欢迎您,[登录][注册] (您的IP:3.226.241.176)
学科导航 >
个人主页

作者信息

21jy_531160405

资源 文章 汇编
  • ID:3-7730919 苏科版数学九年级上册第1章一元二次方程复习学案

    初中数学/苏科版/九年级上册/第1章 一元二次方程/本章综合与测试

    1

    • 2020-08-16
    • 下载2次
    • 491.14KB
  • ID:3-7680010 苏科版七上第6章平面图形的认识(1)知识点讲解

    初中数学/苏科版/七年级上册/第6章 平面图形的认识(一)/本章综合与测试

    线段、射线和直线 线段、射线和直线关系: 直线和射线、线段是整体与部分的关系: (1)射线和线段都是直线的一部分。 (2)在射线上取一点可得线段。 (3)在直线上取一点可得两条射线,取两点可得一条线段。 线段的画法: (1)画线段时,要画出两个端点之间的部分,不要画出向任何一方延伸的情况. (2)“连结 ”就是指画以A 、B 为端点的线段. 线段的表示方法: (1)用它的两个端点的大写字母来表示; (2)线段也可以用一个小写字母来表示。 线段AB;线段ɑ 表示:线段AB或线段BA或线段a 射线的画法: (1)画射线一要画出射线端点 ; (2)要画出射线经过一点,并向一旁延伸的情况. 表示:射线AB 射线的表示方法: 射线AB;(端点字母写在前,射线AB和射线BA不同) 表示:射线BA 直线的画法: 只能画出一部分,不能画端点。 直线的表示方法: 表示:直线MN或直线NM或直线a 在直线取两点MN,表示为直线MN或直线NM,或直线a; 线段、射线和直线比较: 相同点:它们都是由无数个点构成的,都是直的,都没有粗细。 不同点:⑴从端点上看:线段有两个端点,射线有一个端点,直线没有端点; ⑵线段不能延伸,可度量;射线向一方无限延伸,直线向两个方向无限延伸,都不可度量。 重要知识点: (1)两点之间的所有连线中,线段最短。我们把这条线段的长,就叫做这两点之间的距离;两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离 (2)经过一点可以画无数条直线; (3)经过两点只可以画一条直线; (4)线段上有一点B,点B把线段AC分成两条相等的线段AB和BC,点B叫做线段AC的中点。(注意:B点一定要在线段上取。) 若AB=AC 则:点B为线段AC的中点 角 角的概念: (1)角是两条有公共端点的射线所组成的图形,这个公共端点叫这个角的顶点。 (2角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置的所形成的图 形。射线的端点叫做角的顶点,起始位置的射线叫做角的始边,终止位置的射线叫做角的终边。 角的表示: 角的符号表示为“∠”,对于一个角可以有四种表示方法: (1)用三个大写英文字母表示出任何一个角,如∠AOB(顶点字母在中间); (2)用小写的希腊字母表示单独的一个角,如∠α,∠β,∠γ; (3)角可以用它的顶点字母表示,如∠O;(前提是以O为顶点的角只有一个); (4)用数字书写在角的内部来表示,如∠1、∠2等. 图文说明: 表示:∠AOB或∠O或角α ∠AOB不能用∠O表示 角的分类: 直角:平角(180°)的一半,叫直角,1直角=90° 锐角:小于直角的角,叫锐角,0°<锐角<90° 钝角:大于直角且小于平角的角,叫钝角,90°<钝角<180° 角的度量单位及换算: 以度、分、秒为基本单位的角的度量制,叫做角度制。度、分、秒的意义如下: 把一平角180等分,每一份就是1度的角,记作1°; 把1度的角60等分,每一份就是1分的角,记作1′; 把1分的角60等分,每一份就是1秒的角,记作1″。 1°=60′,1′=60″,1°=3600″; 1″=()′,1′=()°,1″=()°; 1周角=360°,1平角=180°。 角的比较方法: 角的大小即是它们的度数的大小,角的比较方法有两种: 度量法:(利用量角器) 叠合法:先把两个角的顶点与顶点重合,一条边与一条边重合。再比较另外两边的位置,从而确定这两个角的大小。(利用圆规和直尺) 用直尺和圆规作一个角等于已知角步骤: 作法:①以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交0A,0B于点C,D; ②画一条射线,以点为圆心,OC长为半径画弧L,交于点; ③以点为圆心,CD长为半径画弧,交弧L于点; ④过点画射线,则就是与∠AOB相等的角。 角平分线的定义: 从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个相等的角; 如图:射线OC把∠AOB分成两个相等的角,射线OC叫做这个角的平分线。 ∠BOC=∠COA 射线OC是∠BOA的角平分线 方位角: 其实就是表示方向的角,这种角以正北,正南方向为基准描述物体的方向,如“北偏东 30°”, “南偏西 40°”等,不能以正东,正西为基准,如不能说成 “东偏北 60°,西偏南 60°”等, 通常我们说成东北方向,表示北偏东45°,东南方向,表示南偏东45°, 西北方向,表示北偏西45°,西南方向,表示南偏西45°, 如图: 点A在点B的正西方向; 点B在点A的正东方向; 点B在点C的西北方向; 点C在点B的东南方向; 点C在点D的东北方向; 点D在点C的西南方向; 点A在点D的北偏西25°方向; 点D在点A的南偏东25°方向; 余角、补角和对顶角 互余: 如果两个角的和是一个直角,那么这两个角互为余角,简称互余,其中的一个角叫做另一个角的余角。 互补: 如果两个角的和是一个平角,那么这两个角互为补角,简称互补。其中的一个角叫做另一个角的补角。 注意:(1)若∠α+∠β=,则∠α与∠β互余;反之,若∠α与∠β互余,则∠α+∠β=,或∠α=-∠β,或∠β=-∠α。 (2)若∠α+∠β=,则∠α与∠β互补:反之,若∠α与∠β互补,则∠α+∠β=,或∠α=-∠β,或∠β=-∠α。 (3)互余、互补均指的是两个角之间的关系,不存在“哪个角是余角”的说法 (4)互余、互补是指两角之间在数量(度数)上的特殊关系,与它们之间的位置无关。 对顶角: 如图,直线AB、CD相交于点O,我们把其中的∠1和∠2叫做对顶角,∠3与∠4也是对顶角。对顶角是由两条直线相交所得,属于隐含条件,只要已知两条直线相交,就等于告诉存在对顶角。 ∠1=∠2 对顶角 ∠3=∠4 对顶角 注意:(1)互为对顶角的两个角有公共顶点,一个角的两边是另一个角两边的反向延长线。(如果两个角的两边不在同一条直线上,就不是对顶角。) (2)对顶角的性质:对顶角相等。但是不能说相等的角是对顶角。 ∠1和∠2不是对顶角, 两个角的边不在同一条直线上 平行、垂直 平行线的定义: 在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线。 平行线的表示: 图中的两条直线互相平行,记作a∥b,也可以记作AB∥CD(或CD∥AB)。 图文说明: 说明:AB∥CD a∥b 注意:(1)“在同一平面内”是定义的前提条件,是相对于空间而言的; (2)“不相交”是平行线的特征; (3)平行线是指两条直线平行,而不是射线或线段,两条射线或两条线段平行,是指它们所在的直线平行。 两条直线的位置关系: 在同一平面内,两条直线的位置关系有两种:相交(垂直)、平行。 平行的性质: 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 注意:“有且只有”的含义: (1)“有”表示存在性;(2)“只有”表示唯一性。 垂直的定义: 如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角,那么这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足。 垂直的表示: 图中的两条直线互相垂直,记作a⊥b或AB⊥CD,其中点O是垂足。 图文说明: 说明:AB⊥CD或a⊥b 点O是垂足 注意:(1)两线段垂直、两射线垂直、线段与射线垂直、线段或射线与直线垂直,其中的线段、射线都是指它们所在的直线。 (2)垂直于垂线是两个不同的概念,垂直是指两条直线的一种特殊位置关系;而垂线是这种特殊位置关系下的一条直线,它是指图形本身。 垂线的性质: 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 注意:(1)“有且只有”的含义:“有”表示存在性;“只有”表示唯一性; (2)“过一点”的点可以是直线外的点,也可以是直线上的点; (3)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短。***** 点到直线的距离: 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。 注意:(1)点到直线的距离是指“垂线段的长度”,是指一个数量,而垂线或垂线段是一个图形,故不能说“垂线段是点到直线的距离” (2)点到线段或点到射线的距离,是指点到线段或射线所在直线的距离,有时要将线段延长或将射线反向延长。

    • 2020-08-05
    • 下载1次
    • 102.31KB
    进入下载页面

    免费资料

  • ID:3-7677785 [精]第二章 轴对称图形知识点总结剖析

    初中数学/苏科版/八年级上册/第二章 轴对称图形/本章综合与测试

    中小学教育资源及组卷应用平台 轴对称图形 轴对称: 把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么称这两个图形关于这条直线对称,也称这两个图形成轴对称; 注意:其中这条直线叫对称轴; 两个图形的对应点叫对称点; 轴对称图形: 如果把一个图形沿一条直线折叠,如果直线两旁的部分能够互相重合,那么称这个图形是轴对称图形; 注意:轴对称图形也有对称轴和对称点; 轴对称和轴对称图形的区别于联系: 区别:1、轴对称是指两个图形折叠重合。轴对称图形是指本身折叠重合, 轴对称对称点在两个图形上;轴对称图形对称点在一个图形上; 3、轴对称只有一条对称轴;轴对称图形至少有一条对称轴; 联系:若把成轴对称的两个图形看作一个整体,那么这个整体是一个轴对称图形; 若把一个轴对称图形位于对称轴的两部分看作两个图形,那么这两个图形 就成轴对称。 图文解释: △ABC和△DEF关于直线MN对称, △ABC关于直线MN对称 MN是对称轴,我们称这两个三角形关于 MN为对称轴,我们称 直线MN成轴对称,点C点F为对称点, △ABC为轴对称图形。 点B点E为对称点,点A点D为对称点。 轴对称的性质: 成轴对称的两个图形全等; 成轴对称的两个图形,对应点的连线被对称轴垂直平分; 垂直平分线: 作点关于直线的对称点,连接这两点的线段。我们定义:垂直并且平分一条线段的直线,叫作这条线段的垂直平分线。又称“中垂线” 注意:判断一条直线是否是线段的垂直平分线,必须满足两个条件。 这条直线过线段的中点; 这条直线垂直于线段; 通过研究线段或者某个图形关于直线的对称: 轴对称还有如下的性质: 成轴对称的两个图形中,对应点的连线被对称轴垂直平分。 注意:这个性质其实告诉如何确定对称轴: 即成轴对称的两个图形,对称轴是对应点连线的垂直平分线。 画一个图形关于一条直线对称的图形步骤: 首先我们要明白一个事实:点构成线,线构成面。 关键是确定某些点关于这条直线的对称点。 顺次将对称点连接起来。 (注意:成轴对称的两个图形的任何对应的部分也成轴对称!!!) 图文解析: 画点关于直线的对称点: ①画AO⊥L,垂足为O; ②在AO的延长线上截取OA’使得OA’=OA; 则点A’就是点A关于直线L的对称点。 画线段关于直线的对称点: ①先画出点A点B分别关于直线L的对称点A’、B’; ②连接点A’、B’; 则线段A’B’是线段AB关于直线L的对称线段。 画一个图形关于直线的对称点: ①先画出点A、B、C分别关于直线L的对称点A’、B’、C’; ②顺次连接点A’、B’、C’; 则图形是图形ABC关于直线L的对称图形。 如果要确定成轴对称两个图形的对称轴,只要做一对对称点连线的垂直平分线。 线段、角的轴对称性 线段的对称轴:线段的垂直平分线就是它的对称轴。 角的对称轴:角平分线所在的直线是它的对称轴。 注意:1、角和线段都是轴对称图形 2、角只有一条对称轴。 3、线段有两条对称轴,除了它的垂直平分线,还有它本身所在的直线。 线段垂直平分线的性质定理: 线段垂直平分线上的点线段两端的距离相等; 线段垂直平分线的判定定理: 到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上; (由两个定理可得:线段的垂直平分线是到线段两端距离相等点的集合!!!) 角平分线的性质定理: 角平分线上的点到角的两边距离相等; 角平分线的判定定理: 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上; 用尺规作线段AB的垂直平分线步骤: 分别以点A、B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点C、D. 过C、D两点作直线。直线CD就是线段AB的垂直平分线。 AO=B0 AB⊥CD 用尺规作∠AOB的平分线步骤: 以O为圆心,适当长为半径画弧,交OA,OB为点D,点E; 分别以点D,点E为圆心,大于DE长度为半径画弧,两弧交于点C; 过O,C两点作直线,直线OC就是∠AOB的角平分线。 若过点C分别作OA和OB的垂线,通过全等三角形的证明,可以得到角平分线上的点到角的两边距离相等。 等腰三角的轴对称性 等腰三角形的对称轴:顶角平分线所在直线是它的对称轴。 根据等腰三角形是轴对称图形我们可以得到如下定理: 等腰三角形的底角相等(简称“等边对等角”) 等腰三角形底边上的中线、高线及顶角平分线重合(简称“三线合一”) 利用三角形的全等可证明上述定理: 图文:已知等腰△ABC 作顶角的平分线 作底边的垂线 作底边的中线 ∵AB-AC ∠1=∠2 AD=AD ∵AB-AC AD⊥BC AD=AD ∵AB-AC BD=DC AD=AD ∴△ABC≌△ACD(SAS) ∴△ABC≌△ACD(HL) ∴△ABC≌△ACD(SSS) ∴∠B=∠C BD=DC AD⊥BC ∴∠B=∠C BD=DC ∠1=∠2 ∴∠1=∠2 ∠B=∠C AD⊥BC 用尺规作等腰三角形ABC步骤: 使得底边BC=a,高AD=h 作线段BC=a; 作线段BC的垂直平分线MN,MN交BC于点D; 在MN上截取线段DA,使得DA=h; 连接AB,AC;则△ABC为所求作的等腰三角形。 等腰三角形的判定:有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”) 等边三角形的判定:1、三边相等或三个角都相等的三角形是等边三角形。 2、有一个角是60°的三角形是等边三角形。 等边三角形的性质:1、等边三角形是特殊的等腰三角形,它具有等腰三角形的一切性质; 2、有三条对称轴; 3、每个内角都是60° 直角三角形的性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 注意:1、若三角形的一边中线等于该边长的一半,那么三角形为直角三角形。 2、若有一个角为30°的直角三角形,那么30°所对的边是斜边的一半。 图文说明: 在AB上取一点D, CD为△ABC的中线 在AB上取一点使得 使得∠BCD=∠B 且CD=AB AD=CD 即BD=CD ∵AD=BD=CD ∵∠A=30° AD=CD ∵∠BCA=90° ∴∠B=∠DCB ∴∠BDC=60° ∴∠BCD+∠DCA=90° ∠A=∠DCA ∵∠ACB=90° ∠B+∠A=90° ∵∠A+∠B+∠DCA+∠DCB=180° ∴∠B=60° ∴∠A=∠DCA ∴∠DCA+∠DCB=90° ∴△BCD为等边三角形 ∴AD=CD ∴∠ACB=90° ∴BC=CD=BD=AD 即AD=CD=BD ∴BC=AB (直角三角形斜边的 (三角形的一边中线等于该边 (在直角三角形中,30° 中线等于斜边的一半) 的一半,那么三角形 所对的边是斜边的一半) 为直角三角形。) 拓展知识点: 如图,△ABC中,AB,AC的垂直平分线,L1,L2相交于点O, 求证:求证点O在BC的垂直平分线上。 证明:连接OA、OB、OC ∵点O是AB、AC边的垂直平分线的交点 ∴OA=OB OA=OC (垂直平分线的点到线段的两端距离相等) ∴OB=OC ∴点O在BC的垂直平分线上 (到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上) (注意:此题引出三角形的外心定义:三角形三条边垂直平分线的交点为三角形的外心。三角形外心到三角形三个顶点距离相等!!!) 如图,△ABC的角平分线AD,BE相交于点P, 求证:点P在∠C的平分线上。 证明:过点P分别作PF⊥AB,PM⊥BC,PN⊥AC 垂足分别为点F、M、N ∵点P是∠ABC、∠BAC平分线的交点 ∴PF=PM PF=PN (角平分线上的点到角的两边距离相等) ∴PM=PN ∴点P在∠ACB的平分线上。 (角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上) (注意:此题引出三角形的内心定义:三角形三个内角平分线的交点为三角形的内心。三角形内心到三角形三条边距离相等!!!) 如图,△ABC的两个内角∠BAC、∠BCA的外角平分线相交于点P, 求证:点P在∠B的平分线上。 证明:过点P分别作PM⊥AB,PN⊥BC,PF⊥AC 垂足分别为点M、N、F ∵点P是∠BAC、∠BCA的外角平分线的交点 ∴PM=PF、PN=PF、 (角平分线上的点到角的两边距离相等) ∴PM=PN ∴点P在∠B的平分线上。 (角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上) (注意:此题引出三角形的旁心定义:三角形一个内角平分线和其它两个内角的外角平分线的交点为三角形的旁心。三角形的旁心到三角形三条边距离相等!!!) _21?????????è?????(www.21cnjy.com)_

    • 2020-08-05
    • 下载3次
    • 1228.44KB
    进入下载页面

    需要精品点:1个

  • ID:3-7653870 苏科版数学八上第5章平面直角坐标系知识点讲解

    初中数学/苏科版/八年级上册/第五章 平面直角坐标系/本章综合与测试

    • 2020-08-01
    • 下载1次
    • 163.12KB
    进入下载页面

    免费资料

  • ID:3-7642149 苏科版八年级下册第9章 中心对称图形中心对称图形知识点复习学案

    初中数学/苏科版/八年级下册/第9章 中心对称图形——平行四边形/本章综合与测试

    • 2020-07-29
    • 下载3次
    • 513.88KB
  • ID:3-7642058 [精]【备考2021】中考数学一轮 “阿氏圆”经典讲解剖析 学案

    初中数学/中考专区/一轮复习

    中小学教育资源及组卷应用平台 阿式圆专题 知识点回顾: 轨迹为圆的几何条件: 一、一动点到一定点的距离不变,此动点的轨迹为圆; 二、定角对定长,也叫“隐形圆” 注意:1、定长表示线段的长度和位置不变; 2、定角为90°,角的顶点的轨迹为圆,定角不为90°,角的顶点的 轨迹为一段圆弧; 阿式圆定义: 已知平面两个定点A、B到一动点P的比值为一定值k(k≠1),那么这个动点P的轨迹是一个圆。 注意:1、此圆与直线AB交于点E和点F,点E以定比内分线段AB,点F以定比外分线段AB; 2、k=1,此动点在定线段的垂直平分线上。 图文: ,且 解题思路:1、连接动点至圆心,即连接OP,再连接其中一个定点于圆心,即连 接OB,为了确定另一个定点也在直线OB上; 2、计算OB和OP的长度,确定比值=K; 3、在OB上取一点,A,使==K,得三角形相似即△POA∽△BOP; 4、根据△POA∽△BOP,可得PA=K·PB,可将PB和PA进行转换。 阿式圆总结:遇到“PA+k·PB”型的最值问题,要将系数为K的线段转化为系数为1的线段,即要考虑k·PB=PC。求PA+k·PB可转化为PA+PC. 图1 图2 图3 关键在于确定点C的位置,当点A、P、C三点共线时,PA+PC.最小, 即PA+k·PB值最小。 (提示:PA+k·PB=(PA+PB),所以也可以将PA转化为系数为1的线段。) 相关例题: 如图,点A、B在圆O上,且OA=OB=6,且OA⊥OB,点C是OA的中点,点D在OB上,且0D=4,动点P在圆O上,则2PC+PD的最小值为 。 解题思路:连接OP,圆上一动点P,OA上有一定点C,由阿式圆 可得,直线OA上肯定存在另一定点E,使得为 定值。因为题目中出现了2PC,所以=,将 2PC转化为PE.由△POC∽△EOP可得=,OE=12. 求2PC+PD的最小值,即求PE+PD最小值,当P、E。D 三点共线时,PE+PD最小。 证明:此题套用“阿式圆”模型。还用到两点之间线段最短。 变式:1、如何求PC+PD的最小值?提示:可提取,即PC+PD=(2PC+PD)。 2、如何求PC+PD的最小值? 解题思路:关键将PD进行转化,定点E肯定在直线OD上, =,即PD=PE.由△POD∽△BOP。可得= OE=9,当C、P。E 三点共线时,PC+PE最小。 已知∠ACB=90°,CB=4,CA=6,⊙C半径为2,P为圆上一动点. 求的最小值为 求的最小值为 解题思路:(1)连接PC,将BP转化为系数为1的线段,点P为 圆上的动点,B是定点,那么直线CB上肯定存 在另外一定点D,使得为定值,由△PCD∽△BCP 可确定点D的位置,即CD=1,即BP=PD. (2)连接PC,将AP转化为系数为1的线段,点P为 圆上的动点,A是定点,那么直线CA上肯定存 在另外一定点E,使得为定值,由△PCE∽△ACP 可确定点E的位置,即CE=,即AP=PE. 如图,四边形ABCD为边长为4的正方形,⊙B的半径为2,P是⊙B上 一动点,则PD+PC的最小值为   ;PD+4PC的最小值为   . 解题思路:连接PB,点P为圆上的动点,若将点D看作定点 则另外一个定点在直线BD上,若将点C看作定点, 则另外一个定点在直线BC上。 如图,AB为⊙O的直径,AB=2,点C与点D在AB的同侧,且AD⊥AB,BC⊥AB,AD=1,BC=3,点P是⊙O上的一动点,则PD+PC的最小值为 解题思路:连接PO,点P为圆上的动点,将PD转化为系数为1 的线段,点D是定点,则OD上肯定存在另外一定点E。 (连接OD,取OD得中点即为点E.) 例题解析: 如图,在平面直角坐标系中,点A(4,0),B(4,4),点在半径为2的圆O上运动,则的最小值为 提示:取OE得中点D,由阿式圆可得:,所以最大值为(用两点坐标公式可求的BD长) 用了两次阿式圆: 正方形ABCD的边长为4,AE=DF,AN=1,求 提示:,由阿式圆可得:, ,所以,最大值为 (过点D’作AB的垂线,运动勾股定理可求得的长) 其中, _21?????????è?????(www.21cnjy.com)_

    • 2020-07-29
    • 下载1次
    • 1383.29KB
    进入下载页面

    需要精品点:2个

  • ID:3-7640642 苏科版八年级数学下册二次根式知识点经典讲解

    初中数学/苏科版/八年级下册/第12章 二次根式/本章综合与测试

    • 2020-07-27
    • 下载3次
    • 183.91KB
  • ID:3-7640065 [精]苏科版(九上) 第2章 对称图形——圆有关的知识点 学案

    初中数学/中考专区/二轮专题

    圆 圆的定义: 在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径。 以点O为圆心的圆记作“⊙O”,读作“圆O” 注意:圆的的位置由圆心决定,圆的大小由圆的半径决定。 圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合,定点是圆心,定长是半径。 图文: 点和圆的位置关系: 设⊙O的半径是r,点P到圆心O的距离为d,则有: dr点P在⊙O外。 图文: 点P在圆O内 d<r 点P在圆O上 d=r 点P在圆O外 d>r 圆的有关概念: 同心圆:圆心相同,半径不相等的圆; 等 圆:能够互相重合的圆叫等圆;(或者半径相等的圆); 弦: 连接圆上任意两点的线段 ; 直 径:过圆心且的端点在圆上的线段叫直径。(或者过圆心的弦); 弧: 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,用符号“⌒”表示; 优 弧:大于半圆的弧; 劣 弧:小于半圆的弧; 圆心角:顶点在圆心的角; 圆周角:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角; 弓 形:由弦及其所对的弧组成的图形; 弦心距:从圆心到弦的距离; 注意:1、同圆或等圆的半径都相等,或者半径相等的圆叫等圆或同圆; 直径是最长的弦,直径是弦,但是弦不一定直径; 弧可以分为优弧、劣弧和半圆;优弧大于劣弧; 半圆是弧,但是弧不一定是半圆; 能够互相重合的弧叫等弧,若只是说度数或长度相等都不叫等弧; 圆周角必须要强调角的两边与圆有交点,而圆心角不需要; 图文: 同心圆 等圆 弦:弦CD,弦AB 圆周角:∠BAC 直径:AB圆O的直径 圆心角:∠BOC 优弧: 劣弧: 弦心距:OE 圆的对称性 圆的对称性: 一个圆绕圆心旋转任何角度后,都能与自身重合。圆是旋转对称图形; 圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心; 3、圆是轴对称图形,任意一条直径所在的直线都是它的对称轴; 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系: 定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦和弦心距相等。 推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距,若有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等(由一推三)。 注意:比较这四组量,必须放到同圆或等圆中,才能是一一对应的关系; 圆心角的度数与她所对的弧的度数相等的;比如说30°的圆心角对应 30°的弧; 图文说明: 在同圆或等圆中: 圆心角∠AOB所对的弦AB,弧,弦心距OE。 圆心角∠DOC所对的弦CD,弧,弦心距OF 若其中一个量相等,则剩下的量分别对应相等; 如∠AOB=∠DOC,则AB=CD,=,OE=OF; 弧的度数:10°的圆心角所对的弧的度数为10° n°的圆心角所对的弧的度数为n° 垂径定理及其推论: 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。 推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。 平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。 注意:垂直于的弦的直径平分弦、平分于弦的直径垂直弦(后者的弦不能为直径);总结: (1) 简单的理解成,对于任意一个圆,有一条直线。若这条直线满足: ①过圆心②垂直弦③平分弦 ④平分弦所对的劣弧⑤平分弦 所对的优弧弧: 只要满足其中任意的两个条件,那么它也会满足剩下的三个条件; (2)在垂直定理中,常涉及弦长a、弦心距d.半径R及弓形高h (弦所 对的弧的中心到弦中心的距离),这四者之间的关系,如图: ,; (3)在同圆中,團的两条平行线所夹的弧相等,如图,若AB//CD.则 = 图文解释: 若一条直线过圆心,垂直于弦, AB=a 若AB∥CD,则= 那么这条直线就平分弦,平分弦 证明:如图由垂径定理得: 所对的劣弧和优弧; ∠AOE=∠BOE ∠COF=∠DOF (即由①②推出③④⑤) 所以,∠AOC-∠BOB, 若以其中任意两个作为条件,那么 即= 就会直接推出剩下的三个; (同圆中相等的圆心角所对的弧相等) (即由二推三) 确定圆的条件 确定圆的条件: 经过一点可以作无数个圆; 过两个定点可以作无数个圆; 不在同一条直线的三个点确定一个圆。 三角形的外接圆: 定义:三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫作三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的外心。 注意:1、三角形的外心到三角形的三个顶点相等,对于三角形来说,圆叫 做三角形的外接圆,对于圆来说,三角形叫做圆的内接三角形. 2、任意一个三角形都有一个外接圆,而一个圆有无数个内接三角形. 3、锐角三角形的外心在三角形的内部,直角三角形的外心在斜边的中点, 钝角三角形的外心在三角形的外部。 三角形外接圆的作法: 作三角形任意两边的垂直平分线,确定其交点; 以该交点为圆心,以交点到三个顶的中任意一点的距离为半径作圆。 注意:我们可以以此方法确定任意一个圆或一段圆弧的所在的圆心。 (在圆上或圆弧上任意画两条弦,分别做这两条弦的垂直平分线,交点就是圆心) 图文: △ABC外接圆的做法: 确定圆弧所在圆的圆心的方法: 圆O是△ABC外接圆的圆心。 圆周角 定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半, 推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧 是等弧;(简称:“等弧对等角,等角对等弧”) 推论2:半圆或直径所对的圆周角是90°;圆周角是90°所对的弧是半圆,所对的弦是直径。(简称:“直径对直角,直角对直径”见直径找直角) 推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 即直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 注意:(1)圆周角就是具有公共端点的两条弦所夹的角; (2)同一条弧所对的圆周角有无数个。 (3)一条弧只对应一个圆周角,而一条弦对应两个圆周角,是互补关系。 图文说明: 所对的圆周角有、、、,它们都相等。 (同弧所对的圆周角相等) 弦BC所对的圆周角有两个,分别为、,且它们是互补的关系。 特殊的当BC为直径时 圆的的内接四边形: 定义:一个四边形的4个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆的内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆。 定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。 图文说明: 如图圆的内接四边形ABCD, 对角互补 ∠A+∠DCB=180°,或∠B+∠D=180° 外角等于内对角∠DCE=∠A, 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系: 相交:直线与圆有两个公共点时; 相切:直线与圆有唯一公共点时,这条直线叫做圆的切线,这个点叫做圆的切点; 相离:直线与圆没有公共点时。 总结:如果⊙O的半径为r,圆心O到直线L的距离为d,那么: 直线L与⊙O相交 d<r 两个交点; 直线L与⊙O相切 d=r 一个交点; 直线L与⊙O相离 d>r 无交点; 图文说明: d<r 直线L与圆O相交 d=r 直线L与圆O相切 d>r 直线L与圆O相离 圆的切线: 定义:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线; 两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 图文说明: 性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图) 推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上定理及推论也称二推一定理: ①过圆心;②过切点;③垂直切线。只要满足其中的两个条件,就可以推出剩下的一个条件。 圆的切线判定方法: (1)如果已知直线上有一个点在圆上,连接圆心和圆上这个点,得到半径,再证这个半径与这条直线垂直。 (简称:“连半径,证垂直”) (2)如果已知直线不确定是否与圆有交点,则过圆心作这条直线的垂线,得到垂线段,再证这条垂线段与半径相等。 (简称:“作垂直,证半径”) 总结:有交点连半径,无交点作垂直。 图文说明: 连半径,证垂直: 作垂直,证半径: 点A是直线L上的一点,证明L是 不确定直线L与圆O是否有交 圆O的切线,连接OA,OA=r,如果 点,可过点O作直线L的垂线, 判断出OA⊥L,可证明L是圆O的切线。 与直线L交于点A,如果判断出 OA=r,可证明L是圆O的切线。 切线长和切线长定理: 定义:在经过圆外一点的圆的切线上,这点与切点之间的线段长,叫做这点到圆的切线长。(区别于切线,切线是直线,切线长是线段) 定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆外的这点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。 图文说明: 图一 图二 如图一:PA是圆o的切线长。 如图二:PA和PB是圆O的两条切线长,且由切线长定理,可得PA=PB。 可通过△PA0≌△PBO证明 三角形的内切圆: 定义:与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。内切圆的圆心叫做三角形的内心 注意:1、三角形的内心到三角形的三条边距离相等,对于三角形来说,圆叫 做三角形的内切圆,对于圆来说,三角形叫做圆的外切三角形. 2、任意一个三角形都有一个内切圆,而一个圆有无数个外切三角形. 3、锐角、钝角、直角三角形的内心都在三角形的内部; 三角形内切圆的作法: 1、作三角形任意两个角的平分线,确定其交点; 2、过该交点分别作三角形三边的垂线; 3、以该交点为圆心,交点到任意一边的距离为半径作圆。 图文: 圆O是△ABC内切圆的圆心 关三角形内切圆半径的计算: 在△ABC,AC=b ,BC=a, AB=c,三角形的面积为:,内切圆半径为: (1)一般三角形的内切圆的半径:= (2)若∠C=90°则三角形内切圆的半径:r=== ; (3)S△ABC== 其中:。 正多边形与圆 正多边形: 定义:各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形。 正多边形和圆的关系: 只要把一个圆分成n(n≥3)等分,依次连接各个点就能得到这个圆的内接正n边形,这个圆就是这个正n边形的外接圆。 正多边形的概念: 正多边形的中心:正多边形的外接圆的圆心: 正多边形的半径:正多边形的外接圆的半径: 正多边形的边心距:正多边形的中心到正多边形各边的距离: (注:边心距也叫正多边形内切圆的半径) 正多边形的中心角:正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角。 有关正多边形的计算: 正n边形的n条半径把正n边形分成n个全等的等腰三角形; 正n边形的中心角为:; 如果一个正多边形的半径为R,边长为a,则边心距r为:。 图文说明: 正三角形 正四边形 正六边形 正多边形的对称性 : 正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴,每条对称轴都通过正n边形的中心。如果n为偶数,那么它又是中心对称图形,对称中心是正多边形的中心。 弧长与扇形的面积 弧长公式: n°的圆心角所对的弧长: 注意:式子中、,是变量,知道了任意的两个量,就可以求出第三个量。 图文: 扇形面积公式: (是n°的圆心角所对的弧长,是扇形的半径) 注意:扇形的计算公式有两个,做题时要灵活运用,已知圆心角和扇形的半径用公式:,已知扇形的弧长和扇形的半径用公式:。 图文: 扇形的侧面积公式: (是圆锥母线长,是圆锥底面圆的半径。) 注意:(1)从圆锥到扇形要注意两个对应: 1、圆锥的母线即侧面展开后所得扇形的半径; 2、圆锥底面圆的周长即侧面展开后所得扇形的弧长; (2)若已知圆锥的高,底面圆的半径,则母线长= (3)圆锥的全(表)面积为圆锥的侧面积+圆锥的底面积,即: =+. 图文: 圆的知识点补充 圆和圆的位置关系: 相离:如果两个圆没有公共点,分外离和内含两种; 相切:如果两个圆只有一个公共点,分为外切和内切两种; 相交:如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交。 圆心距: 两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。 圆和圆位置关系的判定: 设两圆的半径分别为R和r,圆心距为d,那么: 两圆外离d>R+r 图一 两圆外切d=R+r 图二 两圆相交R-rr) 图四 两圆内含dr) 图五 注意:若两圆相切,那么切点一定在连心线上,它们是轴对称图形,对称轴是两圆的连心线; 若两圆相交,两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦(两圆公共弦定理)。 图文说明: 两圆公共弦定理: 两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。 图文说明: 定理:OO垂直平分AB(AB为两圆的公共弦) 圆的公切线: 和两个圆相切的直线叫做这两个圆的公切线。 _?¤??????????_;两个圆在公切线的_?????§_; _????????????_:两个圆在公切线的_?????§_; 两圆公切线长的计算公式: 图文说明: 内共切线: 外共切线: 圆幂定理: (1)弦切角:角的顶点在圆周上,角的一边是圆的切线,另一边是圆的弦。 图文: 定理:弦切角等于弦所对的圆周角, 如图∠DEB为弦切角,弦AE所对的圆周角为∠A, 则有弦切角的定理得∠DEB=∠A (2)相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。 推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 图文: 定理:PA·PB=PC·PD 由△ACP∽△DBP可证明 (3)切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交 点的两条线段长的比例中项。 图文: 定理:PB?=PC·PD 由△PCB∽△PBD可证明 (4)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。 图文: 定理:PA·PB=PC·PD 由△PAC∽△PDB可证明 米勒定理:(求最大视角问题) 已知,点A,B是∠MON的ON边上的两个定点,点C是OM边上的一动点,当△ABC的外接圆与ON相切时,此时点C为切点,∠ACB最大。 证明:在OM上任意取一点C’连接BE ∵∠AEB>∠AC’B(三角形外角性质) ∠AEB=∠ACB (同弧所对的圆周角相等) ∴∠ACB>∠AC’B 圆有关的判断 圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心:√ 圆是轴对称图形,任意一条直径所在的直线都是它的对称轴:√ 半径相等的圆是等圆:√ 能够重合的圆叫等圆:√ 过圆心的线段是直径:×(线段的端点在圆上) 在同一平面内,圆是到定点距离等于定长的点的集合:√ 三点确定一个圆:×(三点不共线) 平分弦的直径垂直于这条弦:×(这条弦不能为直径) 垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧:√ 连接圆上任意两点的线段叫弦:√ 弦是直径:×(过圆心的弦) 直径是弦:√ 和半径垂直的直线是圆的切线:×(经过半径的外端) 半圆是弧:√ 弧是半圆:×(弧可分为优弧、劣弧和半圆) 小于半圆的弧是优弧:×(小于半圆的弧是劣弧) 弧分为优弧和劣弧:×(还有半圆。就像角可分为锐角、钝角和直角) 半径相等的两个半圆是等弧:√ 度数相等的弧叫等弧:×(还要考虑半径,在同圆或等圆当才成立。) 长度相等的弧是等弧:×(同上) 能够互相重合的弧是等弧:√ 优弧大于劣弧:√ 一条弦所对的两条弧,不是优弧就是劣弧:×(这条弦有可能是直径) 一个三角形只有一个外接圆:√ 三角形的内心到三角形的三个顶点相等:×(内心是三角形三边的距离相等。) 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点:√ 三角形的内心是三角形三个角的平分线的交点:√ 三角形的内心不在三角形的内部:×(三角形内心是角平分的交点,肯定在内部。) 直角三角形的外心是其斜边的中点:√ 等弧所对的圆心角相等:√(等弧已经说明了在同圆和等圆当中了。) 相等的圆心角所对的弧相等:×(没有说明在同圆或等圆当中。) 相等的弦所对的弧相等:×(同上) 在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等:√ 顶点在圆心的角是圆心角:√ 顶点在圆周上的角是圆周角:×(且角的两边与圆相交。) 直径所对的圆周角是直角;√ 在圆的内部的四边形是圆的内接四边形:×(四边形四个顶点在圆上) 四个顶点在圆上的是圆是圆的内接四边形;√ 圆内接四边形对角相等;×(对角互补) 圆的内接四边形一个外角等于与它相邻的内对角;√

    • 2020-07-28
    • 下载2次
    • 316.1KB
    进入下载页面

    需要精品点:2个

  • ID:3-7638028 [精]【备考2021】中考数学一轮 “隐圆”知识点复习讲解 学案

    初中数学/中考专区/一轮复习

    中小学教育资源及组卷应用平台 圆专题--隐圆 知识点储备: 构造出隐圆出来,可以运用与圆有关的几何性质去解题。 1、点圆距离。 点P是圆O外一点,连接PO交圆与点A,点B,则PA是点P到圆上 的最短距离,PB为点P到圆上的最长距离。 证明:在△POB’利用到三边关系:即PO+OB’>PB’,OB’=OB PO+OB=PB>PB’.在△POA’利用到三边关系:即 PA’+OA’> OA+PA,OA=OA’,PA’>PA. 点P是圆O内一点,连接PO交圆与点A,点B,则PA是点P到圆上 的最短距离,PB为点P到圆上的最长距离。 证明:同上; 2、直径最长。 在圆中所有的弦中,直径最长。AB为直径,最长的弦。 3、点弦距离。 点P是弧AB上一动点,过圆心作弦AB的垂线交于点E,交圆O于点C,点D,若点P在劣弧AB上,当点P与点C重合,则点P到AB的最大距离为CE,若点P在优弧AB上,当点P与点D重合,则点P到AB的最大距离为DE,(此时点C为劣弧AB的中点,点D为优弧AB的中点) 证明:可以过点P作AB的平行线L,L与AB的距离就是点P到AB 的距离,当L与圆O只有一个交点时,即相切时,L与AB的距离最大,此时点P与点C重合,或点P与点D重合。 由上述结论可知:点P在圆上运动,线段AB长度固定, 当△PAB,为等腰三角形时,△PAB的面积取最大(也要分在优 弧和劣弧两种情况。) 证明:因为 △PAB底AB不变,此时AB边上的高最大,得面积也是最大的。 拓展:此时得到的△PAB的周长也是最大的。(也要分在优 弧和劣弧两种情况。) 证明:1、当点P在劣弧AB上时,如图所示:AB为定值,求△PAB的周长最大,即求PA+PB最大。延长AP,使得PC=PB, 连接CB并延长,交圆O于点D,连接AD,过点D作AC的 垂线交于点E。则四边形APBD为圆的内接四边形, ∵PC=PB ∵∠APB为定角 ∴∠C=∠PBC ∴∠ADE为定角即sin∠ADE为定值 ∵∠DAP=∠PBC(内对角相等) ∴当AD为直径时,AP+BP值最大。 ∴∠C=∠DAP 即△PAB的周长最大 ∴DA=DC ∵AD为直径 ∴AC=2AE ∴∠ABD=90° ∵AE=AD·sin∠ADE 即∠ABC=90° ∴AC=2AD·sin∠ADE ∴∠BAP+∠C=90°∠APB+∠PBC=90° ∵AP+BP=AC ∴∠BAP=∠APB ∴AP+BP=2AD·sin∠ADE ∴AP=BP 即点P为劣弧AB的 证明:2、当点P在优弧AB上时,如图所示:证明过程同上。 4、点直线距离。 点P是圆O上一点,过点O作直线L的垂线交直线L于点D,交圆O于点A,点B,则点P到直线L的最小距离为BD,最大距离为AD. 证明:可以过点P作直线L的平行线L’,L与L’的距离就是点P到L的距离,当L与圆O只有一个交点时,即相切时,当点P与点A重合,L与L’的距离最大,当点P与点B重合。L与L’的距离最小。 模型一:定点到动点定长 点A为定点,点B为动点,AB为定长, 则点B的轨迹为圆心为点A,半径为AB的圆。 如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,E是AB边的中点,F是线段BC上的动点,将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F,连接B′D,则B’D的小值是_______ 解题思路:抓住谁是定点,谁是动点,是否存在定长。如图所示:点E是定点,点B’是动点,由折叠的性质可知, EB’为定值。所以点B’的轨迹为以点E为圆心, EB’为半径的圆上运动。当点D、B’、E三点共线的时候B’D的值最小。(参照知识点储备1解题) 证明:参照知识点储备1,点圆距离。 变式:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是_____ 解题思路:同上题,不难看出点P的运动轨迹为以点F为圆心, PF为半径的圆上运动,求点P到AB的距离最小,可过点F作AB的垂线于点M,交圆 F于点P,此时,最小值为PM。根据△AMP∽△ACB可以先求出PM的值, 再根据PM=FM-FP,可算出最小值。 证明:参照知识点储备4,点直线距离。 模型二:定角对定长 1、90°所对的弦:(定角的顶点在动,定长线段位置不变) 已知AB为定线段,(长度和位置不变),C为动点,且∠ACB=90°,由直径所对的角是直角,我们可以推出动点C的轨迹为:以AB为直径的圆上的任意一点。 2、30°所对的弦:(定角的顶点在动,定长线段位置不变) 已知AB为定线段,(长度和位置不变),C为动点,且∠ACB=30°,由30°的圆周角所对的圆心角∠AOB=60°,可以确定圆心O的位置,由AB的长度,可以确定半径的大小,所以点C的轨迹为:以O为圆心,半径为A0的圆上。且只能在优弧AB上运动。 3、45°所对的弦:(定角的顶点在动,定长线段位置不变) 已知AB为定线段,(长度和位置不变),C为动点,且∠ACB=45°,由45°的圆周角所对的圆心角∠AOB=90°,可以确定圆心O的位置,由AB的长度,可以确定半径的大小,所以点C的轨迹为:以O为圆心,半径为A0的圆上。且只能在优弧AB上运动。 4、60°所对的弦:(定角的顶点在动,定长线段位置不变) 已知AB为定线段,(长度和位置不变),C为动点,且∠ACB=60°,由60°的圆周角所对的圆心角∠AOB=120°,可以确定圆心O的位置,由AB的长度,可以确定半径的大小,所以点C的轨迹为:以O为圆心,半径为A0的圆上。且只能在优弧AB上运动。 5、120°所对的弦:(定角的顶点在动,定长线段位置不变) 已知AB为定线段,(长度和位置不变),C为动点,且∠ACB=120°,可以先作出∠C’=60°,得∠C’所对的圆心角∠AOB=120°,可得圆心O的位置和半径的大小,所以点C的轨迹为:以O为圆心,半径为A0的圆上。且只能在劣弧AB上运动。 6、前面5种,都是定角的顶点在动,定长线段位置不变。还有一种就是定角的顶点不动,定长线段位置在变化。 已知∠ACB=30°且点C固定,AB为定线段,但位置在变化,这种情况下说明△ABC的外接圆在变化,也就圆心不确定,但是,可以确定△ABC的外接圆的半径还是不变的。我们可以得到以下结论:过点O作AB的垂线,交AB于点E,此时OE=AB,OC=AB,当点C、O、B三点共线时,可得CE取最大值为AB+AB。也可以理解为点C到AB的最大值为:AB+AB 题型识别: 有一条长度固定的线段,这条线段所对的张角固定不变。 总结: 定角对定长,关键在于确定圆心的位置和半径的大小。 确定圆心---圆心在定长线段的垂直平分线上,再根据圆周角与圆心角之间的关系,求出此定角所对的圆心角的大小,即可确定圆心的位置。 计算半径---根据垂径定理及锐角三角函数可求半径的大小。 如图,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠PBC,则线段CP长的最小值为 解题思路:由∠PAB=∠PBC和∠ABC=90°,可得∠P=90° AB=6,为定长且位置不变,定角∠P的顶点是动点,由定角对定长,可得动点P的轨迹为:以AB为直径的圆上,圆心为AB的中点。 取AB得中点O,连接OC,交圆O为点P,此时CP取最小值为OC-OP=2. 证明:参照知识点储备1,点圆距离。 如图,在边长为6的等边△ABC中,AE=CD,连接BE、AD相交于点P,则CP的最小值为_____ 解题思路:由等边三角形和AE=CD,可证△ABE≌△CAD, 可得∠ABE=∠DAC,∠ABE+∠BAD=60,即 ∠APD=120° AB=6,为定长且位置不变,定角∠APD的顶点是动点,由定角对定长,可得动点P的轨迹为:劣弧AB上。圆心和半径的确定可以参照模型二中第5个。连接CO交圆于点P,此时CP的最小值为OC-OP= 证明:参照知识点储备1,点圆距离。 (江苏南京中考)在△ABC中,AB=4,∠C=60°,∠A>∠B,则BC的长的取值范围是 解题思路:由定角对定长可得点C的运动轨迹,如图所示,当∠A=∠B时,BC取最小为4,当BC为直径时,可取最大值为。所以: 如图所示,边长为2的等边△ABC的,点B在X轴的正半轴运动,∠BOD=30°, 点A在射线OD上移动,则顶点C到原点的最大距离为 解题思路:此题可以参照模型二中的第6种,定角的顶点不动,定长线段位置在变化。由此可得 △OAB的外接圆在变化,但是半径不变,取 任意一个位置作出△OAB的外接圆,如图所 示,此时可取AB的中点F,无论在什么时刻, OE、EF、CF的长度是不变的,当点O、E、F、 C四点共线时,OC值取最大,最大值为: OE+EF+CF=2++=2+2 变:1:如图,点A在射线OE运动,∠EOB=60°,点B在x轴正半轴上运动,在AB右侧以它为边作矩形ABCD,且AB=,AD=1,则OD的最大值为 解题思路:此题同题的解题思路,但是要注意一点,虽然知道OF、FH、DH长度不变,但是点O、F、H、D四点不会共线,因为,∠FHD=120°始终保持不变,所以OD的最大值并不是OF+FH+DH的值,可以连接DF,通过计算发现DF的值也是不变的,点O、F、D三点可以共线,所以OD的最大值为:DF+OF=+2 变式2:如图,点A是直线y=-x上的一个动点,点B是x轴上的一个动点,若AB=2,则△AOB面积的最大值为 解题思路:此题要考虑讨论两种情况,当点A在第二象限定角135°,当点A在第四象限定角45°,可参照知识储备3,点弦距离。(注意:不同的是此题定角的顶点不动,弦在动,而知识储备3说的是弦不动,定角的顶点在动,但思考的结果是一样的。) 已知正方形ABCD的边长为4,点M,N分别从点B,C同时出发,以相同的速度沿BC,CD方向向终点C和D运动,连接AM和BN,交于点P.求△APB周长的最大值? 解题思路:可参照知识储备3,里面讲的拓展内容,也就是此时AP=BP时,△APB周长取最大值。 AC为边长2的菱形ABCD的对角线,∠ABC=60°,点M和N分别从点B、C同时出发,以相同的速度沿BC、AC向终点C和A运动,连接AM和BN,交于点P,求△APB周长的最大值? 解题思路:可参照知识储备3,里面讲的拓展内容,也就是此时AP=BP时,△APB周长取最大值。 如图,点E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的动点,连接AE、AF,且满足∠EAF=45° (1)求证:BE+DF=EF; (2)若正方形的边长为1,则△AEF的面积最小值为 解题思路:第一问可以通过旋转△ABE,证△AEF≌△AB’F,然后通过线段的和差关系可以证明BE+DF=EF。 第二问由第一问的全等,可以得出△AEF,EF边上高 线AH=1,求△AEF的最小值就是求EF的最小值。虽然 此题,定角∠EAF=45°,但是∠EAF所对的线段长EF, 位置和大小都在变化,所以此△EAF的外接圆的圆心 和半径都在变化,先作出任意位置△EAF的外接圆, 再取EF的中点G,连接AO、OG、GC,可得AO=EF,OG=EF,GC=EF,由此可得: AO+OG+GC=EF+EF+EF=EF≥AC=,所以EF≥2-2 △EAF面积最小值为: 模型三:四点共圆 判定1 四点围成的四边形,对角互补,外角等于内对角; 若∠A+∠DCB=180°,或∠B+∠D=180° 或∠DCE=∠A,则点A、B、C、D四点共圆。 判定2 连接四点围成的四边形的对角线,被交点分成的两条线段长度的积相等; 若EC·AE=ED·BE,则点A、B、C、D四点共圆。 判定3 运用圆幂定理中的割线定理; 若EA·ED=EB·EC,则点A、B、C、D四点共圆。 判定4 四点连成共底边的两三角形,两三角形的顶角都在共底边的同侧且相等; 若∠A=∠D,则点A、B、C、D四点共圆。 _21?????????è?????(www.21cnjy.com)_

    • 2020-07-27
    • 下载1次
    • 1328.78KB
    进入下载页面

    需要精品点:2个

  • ID:3-7637601 苏科版八年级数学下册 第10章 分式 分式方程的增根与无解经典分析学案

    初中数学/苏科版/八年级下册/第10章 分式/本章综合与测试

    • 2020-07-27
    • 下载1次
    • 119.48KB
  • ID:3-7637200 苏科版数学七年级册第2章 有理数全章知识点复习知识点复习学案

    初中数学/苏科版/七年级上册/第2章 有理数/本章综合与测试

    • 2020-07-27
    • 下载5次
    • 218.5KB
  • ID:3-7637064 华东师大版数学七年级 下第9章多边形知识点复习讲解(全)

    初中数学/华师大版/七年级下册/第9章 多边形/本章综合与测试

    1

    • 2020-07-27
    • 下载3次
    • 426.5KB
    进入下载页面

    免费资料

  • ID:3-7636468 华师大版数学九年级下册第27章 圆--“隐圆”知识点复习讲解学案

    初中数学/华师大版/九年级下册/第27章 圆/本章综合与测试

    • 2020-07-27
    • 下载0次
    • 231.33KB