化为点 P到准线距离和的 2倍. 解:设 P到准线的距离为 d,如图,丨 AF|+|BF|=|AE|+|BD|=2d 抛物线 x2=4y,准线方程为 y=﹣1 故点 P到准线的距离是 6, 所以丨 AF|+|BF|=12 故选:A. 11.已知 F1,F2分别是双曲线 的两个焦点,过其中一个焦点与双曲 线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M,若点 M在以线段 F1F2为直 径的圆内,则双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,2) B.(2,+∞) C. D. 【分析】不妨设 F1(0,c),F2(0,﹣c),则过 F1与渐近线 平行的直线为 , 联立直线组成方程组,求出M坐标,利用点与圆的位置关系,列出不等式然后求解离心 率即可. 解:如图 1,不妨设 F1(0,c),F2(0,﹣c),则过 F1与渐近线 平行的直线为 , 联立 解得 即 因M在以线段 F1F2为直径的圆 x2+y2=c2内, 故 ,化简得 b2<3a2, 即 c2﹣a2<3a2,解得 ,又双曲线离心率 ,所以双曲线离心率的取值范围 是(1,2). 故选:A. 12.已知函数 f(x)是定义在 R上的可导函数,f′(x)为其导函数,若对于任意实数 x, 有 f(x)﹣f'(x)>0,则( ) A.ef(2019)<f(2020) B.ef(2019)>f(2020) C.ef(2019)=f(2020) D.ef(2019)与 f(2020)的大小不确定 【分析】依题意,可构造函数 g(x)= ,分析知 g(x)= 在 R上单调递减, 从而可得答案. 解:令 g(x)= ,因为对于任意实数 x,有 f(x)﹣f'(x)>0, 则 g′(x)= = <0, 故 g(x)= 在 R上单调递减, 所以, > , 即 ef(2019)>f(2020), 故选:B. 二、填空题(每小题 5分,共 20分) 13.已知 f(x)=sinx+lnx,则 f′(1)= cos1+1 . 【分析】求函数的导数,即可得到结论. 解:函数的导数为 f′(x)=cosx+ , 则 f′(1)=cos1+1, 故答案为:cos1+1 14.已知椭圆 C: + =1的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P在椭圆 C上,则|PF1|+|PF2| = 8 . 【分析】根据椭圆定义可得则|PF1|+|PF2|=2a=8. 解:可得 a2=16,a=4. 根据椭圆定义可得则|PF1|+|PF2|=2a=8. 故答案为:8.’ 15.在一个个体数目为 2003的总体中,利用系统抽样抽取一个容量为 100的样本,则总体 中每个个体被抽到的机会为 . 【分析】根据系统抽样抽取样本时每个个体被抽到的机会均等,求出答案. 解:利用系统抽样抽取样本时,每个个体被抽到的机会是均等的, 所以被抽到的概率为 P= . 故答案为: . 16.已知点 A,B为椭圆 C: +y2=1的左右顶点,点 M 为 x 轴上一点,过M作 x轴的 垂线交椭圆 C于 P,Q两点,过M作 AP的垂线交 BQ于点 N,则 = . 【分析】设 P(m,n),则 m2+4n2=4,可得直线 MN: ,直线 BQ: , 可 得 yN = = , 即 可 得 . 解:如图,设 P(m,n),则 m2+4n2=4, 则 , ∴直线MN: …① 直线 BQ: …② 由①②可得 yN= = , ∴ , , 故答案为: . 三、解答题(共 6小题,共 70分) 17.命题 p:方程 x2﹣3x+m=0有实数解,命题 q:方程 表示焦点在 x轴上的 椭圆. (1)若命题 p为真,求 m的取值范围; (2)若命题 p∧q为真,求 m的取值范围. 【分析】求出命题为真命题的等价条件,结合复合命题真假关系进行求解即可. 解:(1)若 x2﹣3x+m=0有实数解, ∴△=(﹣3)2﹣4m≥0,∴ , ∵若椭圆焦点在 x轴上,所以 ,∴ , (2)若命题 p∧q为真, 则 p,q都为真,∴ , ∴ . 18.已知双曲线 C: ﹣ =1(a>0,b>0)的离心率为 . (1)若双曲线 C的焦距长为 2 ,求双曲线 C的方程: (2)若点(3,1)为双曲线 C上一点,求双曲线 C的方程. 【分析】(1)由题意知,c=2 ,结合离心率的求法得到 a=3,所以由 c2=a2+b2求得 b= ,此题得解; (2)由离心率的求法得到 1+( )2= ;把点(3,1)代入双曲线方程得到 ﹣ =1,联立方程组,求得系数的值即可. 解:(1)由题意知,c=2 , 由 e= = = 得到 a=3. 所以 c2=a2+b2求得 b= , 故双曲线 C的方程是: ﹣ =1; (2)因为 e= = . 所以 1+( )2= ①. 把点(3,1)代入双曲线方程得到: ﹣ =1 ②. 联立①②,得 a2=12,b2=4. 故双曲线 C的方程是: ﹣ =1. 19.某城市 100户居民的月平均用电量(单位:度)以[160,180),[180,200),[200, 220),[220,240)[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图: (1)求直方图中 x的值; (2)求月平均用电量的众数和中位数; (3)在月平均用电量[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户 中,用分层抽样的方法抽取 11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取 多少户? 【分析】(1)由直方图的性质可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)×20 =1,解方程可得; (2)由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得,可得中位数在[220,240)内,设中 位数为 a,解方程(0.002+0.0095++0.011)×20+0.0125×(a﹣220)=0.5可得; (3)可得各段的用户分别为 25,15,10,5,可得抽取比例,可得要抽取的户数. 解:(1)由直方图的性质可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)×20=1, 解方程可得 x=0.0075,∴直方图中 x的值为 0.0075; (2)月平均用电量的众数是 =230, ∵(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.5, ∴月平均用电量的中位数在[220,240)内, 设中位数为 a,由(0.002+0.0095+0.011)×20+0.0125×(a﹣220)=0.5可得 a=224, ∴月平均用电量的中位数为 224; (3)月平均用电量为[220,240)的用户有 0.0125×20×100=25, 月平均用电量为[240,260)的用户有 0.0075×20×100=15, 月平均用电量为[260,280)的用户有 0.005×20×100=10, 月平均用电量为[280,300)的用户有 0.0025×20×100=5, ∴抽取比例为 = , ∴月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取 25× =5户 20.设 f(x)=ax3﹣x2﹣x, (1)当 a=1时,求 f(x)在[﹣1,2]上的最大值和最小值; (2)当 a=0时,过点 P(0,1)作函数 y=f(x)的图象的切线,求切线方程. 【分析】(1)先把 a=1代入,然后对函数求导,结合导数可判断函数的单调性,进而 可求函数的最值; (2)把 a=0代入,然后对函数求导,设出切点,然后根据导数的几何意义及直线的斜 率公式可求切点坐标及切线斜率,进而可求切线方程. 解:(1)当 a=1时,f(x)=x3﹣x2﹣x,f′(x)=3x2﹣2x﹣1=(3x+1)(x﹣1), 当﹣1 时,f′(x)>0,函数单调递增,当﹣ 时,f′(x)<0,函 数单调递减,当 1<x≤2时,f′(x)>0,函数单调递增, 因为 f(﹣1)=﹣1,f(1)=﹣1,故函数的最小值 f(1)=f(﹣1)=﹣1, f(﹣ )= ,f(2)=2, 故函数的最大值为 f(2)=2; (2)当 a=0时,f(x)=﹣x2﹣x,f′(x)=﹣2x﹣1,设切点 Q(x0,y0),则切线 斜率为﹣2x0﹣1= = , 解可得 x0=1或 x0=﹣1, 当 x0=1时,切点(1,﹣2),斜率 k=﹣3,切线方程为 y+2=﹣3(x﹣1)即 3x+y﹣1 =0, 当 x0=﹣1时,切点(﹣1,0),斜率 k=1,切线方程为 y=x+1即 x﹣y+1=0. 21.已知函数 f(x)=xlnx+ax2﹣1,且 f'(1)=﹣1. (1)求 f(x)的解析式; (2)若对于任意 x∈(0,+∞),都有 f(x)﹣mx≤﹣1,求 m的最小值. 【分析】(1)求出函数的导数,根据 f′(1)=﹣1,求出 a的值,从而求出函数的解 析式即可; (2)问题转化为对于任意 x∈(0,+∞),都有 lnx﹣x≤m.设 g(x)=lnx﹣x,根据 函数的单调性求出 g(x)的最大值,从而求出 m的最小值即可. 解:(1)对 f(x)求导,得 f'(x)=1+lnx+2ax, 所以 f'(1)=1+2a=﹣1,解得 a=﹣1, 所以 f(x)=xlnx﹣x2﹣1. (2)由 f(x)﹣mx≤﹣1,得 xlnx﹣x2﹣mx≤0, 所以对于任意 x∈(0,+∞),都有 lnx﹣x≤m. 设 g(x)=lnx﹣x,则 . 令 g'(x)=0,解得 x=1. 当 x变化时,g(x)与 g'(x)的变化情况如下表: x (0,1) 1 (1,+∞) g'(x) + 0 g(x) ↗ 极大值 ↘ 所以当 x=1时,g(x)max=g(1)=﹣1. 因为对于任意 x∈(0,+∞),都有 g(x)≤m成立, 所以 m≥﹣1.所以 m的最小值为﹣1. 22.在平面直角坐标系中,已知曲线 C上的动点 P到点 F( ,0)的距离与到直线 l:x= ﹣ 的距离相等. (1)求曲线 C的轨迹方程; (2)过点 M(1,1)分别作射线MA、MB 交曲线 C于不同的两点 A、B,且 ? =0.试 探究直线 AB是否过定点?如果是,请求出该定点;如果不是,请说明理由 【分析】(1)由抛物线的定义可知,动点 P的轨迹是以点 F( ,0)为焦点,以直线 l:x=﹣ 为直线的抛物线,即可求出曲线 C的轨迹方程; (2)显然直线 AB 的斜率不为 0,设直线 AB 的方程为:x=my+t,利用韦达定理代入 ,得(t+m﹣1)(t﹣m﹣2)=0,依 题意,直线 AB 不经过点M,所以 m+t≠1,所以 t﹣m﹣2=0,即 t=m+2,所以直线 AB 的方程为:x=my+m+2,即(x﹣2)=m(y+1),从而直线 AB过定点(2,﹣1). 解:(1)由抛物线的定义可知,动点 P的轨迹是以点 F( ,0)为焦点,以直线 l:x =﹣ 为准线的抛物线, 设抛物线方程为:y2=2px(p>0), ∴ ,∴p= , ∴抛物线方程为:y2=x, 即曲线 C的轨迹方程为:y2=x; (2)显然直线 AB的斜率不为 0,设直线 AB的方程为:x=my+t,A(x1,y1),B(x1, y1), 联立方程 ,消去 x得:y2﹣my﹣t=0, ∴△=m2+4t>0,y1+y2=m,y1y2=﹣t, ∵ ? =0, ∴(x1﹣1)(x2﹣1)+(y1﹣1)(y2﹣1)=0, ∴x1x2﹣(x1+x2)+1+y1y2﹣(y1+y2)+1=0, 又 ∵ , , ∴ , , ∴ , ∴t2﹣3t﹣m2﹣m+2=0, ∴t2﹣3t﹣(m2+m﹣2)=0, ∴(t+m﹣1)(t﹣m﹣2)=0, 依题意,直线 AB不经过点M,∴m+t≠1, ∴t﹣m﹣2=0,即 t=m+2,此时△>0恒成立, ∴直线 AB的方程为:x=my+m+2,即(x﹣2)=m(y+1), ∴直线 AB过定点(2,﹣1). 2019-2020学年高二第二学期开学数学试卷(文科) 一、选择题 1.抛物线x2=2y的焦点到准线的距离是(  ) A.2 B.1 C. D. 2.近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000t生活垃圾.经分拣以后数据统计如表(单位:t):根据样本估计本市生活垃圾投放情况,下列说法错误的是(  ) “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 A.厨余垃圾投放正确的概率为 B.居民生活垃圾投放错误的概率为 C.该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱 D.厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为20000 3.双曲线﹣y2=1过点P(2,1),则双曲线的焦点是(  ) A.(,0),(﹣,0) B.(,0),(﹣,0) C.(0,),(0,﹣) D.(0,),(0,﹣) 4.下列说法中正确的是(  ) A.“a>b”是“a2>b2”成立的充分不必要条件 B.命题p:?x∈R,2x>0,则 C.为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见,用系统抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本,则分组的组距为40 D.已知回归直线的斜率的估计值为1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程为=1.23x+0.08 5.执行如图程序框图,则输出结果为(  ) A.5 B.4 C.3 D.2 6.椭圆=1的焦点为F1,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点M在y轴上,那么点M的纵坐标是(  ) A.± B.± C.± D.± 7.若函数y=x3+ax+1(a∈R)在区间(﹣3,﹣2)上单调递减,则a的取值范围是(  ) A.[1,+∞) B.[﹣2,0) C.(﹣∞,﹣3] D.(﹣∞,﹣27] 8.已知椭圆E:与双曲线C:(a>0,b>0)有相同的焦点,则双曲线C的渐近线方程为(  ) A. B. C. D. 9.函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则下列结论成立的是(  ) A.a>0,b<0,c>0,d>0 B.a>0,b<0,c<0,d>0 C.a<0,b<0,c<0,d>0 D.a>0,b>0,c>0,d<0 10.设拋物线C:x2=4y的焦点为F,经过点P(l,5)的直线l与抛物线相交于A、B两点,且点P恰为AB的中点,则丨AF|+|BF|=(  ) A.12 B.8 C.4 D.10 11.已知F1,F2分别是双曲线的两个焦点,过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M,若点M在以线段F1F2为直径的圆内,则双曲线离心率的取值范围是(  ) A.(1,2) B.(2,+∞) C. D. 12.已知函数f(x)是定义在R上的可导函数,f′(x)为其导函数,若对于任意实数x,有f(x)﹣f'(x)>0,则(  ) A.ef(2019)<f(2020) B.ef(2019)>f(2020) C.ef(2019)=f(2020) D.ef(2019)与f(2020)的大小不确定 二、填空题 13.已知f(x)=sinx+lnx,则f′(1)=   . 14.已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在椭圆C上,则|PF1|+|PF2|=   . 15.在一个个体数目为2003的总体中,利用系统抽样抽取一个容量为100的样本,则总体中每个个体被抽到的机会为   . 16.已知点A,B为椭圆C:+y2=1的左右顶点,点M为x轴上一点,过M作x轴的垂线交椭圆C于P,Q两点,过M作AP的垂线交BQ于点N,则=   . 三、解答题(共6小题) 17.命题p:方程x2﹣3x+m=0有实数解,命题q:方程表示焦点在x轴上的椭圆. (1)若命题p为真,求m的取值范围; (2)若命题p∧q为真,求m的取值范围. 18.已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的离心率为. (1)若双曲线C的焦距长为2,求双曲线C的方程: (2)若点(3,1)为双曲线C上一点,求双曲线C的方程. 19.某城市100户居民的月平均用电量(单位:度)以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240)[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图: (1)求直方图中x的值; (2)求月平均用电量的众数和中位数; (3)在月平均用电量[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户? 20.设f(x)=ax3﹣x2﹣x, (1)当a=1时,求f(x)在[﹣1,2]上的最大值和最小值; (2)当a=0时,过点P(0,1)作函数y=f(x)的图象的切线,求切线方程. 21.已知函数f(x)=xlnx+ax2﹣1,且f'(1)=﹣1. (1)求f(x)的解析式; (2)若对于任意x∈(0,+∞),都有f(x)﹣mx≤﹣1,求m的最小值. 22.在平面直角坐标系中,已知曲线C上的动点P到点F(,0)的距离与到直线l:x=﹣的距离相等. (1)求曲线C的轨迹方程; (2)过点M(1,1)分别作射线MA、MB交曲线C于不同的两点A、B,且?=0.试探究直线AB是否过定点?如果是,请求出该定点;如果不是,请说明理由 参考答案 一、选择题(每小题5分,共60分) 1.抛物线x2=2y的焦点到准线的距离是(  ) A.2 B.1 C. D. 【分析】直接利用抛物线方程求解即可. 解:抛物线x2=2y的焦点到准线的距离为:p=1. 故选:B. 2.近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000t生活垃圾.经分拣以后数据统计如表(单位:t):根据样本估计本市生活垃圾投放情况,下列说法错误的是(  ) “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 A.厨余垃圾投放正确的概率为 B.居民生活垃圾投放错误的概率为 C.该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱 D.厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为20000 【分析】由表格可得:厨余垃圾投放正确的概率==;可回收物投放正确的概率==;其他垃圾投放正确的概率==. A.可知:厨余垃圾投放正确的概率; B.居民生活垃圾投放错误的概率=由题意可知:生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300,可得生活垃圾投放错误的概率; C.由计算该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高. D.厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的的投放量的平均数==,利用方差计算公式即可得出方差. 解:由表格可得:厨余垃圾投放正确的概率==;可回收物投放正确的概率==;其他垃圾投放正确的概率==. A.可知:厨余垃圾投放正确的概率=,正确; B.居民生活垃圾投放错误的概率=由题意可知:生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300,故生活垃圾投放错误的概率为=,正确; C.该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱,正确. D.厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的的投放量的平均数==,可得方差== ≠20000. 故选:D. 3.双曲线﹣y2=1过点P(2,1),则双曲线的焦点是(  ) A.(,0),(﹣,0) B.(,0),(﹣,0) C.(0,),(0,﹣) D.(0,),(0,﹣) 【分析】先将点的坐标代入双曲线方程求出a值,再利用双曲线的标准方程,就可求出双曲线中的a,b的值,根据双曲线中a,b,c的关系式即可求出半焦距c的值,判断焦点位置,就可得到焦点坐标. 解:∵双曲线﹣y2=1过点P(2,1), ∴, ∴a2=4,b2=1,∴c2=4+1=5,c= 又∵双曲线焦点在x轴上,∴焦点坐标为(±,0) 故选:B. 4.下列说法中正确的是(  ) A.“a>b”是“a2>b2”成立的充分不必要条件 B.命题p:?x∈R,2x>0,则 C.为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见,用系统抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本,则分组的组距为40 D.已知回归直线的斜率的估计值为1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程为=1.23x+0.08 【分析】由充分必要条件的判定方法判断A;写出原命题的否定判断B;求出系统抽样的组距判断C;求出回归直线方程判断D. 解:取a=2,b=﹣3,由2>﹣3,不能得到22>(﹣3)2, 即“a>b”是“a2>b2”成立的不充分条件,故A错误; 命题p:?x∈R,2x>0,则¬p:?x0∈R,,故B错误; 为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见, 用系统抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本,则分组的组距为,故C错误; 已知回归直线的斜率的估计值为1.23,即b=1.23,可得a=﹣b,又样本点的中心为(4,5), ∴a=5﹣1.23×4=0.08. ∴回归直线方程为=1.23x+0.08,故D正确. 故选:D. 5.执行如图程序框图,则输出结果为(  ) A.5 B.4 C.3 D.2 【分析】模拟执行程序,依次写出每次循环得到的T,S,n的值,当T≤S时满足条件,退出循环,即可写出输出n的值. 解:模拟执行程序,可得 n=1,S=0,T=20 T=10,S=1,n=2 不满足条件T≤S,T=5,S=3,n=3 不满足条件T≤S,T=,S=6,n=4 满足条件T≤S,退出循环,输出n的值为4. 故选:B. 6.椭圆=1的焦点为F1,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点M在y轴上,那么点M的纵坐标是(  ) A.± B.± C.± D.± 【分析】设点P的坐标为(m,n),根据椭圆方程求得焦点坐标,进而根据线段PF1的中点M在y轴上,推断m+3=0求得m,代入椭圆方程求得n,进而求得M的纵坐标. 解:设点P的坐标为(m,n),依题意可知F1坐标为(3,0) ∴m+3=0 ∴m=﹣3,代入椭圆方程求得n=± ∴M的纵坐标为± 故选:A. 7.若函数y=x3+ax+1(a∈R)在区间(﹣3,﹣2)上单调递减,则a的取值范围是(  ) A.[1,+∞) B.[﹣2,0) C.(﹣∞,﹣3] D.(﹣∞,﹣27] 【分析】由y′=3x2+a≤0在区间(﹣3,﹣2)上恒成立,结合二次函数的性质即可求解. 解:∵y=x3+ax+1(a∈R)在区间(﹣3,﹣2)上单调递减, ∴y′=3x2+a≤0在区间(﹣3,﹣2)上恒成立, 即a≤﹣3x2在区间(﹣3,﹣2)上恒成立, ∵﹣3x2∈(﹣27,﹣12), ∴a≤﹣27. 故选:D. 8.已知椭圆E:与双曲线C:(a>0,b>0)有相同的焦点,则双曲线C的渐近线方程为(  ) A. B. C. D. 【分析】利用已知条件求出a,然后求解双曲线的渐近线方程即可. 解:椭圆E的焦点为(±3,0).故a2=32﹣5=4. 双曲线C:, 双曲线C的渐近线方程为. 故选:D. 9.函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则下列结论成立的是(  ) A.a>0,b<0,c>0,d>0 B.a>0,b<0,c<0,d>0 C.a<0,b<0,c<0,d>0 D.a>0,b>0,c>0,d<0 【分析】根据函数的图象和性质,利用排除法进行判断即可. 解:f(0)=d>0,排除D, 当x→+∞时,y→+∞,∴a>0,排除C, 函数的导数f′(x)=3ax2+2bx+c, 则f′(x)=0有两个不同的正实根, 则x1+x2=﹣>0且x1x2=>0,(a>0), ∴b<0,c>0, 方法2:f′(x)=3ax2+2bx+c, 由图象知当当x<x1时函数递增,当x1<x<x2时函数递减,则f′(x)对应的图象开口向上, 则a>0,且x1+x2=﹣>0且x1x2=>0,(a>0), ∴b<0,c>0, 故选:A. 10.设拋物线C:x2=4y的焦点为F,经过点P(l,5)的直线l与抛物线相交于A、B两点,且点P恰为AB的中点,则丨AF|+|BF|=(  ) A.12 B.8 C.4 D.10 【分析】由图,求丨AF|+|BF|的问题,可以转化为求点A,B两点到准线的距离和的问题,而这两者的和转化为点P到准线距离和的2倍. 解:设P到准线的距离为d,如图,丨AF|+|BF|=|AE|+|BD|=2d 抛物线x2=4y,准线方程为y=﹣1 故点P到准线的距离是6, 所以丨AF|+|BF|=12 故选:A. 11.已知F1,F2分别是双曲线的两个焦点,过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M,若点M在以线段F1F2为直径的圆内,则双曲线离心率的取值范围是(  ) A.(1,2) B.(2,+∞) C. D. 【分析】不妨设F1(0,c),F2(0,﹣c),则过F1与渐近线平行的直线为,联立直线组成方程组,求出M坐标,利用点与圆的位置关系,列出不等式然后求解离心率即可. 解:如图1,不妨设F1(0,c),F2(0,﹣c),则过F1与渐近线平行的直线为, 联立解得即 因M在以线段F1F2为直径的圆x2+y2=c2内, 故,化简得b2<3a2, 即c2﹣a2<3a2,解得,又双曲线离心率,所以双曲线离心率的取值范围是(1,2). 故选:A. 12.已知函数f(x)是定义在R上的可导函数,f′(x)为其导函数,若对于任意实数x,有f(x)﹣f'(x)>0,则(  ) A.ef(2019)<f(2020) B.ef(2019)>f(2020) C.ef(2019)=f(2020) D.ef(2019)与f(2020)的大小不确定 【分析】依题意,可构造函数g(x)=,分析知g(x)=在R上单调递减,从而可得答案. 解:令g(x)=,因为对于任意实数x,有f(x)﹣f'(x)>0, 则g′(x)==<0, 故g(x)=在R上单调递减, 所以,>, 即ef(2019)>f(2020), 故选:B. 二、填空题(每小题5分,共20分) 13.已知f(x)=sinx+lnx,则f′(1)= cos1+1 . 【分析】求函数的导数,即可得到结论. 解:函数的导数为f′(x)=cosx+, 则f′(1)=cos1+1, 故答案为:cos1+1 14.已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在椭圆C上,则|PF1|+|PF2|= 8 . 【分析】根据椭圆定义可得则|PF1|+|PF2|=2a=8. 解:可得a2=16,a=4. 根据椭圆定义可得则|PF1|+|PF2|=2a=8. 故答案为:8.’ 15.在一个个体数目为2003的总体中,利用系统抽样抽取一个容量为100的样本,则总体中每个个体被抽到的机会为  . 【分析】根据系统抽样抽取样本时每个个体被抽到的机会均等,求出答案. 解:利用系统抽样抽取样本时,每个个体被抽到的机会是均等的, 所以被抽到的概率为P=. 故答案为:. 16.已知点A,B为椭圆C:+y2=1的左右顶点,点M为x轴上一点,过M作x轴的垂线交椭圆C于P,Q两点,过M作AP的垂线交BQ于点N,则=  . 【分析】设P(m,n),则m2+4n2=4,可得直线MN:,直线BQ:,可得yN==,即可得. 解:如图,设P(m,n),则m2+4n2=4, 则, ∴直线MN:…① 直线BQ:…② 由①②可得yN==, ∴, , 故答案为:. 三、解答题(共6小题,共70分) 17.命题p:方程x2﹣3x+m=0有实数解,命题q:方程表示焦点在x轴上的椭圆. (1)若命题p为真,求m的取值范围; (2)若命题p∧q为真,求m的取值范围. 【分析】求出命题为真命题的等价条件,结合复合命题真假关系进行求解即可. 解:(1)若x2﹣3x+m=0有实数解, ∴△=(﹣3)2﹣4m≥0,∴, ∵若椭圆焦点在x轴上,所以,∴, (2)若命题p∧q为真, 则p,q都为真,∴, ∴. 18.已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的离心率为. (1)若双曲线C的焦距长为2,求双曲线C的方程: (2)若点(3,1)为双曲线C上一点,求双曲线C的方程. 【分析】(1)由题意知,c=2,结合离心率的求法得到a=3,所以由c2=a2+b2求得b=,此题得解; (2)由离心率的求法得到1+()2=;把点(3,1)代入双曲线方程得到﹣=1,联立方程组,求得系数的值即可. 解:(1)由题意知,c=2, 由e===得到a=3. 所以c2=a2+b2求得b=, 故双曲线C的方程是:﹣=1; (2)因为e==. 所以1+()2=①. 把点(3,1)代入双曲线方程得到:﹣=1 ②. 联立①②,得a2=12,b2=4. 故双曲线C的方程是:﹣=1. 19.某城市100户居民的月平均用电量(单位:度)以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240)[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图: (1)求直方图中x的值; (2)求月平均用电量的众数和中位数; (3)在月平均用电量[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户? 【分析】(1)由直方图的性质可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)×20=1,解方程可得; (2)由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得,可得中位数在[220,240)内,设中位数为a,解方程(0.002+0.0095++0.011)×20+0.0125×(a﹣220)=0.5可得; (3)可得各段的用户分别为25,15,10,5,可得抽取比例,可得要抽取的户数. 解:(1)由直方图的性质可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)×20=1, 解方程可得x=0.0075,∴直方图中x的值为0.0075; (2)月平均用电量的众数是=230, ∵(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.5, ∴月平均用电量的中位数在[220,240)内, 设中位数为a,由(0.002+0.0095+0.011)×20+0.0125×(a﹣220)=0.5可得a=224, ∴月平均用电量的中位数为224; (3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.0125×20×100=25, 月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×100=15, 月平均用电量为[260,280)的用户有0.005×20×100=10, 月平均用电量为[280,300)的用户有0.0025×20×100=5, ∴抽取比例为=, ∴月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×=5户 20.设f(x)=ax3﹣x2﹣x, (1)当a=1时,求f(x)在[﹣1,2]上的最大值和最小值; (2)当a=0时,过点P(0,1)作函数y=f(x)的图象的切线,求切线方程. 【分析】(1)先把a=1代入,然后对函数求导,结合导数可判断函数的单调性,进而可求函数的最值; (2)把a=0代入,然后对函数求导,设出切点,然后根据导数的几何意义及直线的斜率公式可求切点坐标及切线斜率,进而可求切线方程. 解:(1)当a=1时,f(x)=x3﹣x2﹣x,f′(x)=3x2﹣2x﹣1=(3x+1)(x﹣1), 当﹣1时,f′(x)>0,函数单调递增,当﹣时,f′(x)<0,函数单调递减,当1<x≤2时,f′(x)>0,函数单调递增, 因为f(﹣1)=﹣1,f(1)=﹣1,故函数的最小值f(1)=f(﹣1)=﹣1, f(﹣)=,f(2)=2, 故函数的最大值为f(2)=2; (2)当a=0时,f(x)=﹣x2﹣x,f′(x)=﹣2x﹣1,设切点Q(x0,y0),则切线斜率为﹣2x0﹣1==, 解可得x0=1或x0=﹣1, 当x0=1时,切点(1,﹣2),斜率k=﹣3,切线方程为y+2=﹣3(x﹣1)即3x+y﹣1=0, 当x0=﹣1时,切点(﹣1,0),斜率k=1,切线方程为y=x+1即x﹣y+1=0. 21.已知函数f(x)=xlnx+ax2﹣1,且f'(1)=﹣1. (1)求f(x)的解析式; (2)若对于任意x∈(0,+∞),都有f(x)﹣mx≤﹣1,求m的最小值. 【分析】(1)求出函数的导数,根据f′(1)=﹣1,求出a的值,从而求出函数的解析式即可; (2)问题转化为对于任意x∈(0,+∞),都有lnx﹣x≤m.设g(x)=lnx﹣x,根据函数的单调性求出g(x)的最大值,从而求出m的最小值即可. 解:(1)对f(x)求导,得f'(x)=1+lnx+2ax, 所以f'(1)=1+2a=﹣1,解得a=﹣1, 所以f(x)=xlnx﹣x2﹣1. (2)由f(x)﹣mx≤﹣1,得xlnx﹣x2﹣mx≤0, 所以对于任意x∈(0,+∞),都有lnx﹣x≤m. 设g(x)=lnx﹣x,则. 令g'(x)=0,解得x=1. 当x变化时,g(x)与g'(x)的变化情况如下表: x (0,1) 1 (1,+∞) g'(x) + 0 g(x) ↗ 极大值 ↘ 所以当x=1时,g(x)max=g(1)=﹣1. 因为对于任意x∈(0,+∞),都有g(x)≤m成立, 所以m≥﹣1.所以m的最小值为﹣1. 22.在平面直角坐标系中,已知曲线C上的动点P到点F(,0)的距离与到直线l:x=﹣的距离相等. (1)求曲线C的轨迹方程; (2)过点M(1,1)分别作射线MA、MB交曲线C于不同的两点A、B,且?=0.试探究直线AB是否过定点?如果是,请求出该定点;如果不是,请说明理由 【分析】(1)由抛物线的定义可知,动点P的轨迹是以点F(,0)为焦点,以直线l:x=﹣为直线的抛物线,即可求出曲线C的轨迹方程; (2)显然直线AB的斜率不为0,设直线AB的方程为:x=my+t,利用韦达定理代入,得(t+m﹣1)(t﹣m﹣2)=0,依题意,直线AB不经过点M,所以m+t≠1,所以t﹣m﹣2=0,即t=m+2,所以直线AB的方程为:x=my+m+2,即(x﹣2)=m(y+1),从而直线AB过定点(2,﹣1). 解:(1)由抛物线的定义可知,动点P的轨迹是以点F(,0)为焦点,以直线l:x=﹣为准线的抛物线, 设抛物线方程为:y2=2px(p>0), ∴,∴p=, ∴抛物线方程为:y2=x, 即曲线C的轨迹方程为:y2=x; (2)显然直线AB的斜率不为0,设直线AB的方程为:x=my+t,A(x1,y1),B(x1,y1), 联立方程,消去x得:y2﹣my﹣t=0, ∴△=m2+4t>0,y1+y2=m,y1y2=﹣t, ∵?=0, ∴(x1﹣1)(x2﹣1)+(y1﹣1)(y2﹣1)=0, ∴x1x2﹣(x1+x2)+1+y1y2﹣(y1+y2)+1=0, 又∵,,∴,, ∴, ∴t2﹣3t﹣m2﹣m+2=0, ∴t2﹣3t﹣(m2+m﹣2)=0, ∴(t+m﹣1)(t﹣m﹣2)=0, 依题意,直线AB不经过点M,∴m+t≠1, ∴t﹣m﹣2=0,即t=m+2,此时△>0恒成立, ∴直线AB的方程为:x=my+m+2,即(x﹣2)=m(y+1), ∴直线AB过定点(2,﹣1).

    • 2020-04-05
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  • ID:3-7131399 2019-2020学年人教A版湖南省长沙市雅礼中学高二第二学期入学数学试卷 Word+PDF含解析

    高中数学/月考专区/高二下学期

    2019-2020学年高二第二学期入学数学试卷 一、选择题 1.已知复数 z= (i为虚数单位),则复数 z在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字 母,第二位是 1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率 是( ) A. B. C. D. 3.若函数 y=x3﹣2ax+a在(0,1)内有极小值,没有极大值,则实数 a的取值范围是( ) A.(0,3) B.(﹣∞,3) C.(0,+∞) D.(0, ) 4.已知 p:x2﹣x<0,那么命题 p的一个必要不充分条件是( ) A.0<x<1 B.﹣1<x<1 C. <x< D. <x<2 5.在由数字 0,1,2,3,4,5 所组成的没有重复数字的四位数中,能被 5 整除的个数有 ( ) A.512 B.192 C.240 D.108 6.已知函数 f(x)=x2+2cosx,f'(x)是 f(x)的导函数,则函数 y=f'(x)的图象大致 为( ) A. B. C. D. 7.已知双曲线M的焦点 F1,F2在 x轴上,直线 是双曲线M的一条渐近线,点 P在双曲线M上,且 ,如果抛物线 y2=16x的准线经过双曲线M的一个焦 点,那么 =( ) A.21 B.14 C.7 D.0 8.有六名同学参加演讲比赛,编号分别为 1,2,3,4,5,6,比赛结果设特等奖一名,A, B,C,D四名同学对于谁获得特等奖进行预测.A说:不是 1号就是 2号获得特等奖; B说:3 号不可能获得特等奖;C说:4,5,6 号不可能获得特等奖; D说;能获得特 等奖的是 4,5,6号中的一个.公布的比赛结果表明,A,B,C,D中只有一个判断正 确.根据以上信息,获得特等奖的是( )号同学. A.1 B.2 C.3 D.4,5,6号中的一个 9.△ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c.若△ABC的面积为 ,则 C =( ) A. B. C. D. 10.设 f(x)、g(x)分别是定义在 R上的奇函数和偶函数,当 x<0时,f′(x)g(x) +f(x)g′(x)>0,且 g(﹣3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0的解集是( ) A.(﹣3,0)∪(3,+∞) B.(﹣3,0)∪(0,3) C.(﹣∞,﹣3)∪(3,+∞) D.(﹣∞,﹣3)∪(0,3) 11.某公司生产某种产品,固定成本为 20000 元,每生产一单位产品,成本增加 100 元, 已知总营业收入 R 与年产量 x 的关系是 R=R(x)= ,则 总利润最大时,年产量是( ) A.100 B.150 C.200 D.300 12.已知椭圆 T: + =1(a>b>0)的离心率为 ,过右焦点 F且斜率为 k(k>0) 的直线与 T相交于 A,B两点,若 =3 ,则 k=( ) A.1 B. C. D.2 二、填空题 13.双曲线 x2﹣y2=1的离心率为 . 14.如图,平面 PAD⊥平面 ABCD,四边形 ABCD为正方形,∠PAD=90°,且 PA=AD =2,E,F分别是线段 PA,CD的中点,则异面直线 EF与 BD所成角的余弦值为 . 15.有甲、乙、丙、丁、戊 5名同学站成一排,要求甲、乙必须相邻,丙、丁不能相邻, 有 种不同的站法. 16.已知函数 f(x)=x2﹣2x+a(ex﹣1+e﹣x+1)有唯一零点,则 a= . 三、解答题:共 6小题,共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知在等比数列{an}中,a1=1,且 a2是 a1和 a3﹣1的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 bn=2n﹣1+an(n∈N*),求{bn}的前 n项和 Sn. 18.已知函数 f(x)=sin2x﹣cos2x﹣2 sinx cosx(x∈R). (Ⅰ)求 f( )的值. (Ⅱ)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间. 19.《中华人民共和国道路交通安全法》第 47条的相关规定:机动车行经人行道时,应当 减速慢行;遇行人正在通过人行道,应当停车让行,俗称“礼让斑马线”,《中华人民 共和国道路交通安全法》第 90条规定:对不礼让行人的驾驶员处以扣 3 分,罚款 50元 的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的 5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为 统计数据: 月份 1 2 3 4 5 违章驾驶员人 数 120 105 100 90 85 (1)请利用所给数据求违章人数 y 与月份 x之间的回归直线方程 ,并预测该路 口 9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数; (2)若从表中 1 月份和 4 月份的违章驾驶员中,采用分层抽样方法抽取一个容量为 7 的样本,再从这 7人中任选 2人进行交规调查,求抽到的两人恰好来自同一月份的概率. 参考公式: , . 20.在边长为 4的菱形 ABCD中,∠DAB=60°,点 E,F分别是边 CD,CB的中点,AC ∩EF=O,沿 EF将△CEF 翻折到△PEF,连接 PA,PB,PD,得到如图的五棱锥,且 . (1)求证:BD⊥平面 POA; (2)求二面角 B﹣AP﹣O的余弦值. 21.如图所示,在直角坐标系 xOy中,点 P(1, )到抛物线 C:y2=2px(p>0)的准线 的距离为 .点M(t,1)是 C上的定点,A,B是 C上的两动点,且线段 AB的中点 Q (m,n)在直线 OM上. (1)求曲线 C的方程及点M的坐标; (2)记 d(m)= ,求弦长 AB(用 m表示);并求 d的最大值. 22.已知函数 f(x)=(2﹣a)(x﹣1)﹣2lnx,g(x)=xe1﹣x(a∈R,e为自然对数的底 数). (Ⅰ)若不等式 f(x)>0对于一切 恒成立,求 a的最小值; (Ⅱ)若对任意的 x0∈(0,e],在(0,e]上总存在两个不同的 xi(i=1,2),使 f(xi) =g(x0) 成立,求 a的取值范围. 参考答案 一、选择题:共 12个小题,每小题 5 分,共 60分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知复数 z= (i为虚数单位),则复数 z在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,求出 z的坐标得答案. 解:∵i4=1, ∴复数 z= = , ∴复数 z在复平面内对应的点的坐标为( ,﹣ ),位于第四象限. 故选:D. 2.小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字 母,第二位是 1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率 是( ) A. B. C. D. 【分析】列举出从M,I,N中任取一个字母,再从 1,2,3,4,5中任取一个数字的基 本事件数,然后由随机事件发生的概率得答案. 解:从M,I,N中任取一个字母,再从 1,2,3,4,5中任取一个数字,取法总数为: (M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I, 3),(I,4),(I,5),(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5)共 15种. 其中只有一个是小敏的密码前两位. 由随机事件发生的概率可得,小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 . 故选:C. 3.若函数 y=x3﹣2ax+a在(0,1)内有极小值,没有极大值,则实数 a的取值范围是( ) A.(0,3) B.(﹣∞,3) C.(0,+∞) D.(0, ) 【分析】由函数 y=x3﹣2ax+a在(0,1)内有极小值,求导可得,导函数在(0,1)内 至少有一个实数根,分 a>0、a=0、a<0三种情况,求得实数 a的取值范围. 解:对于函数 y=x3﹣2ax+a,求导可得 y′=3x2﹣2a, ∵函数 y=x3﹣2ax+a在(0,1)内有极小值, ∴y′=3x2﹣2a=0,则其有一根在(0,1)内,a>0时,3x2﹣2a=0两根为± , 若有一根在(0,1)内,则 0< <1,即 0<a< ; a=0时,3x2﹣3a=0两根相等,均为 0,f(x)在(0,1)内无极小值. a<0时,3x2﹣3a=0无根,f(x)在(0,1)内无极小值, 综合可得,0<a< , 故选:D. 4.已知 p:x2﹣x<0,那么命题 p的一个必要不充分条件是( ) A.0<x<1 B.﹣1<x<1 C. <x< D. <x<2 【分析】由 p:x2﹣x<0?0<x<1?﹣1<x<1,﹣1<x<1推不出 x2﹣x<0,知 p:x2 ﹣x<0,那么命题 p的一个必要不充分条件﹣1<x<1. 解:∵p:x2﹣x<0?0<x<1?﹣1<x<1, ﹣1<x<1推不出 x2﹣x<0, ∴p:x2﹣x<0,那么命题 p的一个必要不充分条件﹣1<x<1, 故选:B. 5.在由数字 0,1,2,3,4,5 所组成的没有重复数字的四位数中,能被 5 整除的个数有 ( ) A.512 B.192 C.240 D.108 【分析】能被 5整除的四位数末位是 0或 5的数,因此分两类,根据分类计数原理计算 可得 解:能被 5整除的四位数末位是 0或 5的数,因此分两类 第一类,末位为 0时,其它三位从剩下的数中任意排 3个即可,有 =60个, 第二类,米位为 5时,首位不能排 0,则首位只能从 1,3,4,5选 1个,第二位和第三 位从剩下的任选 2个即可,有 =48个, 根据分类计数原理得可以组成 60+48=108个不同的能被 5整除的四位数. 故选:D. 6.已知函数 f(x)=x2+2cosx,f'(x)是 f(x)的导函数,则函数 y=f'(x)的图象大致 为( ) A. B. C. D. 【分析】根据导数公式求出函数的导数,结合函数的奇偶性和单调性的性质判断对称性 和单调性,结合排除法进行判断即可. 解:函数的导数 f′(x)=2x﹣2sinx, 则 f′(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除 A,B, 设 g(x)=f′(x)=2x﹣2sinx,则 g′(x)=2﹣2cosx≥0,即 g(x)为增函数,排 除 D 故选:C. 7.已知双曲线M的焦点 F1,F2在 x轴上,直线 是双曲线M的一条渐近线,点 P在双曲线M上,且 ,如果抛物线 y2=16x的准线经过双曲线M的一个焦 点,那么 =( ) A.21 B.14 C.7 D.0 【分析】求得抛物线的焦点,可得 c=4,即 a2+b2=16,由渐近线方程可得 = ,解 得 a,b,运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理,化简整理,即可得到所求值. 解:抛物线 y2=16x的准线为 x=﹣4, 由题意可得双曲线M的一个焦点为(﹣4,0), 设双曲线的方程为 ﹣ =1(a,b>0), 可得 c=4,即 a2+b2=16, 直线 是双曲线M的一条渐近线, 可得 = , 解得 a=3,b= , 可设 P为右支上一点,由双曲线的定义可得 |PF1|﹣|PF2|=2a=6,① 由勾股定理可得,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=64,② ②﹣①2,可得|PF1|?|PF2|=14. 故选:B. 8.有六名同学参加演讲比赛,编号分别为 1,2,3,4,5,6,比赛结果设特等奖一名,A, B,C,D四名同学对于谁获得特等奖进行预测.A说:不是 1号就是 2号获得特等奖; B说:3 号不可能获得特等奖;C说:4,5,6 号不可能获得特等奖; D说;能获得特 等奖的是 4,5,6号中的一个.公布的比赛结果表明,A,B,C,D中只有一个判断正 确.根据以上信息,获得特等奖的是( )号同学. A.1 B.2 C.3 D.4,5,6号中的一个 【分析】因为只有一人猜对,而 C与 D互相否定,故 C、D中一人猜对,再分类讨论, 即可得出结论 解:根据以上信息,获得特等奖的是 3号同学. 因为只有一人猜对,而 C与 D互相否定,故 C、D中一人猜对. 假设 D对,则推出 B 也对,与题设矛盾,故 D 猜错,所以猜对者一定是 C;于是 B一 定猜错, 故获奖者是 3号选手(此时 A错). 故选:C. 9.△ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c.若△ABC的面积为 ,则 C =( ) A. B. C. D. 【分析】推导出 S△ABC= = ,从而 sinC= =cosC,由 此能求出结果. 解:∵△ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c. △ABC的面积为 , ∴S△ABC= = , ∴sinC= =cosC, ∵0<C<π,∴C= . 故选:C. 10.设 f(x)、g(x)分别是定义在 R上的奇函数和偶函数,当 x<0时,f′(x)g(x) +f(x)g′(x)>0,且 g(﹣3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0的解集是( ) A.(﹣3,0)∪(3,+∞) B.(﹣3,0)∪(0,3) C.(﹣∞,﹣3)∪(3,+∞) D.(﹣∞,﹣3)∪(0,3) 【分析】先根据 f’(x)g(x)+f(x)g’(x)>0可确定[f(x)g(x)]'>0,进而可 得到 f(x)g(x)在 x<0 时递增,结合函数 f(x)与 g(x)的奇偶性可确定 f(x)g (x)在 x>0时也是增函数,最后根据 g(﹣3)=0可求得答案. 解:设 F(x)=f (x)g(x),当 x<0时, ∵F′(x)=f′(x)g(x)+f (x)g′(x)>0. ∴F(x)在当 x<0时为增函数. ∵F(﹣x)=f (﹣x)g (﹣x)=﹣f (x)?g (x)=﹣F(x). 故 F(x)为(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数. ∴F(x)在(0,+∞)上亦为增函数. 已知 g(﹣3)=0,必有 F(﹣3)=F(3)=0. 构造如图的 F(x)的图象,可知 F(x)<0的解集为 x∈(﹣∞,﹣3)∪(0,3). 故选:D. 11.某公司生产某种产品,固定成本为 20000 元,每生产一单位产品,成本增加 100 元, 已知总营业收入 R 与年产量 x 的关系是 R=R(x)= ,则 总利润最大时,年产量是( ) A.100 B.150 C.200 D.300 【分析】由题意得总成本函数为 C(x)=20000+100x,则总利润 P(x)=R(x)﹣C (x)= ,分段求函数 P(x)的最大值,再比较即可 求解. 解:由题意得,总成本函数为 C(x)=20000+100x, 总利润 P(x)=R(x)﹣C(x)= , 当 0≤x≤400时,P(x)= ,当 x=﹣ =300时,P(x) 的值最大,最大值为 25000, 当 x>400时,P(x)=﹣100x+60000,∴P(x)<P(400)=20000, 综上所述,当 x=300时,总利润最大, 故选:D. 12.已知椭圆 T: + =1(a>b>0)的离心率为 ,过右焦点 F且斜率为 k(k>0) 的直线与 T相交于 A,B两点,若 =3 ,则 k=( ) A.1 B. C. D.2 【分析】设 A(x1,y1),B(x2,y2),根据 求得 y1和 y2关系根据离心率设 ,b=t,代入椭圆方程与直线方程联立,消去 x,根据韦达定理表示出 y1+y2 和 y1y2,进而根据 y1和 y2关系求得 k. 解:A(x1,y1),B(x2,y2), ∵ ,∴y1=﹣3y2, ∵ ,设 ,b=t, ∴x2+4y2﹣4t2=0①, 设直线 AB方程为 ,代入①中消去 x,可得 , ∴ , , 解得 , 故选:B. 二、填空题:共 4小题,每小题 5分,共 20分,把答案填在对应题号后的横线上. 13.双曲线 x2﹣y2=1的离心率为 . 【分析】根据题意,由双曲线的方程分析可得 a=1,b=1,结合双曲线的几何性质可得 c的值,进而由离心率计算公式计算可得答案. 解:根据题意,双曲线的方程为 x2﹣y2=1,变形可得 ﹣ =1, 则 a=1,b=1, 则有 c= = , 则其离心率 e= = , 故答案为: . 14.如图,平面 PAD⊥平面 ABCD,四边形 ABCD为正方形,∠PAD=90°,且 PA=AD =2,E,F分别是线段 PA,CD的中点,则异面直线 EF与 BD所成角的余弦值为 . 【分析】根据题意,取 BC的中点M,连接 EM、FM,则 FM∥BD,分析可得则∠EFM (或其补角)就是异面直线 EF与 BD所成的角;进而可得 EM、EF的值,在△MFE中, 有余弦定理可得 cos∠EFM的值,即可得答案. 解:如图:取 BC的中点M,连接 EM、FM,则 FM∥BD, 则∠EFM(或其补角)就是异面直线 EF与 BD所成的角; ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,ABCD为正方形,∠PAD=90°,且 PA=AD=2, ∴EM= = = , 同理 EF= ; 在△MFE中,cos∠EFM= = ; 即异面直线 EF与 BD所成角的余弦值为 ; 故答案为: . 15.有甲、乙、丙、丁、戊 5名同学站成一排,要求甲、乙必须相邻,丙、丁不能相邻, 有 24 种不同的站法. 【分析】5 名同学站成一排,要求甲、乙必须相邻,丙、丁不能相邻,利用捆绑法、插 空法即可得出. 解:5名同学站成一排,要求甲、乙必须相邻,丙、丁不能相邻,故有 =24(种) 不同的方法. 故答案为:24. 16.已知函数 f(x)=x2﹣2x+a(ex﹣1+e﹣x+1)有唯一零点,则 a= . 【分析】通过转化可知问题等价于函数 y=1﹣(x﹣1)2的图象与 y=a(ex﹣1+e﹣x+1)的 图象只有一个交点求 a的值.分 a=0、a<0、a>0三种情况,结合函数的单调性分析可 得结论. 解:因为 f(x)=x2﹣2x+a(ex﹣1+e﹣x+1)=﹣1+(x﹣1)2+a(ex﹣1+e﹣x+1)=0, 所以函数 f(x)有唯一零点等价于方程 1﹣(x﹣1)2=a(ex﹣1+e﹣x+1)有唯一解, 等价于函数 y=1﹣(x﹣1)2的图象与 y=a(ex﹣1+e﹣x+1)的图象只有一个交点. ①当 a=0时,f(x)=x2﹣2x≥﹣1,此时有两个零点,矛盾; ②当 a<0时,由于 y=1﹣(x﹣1)2在(﹣∞,1)上递增、在(1,+∞)上递减, 且 y=a(ex﹣1+e﹣x+1)在(﹣∞,1)上递增、在(1,+∞)上递减, 所以函数 y=1﹣(x﹣1)2的图象的最高点为 A(1,1),y=a(ex﹣1+e﹣x+1)的图象的 最高点为 B(1,2a), 由于 2a<0<1,此时函数 y=1﹣(x﹣1)2的图象与 y=a(ex﹣1+e﹣x+1)的图象有两个交 点,矛盾; ③当 a>0时,由于 y=1﹣(x﹣1)2在(﹣∞,1)上递增、在(1,+∞)上递减, 且 y=a(ex﹣1+e﹣x+1)在(﹣∞,1)上递减、在(1,+∞)上递增, 所以函数 y=1﹣(x﹣1)2的图象的最高点为 A(1,1),y=a(ex﹣1+e﹣x+1)的图象的 最低点为 B(1,2a), 由题可知点 A与点 B重合时满足条件,即 2a=1,即 a= ,符合条件; 综上所述,a= , 故答案为: . 三、解答题:共 6小题,共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知在等比数列{an}中,a1=1,且 a2是 a1和 a3﹣1的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 bn=2n﹣1+an(n∈N*),求{bn}的前 n项和 Sn. 【分析】(1)设公比为 q,由 a1=1,则 a2=q,a3=q2.再利用等差数列的性质即可得 出; (2)bn=2n﹣1+an=2n﹣1+2n﹣1.利用等差数列与等比数列的前 n项和公式即可得出. 解:(1)设公比为 q,∵a1=1,则 a2=q,a3=q2. ∵a2是 a1和 a3﹣1的等差中项. ∴2a2=a1+a3﹣1, ∴2q=1+q2﹣1, ∵q≠0,解得 q=2. ∴an=2n﹣1. (2)∵bn=2n﹣1+an=2n﹣1+2n﹣1. ∴{bn}的前 n项和 Sn=[1+3+…+(2n﹣1)]+[1+2+22+…+2n﹣1] = + =n2+2n﹣1. 18.已知函数 f(x)=sin2x﹣cos2x﹣2 sinx cosx(x∈R). (Ⅰ)求 f( )的值. (Ⅱ)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间. 【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式, (Ⅰ)代入可得:f( )的值. (Ⅱ)根据正弦型函数的图象和性质,可得 f(x)的最小正周期及单调递增区间 解:∵函数 f(x)=sin2x﹣cos2x﹣2 sinx cosx=﹣ sin2x﹣cos2x=2sin(2x+ ) (Ⅰ)f( )=2sin(2× + )=2sin =2, (Ⅱ)∵ω=2,故 T=π, 即 f(x)的最小正周期为π, 由 2x+ ∈[﹣ +2kπ, +2kπ],k∈Z得: x∈[﹣ +kπ,﹣ +kπ],k∈Z, 故 f(x)的单调递增区间为[﹣ +kπ,﹣ +kπ]或写成[kπ+ ,kπ+ ],k∈Z. 19.《中华人民共和国道路交通安全法》第 47条的相关规定:机动车行经人行道时,应当 减速慢行;遇行人正在通过人行道,应当停车让行,俗称“礼让斑马线”,《中华人民 共和国道路交通安全法》第 90条规定:对不礼让行人的驾驶员处以扣 3 分,罚款 50元 的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的 5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为 统计数据: 月份 1 2 3 4 5 违章驾驶员人 数 120 105 100 90 85 (1)请利用所给数据求违章人数 y 与月份 x之间的回归直线方程 ,并预测该路 口 9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数; (2)若从表中 1 月份和 4 月份的违章驾驶员中,采用分层抽样方法抽取一个容量为 7 的样本,再从这 7人中任选 2人进行交规调查,求抽到的两人恰好来自同一月份的概率. 参考公式: , . 【分析】(1)由表中数据求出回归直线方程为 .令 x=9,能预测该路 口 9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数. (2)由已知可得:1月份应抽取 4位驾驶员,设其编号分别为 a1,a2,a3,a4,4月份应 抽取 3位驾驶员,设其编号分别为 b1,b2,b3,从这 7 人中任选 2 人,利用列举法能求 出抽到的两人恰好来自同一月份的概率. 解:(1)由表中数据知, , ∴ , ∴所求回归直线方程为 . 令 x=9,则 人. (2)由已知可得:1月份应抽取 4位驾驶员,设其编号分别为 a1,a2,a3,a4, 4月份应抽取 3位驾驶员,设其编号分别为 b1,b2,b3, 从这 7人中任选 2人包含 21个基本事件,分别为: (a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b1),(a1,b2),(a2,b3),(a2,b4), (a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,b1),(a1,b3),(a2,b3),(a3,b3), (a4,b3),(b1,b3),(b2,b3),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(b1,b2), 设“其中两个恰好来自同一月份”为事件 A,则事件 A包含的基本事件有 9个,分别是: (a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a2,a3),(a2,a4),(a3,a4),(b1,b2), (b1,b3),(b2,b3), ∴抽到的两人恰好来自同一月份的概率 . 20.在边长为 4的菱形 ABCD中,∠DAB=60°,点 E,F分别是边 CD,CB的中点,AC ∩EF=O,沿 EF将△CEF 翻折到△PEF,连接 PA,PB,PD,得到如图的五棱锥,且 . (1)求证:BD⊥平面 POA; (2)求二面角 B﹣AP﹣O的余弦值. 【分析】(1)推导出 BD∥EF,BD⊥AC,EF⊥AC,从而 EF⊥AO,EF⊥PO,由此能 证明 BD⊥平面 POA. (2)设 AO∩BD=H,连接 BO,以 O为原点,OF所在直线为 x轴,AO所在直线 y 轴, OP所在直线为 z轴,建立空间直角坐标系 O﹣xyz,利用向量法能求出二面角 B﹣AP﹣ O的余弦值. 【解答】证明:(1)∵点 E,F分别为 CD,CB的中点,∴BD∥EF, ∵菱形 ABCD的对角线互相垂直, ∴BD⊥AC,∴EF⊥AC,∴EF⊥AO,EF⊥PO, ∵AO?平面 POA,PO?平面 POA,AO∩PO=O, ∴EF⊥平面 POA,∴BD⊥平面 POA. 解:(2)设 AO∩BD=H,连接 BO,∵∠DAB=60°,∴△ABD为等边三角形, ∴ , 在 Rt△BHO中, , 在△PBO中,BO2+PO2=10=PB2,∴PO⊥BO, ∵PO⊥EF,EF∩BO=O,EF?平面 BFED,∴PO⊥平面 BFED, 以 O为原点,OF所在直线为 x轴,AO所在直线 y轴,OP所在直线为 z轴,建立空间 直角坐标系 O﹣xyz, 则 . ∴ , 设平面 PAB的法向量为 =(x,y,z), 则 ,取 y=1,得 =(﹣ ), ∵BD⊥平面 POA,AO∩BD=H,∴平面 PAO的一个法向量为 =(﹣2,0,0), 设二面角 B﹣AP﹣O的平面角为θ, 则 cosθ= = = , ∴二面角 B﹣AP﹣O的余弦值为 . 21.如图所示,在直角坐标系 xOy中,点 P(1, )到抛物线 C:y2=2px(p>0)的准线 的距离为 .点M(t,1)是 C上的定点,A,B是 C上的两动点,且线段 AB的中点 Q (m,n)在直线 OM上. (1)求曲线 C的方程及点M的坐标; (2)记 d(m)= ,求弦长 AB(用 m表示);并求 d的最大值. 【分析】(1)由 1﹣(﹣ )= ,得 p= ,即可得抛物线 C的方程. 由点M(t,1)在曲线 C上,求得 t即可. (2)由(1)知点 Q(m,m),设直线 AB的斜率为 k(k≠0),且 A(x1,y1),B(x2, y2)., 由 ,得(y1﹣y2)(y1+y2)=x1﹣x2., 故 k?2m=1,即可得直线 AB 的方程为 y﹣m= ,联立方程利用现场公示即可 求解. 解:(1)∵y2=2px(p>0)的准线为 x=﹣ , ∴1﹣(﹣ )= ,∴p= , ∴抛物线 C的方程为 y2=x. 又点M(t,1)在曲线 C上,∴t=1. 故M(1,1). (2)由(1)知,点M(1,1), 从而 m=n,即点 Q(n,m), 依题意,直线 AB的斜率存在,且不为 0, 设直线 AB的斜率为 k(k≠0),且 A(x1,y1),B(x2,y2)., 由 ,得(y1﹣y2)(y1+y2)=x1﹣x2., 故 k?2m=1, 所以直线 AB的方程为 y﹣m= , 即 x﹣2my+2m2﹣m=0. 由 ,消去 x, 整理得 y2﹣2my+2m2﹣m=0, 所以△=4m﹣4m2, . 从而 AB= = =2 . ∴d= =2 ≤m+1﹣m=1, 当且仅当 m=1﹣m,即 m= 时,上式等号成立, 又 m= 满足△=4m﹣4m2>0.∴d的最大值为 1. 22.已知函数 f(x)=(2﹣a)(x﹣1)﹣2lnx,g(x)=xe1﹣x(a∈R,e为自然对数的底 数). (Ⅰ)若不等式 f(x)>0对于一切 恒成立,求 a的最小值; (Ⅱ)若对任意的 x0∈(0,e],在(0,e]上总存在两个不同的 xi(i=1,2),使 f(xi) =g(x0) 成立,求 a的取值范围. 【分析】(Ⅰ)不等式 f(x)>0对于一切 恒成立,分离参数后即 在 内恒成立,构造函数 h(x)=2﹣ (x ),则问题转化为 a >h(x)max,利用导数即可求得函数 h(x)的最大值; (Ⅱ)求出 g′(x),根据导函数的正负得到函数的单调区间,即可求出 g(x)的值域, 而当 a等于 2时不合题意,当 a不等于 2 时,求出 f′(x)=0时 x的值,根据 x属于(0,e]列出关于 a的不等式得到①,并根 据此时的 x的值讨论导函数的正负得到函数 f(x)的单调区间,根据单调区间得到②和 ③,令②中不等式的坐标为一个函数,求出此函数的导函数,讨论导函数的正负得到函 数的单调区间,根据函数的增减性得到此函数的最大值,即可解出②恒成立和解出③得 到④,联立①和④即可解出满足题意 a的取值范围. 解:(Ⅰ)由题意得(2﹣a)(x﹣1)﹣2lnx>0在 内恒成立,即 在 内恒成立, 设 ,则 , 设 ,则 , ∴φ(x)在 内是减函数,∴ , ∴h'(x)>0,h(x)在 内为增函数, 则 ,∴a≥2﹣4ln2, 故 a的最小值为 2﹣4ln2. (Ⅱ)g'(x)=e1﹣x﹣xe1﹣x=(1﹣x)e1﹣x, 当 x∈(0,1)时,g'(x)>0,函数 g(x)单调递增; 当 x∈(1,e]时,g'(x)<0,函数 g(x)单调递减. 又因为 g(0)=0,g(1)=1,g(e)=e?e1﹣e>0, 所以,函数 g(x)在(0,e]上的值域为(0,1]. 当 a=2时,不合题意;当 a≠2时,f'(x)=2﹣a﹣ = = , x∈(0,e] 当 x= 时,f'(x)=0. 由题意得,f(x)在(0,e]上不单调,故 0< <e,即 a<2﹣ ① 此时,当 x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下: x (0, ) ( ,e] f'(x) ﹣ 0 + f(x) ↘ 最小值 ↗ 又因为,当 x→0时,f(x)→+∞, f( )=a﹣2ln ,f(e)=(2﹣a)(e﹣1)﹣2, 所以,对任意给定的 x0∈(0,e],在(0,e]上总存在两个不同的 xi(i=1,2), 使得 f(xi)=g(x0)成立,当且仅当 a满足下列条件: 即 令 h(a)=a﹣2ln ,a∈(﹣∞,2﹣ ), 则 h′(a)=1﹣2[ln2﹣ln(2﹣a)]′=1﹣ = ,令 h'(a)=0,得 a=0 或 a =2, 故当 a∈(﹣∞,0)时,h'(a)>0,函数 h(a)单调递增; 当 a∈(0,2﹣ )时,h'(a)<0,函数 h(a)单调递减. 所以,对任意 a∈(﹣∞,2﹣ ),有 h(a)≤h(0)=0, 即②对任意 a∈(﹣∞,2﹣ )恒成立. 由③式解得:a≤2﹣ .④ 综合①④可知,当 a∈(﹣∞,2﹣ ]时,对任意给定的 x0∈(0,e], 在(0,e]上总存在两个不同的 xi(i=1,2),使 f(xi)=g(x0)成立. 2019-2020学年高二第二学期入学数学试卷 一、选择题 1.已知复数z=(i为虚数单位),则复数z在复平面内对应的点位于(  ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是(  ) A. B. C. D. 3.若函数y=x3﹣2ax+a在(0,1)内有极小值,没有极大值,则实数a的取值范围是(  ) A.(0,3) B.(﹣∞,3) C.(0,+∞) D.(0,) 4.已知p:x2﹣x<0,那么命题p的一个必要不充分条件是(  ) A.0<x<1 B.﹣1<x<1 C.<x< D.<x<2 5.在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,能被5整除的个数有(  ) A.512 B.192 C.240 D.108 6.已知函数f(x)=x2+2cosx,f'(x)是f(x)的导函数,则函数y=f'(x)的图象大致为(  ) A. B. C. D. 7.已知双曲线M的焦点F1,F2在x轴上,直线是双曲线M的一条渐近线,点P在双曲线M上,且,如果抛物线y2=16x的准线经过双曲线M的一个焦点,那么=(  ) A.21 B.14 C.7 D.0 8.有六名同学参加演讲比赛,编号分别为1,2,3,4,5,6,比赛结果设特等奖一名,A,B,C,D四名同学对于谁获得特等奖进行预测.A说:不是1号就是2号获得特等奖;B说:3号不可能获得特等奖;C说:4,5,6号不可能获得特等奖; D说;能获得特等奖的是4,5,6号中的一个.公布的比赛结果表明,A,B,C,D中只有一个判断正确.根据以上信息,获得特等奖的是(  )号同学. A.1 B.2 C.3 D.4,5,6号中的一个 9.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C=(  ) A. B. C. D. 10.设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(﹣3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是(  ) A.(﹣3,0)∪(3,+∞) B.(﹣3,0)∪(0,3) C.(﹣∞,﹣3)∪(3,+∞) D.(﹣∞,﹣3)∪(0,3) 11.某公司生产某种产品,固定成本为20000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总营业收入R与年产量x的关系是R=R(x)=,则总利润最大时,年产量是(  ) A.100 B.150 C.200 D.300 12.已知椭圆T:+=1(a>b>0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与T相交于A,B两点,若=3,则k=(  ) A.1 B. C. D.2 二、填空题 13.双曲线x2﹣y2=1的离心率为   . 14.如图,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,∠PAD=90°,且PA=AD=2,E,F分别是线段PA,CD的中点,则异面直线EF与BD所成角的余弦值为   . 15.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排,要求甲、乙必须相邻,丙、丁不能相邻,有   种不同的站法. 16.已知函数f(x)=x2﹣2x+a(ex﹣1+e﹣x+1)有唯一零点,则a=   . 三、解答题:共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知在等比数列{an}中,a1=1,且a2是a1和a3﹣1的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足bn=2n﹣1+an(n∈N*),求{bn}的前n项和Sn. 18.已知函数f(x)=sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx(x∈R). (Ⅰ)求f()的值. (Ⅱ)求f(x)的最小正周期及单调递增区间. 19.《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定:机动车行经人行道时,应当减速慢行;遇行人正在通过人行道,应当停车让行,俗称“礼让斑马线”,《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定:对不礼让行人的驾驶员处以扣3分,罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据: 月份 1 2 3 4 5 违章驾驶员人数 120 105 100 90 85 (1)请利用所给数据求违章人数y与月份x之间的回归直线方程,并预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数; (2)若从表中1月份和4月份的违章驾驶员中,采用分层抽样方法抽取一个容量为7的样本,再从这7人中任选2人进行交规调查,求抽到的两人恰好来自同一月份的概率. 参考公式:,. 20.在边长为4的菱形ABCD中,∠DAB=60°,点E,F分别是边CD,CB的中点,AC∩EF=O,沿EF将△CEF翻折到△PEF,连接PA,PB,PD,得到如图的五棱锥,且. (1)求证:BD⊥平面POA; (2)求二面角B﹣AP﹣O的余弦值. 21.如图所示,在直角坐标系xOy中,点P(1,)到抛物线C:y2=2px(p>0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点,A,B是C上的两动点,且线段AB的中点Q(m,n)在直线OM上. (1)求曲线C的方程及点M的坐标; (2)记d(m)=,求弦长AB(用m表示);并求d的最大值. 22.已知函数f(x)=(2﹣a)(x﹣1)﹣2lnx,g(x)=xe1﹣x(a∈R,e为自然对数的底数). (Ⅰ)若不等式f(x)>0对于一切恒成立,求a的最小值; (Ⅱ)若对任意的x0∈(0,e],在(0,e]上总存在两个不同的xi(i=1,2),使f(xi)=g(x0) 成立,求a的取值范围. 参考答案 一、选择题:共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数z=(i为虚数单位),则复数z在复平面内对应的点位于(  ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,求出z的坐标得答案. 解:∵i4=1, ∴复数z==, ∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(,﹣),位于第四象限. 故选:D. 2.小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是(  ) A. B. C. D. 【分析】列举出从M,I,N中任取一个字母,再从1,2,3,4,5中任取一个数字的基本事件数,然后由随机事件发生的概率得答案. 解:从M,I,N中任取一个字母,再从1,2,3,4,5中任取一个数字,取法总数为: (M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5),(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5)共15种. 其中只有一个是小敏的密码前两位. 由随机事件发生的概率可得,小敏输入一次密码能够成功开机的概率是. 故选:C. 3.若函数y=x3﹣2ax+a在(0,1)内有极小值,没有极大值,则实数a的取值范围是(  ) A.(0,3) B.(﹣∞,3) C.(0,+∞) D.(0,) 【分析】由函数y=x3﹣2ax+a在(0,1)内有极小值,求导可得,导函数在(0,1)内至少有一个实数根,分a>0、a=0、a<0三种情况,求得实数a的取值范围. 解:对于函数y=x3﹣2ax+a,求导可得y′=3x2﹣2a, ∵函数y=x3﹣2ax+a在(0,1)内有极小值, ∴y′=3x2﹣2a=0,则其有一根在(0,1)内,a>0时,3x2﹣2a=0两根为±, 若有一根在(0,1)内,则0<<1,即0<a<; a=0时,3x2﹣3a=0两根相等,均为0,f(x)在(0,1)内无极小值. a<0时,3x2﹣3a=0无根,f(x)在(0,1)内无极小值, 综合可得,0<a<, 故选:D. 4.已知p:x2﹣x<0,那么命题p的一个必要不充分条件是(  ) A.0<x<1 B.﹣1<x<1 C.<x< D.<x<2 【分析】由p:x2﹣x<0?0<x<1?﹣1<x<1,﹣1<x<1推不出x2﹣x<0,知p:x2﹣x<0,那么命题p的一个必要不充分条件﹣1<x<1. 解:∵p:x2﹣x<0?0<x<1?﹣1<x<1, ﹣1<x<1推不出x2﹣x<0, ∴p:x2﹣x<0,那么命题p的一个必要不充分条件﹣1<x<1, 故选:B. 5.在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,能被5整除的个数有(  ) A.512 B.192 C.240 D.108 【分析】能被5整除的四位数末位是0或5的数,因此分两类,根据分类计数原理计算可得 解:能被5整除的四位数末位是0或5的数,因此分两类 第一类,末位为0时,其它三位从剩下的数中任意排3个即可,有=60个, 第二类,米位为5时,首位不能排0,则首位只能从1,3,4,5选1个,第二位和第三位从剩下的任选2个即可,有=48个, 根据分类计数原理得可以组成60+48=108个不同的能被5整除的四位数. 故选:D. 6.已知函数f(x)=x2+2cosx,f'(x)是f(x)的导函数,则函数y=f'(x)的图象大致为(  ) A. B. C. D. 【分析】根据导数公式求出函数的导数,结合函数的奇偶性和单调性的性质判断对称性和单调性,结合排除法进行判断即可. 解:函数的导数f′(x)=2x﹣2sinx, 则f′(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除A,B, 设g(x)=f′(x)=2x﹣2sinx,则g′(x)=2﹣2cosx≥0,即g(x)为增函数,排除D 故选:C. 7.已知双曲线M的焦点F1,F2在x轴上,直线是双曲线M的一条渐近线,点P在双曲线M上,且,如果抛物线y2=16x的准线经过双曲线M的一个焦点,那么=(  ) A.21 B.14 C.7 D.0 【分析】求得抛物线的焦点,可得c=4,即a2+b2=16,由渐近线方程可得=,解得a,b,运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理,化简整理,即可得到所求值. 解:抛物线y2=16x的准线为x=﹣4, 由题意可得双曲线M的一个焦点为(﹣4,0), 设双曲线的方程为﹣=1(a,b>0), 可得c=4,即a2+b2=16, 直线是双曲线M的一条渐近线, 可得=, 解得a=3,b=, 可设P为右支上一点,由双曲线的定义可得 |PF1|﹣|PF2|=2a=6,① 由勾股定理可得,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=64,② ②﹣①2,可得|PF1|?|PF2|=14. 故选:B. 8.有六名同学参加演讲比赛,编号分别为1,2,3,4,5,6,比赛结果设特等奖一名,A,B,C,D四名同学对于谁获得特等奖进行预测.A说:不是1号就是2号获得特等奖;B说:3号不可能获得特等奖;C说:4,5,6号不可能获得特等奖; D说;能获得特等奖的是4,5,6号中的一个.公布的比赛结果表明,A,B,C,D中只有一个判断正确.根据以上信息,获得特等奖的是(  )号同学. A.1 B.2 C.3 D.4,5,6号中的一个 【分析】因为只有一人猜对,而C与D互相否定,故C、D中一人猜对,再分类讨论,即可得出结论 解:根据以上信息,获得特等奖的是3号同学. 因为只有一人猜对,而C与D互相否定,故C、D中一人猜对. 假设D对,则推出B也对,与题设矛盾,故D猜错,所以猜对者一定是C;于是B一定猜错, 故获奖者是3号选手(此时A错). 故选:C. 9.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C=(  ) A. B. C. D. 【分析】推导出S△ABC==,从而sinC==cosC,由此能求出结果. 解:∵△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c. △ABC的面积为, ∴S△ABC==, ∴sinC==cosC, ∵0<C<π,∴C=. 故选:C. 10.设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(﹣3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是(  ) A.(﹣3,0)∪(3,+∞) B.(﹣3,0)∪(0,3) C.(﹣∞,﹣3)∪(3,+∞) D.(﹣∞,﹣3)∪(0,3) 【分析】先根据f’(x)g(x)+f(x)g’(x)>0可确定[f(x)g(x)]'>0,进而可得到f(x)g(x)在x<0时递增,结合函数f(x)与g(x)的奇偶性可确定f(x)g(x)在x>0时也是增函数,最后根据g(﹣3)=0可求得答案. 解:设F(x)=f (x)g(x),当x<0时, ∵F′(x)=f′(x)g(x)+f (x)g′(x)>0. ∴F(x)在当x<0时为增函数. ∵F(﹣x)=f (﹣x)g (﹣x)=﹣f (x)?g (x)=﹣F(x). 故F(x)为(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数. ∴F(x)在(0,+∞)上亦为增函数. 已知g(﹣3)=0,必有F(﹣3)=F(3)=0. 构造如图的F(x)的图象,可知 F(x)<0的解集为x∈(﹣∞,﹣3)∪(0,3). 故选:D. 11.某公司生产某种产品,固定成本为20000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总营业收入R与年产量x的关系是R=R(x)=,则总利润最大时,年产量是(  ) A.100 B.150 C.200 D.300 【分析】由题意得总成本函数为C(x)=20000+100x,则总利润P(x)=R(x)﹣C(x)=,分段求函数P(x)的最大值,再比较即可求解. 解:由题意得,总成本函数为C(x)=20000+100x, 总利润P(x)=R(x)﹣C(x)=, 当0≤x≤400时,P(x)=,当x=﹣=300时,P(x)的值最大,最大值为25000, 当x>400时,P(x)=﹣100x+60000,∴P(x)<P(400)=20000, 综上所述,当x=300时,总利润最大, 故选:D. 12.已知椭圆T:+=1(a>b>0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与T相交于A,B两点,若=3,则k=(  ) A.1 B. C. D.2 【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2),根据求得y1和y2关系根据离心率设,b=t,代入椭圆方程与直线方程联立,消去x,根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2,进而根据y1和y2关系求得k. 解:A(x1,y1),B(x2,y2), ∵,∴y1=﹣3y2, ∵,设,b=t, ∴x2+4y2﹣4t2=0①, 设直线AB方程为,代入①中消去x,可得, ∴,, 解得, 故选:B. 二、填空题:共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在对应题号后的横线上. 13.双曲线x2﹣y2=1的离心率为  . 【分析】根据题意,由双曲线的方程分析可得a=1,b=1,结合双曲线的几何性质可得c的值,进而由离心率计算公式计算可得答案. 解:根据题意,双曲线的方程为x2﹣y2=1,变形可得﹣=1, 则a=1,b=1, 则有c==, 则其离心率e==, 故答案为:. 14.如图,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,∠PAD=90°,且PA=AD=2,E,F分别是线段PA,CD的中点,则异面直线EF与BD所成角的余弦值为  . 【分析】根据题意,取BC的中点M,连接EM、FM,则FM∥BD,分析可得则∠EFM(或其补角)就是异面直线EF与BD所成的角;进而可得EM、EF的值,在△MFE中,有余弦定理可得cos∠EFM的值,即可得答案. 解:如图:取BC的中点M,连接EM、FM,则FM∥BD, 则∠EFM(或其补角)就是异面直线EF与BD所成的角; ∵平面PAD⊥平面ABCD,ABCD为正方形,∠PAD=90°,且PA=AD=2, ∴EM===, 同理EF=; 在△MFE中,cos∠EFM==; 即异面直线EF与BD所成角的余弦值为; 故答案为:. 15.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排,要求甲、乙必须相邻,丙、丁不能相邻,有 24 种不同的站法. 【分析】5名同学站成一排,要求甲、乙必须相邻,丙、丁不能相邻,利用捆绑法、插空法即可得出. 解:5名同学站成一排,要求甲、乙必须相邻,丙、丁不能相邻,故有=24(种)不同的方法. 故答案为:24. 16.已知函数f(x)=x2﹣2x+a(ex﹣1+e﹣x+1)有唯一零点,则a=  . 【分析】通过转化可知问题等价于函数y=1﹣(x﹣1)2的图象与y=a(ex﹣1+e﹣x+1)的图象只有一个交点求a的值.分a=0、a<0、a>0三种情况,结合函数的单调性分析可得结论. 解:因为f(x)=x2﹣2x+a(ex﹣1+e﹣x+1)=﹣1+(x﹣1)2+a(ex﹣1+e﹣x+1)=0, 所以函数f(x)有唯一零点等价于方程1﹣(x﹣1)2=a(ex﹣1+e﹣x+1)有唯一解, 等价于函数y=1﹣(x﹣1)2的图象与y=a(ex﹣1+e﹣x+1)的图象只有一个交点. ①当a=0时,f(x)=x2﹣2x≥﹣1,此时有两个零点,矛盾; ②当a<0时,由于y=1﹣(x﹣1)2在(﹣∞,1)上递增、在(1,+∞)上递减, 且y=a(ex﹣1+e﹣x+1)在(﹣∞,1)上递增、在(1,+∞)上递减, 所以函数y=1﹣(x﹣1)2的图象的最高点为A(1,1),y=a(ex﹣1+e﹣x+1)的图象的最高点为B(1,2a), 由于2a<0<1,此时函数y=1﹣(x﹣1)2的图象与y=a(ex﹣1+e﹣x+1)的图象有两个交点,矛盾; ③当a>0时,由于y=1﹣(x﹣1)2在(﹣∞,1)上递增、在(1,+∞)上递减, 且y=a(ex﹣1+e﹣x+1)在(﹣∞,1)上递减、在(1,+∞)上递增, 所以函数y=1﹣(x﹣1)2的图象的最高点为A(1,1),y=a(ex﹣1+e﹣x+1)的图象的最低点为B(1,2a), 由题可知点A与点B重合时满足条件,即2a=1,即a=,符合条件; 综上所述,a=, 故答案为:. 三、解答题:共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知在等比数列{an}中,a1=1,且a2是a1和a3﹣1的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足bn=2n﹣1+an(n∈N*),求{bn}的前n项和Sn. 【分析】(1)设公比为q,由a1=1,则a2=q,a3=q2.再利用等差数列的性质即可得出; (2)bn=2n﹣1+an=2n﹣1+2n﹣1.利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出. 解:(1)设公比为q,∵a1=1,则a2=q,a3=q2. ∵a2是a1和a3﹣1的等差中项. ∴2a2=a1+a3﹣1, ∴2q=1+q2﹣1, ∵q≠0,解得q=2. ∴an=2n﹣1. (2)∵bn=2n﹣1+an=2n﹣1+2n﹣1. ∴{bn}的前n项和Sn=[1+3+…+(2n﹣1)]+[1+2+22+…+2n﹣1] =+ =n2+2n﹣1. 18.已知函数f(x)=sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx(x∈R). (Ⅰ)求f()的值. (Ⅱ)求f(x)的最小正周期及单调递增区间. 【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式, (Ⅰ)代入可得:f()的值. (Ⅱ)根据正弦型函数的图象和性质,可得f(x)的最小正周期及单调递增区间 解:∵函数f(x)=sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx=﹣sin2x﹣cos2x=2sin(2x+) (Ⅰ)f()=2sin(2×+)=2sin=2, (Ⅱ)∵ω=2,故T=π, 即f(x)的最小正周期为π, 由2x+∈[﹣+2kπ,+2kπ],k∈Z得: x∈[﹣+kπ,﹣+kπ],k∈Z, 故f(x)的单调递增区间为[﹣+kπ,﹣+kπ]或写成[kπ+,kπ+],k∈Z. 19.《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定:机动车行经人行道时,应当减速慢行;遇行人正在通过人行道,应当停车让行,俗称“礼让斑马线”,《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定:对不礼让行人的驾驶员处以扣3分,罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据: 月份 1 2 3 4 5 违章驾驶员人数 120 105 100 90 85 (1)请利用所给数据求违章人数y与月份x之间的回归直线方程,并预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数; (2)若从表中1月份和4月份的违章驾驶员中,采用分层抽样方法抽取一个容量为7的样本,再从这7人中任选2人进行交规调查,求抽到的两人恰好来自同一月份的概率. 参考公式:,. 【分析】(1)由表中数据求出回归直线方程为.令x=9,能预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数. (2)由已知可得:1月份应抽取4位驾驶员,设其编号分别为a1,a2,a3,a4,4月份应抽取3位驾驶员,设其编号分别为b1,b2,b3,从这7人中任选2人,利用列举法能求出抽到的两人恰好来自同一月份的概率. 解:(1)由表中数据知,, ∴, ∴所求回归直线方程为. 令x=9,则人. (2)由已知可得:1月份应抽取4位驾驶员,设其编号分别为a1,a2,a3,a4, 4月份应抽取3位驾驶员,设其编号分别为b1,b2,b3, 从这7人中任选2人包含21个基本事件,分别为: (a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b1),(a1,b2),(a2,b3),(a2,b4), (a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,b1),(a1,b3),(a2,b3),(a3,b3), (a4,b3),(b1,b3),(b2,b3),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(b1,b2), 设“其中两个恰好来自同一月份”为事件A,则事件A包含的基本事件有9个,分别是: (a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a2,a3),(a2,a4),(a3,a4),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3), ∴抽到的两人恰好来自同一月份的概率. 20.在边长为4的菱形ABCD中,∠DAB=60°,点E,F分别是边CD,CB的中点,AC∩EF=O,沿EF将△CEF翻折到△PEF,连接PA,PB,PD,得到如图的五棱锥,且. (1)求证:BD⊥平面POA; (2)求二面角B﹣AP﹣O的余弦值. 【分析】(1)推导出BD∥EF,BD⊥AC,EF⊥AC,从而EF⊥AO,EF⊥PO,由此能证明BD⊥平面POA. (2)设AO∩BD=H,连接BO,以O为原点,OF所在直线为x轴,AO所在直线y轴,OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系O﹣xyz,利用向量法能求出二面角B﹣AP﹣O的余弦值. 【解答】证明:(1)∵点E,F分别为CD,CB的中点,∴BD∥EF, ∵菱形ABCD的对角线互相垂直, ∴BD⊥AC,∴EF⊥AC,∴EF⊥AO,EF⊥PO, ∵AO?平面POA,PO?平面POA,AO∩PO=O, ∴EF⊥平面POA,∴BD⊥平面POA. 解:(2)设AO∩BD=H,连接BO,∵∠DAB=60°,∴△ABD为等边三角形, ∴, 在Rt△BHO中,, 在△PBO中,BO2+PO2=10=PB2,∴PO⊥BO, ∵PO⊥EF,EF∩BO=O,EF?平面BFED,∴PO⊥平面BFED, 以O为原点,OF所在直线为x轴,AO所在直线y轴,OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系O﹣xyz, 则. ∴, 设平面PAB的法向量为=(x,y,z), 则,取y=1,得=(﹣), ∵BD⊥平面POA,AO∩BD=H,∴平面PAO的一个法向量为=(﹣2,0,0), 设二面角B﹣AP﹣O的平面角为θ, 则cosθ===, ∴二面角B﹣AP﹣O的余弦值为. 21.如图所示,在直角坐标系xOy中,点P(1,)到抛物线C:y2=2px(p>0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点,A,B是C上的两动点,且线段AB的中点Q(m,n)在直线OM上. (1)求曲线C的方程及点M的坐标; (2)记d(m)=,求弦长AB(用m表示);并求d的最大值. 【分析】(1)由1﹣(﹣)=,得p=,即可得抛物线C的方程. 由点M(t,1)在曲线C上,求得t即可. (2)由(1)知点Q(m,m),设直线AB的斜率为k(k≠0),且A(x1,y1),B(x2,y2)., 由,得(y1﹣y2)(y1+y2)=x1﹣x2., 故k?2m=1,即可得直线AB的方程为y﹣m=,联立方程利用现场公示即可求解. 解:(1)∵y2=2px(p>0)的准线为x=﹣, ∴1﹣(﹣)=,∴p=, ∴抛物线C的方程为y2=x. 又点M(t,1)在曲线C上,∴t=1. 故M(1,1). (2)由(1)知,点M(1,1), 从而m=n,即点Q(n,m), 依题意,直线AB的斜率存在,且不为0, 设直线AB的斜率为k(k≠0),且A(x1,y1),B(x2,y2)., 由,得(y1﹣y2)(y1+y2)=x1﹣x2., 故k?2m=1, 所以直线AB的方程为y﹣m=, 即x﹣2my+2m2﹣m=0. 由,消去x, 整理得y2﹣2my+2m2﹣m=0, 所以△=4m﹣4m2,. 从而AB= ==2. ∴d==2≤m+1﹣m=1, 当且仅当m=1﹣m,即m=时,上式等号成立, 又m=满足△=4m﹣4m2>0.∴d的最大值为1. 22.已知函数f(x)=(2﹣a)(x﹣1)﹣2lnx,g(x)=xe1﹣x(a∈R,e为自然对数的底数). (Ⅰ)若不等式f(x)>0对于一切恒成立,求a的最小值; (Ⅱ)若对任意的x0∈(0,e],在(0,e]上总存在两个不同的xi(i=1,2),使f(xi)=g(x0) 成立,求a的取值范围. 【分析】(Ⅰ)不等式f(x)>0对于一切恒成立,分离参数后即在内恒成立,构造函数h(x)=2﹣(x),则问题转化为a>h(x)max,利用导数即可求得函数h(x)的最大值; (Ⅱ)求出g′(x),根据导函数的正负得到函数的单调区间,即可求出g(x)的值域,而当a等于2时不合题意,当a不等于2 时,求出f′(x)=0时x的值,根据x属于(0,e]列出关于a的不等式得到①,并根据此时的x的值讨论导函数的正负得到函数f(x)的单调区间,根据单调区间得到②和③,令②中不等式的坐标为一个函数,求出此函数的导函数,讨论导函数的正负得到函数的单调区间,根据函数的增减性得到此函数的最大值,即可解出②恒成立和解出③得到④,联立①和④即可解出满足题意a的取值范围. 解:(Ⅰ)由题意得(2﹣a)(x﹣1)﹣2lnx>0在内恒成立,即在内恒成立, 设,则, 设,则, ∴φ(x)在内是减函数,∴, ∴h'(x)>0,h(x)在内为增函数, 则,∴a≥2﹣4ln2, 故a的最小值为2﹣4ln2. (Ⅱ)g'(x)=e1﹣x﹣xe1﹣x=(1﹣x)e1﹣x, 当x∈(0,1)时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增; 当x∈(1,e]时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减. 又因为g(0)=0,g(1)=1,g(e)=e?e1﹣e>0, 所以,函数g(x)在(0,e]上的值域为(0,1]. 当a=2时,不合题意;当a≠2时,f'(x)=2﹣a﹣==,x∈(0,e] 当x=时,f'(x)=0. 由题意得,f(x)在(0,e]上不单调,故0<<e,即a<2﹣① 此时,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下: x (0,) (,e] f'(x) ﹣ 0 + f(x) ↘ 最小值 ↗ 又因为,当x→0时,f(x)→+∞, f()=a﹣2ln,f(e)=(2﹣a)(e﹣1)﹣2, 所以,对任意给定的x0∈(0,e],在(0,e]上总存在两个不同的xi(i=1,2), 使得f(xi)=g(x0)成立,当且仅当a满足下列条件: 即 令h(a)=a﹣2ln,a∈(﹣∞,2﹣), 则h′(a)=1﹣2[ln2﹣ln(2﹣a)]′=1﹣=,令h'(a)=0,得a=0或a=2, 故当a∈(﹣∞,0)时,h'(a)>0,函数h(a)单调递增; 当a∈(0,2﹣)时,h'(a)<0,函数h(a)单调递减. 所以,对任意a∈(﹣∞,2﹣),有h(a)≤h(0)=0, 即②对任意a∈(﹣∞,2﹣)恒成立. 由③式解得:a≤2﹣.④ 综合①④可知,当a∈(﹣∞,2﹣]时,对任意给定的x0∈(0,e], 在(0,e]上总存在两个不同的xi(i=1,2),使f(xi)=g(x0)成立.

    • 2020-04-05
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  • ID:3-7131363 2020年山西省长治市高考(文科)数学一模测试卷 Word版含解析

    高中数学/高考专区/模拟试题

    2020年高考数学一模试卷(文科) 一、选择题 1.已知集合 A={x|log3x<1},B={x|x≥1},则 A∩B=( ) A.{1,2} B.{1,2,3} C.[1,3) D.(3,+∞) 2.已知 i为虚数单位, ,则复数 z的虚部为( ) A.﹣2i B.2i C.2 D.﹣2 3.函数 y=tan(2x+ )的图象( ) A.关于原点对称 B.关于点(﹣ ,1)对称 C.关于直线 x=﹣ 对称 D.关于点( ,0)对称 4.根据党中央关于“精准”脱贫的要求,某市农业经济部门派三位专家对 A、B、C三个 县区进行调研,每个县区派一位专家,则甲专家恰好派遣至 A县区的概率为( ) A. B. C. D. 5.已知向量 , 满足| |=1,| |=2,| + |= ,则 在 上的投影为( ) A.1 B. C.2 D. 6.已知椭圆 + =1(a>b>0)与双曲线 ﹣ =1的焦点相同,则椭圆的离心率 为( ) A. B. C. D. 7.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该几何体的 体积为( ) A. B. C. D. 8.已知 x,y满足约束条件 ,则目标函数 z=x2+y2的最大值为( ) A.2 B. C.2 D.13 9.《周易》历来被人们视作儒家群经之首,它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又 朴素的认识,是中华人文文化的基础,它反映出中国古代的二进制计数的思想方法.我 们用近代术语解释为:把阳爻“ ”当作数字“1”,把阴爻“ ”当作数字“0”, 则八卦所代表的数表示如下: 卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数 坤 000 0 震 001 1 坎 010 2 兑 011 3 依此类推,则六十四卦中的“井”卦,符号“ ”表示的十进制数是( ) A.11 B.18 C.22 D.26 10.执行如图所示的程序框图,若输入的 a,b,c依次为 0.90.8,0.80.9,0.90.9,则输出的 x 为( ) A.0.90.8 B.0.80.9 C.0.90.9 D.0.80.8 11.已知函数 f(x)= ,若函数 g(x)=f(x)﹣ax恰有 2 个零点, 则 a的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.[1,2] C.[1,2) D.(0,2) 12.已知动点M到点 F(1,0)的距离与到 y轴距离之和为 3,动点 N在直线 2x﹣y+4=0 上,则两点距离|MN|的最小值是( ) A. B. C. D. 二、填空题 13.cos75°﹣cos15°的值是 . 14.已知定义在 R上的函数 f(x)满足 f(1+x)=﹣f(3﹣x),且 f(x)的图象与 g(x) =lg 的图象有四个交点,则这四个交点的横纵坐标之和等于 . 15.已知球的直径 SC=2,A,B是该球球面上的两点,AB= ,∠ASC=∠BSC=45°, 则棱锥 S﹣ABC的体积为 . 16.在△ABC 中,角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c,已知 c=4,(2a+b)cosC+ccosB =0.则△ABC面积的最大值是 . 三、解答题:本题共 5小题,共计 70分. 17.在公差大于 1的等差数列{an}中,a4=13,且 a3,a6+1,a13成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn= ,求数列{bn}的前 n项和 Sn. 18.如图,在四棱锥 P﹣ABCD中,底面 ABCD是矩形,PA⊥平面 ABCD,且 PA=AD=2, AB=3,点 E为线段 PD的中点. (1)求证:AE⊥PC; (2)求三棱锥 P﹣ACE 的体积. 19.为了丰富学生的课外文化生活,某中学积极探索开展课外文体活动的新途径及新形式, 取得了良好的效果.为了调查学生的学习积极性与参加文体活动是否有关,学校对 200 名学生做了问卷调查,列联表如下: 参加文体活动 不参加文体活动 合计 学习积极性高 80 学习积极性不高 60 合计 200 已知在全部 200人中随机抽取 1人,抽到学习积极性不高的学生的概率为 . (1)请将上面的列联表补充完整; (2)是否有 99.9%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关?请说明你的理由; (3)若从不参加文体活动的同学中按照分层抽样的方法选取 5人,再从所选出的 5人中 随机选取 2人,求至少有 1人学习积极性不高的概率. 附: P(K2≥ k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2= ,其中 n=a+b+c+d. 20.已知椭圆 C: + =1(a>b>0),点 A(2,0)、P(x0,y0)、Q(﹣x0,﹣y0) (y0≠0)在椭圆上,直线 AP与直线 AQ的斜率之积 kAP?kAQ=﹣ . (1)求椭圆的标准方程; (2)已知直线 l: + =1点 B(﹣1,0)关于直线 l的对称点是 D,求证:过点 P,D的直线恒过定点. 21.已知函数 f(x)=ex﹣ax﹣1. (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)当 x>0时,f(x)≥x2﹣x恒成立,求实数 a的取值范围. 请考生在第 22、23二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.解答时请写 清题号.[选修 4-4:坐标系与参数方程] 22.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的方程为 (t为参数).以坐标原点 O为 极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为ρ=2sinθ. (1)求 C1,C2的普通方程; (2)设点 A 在曲线 C1上,且对应的 t=2 ,点 B 是曲线 C2上的点,求 AOB 面积的 最大值. [选修 4-5:不等式选讲] 23.已知函数 f(x)=|2x﹣1|+|x﹣a|. (1)当 a=1时,求不等式 f(x)>2的解集; (2)若不等式 f(x)<2x在 x∈[1,2]上恒成立,求实数 a的取值范围. 参考答案 一、选择题:本题共 12 小题,每题 5 分,共计 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个选项正确. 1.已知集合 A={x|log3x<1},B={x|x≥1},则 A∩B=( ) A.{1,2} B.{1,2,3} C.[1,3) D.(3,+∞) 解:∵A={x|0<x<3},B={x|x≥1}, ∴A∩B=[1,3). 故选:C. 2.已知 i为虚数单位, ,则复数 z的虚部为( ) A.﹣2i B.2i C.2 D.﹣2 解: = = =2﹣2i, 则复数 z的虚部为﹣2, 故选:D. 3.函数 y=tan(2x+ )的图象( ) A.关于原点对称 B.关于点(﹣ ,1)对称 C.关于直线 x=﹣ 对称 D.关于点( ,0)对称 解:函数 y=tan(2x+ )中, 令 2x+ = ,k∈Z; 解得 x= ﹣ ,k∈Z; 令 k=1,得 x= , 所以 y=tan(2x+ )的图象关于原点( ,0)对称,D正确. 故选:D. 4.根据党中央关于“精准”脱贫的要求,某市农业经济部门派三位专家对 A、B、C三个 县区进行调研,每个县区派一位专家,则甲专家恰好派遣至 A县区的概率为( ) A. B. C. D. 解:某市农业经济部门派三位专家对 A、B、C三个县区进行调研,每个县区派一位专家, 故调研的情况的基本事件总数为 ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA,六种情况, 甲专家恰好派遣至 A县区的情况为 ABC,ACB,两种情况, 则甲专家恰好派遣至 A县区的概率为: = , 故选:B. 5.已知向量 , 满足| |=1,| |=2,| + |= ,则 在 上的投影为( ) A.1 B. C.2 D. 解:向量 , 满足| |=1,| |=2,| + |= , ∴12+22+2 =7,可得: =1, 则 在 上的投影= =1. 故选:A. 6.已知椭圆 + =1(a>b>0)与双曲线 ﹣ =1的焦点相同,则椭圆的离心率 为( ) A. B. C. D. 解:椭圆 + =1(a>b>0)的半焦距 c1= , 双曲线 ﹣ =1的半焦距 c2= , 由题意可得 ,即 a2=2b2, ∴椭圆的离心率为 e= = . 故选:A. 7.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该几何体的 体积为( ) A. B. C. D. 解:根据三视图知,该几何体是如图所示的三棱锥 C1﹣ABD, 结合图中数据,计算该三棱锥的体积为: V= Sh= × ×4×2×2= . 故选:B. 8.已知 x,y满足约束条件 ,则目标函数 z=x2+y2的最大值为( ) A.2 B. C.2 D.13 解:由已知得到可行域如图: 目标函数 z=x2+y2的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方,由图得知,A是距离 原点最远的点,由 得到 A(3,2),所以目标函数 z=x2+y2的最大值为 32+22 =13; 故选:D. 9.《周易》历来被人们视作儒家群经之首,它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又 朴素的认识,是中华人文文化的基础,它反映出中国古代的二进制计数的思想方法.我 们用近代术语解释为:把阳爻“ ”当作数字“1”,把阴爻“ ”当作数字“0”, 则八卦所代表的数表示如下: 卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数 坤 000 0 震 001 1 坎 010 2 兑 011 3 依此类推,则六十四卦中的“井”卦,符号“ ”表示的十进制数是( ) A.11 B.18 C.22 D.26 解:六十四卦中符号“ ”表示二进制数的 010110, 转化为十进制数的计算为 0×20+1×21+1×22+0×23+1×24+0×25=22. 故选:C. 10.执行如图所示的程序框图,若输入的 a,b,c依次为 0.90.8,0.80.9,0.90.9,则输出的 x 为( ) A.0.90.8 B.0.80.9 C.0.90.9 D.0.80.8 解:由题意可知 a、b、c中最大的数用 x表示后输出, 若输入的 a,b,c依次为 0.90.8,0.80.9,0.90.9, 利用指数函数的性质可得 0.90.8>0.90.9,0.80.9<0.90.9, 故最大的数 x为 0.90.8, 故选:A. 11.已知函数 f(x)= ,若函数 g(x)=f(x)﹣ax恰有 2 个零点, 则 a的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.[1,2] C.[1,2) D.(0,2) 解:函数 g(x)=f(x)﹣ax恰有 2个零点,即函数 y=f(x)与 g(x)=ax的图象有 2个交点, 可知直线 g(x)=ax过原点,函数 y=2ln(2x+1)的导数是 , 可知函数 y=2ln(x+1)在原点处的切线斜率为 k1=2, 函数 y=ex﹣1的导数是 y′=ex,可知函数 y=ex﹣1在原点处的切线斜率为 k2=1, 由图象可知,直线 g(x)=ax的斜率 a∈[1,2)时有 2个零点. 故选:C. 12.已知动点M到点 F(1,0)的距离与到 y轴距离之和为 3,动点 N在直线 2x﹣y+4=0 上,则两点距离|MN|的最小值是( ) A. B. C. D. 解:设动点M(x,y), 当 x≥0时,M到 y轴距离与到直线 x=3的距离之和为 3, 由抛物线定义得: 动点M(x,y)满足:y2=﹣4(x﹣2),(x≥0), 同理,当 x<0时,M到 y轴与到直线 x=﹣3的距离之和为 3, 由抛物线定理得: 动点M(x,y)满足:y2=8(x+1),(x<0), 当M到直线 2x﹣y+4=0距离最小时,x<0, M(x0,y0)到 2x﹣y+4=0的距离: d= = , 当 y0=2时,d取最小值 . 故选:B. 二、填空题:本题共 4小题,毎题 5分,共计 20分.请把正确答案填写在答题纸相应的位 置上. 13.cos75°﹣cos15°的值是 . 解 : 原 式 = sin15 ° ﹣ cos15 ° = sin ( 450 ﹣ 300 ) ﹣ cos ( 450 ﹣ 300 ) = , 故答案为:﹣ . 14.已知定义在 R上的函数 f(x)满足 f(1+x)=﹣f(3﹣x),且 f(x)的图象与 g(x) =lg 的图象有四个交点,则这四个交点的横纵坐标之和等于 8 . 解: ,故 g(4﹣x)=﹣g(x),即 y=g(x)的图象关于点(2,0)对 称, 又函数 f(x)满足 f(1+x)=﹣f(3﹣x),则函数 y=f(x)的图象关于点(2,0)对 称, 所以四个交点的横纵坐标之和为 8. 故答案为:8. 15.已知球的直径 SC=2,A,B是该球球面上的两点,AB= ,∠ASC=∠BSC=45°, 则棱锥 S﹣ABC的体积为 . 解:设圆心为 O,连结 AO,BO, 由 SC是球的直径,得到∠SBC=90°, ∵∠ASC=∠BSC=45°,∴BS=BC,AO⊥SC,BO⊥SC, ∴SC⊥平面 ABO, ∴棱锥 S﹣ABC的体积为: + = = = . 故答案为: . 16.在△ABC 中,角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c,已知 c=4,(2a+b)cosC+ccosB =0.则△ABC面积的最大值是 . 解:因为(2a+b)cosC+ccosB=0, 由正弦定理可得,2sinAcosC+sinBcosC+sinCcosB=0, 即 2sinAcosC+sin(B+C)=0, 所以 2sinAcosC+sinA=0, 因为 sinA≠0, 所以 cosC=﹣ ,C= , 由余弦定理可得,c2=a2+b2﹣2abcosC, 所以 16=a2+b2+ab≥3ab,当且仅当 a=b时取等号, 所以 ab , 所以 S= = 即面积的最大值 . 三、解答题:本题共 5小题,共计 70分. 17.在公差大于 1的等差数列{an}中,a4=13,且 a3,a6+1,a13成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn= ,求数列{bn}的前 n项和 Sn. 解:(1)设数列{an}的公差为 d(d>0), ∵a4=13,且 a3,a6+1,a13成等比数列,∴(13+2d+1)2=(13﹣d)(13+9d), 解得:d=3,则 a1=4, ∴an=4+3(n﹣1)=3n+1; (2)bn= = , ∴ = . 18.如图,在四棱锥 P﹣ABCD中,底面 ABCD是矩形,PA⊥平面 ABCD,且 PA=AD=2, AB=3,点 E为线段 PD的中点. (1)求证:AE⊥PC; (2)求三棱锥 P﹣ACE 的体积. 解:(1)证明:∵PA⊥平面 ABCD, ∴PA⊥CD, 又在矩形 ABCD中,CD⊥AD, ∴CD⊥平面 PAD, ∵AE?平面 PAD, ∴CD⊥AE, 又∵PA=AD,E为 PD中点, ∴AE⊥PD, ∴AE⊥平面 PCD, ∴AE⊥PC; (2)∵点 E为线段 PD的中点. ∴VP﹣ACE=VE﹣PAC= VP﹣ACD= × ×2× 2×3=1. 19.为了丰富学生的课外文化生活,某中学积极探索开展课外文体活动的新途径及新形式, 取得了良好的效果.为了调查学生的学习积极性与参加文体活动是否有关,学校对 200 名学生做了问卷调查,列联表如下: 参加文体活动 不参加文体活动 合计 学习积极性高 80 学习积极性不高 60 合计 200 已知在全部 200人中随机抽取 1人,抽到学习积极性不高的学生的概率为 . (1)请将上面的列联表补充完整; (2)是否有 99.9%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关?请说明你的理由; (3)若从不参加文体活动的同学中按照分层抽样的方法选取 5人,再从所选出的 5人中 随机选取 2人,求至少有 1人学习积极性不高的概率. 附: P(K2≥ k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2= ,其中 n=a+b+c+d. 解:根据题意,全部 200人中随机抽取 1人,抽到学习积极性不高的学生的概率为 , 则学习积极性不高的有 200× =80人, 据此可得:列联表如下: 参加文体活动 不参加文体活动 合计 学习积极性高 80 40 120 学习积极性不高 20 60 80 合计 100 100 200 (2)根据题意,由列联表可得:K2= ≈33.33>10.828; 故有 99.9%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关; (3)根据题意,从不参加文体活动的同学中按照分层抽样的方法选取 5人,有 2 人学习 积极性高,设为 A、B,有 3人学习积极性不高,设为 C、D、E, 从中选取 2人,有 AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE,共 10种情况, 其中至少有 1人学习积极性不高的有 AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE,共 9种情况, 至少有 1人学习积极性不高的概率 P= . 20.已知椭圆 C: + =1(a>b>0),点 A(2,0)、P(x0,y0)、Q(﹣x0,﹣y0) (y0≠0)在椭圆上,直线 AP与直线 AQ的斜率之积 kAP?kAQ=﹣ . (1)求椭圆的标准方程; (2)已知直线 l: + =1点 B(﹣1,0)关于直线 l的对称点是 D,求证:过点 P,D的直线恒过定点. 解:(1)椭圆 C: + =1(a>b>0),点 A(2,0), a=2,P(x0,y0)、Q(﹣x0,﹣y0)(y0≠0)在椭圆上,直线 AP与直线 AQ的斜率之 积 kAP?kAQ=﹣ , 得 ,由 ,联立得 b2=3, 所以椭圆的标准方程为: ; (2)证明:由(1)直线 l为 ,设 D的坐标为(m,n), 则 ,解得 , 故 = , 取点 F(1,0),显然 kPF=kPD,所以 D,P,F三点共线, 即直线 PD恒过定点(1,0). 21.已知函数 f(x)=ex﹣ax﹣1. (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)当 x>0时,f(x)≥x2﹣x恒成立,求实数 a的取值范围. 解:(1)函数的定义域为 R,f'(x)=ex﹣a, 若 a≤0,则 f'(x)>0,所以 f(x)在 R上单调递增; 若 a>0,令 f'(x)=ex﹣a=0,则 x=lna, 当 x∈(﹣∞,lna)时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当 x∈(lna,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 综上所述, (2)当 x>0时,f(x)≥x2﹣x,即 , 令 ,则 , 令 g(x)=ex﹣x﹣1(x>0),则 g'(x)=ex﹣1>0, 当 x>0时,g(x)单调递增,g(x)>g(0)=0, 所以当 0<x<1时,h'(x)<0,h(x)单调递减, 当 x>1时,h'(x)>0,h(x)单调递增, 故 h(x)min=h(1)=e﹣1, 所以 a的取值范围是(﹣∞,e﹣1]. 请考生在第 22、23二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.解答时请写 清题号.[选修 4-4:坐标系与参数方程] 22.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的方程为 (t为参数).以坐标原点 O为 极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为ρ=2sinθ. (1)求 C1,C2的普通方程; (2)设点 A 在曲线 C1上,且对应的 t=2 ,点 B 是曲线 C2上的点,求 AOB 面积的 最大值. 解:(1)曲线 C1的方程为 (t为参数).转换为直角坐标方程为 x﹣ . 曲线 C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.转换为直角坐标方程为 x2+y2﹣2y=0. (2)点 A在曲线 C1上,且对应的 t=2 ,所以 A(1, ),则转换为极坐标为 A(2, ), 设 B(ρ,θ),则ρ=2sinθ, 则 = = , 当 时, . [选修 4-5:不等式选讲] 23.已知函数 f(x)=|2x﹣1|+|x﹣a|. (1)当 a=1时,求不等式 f(x)>2的解集; (2)若不等式 f(x)<2x在 x∈[1,2]上恒成立,求实数 a的取值范围. 解:(1)当 a=1时,f(x)=|2x﹣1|+|x﹣1|, 由 f(x)>2,可得 或 或 , 即为 x> 或 x∈?或 x<0, 则原不等式的解集为{x|x> 或 x<0}; (2)函数 f(x)的解析式可得当 x∈[1,2]时, f(x)<2x?2x﹣1+|x﹣a|<2x?|x﹣a|<1; f(x)<2x在 x∈[1,2]上恒成立,可得 ﹣1<x﹣a<1,即 a﹣1<x<1+a在 x∈[1,2]恒成立, 由 x∈[1,2],可得 a﹣1<1且 a+1>2, 可得 1<a<2. 2020年高考数学一模试卷(文科) 一、选择题 1.已知集合A={x|log3x<1},B={x|x≥1},则A∩B=(  ) A.{1,2} B.{1,2,3} C.[1,3) D.(3,+∞) 2.已知i为虚数单位,,则复数z的虚部为(  ) A.﹣2i B.2i C.2 D.﹣2 3.函数y=tan(2x+)的图象(  ) A.关于原点对称 B.关于点(﹣,1)对称 C.关于直线x=﹣对称 D.关于点(,0)对称 4.根据党中央关于“精准”脱贫的要求,某市农业经济部门派三位专家对A、B、C三个县区进行调研,每个县区派一位专家,则甲专家恰好派遣至A县区的概率为(  ) A. B. C. D. 5.已知向量,满足||=1,||=2,|+|=,则在上的投影为(  ) A.1 B. C.2 D. 6.已知椭圆+=1(a>b>0)与双曲线﹣=1的焦点相同,则椭圆的离心率为(  ) A. B. C. D. 7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该几何体的体积为(  ) A. B. C. D. 8.已知x,y满足约束条件,则目标函数z=x2+y2的最大值为(  ) A.2 B. C.2 D.13 9.《周易》历来被人们视作儒家群经之首,它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识,是中华人文文化的基础,它反映出中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为:把阳爻“”当作数字“1”,把阴爻“”当作数字“0”,则八卦所代表的数表示如下: 卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数 坤 000 0 震 001 1 坎 010 2 兑 011 3 依此类推,则六十四卦中的“井”卦,符号“”表示的十进制数是(  ) A.11 B.18 C.22 D.26 10.执行如图所示的程序框图,若输入的a,b,c依次为0.90.8,0.80.9,0.90.9,则输出的x为(  ) A.0.90.8 B.0.80.9 C.0.90.9 D.0.80.8 11.已知函数f(x)=,若函数g(x)=f(x)﹣ax恰有2个零点,则a的取值范围是(  ) A.(1,+∞) B.[1,2] C.[1,2) D.(0,2) 12.已知动点M到点F(1,0)的距离与到y轴距离之和为3,动点N在直线2x﹣y+4=0上,则两点距离|MN|的最小值是(  ) A. B. C. D. 二、填空题 13.cos75°﹣cos15°的值是   . 14.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1+x)=﹣f(3﹣x),且f(x)的图象与g(x)=lg的图象有四个交点,则这四个交点的横纵坐标之和等于   . 15.已知球的直径SC=2,A,B是该球球面上的两点,AB=,∠ASC=∠BSC=45°,则棱锥S﹣ABC的体积为   . 16.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知c=4,(2a+b)cosC+ccosB=0.则△ABC面积的最大值是   . 三、解答题:本题共5小题,共计70分. 17.在公差大于1的等差数列{an}中,a4=13,且a3,a6+1,a13成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令bn=,求数列{bn}的前n项和Sn. 18.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,且PA=AD=2,AB=3,点E为线段PD的中点. (1)求证:AE⊥PC; (2)求三棱锥P﹣ACE的体积. 19.为了丰富学生的课外文化生活,某中学积极探索开展课外文体活动的新途径及新形式,取得了良好的效果.为了调查学生的学习积极性与参加文体活动是否有关,学校对200名学生做了问卷调查,列联表如下: 参加文体活动 不参加文体活动 合计 学习积极性高 80 学习积极性不高 60 合计 200 已知在全部200人中随机抽取1人,抽到学习积极性不高的学生的概率为. (1)请将上面的列联表补充完整; (2)是否有99.9%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关?请说明你的理由; (3)若从不参加文体活动的同学中按照分层抽样的方法选取5人,再从所选出的5人中随机选取2人,求至少有1人学习积极性不高的概率. 附: P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2=,其中n=a+b+c+d. 20.已知椭圆C:+=1(a>b>0),点A(2,0)、P(x0,y0)、Q(﹣x0,﹣y0)(y0≠0)在椭圆上,直线AP与直线AQ的斜率之积kAP?kAQ=﹣. (1)求椭圆的标准方程; (2)已知直线l:+=1点B(﹣1,0)关于直线l的对称点是D,求证:过点P,D的直线恒过定点. 21.已知函数f(x)=ex﹣ax﹣1. (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)当x>0时,f(x)≥x2﹣x恒成立,求实数a的取值范围. 请考生在第22、23二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-4:坐标系与参数方程] 22.在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ. (1)求C1,C2的普通方程; (2)设点A在曲线C1上,且对应的t=2,点B是曲线C2上的点,求AOB面积的最大值. [选修4-5:不等式选讲] 23.已知函数f(x)=|2x﹣1|+|x﹣a|. (1)当a=1时,求不等式f(x)>2的解集; (2)若不等式f(x)<2x在x∈[1,2]上恒成立,求实数a的取值范围. 参考答案 一、选择题:本题共12小题,每题5分,共计60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项正确. 1.已知集合A={x|log3x<1},B={x|x≥1},则A∩B=(  ) A.{1,2} B.{1,2,3} C.[1,3) D.(3,+∞) 解:∵A={x|0<x<3},B={x|x≥1}, ∴A∩B=[1,3). 故选:C. 2.已知i为虚数单位,,则复数z的虚部为(  ) A.﹣2i B.2i C.2 D.﹣2 解:===2﹣2i, 则复数z的虚部为﹣2, 故选:D. 3.函数y=tan(2x+)的图象(  ) A.关于原点对称 B.关于点(﹣,1)对称 C.关于直线x=﹣对称 D.关于点(,0)对称 解:函数y=tan(2x+)中, 令2x+=,k∈Z; 解得x=﹣,k∈Z; 令k=1,得x=, 所以y=tan(2x+)的图象关于原点(,0)对称,D正确. 故选:D. 4.根据党中央关于“精准”脱贫的要求,某市农业经济部门派三位专家对A、B、C三个县区进行调研,每个县区派一位专家,则甲专家恰好派遣至A县区的概率为(  ) A. B. C. D. 解:某市农业经济部门派三位专家对A、B、C三个县区进行调研,每个县区派一位专家, 故调研的情况的基本事件总数为ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA,六种情况, 甲专家恰好派遣至A县区的情况为ABC,ACB,两种情况, 则甲专家恰好派遣至A县区的概率为:=, 故选:B. 5.已知向量,满足||=1,||=2,|+|=,则在上的投影为(  ) A.1 B. C.2 D. 解:向量,满足||=1,||=2,|+|=, ∴12+22+2=7,可得:=1, 则在上的投影==1. 故选:A. 6.已知椭圆+=1(a>b>0)与双曲线﹣=1的焦点相同,则椭圆的离心率为(  ) A. B. C. D. 解:椭圆+=1(a>b>0)的半焦距c1=, 双曲线﹣=1的半焦距c2=, 由题意可得,即a2=2b2, ∴椭圆的离心率为e==. 故选:A. 7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该几何体的体积为(  ) A. B. C. D. 解:根据三视图知,该几何体是如图所示的三棱锥C1﹣ABD, 结合图中数据,计算该三棱锥的体积为: V=Sh=××4×2×2=. 故选:B. 8.已知x,y满足约束条件,则目标函数z=x2+y2的最大值为(  ) A.2 B. C.2 D.13 解:由已知得到可行域如图: 目标函数z=x2+y2的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方,由图得知,A是距离原点最远的点,由得到A(3,2),所以目标函数z=x2+y2的最大值为32+22=13; 故选:D. 9.《周易》历来被人们视作儒家群经之首,它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识,是中华人文文化的基础,它反映出中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为:把阳爻“”当作数字“1”,把阴爻“”当作数字“0”,则八卦所代表的数表示如下: 卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数 坤 000 0 震 001 1 坎 010 2 兑 011 3 依此类推,则六十四卦中的“井”卦,符号“”表示的十进制数是(  ) A.11 B.18 C.22 D.26 解:六十四卦中符号“”表示二进制数的010110, 转化为十进制数的计算为0×20+1×21+1×22+0×23+1×24+0×25=22. 故选:C. 10.执行如图所示的程序框图,若输入的a,b,c依次为0.90.8,0.80.9,0.90.9,则输出的x为(  ) A.0.90.8 B.0.80.9 C.0.90.9 D.0.80.8 解:由题意可知a、b、c中最大的数用x表示后输出, 若输入的a,b,c依次为0.90.8,0.80.9,0.90.9, 利用指数函数的性质可得0.90.8>0.90.9,0.80.9<0.90.9, 故最大的数x为0.90.8, 故选:A. 11.已知函数f(x)=,若函数g(x)=f(x)﹣ax恰有2个零点,则a的取值范围是(  ) A.(1,+∞) B.[1,2] C.[1,2) D.(0,2) 解:函数g(x)=f(x)﹣ax恰有2个零点,即函数y=f(x)与g(x)=ax的图象有2个交点, 可知直线g(x)=ax过原点,函数y=2ln(2x+1)的导数是, 可知函数y=2ln(x+1)在原点处的切线斜率为k1=2, 函数y=ex﹣1的导数是y′=ex,可知函数y=ex﹣1在原点处的切线斜率为k2=1, 由图象可知,直线g(x)=ax的斜率a∈[1,2)时有2个零点. 故选:C. 12.已知动点M到点F(1,0)的距离与到y轴距离之和为3,动点N在直线2x﹣y+4=0上,则两点距离|MN|的最小值是(  ) A. B. C. D. 解:设动点M(x,y), 当x≥0时,M到y轴距离与到直线x=3的距离之和为3, 由抛物线定义得: 动点M(x,y)满足:y2=﹣4(x﹣2),(x≥0), 同理,当x<0时,M到y轴与到直线x=﹣3的距离之和为3, 由抛物线定理得: 动点M(x,y)满足:y2=8(x+1),(x<0), 当M到直线2x﹣y+4=0距离最小时,x<0, M(x0,y0)到2x﹣y+4=0的距离: d==, 当y0=2时,d取最小值. 故选:B. 二、填空题:本题共4小题,毎题5分,共计20分.请把正确答案填写在答题纸相应的位置上. 13.cos75°﹣cos15°的值是  . 解:原式=sin15°﹣cos15°=sin(450﹣300)﹣cos(450﹣300)=, 故答案为:﹣. 14.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1+x)=﹣f(3﹣x),且f(x)的图象与g(x)=lg的图象有四个交点,则这四个交点的横纵坐标之和等于 8 . 解:,故g(4﹣x)=﹣g(x),即y=g(x)的图象关于点(2,0)对称, 又函数f(x)满足f(1+x)=﹣f(3﹣x),则函数y=f(x)的图象关于点(2,0)对称, 所以四个交点的横纵坐标之和为8. 故答案为:8. 15.已知球的直径SC=2,A,B是该球球面上的两点,AB=,∠ASC=∠BSC=45°,则棱锥S﹣ABC的体积为  . 解:设圆心为O,连结AO,BO, 由SC是球的直径,得到∠SBC=90°, ∵∠ASC=∠BSC=45°,∴BS=BC,AO⊥SC,BO⊥SC, ∴SC⊥平面ABO, ∴棱锥S﹣ABC的体积为: + ===. 故答案为:. 16.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知c=4,(2a+b)cosC+ccosB=0.则△ABC面积的最大值是  . 解:因为(2a+b)cosC+ccosB=0, 由正弦定理可得,2sinAcosC+sinBcosC+sinCcosB=0, 即2sinAcosC+sin(B+C)=0, 所以2sinAcosC+sinA=0, 因为sinA≠0, 所以cosC=﹣,C=, 由余弦定理可得,c2=a2+b2﹣2abcosC, 所以16=a2+b2+ab≥3ab,当且仅当a=b时取等号, 所以ab, 所以S==即面积的最大值. 三、解答题:本题共5小题,共计70分. 17.在公差大于1的等差数列{an}中,a4=13,且a3,a6+1,a13成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令bn=,求数列{bn}的前n项和Sn. 解:(1)设数列{an}的公差为d(d>0), ∵a4=13,且a3,a6+1,a13成等比数列,∴(13+2d+1)2=(13﹣d)(13+9d), 解得:d=3,则a1=4, ∴an=4+3(n﹣1)=3n+1; (2)bn==, ∴=. 18.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,且PA=AD=2,AB=3,点E为线段PD的中点. (1)求证:AE⊥PC; (2)求三棱锥P﹣ACE的体积. 解:(1)证明:∵PA⊥平面ABCD, ∴PA⊥CD, 又在矩形ABCD中,CD⊥AD, ∴CD⊥平面PAD, ∵AE?平面PAD, ∴CD⊥AE, 又∵PA=AD,E为PD中点, ∴AE⊥PD, ∴AE⊥平面PCD, ∴AE⊥PC; (2)∵点E为线段PD的中点. ∴VP﹣ACE=VE﹣PAC=VP﹣ACD=××2×2×3=1. 19.为了丰富学生的课外文化生活,某中学积极探索开展课外文体活动的新途径及新形式,取得了良好的效果.为了调查学生的学习积极性与参加文体活动是否有关,学校对200名学生做了问卷调查,列联表如下: 参加文体活动 不参加文体活动 合计 学习积极性高 80 学习积极性不高 60 合计 200 已知在全部200人中随机抽取1人,抽到学习积极性不高的学生的概率为. (1)请将上面的列联表补充完整; (2)是否有99.9%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关?请说明你的理由; (3)若从不参加文体活动的同学中按照分层抽样的方法选取5人,再从所选出的5人中随机选取2人,求至少有1人学习积极性不高的概率. 附: P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 K2=,其中n=a+b+c+d. 解:根据题意,全部200人中随机抽取1人,抽到学习积极性不高的学生的概率为,则学习积极性不高的有200×=80人, 据此可得:列联表如下: 参加文体活动 不参加文体活动 合计 学习积极性高 80 40 120 学习积极性不高 20 60 80 合计 100 100 200 (2)根据题意,由列联表可得:K2=≈33.33>10.828; 故有99.9%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关; (3)根据题意,从不参加文体活动的同学中按照分层抽样的方法选取5人,有2人学习积极性高,设为A、B,有3人学习积极性不高,设为C、D、E, 从中选取2人,有AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE,共10种情况, 其中至少有1人学习积极性不高的有AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE,共9种情况, 至少有1人学习积极性不高的概率P=. 20.已知椭圆C:+=1(a>b>0),点A(2,0)、P(x0,y0)、Q(﹣x0,﹣y0)(y0≠0)在椭圆上,直线AP与直线AQ的斜率之积kAP?kAQ=﹣. (1)求椭圆的标准方程; (2)已知直线l:+=1点B(﹣1,0)关于直线l的对称点是D,求证:过点P,D的直线恒过定点. 解:(1)椭圆C:+=1(a>b>0),点A(2,0), a=2,P(x0,y0)、Q(﹣x0,﹣y0)(y0≠0)在椭圆上,直线AP与直线AQ的斜率之积kAP?kAQ=﹣, 得,由,联立得b2=3, 所以椭圆的标准方程为:; (2)证明:由(1)直线l为,设D的坐标为(m,n), 则,解得, 故=, 取点F(1,0),显然kPF=kPD,所以D,P,F三点共线, 即直线PD恒过定点(1,0). 21.已知函数f(x)=ex﹣ax﹣1. (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)当x>0时,f(x)≥x2﹣x恒成立,求实数a的取值范围. 解:(1)函数的定义域为R,f'(x)=ex﹣a, 若a≤0,则f'(x)>0,所以f(x)在R上单调递增; 若a>0,令f'(x)=ex﹣a=0,则x=lna, 当x∈(﹣∞,lna)时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈(lna,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 综上所述, (2)当x>0时,f(x)≥x2﹣x,即, 令,则, 令g(x)=ex﹣x﹣1(x>0),则g'(x)=ex﹣1>0, 当x>0时,g(x)单调递增,g(x)>g(0)=0, 所以当0<x<1时,h'(x)<0,h(x)单调递减, 当x>1时,h'(x)>0,h(x)单调递增, 故h(x)min=h(1)=e﹣1, 所以a的取值范围是(﹣∞,e﹣1]. 请考生在第22、23二题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-4:坐标系与参数方程] 22.在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ. (1)求C1,C2的普通方程; (2)设点A在曲线C1上,且对应的t=2,点B是曲线C2上的点,求AOB面积的最大值. 解:(1)曲线C1的方程为(t为参数).转换为直角坐标方程为x﹣. 曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.转换为直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0. (2)点A在曲线C1上,且对应的t=2,所以A(1,),则转换为极坐标为A(2,), 设B(ρ,θ),则ρ=2sinθ, 则==, 当时,. [选修4-5:不等式选讲] 23.已知函数f(x)=|2x﹣1|+|x﹣a|. (1)当a=1时,求不等式f(x)>2的解集; (2)若不等式f(x)<2x在x∈[1,2]上恒成立,求实数a的取值范围. 解:(1)当a=1时,f(x)=|2x﹣1|+|x﹣1|, 由f(x)>2,可得或或, 即为x>或x∈?或x<0, 则原不等式的解集为{x|x>或x<0}; (2)函数f(x)的解析式可得当x∈[1,2]时, f(x)<2x?2x﹣1+|x﹣a|<2x?|x﹣a|<1; f(x)<2x在x∈[1,2]上恒成立,可得 ﹣1<x﹣a<1,即a﹣1<x<1+a在x∈[1,2]恒成立, 由x∈[1,2],可得a﹣1<1且a+1>2, 可得1<a<2.

    • 2020-04-05
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  • ID:3-7131361 2020年湖北省黄冈中学高考(理科)数学模拟试卷 Word版含解析

    高中数学/高考专区/模拟试题

    2020年高考数学模拟试卷(理科) 一、选择题 1.已知集合A={x|9x2﹣3<1},B={y|y<2},则(?RA)∩B=(  ) A. B.? C. D. 2.已知复数z1=3﹣bi,z2=1﹣2i,若是实数,则实数b的值为(  ) A.6 B.﹣6 C.0 D. 3.AQI即空气质量指数,AQI越小,表明空气质量越好,当AQI不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某市3月1日到12日AQI的统计数据.则下列叙述正确的是(  ) A.这12天的AQI的中位数是90 B.12天中超过7天空气质量为“优良” C.从3月4日到9日,空气质量越来越好 D.这12天的AQI的平均值为100 4.已知函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的解析式可能是(  ) A.f(x)=(4x+4﹣x)|x| B.f(x)=(4x﹣4﹣x)log2|x| C.f(x)=(4x+4﹣x)log2|x| D.f(x)=(4x+4﹣x)|x| 5.设a=log48,b=log0.48,c=20.4,则(  ) A.b<c<a B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 6.已知A、B是圆O:x2+y2=16的两个动点,||=4,=﹣.若M是线段AB的中点,则?的值为(  ) A.8+4 B.8﹣4 C.12 D.4 7.“仁义礼智信”为儒家“五常”,由孔子提出“仁、义、礼”,孟子延生为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”,将“仁义礼智信”排成一排,“仁”排在第一位,且“智信”相邻的概率为(  ) A. B. C. D. 8.如图所示,在单位正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP+D1P取得最小值,则此最小值为(  ) A.2 B. C.2+ D. 9.已知双曲线的右焦点为F,渐近线为l1,l2,过点F的直线l与l1,l2的交点分别为A,B,若AB⊥l2,则|AB|=(  ) A. B. C. D. 10.已知数列{an}的通项公式为,则数列{an}的前2020项和为(  ) A. B. C. D. 11.已知函数,现有如下命题: ①函数f(x)的最小正周期为;②函数f(x)的最大值为; ③是函数f(x)图象的一条对称轴. 其中正确命题的个数为(  ) A.0 B.1 C.2 D.3 12.已知P,A,B,C是半径为2的球面上的点,PA=PB=PC=2,∠ABC=90°,点B在AC上的射影为D,则三棱锥P﹣ABD体积的最大值是(  ) A. B. C. D. 二、填空题:共4小题,每小题5分,共20分. 13.已知实数x,y满足,则目标函数z=5x+2y的最大值是   . 14.设Sn为数列{an}的前n项和,已知a1=2,对任意p,q∈N*,都有ap+q=ap?aq,则 (n>1且n∈N*)的最小值为   . 15.点A,B为椭圆E:长轴的端点,C、D为椭圆E短轴的端点,动点M满足,若△MAB面积的最大值为8,△MCD面积的最小值为1,则椭圆的离心率为   . 16.已知函数f(x)对x∈R均有f(x)+2f(﹣x)=mx﹣6,若f(x)≥lnx恒成立,则实数m的取值范围是   . 三、解答题:共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第14至18题为必考题,每个试题考生都必须作答,第19-1、19-2题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共5小题,每小题l2分,共60分. 17.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知,点M是BC的中点. (1)求A的值; (2)若a=,求中线AM的最大值. 18.如图,ABCD是边长为2的正方形,面EAD⊥面ABCD,且EA=ED,O是线段AD的中点,过E作直线l∥AB,F是直线l上一动点. (1)求证:OF⊥BC; (2)若直线l上存在唯一一点F使得直线OF与平面BCF垂直,求二面角B﹣OF﹣C的余弦值. 19.某种产品的质量以其质量指标值衡量,并依据质量指标值划分等极如下表: 质量指标值m m<185 185≤m<205 m≥205 等级 三等品 二等品 一等品 从某企业生产的这种产品中抽取200件,检测后得到如下的频率分布直方图: (Ⅰ)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品90%”的规定? (Ⅱ)在样本中,按产品等极用分层抽样的方法抽取8件,再从这8件产品中随机抽取4件,求抽取的4件产品中,一、二、三等品都有的概率; (III)该企业为提高产品质量,开展了“质量提升月”活动,活动后再抽样检测,产品质量指标值X近似满足X~N(218,140),则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少? 20.已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点F(0,1) (Ⅰ)求抛物线C的方程; (Ⅱ)过F作直线交抛物线于A、B两点.若直线OA、OB分别交直线l:y=x﹣2于M、N两点,求|MN|的最小值. 21.已知函数f(x)=xex﹣1﹣a(x+lnx),a∈R. (1)若f(x)存在极小值,求实数a的取值范围; (2)设x0是f(x)的极小值点,且f(x0)≥0,证明:f(x0)≥2(x02﹣x03). (二)选考题:共10分.请考生在第19-1,19-2题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.[选修4-4:坐标系与参数方程] 22.已知曲线C1的参数方程为(φ为参数),以原点O为极点,以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为. (1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程; (2)射线OM与曲线C1交于点M,射线ON与曲线C2交于点N,求的取值范围. [选修4-5:不等式选讲] 23.已知函数f(x)=|2x﹣a|+|2x+3|,g(x)=|x﹣1|+2. (1)解不等式|g(x)|<5; (2)若对任意x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围. 参考答案 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={x|9x2﹣3<1},B={y|y<2},则(?RA)∩B=(  ) A. B.? C. D. 解:根据题意,集合A={x|9x2﹣3<1}=(﹣,),则?RA=(﹣∞,﹣]∪[,+∞), 又由B={y|y<2},则(?RA)∩B=(﹣∞,﹣]∪[,2), 故选:C. 2.已知复数z1=3﹣bi,z2=1﹣2i,若是实数,则实数b的值为(  ) A.6 B.﹣6 C.0 D. 解:∵===是实数, 则6﹣b=0,∴实数b的值为6, 故选:A. 3.AQI即空气质量指数,AQI越小,表明空气质量越好,当AQI不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某市3月1日到12日AQI的统计数据.则下列叙述正确的是(  ) A.这12天的AQI的中位数是90 B.12天中超过7天空气质量为“优良” C.从3月4日到9日,空气质量越来越好 D.这12天的AQI的平均值为100 解:这12天的AQI的中位数是=99.5,故A错误; 这12天中,空气质量为“优良”的有95,85,77,67,72,92,故B错误; 从4日到9日,AQI数值越来越低,空气质量越来越好,故C正确, (67+72+77+85+92+97+104+111+135+138+144+201)=110.25,所以D错误, 故选:C. 4.已知函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的解析式可能是(  ) A.f(x)=(4x+4﹣x)|x| B.f(x)=(4x﹣4﹣x)log2|x| C.f(x)=(4x+4﹣x)log2|x| D.f(x)=(4x+4﹣x)|x| 解:函数f(x)的图象如图所示, 函数是偶函数,x=1时,函数值为0. f(x)=(4x+4﹣x)|x|是偶函数,但是f(1)≠0, f(x)=(4x﹣4﹣x)log2|x|是奇函数,不满足题意. f(x)=(4x+4﹣x)log2|x|是偶函数,f(1)=0满足题意; f(x)=(4x+4﹣x)|x|是偶函数,f(1)=0,x∈(0,1)时,f(x)>0,不满足题意. 则函数f(x)的解析式可能是f(x)=(4x+4﹣x)log2|x|. 故选:C. 5.设a=log48,b=log0.48,c=20.4,则(  ) A.b<c<a B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 解:∵b底大于0小于1而真数大于1∴b<0 ∵a=log48= c=20.4<20.5=,∴a>c>b 故选:A. 6.已知A、B是圆O:x2+y2=16的两个动点,||=4,=﹣.若M是线段AB的中点,则?的值为(  ) A.8+4 B.8﹣4 C.12 D.4 解:因为M是线段AB的中点,所以=+, 从而?=(﹣)?(+)=2﹣2+?, 由圆的方程可知圆O的半径为4, 即||=||=4, 又因为||=4, 所以<,>=60°, 故?=8, 所以?=×16﹣×16+×8=12. 故选:C. 7.“仁义礼智信”为儒家“五常”,由孔子提出“仁、义、礼”,孟子延生为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”,将“仁义礼智信”排成一排,“仁”排在第一位,且“智信”相邻的概率为(  ) A. B. C. D. 解:将“仁义礼智信”排成一排, 基本事件总数n=, “仁”排在第一位,且“智信”相邻包含的基本事件个数m==12, ∴“仁”排在第一位,且“智信”相邻的概率为p==. 故选:A. 8.如图所示,在单位正方体ABCD﹣A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP+D1P取得最小值,则此最小值为(  ) A.2 B. C.2+ D. 解:如图所示,把对角面A1C绕A1B旋转至A1BC′D1′, 使其与△AA1B在同一平面上,连接AD1′, 则AD1′==为所求的最小值. 故选:D. 9.已知双曲线的右焦点为F,渐近线为l1,l2,过点F的直线l与l1,l2的交点分别为A,B,若AB⊥l2,则|AB|=(  ) A. B. C. D. 解:如图,由双曲线C:,得,b=1,c=3. 设l1:y=,l2:, 则, ∴AB:y=(x﹣3), 联立,解得B(,﹣); 联立,解得A(,). ∴|OA|=,|OB|=. ∴|AB|2==. ∴|AB|=. 故选:A. 10.已知数列{an}的通项公式为,则数列{an}的前2020项和为(  ) A. B. C. D. 解:∵数列{an}的通项公式为=(﹣1)n﹣1, 则数列{an}的前2020项和为:= 1=. 故选:C. 11.已知函数,现有如下命题: ①函数f(x)的最小正周期为;②函数f(x)的最大值为; ③是函数f(x)图象的一条对称轴. 其中正确命题的个数为(  ) A.0 B.1 C.2 D.3 解:由题意可知,函数f(x)的最小正周期为,即①正确; ②当时,f(x)=﹣=, 当时,f(x)==, 当时,f(x)==, 可绘制出该函数的图象如下图所示, 故函数的最大值为,即②正确; ③由②的分析可得函数关于对称,即③正确; 故选:D. 12.已知P,A,B,C是半径为2的球面上的点,PA=PB=PC=2,∠ABC=90°,点B在AC上的射影为D,则三棱锥P﹣ABD体积的最大值是(  ) A. B. C. D. 解:如图, 由题意,PA=PB=PC=2,∠ABC=90°, 可知P在平面ABC上的射影G为△ABC的外心,即AC中点, 则球的球心在PG的延长线上,设PG=h,则OG=2﹣h, ∴OB2﹣OG2=PB2﹣PG2,即4﹣(2﹣h)2=4﹣h2,解得h=1. 则AG=CG=, 过B作BD⊥AC于D,设AD=x,则CD=, 再设BD=y,由△BDC∽△ADB,可得, ∴y=,则, 令f(x)=,则f′(x)=, 由f′(x)=0,可得x=, ∴当x=时,f(x)max=, ∴△ABD面积的最大值为, 则三棱锥P﹣ABD体积的最大值是. 故选:B. 二、填空题:共4小题,每小题5分,共20分. 13.已知实数x,y满足,则目标函数z=5x+2y的最大值是 15 . 解:先根据约束条件画出可行域,如图: 然后平移直线z=5x+2y, 当直线z=5x+2y过点A(3,0)时,z最大值为15. 故答案为:15. 14.设Sn为数列{an}的前n项和,已知a1=2,对任意p,q∈N*,都有ap+q=ap?aq,则 (n>1且n∈N*)的最小值为 32 . 解:依题意,由p,q∈N*,及p,q的任意性, 可令p=n,q=1,则 ap+q=ap?aq,即为an+1=an?a1=2an. ∴数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列. ∴an=2?2n﹣1=2n,n∈N*. ∴Sn﹣1==2n﹣2. ∴= = =2n+ ≥2 =32. 当且仅当2n=,即n=4时,等号成立. ∴(n>1且n∈N*)的最小值为32. 故答案为:32. 15.点A,B为椭圆E:长轴的端点,C、D为椭圆E短轴的端点,动点M满足,若△MAB面积的最大值为8,△MCD面积的最小值为1,则椭圆的离心率为  . 解:由题意可得A(﹣a,0),B(a,0),C(0,b),D(0,﹣b),设M(x,y), 因为动点M满足,所以=2,整理可得:x2+y2﹣ax+a2=0,即(x﹣)2+y2=a2, 则可得M是以(,0)为圆心,以为半径的圆, 所以当M(a,)时△MAB面积的最大值为8,即=8,解得a=, 当M位于M1(a,0)时,△MCD面积的最小值为1,即=1,所以b=, 所以离心率e===, 故答案为:. 16.已知函数f(x)对x∈R均有f(x)+2f(﹣x)=mx﹣6,若f(x)≥lnx恒成立,则实数m的取值范围是 (﹣∞,﹣e] . 解:∵函数f(x)对x∈R均有f(x)+2f(﹣x)=mx﹣6①, ∴将﹣x换为x,得f(﹣x)+2f(x)=﹣mx﹣6②, ∴由①②,解得f(x)=﹣mx﹣2. ∵f(x)≥lnx恒成立,∴m≤﹣恒成立, ∴只需m≤. 令,则g'(x)=, 令g'(x)=0,则x=, ∴g(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增, ∴,∴m≤﹣e, ∴m的取值范围为(﹣∞,﹣e]. 故答案为:(﹣∞,﹣e]. 三、解答题:共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第14至18题为必考题,每个试题考生都必须作答,第19-1、19-2题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共5小题,每小题l2分,共60分. 17.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知,点M是BC的中点. (1)求A的值; (2)若a=,求中线AM的最大值. 解:(1)△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知, 由正弦定理得:, 由于sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,且sinC≠0, 整理得:tanA=,(0<A<π), 所以A=. (2)在△ABC中,由余弦定理b2+c2﹣bc=3, 由于,当且仅当b=c时,等号成立. 所以b2+c2≤6. 由于AM是BC边的中线, 所以:在△ABM和△ACM中, 由余弦定理得:①, ② 由①②得:, 当且仅当b=c时,AM的最大值为. 18.如图,ABCD是边长为2的正方形,面EAD⊥面ABCD,且EA=ED,O是线段AD的中点,过E作直线l∥AB,F是直线l上一动点. (1)求证:OF⊥BC; (2)若直线l上存在唯一一点F使得直线OF与平面BCF垂直,求二面角B﹣OF﹣C的余弦值. 【解答】(1)证明:∵EA=ED,O是AD的中点,∴EO⊥DA, ∵面EAD⊥面ABCD,面EAD∩面ABCD=AD, ∴EO⊥面ABCD,∴EO⊥BC ∵EF∥AB,BC⊥AB,∴EF⊥BC ∵EO∩EF=E ∴BC⊥面EOF ∵OF?面EOF,∴OF⊥BC; (2)解:设BC的中点为M,连接OM,FM,设OM的中点为N,连接FN ∵EF∥AB,OM∥AB,∴EF∥OM,∴E,F,O,M四点共面 ∵OF⊥BC,∴OF⊥面FBC等价于OF⊥FM, ∴直线l上存在唯一一点F使得直线OF与平面BCF垂直,即等价于以OM为直径的圆与直线l相切,F恰为切点,NF⊥EF ∴直线l与直线OM的距离为1,故NF=1 ∵OE⊥EF,NF⊥EF,OE,NF共面,∴NF∥OE ∵EO⊥面ABCD,∴NF⊥面ABCD 在直角△FNB和△FNC中,BF=CF= ∵OF⊥面FBC,∴OF⊥BF,OF⊥CF ∴∠BFC为二面角B﹣OF﹣C的平面角 ∴在△BFC中,BF=CF=,BC=2,cos∠BFC==. 19.某种产品的质量以其质量指标值衡量,并依据质量指标值划分等极如下表: 质量指标值m m<185 185≤m<205 m≥205 等级 三等品 二等品 一等品 从某企业生产的这种产品中抽取200件,检测后得到如下的频率分布直方图: (Ⅰ)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品90%”的规定? (Ⅱ)在样本中,按产品等极用分层抽样的方法抽取8件,再从这8件产品中随机抽取4件,求抽取的4件产品中,一、二、三等品都有的概率; (III)该企业为提高产品质量,开展了“质量提升月”活动,活动后再抽样检测,产品质量指标值X近似满足X~N(218,140),则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少? 解:(Ⅰ)根据抽样调查数据,一、二等品所占比例的估计值为0.200+0.300+0.260+0.090+0.025=0.875, 由于该估计值小于0.90, 故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品90%”的规定. (Ⅱ)由频率分布直方图知,一、二、三等品的频率分别为0.375、0.5、0.125, 故在样本中用分层抽样方法抽取的8件产品中,一等品3件,二等品4件,三等品1件, 再从这8件产品中随机抽取4件,一、二、三等品都有的情况有2种: ①一等品2件,二等品1件,三等品1件;②一等品1件,二等品2件,三等品1件, 故所求的概率. (Ⅲ)“质量提升月”活动前,该企业这种产品的质量指标值的均值约为: 170×0.025+180×0.1+190×0.2+200×0.3+210×0.26+220×0.09+230×0.025=200.4 “质量提升月”活动后,产品质量指标值X近似满足X~N(218,140),则E(X)=218. 所以,“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了:218﹣200.4=17.6. 20.已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点F(0,1) (Ⅰ)求抛物线C的方程; (Ⅱ)过F作直线交抛物线于A、B两点.若直线OA、OB分别交直线l:y=x﹣2于M、N两点,求|MN|的最小值. 解:(I)由题意可设抛物线C的方程为x2=2py(p>0)则=1,解得p=2,故抛物线C的方程为x2=4y (II)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+1, 由消去y,整理得x2﹣4kx﹣4=0, 所以x1+x2=4k,x1x2=﹣4,从而有|x1﹣x2|==4, 由解得点M的横坐标为xM===, 同理可得点N的横坐标为xN=, 所以|MN|=|xM﹣xN|=|﹣|=8||=, 令4k﹣3=t,t≠0,则k=, 当t>0时,|MN|=2>2, 当t<0时,|MN|=2=2≥. 综上所述,当t=﹣,即k=﹣时,|MN|的最小值是. 21.已知函数f(x)=xex﹣1﹣a(x+lnx),a∈R. (1)若f(x)存在极小值,求实数a的取值范围; (2)设x0是f(x)的极小值点,且f(x0)≥0,证明:f(x0)≥2(x02﹣x03). 解:(1)∵函数f(x)=xex﹣1﹣a(x+lnx),a∈R. ∴. 令g(x)=xex﹣1﹣a, 则g′(x)=(x+1)ex﹣1>0, ∴g(x)在(0,+∞)上是增函数. 又∵当x→0时,g(x)→﹣a,当x→+∞时,g(x)→+∞. ∴当a≤0时,g(x)>0,f′(x)>0,函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数,不存在极值点; 当a>0时,g(x)的值域为(﹣a,+∞),必存在x0>0,使g(x0)=0. ∴当x∈(0,x0)时,g(x)<0,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈(x0,+∞)时,g(x)>0,f′(x)>0,f(x)单调递增; ∴f(x)存在极小值点. 综上可知实数a的取值范围是(0,+∞). 证明:(2)由(1)知﹣a=0,即a=. ∴lna=lnx0+x0﹣1, f(x0)=(1﹣x0﹣lnx0). 由f(x0)≥0,得1﹣x0﹣lnx0≥0. 令g(x)=1﹣x﹣lnx,由题意g(x)在区间(0,+∞)上单调递减. 又g(1)=0,∴由f(x0)≥0,得0<x0≤1, 令H(x)=x﹣lnx﹣1,(x>0),则H′(x)=1﹣=, 当x>1时,H′(x)>0,函数H(x)单调递增; 当0<x<1时,H′(x)<0,函数H(x)单调递减; ∴当x=1时,函数H(x)取最小值H(1)=0, ∴H(x)=x﹣lnx﹣1≥0,即x﹣1≥lnx,即ex﹣1≥x, ∴,1﹣x0﹣lnx0≥1﹣x0﹣(x0﹣1)=2(1﹣x0)≥0, ∴f(x0)=(1﹣x0﹣lnx0)≥?2(1﹣x0)=2(﹣), ∴f(x0)≥2(x02﹣x03). (二)选考题:共10分.请考生在第19-1,19-2题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.[选修4-4:坐标系与参数方程] 22.已知曲线C1的参数方程为(φ为参数),以原点O为极点,以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为. (1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程; (2)射线OM与曲线C1交于点M,射线ON与曲线C2交于点N,求的取值范围. 解:(1)由曲线C1的参数方程(φ为参数), 得:, 即曲线C1的普通方程为. 又x=ρcosθ,y=ρsinθ, 曲线C1的极坐标方程为3ρ2cos2θ+2ρ2sin2θ=6, 即ρ2cos2θ+2ρ2=6. 曲线C2的极坐标方程可化为, 故曲线C2的直角方程为. (2)由已知,设点M和点N的极坐标分别为(ρ1,α),,其中, 则, . 于是. 由, 得﹣1<cosα<0, 故的取值范围是. 一、选择题 23.已知函数f(x)=|2x﹣a|+|2x+3|,g(x)=|x﹣1|+2. (1)解不等式|g(x)|<5; (2)若对任意x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围. 解:(1)由||x﹣1|+2|<5,得﹣5<|x﹣1|+2<5 ∴﹣7<|x﹣1|<3, 得不等式的解为﹣2<x<4… (2)因为任意x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立, 所以{y|y=f(x)}?{y|y=g(x)}, 又f(x)=|2x﹣a|+|2x+3|≥|(2x﹣a)﹣(2x+3)|=|a+3|, g(x)=|x﹣1|+2≥2,所以|a+3|≥2,解得a≥﹣1或a≤﹣5, 所以实数a的取值范围为a≥﹣1或a≤﹣5.…

    • 2020-04-05
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  • ID:3-7131360 2020年广东省广州市高考(文科)数学一模测试卷 Word版含解析

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    2020年高考数学一模试卷(文科) 一、选择题 1.已知复数z=i(1+i),则|z|=(  ) A. B. C.1 D. 2.已知集合A={0,1,2,3},B={﹣1,0,1},P=A∩B,则P的子集共有(  ) A.2个 B.4个 C.6个 D.8个 3.设向量=(m,1),=(2,﹣1),且⊥,则m=(  ) A.﹣2 B.﹣ C. D.2 4.已知{an}是等差数列,a3=5,a2﹣a4+a6=7,则数列{an}的公差为(  ) A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2 5.已知命题p:?x∈R,x2﹣x+1<0;命题q:?x∈R,x2>x3,则下列命题中为真命题的是(  ) A.p∧q B.¬p∧q C.p∧¬q D.¬p∧¬q 6.已知偶函数f(x)满足f(x)=x﹣(x>0),则{x|f(x+2)>1}=(  ) A.{x|x<﹣4或x>0} B.{x|x<0或x>4} C.{x|x<﹣2或x>2} D.{x|x<﹣2或x>4} 7.如图,圆O的半径为1,A,B是圆上的定点,OB⊥OA,P是圆上的动点,点P关于直线OB的对称点为P',角x的始边为射线OA,终边为射线OP,将|﹣|表示为x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]上的图象大致为(  ) A. B. C. D. 8.陀螺是中国民间最早的娱乐工具,也称陀罗.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某个陀螺的三视图,则该陀螺的表面积为(  ) A.(7+2)π B.(10+2)π C.(10+4)π D.(11+4)π 9.某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆,其轨道的离心率为e,设地球半径为R,该卫星近地点离地面的距离为r,则该卫星远地点离地面的距离为(  ) A.r+R B.r+R C.r+R D.r+R 10.已知函数f(x)=x﹣alnx﹣1存在极值点,且f(x)≤0恰好有唯一整数解,则实数a的取值范围是(  ) A.(﹣∞,1) B.(0,1) C.(0,) D.(,+∞) 11.已知F1,F2是双曲线C:﹣y2=1(a>0)的两个焦点,过点F1且垂直于x轴的直线与C相交于A,B两点,若|AB|=,则△ABF2的内切圆的半径为(  ) A. B. C. D. 12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G分别是棱AD,CC1,C1D1的中点,给出下列四个命题: ①EF⊥B1C; ②直线FG与直线A1D所成角为60°; ③过E,F,G三点的平面截该正方体所得的截面为六边形; ④三棱锥B﹣EFG的体积为. 其中,正确命题的个数为(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.已知函数y=f(x)的图象与y=2x的图象关于直线y=x对称,则f(4)=   . 14.设x,y满足约束条件,则z=x﹣2y的最小值为   . 15.羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成.某班级从3名男生A1,A2,A3和3名女生B1,B2,B3中各随机选出两名,把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛,则A1和B1两人组成一队参加比赛的概率为   . 16.记Sn为数列{an}的前n项和,若2Sn﹣an=,则a3+a4=   ,数列{an+2﹣an}的前n项和Tn=   . 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分. 17.某企业质量检验员为了检测生产线上零件的情况,从生产线上随机抽取了80个零件进行测量,根据所测量的零件尺寸(单位:mm),得到如图的频率分布直方图: (1)根据频率分布直方图,求这80个零件尺寸的中位数(结果精确到0.01); (2)已知尺寸在[63.0,64.5)上的零件为一等品,否则为二等品.将这80个零件尺寸的样本频率视为概率,从生产线上随机抽取1个零件,试估计所抽取的零件是二等品的概率. 18.已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,sin2A+sin2C﹣sinAsinC=sin2B. (1)求sinB的值; (2)若b=2,△ABC的面积为,求△ABC的周长. 19.如图,三棱锥P﹣ABC中,PA=PC,AB=BC,∠APC=120°,∠ABC=90°,AC=PB=2. (1)求证:AC⊥PB; (2)求点C到平面PAB的距离. 20.已知点P是抛物线C:y=﹣3的顶点,A,B是C上的两个动点,且?=﹣4. (1)判断点D(0,﹣1)是否在直线AB上?说明理由; (2)设点M是△PAB的外接圆的圆心,求点M的轨迹方程. 21.已知函数f(x)=alnx﹣,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为2x﹣y﹣2﹣e=0. (1)求a,b的值; (2)证明函数f(x)存在唯一的极大值点x0,且f(x0)<2ln2﹣2. (二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程] 22.已知曲线C1的参数方程为(t为参数),曲线C2的参数方程为(θ为参数). (1)求C1与C2的普通方程; (2)若C1与C2相交于A,B两点,且|AB|=,求sinα的值. [选修4-5:不等式选讲] 23.已知a>0,b>0,且a+b=1. (1)求+的最小值; (2)证明:<. 参考答案 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数z=i(1+i),则|z|=(  ) A. B. C.1 D. 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数模的计算公式求解. 解:∵z=i(1+i)=﹣1+i, ∴|z|=. 故选:D. 2.已知集合A={0,1,2,3},B={﹣1,0,1},P=A∩B,则P的子集共有(  ) A.2个 B.4个 C.6个 D.8个 【分析】先求出P=A∩B={0,1},由此能求出P的子集的个数. 解:∵集合A={0,1,2,3},B={﹣1,0,1}, ∴P=A∩B={0,1}, ∴P的子集共有22=4. 故选:B. 3.设向量=(m,1),=(2,﹣1),且⊥,则m=(  ) A.﹣2 B.﹣ C. D.2 【分析】由,得=2m﹣1=0,由此能求出x的值. 解:∵向量=(m,1),=(2,﹣1),且, ∴=2m﹣1=0,解得m=, ∴实数m=. 故选:C. 4.已知{an}是等差数列,a3=5,a2﹣a4+a6=7,则数列{an}的公差为(  ) A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2 【分析】利用等差数列通项公式列出方程组,能求出数列{an}的公差. 解:∵{an}是等差数列,a3=5,a2﹣a4+a6=7, ∴, 解得a1=1,d=2. ∴数列{an}的公差为2. 故选:D. 5.已知命题p:?x∈R,x2﹣x+1<0;命题q:?x∈R,x2>x3,则下列命题中为真命题的是(  ) A.p∧q B.¬p∧q C.p∧¬q D.¬p∧¬q 【分析】根据条件判断命题p,q的真假,结合复合命题真假关系进行判断即可. 解:x2﹣x+1=(x﹣)2+>0恒成立,故命题p:?x∈R,x2﹣x+1<0为假命题, 当x=﹣1时,x2>x3,成立,即命题q:?x∈R,x2>x3,为真命题, 则¬p∧q为真,其余为假命题, 故选:B. 6.已知偶函数f(x)满足f(x)=x﹣(x>0),则{x|f(x+2)>1}=(  ) A.{x|x<﹣4或x>0} B.{x|x<0或x>4} C.{x|x<﹣2或x>2} D.{x|x<﹣2或x>4} 【分析】偶函数f(x)满足f(x)=x﹣(x>0),在(0,+∞)递增,根据单调性判断即可. 解:偶函数f(x)满足f(x)=x﹣(x>0),在(0,+∞)递增, 且f(2)=1, 故f(x+2)>1,即|x+2|>2, 解得{x|x>0或者x<﹣4}, 故选:A. 7.如图,圆O的半径为1,A,B是圆上的定点,OB⊥OA,P是圆上的动点,点P关于直线OB的对称点为P',角x的始边为射线OA,终边为射线OP,将|﹣|表示为x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]上的图象大致为(  ) A. B. C. D. 【分析】设PP'的中点为M,则|﹣|=,当x∈[0,]时,在Rt△OMP中,利用三角函数可知,|PM|=cosx,所以f(x)=2cosx,从而得解. 解:设PP'的中点为M,则|﹣|=, 当x∈[0,]时,在Rt△OMP中,|OP|=1,∠OPM=∠POA=x,所以cosx=, 所以|PM|=cosx,|﹣|=2cosx,即f(x)=2cosx,x∈[0,]. 从四个选项可知,只有选项A正确, 故选:A. 8.陀螺是中国民间最早的娱乐工具,也称陀罗.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某个陀螺的三视图,则该陀螺的表面积为(  ) A.(7+2)π B.(10+2)π C.(10+4)π D.(11+4)π 【分析】画出几何体的直观图,利用三视图的数据求解几何体的表面积即可. 解:由题意可知几何体的直观图如图:上部是圆柱,下部是圆锥, 几何体的表面积为:=(10+4)π. 故选:C. 9.某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆,其轨道的离心率为e,设地球半径为R,该卫星近地点离地面的距离为r,则该卫星远地点离地面的距离为(  ) A.r+R B.r+R C.r+R D.r+R 【分析】由题意画出图形,结合椭圆的定义,结合椭圆的离心率,求出椭圆的长半轴a,半焦距c,即可确定该卫星远地点离地面的距离. 解:椭圆的离心率:e=∈(0,1),(c为半焦距;a为长半轴) 只要求出椭圆的c和a,设卫星近地点,远地点离地面距离分别为m,n, 由题意,结合图形可知,a﹣c=r+R,远地点离地面的距离为:n=a+c﹣R,m=a﹣c﹣R, a=, c=, 所以远地点离地面的距离为:n=a+c﹣R==. 故选:A. 10.已知函数f(x)=x﹣alnx﹣1存在极值点,且f(x)≤0恰好有唯一整数解,则实数a的取值范围是(  ) A.(﹣∞,1) B.(0,1) C.(0,) D.(,+∞) 【分析】利用导数可知函数f(x)在(0,a)单调递减,在(a,+∞)单调递增,再分0<a≤1及a>1讨论即可得出结果. 解:函数的定义域为(0,+∞),且, 又函数f(x)存在极值点,即y=f′(x)有变号零点,故a>0, 故函数f(x)在(0,a)单调递减,在(a,+∞)单调递增, 注意到f(1)=0,x→0时,f(x)>0, ①当0<a≤1时,显然f(x)≤0恰好有唯一整数解x=1,满足题意; ②当a>1时,只需满足f(2)>0,即1﹣aln2>0,解得; 综上,实数a的取值范围为. 故选:C. 11.已知F1,F2是双曲线C:﹣y2=1(a>0)的两个焦点,过点F1且垂直于x轴的直线与C相交于A,B两点,若|AB|=,则△ABF2的内切圆的半径为(  ) A. B. C. D. 【分析】设左焦点F1的坐标,由过F1垂直于x轴的直线与椭圆联立可得弦长AB,再由椭圆可得a的值,进而可得双曲线的方程,及左右焦点的坐标,进而求出三角形ABF2的面积,再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径. 解:由双曲线的方程可设左焦点F1(﹣c,0),由题意可得 AB==,再由b=1,可得a=,所以双曲线的方程为:﹣y2=1, 所以F1(﹣,0),F2(,0),所以S=?F1F2==, 三角形ABF2的周长为C=AB+AF2+BF2=AB+(2a+AF1)+(2a+BF1)=4a+2AB=4+2=6, 设内切圆的半径为r,所以三角形的面积S===3, 所以3=,解得:r=, 故选:B. 12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G分别是棱AD,CC1,C1D1的中点,给出下列四个命题: ①EF⊥B1C; ②直线FG与直线A1D所成角为60°; ③过E,F,G三点的平面截该正方体所得的截面为六边形; ④三棱锥B﹣EFG的体积为. 其中,正确命题的个数为(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 【分析】画出几何体的图形,然后转化判断四个命题的真假即可. 解:如图;连接相关点的线段,O为BC的中点,连接EFO,因为F是中点,可知B1C⊥OF,EO⊥B1C,可知B1C⊥平面EFO,即可证明B1C⊥EF,所以①正确; 直线FG与直线A1D所成角就是直线A1B与直线A1D所成角为60°;正确; 过E,F,G三点的平面截该正方体所得的截面为五边形;如图:是五边形ENFGI.所以③不正确; 三棱锥B﹣EFG的体积为:VG﹣EBM==. VF﹣EBM==.所以三棱锥B﹣EFG的体积为. ④正确; 故选:C. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.已知函数y=f(x)的图象与y=2x的图象关于直线y=x对称,则f(4)= 2 . 【分析】先利用反函数的定义求出函数f(x)的解析式,即可求出f(4)的值. 解:由题意可知,函数y=f(x)与函数y=2x互为反函数, ∴f(x)=log2x, ∴f(4)=log24=2, 故答案为:2. 14.设x,y满足约束条件,则z=x﹣2y的最小值为 ﹣1 . 【分析】先根据条件画出可行域,设z=x﹣2y,再利用几何意义求最值,将最小值转化为y轴上的截距最大,只需求出直线z=x﹣2y,取得截距的最小值,从而得到z最小值即可. 解:由约束条件得到如图可行域,由目标函数z=x﹣2y得到y=x﹣z; 当直线经过A时,直线在y轴的截距最大,使得z最小, 由 得到A(1,1), 所以z的最小值为1﹣2×1=﹣1; 故答案为:﹣1. 15.羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成.某班级从3名男生A1,A2,A3和3名女生B1,B2,B3中各随机选出两名,把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛,则A1和B1两人组成一队参加比赛的概率为  . 【分析】先设分为甲乙两队,求出基本事件的总数,再根据A1和B1两人组成一队,求出符合条件的个数,相比即可求解. 解:设分为甲乙两队; 则甲队的人任选的话有:=9种情况,乙队去选时有:=4种情况; 故共有9×4=36种情况; 若A1和B1两人组成一队,在甲队时,乙队有=4种情况; 在乙队时,甲队有=4种情况; 故共有4+4=8种情况; 所以:A1和B1两人组成一队参加比赛的概率为:=. 故答案为:. 16.记Sn为数列{an}的前n项和,若2Sn﹣an=,则a3+a4= ﹣ ,数列{an+2﹣an}的前n项和Tn=  . 【分析】(1)直接利用递推关系式的应用求出结果. (2)利用数列的递推关系式的应用和分组求和的应用求出结果. 解:(1)由于数列{an}满足2Sn﹣an=,① 当n≥2时,②, ①﹣②得:, 整理得, 所以. (2)由于, 故③, 所以④, ③﹣④得:, 所以…+, =﹣2×()+, =()﹣+(), =. 故答案为:(1),(2) 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分. 17.某企业质量检验员为了检测生产线上零件的情况,从生产线上随机抽取了80个零件进行测量,根据所测量的零件尺寸(单位:mm),得到如图的频率分布直方图: (1)根据频率分布直方图,求这80个零件尺寸的中位数(结果精确到0.01); (2)已知尺寸在[63.0,64.5)上的零件为一等品,否则为二等品.将这80个零件尺寸的样本频率视为概率,从生产线上随机抽取1个零件,试估计所抽取的零件是二等品的概率. 【分析】(1)由频率分布直方图中中位数两边频率相等,即可求出中位数的大小; (2)计算尺寸在[63.0,64.5)外的频率,用频率估计概率,即可得出结论. 解:(1)由频率分布直方图的性质得: (0.075+0.225)×0.5=0.15,0.15+0.75×0.5=0.525, 所以中位数在[63.0,63.5)内,设为a, 则0.15+(a﹣63.0)×0.75=0.5, 解得a≈63.47, 所以估计中位数为63.47; (2)尺寸在[63.0,64.5)上的频率为(0.750+0.650+0.200)×0.5=0.8, 且1﹣0.8=0.2, 所以从生产线上随机抽取1个零件,估计所抽取的零件是二等品的概率为0.2. 18.已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,sin2A+sin2C﹣sinAsinC=sin2B. (1)求sinB的值; (2)若b=2,△ABC的面积为,求△ABC的周长. 【分析】(1)由已知结合正弦定理及余弦定理可求cosB,然后结合同角平方关系可求sinB; (2)由已知结合三角形的面积公式可求ac,然后结合余弦定理即可求解a+c,进而可求三角形的周长. 解:(1)因为sin2A+sin2C﹣sinAsinC=sin2B. 由正弦定理可得,, 由余弦定理可得,cosB=, 故sinB=; (2)∵S△ABC===, 所以ac=3, 因为, 所以=4+8=12, 所以a+c+b=2+2. 19.如图,三棱锥P﹣ABC中,PA=PC,AB=BC,∠APC=120°,∠ABC=90°,AC=PB=2. (1)求证:AC⊥PB; (2)求点C到平面PAB的距离. 【分析】(1)取AC的中点为O,连接BO,PO,证明PO⊥AC,BO⊥AC,推出AC⊥平面OPB,即可证明AC⊥BP; (2)在直角三角形ABC中,由AC=2,O为AC的中点,得BO=1,求解PO=,结合PB=,可得PO⊥BO,又PO⊥AC,得到PO⊥平面ABC,然后利用等体积法求点C到平面PAB的距离. 【解答】(1)证明:取AC的中点为O,连接BO,PO. 在△PAC中,∵PA=PC,O为AC的中点,∴PO⊥AC, 在△BAC中,∵BA=BC,O为AC的中点,∴BO⊥AC, ∵OP∩OB=O,OP,OB?平面OPB,∴AC⊥平面OPB, ∵PB?平面POB,∴AC⊥BP; (2)解:在直角三角形ABC中,由AC=2,O为AC的中点,得BO=1, 在等腰三角形APC中,由∠APC=120°,得PO=, 又∵PB=,∴PO2+BO2=PB2,即PO⊥BO, 又PO⊥AC,AC∩OB=O,∴PO⊥平面ABC, 求解三角形可得PA=,又AB=,得=. 设点C到平面PAB的距离为h, 由VP﹣ABC=VC﹣PAB,得, 解得h=, 故点C到平面PAB的距离为. 20.已知点P是抛物线C:y=﹣3的顶点,A,B是C上的两个动点,且?=﹣4. (1)判断点D(0,﹣1)是否在直线AB上?说明理由; (2)设点M是△PAB的外接圆的圆心,求点M的轨迹方程. 【分析】(1)由抛物线的方程可得顶点P的坐标,设直线AB的方程,与抛物线联立求出两根之和及两根之积,求出数量积?,再由题意?=﹣4可得直线AB恒过(0,﹣1),即得D在直线AB上; (2)设A,B的坐标,可得直线PA,PB的斜率及线段PA,PB的中点坐标,进而求出线段PA,PB的中垂线的方程,两个方程联立求出外接圆的圆心M的坐标,由(1)可得M的横纵坐标关于参数k的表达式,消参数可得M的轨迹方程. 解:(1)由抛物线的方程可得顶点P(0,﹣3),由题意可得直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为:y=kx+4,设A(x1,y1),B(x2,y2) 联立直线与抛物线的方程:,整理可得:x2﹣4kx﹣4(b+3)=0,△=16k2+16(3+b)>0,即k2+3+b>0, x1+x2=4k,x1x2=﹣4(b+3),y1y2=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2=﹣4k2(b+3)+4k2b+b2=b2﹣12k2,y1+y2=k(x1+x2)+2b=4k2+2b, 因为=(x1,y1+3)(x2,y2+3)=x1x2+y1y2+3(y1+y2)+9=﹣4(b+3)+b2﹣12k2+3(4k2+2b)+9=b2+2b﹣3, 而?=﹣4,所以b2+2b﹣3=﹣4,解得b=﹣1,m满足判别式大于0, 即直线方程为y=kx﹣1,所以恒过(0,﹣1) 可得点D(0,﹣1)是否在直线AB上. (2)因为点M是△PAB的外接圆的圆心,所以点M是三角形PAB三条边的中垂线的交点, 设线段PA的中点为F,线段PB的中点为为E, 因为P(0,﹣3),设A(x1,y1),B(x2,y2) 所以F(,),E(,),kPA=,kPB=, 所以线段PA的中垂线的方程为:y﹣=﹣(x﹣), 因为A在抛物线上,所以y1+3=, PA的中垂线的方程为:y﹣+3=﹣(x﹣),即y=﹣x+﹣1, 同理可得线段PB的中垂线的方程为:y=﹣x+﹣1, 联立两个方程,解得, 由(1)可得x1+x2=4k,x1x2=﹣4(b+3)=﹣8, 所以xM=﹣=k,yM===2k2, 即点M(k,2k2),所以xM2=, 即点M的轨迹方程为:x2=y. 21.已知函数f(x)=alnx﹣,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为2x﹣y﹣2﹣e=0. (1)求a,b的值; (2)证明函数f(x)存在唯一的极大值点x0,且f(x0)<2ln2﹣2. 【分析】(1)求导,可得f′(1)=a,f(1)=﹣be,结合已知切线方程即可求得a,b的值; (2)利用导数可得,x0∈(1,2),再构造新函数,利用导数求其最值即可得证. 解:(1)函数的定义域为(0,+∞),, 则f′(1)=a,f(1)=﹣be, 故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为ax﹣y﹣a﹣be=0, 又曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为2x﹣y﹣2﹣e=0, ∴a=2,b=1; (2)证明:由(1)知,,则, 令g(x)=2x﹣xex+ex,则g′(x)=2﹣xex,易知g′(x)在(0,+∞)单调递减, 又g′(0)=2>0,g′(1)=2﹣e<0, 故存在x1∈(0,1),使得g′(x1)=0, 且当x∈(0,x1)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,当x∈(x1,+∞)时,g′(x)<0,g(x)单调递减, 由于g(0)=1>0,g(1)=2>0,g(2)=4﹣e2<0, 故存在x0∈(1,2),使得g(x0)=0, 且当x∈(0,x0)时,g(x)>0,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(x0,+∞)时,g(x)<0,f′(x)<0,f(x)单调递减, 故函数存在唯一的极大值点x0,且,即, 则, 令,则, 故h(x)在(1,2)上单调递增, 由于x0∈(1,2),故h(x0)<h(2)=2ln2﹣2,即, ∴f(x0)<2ln2﹣2. (二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程] 22.已知曲线C1的参数方程为(t为参数),曲线C2的参数方程为(θ为参数). (1)求C1与C2的普通方程; (2)若C1与C2相交于A,B两点,且|AB|=,求sinα的值. 【分析】(1)分别把两曲线参数方程中的参数消去,即可得到普通方程; (2)把直线的参数方程代入C2的普通方程,化为关于t的一元二次方程,再由根与系数的关系及此时t的几何意义求解. 解:(1)由曲线C1的参数方程为(t为参数),消去参数t,可得y=xtanα+1; 由曲线C2的参数方程为(θ为参数),消去参数θ,可得,即(y≥0). (2)把(t为参数)代入, 得(1+cos2α)t2+2tsinα﹣1=0. ∴,. ∴|AB|=|t1﹣t2|==. 解得:cos2α=1,即cosα=±1,满足△>0. ∴sinα=0. [选修4-5:不等式选讲] 23.已知a>0,b>0,且a+b=1. (1)求+的最小值; (2)证明:<. 【分析】(1)利用基本不等式即可求得最小值; (2)关键是配凑系数,进而利用基本不等式得证. 解:(1),当且仅当“”时取等号, 故+的最小值为; (2)证明:, 当且仅当时取等号,此时a+b≠1. 故<.

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  • ID:3-7131359 2019年甘肃省天水一中高考(理科)数学考前练习测试卷 Word版含解析

    高中数学/高考专区/模拟试题

    2019年高考模拟试卷高考数学考前练试卷(理科) 一、选择题 1.已知集合M={y|y=2x,x>0},N={x|y=lg(2x﹣x2)},则M∩N为(  ) A.(1,2) B.(1,+∞) C.[2,+∞) D.[1,+∞) 2.i是虚数单位,若=a+bi(a,b∈R),则乘积ab的值是(  ) A.﹣15 B.﹣3 C.3 D.15 3.已知向量,,且,则m等于(  ) A.﹣8 B.﹣6 C.6 D.8 4.我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为:“今有十等人,每等一人,宫赐金以等次差降之,上三人先入,得金四斤,持出,下三人后入得金三斤,持出,中间四人未到者,亦依次更给,问各得金几何?”则在该问题中,等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金(  ) A.多1斤 B.少1斤 C.多斤 D.少斤 5.设,为非零向量,则“存在负数λ,使得=λ”是“?<0”的(  ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.一个四棱锥的三视图如图所示(其中主视图也叫正视图,左视图也叫侧视图),则这个四棱锥中最长棱的长度是(  ) A. B.4 C. D. 7.当输入的实数x∈[2,30]时,执行如图所示的程序框图,则输出的x不小于103的概率是(  ) A. B. C. D. 8.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2e)=﹣f(x)(其中e=2.7182…),且在区间[e,2e]上是减函数,令a=,b=,c=,则f(a),f(b),f(c) 的大小关系(用不等号连接)为(  ) A.f(b)>f(a)>f(c) B.f(b)>f(c)>f(a) C.f(a)>f(b)>f(c) D.f(a)>f(c)>f(b) 9.数列{an}满足:,则数列{anan+1}前10项的和为(  ) A. B. C. D. 10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,0<φ<π)的图象关于点M()成中心对称,且与点M相邻的一个最低点为N(),则对于下列判断: ①直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴; ②点(,0)是函数f(x)的一个对称中心; ③函数y=1与y=f(x)()的图象的所有交点的横坐标之和为7π. 其中正确的判断是(  ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 11.设F1,F2是双曲线的左、右两个焦点,若双曲线右支上存在一点P,使(O为坐标原点),且,则双曲线的离心率为(  ) A. B. C. D. 12.已知函数f(x)=lnx﹣+a在x∈[1,e]上有两个零点,则a的取值范围是(  ) A.[,﹣1) B.[,1) C.[,﹣1] D.[﹣1,e) 二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) 13.已知二项式(ax﹣)6的展开式中的常数项为﹣160,则a=   . 14.若实数x,y满足不等式组则目标函数z=3x﹣y的最大值为   . 15.在《九章算术》中,将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图,若四棱锥P﹣ABCD为阳马,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=3,BC=AB=4,设该阳马的外接球半径为R,内切球半径为r,则=   . 16.在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M是BC的中点,点P是面DCC1D1所在的平面内的动点,且满足∠APD=∠MPC,则=   ,三棱锥P﹣BCD的体积最大值是   . 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. 17.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且+=. (1)求b的值; (2)若cosB+sinB=2,求a+c的取值范围. 18.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,tan∠ACB=.已知E,F分别是BC,AC的中点.将△CEF沿EF折起,使C到C′的位置且二面角C′﹣EF﹣B的大小是60°.连接C′B,C′A,如图: (Ⅰ)求证:平面C′FA⊥平面ABC′; (Ⅱ)求平面AFC′与平面BEC′所成二面角的大小. 19.某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计,绘制了频率分布直方图(如图所示),规定80分及以上者晋级成功,否则晋级失败. 晋级成功 晋级失败 合计 男 16 女 50 合计 (Ⅰ)求图中a的值; (Ⅱ)根据已知条件完成下面2×2列联表,并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关? (Ⅲ)将频率视为概率,从本次考试的所有人员中,随机抽取4人进行约谈,记这4人中晋级失败的人数为X,求X的分布列与数学期望E(X). (参考公式:,其中n=a+b+c+d) P(K2≥k0) 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 k0 0.780 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 20.已知椭圆的离心率为,直线过椭圆C的右焦点F,过F的直线m交椭圆C于M、N两点(均异于左、右顶点). (1)求椭圆C的方程; (2)已知直线l:x=4,A为椭圆C的右顶点.若直线AM交l于点P,直线AN交l于点Q,试判断是否为定值,若是,求出定值;若不是,说明理由. 21.已知函数f(x)=e2x﹣aex﹣2a2x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围. 选考题:共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答.[选修4-4:坐标系与参数方程] 22.在平面直角坐标系中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的极坐标方程为ρ=4sin(θ+). (1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程; (2)若直线l与曲线C交于M,N两点,求△MON的面积. [选修4-5:不等式选讲] 23.已知函数f(x)=|x+1|+2|x﹣a|. (1)设a=1,求不等式f(x)≤7的解集; (2)已知a>﹣1,且f(x)的最小值等于3,求实数a的值. 参考答案 一、选择题:共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合M={y|y=2x,x>0},N={x|y=lg(2x﹣x2)},则M∩N为(  ) A.(1,2) B.(1,+∞) C.[2,+∞) D.[1,+∞) 【分析】通过指数函数的值域求出M,对数函数的定义域求出集合N,然后再求M∩N. 解:M={y|y>1},N中2x﹣x2>0∴N={x|0<x<2}, ∴M∩N={x|1<x<2}, 故选:A. 2.i是虚数单位,若=a+bi(a,b∈R),则乘积ab的值是(  ) A.﹣15 B.﹣3 C.3 D.15 【分析】先根据两个复数相除的除法法则化简 ,再依据两个复数相等的充要条件求出a和b的值,即得乘积ab的值. 解:∵===﹣1+3i =a+bi,∴a=﹣1,b=3,∴ab=﹣1×3=﹣3. 故选:B. 3.已知向量,,且,则m等于(  ) A.﹣8 B.﹣6 C.6 D.8 【分析】由已知向量的坐标求出的坐标,再由向量垂直的坐标运算得答案. 解:∵,, ∴, 又, ∴3×4+(﹣2)×(m﹣2)=0,解得m=8. 故选:D. 4.我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为:“今有十等人,每等一人,宫赐金以等次差降之,上三人先入,得金四斤,持出,下三人后入得金三斤,持出,中间四人未到者,亦依次更给,问各得金几何?”则在该问题中,等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金(  ) A.多1斤 B.少1斤 C.多斤 D.少斤 【分析】由题意可知各等人所得金数组成等差数列,根据等差数列的性质即可计算出问题答案. 解:设十等人得金从高到低依次a1,a2,……,a10,则{an}为等差数列, 设等差为d,则由题意可知,∴a2=,a9=1, ∴a2﹣a9=. 故选:C. 5.设,为非零向量,则“存在负数λ,使得=λ”是“?<0”的(  ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】,为非零向量,存在负数λ,使得=λ,则向量,共线且方向相反,可得?<0.反之不成立,非零向量,的夹角为钝角,满足?<0,而=λ不成立.即可判断出结论. 解:,为非零向量,存在负数λ,使得=λ,则向量,共线且方向相反,可得?<0. 反之不成立,非零向量,的夹角为钝角,满足?<0,而=λ不成立. ∴,为非零向量,则“存在负数λ,使得=λ”是?<0”的充分不必要条件. 故选:A. 6.一个四棱锥的三视图如图所示(其中主视图也叫正视图,左视图也叫侧视图),则这个四棱锥中最长棱的长度是(  ) A. B.4 C. D. 【分析】首先把三视图转换为几何体,进一步求出最长棱长. 解:根据几何体的三视图转换为几何体为: 如图所示: 所以最长的棱长为l=, 故选:D. 7.当输入的实数x∈[2,30]时,执行如图所示的程序框图,则输出的x不小于103的概率是(  ) A. B. C. D. 【分析】由程序框图的流程,写出前三项循环得到的结果,得到输出的值与输入的值的关系,令输出值大于等于103得到输入值的范围,利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于103的概率. 解:设实数x∈[2,30], 经过第一次循环得到x=2x+1,n=2 经过第二循环得到x=2(2x+1)+1,n=3 经过第三次循环得到x=2[2(2x+1)+1]+1,n=4此时输出x 输出的值为8x+7, ∴当输入x∈[2,30]时,输出x∈[23,247],数集的长度为224; 输出x不小于103,则x∈[103,247],数集的长度为144. ∴输出的x不小于103的概率为. 故选:A. 8.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2e)=﹣f(x)(其中e=2.7182…),且在区间[e,2e]上是减函数,令a=,b=,c=,则f(a),f(b),f(c) 的大小关系(用不等号连接)为(  ) A.f(b)>f(a)>f(c) B.f(b)>f(c)>f(a) C.f(a)>f(b)>f(c) D.f(a)>f(c)>f(b) 【分析】由f(x)是R上的奇函数及f(x+2e)=﹣f(x),可得f(x+2e)=f(﹣x),从而可知f(x)关于x=e对称,由f(x)在[e,2e]上的单调性可得f(x)在[0,e]上的单调性,由a,b,c的大小关系,进而得到f(a)、f(b)、f(c)的大小关系. 解:∵f(x)是R上的奇函数,满足f(x+2e)=﹣f(x), ∴f(x+2e)=f(﹣x), ∴函数f(x)关于直线x=e对称, ∵f(x)在区间[e,2e]上为减函数, ∴f(x)在区间[0,e]上为增函数, ∵a=,b=,c=, 通过单调性判断,易知0<c<a<b<e ∴f(c)<f(a)<f(b), 故选:A. 9.数列{an}满足:,则数列{anan+1}前10项的和为(  ) A. B. C. D. 【分析】通过对an﹣an+1=2anan+1变形可知﹣=2,进而可知an=,并项相加即得结论. 解:∵an﹣an+1=2anan+1, ∴﹣=2, 又∵=5, ∴=+2(n﹣3)=2n﹣1,即an=, ∴anan+1=(an﹣an+1)=(﹣), ∴所求值为(1﹣+﹣+…+﹣)=(1﹣)=, 故选:A. 10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,0<φ<π)的图象关于点M()成中心对称,且与点M相邻的一个最低点为N(),则对于下列判断: ①直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴; ②点(,0)是函数f(x)的一个对称中心; ③函数y=1与y=f(x)()的图象的所有交点的横坐标之和为7π. 其中正确的判断是(  ) A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【分析】首先根据已知条件确定函数的解析式,进一步利用整体思想确定函数的对称轴方程,对称中心及各个交点的特点,进一步确定答案. 解:函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,0<φ<π)的图象关于点M()成中心对称,且与点M相邻的一个最低点为N(), 则:, ∴T=π, 进一步解得:ω=,A=3. 由于函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,0<φ<π)的图象关于点M()成中心对称, ∴2?+φ=kπ(k∈Z), 解得:φ=kπ﹣, 由于0<φ<π, ∴当k=1时,φ=. ∴f(x)=3sin(2x+). ①当x=时,f()=﹣3sin=﹣,故①不正确; ②由2x+=kπ, 解得:x=, 当k=0时,对称中心为:(,0),故②正确; ③由于:﹣≤x≤, 则:0≤2x+≤6π, ∴函数f(x)的图象与y=1有6个交点. 根据函数的交点设横坐标为x1、x2、x3、x4、x5、x6, 根据函数的图象的所有交点的横坐标之和为7π.故③正确. ∴正确的判断是②③. 故选:C. 11.设F1,F2是双曲线的左、右两个焦点,若双曲线右支上存在一点P,使(O为坐标原点),且,则双曲线的离心率为(  ) A. B. C. D. 【分析】利用向量的加减法可得,故有 OP=OF2=c=OF1,可得PF1⊥PF2,由条件可得∠PF1F2=30°,由sin30°== 求出离心率. 解:∵,∴, ∴﹣=0,OP=OF2=c=OF1,∴PF1⊥PF2, Rt△PF1F2 中,∵,∴∠PF1F2=30°. 由双曲线的定义得 PF1﹣PF2=2a,∴PF2=, sin30°====,∴2a=c(﹣1), ∴=+1, 故选:D. 12.已知函数f(x)=lnx﹣+a在x∈[1,e]上有两个零点,则a的取值范围是(  ) A.[,﹣1) B.[,1) C.[,﹣1] D.[﹣1,e) 【分析】求出函数的导数f′(x)=+=,x∈[1,e].通过当a≥﹣1时,当a≤﹣e时,当﹣e<a<﹣1时,判断导函数的符号,得到函数的单调性然后转化求解a的范围即可. 解:∵f′(x)=+=,x∈[1,e]. 当a≥﹣1时,f′(x)≥0,f(x)在[1,e]上单调递增,不合题意. 当a≤﹣e时,f′(x)≤0,f(x)在[1,e]上单调递减,也不合题意. 当﹣e<a<﹣1时,则x∈[1,﹣a)时,f′(x)<0,f(x)在[1,﹣a)上单调递减, x∈(﹣a,e]时,f′(x)>0,f(x)在(﹣a,e]上单调递增,又f(1)=0, 所以f(x)在x∈[1,e]上有两个零点,只需f(e)=1﹣+a≥0即可,解得≤a<﹣1. 综上,a的取值范围是:[,﹣1). 故选:A. 二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) 13.已知二项式(ax﹣)6的展开式中的常数项为﹣160,则a= 2 . 【分析】在二项展开式的通项公式中,令x的幂指数等于0,求出r的值,即可求得常数项,再根据常数项等于﹣160求得实数a的值. 解:∵二项式(ax﹣)6的展开式中的通项公式为 Tr+1=?(﹣1)r?a6﹣r?x6﹣2r, 令6﹣2r=0,求得r=3,可得常数项为﹣?a3=﹣160,∴a=2, 故答案为:2. 14.若实数x,y满足不等式组则目标函数z=3x﹣y的最大值为 12 . 【分析】画出约束条件的可行域,求出最优解,即可求解目标函数的最大值. 解:作出实数x,y满足不等式组可行域如图,由,解得A(4,0) 目标函数y=3x﹣z, 当y=3x﹣z过点(4,0)时,z有最大值,且最大值为12. 故答案为:12. 15.在《九章算术》中,将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图,若四棱锥P﹣ABCD为阳马,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=3,BC=AB=4,设该阳马的外接球半径为R,内切球半径为r,则=  . 【分析】该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径,由此能求出R=,内切球O1在侧面PAD内的正视图是△PAD的内切圆,从而内切球半径为r=1,由此能求出. 解:∵四棱锥P﹣ABCD为阳马,侧棱PA⊥底面ABCD, 且PA=3,BC=AB=4,设该阳马的外接球半径为R, ∴该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径, ∴(2R)2=AB2+AD2+AP2=16+16+9=41, ∴R=, ∵侧棱PA⊥底面ABCD,且底面为正方形, ∴内切球O1在侧面PAD内的正视图是△PAD的内切圆, ∴内切球半径为r=1, 故=. 故答案为:. 16.在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M是BC的中点,点P是面DCC1D1所在的平面内的动点,且满足∠APD=∠MPC,则= 2 ,三棱锥P﹣BCD的体积最大值是  . 【分析】根据Rt△ADP∽△Rt△PMC,PD=2PC,利用体积公式求解得出PO⊥CD,求解OP最值,根据勾股定理得出:3h2=﹣3x2+48x﹣144,0≤x≤6,利用函数求解即 解:∵在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M是BC的中点,点P是面DCC1D1所在的平面内的动点,且满足∠APD=∠MPC, ∴Rt△ADP∽△Rt△PMC, ∴,即PD=2PC, 设DO=x,PO=h,作PO⊥CD, ∴,化简得:3h2=﹣3x2+48x﹣144,0≤x≤6, 根据函数单调性判断:x=6时,3h2最大值为36, ∴h最大值=2, 在正方体中,∵PO⊥面BCD, ∴三棱锥P﹣BCD的体积最大值为V=××6×6×2=12. 故答案为:2;12. 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. 17.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且+=. (1)求b的值; (2)若cosB+sinB=2,求a+c的取值范围. 【分析】(1)应用正弦、余弦定理化简+=,即可求出b的值; (2)根据cosB+sinB=2与平方关系sin2B+cos2B=1,求得sinB、cosB,从而求得B的值,再由正弦定理求得a=sinA,c=sinC;利用A+B+C=π求得C=﹣A,且0<A<; 再利用三角恒等变换求a+c=sinA+sinC的取值范围. 解:(1)△ABC中,+=, ∴+=, ∴=, 解得b=; (2)∵cosB+sinB=2, ∴cosB=2﹣sinB, ∴sin2B+cos2B=sin2B+=4sin2B﹣4sinB+4=1, ∴4sin2B﹣4sinB+3=0, 解得sinB=; 从而求得cosB=, ∴B=; 由正弦定理得====1, ∴a=sinA,c=sinC; 由A+B+C=π得A+C=, ∴C=﹣A,且0<A<; ∴a+c=sinA+sinC =sinA+sin(﹣A) =sinA+sincosA﹣cossinA =sinA+cosA =sin(A+), ∵0<A<,∴<A+<, ∴<sin(A+)≤1, ∴<sin(A+)≤, ∴a+c的取值范围是(,]. 18.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,tan∠ACB=.已知E,F分别是BC,AC的中点.将△CEF沿EF折起,使C到C′的位置且二面角C′﹣EF﹣B的大小是60°.连接C′B,C′A,如图: (Ⅰ)求证:平面C′FA⊥平面ABC′; (Ⅱ)求平面AFC′与平面BEC′所成二面角的大小. 【分析】(Ⅰ)法一:由AF=C′F.设AC′的中点为G,连接FG.设BC′的中点为H,连接GH,EH.从而∠BEC′即为二面角C′﹣EF﹣B的平面角.∠BEC′=60°,推导出EH⊥BC′.EF⊥C′E,EF⊥BE,从而EF⊥平面BEC′.由EF∥AB,得AB⊥平面BEC′,从而AB⊥EH,即EH⊥AB.进而EH⊥平面ABC′.推导出四边形EHGF为平行四边形.从而FG∥EH,FG⊥平面ABC′,由此能证明平面AFC′⊥平面ABC′. 法二:以B为原点,在平面BEC′中过B作BE的垂线为x轴,BE为y轴,BA为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能证明平面AFC′⊥平面ABC′. (Ⅱ)以B为原点,在平面BEC′中过B作BE的垂线为x轴,BE为y轴,BA为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面AFC′与平面BEC′所成二面角大小. 【解答】证明:(Ⅰ)证法一:∵F是AC的中点,∴AF=C′F. 设AC′的中点为G,连接FG.设BC′的中点为H,连接GH,EH. 由题意得C′E⊥EF,BE⊥EF,∴∠BEC′即为二面角C′﹣EF﹣B的平面角.∴∠BEC′=60°, ∵E为BC的中点.∴BE=EC′,∴△BEC′为等边三角形,∴EH⊥BC′. ∵EF⊥C′E,EF⊥BE,C′E∩BE=E,∴EF⊥平面BEC′. ∵EF∥AB,∴AB⊥平面BEC′,∴AB⊥EH,即EH⊥AB. ∵BC′∩AB=B,∴EH⊥平面ABC′. ∵G,H分别为AC′,BC′的中点.∴GHFE, ∴四边形EHGF为平行四边形.∴FG∥EH,FG⊥平面ABC′, 又FG?平面AFC′.∴平面AFC′⊥平面ABC′. 法二:如图,以B为原点,在平面BEC′中过B作BE的垂线为x轴,BE为y轴,BA为z轴,建立空间直角坐标系, 设AB=2.则A(0,0,2),B(0,0,0),F(0,2,1),E(0,2,0),C′(,1,0). 设平面ABC′的法向量为=(x,y,z),=(0,0,2),=(), ∴,令x=1,则=(1,﹣,0), 设平面AFC′的法向量为=(x,y,z), =(0,2,﹣1),=(,1,﹣2), ∴,取y=1,得=(,1,2). ∵?=0,∴平面AFC′⊥平面ABC′. 解:(Ⅱ)如图,以B为原点,在平面BEC′中过B作BE的垂线为x轴,BE为y轴,BA为z轴,建立空间直角坐标系, 设AB=2,则A(0,0,2),B(0,0,0),F(0,2,1),E(0,2,0),C′(,1,0). 平面BEC′的法向量=(0,0,1), 设平面AFC′的法向量为=(x,y,z), =(),=(0,2,﹣1), ∴,取y=1,得=(). ∴cos<>==, 由图形观察可知,平面AFC′与平面BEC′所成的二面角的平面角为锐角. ∴平面AFC′与平面BEC′所成二面角大小为45°. 19.某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计,绘制了频率分布直方图(如图所示),规定80分及以上者晋级成功,否则晋级失败. 晋级成功 晋级失败 合计 男 16 女 50 合计 (Ⅰ)求图中a的值; (Ⅱ)根据已知条件完成下面2×2列联表,并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关? (Ⅲ)将频率视为概率,从本次考试的所有人员中,随机抽取4人进行约谈,记这4人中晋级失败的人数为X,求X的分布列与数学期望E(X). (参考公式:,其中n=a+b+c+d) P(K2≥k0) 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 k0 0.780 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 【分析】(Ⅰ)由频率和为1,列出方程求a的值; (Ⅱ)由频率分布直方图求出晋级成功的频率,计算晋级成功的人数, 填写列联表,计算观测值,对照临界值得出结论; (Ⅲ)由频率分布直方图知晋级失败的频率,将频率视为概率, 知随机变量X服从二项分布,计算对应的概率值,写出分布列,计算数学期望; 解:(Ⅰ)由频率分布直方图各小长方形面积总和为1, 可知(2a+0.020+0.030+0.040)×10=1, 解得a=0.005; (Ⅱ)由频率分布直方图知,晋级成功的频率为0.20+0.05=0.25, 所以晋级成功的人数为100×0.25=25(人), 填表如下: 晋级成功 晋级失败 合计 男 16 34 50 女 9 41 50 合计 25 75 100 假设“晋级成功”与性别无关, 根据上表数据代入公式可得, 所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关; (Ⅲ)由频率分布直方图知晋级失败的频率为1﹣0.25=0.75, 将频率视为概率,则从本次考试的所有人员中,随机抽取1人进行约谈, 这人晋级失败的概率为0.75, 所以X可视为服从二项分布,即, , 故, , , , , 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P(X=k) 数学期望为, 或(). 20.已知椭圆的离心率为,直线过椭圆C的右焦点F,过F的直线m交椭圆C于M、N两点(均异于左、右顶点). (1)求椭圆C的方程; (2)已知直线l:x=4,A为椭圆C的右顶点.若直线AM交l于点P,直线AN交l于点Q,试判断是否为定值,若是,求出定值;若不是,说明理由. 【分析】(1)由题意求得F(1,0),可得c=1,由离心率公式可得a=2,结合a,b,c的关系可得b,进而得到椭圆方程; (2)求得A的坐标,设出直线m:x=ty+1,M(x1,y1),N(x2,y2),求得P,Q的坐标,运用向量的加减和数量积的坐标运算,化简整理,再由直线m和椭圆方程联立,消去x,可得y的二次方程,运用韦达定理,计算可得所求定值. 解:(1)因为直线过椭圆C的右焦点F,所以F(1,0).即c=1, 因为离心率为,即e==,∴a=2,b=, 则椭圆的方程为+=1; (2)A(2,0),设直线m:x=ty+1,M(x1,y1),N(x2,y2), 则AM:y=(x﹣2),∴P(4,), AN:y=(x﹣2),∴Q(4,), 因此=(3+3,+)?(x2﹣x1,y2﹣y1)=6(x2﹣x1)+(y2﹣y1)(+)=(y2﹣y1)[6t+(+)] =(y2﹣y1)[6t+], 由x=ty+1,+=1得(3t2+4)y2+6ty﹣9=0, 所以y1+y2=﹣,y1y2=﹣, 因此===﹣6t, 即=0,故为定值0. 21.已知函数f(x)=e2x﹣aex﹣2a2x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围. 【分析】(1)求出f(x)的导函数,得f′(x)=e2x﹣aex﹣2a2=(ex+a)(ex﹣2a),得到导函数的零点,对a分类可得原函数的单调性; (2)由(1)可知,当a=0时,f(x)=e2x>0,a=0成立;当a≠0时,求得f(x)的最小值,由最小值大于等于0求解实数a的取值范围. 解:(1)由f(x)=e2x﹣aex﹣2a2x,得f′(x)=e2x﹣aex﹣2a2=(ex+a)(ex﹣2a). 当a=0时,f′(x)=e2x>0,f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增; 当a>0时,由f′(x)<0,得x<ln(2a),由f′(x)>0,得x>ln(2a). ∴f(x)在(﹣∞,ln(2a))上单调递减,在(ln(2a),+∞)上单调递增; 当a<0时,由f′(x)<0,得x<ln(﹣a),由f′(x)>0,得x>ln(﹣a). ∴f(x)在(﹣∞,ln(﹣a))上单调递减,在(ln(﹣a),+∞)上单调递增. 综上,当a=0时,f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增; 当a>0时,f(x)在(﹣∞,ln(2a))上单调递减,在(ln(2a),+∞)上单调递增; 当a<0时,f(x)在(﹣∞,ln(﹣a))上单调递减,在(ln(﹣a),+∞)上单调递增. (2)由(1)可知,当a=0时,f(x)=e2x>0,∴a=0成立; 当a>0时,f(x)min=f(ln(2a))=≥0. 即ln(2a)≤0,∴0; 当a<0时,=. 即ln(﹣a),∴≤a<0. 综上,a∈[,]. 选考题:共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答.[选修4-4:坐标系与参数方程] 22.在平面直角坐标系中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的极坐标方程为ρ=4sin(θ+). (1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程; (2)若直线l与曲线C交于M,N两点,求△MON的面积. 【分析】(1)消去参数t可得直线l的普通方程,两边同乘ρ后利用两角和的正弦公式以及互化公式可得曲线C的直角坐标方程; (2)由点到直线l的距离求得三角形的高,再根据面积公式可得. 【解答】解(1)由消去参数t得x+y=4,直线l的普通方程为x+y﹣4=0. 由ρ=4sin(θ+)=2sinθ+2cosθ得,ρ2=2ρsin θ+2ρcos θ, 即x2+y2=2y+2x, ∴曲线C的直角坐标方程是圆:(x﹣)2+(y﹣1)2=4. (2)∵原点O到直线l的距离d==2. 直线l过圆C的圆心(,1),∴|MN|=2r=4, 所以△MON的面积S=|MN|×d=4. [选修4-5:不等式选讲] 23.已知函数f(x)=|x+1|+2|x﹣a|. (1)设a=1,求不等式f(x)≤7的解集; (2)已知a>﹣1,且f(x)的最小值等于3,求实数a的值. 【分析】(1)利用分段讨论的方法求解不等式; (2)先确定函数的解析式,然后根据函数的单调性求出最小值,建立方程求解. 解:(1)a=1时,f(x)=|x+1|+2|x﹣1|.(1分) 当x<﹣1时,f(x)≤7即为﹣3x+1≤7,解得﹣2≤x<﹣1. 当﹣1≤x≤1时,﹣x+3≤7,解得﹣1≤x≤1. 当x>1时,3x﹣1≤7,解得1<x≤. 综上,f(x)≤7的解集为 (2)∵a>﹣1,∴f(x)= 由y=f(x)的图象知f(x)min=f(a)=a+1=3,∴a=2. 故实数a的值为2.

    • 2020-04-05
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  • ID:3-7131357 2020年甘肃张掖市民乐一中(3月份)高考(理科)数学模拟试卷 含解析

    高中数学/高考专区/模拟试题

    2020年高考模拟高考数学模拟试卷(理科)(3月份) 一、选择题 1.已知集合A={x|﹣3<x<4},B={x|﹣4<x<6},则(?RA)∩B=(  ) A.{x|4<x<6} B.{x|﹣4<x<﹣3}∪{x|4<x<6} C.{x|4≤x<6} D.{x|﹣4<x≤﹣3}∪{x|4≤x<6} 2.若复数,|z|=(  ) A. B. C.1 D.2 3.等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a4=4,a2+a5=8,则=(  ) A.2017 B.2018 C.2019 D.2020 4.分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力,在一定条件下两个原子接近,则彼此因静电作用产生极化,从而导致有相互作用力,称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子,原子核正电荷的电荷量为q,这两个相距R的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U.其计算式子为,其中,kc为静电常量,x1x2分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知,,且(1+x)﹣1≈1﹣x+x2,则U的近似值为(  ) A. B.﹣ C. D.﹣ 5.已知向量,满足,,且,则向量与的夹角的余弦值为(  ) A. B. C. D. 6.已知F1、F2是椭圆的两个焦点,满足?=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是(  ) A.(0,1) B.(0,] C.(0,) D.[,1) 7.已知数列{an}的奇数项依次成等差数列,偶数项依次成等比数列,且a1=1,a2=2,a3+a4=7,a5+a6=13,则a7+a8=(  ) A.4 B.19 C.20 D.23 8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体中,面积最大的侧面的面积为(  ) A. B. C. D.3 9.已知,则(  ) A.b<c<a B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 10.形如45132这样的数称为“波浪数”,即十位数字,千位数字均比与它们各自相邻的数字大,则由1,2,3,4,5可构成数字不重复的五位“波浪数”个数为(  ) A.20 B.18 C.16 D.11 11.已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且∠F1PF2=120°,∠F1PF2的平分线交x轴于点A,则|PA|=(  ) A. B. C. D. 12.若x,a,b均为任意实数,且(a+2)2+(b﹣3)2=1,则(x﹣a)2+(lnx﹣b)2的最小值为(  ) A.3 B.18 C.3﹣1 D.19﹣6 二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) 13.若a1,a2,…,a2020的平均数、方差分别是2和1,则bi=3ai+2(i=1,2,…,2020)的平均数为   ,方差为   . 14.已知函数f(x)是(﹣∞,+∞)上的偶函数,若对于x≥0,都有f(x+2)=f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则f(﹣2017)=   . 15.设x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为1,则+的最小值为   . 16.正项等比数列{an}满足,且2a2,,a3成等差数列,设,则b1b2?…?bn取得最小值时的n值为   . 三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,共70分.) 17.在平面直角坐标系xOy中,设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,2sin2C=3sinAsinB. (1)求C; (2)设P(﹣1,cosA),Q(﹣cosA,1),且A≤C,与的夹角为θ,求cosθ的值. 18.已知a∈R,函数f(x)=(﹣x2+ax)?ex. (1)a=2时,求函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)在(﹣1,1)上单调递增,求a的取值范围. 19.如图,三棱柱ABC﹣A'B'C'的棱长均为2,O为AC的中点,平面A'OB⊥平面ABC,平面AA'C'C⊥平面ABC. (Ⅰ)求证:A'O⊥平面ABC; (Ⅱ)求二面角A﹣BC﹣C'的余弦值. 20.已知抛物线C:x2=2py(p>0)上一点M(m,9)到其焦点F的距离为10. (Ⅰ)求抛物线C的方程; (Ⅱ)设过焦点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,且抛物线在A,B两点处的切线分别交x轴于P,Q两点,求|AP|?|BQ|的取值范围. 21.一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓后要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现三次音乐获得150分,出现两次音乐获得100分,出现一次音乐获得50分,没有出现音乐则获得﹣300分.设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立. (1)若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0; (2)以(1)中确定的p0作为p的值,玩3盘游戏,出现音乐的盘数为随机变量X,求每盘游戏出现音乐的概率p1,及随机变量X的期望EX; (3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因. 22.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),曲线C1的参数方程为(θ为参数),以该直角坐标系的原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为. (Ⅰ)分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线l交曲线C1于O,A两点,交曲线C2于O,B两点,求|AB|的长. 参考答案 一、选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分,每小题只有一个选项正确.) 1.已知集合A={x|﹣3<x<4},B={x|﹣4<x<6},则(?RA)∩B=(  ) A.{x|4<x<6} B.{x|﹣4<x<﹣3}∪{x|4<x<6} C.{x|4≤x<6} D.{x|﹣4<x≤﹣3}∪{x|4≤x<6} 【分析】根据题意,求出结合A的补集,进而由交集的定义分析可得答案. 解:根据题意,集合A={x|﹣3<x<4},则(?RA)={x|x≤﹣3或x≥4}, 又由B={x|﹣4<x<6},则(?RA)∩B={x|﹣4<x≤﹣3或4≤x<6}={x|﹣4<x≤﹣3}∪{x|4≤x<6}; 故选:D. 2.若复数,|z|=(  ) A. B. C.1 D.2 【分析】先利用i2=﹣1化简复数z,再利用复数的模长公式计算即可. 解:复数==i2019=(i2)1009?i=(﹣1)1009?i=﹣i, ∴|z|=1, 故选:C. 3.等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a4=4,a2+a5=8,则=(  ) A.2017 B.2018 C.2019 D.2020 【分析】由已知结合等差数列的通项公式可求a1,d,然后结合等差数列的求和公式即可求解. 解:因为a1+a4=4,a2+a5=8, 所以,解可得,d=2,a1=﹣1, 所以, 所以=﹣1+2019=2018. 故选:B. 4.分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力,在一定条件下两个原子接近,则彼此因静电作用产生极化,从而导致有相互作用力,称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子,原子核正电荷的电荷量为q,这两个相距R的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U.其计算式子为,其中,kc为静电常量,x1x2分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知,,且(1+x)﹣1≈1﹣x+x2,则U的近似值为(  ) A. B.﹣ C. D.﹣ 【分析】根据题意,由题目中所给的公式变形分析可得答案. 解:根据题意, =(1+﹣﹣)=[1+(1﹣+)﹣(1﹣+)﹣(1++)] =[﹣++﹣﹣﹣]=﹣; 故选:D. 5.已知向量,满足,,且,则向量与的夹角的余弦值为(  ) A. B. C. D. 【分析】利用已知条件,结合斜率的数量积转化求解向量与的夹角的余弦值. 解:由题意可知,,且,可得3+2=4,解得, 向量与的夹角的余弦值:. 故选:D. 6.已知F1、F2是椭圆的两个焦点,满足?=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是(  ) A.(0,1) B.(0,] C.(0,) D.[,1) 【分析】由?=0知M点的轨迹是以原点O为圆心,半焦距c为半径的圆.又M点总在椭圆内部,∴c<b,c2<b2=a2﹣c2.由此能够推导出椭圆离心率的取值范围. 解:设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a,b,c, ∵?=0, ∴M点的轨迹是以原点O为圆心,半焦距c为半径的圆. 又M点总在椭圆内部, ∴该圆内含于椭圆,即c<b,c2<b2=a2﹣c2. ∴e2=<,∴0<e<. 故选:C. 7.已知数列{an}的奇数项依次成等差数列,偶数项依次成等比数列,且a1=1,a2=2,a3+a4=7,a5+a6=13,则a7+a8=(  ) A.4 B.19 C.20 D.23 【分析】设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,由通项公式可得d,q的方程组,解方程可得d,q,进而得到所求和. 解:数列{an}的奇数项依次成公差为d的等差数列,偶数项依次成公比为q的等比数列, a1=1,a2=2,a3+a4=7,a5+a6=13, 可得1+d+2q=7,1+2d+2q2=13, 解得d=q=2, 则a7+a8=1+3×2+2×23=23, 故选:D. 8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体中,面积最大的侧面的面积为(  ) A. B. C. D.3 【分析】由三视图可知,几何体的直观图如图所示,平面AED⊥平面BCDE,四棱锥A﹣BCDE的高为1,四边形BCDE是边长为1的正方形,分别计算侧面积,即可得出结论. 解:由三视图可知,几何体的直观图如图所示,平面AED⊥平面BCDE,四棱锥A﹣BCDE的高为1,四边形BCDE是边长为1的正方形, 则S△AED==,S△ABC=S△ABE==,S△ACD==, 故选:B. 9.已知,则(  ) A.b<c<a B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 【分析】容易得出,然后根据函数在(0,+∞)上的单调性即可得出a,b,c的大小关系. 解:,,; ∵3<9<16,在(0,+∞)上单调递增; ∴; ∴b<c<a. 故选:A. 10.形如45132这样的数称为“波浪数”,即十位数字,千位数字均比与它们各自相邻的数字大,则由1,2,3,4,5可构成数字不重复的五位“波浪数”个数为(  ) A.20 B.18 C.16 D.11 【分析】“波浪数”中十位数字,千位数字均比与它们各自相邻的数字大,是解题的突破口. 解:此“波浪数”中,十位数字,千位数字必有5、另一数是3或4;是4时“波浪数”有A22A33=12;另一数3时4、5必须相邻即45132;45231;13254;23154.四种.则由1,2,3,4,5可构成数字不重复的五位“波浪数”个数为16. 故选:C. 11.已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且∠F1PF2=120°,∠F1PF2的平分线交x轴于点A,则|PA|=(  ) A. B. C. D. 【分析】由余弦定理可得PF1PF2的乘积,由面积公式进而求出三角形PF1F2的面积,再由双曲线的定义PF1﹣PF2=2a可得PF1,PF2的值,因为PA为角平分线,再由题意S=S+S,可得PA的值. 解:由题意可得a2=1,b2=3,在三角形PF1F2中,设P在右支上,由余弦定理可得F1F22=PF12+PF22﹣2PF1?PF2?cos120°=(PF1﹣PF2)2+2PF1?PF2+PF1PF2, 即4c2=4a2+3PF1PF2,所以可得PF1PF2====4,PF1﹣PF2=2a=2,可得PF1=+1,PF2=﹣1, 所以S=?sin120°==, 因为PA为角平分线,所以∠F1PA=∠F2PA=60°, 而S=S+S=(PF1?PAsin60°+PF2?PA?sin60°)=PA?(PF1+PF2)=PA(+1+﹣1)=PA, 所以=PA,所以PA=, 故选:B. 12.若x,a,b均为任意实数,且(a+2)2+(b﹣3)2=1,则(x﹣a)2+(lnx﹣b)2的最小值为(  ) A.3 B.18 C.3﹣1 D.19﹣6 【分析】由题意可得(a,b)在(﹣2,3)为圆心,1为半径的圆上,(x﹣a)2+(lnx﹣b)2表示点(a,b)与点(x,lnx)的距离的平方,设过切点(m,lnm)的切线与过(﹣2,3)的法线垂直,由两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,解方程求得切点,圆心和切点的距离d,可得距离的最小值为d﹣r,可得所求值. 解:(a+2)2+(b﹣3)2=1, 可得(a,b)在(﹣2,3)为圆心,1为半径r的圆上, (x﹣a)2+(lnx﹣b)2表示点(a,b)与点(x,lnx)的距离的平方, 设过切点(m,lnm)的切线与过(﹣2,3)的法线垂直, 可得?=﹣1, 即有lnm+m2+2m=3, 由f(m)=lnm+m2+2m在m>0递增,且f(1)=3, 可得切点为(1,0), 圆心与切点的距离为d==3, 可得(x﹣a)2+(lnx﹣b)2的最小值为(3﹣1)2=19﹣6, 故选:D. 二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) 13.若a1,a2,…,a2020的平均数、方差分别是2和1,则bi=3ai+2(i=1,2,…,2020)的平均数为 8 ,方差为 9 . 【分析】根据题意,对于a1,a2,…,a2020,由数据的平均数、方差的计算公式可得数据可得=(a1+a2+……+a2020)=2,且s2=[(a1﹣)2+(a2﹣)2+……+[(a2020﹣)2]=1,进而对于bi=3ai+2,分析可得答案. 解:根据题意,若a1,a2,…,a2020的平均数、方差分别是2和1, 则有其平均数=(a1+a2+……+a2020)=2,则a1+a2…+a2020=4040, 且s2=[(a1﹣)2+(a2﹣)2+……+[(a2020﹣)2]=1, 对于bi=3ai+2(i=1,2,…,2020) 其平均数′=(3a1+2+3a2+2……+3a2020+2)=×[3(a1+a2+……+a2020)+3×2020]=3×2+2=8, 其方差s2′=[(b1﹣′)2+(b2﹣′)2+……+[(b2020﹣′)2]=32×1=9; 故答案为:8,9. 14.已知函数f(x)是(﹣∞,+∞)上的偶函数,若对于x≥0,都有f(x+2)=f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则f(﹣2017)= 1 . 【分析】利用函数的奇偶性的定义以及函数的周期性化简,可得f(﹣2017)=f(1),代入已知解析式,求解即可得到答案. 解:由已知函数是偶函数,且x≥0时,都有f(x+2)=f(x), 当x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1), 所以f(﹣2017)=f(2017)=f(2×1008+1)=f(1)=log22=1. 故答案为:1. 15.设x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为1,则+的最小值为 9 . 【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识先求出a,b的关系,然后利用基本不等式求+的最小值. 解:由z=ax+by(a>0,b>0)得y=, 作出可行域如图: ∵a>0,b>0, ∴直线y=的斜率为负,且截距最大时,z也最大. 平移直线y=,由图象可知当y=经过点A时, 直线的截距最大,此时z也最大. 由,解得,即A(1,1). 此时目标函数的最大值为1即z=a+b=1, 则+=(+)(a+b)=1+4++=5+4=9, 当且仅当=,即b=2a=时,取等号, 故+的最小值为9, 故答案为:9. 16.正项等比数列{an}满足,且2a2,,a3成等差数列,设,则b1b2?…?bn取得最小值时的n值为 2 . 【分析】正项等比数列{an}的公比设为q(q>0),运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质,解方程可得首项和公比,可得an,bn,再由指数的运算性质和等差数列的求和公式,结合二次函数的最值求法,可得所求最小值时n的值. 解:正项等比数列{an}的公比设为q(q>0),, 可得a1+a1q2=, 2a2,,a3成等差数列,可得a4=2a2+a3,即q2﹣q﹣2=0, 解得q=2(﹣1舍去),a1=, 则an=?2n﹣1=2n﹣3, bn=anan+1=2n﹣3?2n﹣2=?4n, 则b1b2?…?bn=(41?42…?4n)=2﹣5n?41+2+…+n=2, 由n2﹣4n=(n﹣2)2﹣4,当n=2时,b1b2?…?bn取得最小值. 故答案为:2. 三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,共70分.) 17.在平面直角坐标系xOy中,设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,2sin2C=3sinAsinB. (1)求C; (2)设P(﹣1,cosA),Q(﹣cosA,1),且A≤C,与的夹角为θ,求cosθ的值. 【分析】(1)由已知利用由正弦定理得,结合已知可求a2+b2+2ab=3c2,根据余弦定理得cosC的值,进而可求C的值. (2)由(1)知,代入已知,并结合正弦定理得sinA的值,可求A=30°,B=90°,利用平面向量的坐标运算可求,进而根据平面向量数量积的运算可求cosθ的值. 解:(1)∵2sin2C=3sinAsinB, ∴, ∴由正弦定理得, ∵, ∴a2+b2+2ab=3c2, 根据余弦定理得:, ∴. (2)由(1)知,代入已知,并结合正弦定理得:,解得或sinA=1(舍去), 所以A=30°,B=90°, ∴, 而, ∴. 18.已知a∈R,函数f(x)=(﹣x2+ax)?ex. (1)a=2时,求函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)在(﹣1,1)上单调递增,求a的取值范围. 【分析】(1)求出a=2的函数f(x)的导数,令导数大于0,得增区间,令导数小于0,得减区间; (2)求出f(x)的导数,由题意可得f′(x)≥0在(﹣1,1)上恒成立,即为a﹣x2+(a﹣2)x≥0,即有x2﹣(a﹣2)x﹣a≤0,再由二次函数的图象和性质,得到不等式组,即可解得a的范围. 解:(1)a=2时,f(x)=(﹣x2+2x)?ex的导数为 f′(x)=ex(2﹣x2), 由f′(x)>0,解得﹣<x<, 由f′(x)<0,解得x<﹣或x>. 即有函数f(x)的单调减区间为(﹣∞,﹣),(,+∞), 单调增区间为(﹣,). (2)函数f(x)=(﹣x2+ax)?ex的导数为 f′(x)=ex[a﹣x2+(a﹣2)x], 由函数f(x)在(﹣1,1)上单调递增, 则有f′(x)≥0在(﹣1,1)上恒成立, 即为a﹣x2+(a﹣2)x≥0,即有x2﹣(a﹣2)x﹣a≤0, 则有1+(a﹣2)﹣a≤0且1﹣(a﹣2)﹣a≤0, 解得a≥. 则有a的取值范围为[,+∞). 19.如图,三棱柱ABC﹣A'B'C'的棱长均为2,O为AC的中点,平面A'OB⊥平面ABC,平面AA'C'C⊥平面ABC. (Ⅰ)求证:A'O⊥平面ABC; (Ⅱ)求二面角A﹣BC﹣C'的余弦值. 【分析】(Ⅰ)推导出AC⊥BO,从而AC⊥平面BOA′,进而AC⊥A′O,由此能证明A'O⊥平面ABC. (Ⅱ)以O为原点,OB为x轴,OC为y轴,OA′为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角A﹣BC﹣C'的余弦值. 解:(Ⅰ)证明:∵三棱柱ABC﹣A'B'C'的棱长均为2,O为AC的中点, ∴AC⊥BO, ∵平面A'OB⊥平面ABC,平面A'OB∩平面ABC=OB, ∴AC⊥平面BOA′,∴AC⊥A′O, ∵平面AA'C'C⊥平面ABC.平面AA'C'C∩平面ABC=AC. ∴A'O⊥平面ABC. (Ⅱ)解:以O为原点,OB为x轴,OC为y轴,OA′为z轴,建立空间直角坐标系, 则A(0,﹣1,0),B(,0,0),C(0,1,0),C′(0,2,), =(﹣,1,0),=(﹣,2,), 设平面BCC′的法向量=(x,y,z), 则,取x=1,得=(1,,﹣1), 平面ABC的法向量=(0,0,1), 设二面角A﹣BC﹣C'的平面角为θ,由图知θ是钝角, ∴cosθ=﹣=﹣=﹣. ∴二面角A﹣BC﹣C'的余弦值为﹣. 20.已知抛物线C:x2=2py(p>0)上一点M(m,9)到其焦点F的距离为10. (Ⅰ)求抛物线C的方程; (Ⅱ)设过焦点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,且抛物线在A,B两点处的切线分别交x轴于P,Q两点,求|AP|?|BQ|的取值范围. 【分析】(Ⅰ)可得抛物线的准线为,∴,解得,p=2,即可得抛物线的方程. (Ⅱ)设l:y=kx+1.设A(),B(x2,),可得..同理可得,,即可得|AP|?|BQ|的取值范围. 解:(Ⅰ)已知M(m,9)到焦点F的距离为10,则点M到其准线的距离为10. ∵抛物线的准线为,∴, 解得,p=2,∴抛物线的方程为x2=4y.………………………… (Ⅱ)由已知可判断直线l的斜率存在,设斜率为k,因为F(0,1),则l:y=kx+1. 设A(),B(x2,),由消去y得,x2﹣4kx﹣4=0, ∴x1+x2=4k,x1x2=﹣4. 由于抛物线C也是函数的图象,且,则. 令y=0,解得,∴P,从而. 同理可得,, ∴==. ∵k2≥0,∴|AP|?|BQ|的取值范围为[2,+∞).…………………………… 21.一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓后要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现三次音乐获得150分,出现两次音乐获得100分,出现一次音乐获得50分,没有出现音乐则获得﹣300分.设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立. (1)若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0; (2)以(1)中确定的p0作为p的值,玩3盘游戏,出现音乐的盘数为随机变量X,求每盘游戏出现音乐的概率p1,及随机变量X的期望EX; (3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因. 【分析】(1)求得一盘游戏中仅出现一次音乐的概率f(p),由导数的应用可得最大值点; (2)求得每盘游戏出现音乐的概率,再由二项分布的数学期望公式可得所求; (3)由题可设每盘游戏的得分为随机变量ξ,则ξ的可能值为﹣300,50,100,150,分别求得其概率,计算数学期望,即可得到结论. 解:(1)由题可知,一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为, f'(p)=3(3p﹣1)(p﹣1),由f'(p)=0得或p=1(舍), 当时,f'(p)>0;当时,f'(p)<0, ∴f(p)在上单调递增,在上单调递减, ∴当时,f(p)有最大值,即f(p)的最大值点; (2)由(1)可知,, 则每盘游戏出现音乐的概率为, 由题可知, ∴; (3)由题可设每盘游戏的得分为随机变量ξ,则ξ的可能值为﹣300,50,100,150, ∴P(ξ=﹣300)=(1﹣p)3,;;P(ξ=150)=p3, ∴=, 令,则, 所以g(p)在单调递增;∴g(p)<g()=﹣<0, 即有EX<0, 这说明每盘游戏平均得分是负分,由概率统计的相关知识可知: 经过若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而会减少. 22.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),曲线C1的参数方程为(θ为参数),以该直角坐标系的原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为. (Ⅰ)分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线l交曲线C1于O,A两点,交曲线C2于O,B两点,求|AB|的长. 【分析】(Ⅰ)直接利用转换关系式,把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换. (Ⅱ)利用直线和曲线的位置关系,建立方程组,利用极径的应用求出结果. 解:(Ⅰ)直线l的参数方程为(t为参数), 转换为直角坐标方程为:, 所以直线的倾斜角为. 所以:, 曲线C1的参数方程为(θ为参数), 转换为直角坐标方程为:(x﹣2)2+y2=4. 转换为极坐标方程为:ρ=4cosθ, 曲线C2的极坐标方程为, 转换为直角坐标的方程为:, 整理得:, 线l交曲线C1于O,A两点, 则:, 解得:A(﹣2,), 直线和曲线C2于O,B两点 则:, 解得:B(﹣4,), 所以:|AB|=|ρ1﹣ρ2|=4﹣2.

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  • ID:3-7131355 2019年湖南省长沙一中高考(理科)数学模拟测试试卷 Word版含答案

    高中数学/高考专区/模拟试题

    2019年高考数学模拟试卷(理科) 一、选择题 1.已知集合A={x|x≤a,a∈R},B={x|2x<16},若A?B,则实数a的取值范围是(  ) A.? B.R C.(﹣∞,4] D.(﹣∞,4) 2.设函数f(x)=ln(x﹣1)的定义域为D,命题p:?x∈D,f(x)≤x的否定是(  ) A.?x∈D,f(x)>x B.?x0∈D,f(x0)≤x0 C.?x?D,f(x)>x D.?x0∈D,f(x0)>x0 3.已知复数z1=cos23°+isin23°和复数z2=cos37°+isin37°,则z1?z2为(  ) A. B. C. D. 4.已知直线l:y=2x+10过双曲线的一个焦点且与其中一条渐近线平行,则双曲线的方程为(  ) A. B. C. D. 5.为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系,统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同),用回归直线=bx+a近似的刻画其相关关系,根据图形,以下结论最有可能成立的是(  ) A.线性相关关系较强,b的值为1.25 B.线性相关关系较强,b的值为0.83 C.线性相关关系较强,b的值为﹣0.87 D.线性相关关系太弱,无研究价值 6.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积等于(  ) A. B. C. D. 7.若的展开式中的常数项为﹣12,则实数a的值为(  ) A.﹣2 B.﹣3 C.2 D.3 8.已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D、E分别是边AB、BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则?的值为(  ) A.﹣ B. C. D. 9.阿波罗尼斯(约公元前262~190年)证明过这样的命题:平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A,B间的距离为2,动点P与A,B的距离之比为,当P,A,B不共线时,△PAB的面积的最大值是(  ) A. B. C. D. 10.如图,在四边形ABCD中,AB=1,BC=3,∠ABC=120°,∠ACD=90°,∠CDA=60°,则BD的长度为(  ) A. B. C. D. 11.如图,正三棱柱ABC﹣A1B1C1各条棱的长度均相等,D为AA1的中点,M,N分别是线段BB1和线段CC1的动点(含端点),且满足BM=C1N,当M,N运动时,下列结论中不正确的是(  ) A.在△DMN内总存在与平面ABC平行的线段 B.平面DMN⊥平面BCC1B1 C.三棱锥A1﹣DMN的体积为定值 D.△DMN可能为直角三角形 12.已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),f(﹣)=0,对x∈R恒有f(x)≤|f()|,且在区间()上有且只有一个x1使f(x1)=3,则ω的最大值为(  ) A. B. C. D. 二、填空题:共4小题,每小题5分,共20分. 13.设f(x)为定义在R上的偶函数,当x<0时,f(x)=2x+m(m为常数),若,则实数m的值为   . 14.学校艺术节对同一类的A,B,C,D四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下: 甲说:“A作品获得一等奖”; 乙说:“C作品获得一等奖” 丙说:“B,D两项作品未获得一等奖”丁说:“是A或D作品获得一等奖” 若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是   . 15.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A、B原料都不超过12千克,通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是   元. 16.设实数a>0,若函数的最大值为f(﹣1),则实数a的最大值为   . 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分. 17.已知{an}是一个公差大于0的等差数列,且满足a3a5=45,a2+a6=14. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足++…+=an+1(n∈N*).求数列{bn}的前n项和Sn. 18.如图1,四边形ABCD为直角梯形,AD∥BC,AD⊥AB,∠BCD=60°,,BC=3,E为线段CD上一点,满足BC=CE,F为BE的中点,现将梯形沿BE折叠(如图2),使平面BCE⊥平面ABED. (1)求证:平面ACE⊥平面BCE; (2)能否在线段AB上找到一点P(端点除外)使得直线AC与平面PCF所成角的正弦值为?若存在,试确定点P的位置;若不存在,请说明理由. 19.为了实现中华民族伟大复兴之梦,把我国建设成为富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国,党和国家为劳动者开拓了宽广的创造性劳动的舞台.借此“东风”,某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时,为创造更大价值,提高亩产量,积极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间和降低夜间温度两种不同方案.为比较两种方案下产量的区别,该农场选取了40间大棚(每间一亩),分成两组,每组20间进行试点.第一组采用延长光照时间的方案,第二组采用降低夜间温度的方案.同时种植该蔬菜一季,得到各间大棚产量数据信息如下图: (1)如果你是该农场的负责人,在只考虑亩产量的情况下,请根据图中的数据信息,对于下一季大棚蔬菜的种植,说出你的决策方案并说明理由; (2)已知种植该蔬菜每年固定的成本为6千元/亩.若采用延长光照时间的方案,光照设备每年的成本为0.22千元/亩;若采用夜间降温的方案,降温设备的每年成本为0.2千元/亩.已知该农场共有大棚100间(每间1亩),农场种植的该蔬菜每年产出两次,且该蔬菜市场的收购均价为1千元/千斤.根据题中所给数据,用样本估计总体,请计算在两种不同的方案下,种植该蔬菜一年的平均利润; (3)农场根据以往该蔬菜的种植经验,认为一间大棚亩产量超过5.25千斤为增产明显.在进行夜间降温试点的20间大棚中随机抽取3间,记增产明显的大棚间数为X,求X的分布列及期望. 20.已知椭圆E:(a>b>0)的离心率为,且左、右顶点分别为A,B,过左焦点的直线l交椭圆E于C,D两点,当直线l垂直于x轴时,四边形ACBD的面积为6. (1)求椭圆E的方程; (2)设直线AC,BD的交点为Q,试问点Q的横坐标是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由. 21.已知f(x)=ln(x+m),g(x)=ex. (1)当m=2时,证明:f(x)<g(x); (2)设直线l是函数f(x)在点A(x0,f(x0))(0<x0<1)处的切线,若直线l也与g(x)相切,求正整数m的值. (二)选考题:共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4:坐标系与参数方程] 22.在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建极坐标系,已知曲线C:ρsin2θ=2acosθ(a>0),过点P(﹣2,﹣4)的直线l的参数方程为:,直线l与曲线C分别交于M,N. (1)写出曲线C和直线L的普通方程; (2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值. [选修4-5:不等式选讲] 23.已知函数f(x)=|x﹣a|,(a∈R) (1)当a=2时,解不等式|x﹣|+f(x)≥1; (2)设不等式|x﹣|+f(x)≤x的解集为M,若[,]?M,求实数a的取值范围. 参考答案 一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={x|x≤a,a∈R},B={x|2x<16},若A?B,则实数a的取值范围是(  ) A.? B.R C.(﹣∞,4] D.(﹣∞,4) 【分析】求出集合B,根据集合与集合的关系,判断即可. 解:集合A={x|x≤a,a∈R},B={x|2x<16}=(﹣∞,4), 若A?B, 故a<4, 故选:D. 2.设函数f(x)=ln(x﹣1)的定义域为D,命题p:?x∈D,f(x)≤x的否定是(  ) A.?x∈D,f(x)>x B.?x0∈D,f(x0)≤x0 C.?x?D,f(x)>x D.?x0∈D,f(x0)>x0 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题,判断即可. 解:命题p:?x∈D,f(x)≤x的否定是 ?x0∈D,f(x0)>x0. 所以选项A,B,C错误,D正确. 故选:D. 3.已知复数z1=cos23°+isin23°和复数z2=cos37°+isin37°,则z1?z2为(  ) A. B. C. D. 【分析】直接利用复数的加减法计算, 解:z1?z2=(cos23°+isin23°)?(cos37°+isin37°)=cos60°+isin60°= 故选:A. 4.已知直线l:y=2x+10过双曲线的一个焦点且与其中一条渐近线平行,则双曲线的方程为(  ) A. B. C. D. 【分析】根据条件可判断出c=5,再根据直线l与一条渐近线平行可得b=2a,结合c2=a2+b2,可求出a2,b2即可. 解:由题意得F(﹣5,0),c=5, 且因为l与一条渐近线平行,故=2,即b=2a, 所以a2=5,b2=20, 则双曲线方程为, 故选:A. 5.为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系,统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同),用回归直线=bx+a近似的刻画其相关关系,根据图形,以下结论最有可能成立的是(  ) A.线性相关关系较强,b的值为1.25 B.线性相关关系较强,b的值为0.83 C.线性相关关系较强,b的值为﹣0.87 D.线性相关关系太弱,无研究价值 【分析】根据散点图中点的分布特点即可得到结论. 解:由散点图可得,点的分布比较集中在一条直线赋值,∴语文成绩和英语成绩之间具有线性相关关系, 且线性相关关系较强,由于所有的点都在直线y=x的下方, ∴回归直线的斜率小于1, 故结论最有可能成立的是B, 故选:B. 6.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积等于(  ) A. B. C. D. 【分析】首先把三视图转换为几何体,进一步求出几何体的体积. 解:根据几何体的三视图知,该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体,结合图中数据, 它的体积为V=V三棱柱+V半圆柱=. 故选:D. 7.若的展开式中的常数项为﹣12,则实数a的值为(  ) A.﹣2 B.﹣3 C.2 D.3 【分析】因为的展开式的通项为,求出展开式中常数项的系数,求出a即可. 解:因为的展开式的通项为, 从而的展开式中的常数项为, 得a=2, 故选:C. 8.已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D、E分别是边AB、BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则?的值为(  ) A.﹣ B. C. D. 【分析】由题意画出图形,把、都用表示,然后代入数量积公式得答案. 解:如图, ∵D、E分别是边AB、BC的中点,且DE=2EF, ∴?== == === =. 故选:C. 9.阿波罗尼斯(约公元前262~190年)证明过这样的命题:平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A,B间的距离为2,动点P与A,B的距离之比为,当P,A,B不共线时,△PAB的面积的最大值是(  ) A. B. C. D. 【分析】根据条件不妨设A(﹣1,0),B(1,0),P(x,y),则,整理可得点P运动轨迹方程为(x+3)2+y2=8,进而判断出当点P到AB(x轴)距离最大时,△PAB的面积最大. 解:设A(﹣1,0),B(1,0),P(x,y),则, 化简得(x+3)2+y2=8(如图), 当点P到AB(x轴)距离最大时,△PAB的面积最大, ∴△PAB面积的最大值是, 故选:A. 10.如图,在四边形ABCD中,AB=1,BC=3,∠ABC=120°,∠ACD=90°,∠CDA=60°,则BD的长度为(  ) A. B. C. D. 【分析】先在△ABC中由余弦定理求得AC的长,进而求得CD,再借助于正弦定理得,可求得cos∠BCD,再在△BCD中,利用余弦定理求得结论. 解:设∠ACB=α,在△ABC中, 由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB×BC×cos120°=10﹣6cos120°=13, 则, ∵∠ACD=90°,∠CDA=60°,从而, 由正弦定理得, 即, 从而, 在△BCD中,由余弦定理得:, 则, 故选:D. 11.如图,正三棱柱ABC﹣A1B1C1各条棱的长度均相等,D为AA1的中点,M,N分别是线段BB1和线段CC1的动点(含端点),且满足BM=C1N,当M,N运动时,下列结论中不正确的是(  ) A.在△DMN内总存在与平面ABC平行的线段 B.平面DMN⊥平面BCC1B1 C.三棱锥A1﹣DMN的体积为定值 D.△DMN可能为直角三角形 【分析】由直线与平面平行的定义得在△DMN内总存在与平面ABC平行的线段;由BM=C1N,得线段MN必过正方形BCC1B1的中心O,由DO⊥平面BCC1B1,可得平面DMN⊥平面BCC1B1;由△A1DM的面积不变,N到平面A1DM的距离不变,得到三棱锥A1﹣DMN的体积为定值;利用反证法思想说明△DMN不可能为直角三角形. 解:如图,当M、N分别在BB1、CC1上运动时, 由直线与平面平行的定义得在△DMN内总存在与平面ABC平行的线段,故A正确 若满足BM=C1N,则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O,而DO⊥平面BCC1B1, ∴平面DMN⊥平面BCC1B1,故B正确; 当M、N分别在BB1、CC1上运动时,△A1DM的面积不变,N到平面A1DM的距离不变, ∴棱锥N﹣A1DM的体积不变,即三棱锥A1﹣DMN的体积为定值,故C正确; 若△DMN为直角三角形,则必是以∠MDN为直角的直角三角形,但MN的最大值为BC1, 而此时DM,DN的长大于BB1,∴△DMN不可能为直角三角形,故D错误. 故选:D. 12.已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π),f(﹣)=0,对x∈R恒有f(x)≤|f()|,且在区间()上有且只有一个x1使f(x1)=3,则ω的最大值为(  ) A. B. C. D. 【分析】由题意知,k1,k2∈Z,可得,k,k′∈Z,其中k=k2﹣k1,k′=k2+k1=k+2k1,可得k与k′同为奇数或同为偶数.要使f(x)在区间()上有且只有一个最大,且要求ω最大,则()包含的周期应该最多,求出周期范围,进一步得到0<ω≤30,即,可得k≤19.5,然后分别取k=19,k=18,k=17分析可得ω的最大值为. 解:由题意知,,k1,k2∈Z, 则,k,k′∈Z,其中k=k2﹣k1,k′=k2+k1=k+2k1, 故k与k′同为奇数或同为偶数. f(x)在区间()上有且只有一个最大,且要求ω最大, 则()包含的周期应该最多, ∴,得0<ω≤30,即,∴k≤19.5. 当k=19时,,k′为奇数,φ=,此时∈(2.7π,6.6π), 当或6.5π时,f(x1)=3都成立,舍去; 当k=18时,ω=,k′为偶数,φ=,此时∈(2.1π,5.8π), 当或4.5π时,f(x1)=3都成立,舍去; 当k=17时,,k′为奇数,φ=,此时∈(2.5π,6π), 当且仅当时,f(x1)=3成立. 综上所述,ω的最大值为. 故选:B. 二、填空题:共4小题,每小题5分,共20分. 13.设f(x)为定义在R上的偶函数,当x<0时,f(x)=2x+m(m为常数),若,则实数m的值为 1 . 【分析】由已知可知f(﹣1)=f(1),结合已知函数解析式代入即可求解. 解:因为f(x)为定义在R上的偶函数,当x<0时,f(x)=2x+m(m为常数), 所以f(﹣1)=, 则f(﹣1)=2﹣1+m=, ∴m=1. 故答案为:1 14.学校艺术节对同一类的A,B,C,D四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下: 甲说:“A作品获得一等奖”; 乙说:“C作品获得一等奖” 丙说:“B,D两项作品未获得一等奖”丁说:“是A或D作品获得一等奖” 若这四位同学中只有两位说的话是对的,则获得一等奖的作品是 C . 【分析】根据题意,依次假设参赛的作品为A、B、C、D,判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性,即可判断. 解:根据题意,A,B,C,D作品进行评奖,只评一项一等奖, 假设参赛的作品A为一等奖,则甲、丙,丁的说法都正确,乙错误,不符合题意; 假设参赛的作品B为一等奖,则甲、乙、丙、丁的说法都错误,不符合题意; 假设参赛的作品C为一等奖,则乙,丙的说法正确,甲、丁的说法错误,符合题意; 假设参赛的作品D为一等奖,则甲、乙,丙的说法都错误,丁的说法正确,不符合题意; 故获得参赛的作品C为一等奖; 故答案为:C. 15.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A、B原料都不超过12千克,通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是 2800 元. 【分析】设每天生产的甲、乙两种产品分别为x,y桶,可使公司获得的利润z=300x+400y元. 将已知数据列成表格如下: 甲产品(桶) 乙产品(桶) 原料kg A原料/kg 1 2 ≤12 B原料/kg 2 1 ≤12 利润(元/桶) 300 400 根据表格列出约束条件,画出可行域,将目标函数进行平移即可得出. 解:设每天生产的甲、乙两种产品分别为x,y桶,可使公司获得的利润z=300x+400y元. 将已知数据列成表格如下: 甲产品(桶) 乙产品(桶) 原料kg A原料/kg 1 2 ≤12 B原料/kg 2 1 ≤12 利润(元/桶) 300 400 由表格可得约束条件,画出可行域如图所示: 联立,解得,即B(4,4). 画出函数y=﹣的图象,将其平移,当y=﹣经过点B时,取得最大值, z=300×4+400×4=2800. 故答案为2800元. 16.设实数a>0,若函数的最大值为f(﹣1),则实数a的最大值为 2e3 . 【分析】由已知函数的最大值进行合理转化后转化为求和函数的最值,结合导数可求. 解:由f(﹣1)=a,又当x>0时,alnx﹣x2≤a,即a(lnx﹣1)≤x2. 当0<x≤1时,a(lnx﹣1)≤x2显然成立; 当x>1时,由a(lnx﹣1)≤x2等价于, 令,, 当时,g'(x)>0,g(x)单调递增, 当时,g'(x)<0,g(x)单调递减, 故,则,又a>0,得a≤2e3, 因此a的最大值为2e3. 故答案为:2e3. 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分. 17.已知{an}是一个公差大于0的等差数列,且满足a3a5=45,a2+a6=14. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足++…+=an+1(n∈N*).求数列{bn}的前n项和Sn. 【分析】(1)根据等差数列的通项公式求出首项和公差即可求数列{an}的通项公式; (2)根据数列的递推关系,利用作差法求出数列{bn}的通项公式,根据等比数列的定义判断数列是等比数列即可得到结论. 解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则依题设d>0. 由a2+a6=14,可得a4=7. 由a3a5=45,得(7﹣d)(7+d)=45,可得d=2. 即a1=7﹣3d=1. 可得an=1+2(n﹣1)=2n﹣1. (2)∵++…+=an+1=2n, ∴当n≥2时,++…+=2(n﹣1), 两式作差得=2, 即bn=2?2n=2n+1, ∴数列{bn}是首项为4,公比为2的等比数列. 即数列{bn}的前n项和Sn=. 18.如图1,四边形ABCD为直角梯形,AD∥BC,AD⊥AB,∠BCD=60°,,BC=3,E为线段CD上一点,满足BC=CE,F为BE的中点,现将梯形沿BE折叠(如图2),使平面BCE⊥平面ABED. (1)求证:平面ACE⊥平面BCE; (2)能否在线段AB上找到一点P(端点除外)使得直线AC与平面PCF所成角的正弦值为?若存在,试确定点P的位置;若不存在,请说明理由. 【分析】(1)在直角梯形ABCD中,利用条件可得△BCE为等边三角形再利用余弦定理可得AE,利用勾股定理的逆定理可得AE⊥BE,且折叠后AE与BE位置关系不变,根据线面面面垂直的判定定理性质定理即可证明结论. (2)由△BCE为等边三角形,F为BE的中点,可得CF⊥BE,根据面面垂直的性质定理可得:CF⊥平面ABED,取AB的中点G,连结FG,可得FG⊥BE,以F为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.假设在AB上存在一点P使直线AC与平面PCF所成角的正弦值为,且=λ,λ∈(0,1),利用法向量、向量夹角公式即可得出. 【解答】(1)证明:在直角梯形ABCD中,BE=BC=3,∠BCD=60°, 因此△BCE为等边三角形,从而BE=3, 又,由余弦定理可知, ∴AE2+BE2=AB2,即AE⊥BE,且折叠后AE与BE位置关系不变, 又∵平面BCE⊥平面ABED,且平面BCE∩平面ABED=BE. ∴AE⊥平面BCE,∵AE?平面ACE,∴平面ACE⊥平面BCE. (2)解:∵△BCE为等边三角形,F为BE的中点,∴CF⊥BE,又∵平面BCE⊥平面ABED,且平面BCE⊥平面ABED=BE, ∴CF⊥平面ABED,取AB的中点G,连结FG,则FG∥AE,从而FG⊥BE, 以F为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系. 则A(,﹣,0),C(0,0,), 则=(,﹣,﹣), 假设在AB上存在一点P使直线AC与平面PCF所成角的正弦值为,且=λ,λ∈(0,1), ∵B(0,,0),∴=(﹣,3,0), 故=(﹣λ,λ,0), ∴=+=(﹣,,﹣), 又=(0,0,), 该平面PCF的法向量为=(x,y,z),∴?=?=0,可得:(﹣)x+y﹣z=0,z=0, 取=((2λ﹣1),2(λ﹣1),0), ∴cos<,>==,λ∈(0,1), 解得. 综上可知,存在点P是线段AB的中点,使得直线AC与平面PCF所成角的正弦值为. 19.为了实现中华民族伟大复兴之梦,把我国建设成为富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国,党和国家为劳动者开拓了宽广的创造性劳动的舞台.借此“东风”,某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时,为创造更大价值,提高亩产量,积极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间和降低夜间温度两种不同方案.为比较两种方案下产量的区别,该农场选取了40间大棚(每间一亩),分成两组,每组20间进行试点.第一组采用延长光照时间的方案,第二组采用降低夜间温度的方案.同时种植该蔬菜一季,得到各间大棚产量数据信息如下图: (1)如果你是该农场的负责人,在只考虑亩产量的情况下,请根据图中的数据信息,对于下一季大棚蔬菜的种植,说出你的决策方案并说明理由; (2)已知种植该蔬菜每年固定的成本为6千元/亩.若采用延长光照时间的方案,光照设备每年的成本为0.22千元/亩;若采用夜间降温的方案,降温设备的每年成本为0.2千元/亩.已知该农场共有大棚100间(每间1亩),农场种植的该蔬菜每年产出两次,且该蔬菜市场的收购均价为1千元/千斤.根据题中所给数据,用样本估计总体,请计算在两种不同的方案下,种植该蔬菜一年的平均利润; (3)农场根据以往该蔬菜的种植经验,认为一间大棚亩产量超过5.25千斤为增产明显.在进行夜间降温试点的20间大棚中随机抽取3间,记增产明显的大棚间数为X,求X的分布列及期望. 【分析】(1)求出每组的平均数进行判断即可; (2)分别求出两种方案的年利润,比较判断即可; (3)根据题意,增产明显的大棚间数为5间,由题意可知,x的可能取值有0,1,2,3,根据超几何分布求出分别列,求出数学期望. 解:(1)第一组数据平均数为5.05×0.1+5.15×0.2+5.25×0.4+5.35×0.3=5.24千斤/亩, 第二组数据平均数为(5.18×5+5.20×4+5.22×4+5.24×2+5.26×3+5.28×2)=5.22千斤/亩,可知第一组方法较好,所以采用延长光照时间的方法; (2)(i)对于采用延长光照时间的方法: 每亩平均产量为5.05×0.1+5.15×0.2+5.25×0.4+5.35×0.3=5.24千斤, ∴该农场一年的利润为(5.24×2×1﹣6﹣0.22)×100=426千元, (ii)对于采用降低夜间温度的方法: 每亩平均产量为(5.18×5+5.20×4+5.22×4+5.24×2+5.26×3+5.28×2)=5.22千斤, ∴该农场一年的利润为(5.22×2×1﹣6﹣0.2)×100=424千元. 因此,该农场若采用延长光照时间的方法,预计每年的利润为426千元;若采用降低夜间温度的方法,预计每年的利润为424千元. (3)由图可知,增产明显的大棚间数为5间,由题意可知,x的可能取值有0,1,2,3, P(X=0)=;P(X=1)=, P(X=2)=,P(X=3)=, 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以EX=0×+1×+2×+3×=. 20.已知椭圆E:(a>b>0)的离心率为,且左、右顶点分别为A,B,过左焦点的直线l交椭圆E于C,D两点,当直线l垂直于x轴时,四边形ACBD的面积为6. (1)求椭圆E的方程; (2)设直线AC,BD的交点为Q,试问点Q的横坐标是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由. 【分析】(1)将x=﹣c代入椭圆方程可得椭圆的通径长,再由四边形ACBD的面积公式,可得b,再由椭圆的离心率公式可得a,c,进而得到椭圆方程; (2)分别求得左焦点和左右顶点的坐标,设直线l的方程为x=my﹣1,C(x1,y1),D(x2,y2),联立椭圆方程,消去x,可得y的二次方程,运用韦达定理,求得直线AC和BD的方程,联立求Q的横坐标,结合韦达定理,化简可得所求定值. 解:(1)设c为椭圆的半焦距,将x=﹣c代入椭圆方程可得y=±b=±, 依题意当直线l垂直于x轴时,四边形ACBD的面积为6,可知×2a?=6,即b2=3,即b=, 而e==,即a=2c,由a2﹣c2=b2,解得a=2,c=1, 因此椭圆E的方程为+=1; (2)由题意得,左焦点F(﹣1,0),A(﹣2,0),B(2,0),设直线l的方程为x=my﹣1,C(x1,y1),D(x2,y2), 由,消去x并整理得(4+3m2)y2﹣6my﹣9=0,∴y1+y2=,y1y2=﹣, 直线AC的方程为y=(x+2),直线BD的方程为y=(x﹣2), 联立方程,解得x=,又因为﹣2my1y2=3(y1+y2), ∴x===﹣4, 所以点Q的横坐标为定值﹣4. 21.已知f(x)=ln(x+m),g(x)=ex. (1)当m=2时,证明:f(x)<g(x); (2)设直线l是函数f(x)在点A(x0,f(x0))(0<x0<1)处的切线,若直线l也与g(x)相切,求正整数m的值. 【分析】(1)设F(x)=g(x)﹣f(x)=ex﹣ln(x+2),则,F′(x)单调(a,+∞)递增,且F′(0)=,F′(﹣1)=,由此利用导数性质能证明f(x)<g(x). (2),从而,切线l的方程为y=+ln(x0+m),设直线l与g(x)相切于点(),g′(x)=ex,从而切线斜率为=,x1=﹣ln(x0+m),由,从而直线l的方程为y=+,从而(x0+m﹣1)ln(x0+m)=x0+1,解得ln(x0+m)=,构造函数h(x)=ln(x+m)﹣,(x<x<1),则>0,利用导数性质能求出正整数m. 解:(1)证明:设F(x)=g(x)﹣f(x)=ex﹣ln(x+2), 则,F′(x)单调(a,+∞)递增,且F′(0)=,F′(﹣1)=, ∴F′(x)在(﹣1,0)上存在零点a,且F(x)在(﹣2,a)上单调递减, 在(a,+∞)上单调递增,从而F(x)的最小值为F(a)=ea﹣ln(a+2)=+a=>0. ∴F(x)>0,即f(x)<g(x). (2)解:,故, 故切线l的方程为y=+ln(x0+m),① 设直线l与g(x)相切于点(),注意到g′(x)=ex, 从而切线斜率为=,因此x1=﹣ln(x0+m), 而,从而直线l的方程为y=+,② 由①②可知=+ln(x0+m), 故(x0+m﹣1)ln(x0+m)=x0+1, 由m为正整数可知,x0+m﹣1>0, 因此解得ln(x0+m)=,0<x0<1, 构造函数h(x)=ln(x+m)﹣,(x<x<1), 则>0, 当m=1时,h(x)=ln(x+1)﹣为单调递增函数,且h(1)=ln2﹣2<0, 从而h(x)在(0,1)上无零点, 当m>1时,要使得h(x)在(0,1)上存在零点,则只需h(0)=lnm﹣<0,h(1)=ln(m+1)﹣>0, 由为单调递增函数,>0,因此m<3. 由为单调递增函数,h2(1)=lm2﹣2<0, 因此m>1,由于m为整数,且1<m<3,因此m=2. (二)选考题:共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4:坐标系与参数方程] 22.在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建极坐标系,已知曲线C:ρsin2θ=2acosθ(a>0),过点P(﹣2,﹣4)的直线l的参数方程为:,直线l与曲线C分别交于M,N. (1)写出曲线C和直线L的普通方程; (2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值. 【分析】(1)把极坐标方程两边同时乘以ρ后,代入极坐标与直角坐标的互化公式得答案;由直线的参数方程可得直线经过的定点和直线的倾斜角,求出斜率后直接写出直线的点斜式方程; (2)把直线的参数方程代入抛物线方程,由|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,借助于直线方程的参数的几何意义列式求解a的值. 解:(1)由ρsin2θ=2acosθ,得ρ2sin2θ=2aρcosθ, 即y2=2ax; 由,可知直线过(﹣2,﹣4),且倾斜角为, ∴直线的斜率等于1,∴直线方程为y+4=x+2,即y=x﹣2; (2)直线l的参数方程为(t为参数), 代入y2=2ax得到, 则有, 因为|MN|2=|PM|?|PN|, 所以, 即8(4+a)2=5×8(4+a). 解得a=1. [选修4-5:不等式选讲] 23.已知函数f(x)=|x﹣a|,(a∈R) (1)当a=2时,解不等式|x﹣|+f(x)≥1; (2)设不等式|x﹣|+f(x)≤x的解集为M,若[,]?M,求实数a的取值范围. 【分析】(1)通过讨论x的范围,去掉绝对值,解各个区间上的x的范围,取并集即可; (2)问题转化为x﹣+|x﹣a|≤x,求出x的范围,得到关于a的不等式组,解出即可. 解:(1)a=2时,f(x)=|x﹣2|, 问题转化为解不等式|x﹣|+|x﹣2|≥1, ①x≥2时, x﹣+(x﹣2)≥1, x﹣+x﹣≥1, 解得:x≥; ②<x<2时, x﹣+(2﹣x)≥1, 解得:x≥1,故1≤x<2; ③x≤时,﹣x+(2﹣x)≥1, 解得:x≤0, 综上,不等式的解集是:{x|x≤0或x≥1}; (2)|x﹣|+|x﹣a|≤x的解集包含[,], ∴x﹣+|x﹣a|≤x, 故﹣1≤|x﹣a|≤1, 解得:﹣1+a≤x≤1+a, 故,解得:﹣≤a≤.

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  • ID:3-7131354 2019年河北省衡水市武邑中学高考(文科)数学三模试卷 Word版含解析

    高中数学/高考专区/模拟试题

    2019年高考模拟试卷高考数学三模试卷(文科) 一、选择题 1.已知集合A={0,1,2,3,4,6},B={x|x=2n,n∈N},则A∩B的元素个数是(  ) A.0 B.1 C.2 D.3 2.已知复数z满足z(2﹣i)=1+i,则复数z在复平面内对应的点在(  ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知命题p:?x>0,总有(x+1)ex≥1,则¬p为(  ) A.?x0≤0,使得 B.?x0>0,使得 C.?x0>0,使得 D.?x≤0,总有 4.阅读程序框图,该算法的功能是输出(  ) A.数列{2n﹣1}的第4项 B.数列{2n﹣1}的第5项 C.数列{2n﹣1}的前4项的和 D.数列{2n﹣1}的前5项的和 5.已知f(x)是定义在[2b,1﹣b]上的奇函数,且在[2b,0]上为增函数,则f(x﹣1)≤f(2x)的解集为(  ) A.[﹣1,] B.[﹣1,] C.[﹣1,1] D.[] 6.从装有3双不同鞋的柜子里,随机取2只,则取出的2只鞋不成对的概率为(  ) A. B. C. D. 7.已知实数x,y满足:,若z=kx﹣y取得最小值的最优解有无数个,则实数k的值是(  ) A.﹣1 B.4 C.﹣1或 D.﹣1或4 8.若数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,a2=2,(Sn+1)(Sn+2+1)=(Sn+1+1)2,则Sn=(  ) A. B.2n+1 C.2n﹣1 D.2n+1+1 9.已知正方形ABCD的边长为2,E是BC的中点,以点C为圆心,CE长为半径作圆,点P是该圆上的任一点,则的取值范围是(  ) A. B. C. D. 10.已知是函数?cosφ+cos3x?sinφ的一个极小值点,则f(x)的一个单调递增区间是(  ) A. B. C. D. 11.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某空间几何体的三视图,则该几何体的体积为(  ) A.40 B. C. D. 12.已知点F是双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点,过原点且倾斜角为α的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点,且=0,若,则C的离心率取值范围是(  ) A.(1,+1] B.[,+1] C.[,] D.[,] 二、填空题:共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在答题卡上相应位置. 13.已知椭圆E的中心为原点,焦点在x轴上,椭圆上一点到焦点的最小距离为2﹣2,离心率为,则椭圆E的方程为   . 14.已知等差数列{an}前n项和为Sn,且满足=3,则数列{an}的公差为   . 15.边长为a的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值,这个定值等于   ;将这个结论推广到空间是:棱长为a的正四面体内任一点到各面距离之和等于   . 16.已知实数a,b,c满足,其中e是自然对数的底数,那么(a﹣c)2+(b﹣d)2的最小值为    三、解答题:大本题共5小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.如图,四边形ABCD中,AC=BC,AB=4,∠ABC=. (1)求∠ACB; (2)若∠ADC=,四边形ABCD的周长为10,求四边形ABCD的面积. 18.某校为研究学生语言学科的学习情况,现对高二200名学生英语和语文某次考试成绩进行抽样分析.将200名学生编号为001,002,…,200,采用系统抽样的方法等距抽取10名学生,将10名学生的两科成绩(单位:分)绘成折线图如下: (Ⅰ)若第一段抽取的学生编号是006,写出第五段抽取的学生编号; (Ⅱ)在这两科成绩差超过20分的学生中随机抽取2人进行访谈,求2人成绩均是语文成绩高于英语成绩的概率; (Ⅲ)根据折线图,比较该校高二年级学生的语文和英语两科成绩,写出你的结论和理由. 19.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,,AA1=2,D为棱CC1的中点,AB1∩A1B=O. (1)证明:C1O∥平面ABD; (2)已知AC⊥BC,△ABD的面积为,E为线段A1B上一点,三棱锥C﹣ABE的体积为,求. 20.已知焦点在y轴上的抛物线C1过点(2,1),椭圆C2的两个焦点分别为F1,F2,其中F2与C1的焦点重合,过点F1与C2的长轴垂直的直线交C2于A,B两点,且|AB|=3,曲线C3是以坐标原点O为圆心,以|OF2|为半径的圆. (1)求C2与C3的标准方程; (2)若动直线l与C3相切,且与C2交于M,N两点,求△OMN的面积S的取值范围. 21.已知函数f(x)=lnx+(a∈R)在x=1处的切线与直线x﹣2y+1=0平行. (Ⅰ)求实数a的值,并判断函数f(x)的单调性; (Ⅱ)若函数f(x)=m有两个零点x1,x2,且x1<x2,求证:x1+x2>1. [选修4-4:坐标系与参数方程] 22.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为,(t是参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2=. (1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程; (2)设曲线C2经过伸缩变换得到曲线C3,M(x,y)是曲线C3上任意一点,求点M到曲线C1的距离的最大值. [选修4-5:不等式选讲] 23.已知函数f(x)=|2x﹣m|. (1)若不等式f(x)≤6的解集为{x|﹣2≤x≤4},求实数m的值; (2)在(1)的条件下,若不等式f(x)+f()对一切满足a+b=2的正实数a,b恒成立,求x的取值范围. 参考答案 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求,将正确答案填涂在答题卡上. 1.已知集合A={0,1,2,3,4,6},B={x|x=2n,n∈N},则A∩B的元素个数是(  ) A.0 B.1 C.2 D.3 【分析】先求出A∩B,由此能求出A∩B中元素的个数. 解:∵集合A={0,1,2,3,4,6}, B={x|x=2n,n∈N}, ∴A∩B={1,2,4}, ∴A∩B的元素个数是3. 故选:D. 2.已知复数z满足z(2﹣i)=1+i,则复数z在复平面内对应的点在(  ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【分析】把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案. 解:由z(2﹣i)=1+i,得z=, ∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(),在第一象限. 故选:A. 3.已知命题p:?x>0,总有(x+1)ex≥1,则¬p为(  ) A.?x0≤0,使得 B.?x0>0,使得 C.?x0>0,使得 D.?x≤0,总有 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可. 解:因为特称命题的否定是全称命题,所以命题p:?x>0,总有(x+1)ex≥1,则¬p为?x0>0,使得. 故选:C. 4.阅读程序框图,该算法的功能是输出(  ) A.数列{2n﹣1}的第4项 B.数列{2n﹣1}的第5项 C.数列{2n﹣1}的前4项的和 D.数列{2n﹣1}的前5项的和 【分析】模拟程序的运行,依次写出每次循环得到的A,i的值,当i=6时满足条件i>5,退出循环,输出A的值,观察规律即可得解. 解:模拟程序的运行,可得: A=0,i=1 执行循环体,A=1=21﹣1,i=2, 不满足条件i>5,执行循环体,A=3=22﹣1,i=3 不满足条件i>5,执行循环体,A=7=23﹣1,i=4 不满足条件i>5,执行循环体,A=15=24﹣1,i=5 不满足条件i>5,执行循环体,A=31=25﹣1,i=6 满足条件i>5,退出循环,输出A的值为31. 观察规律可得该算法的功能是输出数列?{2n﹣1}的第5项. 故选:B. 5.已知f(x)是定义在[2b,1﹣b]上的奇函数,且在[2b,0]上为增函数,则f(x﹣1)≤f(2x)的解集为(  ) A.[﹣1,] B.[﹣1,] C.[﹣1,1] D.[] 【分析】根据题意,由奇函数的定义可得2b+(1﹣b)=0,解可得:b=﹣1,则函数的定义域为[﹣2,2],结合函数的单调性分析可得f(x)在[﹣2,2]上为增函数,据此可得f(x﹣1)≤f(2x)?﹣2≤x﹣1≤2x≤2,解可得x的取值范围,即可得答案. 解:根据题意,函数f(x)是定义在[2b,1﹣b]上的奇函数, 则2b+(1﹣b)=0,解可得:b=﹣1,则函数的定义域为[﹣2,2], 又由f(x)在[2b,0]即[﹣2,0]上为增函数,则f(x)在[﹣2,2]上为增函数, f(x﹣1)≤f(2x)?﹣2≤x﹣1≤2x≤2, 解可得:﹣1≤x≤1, 即不等式的解集为[﹣1,1]; 故选:C. 6.从装有3双不同鞋的柜子里,随机取2只,则取出的2只鞋不成对的概率为(  ) A. B. C. D. 【分析】基本事件总数n==15,取出的2只鞋不成对包含的基本事件m=﹣=12,由此能求出取出的2只鞋不成对的概率. 解:从装有3双不同鞋的柜子里,随机取2只, 基本事件总数n==15, 取出的2只鞋不成对包含的基本事件m=﹣=12, 则取出的2只鞋不成对的概率为p===. 故选:B. 7.已知实数x,y满足:,若z=kx﹣y取得最小值的最优解有无数个,则实数k的值是(  ) A.﹣1 B.4 C.﹣1或 D.﹣1或4 【分析】作出不等式组表示的平面区域,令z=kx﹣y,则y=kx﹣z则﹣z表示直线y=kx﹣z在y轴上的截距,截距越大,z越小,结合图象可求k的范围. 解:作出不等式组表示的平面区域,如图所示: 若使得kx﹣y取得最小值的可行解有无数个,结合图象可知, 则z=kx﹣y,与约束条件的直线x+y﹣2=0或4x﹣y+2=0平行,a=﹣1或4. 故选:D. 8.若数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,a2=2,(Sn+1)(Sn+2+1)=(Sn+1+1)2,则Sn=(  ) A. B.2n+1 C.2n﹣1 D.2n+1+1 【分析】本题依题意可先根据等比中项的知识判断出数列{Sn+1}为等比数列,再得出数列{Sn+1}的通项公式,即可得到Sn的结果. 解:由题意,可知: 根据(Sn+1)(Sn+2+1)=(Sn+1+1)2, 可知:数列{Sn+1}为等比数列. 又∵S1=a1=1, S2=a1+a2=1+2=3. ∴S1+1=2, S2+1=4. ∴ ∴. 故选:C. 9.已知正方形ABCD的边长为2,E是BC的中点,以点C为圆心,CE长为半径作圆,点P是该圆上的任一点,则的取值范围是(  ) A. B. C. D. 【分析】由题意,建立平面直角坐标系,设出各点坐标,利用数量积的坐标运算,得到P的关系式,结合点在圆上得到所求范围. 解:由题意,建立平面直角坐标系,如图则A(0,0),C(2,2),D(0,2),E(2,1),P(x,y),则(x﹣2)2+(y﹣2)2=1, =(x,y),=(2,﹣1), 所以=2x﹣y=z,则y=2x﹣z,当此直线与圆相切时使得在y轴的截距取得最值,所以,解得z=2, 所以的取值范围是[2﹣,2+]; 故选:D. 10.已知是函数?cosφ+cos3x?sinφ的一个极小值点,则f(x)的一个单调递增区间是(  ) A. B. C. D. 【分析】利用同角三角函数基本关系式以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式,由极值点可求得φ的值,再求2kπ﹣<3x﹣φ<2kπ+中x的取值范围,可得函数f(x)的单调递减区间,结合选项求出答案. 解:是函数?cosφ+cos3x?sinφ=sin(3x+φ)的一个极小值点, ∴sin[3×+φ]=﹣1, ∴φ=2kπ+π,k∈Z, 不妨取φ=﹣π, 此时f(x)=sin(3x﹣π), 令2kπ﹣<3x﹣π<2kπ+, 可得kπ+<x<kπ+, ∴函数f(x)的单调递增区间为(kπ+,kπ+)k∈Z, 结合选项可知当k=0时,函数的一个单调递减区间为:. 故选:A. 11.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某空间几何体的三视图,则该几何体的体积为(  ) A.40 B. C. D. 【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体直三棱柱 割去一个等高底面不等的三棱锥,由此求出它的体积. 解:根据几何体的三视图,得; 该几何体是三棱柱BCE﹣AGF割去一个三棱锥A﹣BCD所得的图形, 如图所示; ∴V几何体CDEFGA=×4×4×4﹣××(×4×4)×4=. 故选:B. 12.已知点F是双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点,过原点且倾斜角为α的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点,且=0,若,则C的离心率取值范围是(  ) A.(1,+1] B.[,+1] C.[,] D.[,] 【分析】画出图形,求出BO=c,然后求解B的坐标,代入双曲线方程,求出e的表达式,即可得到离心率的范围. 解:如图:点F是双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点,过原点且倾斜角为α的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点,且=0, 可得OB=OA=OF=c,所以AF=,BF=, 由双曲线的定义可得﹣=2a, 所以e===, ,可得, ∈, ∈, ∈. 故选:D. 二、填空题:共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在答题卡上相应位置. 13.已知椭圆E的中心为原点,焦点在x轴上,椭圆上一点到焦点的最小距离为2﹣2,离心率为,则椭圆E的方程为 =1 . 【分析】由离心率,以及a﹣c=2﹣2,列出方程组,由此能求出椭圆E的方程. 解:椭圆E的中心在原点,焦点在x轴上, 椭圆上一点到焦点的最小距离为2﹣2,离心率为,可得 ,a=2,c=2, 从而b2=4 ∴椭圆E的方程为=1. 故答案为:=1. 14.已知等差数列{an}前n项和为Sn,且满足=3,则数列{an}的公差为 2 . 【分析】=3,由此能求出数列{an}的公差. 解:∵, ∴, ∴, 又, ∴d=2. 15.边长为a的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值,这个定值等于 a ;将这个结论推广到空间是:棱长为a的正四面体内任一点到各面距离之和等于 a . 【分析】由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时,常用的思路有:由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质,由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质,由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质.固我们可以根据已知中平面几何中,关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”,推断出一个空间几何中一个关于面的性质. 解:在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值a, 在一个正四面体中,计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和, 如图: 由棱长为a可以得到BF=a,BO=AO=a﹣OE, 在直角三角形中,根据勾股定理可以得到 BO2=BE2+OE2, 把数据代入得到OE=a, ∴棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×a=a, 故答案为:a,a. 16.已知实数a,b,c满足,其中e是自然对数的底数,那么(a﹣c)2+(b﹣d)2的最小值为   【分析】由,所以b=a﹣2ea,d=3﹣c,即点A(a,b)的轨迹方程为:y=x﹣2ex,点B(c,d)的轨迹方程为:y=3﹣x, 由(a﹣c)2+(b﹣d)2的几何意义为|AB|2,结合导数的应用可得:设斜率为﹣1的直线与曲线y=x﹣2ex相切且切点为C(x0,y0),由y′=1﹣2ex,则1﹣2e=﹣1,解得x0=0,y0=﹣2, 由点到直线的距离公式得d==,即|AB|2min==,得解 解:因为, 所以b=a﹣2ea,d=3﹣c, 即点A(a,b)的轨迹方程为:y=x﹣2ex, 点B(c,d)的轨迹方程为:y=3﹣x, 则(a﹣c)2+(b﹣d)2的几何意义为|AB|2, 设斜率为﹣1的直线与曲线y=x﹣2ex相切且切点为C(x0,y0), 由y′=1﹣2ex, 则1﹣2e=﹣1, 解得x0=0,y0=﹣2, 由点到直线的距离公式得d==, 即|AB|2min==, 故答案为: 三、解答题:大本题共5小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.如图,四边形ABCD中,AC=BC,AB=4,∠ABC=. (1)求∠ACB; (2)若∠ADC=,四边形ABCD的周长为10,求四边形ABCD的面积. 【分析】(1)设BC=a,AC=a,由余弦定理可得:a2+2a﹣8=0,解得a的值,利用勾股定理可求∠ACB的值. (2)由已知可求AD+CD=4,利用余弦定理可求AD?DC=4,利用三角形的面积公式可求S△ADC的值,进而得解四边形ABCD的面积. 【解答】(本题满分为12分) 解:(1)设BC=a,AC=a, 由余弦定理:AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cos∠ABC,…2分 即:3a2=42+a2﹣2×,可得:a2+2a﹣8=0, 可得:a=2,或a=﹣4(舍去),…4分 可得:AB2=AC2+BC2, 可得:∠ACB=.…6分 (2)因为四边形ABCD的周长为10,AB=4,BC=2,AC=2,∠ADC=, 所以AD+CD=4,…8分 又AC2=AD2+DC2﹣2AD?DC?cos∠ADC,即:12=AD2+DC2+AD?DC=(AD+CD)2﹣AD?DC, 所以AD?DC=4,…10分 所以S△ADC=AD?DC?sin=, 所以S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=2=3.…12分 18.某校为研究学生语言学科的学习情况,现对高二200名学生英语和语文某次考试成绩进行抽样分析.将200名学生编号为001,002,…,200,采用系统抽样的方法等距抽取10名学生,将10名学生的两科成绩(单位:分)绘成折线图如下: (Ⅰ)若第一段抽取的学生编号是006,写出第五段抽取的学生编号; (Ⅱ)在这两科成绩差超过20分的学生中随机抽取2人进行访谈,求2人成绩均是语文成绩高于英语成绩的概率; (Ⅲ)根据折线图,比较该校高二年级学生的语文和英语两科成绩,写出你的结论和理由. 【分析】(Ⅰ)第一段抽取的学生编号是006,间隔为20,即可写出第五段抽取的学生编号; (Ⅱ)确定基本事件的个数,可得结论; (Ⅲ)根据折线图,可以估计该校高二年级学生的语文成绩平均分高,语文成绩相对更稳定. 解:(Ⅰ)第一段抽取的学生编号是006,间隔为20,第五段抽取的学生编号为086; (Ⅱ)这两科成绩差超过20分的学生,共5人,语文成绩高于英语成绩,有3人,从中随机抽取2人进行访谈,有=10种,2人成绩均是语文成绩高于英语成绩,有3种,故2人成绩均是语文成绩高于英语成绩的概率是; (Ⅲ)根据折线图,可以估计该校高二年级学生的语文成绩平均分高,语文成绩相对更稳定. 19.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,,AA1=2,D为棱CC1的中点,AB1∩A1B=O. (1)证明:C1O∥平面ABD; (2)已知AC⊥BC,△ABD的面积为,E为线段A1B上一点,三棱锥C﹣ABE的体积为,求. 【分析】(1)取AB中点H,连结OH,DH,推导出四边形OHDC1是平行四边形,则OC1∥DH,由此能证明C1O∥平面ABD. (2)过C作CM⊥AB于M,连接DM,则DC⊥AB.AB⊥平面CDM,AB⊥DM.设BC=x,则AC=,CM=,DM=,由△ABD的面积为S==,解得BC=AC=2,由此能求出. 解:(1)证明:取AB中点H,连结OH,DH, 由题意得,∴四边形OHDC1是平行四边形, ∴OC1∥DH, ∵C1O?平面ABD,DH?平面ABD, ∴C1O∥平面ABD. (2)解:过C作CM⊥AB于M,连接DM, ∵DC⊥平面ABC,∴DC⊥AB. 又CM∩CD=C,∴AB⊥平面CDM,∴AB⊥DM. 设BC=x,则AC=,CM=,DM=, ∴△ABD的面积为S==,解得x=2. ∴BC=AC=2, 设E到平面ABC的距离为h, 则VC﹣ABE=VE﹣ABC==, 解得h=1, ∴E与O重合,=. 20.已知焦点在y轴上的抛物线C1过点(2,1),椭圆C2的两个焦点分别为F1,F2,其中F2与C1的焦点重合,过点F1与C2的长轴垂直的直线交C2于A,B两点,且|AB|=3,曲线C3是以坐标原点O为圆心,以|OF2|为半径的圆. (1)求C2与C3的标准方程; (2)若动直线l与C3相切,且与C2交于M,N两点,求△OMN的面积S的取值范围. 【分析】(1)由已知设抛物线C1的方程为x2=2py,p>0,根据C1过点(2,1),即可求出抛物线方程,可得F2(0,1),可得|AB|==3,进而可求出椭圆方程;又曲线C3是以坐标原点O为圆心,以|OF2|为半径的圆, 可得圆的方程; (2)先由直线l与C3相切,可得圆心到直线l的距离为1,表示三角形的面积,分类讨论,结合韦达定理和弦长公式,分别求出S的范围即可. 解:(1)由已知设抛物线C1的方程为x2=2py,p>0, 则4=2p,即p=2, 则C1的方程为x2=4y, 则F2(0,1),不妨设椭圆C2的方程为+=1,a>b>0, 由,可得x=±, ∴|AB|==3, 由a2=b2+1, 解得a=2,b=, 故椭圆C2的方程为+=1, 易知|OF2|=1, ∴C3的标准方程为x2+y2=1. (2)直线l与C3相切,可得圆心到直线l的距离为1, ∴S=×|MN|×1=, 当直线l的斜率不存在时,其方程为x=±1,易知两种情况所得的三角形的面积相等, 由,可得y=±, 不妨设M(1,),N(1,﹣),则|MN|= 此时S=; 当直线l的斜率存在时,不妨设直线方程为y=kx+m, 则﹣=1 即m2=k2+1, 由,可得(3k2+4)x2+6kmx+3m2﹣12=0, 由△=36k2m2﹣4(3k2+4)(3m2﹣12)=48(4+3k2﹣m2)=48(2k2+3)>0恒成立, 设M(x3,y3),N(x4,y4), ∴x3+x4=﹣,x3x4=, ∴S==?=?=?=, 令3k2+4=t(t≥4),则k2=, ∴S=?=?, 令=n,则n∈(0,], 易知y=﹣n2﹣n+2在区间(0,]上单调递减,故≤S<, 综上△OMN的面积S的取值范围为[,]. 21.已知函数f(x)=lnx+(a∈R)在x=1处的切线与直线x﹣2y+1=0平行. (Ⅰ)求实数a的值,并判断函数f(x)的单调性; (Ⅱ)若函数f(x)=m有两个零点x1,x2,且x1<x2,求证:x1+x2>1. 【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,求出a的值,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可; (Ⅱ)求出,,令t=,则,构造函数,根据函数的单调性证明即可. 解:(Ⅰ)函数f(x)的定义域:(0,+∞),…………………………………………………………(1分) ,…………………………………………………………………………… ∴,∴……………………………………………………… 令f'(x)<0,解得,故;…………………………………… 令f'(x)>0,解得,故.…………………………………… (II)由x1,x2为函数f(x)=m的两个零点,得,………………… 两式相减,可得,…………………………………… ,, 因此,…………………………………………… 令, 则,………………………… 构造函数,……………………………………… 则 所以函数h(t)在(0,1)上单调递增,故h(t)<h(1),……………………………… 即,可知, 故x1+x2>1.命题得证.………………… [选修4-4:坐标系与参数方程] 22.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为,(t是参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2=. (1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程; (2)设曲线C2经过伸缩变换得到曲线C3,M(x,y)是曲线C3上任意一点,求点M到曲线C1的距离的最大值. 【分析】(1)由曲线C1的参数方程能求出曲线C1的普通方程;由曲线C2的极坐标方程,能求出曲线C2的直角坐标方程. (2)曲线C2:=1经过伸缩变换得到曲线曲线C3的方程为:=1,设M(4cosα,sinα),根据点到直线的距离公式能求出点M到曲线C1的距离的最大值. 解:(1)∵曲线C1的参数方程为,(t是参数), ∴曲线C1的普通方程为x﹣2y﹣5=0, ∵曲线C2的极坐标方程为ρ2=. ∴ρ2+3ρ2sin2θ=4, ∴曲线C2的直角坐标方程为=1. (2)曲线C2:=1经过伸缩变换得到曲线C3, ∴曲线C3的方程为:=1, 设M(4cosα,sinα),根据点到直线的距离公式得: d=== ≤=2+,(其中,tanγ=2), ∴点M到曲线C1的距离的最大值为2+. [选修4-5:不等式选讲] 23.已知函数f(x)=|2x﹣m|. (1)若不等式f(x)≤6的解集为{x|﹣2≤x≤4},求实数m的值; (2)在(1)的条件下,若不等式f(x)+f()对一切满足a+b=2的正实数a,b恒成立,求x的取值范围. 【分析】(1)解不等式f(x)≤6的解集,与已知解集相等,列方程可得; (2)先根据基本不等式求得右边的最小值,再将恒成立转化为最值后解不等式可得. 解:(1)由f(x)≤6得|2x﹣m|≤6得m﹣6≤2x≤m+6,得﹣3≤x≤+3, ∴,∴m=2. (2)m=2时,f(x)+f(+3)=|2x﹣2|+|x+4|=, 而(+)(a+b)=(8+2++)≥(10+2)=9, 不等式f(x)+f()对一切满足a+b=2的正实数a,b恒成立等价于f(x)+f()≤9, ∴或或, 解得﹣3≤x≤, 所以x的取值范围为{x|﹣3≤x≤}

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  • ID:3-7131352 2020年安徽省蚌埠二中(3月份)高考(文科)数学模拟试卷 含解析

    高中数学/高考专区/模拟试题

    2020年高考数学模拟试卷(文科)(3月份) 一、选择题 1.设集合,B={1,2,3,4},则A∩B=(  ) A.{1} B.? C.{3,4} D.{2,3,4} 2.已知i是虚数单位,则复数在复平面上所对应的点的坐标为(  ) A.(0,1) B.(﹣1,0) C.(1,0) D.(0,﹣1) 3.若向量,的夹角为,且||=2,||=1,则与+2的夹角为(  ) A. B. C. D. 4.已知cosα=,则sin()=(  ) A. B. C. D. 5.已知实数x,y满足约束条件:,则z=2﹣2x+y的最大值为(  ) A. B. C. D.2 6.设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为(  ) A.3x±4y=0 B.3x±5y=0 C.4x±3y=0 D.5x±4y=0 7.已知的图象如图所示,则函数f(x)的对称中心可以为(  ) A. B. C. D. 8.秦九韶是我国南宋时期的数学家,他在《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图是实现该算法的程序框图,执行该程序框图,若输入n,x的值分别为4,2,则输出v的值为(  ) A.5 B.12 C.25 D.50 9.已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形,且两直角边长分别为1和,此三棱柱的高为,则该三棱柱的外接球的体积为(  ) A. B. C. D. 10.当动点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DC上运动时,异面直线D1P与BC1所成角的取值范围(  ) A.[,] B.[,] C.[,] D.[,) 11.已知在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=6,点O为其外接圆的圆心.已知?=15,则当角C取到最大值时△ABC的面积为(  ) A.3 B.2 C. D.5 12.设点P在曲线y=2ex上,点Q在曲线y=lnx﹣ln2上,则|PQ|的最小值为(  ) A.1﹣ln2 B.(1﹣ln2) C.2(1+ln2) D.(1+ln2) 二、填空题 13.不等式组,表示的平面区域的面积为   , 14.谢尔宾斯基三角形( Sierpinskitriangle)是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的,如图先作一个三角形,挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形),然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”,我们用白色三角形代表挖去的面积,那么灰色三角形为剩下的面积(我们称灰色部分为谢尔宾斯基三角形).若通过该种方法把一个三角形挖3次,然后在原三角形内部随机取一点,则该点取自谢尔宾斯基三角形的概率为   . 15.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是,,C(0,1,0),,则该四面体的外接球的体积为   . 16.已知点A(0,2),抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,若=,则p的值等于   . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知{an}是等差数列,且lga1=0,lga4=1. (1)求数列{an}的通项公式 (2)若a1,ak,a6是等比数列{bn}的前3项,求k的值及数列{an+bn}的前n项和. 18.西安市自2017年5月启动对“车不让人行为”处罚以来,斑马线前机动车抢行不文明行为得以根本改变,斑马线前礼让行人也成为了一张新的西安“名片”. 但作为交通重要参与者的行人,闯红灯通行却频有发生,带来了较大的交通安全隐患及机动车通畅率降低,交警部门在某十字路口根据以往的检测数据,得到行人闯红灯的概率约为0.4,并从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查,对是否存在闯红灯情况得到2×2列联表如下: 30岁以下 30岁以上 合计 闯红灯 60 未闯红灯 80 合计 200 近期,为了整顿“行人闯红灯”这一不文明及项违法行为,交警部门在该十字路口试行了对闯红灯行人进行经济处罚,并从试行经济处罚后穿越该路口行人中随机抽取了200人进行调查,得到下表: 处罚金额x(单位:元) 5 10 15 20 闯红灯的人数y 50 40 20 0 将统计数据所得频率代替概率,完成下列问题: (Ⅰ)将2×2列联表填写完整(不需写出填写过程),并根据表中数据分析,在未试行对闯红灯行人进行经济处罚前,是否有99.9%的把握认为闯红灯与年龄有关; (Ⅱ)当处罚金额为10元时,行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少; (Ⅲ)结合调查结果,谈谈如何治理行人闯红灯现象. 参考公式:K2=,其中n=a+b+c+d 参考数据: P(K2≥k0) 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 1.132 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19.如图所示,四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为a的菱形,∠DAB=60°,PA=PB=PD=a. (1)求证:BD⊥PC; (2)求点A到平面PBC的距离. 20.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,椭圆过点(0,2),点Q为椭圆上一动点(异于左右顶点),且△QF1F2的周长为4+4. (1)求椭圆E的方程; (2)过点F1,F2分别作斜率为k1,k2的直线l1,l2,分别交椭圆E于A,B和C,D四点,且|AB|+|CD|=6,求k1k2的值. 21.已知函数f(x)=lnx﹣4ax,g(x)=xf(x). (1)若,求g(x)的单调区间; (2)若a>0,求证:. 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4­4:坐标系与参数方程] 22.已知直线l的参数方程为,(t为参数),以坐标原点为极点,x正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是ρ=. (1)写出直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程. (2)若点P是曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值,并求出此时点P的坐标. [选修4­5:不等式选讲] 23.设函数f(x)=|x+2|﹣|x﹣2|. (1)解不等式f(x)≥2; (2)当x∈R,0<y<1时,证明:|x+2|﹣|x﹣2|≤+. 参考答案 一、选择题:共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设集合,B={1,2,3,4},则A∩B=(  ) A.{1} B.? C.{3,4} D.{2,3,4} 【分析】先分别求出集合A和B,利用交集定义直接求解. 解:∵集合={x∈N|x≥2}, B={1,2,3,4}, ∴A∩B={2,3,4}. 故选:D. 2.已知i是虚数单位,则复数在复平面上所对应的点的坐标为(  ) A.(0,1) B.(﹣1,0) C.(1,0) D.(0,﹣1) 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 解:∵=, ∴复数在复平面上所对应的点的坐标为(0,1). 故选:A. 3.若向量,的夹角为,且||=2,||=1,则与+2的夹角为(  ) A. B. C. D. 【分析】利用数量积运算性质、向量的夹角公式即可得出. 解:∵向量,的夹角为,且||=2,||=1, ∴===1. ∴==22+2×1=6,==. 两向量的夹角θ的取值范围是,θ∈[0,π], ∴===, ∴与+2的夹角为. 故选:A. 4.已知cosα=,则sin()=(  ) A. B. C. D. 【分析】由诱导公式,二倍角的余弦函数公式化简所求即可计算得解. 解:∵cosα=, ∴sin()=cos2α=2cos2α﹣1=2×()2﹣1=﹣. 故选:D. 5.已知实数x,y满足约束条件:,则z=2﹣2x+y的最大值为(  ) A. B. C. D.2 【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求出最优解的坐标,代入目标函数得答案. 解:由实数x,y满足约束条件:,作出可行域如图,则z=2﹣2x+y的最大值就是u=2x﹣y的最小值时取得. 联立,解得A(1,1), 化目标函数u=﹣2x+y为y=2x+u, 由图可知,当直线y=2x+u过A时,直线在y轴上的截距最小,此时z有最大值为2﹣2+1=. 故选:C. 6.设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为(  ) A.3x±4y=0 B.3x±5y=0 C.4x±3y=0 D.5x±4y=0 【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系,得出a与b之间的等量关系,可知答案选C, 解:依题意|PF2|=|F1F2|,可知三角形PF2F1是一个等腰三角形,F2在直线PF1的投影是其中点,由勾股定理知 可知|PF1|=2=4b 根据双曲定义可知4b﹣2c=2a,整理得c=2b﹣a,代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0,求得= ∴双曲线渐近线方程为y=±x,即4x±3y=0 故选:C. 7.已知的图象如图所示,则函数f(x)的对称中心可以为(  ) A. B. C. D. 【分析】由图象求出A、B的值,再计算T、ω和φ的值,写出f(x),根据正弦函数的图象和性质求出f(x)的对称中心. 【解答】(本题满分为9分) 解:由图象可知 , 解得A=2,B=1,… 又由于:=﹣=, ∴T=π, ∴ω==2,… 由图象及五点法作图可知:2×+φ=, 解得φ=, ∴f(x)=2sin(2x+)+1;… 令2x+=kπ,k∈Z, 解得x=﹣,k∈Z, 所以当k=0时,x=﹣. 可得f(x)的一个对称中心的坐标为(﹣,1),k∈Z, 故选:D. 8.秦九韶是我国南宋时期的数学家,他在《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图是实现该算法的程序框图,执行该程序框图,若输入n,x的值分别为4,2,则输出v的值为(  ) A.5 B.12 C.25 D.50 【分析】根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值,模拟程序的运行过程,可得答案. 解:模拟程序的运行,可得 x=2,n=4,v=1,i=3, 满足进行循环的条件i>0,v=5,i=2, 满足进行循环的条件i>0,v=12,i=1, 满足进行循环的条件i>0,v=25,i=0 不满足进行循环的条件i>0,退出循环,输出v的值为:25 故选:C. 9.已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形,且两直角边长分别为1和,此三棱柱的高为,则该三棱柱的外接球的体积为(  ) A. B. C. D. 【分析】先利用勾股定理计算出底面外接圆直径2r,再利用公式计算出球体的半径R,最后利用球体表面积公式可得出答案. 解:该直三棱柱的底面外接圆直径为, 所以,外接球的直径为,则R=2, 因此,该三棱柱的外接球的体积为. 故选:C. 10.当动点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DC上运动时,异面直线D1P与BC1所成角的取值范围(  ) A.[,] B.[,] C.[,] D.[,) 【分析】根据题意,可分别以直线DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系,并设正方体的棱长为1,从而可得出D1,B,C1的坐标,并设P(0,a,0),0≤a≤1,从而可得出,然后可设异面直线D1P与BC1所成角为θ,从而可得出,根据0≤a≤1即可得出,然后即可求出θ的范围. 解:分别以直线DA,DC,DD1为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则: D1(0,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1),设P(0,a,0),0≤a≤1, ∴,设异面直线D1P与BC1所成的角为θ,则: =,且0≤a≤1, ∴,且, ∴, ∴异面直线D1P与BC1所成角的取值范围为. 故选:C. 11.已知在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=6,点O为其外接圆的圆心.已知?=15,则当角C取到最大值时△ABC的面积为(  ) A.3 B.2 C. D.5 【分析】由题意画出图形,利用数量积公式及其几何意义求得c,再由∠C最大时,∠BAC=90°,利用勾股定理求得b,代入三角形面积公式即可求解△ABC的面积. 解:如图,a=6, ∵O为三角形外接圆的圆心,且?=15, 得=, 即c2=6,c=. 当∠C最大时,∠BAC=90°,此时, 此时. 故选:A. 12.设点P在曲线y=2ex上,点Q在曲线y=lnx﹣ln2上,则|PQ|的最小值为(  ) A.1﹣ln2 B.(1﹣ln2) C.2(1+ln2) D.(1+ln2) 【分析】考虑到两曲线关于直线y=x对称,求|PQ|的最小值可转化为求P到直线y=x的最小距离,再利用导数的几何意义,求曲线上斜率为1的切线方程,由点到直线的距离公式即可得到最小值. 解:∵解:∵y=2ex与y=lnx﹣ln2互为反函数, 先求出曲线y=2ex上的点到直线y=x的最小距离. 设与直线y=x平行且与曲线y=2ex相切的切点P(x0,y0). y′=2ex, ∴2=1,解得x0=ln=﹣ln2 ∴y0==1. 得到切点P(﹣ln2,1),到直线y=x的距离d==, |PQ|的最小值为2d=(1+ln2), 故选:D. 二、填空题:共4小题,每小题5分. 13.不等式组,表示的平面区域的面积为 3 , 【分析】画出约束条件的可行域,求出三角形的顶点坐标,然后求解三角形的面积即可 解:由题意可得不等式组的可行域如图:阴影部分ABC,其中A(2,0),B(0,2),C(2,3), ∴S==3, 故答案为:3. 14.谢尔宾斯基三角形( Sierpinskitriangle)是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的,如图先作一个三角形,挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形),然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”,我们用白色三角形代表挖去的面积,那么灰色三角形为剩下的面积(我们称灰色部分为谢尔宾斯基三角形).若通过该种方法把一个三角形挖3次,然后在原三角形内部随机取一点,则该点取自谢尔宾斯基三角形的概率为  . 【分析】先观察图象,再结合几何概型中的面积型可得. 解:由图可知每次挖去的三角形的面积为上一次剩下的面积的, ∴每次剩下的面积为上一次剩下的面积的, 设最初的面积为1,则挖3此后剩下的面积为()3=, 故该点取自谢尔宾斯基三角形的概率为, 故答案为: 15.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是,,C(0,1,0),,则该四面体的外接球的体积为  . 【分析】由题意,四面体的外接球就是长方体的外接球,其直径为长方体的对角线OD,求出半径,即可求出四面体的外接球的体积 解:由题意,四面体的外接球就是长方体的外接球,其直径为长方体的对角线OD==3, 可得四面体的外接球的半径R=, 可得四面体的外接球的体积为V=π?()3=. 故答案为:. 16.已知点A(0,2),抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,若=,则p的值等于 2 . 【分析】作出M在准线上的射影,根据|KM|:|MN|确定|KN|:|KM|的值,进而列方程求得a. 解:依题意F点的坐标为(,0), 设M在准线上的射影为K 由抛物线的定义知|MF|=|MK|, ∴=, 则|KN|:|KM|=2:1, kFN==﹣, ∴﹣=﹣2,求得p=2, 故答案为:2. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知{an}是等差数列,且lga1=0,lga4=1. (1)求数列{an}的通项公式 (2)若a1,ak,a6是等比数列{bn}的前3项,求k的值及数列{an+bn}的前n项和. 【分析】(1)直接利用已知条件求出数列的通项公式. (2)利用等比数列求出数列的通项公式,进一步利用分组法求出数列的和. 解:(1)数列{an}是等差数列,设公差为d,且lga1=0,lga4=1. 则:, 解得:d=3 所以:an=1+3(n﹣1)=3n﹣2. (2)若a1,ak,a6是等比数列{bn}的前3项, 则:, 整理得:ak=3k﹣2, 解得:k=2; 所以:等比数列{bn}的公比为q=4. . 则, 故:, =, =. 18.西安市自2017年5月启动对“车不让人行为”处罚以来,斑马线前机动车抢行不文明行为得以根本改变,斑马线前礼让行人也成为了一张新的西安“名片”. 但作为交通重要参与者的行人,闯红灯通行却频有发生,带来了较大的交通安全隐患及机动车通畅率降低,交警部门在某十字路口根据以往的检测数据,得到行人闯红灯的概率约为0.4,并从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查,对是否存在闯红灯情况得到2×2列联表如下: 30岁以下 30岁以上 合计 闯红灯 60 未闯红灯 80 合计 200 近期,为了整顿“行人闯红灯”这一不文明及项违法行为,交警部门在该十字路口试行了对闯红灯行人进行经济处罚,并从试行经济处罚后穿越该路口行人中随机抽取了200人进行调查,得到下表: 处罚金额x(单位:元) 5 10 15 20 闯红灯的人数y 50 40 20 0 将统计数据所得频率代替概率,完成下列问题: (Ⅰ)将2×2列联表填写完整(不需写出填写过程),并根据表中数据分析,在未试行对闯红灯行人进行经济处罚前,是否有99.9%的把握认为闯红灯与年龄有关; (Ⅱ)当处罚金额为10元时,行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少; (Ⅲ)结合调查结果,谈谈如何治理行人闯红灯现象. 参考公式:K2=,其中n=a+b+c+d 参考数据: P(K2≥k0) 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 1.132 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【分析】(Ⅰ)利用已知条件填写列联表,并计算出k2的观测值,即可确定有99.9%的把握认为闯红灯与年龄有关. (Ⅱ)计算得出进行处罚10元后,行人闯红灯的概率,再与未进行处罚前,行人闯红灯的概率,比较可得降低了0.2. (Ⅲ)有列联表可得,30岁以上的闯红灯的人数较多,可以针对30岁以上人群开展“道路安全”宣传教育;由(Ⅱ)可知,适当的处罚有利于降低闯红灯的概率. 【解答】解(Ⅰ) 30岁以下 30岁以上 合计 闯红灯 20 60 80 未闯红灯 80 40 120 合计 100 100 200 ∵k2==≈33.333>10.828 ∴有99.9%的把握说闯红灯与年龄有关, (Ⅱ)∵未进行处罚前,行人闯红灯的概率为0.4; 进行处罚10元后,行人闯红灯的概率为=0.2,∴降低了0.2; (Ⅲ)①根据调查数据显示,行人闯红灯与年龄有明显关系,可以针对30岁以上人群开展“道路安全”宣传教育;②由于处罚可以明显降低行人闯红灯的概率,可以进行适当处罚来降低行人闯红灯的概率. 19.如图所示,四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为a的菱形,∠DAB=60°,PA=PB=PD=a. (1)求证:BD⊥PC; (2)求点A到平面PBC的距离. 【分析】(1)连结AC,BD,交于点O,推导出BD⊥AC,BD⊥PO,从而BD⊥平面PAC,由此能证明BD⊥PC. (2)取AD的中点E,则BE⊥AD,PE⊥AD,从而AD⊥平面PBE,BC⊥平面PBE,PB⊥BC.推导出点P到平面ABC的距离d==,设点A到平面PBC的距离为h,由VP﹣ABC=VA﹣PBC,能求出点A到平面PBC的距离. 解:(1)证明:连结AC,BD,交于点O, ∵四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为a的菱形,∠DAB=60°,PA=PB=PD=a. ∴BD⊥AC,BD⊥PO, ∵AC∩PO=O,∴BD⊥平面PAC, ∵PC?平面PAC,∴BD⊥PC. (2)解:取AD的中点E,则BE⊥AD, ∵PA=PD=a,∴PE⊥AD, ∵PE∩AD=E,∴AD⊥平面PBE, ∵AD∥BC,∴BC⊥平面PBE ∵PB?平面PBE,∴PB⊥BC. ∵底面ABCD是边长为a的菱形,∠DAB=60°,PA=PB=PD=a. ∴AO==, 点P到平面ABC的距离d==, 设点A到平面PBC的距离为h, ∴VP﹣ABC=VA﹣PBC,∴=, ∴=, 解得h=. ∴点A到平面PBC的距离为. 20.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,椭圆过点(0,2),点Q为椭圆上一动点(异于左右顶点),且△QF1F2的周长为4+4. (1)求椭圆E的方程; (2)过点F1,F2分别作斜率为k1,k2的直线l1,l2,分别交椭圆E于A,B和C,D四点,且|AB|+|CD|=6,求k1k2的值. 【分析】(1)根据焦点三角形周长为2a+2c,(0,2)为上顶点,构造出关于a,b,c的方程,从而求得椭圆的方程; (2)通过弦长公式,利用k1和k2表示出|AB|和|CD|,根据|AB|+|CD|=6建立方程求解出k1k2的值. 解:(1)由题意可知,解之得, 所以椭圆E的方程为. (2)由题意可知,F1(﹣2,0),F2(2,0), 设直线AB的方程为y=k1(x+2),A(x1,y1),B(x2,y2) 联立∴, ∴=, 则, ==, 同理联立方程,由弦长公式可知,, ∵|AB|+|CD|=6,∴, 化简得,则. 21.已知函数f(x)=lnx﹣4ax,g(x)=xf(x). (1)若,求g(x)的单调区间; (2)若a>0,求证:. 【分析】(1)求导得g′(x)=lnx﹣x+1,再求导可得g″(x)=,判断g′(x)的单调性得出g′(x)的最大值为0,从而可得g(x)在定义域上单调递减; (2)判定f(x)的单调性,得出f(x)的极大值ln﹣1,再构造函数h(t)=lnt﹣x+1,证明lnt≤t﹣1即可得出结论. 【解答】(1)解:当a=时,g(x)=xlnx﹣x2,g′(x)=lnx﹣x+1, ∴g″(x)=﹣1,故当x∈(0,1)时,g″(x)>0,当x∈(1,+∞)时,g″(x)<0, ∴g′(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, ∴g′(x)≤g′(1)=0, ∴g(x)在(0,+∞)上单调递减, 故g(x)的单调递减区间为(0,+∞). (2)证明:f′(x)=﹣4a,令f′(x)=0可得x=>0, ∴当0<x<时,f′(x)>0,当x>时,f′(x)<0, ∴当x=时,f(x)取得最大值f()=ln﹣1, ∴f(x)≤ln﹣1, 令=t,构造函数h(t)=lnt﹣t+1,则h′(t)=﹣1=, ∴当0<t<1时,h′(t)>0,当t>1时,h′(t)<0, ∴当t=1时,h(t)取得最大值h(1)=0, ∴h(t)≤0恒成立,故lnt≤t﹣1恒成立, ∴ln﹣1≤﹣2, ∴f(x)≤﹣2. 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4­4:坐标系与参数方程] 22.已知直线l的参数方程为,(t为参数),以坐标原点为极点,x正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是ρ=. (1)写出直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程. (2)若点P是曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值,并求出此时点P的坐标. 【分析】(1)可以先消参数,求出直线l的普通方程,再利用公式将曲线C的极坐标方程化成平面直角坐标方程; (2)利用点到直线的距离公式,求出P到直线l的距离的最小值,再根据函数取最值的情况求出P点的坐标,得到本题结论. 解:(1),消去参数可得x﹣y=1 直线l的极坐标方程为…. 由.得ρcos2θ=sinθ?ρ2cos2θ=ρsinθ 得y=x2(x≠0)….. (2)设P(x0,y0),则 点P到直线l的距离为 当….. 当P到直线l的距离最小,最小…. [选修4­5:不等式选讲] 23.设函数f(x)=|x+2|﹣|x﹣2|. (1)解不等式f(x)≥2; (2)当x∈R,0<y<1时,证明:|x+2|﹣|x﹣2|≤+. 【分析】(Ⅰ)运用绝对值的定义,去掉绝对值,得到分段函数,再由各段求范围,最后求并集即可; (II)由分段函数可得f(x)的最大值,再由基本不等式求得+的最小值,即可得证. 解:(Ⅰ)由已知可得:, 由x≥2时,4>2成立;﹣2<x<2时,2x≥2,即有x≥1,则为1≤x<2. 故f(x)≥2的解集为{x|x≥1}.﹣﹣﹣﹣﹣ (II)由(Ⅰ)知,∴; ∴+=(+)[y+(1﹣y)]=2++≥4, ∴.

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  • ID:3-7131350 2020年山西临汾市高考(理)数学第二次模拟试卷 Word版含解析

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    2020年高考数学第二次模拟试卷(理科) 一、选择题 1.已知i是虚数单位,z=﹣3i2017,且z的共轭复数为,则z?=(  ) A. B. C.5 D.3 2.已知全集为R,集合A={x|x2<2x},B={x|<1},则(?RA)∩B=(  ) A.[﹣3,2] B.[﹣3,6) C.[﹣3,0]∪[2,+∞) D.[﹣3,0]∪[2,6) 3.已知函数f(x)=,若f(a)<2,则实数a的取值范围是(  ) A.(﹣∞,3) B.(﹣∞,2) C.(1,2) D.(0,3) 4.已知夹角为θ的向量,满足?(+)=2,且||=2||=2,则向量,的关系是(  ) A.互相垂直 B.方向相同 C.方向相反 D.成120°角 5.公差不为零的等差数列{an}中,a3,a6,a7成等比数列,则=(  ) A.﹣ B. C.﹣ D. 6.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  ) A.+18 B.+36 C.18π+18 D.18π+36 7.已知α满足sin(α+)=,则=(  ) A. B.﹣ C.3 D.﹣3 8.运行如图所示的程序算法,若输入m的值为20,则输出的结果为(  ) A.20 B.10 C.0 D.﹣10 9.随着新政策的实施,海淘免税时代于2016年4月8日正式结束,新政策实施后,海外购物的费用可能会增加.为了解新制度对海淘的影响,某记者调查了身边喜欢海淘的10位朋友,其态度共有两类:第一类是会降低海淘数量,共有4人,第二类是不会降低海淘数量,共有6人.若该记者计划从这10人中随机选取5人按顺序进行采访,则“第一类”的人数多于“第二类”,且采访中“第二类”不连续进行的不同采访顺序有(  ) A.3840 B.5040 C.6020 D.7200 10.若不等式组(k<0)所表示的平面区域的面积为4,则z=的取值范围是(  ) A.[﹣2,] B.[﹣2,] C.(﹣∞,0]∪[,+∞) D.(﹣∞,﹣2]∪[,+∞) 11.已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M在双曲线的右支上,点N为F2M的中点,O为坐标原点,|ON|﹣|NF2|=2b,∠ONF2=60°,△F1MF2的面积为2,则该双曲线的方程为(  ) A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1 12.已知函数f(x)=,函数g(x)=,若方程f(x)=g(x)恰好有4个实数根,则实数m的取值范围是(  ) A.(ln2,) B.(ln2,4) C.(ln3,2) D.(ln3﹣1,1) 二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上.) 13.在讨论勾股定理的过程中,《九章算术》提供了许多整勾股数,如52+122=132,62+82=102,72+242=252,82+152=172,282+962=1002,等等.其中最大的数称为“弦数”,后人在此基础上进一步研究,得到如下规律:若勾股数组中的某一个数m是确定的奇数(大于1),把它平方后拆成相邻的两个整数,那么奇数与这两个整数构成一组勾股数,称之为“由m生成的一组勾股数”.则“由17生成的这组勾股数”的“弦数”为   . 14.已知抛物线x2=﹣2py(p>0)的焦点坐标为F(0,﹣3),则直线y=x与抛物线围成的封闭图形的面积为   . 15.已知f(x)=asinx+bcosx的最大值为ab,则+的最小值为   . 16.设数列{an}的前n项和为Sn,已知对于任意正整数n,都有an+Sn=n+3,若存在正整数n0,使得(6﹣n0)(1﹣a)≥,则实数m的取值范围是   . 三、解答题(共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3bcosC+3ccosB=5asinA,且A为锐角. (1)求cosA的值; (2)当取得最小值时,求cosB的值. 18.如图,ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,CE⊥平面ABCD,CE=AB,PD=λCE(1<λ<3). (1)求证:PE⊥AD; (2)若二面角P﹣BE﹣D的余弦值为,求λ的值. 19.2016年5月20日以来,广东自西北到东南出现了一次明显降雨.为了对某地的降雨情况进行统计,气象部门对当地20日~28日9天内记录了其中100小时的降雨情况,得到每小时降雨情况的频率分布直方图如图:若根据往年防汛经验,每小时降雨量在[75,90)时,要保持二级警戒,每小时降雨量在[90,100)时,要保持一级警戒. (1)若以每组的中点代表该组数据值,求这100小时内每小时的平均降雨量; (2)若从记录的这100小时中按照警戒级别采用分层抽样的方法抽取10小时进行深度分析.再从这10小时中随机抽取3小时,求抽取的这3小时中属于一级警戒时间的分布列与数学期望. 20.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为,且P在椭圆C上运动,当点P恰好在直线l:y=2x上时,△PF1F2的面积为. (1)求椭圆C的方程; (2)作与l平行的直线l1,与椭圆交于A,B两点,且线段AB的中点为M,若MF1,MF2的斜率分别为k1,k2,求k1+k2的取值范围. 21.已知函数f(x)=ln(2x﹣1)﹣m(2x﹣1)+1. (1)若y=f(x)在x=2处的切线与直线3x﹣y+2017=0垂直,求y=f(x)的极值; (2)若函数y=f(x)的图象恒在直线y=1的下方. ①求实数m的取值范围; ②求证:对任意正整数n>1,都有ln[(2n)!]<. 请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.[选修4-4坐标系与参数方程] 22.已知直线l的参数方程为(其中t为参数),以原点为极点,以x轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2msinθ(m为常数,且m>0),直线l与曲线C交于A,B两点. (1)若|AB|=2,求实数m的值; (2)若点P的直角坐标为(﹣1,2),且|PA|?|PB|>4,求实数m的取值范围. [选修4-5不等式选讲] 23.已知函数f(x)=|x﹣m|(其中m为常数). (1)若f(0)+f(2)≤3,求实数m的取值范围; (2)求证:≤(a2+b2)(+)对任意实数a,b,m恒成立. 参考答案 一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.已知i是虚数单位,z=﹣3i2017,且z的共轭复数为,则z?=(  ) A. B. C.5 D.3 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由求解. 解:z=﹣3i2017=, 则,故. 故选:C. 2.已知全集为R,集合A={x|x2<2x},B={x|<1},则(?RA)∩B=(  ) A.[﹣3,2] B.[﹣3,6) C.[﹣3,0]∪[2,+∞) D.[﹣3,0]∪[2,6) 【分析】全集为R,求出集合A,从而得到?UA,再求出集合B,由此能求出(?RA)∩B. 解:∵全集为R,集合A={x|x2<2x}={x|0<x<2}, ∴?UA={x|x≤0或x≥2}, ∵B={x|<1}={x|﹣3≤x<6}, ∴(?RA)∩B={x|﹣3≤x≤0或2≤x<6}=[﹣3,0]∪[2,6). 故选:D. 3.已知函数f(x)=,若f(a)<2,则实数a的取值范围是(  ) A.(﹣∞,3) B.(﹣∞,2) C.(1,2) D.(0,3) 【分析】由已知函数解析式分段求解f(a)<2可得实数a的取值范围. 解:当a≤0时,2a≤1<2成立; 当a>0时,由<2,得0<a<3, 综上可知,实数a的取值范围是(﹣∞,3). 故选:A. 4.已知夹角为θ的向量,满足?(+)=2,且||=2||=2,则向量,的关系是(  ) A.互相垂直 B.方向相同 C.方向相反 D.成120°角 【分析】根据平面向量的数量积与夹角公式,计算即可. 解:由?(+)=2,可得+?=2, 即+||×||×cosθ=2, 即22+2×1×cosθ=2, 所以cosθ=﹣1,即θ=π, 所以、方向相反. 故选:C. 5.公差不为零的等差数列{an}中,a3,a6,a7成等比数列,则=(  ) A.﹣ B. C.﹣ D. 【分析】设{an}的公差为d(d≠0),运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质,化简可得首项与公差的关系,再由等差数列的通项公式,化简可得所求值. 解:设{an}的公差为d(d≠0),由a3,a6,a7成等比数列可得a62=a3a7, 即(a1+5d)2=(a1+2d)(a1+6d), 即2a1=﹣13d, 故===. 故选:B. 6.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  ) A.+18 B.+36 C.18π+18 D.18π+36 【分析】首先把三视图转换为几何体,进一步求出几何体的体积. 解:由三视图可知,该几何体是圆柱的一半与长方体的组合体,其中半圆柱的底面半径为3,高为1, 故其体积为:. 故选:A. 7.已知α满足sin(α+)=,则=(  ) A. B.﹣ C.3 D.﹣3 【分析】根据两角和差的三角公式,结合三角函数的同角的三角函数关系进行转化求解即可. 解:由sin(α+)=,可得(sinα+cosα)=, 即sinα+cosα=,平方可得1+2sinαcosα=,即sin2α=﹣, 故====﹣, 故选:B. 8.运行如图所示的程序算法,若输入m的值为20,则输出的结果为(  ) A.20 B.10 C.0 D.﹣10 【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 解:由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值, 可得:S=20+(﹣20+19)+(﹣18+17)+…+(﹣2+1)﹣0=10. 故选:B. 9.随着新政策的实施,海淘免税时代于2016年4月8日正式结束,新政策实施后,海外购物的费用可能会增加.为了解新制度对海淘的影响,某记者调查了身边喜欢海淘的10位朋友,其态度共有两类:第一类是会降低海淘数量,共有4人,第二类是不会降低海淘数量,共有6人.若该记者计划从这10人中随机选取5人按顺序进行采访,则“第一类”的人数多于“第二类”,且采访中“第二类”不连续进行的不同采访顺序有(  ) A.3840 B.5040 C.6020 D.7200 【分析】利用已知条件,通过分类型,结合抽取顺序,求解即可. 解:“第一类”抽取3人的采访顺序有种;“第一类”抽取4人的采访顺序有种,故不同的采访顺序有:+=5040. 故选:B. 10.若不等式组(k<0)所表示的平面区域的面积为4,则z=的取值范围是(  ) A.[﹣2,] B.[﹣2,] C.(﹣∞,0]∪[,+∞) D.(﹣∞,﹣2]∪[,+∞) 【分析】画出约束条件的可行域,利用可行域的面积求解k,化简化简目标函数的表达式,利用几何意义,转化求解取值范围即可. 解:画出不等式组对应的平面区域如图所示. 图中点A(2,0),B(﹣,0),C(0,2),故阴影部分的面积为 =4,解之得k=,z==2+, 设点P(x,y),m=,则m的几何意义是点P与点 D(1,﹣2)连线的斜率.而kDB=,kDC=﹣4,由图可知,m≤﹣4或m, 故z的取值范围是:(﹣∞,﹣2]∪[,+∞). 故选:D. 11.已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M在双曲线的右支上,点N为F2M的中点,O为坐标原点,|ON|﹣|NF2|=2b,∠ONF2=60°,△F1MF2的面积为2,则该双曲线的方程为(  ) A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1 【分析】由题意可得ON,NF2的值用MF1,MF2来表示,由椭圆的定义及|ON|﹣|NF2|=2b可得a,b的关系,三角形中由余弦定理可得两边之积,再由面积公式及题意可得a,b的值,进而求出双曲线的方程. 解:由N为MF2的中点,所以ON∥MF1,且|ON|=,由题意可得∠F1MF2=60°, |ON|﹣|NF2|=(|MF1|﹣|MF2|)=a,故a=2b,设双曲线的焦距为2c,在△MF1F2中, 由余弦定理可得4c2=|MF1|2+|MF2|2﹣2|MF1||MF2|cos60°=(|MF1|﹣|MF2|)2+|MF1||MF2|=4a2|+|MF1||MF2|, 所以|MF1||MF2|=4c2﹣4a2=4b2, ∴=|MF1||MF2|sin60°=b2=2,∴b2=2,a2=4b2=8,双曲线的方程为﹣=1. 故选:C. 12.已知函数f(x)=,函数g(x)=,若方程f(x)=g(x)恰好有4个实数根,则实数m的取值范围是(  ) A.(ln2,) B.(ln2,4) C.(ln3,2) D.(ln3﹣1,1) 【分析】利用导数判断出函数f(x)的图象,作出f(x)与g(x)的图象,数形结合即可 解:当x<0时,f(x)=﹣x3+3x+1, 则f′(x)=﹣3x2+3,由f′(x)=0可得x=﹣1或x=1(舍去). 当x<﹣1时,f′(x)<0,当﹣1<x<0时,f′(x)>0,故f(x)在(﹣1,0)上单调递增,在(﹣∞,﹣1)上单调递减.因此,在同一坐标系中画出函数y=f(x) 与曲线y=g(x)的图象如图所示: 由图可知,若函数y=f(x)与y=g(x)恰好有4个公共点, 则,即,解之得ln3﹣1<m<1. 故选:D. 二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上.) 13.在讨论勾股定理的过程中,《九章算术》提供了许多整勾股数,如52+122=132,62+82=102,72+242=252,82+152=172,282+962=1002,等等.其中最大的数称为“弦数”,后人在此基础上进一步研究,得到如下规律:若勾股数组中的某一个数m是确定的奇数(大于1),把它平方后拆成相邻的两个整数,那么奇数与这两个整数构成一组勾股数,称之为“由m生成的一组勾股数”.则“由17生成的这组勾股数”的“弦数”为 145 . 【分析】由172=289,而289=144+145,由此能求出这组勾股数中的“弦数”. 解:《九章算术》提供了许多整勾股数, 如52+122=132,62+82=102,72+242=252,82+152=172,282+962=1002,其中最大的数称为“弦数”, 若勾股数组中的某一个数m是确定的奇数(大于1),把它平方后拆成相邻的两个整数, 那么奇数与这两个整数构成一组勾股数,称之为“由m生成的一组勾股数”. 由172=289, 而289=144+145, ∴这组勾股数中的“弦数”为145. 故答案为:145. 14.已知抛物线x2=﹣2py(p>0)的焦点坐标为F(0,﹣3),则直线y=x与抛物线围成的封闭图形的面积为 24 . 【分析】根据题意,由抛物线焦点的坐标确定抛物线的方程,进而与直线方程联立分析可得直线与抛物线的交点坐标,由定积分计算公式计算可得答案. 解:根据题意,抛物线x2=﹣2py(p>0)的焦点坐标为F(0,﹣3),则p=6, 故抛物线的方程为x2=﹣12y,变形可得y=﹣, 则有,解可得或, 故直线与抛物线的交点为(0,0),(﹣12,﹣12); 则其围成的封闭图形的面积S=(﹣﹣x)dx=(﹣﹣)=24; 故答案为:24 15.已知f(x)=asinx+bcosx的最大值为ab,则+的最小值为 17 . 【分析】化简可知,再利用基本不等式即可求得最小值. 解:,最大值为,故,整理可得, 则=, 当且仅当a2=3b2=4时,取得等号,故+的最小值为17. 故答案为:17. 16.设数列{an}的前n项和为Sn,已知对于任意正整数n,都有an+Sn=n+3,若存在正整数n0,使得(6﹣n0)(1﹣a)≥,则实数m的取值范围是 [﹣,] . 【分析】利用数列的递推关系式,转化求解数列的通项公式,然后构造函数,利用函数的单调性,转化求解函数的最值,然后求解不等式即可. 解:由an+Sn=n+3,①可得an+1+Sn+1=n+4,② 由②﹣①可得an+1﹣an+an+1=1,即an+1﹣1=(an﹣1), 由a1+S1=1+3可得a1=2,a1﹣1=1, 所以,{an﹣1}是首项为1,公比为的等比数列,所以,an﹣1=, 即an=+1,所以,(6﹣n0)(1﹣a)=﹣,设f(n)=, 则f(n+1)﹣f(n)==,当7﹣n>0,即0<n<7时,f(n)递增, 当7﹣n<0,即n>7时,f(n)递减,故f(n)的最大值为f(7)=f(8)=. 故,故实数m的取值范围是[﹣,]. 故答案为:[﹣,]. 三、解答题(共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若3bcosC+3ccosB=5asinA,且A为锐角. (1)求cosA的值; (2)当取得最小值时,求cosB的值. 【分析】(1)由已知及正弦定理,三角形内角和定理,诱导公式可得:3sinA=5sin2A,结合A为锐角.可求sinA,利用同角三角函数基本关系式可求cosA. (2)由(1)及余弦定理可得:a2=b2+c2﹣bc,利用已知及基本不等式可求c=2b,进而利用余弦定理可求a2=b2,可得a,利用余弦定理可求cosB的值. 解:(1)∵3bcosC+3ccosB=5asinA, ∴由正弦定理可得:3sinBcosC+3sinCcosB=5sin2A,可得:3sinA=5sin2A, ∵A为锐角. ∴sinA=,cosA==. (2)由(1)可得:a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc, ∴=≥=,当且仅当4b2=c2,即c=2b时等号成立, 此时,a2=b2+4b2﹣b×2b=b2,可得:a=b,cosB===. 18.如图,ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,CE⊥平面ABCD,CE=AB,PD=λCE(1<λ<3). (1)求证:PE⊥AD; (2)若二面角P﹣BE﹣D的余弦值为,求λ的值. 【分析】(1)根据题意,证明AD⊥平面PDCE,再利用线面垂直的性质定理,得到结论; (2)以D为原点,以DA,DC,DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设AB=1,则CE=1,PD=λCE(1<λ<3),PD=λ,求出平面PBE和平面DBE的法向量, 利用夹角公式求出λ,得出结论. 解:(1)由ABCD是正方形,AD⊥CD, 由PD⊥平面ABCD,所以AD⊥PD, 又PD∩CD=D,所以AD⊥平面PDCE, 又PE?平面PDCE, 故PE⊥AD; (2)如图,以D为原点,以DA,DC,DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 设AB=1,则CE=1,PD=λCE(1<λ<3),PD=λ, 则D(0,0,0),P(0,0,λ),B(1,1,0),E(0,1,1), , 设平面PBE的法向量为, 由,令x=1,得, 设平面DBE的法向量, 由,得, 由条件可得|cos<>|=, 即λ2﹣8λ+12=0,解之得λ=2,或者6(舍弃), 故λ=2. 19.2016年5月20日以来,广东自西北到东南出现了一次明显降雨.为了对某地的降雨情况进行统计,气象部门对当地20日~28日9天内记录了其中100小时的降雨情况,得到每小时降雨情况的频率分布直方图如图:若根据往年防汛经验,每小时降雨量在[75,90)时,要保持二级警戒,每小时降雨量在[90,100)时,要保持一级警戒. (1)若以每组的中点代表该组数据值,求这100小时内每小时的平均降雨量; (2)若从记录的这100小时中按照警戒级别采用分层抽样的方法抽取10小时进行深度分析.再从这10小时中随机抽取3小时,求抽取的这3小时中属于一级警戒时间的分布列与数学期望. 【分析】(1)这五组数据对应的频率分别为:0.05,0.35,0.3,0.2,0.1.由此能求出这100小时的平均降雨量. (2)从记录的这100小时中按照警戒级别采用分层抽样的方法抽取10小时进行深度分析.二级警戒中抽取7小时,一级警戒中抽取3小时,再从这10小时中随机抽取3小时,抽取的这3小时中属于一级警戒时间X的可能取值为0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出抽取的这3小时中属于一级警戒时间的分布列和数学期望. 解:(1)这五组数据对应的频率分别为:0.05,0.35,0.3,0.2,0.1. ∴这100小时的平均降雨量为: 77.5×0.05+82.5×0.35+87.5×0.3+92.5×0.2+97.5×0.1=87.25. (2)从记录的这100小时中按照警戒级别采用分层抽样的方法抽取10小时进行深度分析. 二级警戒中抽取:10×=7(小时), 一级警戒中抽取:10×=3(小时), 再从这10小时中随机抽取3小时,抽取的这3小时中属于一级警戒时间X的可能取值为0,1,2,3, P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)==, P(X=3)==. ∴抽取的这3小时中属于一级警戒时间的分布列为: X 0 1 2 3 P 数学期望EX==. 20.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为,且P在椭圆C上运动,当点P恰好在直线l:y=2x上时,△PF1F2的面积为. (1)求椭圆C的方程; (2)作与l平行的直线l1,与椭圆交于A,B两点,且线段AB的中点为M,若MF1,MF2的斜率分别为k1,k2,求k1+k2的取值范围. 【分析】(1)利用直线与椭圆的位置关系以及离心率,转化求解即可. (2)设直线AB的方程为y=2x+m(m≠0),与椭圆方程联立,设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),利用韦达定理,转化求解直线的斜率即可. 【解答】(1)解:由,可得,e==,, ∴a=b,c=b,△PF1F2的面积为. , 即2c×=,代入得,解得, 椭圆方程为. (2)设直线AB的方程为y=2x+m(m≠0) 由,得18x2+16mx+4m2﹣1=0,△=162m2﹣4×18(4m2﹣1)>0, 得m2<,∴m∈(﹣,0)∪(0,), 设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则x1+x2=﹣,x1x2=,x0=﹣,y0=2x0+m=,k1+k2=== =(m≠0), ∴k1+k2∈(﹣∞,﹣)∪(0,+∞). 21.已知函数f(x)=ln(2x﹣1)﹣m(2x﹣1)+1. (1)若y=f(x)在x=2处的切线与直线3x﹣y+2017=0垂直,求y=f(x)的极值; (2)若函数y=f(x)的图象恒在直线y=1的下方. ①求实数m的取值范围; ②求证:对任意正整数n>1,都有ln[(2n)!]<. 【分析】(1)先对函数求导,然后结合导数的几何意义及直线垂直时斜率的关系可求m,然后结合单调性可求极值; (2)①由已知可得1n(2x﹣1)﹣m(2x﹣1)<0在上恒成立,分离参数后通过构造函数,转化为求解相应函数的最值,结合导数可求; ②结合①可得1n(2x﹣1)对任意的x恒成立,赋值m=2x﹣1(m∈N+),可得1nm,然后结合对数的运算性质可求. 【解答】解(1由f(x)=1n(2x﹣1)﹣m(2x﹣1)+1可得f′(x)=, 由条件可得,即m=. 则, , 令f′(x)=0可得x=,当x时,f′(x)<0,当时,f′(x)>0. ∴f(x)在上单调递减,在上单调递增, ∴f(x)的极大值为,无极小值. (2)①由条件可知:只需f(x)<1,即1n(2x﹣1)﹣m(2x﹣1)<0在上恒成立. 即m(2x﹣1)>1n(2x﹣1),而, ∴2x﹣1>0,∴恒成立. 令,则,令g′(x)=0可得x=. 当时g′(x)>0,当x时,g′(x)<0, ∴g(x)在上单调递增,在上单调递减, 故g(x)的最大值为, ∴m,即实数m的取值范围是. ②由①可知,m=时,,即1n(2x﹣1)对任意的x恒成立. 令m=2x﹣1(m∈N+),则1nm. 1n1+1n2+1n3+…+1n(2n), 即ln1+ln2+…+ln(2n)<, ∴ln[(2n)!] 请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.[选修4-4坐标系与参数方程] 22.已知直线l的参数方程为(其中t为参数),以原点为极点,以x轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2msinθ(m为常数,且m>0),直线l与曲线C交于A,B两点. (1)若|AB|=2,求实数m的值; (2)若点P的直角坐标为(﹣1,2),且|PA|?|PB|>4,求实数m的取值范围. 【分析】(1)直接利用转换关系的应用,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换,进一步利用垂径定理的应用求出m的值. (2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用,利用不等式的应用求出结果. 解:(1)曲线C的极坐标方程为ρ=2msinθ(m为常数,且m>0), 化为直角坐标系下的普通方程为:x2+y2=2my,即x2+(y﹣m)2=m2. 直线l的参数方程为(其中t为参数),转换为直线l的普通方程为:x+y﹣1=0, 而点(0,m)到直线l的距离为d=, 由条件可得|AB|=, 整理得m2+2m﹣3=0,结合m>0可得m=1. (2)显然点P在直线l上,把代入x2+y2=2my并整理可得 , 所以t1t2=﹣4m+5, 则△=2(3﹣m)2﹣4(﹣4m+5)>0, 解之得m或m. 由|PA|?|PB|>4,解得或m. 而m>0, 所以实数m的取值范围是(). [选修4-5不等式选讲] 23.已知函数f(x)=|x﹣m|(其中m为常数). (1)若f(0)+f(2)≤3,求实数m的取值范围; (2)求证:≤(a2+b2)(+)对任意实数a,b,m恒成立. 【分析】(1)结合绝对值不等式对m进行分类讨论即可求解; (2)结合绝对值不等式可求f(﹣1)+f(3)的范围,然后结合基本不等式即可求解. 【解答】(1)解:由条件可知f(0)+f(2)=|m|+|m﹣2|≤3, ①当m<0时,﹣m+2﹣m≤3,解之得m,所以,; ②当0≤m≤2时,m+2﹣m≤3,恒成立,所以,0≤m≤2; ③当m>2时,m+m﹣2≤3,解之得m,所以,2. 综上可知,实数m的取值范围是. (2)证明:∵f(﹣1)+f(3)=|m+1|=|m﹣3|≥|(m+1)﹣(m﹣3)|=4, ∴0,而=5+, 当且仅当时取得等号 ∴对任意实数a,b,m恒成立.

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  • ID:3-7131349 2020年湖南3月份高考(全国Ⅰ卷)数学模拟试卷 Word版含解析

    高中数学/高考专区/模拟试题

    2020年高考数学模拟试卷(3月份)(全国I卷) 一、选择题 1.已知集合A={x|x2﹣2x+1>0},,则A∩B=(  ) A. B.(1,+∞) C. D. 2.若z=sinθ﹣+i(cosθ﹣)是纯虚数,则tan(θ﹣π)的值为(  ) A. B. C. D. 3.由我国引领的5G时代已经到来,5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展,进而对GDP增长产生直接贡献,并通过产业间的关联效应和波及效应,间接带动国民经济各行业的发展,创造岀更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据,对今后几年的5G经济产出所做的预测.结合右图,下列说法错误的是(  ) A.5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加 B.设备制造商的经济产出前期增长较快,后期放缓 C.信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势 D.设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 4.已知角α,β∈(0,π),tan(α+β)=,cosβ=,则角2α+β=(  ) A. B. C. D. 5.函数的部分图象大致是(  ) A. B. C. D. 6.设非零向量,满足(﹣2)⊥,则“||=||”是“与的夹角为”的(  ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知e是自然对数的底数,则的大小关系为(  ) A. B. C. D. 8.《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作,书中卷上第二十三问:“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月织九匹三丈.问半月积几何?”其意思为“有个女子织布,每天比前一天多织相同量的布,第一天织五尺,一个月(按30天计)共织布9匹3丈.问:前半个月(按15天计)共织多少布?”已知1匹=4丈,1丈=10尺,可估算出前半个月一共织的布约有(  ) A.195尺 B.133尺 C.130尺 D.135尺 9.在边长为8的等边△ABC中,D,E分别为AC,AB的中点,现将△ADE沿DE折起到△A′DE的位置,使得A'B=2,则直线A'B与底面BCDE所成角的正弦值为(  ) A. B. C. D. 10.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,A为抛物线C上异于顶点O的一点,点B的坐标为(a,b)(其中a,b满足b2﹣4a<0)当|AB|+|AF|最小时,△ABF恰好正三角形,则a=(  ) A.1 B. C. D.2 11.函数f(x)=(x2﹣3)ex,关于x的方程f2(x)﹣mf(x)+1=0恰有四个不同实数根,则实数m的取值范围为(  ) A.(0,2) B.(2,+∞) C. D. 12.已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推,若该数列前n项和N满足:①N>80②N是2的整数次幂,则满足条件的最小的n为(  ) A.21 B.91 C.95 D.101 二、填空题(本小题共4个小题,每小题5分,共20分.) 13.已知实数x,y满足约束条件,若z=x+ty(t>0)的最大值为11,则实数t=   . 14.若存在m,使得f(x)≥m对任意x∈D恒成立,则函数f(x)在D上有下界,其中m为函数f(x)的一个下界:若存在M,使得f(x)≤M对任意x∈D恒成立,则函数f(x)在D上有上界,其中M为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界,那么称该函数有界.下列四个结论:①1不是函数的一个下界②函数f(x)=xlnx有下界,无上界;③函数有上界,无下界;④函数有界.其中所有正确结论的编号为   . 15.边长均为正整数,且最大边长为11的三角形的个数为   . 16.已知圆C:x2+y2=1,点P(x0,y0)是直线l:3x+2y﹣4=0上的动点,若在圆C上总存在不同的两点A,B使得+=,则x0的取值范围是   . 三、解答题(本小题共5个小题,每小题12分,共60分.请写出必要的解答过程、推理过程或证明步骤) 17.高铁是我国国家名片之一,高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示,B、E、F为山脚两侧共线的三点,在山顶A处测得这三点的俯角分别为30°、60°、45°,计划沿直线BF开通穿山隧道,现已测得BC、DE、EF三段线段的长度分别为3、1、2. (1)求出线段AE的长度; (2)求出隧道CD的长度. 18.如图,AB为圆O的直径,点E、F在圆O上,AB∥EF,矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直.已知AB=2,EF=1. (Ⅰ)求证:平面DAF⊥平面CBF; (Ⅱ)求直线AB与平面CBF所成角的大小; (Ⅲ)当AD的长为何值时,平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°? 19.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形. (Ⅰ)求C的方程; (Ⅱ)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E, (ⅰ)证明直线AE过定点,并求出定点坐标; (ⅱ)△ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由. 20.2019年12月以来,湖北武汉市发现多起病毒性肺炎病例,并迅速在全国范围内开始传播,专家组认为,本次病毒性肺炎病例的病原体初步判定为新型冠状病毒,该病毒存在人与人之间的传染,可以通过与患者的密切接触进行传染.我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者,每位密切接触者被感染后即被称为患者.已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为P(0<p<1),某位患者在隔离之前,每天有a位密切接触者,其中被感染的人数为X(0≤X≤a),假设每位密切接触者不再接触其他患者. (Ⅰ)求一天内被感染人数为X的概率P(X)与a、p的关系式和X的数学期望; (Ⅱ)该病毒在进入人体后有14天的潜伏期,在这14天的潜伏期内患者无任何症状,为病毒传播的最佳时间,设每位患者在被感染后的第二天又有2位密切接触者,从某一名患者被感染,按第1天算起,第n天新增患者的数学期望记为En(n≥2). (i)求数列{En}的通项公式,并证明数列{En}为等比数列; (ⅱ)若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率,降低后的患病概率p′=ln(1+p)﹣.当p取最大值时,计算此时p'所对应的E6'值和此时p对应的E6值,根据计算结果说明戴口罩的必要性.(取a=10) (结果保留整数,参考数据:ln5≈1.6,ln3≈1.1,ln2≈0.7) 21.已知函数f(x)=xsinx+2cosx+ax+2,其中a为常数. (Ⅰ)若曲线y=f(x)在x=0处的切线在两坐标轴上的截距相等求a的值; (Ⅱ)若对?x∈[0,π],都有π≤f(x)≤π2,求a的取值范围. 选考题:请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分[选修4-4:坐标系与参数方程] 22.在平面直角坐标系xOy中曲线C的参数方程为(其中t为参数)在以O为极点、x轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中,直线l的极坐标方程为ρsin()=. (Ⅰ)求曲线C的极坐标方程; (Ⅱ)求直线l与曲线C的公共点P的极坐标. [选修4-5:不等式选讲] 23.已知函数f(x)=|x﹣m|﹣|2x+3m|(m>0). (1)当m=1时,求不等式f(x)≥1的解集; (2)对于任意实数x,t,不等式f(x)<|2+t|+|t﹣1|恒成立,求m的取值范围. 参考答案 一、选择题(本小题共12个小题,每小题5分,共60分.每小题只有一个正确选项) 1.已知集合A={x|x2﹣2x+1>0},,则A∩B=(  ) A. B.(1,+∞) C. D. 【分析】求解一元二次不等式化简集合A,求值域化简集合B,然后直接利用交集运算得答案. 解:∵A={x|x≠1},B={y|y≥}, ∴A∩B=[,1)∪(1,+∞). 故选:D. 2.若z=sinθ﹣+i(cosθ﹣)是纯虚数,则tan(θ﹣π)的值为(  ) A. B. C. D. 【分析】根据复数的有关概念进行求解即可. 解:∵z=sinθ﹣+i(cosθ﹣)是纯虚数, ∴sinθ﹣=0且cosθ﹣≠0, 即sinθ=且cosθ≠, 即cosθ=﹣, 则tanθ==, 则tan(θ﹣π)=tanθ=, 故选:C. 3.由我国引领的5G时代已经到来,5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展,进而对GDP增长产生直接贡献,并通过产业间的关联效应和波及效应,间接带动国民经济各行业的发展,创造岀更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据,对今后几年的5G经济产出所做的预测.结合右图,下列说法错误的是(  ) A.5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加 B.设备制造商的经济产出前期增长较快,后期放缓 C.信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势 D.设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位 【分析】本题结合图形即可得出结果. 解:由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位, 而后期是信息服务商处于领先地位,故D项表达错误. 故选:D. 4.已知角α,β∈(0,π),tan(α+β)=,cosβ=,则角2α+β=(  ) A. B. C. D. 【分析】利用两角和差的三角公式进行转化,先求出tan(2α+β)的值,结合角的范围进行判断即可. 解:∵cosβ=,∴sinβ==,则tanβ=, 则tanα=tan(α+β﹣β)===, 则tan(2α+β)=tan(α+β+α)====1, ∵0<tan(α+β)<1,0<tanα<1, ∴0<α+β<,0<α<, 则0<2α+β<, 则2α+β=, 故选:D. 5.函数的部分图象大致是(  ) A. B. C. D. 【分析】由函数的奇偶性及特殊点的函数值,运用排除法得解. 解:函数的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞), , 故函数f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,故排除CD; 又f(π)=0,故排除B. 故选:A. 6.设非零向量,满足(﹣2)⊥,则“||=||”是“与的夹角为”的(  ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】由平面向量的数量积运算结合充分必要条件的判定方法得答案. 解:(﹣2)⊥?(﹣2)?=?, 由||=||,得cos<>=,则与的夹角为; 反之,由与的夹角为,得||=||. ∴非零向量,满足(﹣2)⊥,则“||=||”是“与的夹角为”的充分必要条件. 故选:C. 7.已知e是自然对数的底数,则的大小关系为(  ) A. B. C. D. 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出. 解:∵∈(0,1),>1,lg<0, ∴lg<<, 故选:A. 8.《张丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作,书中卷上第二十三问:“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月织九匹三丈.问半月积几何?”其意思为“有个女子织布,每天比前一天多织相同量的布,第一天织五尺,一个月(按30天计)共织布9匹3丈.问:前半个月(按15天计)共织多少布?”已知1匹=4丈,1丈=10尺,可估算出前半个月一共织的布约有(  ) A.195尺 B.133尺 C.130尺 D.135尺 【分析】由已知结合等差数列的求和公式可求公差d,然后代入到求和公式中即可求解. 解:9匹3丈为390尺,每天的织布数成等差数列,首项a1=5,记公差为d, 则, 所以, 所以S15=15×=75+105×≈132.9 故选:B. 9.在边长为8的等边△ABC中,D,E分别为AC,AB的中点,现将△ADE沿DE折起到△A′DE的位置,使得A'B=2,则直线A'B与底面BCDE所成角的正弦值为(  ) A. B. C. D. 【分析】取DE的中点M,可通过勾股定理证明A′M⊥BM,进而得出A′M⊥平面BCDE,在△A′BM中,计算sin∠A′BM即可. 解:分别取DE,BC的中点M,N,连接A′M,MN,MB, 则A′M=MN=2,BN=4,故MB=2, ∴BM2+A′M2=A′B2,∴A′M⊥BM, 又A′M⊥DE,BM∩DE=M,故A′M⊥平面BCDE, ∴∠A′BM为直线A′B与平面BCDE所成的角, ∴sin∠A′BM===. 故选:B. 10.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,A为抛物线C上异于顶点O的一点,点B的坐标为(a,b)(其中a,b满足b2﹣4a<0)当|AB|+|AF|最小时,△ABF恰好正三角形,则a=(  ) A.1 B. C. D.2 【分析】由题意可得B在抛物线的开口之内,设A在准线x=﹣1上的射影为M,运用抛物线的定义和三点共线取得最小值,可得A(,b),再由正三角形的性质可得a,b的方程,解方程可得a的值. 解:点B的坐标为(a,b)(其中a,b满足b2﹣4a<0), 可得B在抛物线的开口之内, 设A在准线x=﹣1上的射影为M, 由抛物线的定义可得|AF|=|AM|, 当M,A,B三点共线时,|AB|+|AF|取得最小值, 即有A(,b),F(1,0), △ABF恰好正三角形,可得a+=2, b=(a﹣), 解得a=, 故选:C. 11.函数f(x)=(x2﹣3)ex,关于x的方程f2(x)﹣mf(x)+1=0恰有四个不同实数根,则实数m的取值范围为(  ) A.(0,2) B.(2,+∞) C. D. 【分析】先利用导数得到f(x)极大值=f(﹣3)=,f(x)极小值=f(1)=﹣2e,令f(x)=t,则方程t2﹣mt+1=0有两个不同的实数根,且一个根在(0,)内,一个根在(,∞)内,令g(x)=x2﹣mx+1,因为g(0)=1>0,所以只需g()<0,即,从而解得m的取值范围. 解:f'(x)=(x2+2x﹣3)ex=(x+3)(x﹣1)ex, 令f'(x)=0得,x=﹣3或1, 当x<﹣3时,f'(x)>0,函数f(x)在(﹣∞,﹣3)上单调递增,且f(x)>0, 当﹣3<x<1时,f'(x)<0,函数f(x)在(﹣3,1)上单调递减, 当x>1时,f'(x)>0,函数f(x)在(1,+∞)上单调递增, 所以f(x)极大值=f(﹣3)=,f(x)极小值=f(1)=﹣2e, 令f(x)=t,则方程t2﹣mt+1=0有两个不同的实数根,且一个根在(0,)内,一个根在(,∞)内,或者两个根都在(﹣2e,0)内, 因为m为正数,所以两个根不可能在(﹣2e,0)内, 令g(x)=x2﹣mx+1,因为g(0)=1>0, 所以只需g()<0,即,得m>, 即m的取值范围为:(,+∞), 故选:D. 12.已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推,若该数列前n项和N满足:①N>80②N是2的整数次幂,则满足条件的最小的n为(  ) A.21 B.91 C.95 D.101 【分析】根据题意,N满足条件①N>80②N是2的整数次幂,设N=2k,(k∈N*,且k≥7),假设满足条件的N在第m+1行,则前m行之和为2m+1﹣m﹣2≤2m+1,故N=2m+1,所以m+2=1+2+4+……+2s,求出m,即可得到n的值. 解:依题意,因为N满足条件①N>80②N是2的整数次幂, 所以Sn=N=2k,(k∈N*,且k≥7) 如图:第m行各项的和为2m﹣1, 前m行之和=(21﹣1)+(22﹣1)+……+(2m﹣1)=(2+22+23+……+2m)﹣m=2m+1﹣m﹣2, 设满足条件的n在第m+1行,则前m行之和为2m+1﹣m﹣2≤2m+1,故N=2m+1, 则m+2=1+2+4+……+2s, 则满足条件的m的最小值为13,且N为第14行的第4项. 所以n=+4=95. 故选:C. 二、填空题(本小题共4个小题,每小题5分,共20分.) 13.已知实数x,y满足约束条件,若z=x+ty(t>0)的最大值为11,则实数t= 4 . 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用线性规划的知识进行求解即可. 解:作出不等式组对应的平面区域如图: 由z=x+ty得y=﹣x+, 平移直线y=﹣x+, 由图象知当直线y=﹣x+经过点A时,直线的截距最大此时z最大为11, 由得A(3,2), 则3+2t=11,得2t=8,t=4, 故答案为:4. 14.若存在m,使得f(x)≥m对任意x∈D恒成立,则函数f(x)在D上有下界,其中m为函数f(x)的一个下界:若存在M,使得f(x)≤M对任意x∈D恒成立,则函数f(x)在D上有上界,其中M为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界,那么称该函数有界.下列四个结论:①1不是函数的一个下界②函数f(x)=xlnx有下界,无上界;③函数有上界,无下界;④函数有界.其中所有正确结论的编号为 ②④ . 【分析】①,由基本不等式判断1是f(x)的一个下界; ②,利用导数判断函数f(x)的单调性,求出f(x)有最小值,无最大值; ③,利用导数判断f(x)的单调性,得出f(x)>0,x→+∞时f(x)→+∞; ④,根据sinx为有界函数,且x2+1≥1,得出f(x)=∈(﹣1,1). 解:对于①,x>0时,函数f(x)=x+≥2>1, 所以1是的一个下界,①错误; 对于②,函数f(x)=xlnx,x>0; 所以f′(x)=lnx+1,令f′(x)=0,解得x=; 所以x∈(0,)时,f′(x)<0,f(x)单调递减, x∈(,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 所以f(x)≥f()=ln=﹣, 所以f(x)有下界,无上界,②正确; 对于③,函数,x≠0; 且f′(x)=,令f′(x)=0,得x=2; 所以x∈(﹣∞,0)时,f′(x)>0,f(x)单调递增, x∈(0,2)时,f′(x)<0,f(x)单调递减, x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增, x∈(,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 且x→﹣∞,f(x)→0,f(2)=>0, x→+∞,f(x)→+∞,所以f(x)有下界,无上界,③错误; 对于④,sinx为周期函数,且﹣1≤sinx≤1,x2+1≥1; 所以f(x)=∈(﹣1,1),是有界函数,④正确; 综上知,所有正确结论的编号为②④. 故答案为:②④. 15.边长均为正整数,且最大边长为11的三角形的个数为 36 . 【分析】先设出较小两边长为x,y,并利用三角形三边关系找到所满足的约束条件,画出可行域,在可行域内找整点即可. 解:设较小两边长为x,y,且x≤y,则,作可行域 易知,当x=1时,y=11; 当x=2时,y=10或11; …, 当x=11时,y=11. 所以共有1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36. 故答案为36. 16.已知圆C:x2+y2=1,点P(x0,y0)是直线l:3x+2y﹣4=0上的动点,若在圆C上总存在不同的两点A,B使得+=,则x0的取值范围是 . . 【分析】在圆C上总存在不同的两点A,B使得+=,可知:四边形OAPB是菱形,于是AB垂直平分OP.分类讨论:当直线AB的斜率为0时,此时在⊙C上不存在不同的两点A,B满足条件. 当直线AB的斜率不存在时,可得P,此时直线AB为:,满足条件. 当直线AB的斜率存在且不为0时,利用AB⊥OP,,可得直线AB方程为, 圆心到直线AB的距离,即,再利用3x0+2y0﹣4=0,即可解出. 解:∵在圆C上总存在不同的两点A,B使得+=, ∴四边形OAPB是菱形,∴AB垂直平分OP. 当直线AB的斜率为0时,由直线l:3x+2y﹣4=0得P(0,2),此时在⊙C上不存在不同的两点A,B满足条件. 当直线AB的斜率不存在时,由直线l:3x+2y﹣4=0可得P,此时直线AB为:,满足条件. 当直线AB的斜率存在且不为0时, ∵AB⊥OP,,∴. ∴直线AB方程为,化为, 圆心到直线AB的距离,即, 又3x0+2y0﹣4=0,化为, 解得, ∴x0的取值范围是. 故答案为:. 三、解答题(本小题共5个小题,每小题12分,共60分.请写出必要的解答过程、推理过程或证明步骤) 17.高铁是我国国家名片之一,高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示,B、E、F为山脚两侧共线的三点,在山顶A处测得这三点的俯角分别为30°、60°、45°,计划沿直线BF开通穿山隧道,现已测得BC、DE、EF三段线段的长度分别为3、1、2. (1)求出线段AE的长度; (2)求出隧道CD的长度. 【分析】(1)由已知在△AEF中,由正弦定理即可解得AE的值. (2)由已知可得∠BAE=90°,在Rt△ABE中,可求BE的值,进而可求CD=BE﹣BC﹣DE的值. 解:(1)由已知可得EF=2,∠F=45°,∠EAF=60°﹣45°=15°, 在△AEF中,由正弦定理得:, 即, 解得; (2)由已知可得∠BAE=180°﹣30°﹣60°=90°, 在Rt△ABE中,, 所以隧道长度. 18.如图,AB为圆O的直径,点E、F在圆O上,AB∥EF,矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直.已知AB=2,EF=1. (Ⅰ)求证:平面DAF⊥平面CBF; (Ⅱ)求直线AB与平面CBF所成角的大小; (Ⅲ)当AD的长为何值时,平面DFC与平面FCB所成的锐二面角的大小为60°? 【分析】(I)利用面面垂直的性质,可得CB⊥平面ABEF,再利用线面垂直的判定,证明AF⊥平面CBF,从而利用面面垂直的判定可得平面DAF⊥平面CBF; (II)确定∠ABF为直线AB与平面CBF所成的角,过点F作FH⊥AB,交AB于H,计算出AF,即可求得直线AB与平面CBF所成角的大小; (Ⅲ)建立空间直角坐标系,求出平面DCF的法向量,平面CBF的一个法向量,利用向量的夹角公式,即可求得AD的长. 【解答】(I)证明:∵平面ABCD⊥平面ABEF,CB⊥AB,平面ABCD∩平面ABEF=AB, ∴CB⊥平面ABEF. ∵AF?平面ABEF,∴AF⊥CB,… 又∵AB为圆O的直径,∴AF⊥BF,∴AF⊥平面CBF. … ∵AF?平面ADF,∴平面DAF⊥平面CBF.… (II)解:根据(Ⅰ)的证明,有AF⊥平面CBF, ∴FB为AB在平面CBF内的射影,因此,∠ABF为直线AB与平面CBF所成的角 … ∵AB∥EF,∴四边形ABEF为等腰梯形, 过点F作FH⊥AB,交AB于H. AB=2,EF=1,则. 在Rt△AFB中,根据射影定理AF2=AH?AB,得AF=1. … ∴,∴∠ABF=30°. ∴直线AB与平面CBF所成角的大小为30°. … (Ⅲ)解:设EF中点为G,以O为坐标原点,OA、OG、AD方向分别为x轴、y轴、z轴方向建立空间直角坐标系(如图). 设AD=t(t>0),则点D的坐标为(1,0,t),则 C(﹣1,0,t), ∴… 设平面DCF的法向量为,则,,即 令,解得x=0,y=2t,∴… 由(I)可知AF⊥平面CFB,取平面CBF的一个法向量为, 依题意与的夹角为60°,∴,即,解得 因此,当AD的长为时,平面与DFC平面FCB所成的锐二面角的大小为60°.… 19.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形. (Ⅰ)求C的方程; (Ⅱ)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E, (ⅰ)证明直线AE过定点,并求出定点坐标; (ⅱ)△ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由. 【分析】(1)根据抛物线的焦半径公式,结合等边三角形的性质,求出的p值; (2)(ⅰ)设出点A的坐标,求出直线AB的方程,利用直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E,求出点E的坐标,写出直线AE的方程,将方程化为点斜式,可求出定点; (ⅱ) 利用弦长公式求出弦AB的长度,再求点E到直线AB的距离,得到关于面积的函数关系式,再利用基本不等式求最小值. 解:(1)当点A的横坐标为3时,过点A作AG⊥x轴于G, A(3,),F(,0),, ∴. ∵△ADF为正三角形, ∴. 又∵, ∴, ∴p=2. ∴C的方程为y2=4x. 当D在焦点F的左侧时,. 又|FD|=2|FG|=2(﹣3)=p﹣6, ∵△ADF为正三角形, ∴3+=p﹣6,解得p=18, ∴C的方程为y2=36x.此时点D在x轴负半轴,不成立,舍. ∴C的方程为y2=4x. (2)(ⅰ)设A(x1,y1),|FD|=|AF|=x1+1, ∴D(x1+2,0), ∴kAD=﹣. 由直线l1∥l可设直线l1方程为, 联立方程,消去x得① 由l1和C有且只有一个公共点得△=64+32y1m=0,∴y1m=﹣2, 这时方程①的解为,代入得x=m2,∴E(m2,2m). 点A的坐标可化为,直线AE方程为y﹣2m=(x﹣m2), 即, ∴, ∴, ∴, ∴直线AE过定点(1,0); (ⅱ)直线AB的方程为,即. 联立方程,消去x得, ∴, ∴=, 由(ⅰ)点E的坐标为,点E到直线AB的距离为: =, ∴△ABE的面积=, 当且仅当y1=±2时等号成立, ∴△ABE的面积最小值为16. 20.2019年12月以来,湖北武汉市发现多起病毒性肺炎病例,并迅速在全国范围内开始传播,专家组认为,本次病毒性肺炎病例的病原体初步判定为新型冠状病毒,该病毒存在人与人之间的传染,可以通过与患者的密切接触进行传染.我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者,每位密切接触者被感染后即被称为患者.已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为P(0<p<1),某位患者在隔离之前,每天有a位密切接触者,其中被感染的人数为X(0≤X≤a),假设每位密切接触者不再接触其他患者. (Ⅰ)求一天内被感染人数为X的概率P(X)与a、p的关系式和X的数学期望; (Ⅱ)该病毒在进入人体后有14天的潜伏期,在这14天的潜伏期内患者无任何症状,为病毒传播的最佳时间,设每位患者在被感染后的第二天又有2位密切接触者,从某一名患者被感染,按第1天算起,第n天新增患者的数学期望记为En(n≥2). (i)求数列{En}的通项公式,并证明数列{En}为等比数列; (ⅱ)若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率,降低后的患病概率p′=ln(1+p)﹣.当p取最大值时,计算此时p'所对应的E6'值和此时p对应的E6值,根据计算结果说明戴口罩的必要性.(取a=10) (结果保留整数,参考数据:ln5≈1.6,ln3≈1.1,ln2≈0.7) 【分析】(Ⅰ)由题意X~B(a,p),由此能求出一天内被感染人数为X的概率P(X)与a、p的关系式和X的数学期望. (Ⅱ)(i)第n天被感染人数为(1+ap)n﹣1,第n﹣1天被感染人数为(1+ap)n﹣2,从而En=(1+ap)n﹣1﹣(1+ap)n﹣2=ap(1+ap)n﹣2.由此能证明{En}是以ap为首项,1+ap为公比的等比数列. (ii)令f(p)=ln(1+p)﹣,则f′(p)=,f(p)在(0,)上单调递增,在(,1)上单调递减,推导出E6>E6',从而戴口罩很有必要. 解:(Ⅰ)由题意X~B(a,p), 则P(X)=, EX=ap. (Ⅱ)(i)第n天被感染人数为(1+ap)n﹣1,第n﹣1天被感染人数为(1+ap)n﹣2, 由题目中均值定义得: En=(1+ap)n﹣1﹣(1+ap)n﹣2=ap(1+ap)n﹣2. ∴=1+ap,且E1=ap, ∴{En}是以ap为首项,1+ap为公比的等比数列. (ii)令f(p)=ln(1+p)﹣,则f′(p)=, ∴f(p)在(0,)上单调递增,在(,1)上单调递减, f(p)max=f()=ln=ln3﹣ln2﹣≈1.1﹣0.7﹣0.3=0.1. 则当a=10,En=10p(1+10p)n﹣2, E6'=10×0.1(1+10×0.1)4≈1.46, E6=10×0.5(1+10×0.5)4≈25.31, ∵E6>E6', ∴戴口罩很有必要. 21.已知函数f(x)=xsinx+2cosx+ax+2,其中a为常数. (Ⅰ)若曲线y=f(x)在x=0处的切线在两坐标轴上的截距相等求a的值; (Ⅱ)若对?x∈[0,π],都有π≤f(x)≤π2,求a的取值范围. 【分析】(Ⅰ)先求出f(x)的切线方程,然后根据切线在两坐标轴上的截距相等求出a的值; (Ⅱ)先判断f'(x)在[0,π]上的单调性,然后分a≤0,0<a<π和a≥π三种情况判断f(x)的单调性,然后求出f(x)的最值,然后结合?x∈[0,π],都有π≤f(x)≤π2成立,求出a的取值范围. 解:(Ⅰ)求导得f'(x)=xcosx﹣sinx+a,∴f'(0)=a. 又f(0)=4,∴曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y=ax+4. 由切线在两坐标轴上的截距相等,得, ∴a=﹣1. (Ⅱ)对?x∈[0,π],f''(x)=﹣xsinx<0,∴f'(x)在[0,π]区间内单调递减. (1)当a≤0时,f'(x)<f'(0)=a≤0,∴f(x)在区间[0,π]内单调递减, 故f(x)>f(π)=aπ,由f(x)>π恒成立,得a≥1,这与a≤0矛盾,故舍去. (2)当a≥π时,f'(x)>f'(π)=a﹣π≥0,∴f(x)在区间[0,π]内单调递增, 故f(0)<f(x)<f(π),即4<f(x)<aπ, 由π<f(x)<π2恒成立,得a≤π,结合a≥π,得a=π. (3)当0<a<π时,因为f'(0)=a>0,f'(π)=a﹣π<0,且f'(x)在[0,π]区间上单调递减, 结合零点存在定理可知,存在唯一x0∈(0,π),使得f'(x0)=0, 且f(x)在区间[0,x0]内单调递增,在区间[x0,π]内单调递减. 故f(x)>min{f(0),f(π)}, 由f(x)>π恒成立知,f(0)=4≥π,f(π)=aπ≥π,∴1≤a<π, 又f(x)的最大值为f(x0)=x0sinx0+2cosx0+ax0+2, 由f'(x0)=0得a=sinx0﹣x0cosx0,∴. 设g(x)=2xsinx+2cosx﹣x2cosx+2(0<x<π),则g'(x)=x2sinx>0, ∴g(x)在区间[0,π]内单调递增,于是g(x)<g(π)=π2,即. ∴不等式f(x)<π2恒成立. 综上,a的取值范围是[1,π]. 选考题:请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分[选修4-4:坐标系与参数方程] 22.在平面直角坐标系xOy中曲线C的参数方程为(其中t为参数)在以O为极点、x轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中,直线l的极坐标方程为ρsin()=. (Ⅰ)求曲线C的极坐标方程; (Ⅱ)求直线l与曲线C的公共点P的极坐标. 【分析】(Ⅰ)由曲线C的参数方程求出曲线C的直角坐标方程,由此能求出曲线C的极坐标方程. (Ⅱ)将l与C的极坐标方程联立,得ρ2(cos2θ﹣sin2θ)=2cos2θ,从而3tan2θ﹣2+1=0,进而方程的解为,由此能求出直线l与曲线C的公共点P的极坐标. 解:(Ⅰ)∵平面直角坐标系xOy中曲线C的参数方程为(其中t为参数), ∴曲线C的直角坐标方程为x2﹣y2=4,(x≥2), 将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入x2﹣y2=4,得ρ2cos2θ=曲线C的直角坐标方程为x2﹣y2=4,(x≥2), 将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入x2﹣y2=4,得ρ2(cos2θ﹣sin2θ)=4, ∴曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ=4(﹣). (Ⅱ)将l与C的极坐标方程联立,消去ρ, 得ρ2(cos2θ﹣sin2θ)=2cos2θ, ∴3cos2θ﹣2+sin2θ=2(cos2θ﹣sin2θ), ∵cosθ≠0,∴3tan2θ﹣2+1=0, ∴方程的解为tanθ=,即, 代入=,得, ∴直线l与曲线C的公共点P的极坐标为(2,). [选修4-5:不等式选讲] 23.已知函数f(x)=|x﹣m|﹣|2x+3m|(m>0). (1)当m=1时,求不等式f(x)≥1的解集; (2)对于任意实数x,t,不等式f(x)<|2+t|+|t﹣1|恒成立,求m的取值范围. 【分析】(1)将m=1的值带入,得到关于x的不等式组,求出不等式的解集即可; (2)问题等价于对任意的实数x,f(x)<[|2+t|+|t﹣1|]min恒成立,根据绝对值的性质求出f(x)的最大值以及[|2+t|+|t﹣1|]min,求出m的范围即可. 解:(1)f(x)=|x﹣m|﹣|2x+3m|=, 当m=1时,由f(x)≥1可得 或或, 即为x∈?或﹣<x≤﹣1或﹣3≤x≤﹣, ∴不等式f(x)≥1的解集为{x|﹣3≤x≤﹣1}; (2)不等式f(x)<|2+t|+|t﹣1|对任意的实数t,x恒成立, 等价于对任意的实数f(x)<[|2+t|+|t﹣1|]min恒成立, 即[f(x)]max<[|2+t|+|t﹣1|]min, ∵f(x)=|x﹣m|﹣|2x+3m|=|x﹣m|﹣|x+m|﹣|x+m| ≤|﹣m﹣m|﹣|﹣m+m|﹣|﹣m+m|=m, 当且仅当x=﹣m上式取得等号, |2+t|+|t﹣1|≥|(2+t)﹣(t﹣1)|=3,当(2+t)(t﹣1)≤0即﹣2≤t≤1时,取得等号, ∴m<3又m>0, 所以0<m<.

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  • ID:3-7131347 2019年四川省成都七中高考(文科)数学考前热身测试卷 Word版含解析

    高中数学/高考专区/模拟试题

    2019年高考数学热身试卷(文科) 一、选择题 1.已知集合A={x|log2x<1},集合B=,则A∪B=(  ) A.(﹣∞,2) B.(﹣∞,2] C.(0,2) D.[0,+∞) 2.已知复数z满足i?z=3+2i(i是虚数单位),则=(  ) A.2+3i B.2﹣3i C.﹣2+3i D.﹣2﹣3i 3.已知实数x,y满足约束条件,则目标函数的最小值为(  ) A. B. C. D. 4.如图所示,矩形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若(λ,μ∈R),则λ+μ等于(  ) A.﹣ B. C.1 D.﹣1 5.执行如图所示的程序框图,则输出的S的值是(  ) A.8 B.32 C.64 D.128 6.已知椭圆(a>b>0)的右焦点为F,左顶点为A,点P在椭圆上,且PF⊥AF,若,则该椭圆的离心率e=(  ) A. B. C. D. 7.甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班(抓到“值”字的人值班).抓完阄后,甲说:“我没抓到.”乙说:“丙抓到了.”丙说:“丁抓到了”丁说:“我没抓到.“已知他们四人中只有一人说了真话,根据他们的说法,可以断定值班的人是(  ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 8.已知六棱锥P﹣ABCDEF各顶点都在同一个球(记为球O)的球面上,且底面ABCDEF为正六边形,顶点P在底面上的射影是正六边形ABCDEF的中心G,若,,则球O的表面积为(  ) A. B. C.6π D.9π 9.图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案,形若铜钱,寓意富贵吉祥.在圆内随机取一点,则该点取自阴影区域内(阴影部分由四条四分之一圆弧围成)的概率是(  ) A. B. C.﹣1 D.2﹣ 10.已知过点P(1,1)且与曲线y=x3相切的直线的条数有(  ) A.0 B.1 C.2 D.3 11.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若△ABC的面为S,且,则=(  ) A.1 B. C. D. 12.已知函数f(x)=,方程f(x)﹣a=0有四个不同的根,记最大的根的所有取值为集合D,则“函数F(x)=f(x)﹣kx(x∈D)有两个零点”是“k>”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、填空题:共有4个小题,每小题5分,共20分. 13.某城市为了解该市甲、乙两个旅游景点的游客数量情况,随机抽取了这两个景点20天的游客人数,得到如图茎叶图:由此可估计,全年(按360天计算)中,游客人数在(625,635)内时,甲景点比乙景点多   天. 14.观察下列式子,,……,根据上述规律,第n个不等式应该为   . 15.函数f(x)=sin3x+3cos2x(x∈[﹣,])的值域为   . 16.已知数列{an}的各项均为正,记Sn为{an}的前n项和,若(n∈N*),a1=1,则S6=   . 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:60分. 17.如图,已知在三棱台ABC﹣A1B1C1中,AC=2AB=2,,A1B1⊥BB1. (1)求证:AB⊥CC1; (2)过AB的平面ABDE分别交B1C1,A1C1于点D,E,且分割三棱台ABC﹣A1B1C1所得两部分几何体的体积比为,几何体ABC﹣EDC1为棱柱,求A1B1的长. 提示:台体的体积公式(S',S分别为棱台的上、下底面面积,h为棱台的高). 18.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2ccosB=2a+b. (1)求角C的大小; (2)若函数f(x)=2sin(2x+)+mcos2x(m∈R)图象的一条对称轴方程为x=且f()=,求cos(2α+C)的值. 19.古人云:“腹有诗书气自华.”为响应全民阅读,建设书香中国,校园读书活动的热潮正在兴起.某校为统计学生一周课外读书的时间,从全校学生中随机抽取n名学生进行问卷调査,统计了他们一周课外读书时间(单位:h)的数据如表: 一周课外读书时间/h (0,2] (2,4] (4,6] (6,8] (8,10] (10,12] (12,14] (14,16] (16,18] 合计 频数 4 6 10 12 14 24 a 46 34 n 频率 0.02 0.03 0.05 0.06 0.07 0.12 0.25 p 0.17 1 (1)根据表格中提供的数据,求a,p,n的值并估算一周课外读书时间的中位数. (2)如果读书时间按(0,6],(6,12],(12,18]分组,用分层抽样的方法从n名学生中抽取20人. (ⅰ)求每层应抽取的人数; (ⅱ)若从(0,6],(6,12]中抽出的学生中再随机选取2人,求这2人不在同一层的概率. 20.已知函数f(x)=xex,. (1)求函数f(x)的极值; (2)当x>0时,求证:f(x)>g(x). 21.在直角坐标平面中,已知△ABC的顶点A(﹣2,0),B(2,0),C为平面内的动点,且sin Asin B+3cosC=0. (Ⅰ)求动点C的轨迹Q的方程; (Ⅱ)设过点F(1,0)且不垂直于x轴的直线l与Q交于P,R两点,点P关于x轴的对称点为S,证明:直线RS过x轴上的定点. (二)选考题:共10分.请在第22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程] 22.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ. (Ⅰ)求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程; (Ⅱ)设点P(1,0),直线l与曲线C相交于A,B,求的值. 23.已知a,b∈(0,+∞),a(1﹣b)=b(a﹣1),f(x)=|2x+1|+|x﹣2|. (Ⅰ)求a2+b2的最小值; (Ⅱ)若对任意a,b∈(0,+∞),都有f(x)≤4(a2+b2),求实数x的取值范围. 参考答案 一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求. 1.已知集合A={x|log2x<1},集合B=,则A∪B=(  ) A.(﹣∞,2) B.(﹣∞,2] C.(0,2) D.[0,+∞) 【分析】可求出集合A,B,然后进行并集的运算即可. 解:A={x|0<x<2},B={y|y≥0}; ∴A∪B=[0,+∞). 故选:D. 2.已知复数z满足i?z=3+2i(i是虚数单位),则=(  ) A.2+3i B.2﹣3i C.﹣2+3i D.﹣2﹣3i 【分析】把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案. 解:由i?z=3+2i,得z=, ∴. 故选:A. 3.已知实数x,y满足约束条件,则目标函数的最小值为(  ) A. B. C. D. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,目标函数的几何意义为动点M(x,y)到定点D(﹣1,2)的斜率,利用数形结合即可得到z的最小值. 解:作出不等式组对应的平面区域如图: 目标函数的几何意义为动点M(x,y)到定点D(﹣1,2)的斜率, 当M位于A(1,﹣)时,此时DA的斜率最小,此时zmin==﹣. 故选:B. 4.如图所示,矩形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若(λ,μ∈R),则λ+μ等于(  ) A.﹣ B. C.1 D.﹣1 【分析】由平面向量基本定理得:===﹣+()=,所以,μ=﹣,即λ+μ=﹣,得解 解:由===﹣+()=, 所以,μ=﹣, 即λ+μ=﹣, 故选:A. 5.执行如图所示的程序框图,则输出的S的值是(  ) A.8 B.32 C.64 D.128 【分析】根据程序框图进行模拟运算即可. 解:第一次,s=1,k=1,k<4是, 第二次,s=2,k=2,k<4,是, 第三次,s=8,k=3,k<4,是, 第四次,s=64,k=4,k<4,否, 输出s=64, 故选:C. 6.已知椭圆(a>b>0)的右焦点为F,左顶点为A,点P在椭圆上,且PF⊥AF,若,则该椭圆的离心率e=(  ) A. B. C. D. 【分析】由椭圆的方程及题意可得P的横坐标,代入椭圆方程求出P的纵坐标,由正切值及a,b,c的关系可得椭圆的离心率可得. 【解答】解由题意可得P的横坐标为x=c代入椭圆的方程可得|yP|=, 由,可得=,即=, 而b2=a2﹣c2, 整理可得:2c2+ac﹣a2=0,即2e2+e﹣1=0,e∈(0,1),解得e=, 故选:C. 7.甲、乙、丙、丁四人通过抓阄的方式选出一人周末值班(抓到“值”字的人值班).抓完阄后,甲说:“我没抓到.”乙说:“丙抓到了.”丙说:“丁抓到了”丁说:“我没抓到.“已知他们四人中只有一人说了真话,根据他们的说法,可以断定值班的人是(  ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 【分析】由丙和丁话,得到丙和丁中必有一人说的是真话.假设丙说的是真话,则甲说的是真话,不合题意,假设丙说的是假话,则丙说的是真话,即甲没有抓到,由题意知甲和乙说得都是假话,由此能求出值班的人. 解:由丙说:“丁抓到了”丁说:“我没抓到.“得到丙和丁中必有一人说的是真话. 假设丙说的是真话,则甲说的是真话,不合题意, 假设丙说的是假话,则丙说的是真话,即甲没有抓到, 由题意知甲和乙说得都 是假话, ∴值班的人是甲. 故选:A. 8.已知六棱锥P﹣ABCDEF各顶点都在同一个球(记为球O)的球面上,且底面ABCDEF为正六边形,顶点P在底面上的射影是正六边形ABCDEF的中心G,若,,则球O的表面积为(  ) A. B. C.6π D.9π 【分析】有正六边形的边长可求出它的外接圆的半径为边长,AG为外接圆的半径,外接球的球心在高PG上,球心设为O连接OA,则OA外接球的半径R,由勾股定理求出棱锥的高PG,再由外接球的半径,底面外接圆的半径和棱锥的高直径的关系求出外接球的半径,进而求出球的表面积. 【解答】解在正六边形中可得GA=AB=,PG===2,GA为底面外接圆的半径,即六棱锥的高为6,可得外接球的球心在PM所在的直线上,设为O,球的半径设R,连接OA, AO为半径,在三角形OAG中R2=AG2+(PG﹣R)2,整理可得:2PG?R=AG2+PG2,所以2?2?R=2+4,所以R=, 所以外接球的表面积为:S=4πR2=4=9π, 故选:D. 9.图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案,形若铜钱,寓意富贵吉祥.在圆内随机取一点,则该点取自阴影区域内(阴影部分由四条四分之一圆弧围成)的概率是(  ) A. B. C.﹣1 D.2﹣ 【分析】设圆的半径为1,利用几何概型的概率公式计算所求的概率即可. 解:令圆的半径为1,利用几何概型的概率公式,计算所求的概率为 P===﹣1. 故选:C. 10.已知过点P(1,1)且与曲线y=x3相切的直线的条数有(  ) A.0 B.1 C.2 D.3 【分析】设切点为(x0,y0),则y0=x03,由于直线l经过点(1,1),可得切线的斜率,再根据导数的几何意义求出曲线在点x0处的切线斜率,便可建立关于x0的方程.从而可求方程. 解:若直线与曲线切于点(x0,y0)(x0≠0),则k===+x0+1 .∵y′=3x2,∴y′|x=x0=3x02,∴2x02﹣x0﹣1=0,∴x0=1,x0=﹣, ∴过点P(1,1)与曲线C:y=x3相切的直线方程为3x﹣y﹣2=0或3x﹣4y+1=0, 故选:C. 11.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若△ABC的面为S,且,则=(  ) A.1 B. C. D. 【分析】根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出C的值,然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可. 解:由, 得4×absinC=a2+b2﹣c2+2ab, ∵a2+b2﹣c2=2abcosC, ∴2absinC=2abcosC+2ab, 即sinC﹣cosC=1 即2sin(C﹣)=1, 则sin(C﹣)=, ∵0<C<π, ∴﹣<C﹣<, ∴C﹣=,即C=, 则=sin(+)=sincos+cossin==, 故选:D. 12.已知函数f(x)=,方程f(x)﹣a=0有四个不同的根,记最大的根的所有取值为集合D,则“函数F(x)=f(x)﹣kx(x∈D)有两个零点”是“k>”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】作出函数f(x)的图象,可知D=(2,4],把函数F(x)=f(x)﹣kx(x∈D)有零点转化为y=kx与y=f(x)在(2,4]上有交点,然后利用导数求出切线斜率,即可求得k的取值范围.再根据充分,必要条件的定义即可判断 解:作出函数f(x)=的图象如图, 由图可知,D=(2,4], 函数F(x)=f(x)﹣kx(x∈D)有2个零点,即f(x)=kx有两个不同的根, 也就是y=kx与y=f(x)在(2,4]上有2个交点,则k的最小值为; 设过原点的直线与y=log2x的切点为(x0,log2x0),斜率为, 则切线方程为y﹣log2x0=(x﹣x0), 把(0,0)代入,可得﹣log2x0=﹣,即x0=e. ∴切线斜率为. ∴k的取值范围是(,), ∴函数F(x)=f(x)﹣kx(x∈D)有两个零点”是“k>”的充分不必要条件, 故选:A. 二、填空题:共有4个小题,每小题5分,共20分. 13.某城市为了解该市甲、乙两个旅游景点的游客数量情况,随机抽取了这两个景点20天的游客人数,得到如图茎叶图:由此可估计,全年(按360天计算)中,游客人数在(625,635)内时,甲景点比乙景点多 72 天. 【分析】分别求出甲乙游客在(625,635)内的天数,在按其所占比例即可求解. 解:由图可得:甲游客在(625,635)内的天数为:7天; 而乙游客在(625,635)内的人数为:3天; 即20天内甲比乙多4天; 所以:360天内甲景点比乙景点多:360×=72天. 故答案为:72. 14.观察下列式子,,……,根据上述规律,第n个不等式应该为 ln(n+1)>++……+ . 【分析】根据题意,依次分析不等式的变化规律,综合可得答案. 解:根据题意,对于第一个不等式,ln2>,则有ln(1+1)>, 对于第二个不等式,ln3>+,则有ln(2+1)>+, 对于第三个不等式,ln4>++,则有ln(2+1)>++, 依此类推: 第n个不等式为:ln(n+1)>++……+, 故答案为:ln(n+1)>++……+. 15.函数f(x)=sin3x+3cos2x(x∈[﹣,])的值域为 [,3] . 【分析】由导数的应用可得:g(t)=t3﹣3t2+3,t∈[,1],则g′(t)=3t2﹣6t=3t(t﹣2),当﹣时,g′(t)>0,当0<t<1时,g′(t)>0,即y=g(t)在[﹣,0]为增函数,在[0,1]为减函数, 又g(﹣)=,g(0)=3,g(1)=1,故函数的值域为:[]得解. 解:f(x)=sin3x+3cos2x=sin3x﹣3sin2x+3,x∈[﹣,], 令t=sinx,t∈[,1], 即g(t)=t3﹣3t2+3,t∈[,1], 则g′(t)=3t2﹣6t=3t(t﹣2), 当﹣时,g′(t)>0,当0<t<1时,g′(t)>0, 即y=g(t)在[﹣,0]为增函数,在[0,1]为减函数, 又g(﹣)=,g(0)=3,g(1)=1, 故函数的值域为:[]. 16.已知数列{an}的各项均为正,记Sn为{an}的前n项和,若(n∈N*),a1=1,则S6= 63 . 【分析】对所给关系式化简变形可推出数列为等比数列,直接求解即可. 解:由,得, 即(an+1+an)(an+1﹣2an)=0, 又{an}的各项均为正, 所以, 故{an}为等比数列,公比为2,. 故答案为:63. 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:60分. 17.如图,已知在三棱台ABC﹣A1B1C1中,AC=2AB=2,,A1B1⊥BB1. (1)求证:AB⊥CC1; (2)过AB的平面ABDE分别交B1C1,A1C1于点D,E,且分割三棱台ABC﹣A1B1C1所得两部分几何体的体积比为,几何体ABC﹣EDC1为棱柱,求A1B1的长. 提示:台体的体积公式(S',S分别为棱台的上、下底面面积,h为棱台的高). 【分析】(1)由勾股定理得AB⊥BC.由A1B1⊥BB1,得AB⊥BB1.从而AB⊥平面BCC1B1,由此能证明AB⊥CC1. (2)由,得.令S△ABC=S',,三棱台和三棱柱的高都为上、下底面之间的距离,设为h,则,由此能求出A1B1. 解:(1)证明:∵AC=2AB=2,, ∴AB2+BC2=AC2,∴AB⊥BC. ∵A1B1⊥BB1,∴AB⊥BB1. ∵BC∩BB1=B,BC,BB1?平面BCC1B1, ∴AB⊥平面BCC1B1, ∵CC1?平面BCC1B1,∴AB⊥CC1. (2)解:∵,∴. 令S△ABC=S',, 三棱台和三棱柱的高都为上、下底面之间的距离,设为h, 则,∴, ∴,∴,即, ∴A1B1=2. 18.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2ccosB=2a+b. (1)求角C的大小; (2)若函数f(x)=2sin(2x+)+mcos2x(m∈R)图象的一条对称轴方程为x=且f()=,求cos(2α+C)的值. 【分析】(1)由已知利用三角函数恒等变换的应用,正弦定理可求cosC=﹣,可求C的值. (2)利用三角函数恒等变换的应用可求f(x)=sin2x+(m+1)cos2x,由题意可得 f(0)=f(),解得m=﹣2, 可求f(x)=2sin(2x﹣),由已知可求sin(α﹣)的值,利用三角函数恒等变换的应用可求cos(2α+C)的值. 【解答】(本题满分为12分) 解:(1)由题意得,2sinCcosB=2sinA+sinB,………………………… 可得:2sinCcosB=2sinBcosC+2cosBsinC+sinB,可得:cosC=﹣, 所以:C=.…………………………… (2)f(x)=2sin(2x+)+mcos2x =2sin2xcos+2cos2xsin+mcos2x =sin2x+(m+1)cos2x,…………………… 由题意其一条对称轴方程为x=, ∴f(0)=f(),得:m+1=sin+(m+1)cos,即m=﹣2, ∴f(x)=sin2x﹣cos2x=2sin(2x﹣), 又f()=2sin(α﹣)=, ∴sin(α﹣)=,………………… ∴cos(2α+C)=cos(2α+)=﹣cos(2α﹣)=﹣cos2(α﹣)=2sin2(α﹣)﹣1=﹣.……………… 19.古人云:“腹有诗书气自华.”为响应全民阅读,建设书香中国,校园读书活动的热潮正在兴起.某校为统计学生一周课外读书的时间,从全校学生中随机抽取n名学生进行问卷调査,统计了他们一周课外读书时间(单位:h)的数据如表: 一周课外读书时间/h (0,2] (2,4] (4,6] (6,8] (8,10] (10,12] (12,14] (14,16] (16,18] 合计 频数 4 6 10 12 14 24 a 46 34 n 频率 0.02 0.03 0.05 0.06 0.07 0.12 0.25 p 0.17 1 (1)根据表格中提供的数据,求a,p,n的值并估算一周课外读书时间的中位数. (2)如果读书时间按(0,6],(6,12],(12,18]分组,用分层抽样的方法从n名学生中抽取20人. (ⅰ)求每层应抽取的人数; (ⅱ)若从(0,6],(6,12]中抽出的学生中再随机选取2人,求这2人不在同一层的概率. 【分析】(1)由题意求得样本容量,再求a、p和中位数的值; (2)(ⅰ)利用分层抽样法计算抽样比例,健康求出抽取的人数; (ⅱ)利用列举法求出基本事件数,计算所求的概率值. 解:(1)由题意可得,a=0.25×200=50,; 设一周课外读书时间的中位数为xh,则0.17+0.23+(14﹣x)×0.125=0.5, 解得x=13.2; 即一周课外读书时间的中位数约为13.2h. (2)(ⅰ)由题意知用分层抽样的方法从样本中抽取20人,抽样比为, 又(0,6],(6,12],(12,18]的频数分别为20,50,130, 所以从(0,6],(6,12],(12,18]三层中抽取的人数分别为2,5,13. (ⅱ)由(ⅰ)知,在(0,6],(6,12]两层中共抽取7人, 设(0,6]内被抽取的学生分别为x,y,(6,12]内被抽取的学生分别为a,b,c,d,e; 若从这7人中随机抽取2人,则所有情况为: xy,xa,xb,xc,xd,xe,ya,yb,yc,yd,ye,ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de共21种, 其中2人不在同一层的情况为xa,xb,xc,xd,xe,ya,yb,yc,yd,ye共10种. 设事件M为“这2人不在同一层”, 则由古典概型的概率计算公式得. 20.已知函数f(x)=xex,. (1)求函数f(x)的极值; (2)当x>0时,求证:f(x)>g(x). 【分析】(1)求出导函数,通过导函数的符号,判断函数的单调性以及函数的极值即可. (2)当x>0时,要证f(x)>g(x),即证,构造函数F(x)=x2﹣lnx(x>0),利用导函数的符号判断函数的单调性忙着证明不等式f(x)>g(x) 解:(1)由题意知,f′(x)=xex+ex=(x+1)ex, 令f′(x)>0,得x>﹣1,令f'(x)<0,得x<﹣1. 则f(x)在(﹣∞,﹣1)上单调递减,在(﹣1,+∞)上单调递增, 所以f(x)的极小值为f(﹣1)=,无极大值; (2)证明:当x>0时,要证f(x)>g(x),即证, 令F(x)=x2﹣lnx(x>0),则F'(x)=2x﹣(x>0),令F'(x)>0,得x>, 令F'(x)<0,得0<x<, 则F(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增, 所以当x>0时,F(x)≥F()=﹣ln>0, 所以x2>lnx,即<1.因为x>0时,ex>e0=1, 所以当x>0时,ex>?xex>, 所以当x>0时,不等式f(x)>g(x)成立. 21.在直角坐标平面中,已知△ABC的顶点A(﹣2,0),B(2,0),C为平面内的动点,且sin Asin B+3cosC=0. (Ⅰ)求动点C的轨迹Q的方程; (Ⅱ)设过点F(1,0)且不垂直于x轴的直线l与Q交于P,R两点,点P关于x轴的对称点为S,证明:直线RS过x轴上的定点. 【分析】(Ⅰ)将sinAsinB+3cosC=0,化简得tanAtanB=,即kAC?kBC=﹣,设C(x,y),依题意得kAC?kBC=﹣,由A(﹣2,0),B(2,0),得=﹣(y≠0),由此能求出动点C的轨迹Q的方程; (Ⅱ)设直线PR的方程为:y=k(x﹣1),k≠0,代入椭圆方程,得(3+4k2)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0,设P(x1,y1),R(x2,y2),S(x1,﹣y1),由已知条件推导出直线RS的方程,取y=0求得x=4,说明直线RS过x轴上的定点(4,0). 【解答】(Ⅰ)解:∵sinAsinB+3cosC=0,∴sinAsinB=﹣3cosC=3cos(A+B)=3(cosAcosB﹣sinAsinB), ∴4sinAsinB=3cosAcosB,即tanAtanB=,∴kAC?kBC=, 设C(x,y),又A(﹣2,0),B(2,0), ∴有(y≠0), 整理得,(y≠0). ∴动点C的轨迹Q的方程为,(y≠0); (Ⅱ)证明:设直线PR的方程为:y=k(x﹣1),k≠0, 代入,得:(3+4k2)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0, △=(﹣8k2)2﹣4(3+4k2)(4k2﹣12)>0, 设P(x1,y1),R(x2,y2),S(x1,﹣y1), 则,, 则直线RS的方程为y﹣y2=(x﹣x2), 令y=0得:x== == ==4. ∴直线RS过定点(4,0). (二)选考题:共10分.请在第22,23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程] 22.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ. (Ⅰ)求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程; (Ⅱ)设点P(1,0),直线l与曲线C相交于A,B,求的值. 【分析】(Ⅰ)由(t为参数)直接消去参数t,可得直线的普通方程,把ρ=4cosθ两边同时乘以ρ,结合ρ2=x2+y2,x=ρcosθ可得曲线的直角坐标方程; (Ⅱ)把代入x2+y2﹣4x=0,化为关于t的一元二次方程,利用根与系数的关系及参数t的几何意义求解. 解:(Ⅰ)由(t为参数),消去参数t,可得. ∵ρ=4cosθ,∴ρ2=4ρcosθ,即x2+y2﹣4x=0. ∴曲线的直角坐标方程为(x﹣2)2+y2=4; (Ⅱ)把代入x2+y2﹣4x=0,得. 设A,B两点对应的参数分别为t1,t2, 则,t1t2=﹣3. 不妨设t1<0,t2>0, ∴=. 23.已知a,b∈(0,+∞),a(1﹣b)=b(a﹣1),f(x)=|2x+1|+|x﹣2|. (Ⅰ)求a2+b2的最小值; (Ⅱ)若对任意a,b∈(0,+∞),都有f(x)≤4(a2+b2),求实数x的取值范围. 【分析】(Ⅰ)化简a(1﹣b)=b(a﹣1),转换为:a2+b2=(a2+b2)(+)2利用基本不等式求最小值即可;(Ⅱ)由(Ⅰ)转化f(x)≤4(a2+b2),即:|2x+1|+|x﹣2|≤8;讨论去绝对值可求得实数x的取值范围. 解:(Ⅰ)∵a,b∈(0,+∞),a(1﹣b)=b(a﹣1) ∴a+b=2ab.∴+=1; a2+b2=(a2+b2)(+)2=[2+++2(+)]≥(2+2+2×2)=2; 当且仅当:=且=时,即:a=b=1时取等号; 所以a2+b2的最小值为:2; (Ⅱ)由(Ⅰ)知,(a2+b2)min=2; 对任意a,b∈(0,+∞),都有f(x)≤4(a2+b2). ∴f(x)≤8,即:|2x+1|+|x﹣2|≤8;讨论去绝对值: 既有:2x+1<0,﹣2x﹣1﹣x+2≤8;① 或者:2x+1≥0,x﹣2≤0,2x+1﹣x+2≤8;② 或者:x﹣2>0,2x+1+x﹣2≤8,③ 解①②③可得:﹣≤x≤3, 实数x的取值范围是[﹣,3].

    • 2020-04-05
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