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资源 文章 汇编
  • ID:3-7417754 2020年云南省曲靖市马龙区中考数学一模试卷 (解析版)

    初中数学/中考专区/模拟试题

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  • ID:3-7417753 2020年云南省红河州开远市中考数学模拟试卷(5月份) (解析版)

    初中数学/中考专区/模拟试题

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  • ID:3-7417752 2019-2020学年山东省滨州市博兴县七年级下学期期中数学试卷 (解析版)

    初中数学/中考专区/模拟试题

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  • ID:3-7417751 2018-2019学年福建省福州市平潭县城关教研片八年级下学期期中数学试卷 (解析版)

    初中数学/期中专区/八年级下册

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  • ID:3-7417749 2020年吉林省实验中学繁荣学校中考数学二模试卷 (解析版)

    初中数学/中考专区/模拟试题

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  • ID:3-7417748 2019-2020学年湖北省武汉市青山区任家路中学七年级下学期期中数学模拟试卷 (解析版)

    初中数学/期中专区/七年级下册

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  • ID:3-7417747 2019-2020学年河北省唐山市丰润区七年级下学期期中数学试卷 (解析版)

    初中数学/中考专区/模拟试题

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  • ID:3-7417746 2020年山东省济南市长清区中考数学一模试卷 (解析版)

    初中数学/中考专区/模拟试题

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  • ID:3-7417744 2020年吉林省长春市中考数学一模试卷 (解析版)

    初中数学/中考专区/模拟试题

    2020年吉林省长春市中考数学一模试卷 一、选择题 1.如图,数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为(  ) A.3 B.2 C.1 D.﹣1 2.今年初,党中央、国务院对湖北发生的新型冠状病毒肺炎疫情非常重视,共派遣援鄂抗役医务人员42000多人,经过全国人民的共同努力,取得了这场战役的胜利:42000这个数用科学记数法表示为(  ) A.42×103 B.4.2×104 C.4.2×105 D.4.2×103 3.某立体图形的左视图如图所示,则该立体图形不可能(  ) A. B. C. D. 4.不等式2x﹣2≤0的解集在数轴上表示正确的是(  ) A. B. C. D. 5.我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题,大意是:100匹马恰好拉了100片瓦,已知1匹大马能拉3片瓦,3匹小马能拉1片瓦,问有多少匹大马、多少匹小马?若设大马有x匹,小马有y匹,那么可列方程组为(  ) A. B. C. D. 6.在△ABC中,∠ACB=90°,用直尺和圆规在AB上确定点D,使△ACD∽△CBD,根据作图痕迹判断,正确的是 (  ) A. B. C. D. 7.如图,在莲花山滑雪场滑雪,需从山脚下乘缆车上山,缆车索道与水平线所成的角为32°,缆车速度为每分钟50米,从山脚下A到达山顶B缆车需要16分钟,则山的高度BC为(  ) A.800?sin32° B. C.800?tan32° D. 8.如图,点A,B分别在反比例函数y=(x>0),y=(x<0)的图象上.若OA⊥OB,=2,则a的值为(  ) A.﹣4 B.4 C.﹣2 D.2 二、填空题(每题3分,满分18分,将答案填在答题纸上) 9.化简:﹣=   . 10.因式分解:m2﹣4m+4=   . 11.关于x的方程2x2﹣3x﹣k=0有两个相等的实数根,则k的值为   . 12.如图,一束平行太阳光线照射到正五边形上,则∠1=   . 13.图①表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上,其中分针上有一点A,当钟面显示3点30分时,分针垂直于桌面,A点距桌面的高度为10cm.图②表示当钟面显示3点45分时,A点距桌面的高度为16cm,若钟面显示3点55分时,A点距桌面的高度为   cm. 14.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=a(x+1)2+b与y=a(x﹣2)2+b+1交于点A.过点A作y轴的垂线,分别交两条抛物线于点B、C(点B在点A左侧,点C在点A右侧),则线段BC的长为   . 三、解答题:共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.先化简,再求值(a﹣1)2﹣2a(a﹣1)+(2a+1)(2a﹣1),其中a=. 16.在一个不透明的盒子中装有三张卡片,分别标有数字为1,2,7,这些卡片除数字不同外其余均相同.洗匀后,小强从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回,洗匀后再随机抽取一张卡片.用画树状图或列表的方法,求两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率. 17.今年初,新型冠状病毒肺炎侵袭湖北,武汉是重灾区,某爱心人士两次购买N95口罩支援武汉,第一次花了500000元,第二次花了770000,购买了同样的N95口罩,已知第二次购买的口罩的单价是第一次的1.4倍,且比第一次多购进了10000个,求该爱心人士第一次购进口罩的单价. 18.如图,E是Rt△ABC的斜边AB上一点,以AE为直径的⊙O与边BC相切于点D,交边AC于点F,连结AD. (1)求证:AD平分∠BAC. (2)若AE=2,∠CAD=25°,求的长. 19.某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况,进行了抽样调查.该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数,数据如下: 20 21 19 16 27 18 31 29 21 22 25 20 19 22 35 33 19 17 18 29 18 35 22 15 18 18 31 31 19 22 整理上面数据,得到条形统计图: 样本数据的平均数、众数、中位数如表所示: 统计量 平均数 众数 中位数 数值 23 m 21 根据以上信息,解答下列问题: (1)上表中众数m的值为   ; (2)为调动工人的积极性,该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准,凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励.如果想让一半左右的工人能获奖,应根据   来确定奖励标准比较合适.(填“平均数”、“众数”或“中位数”) (3)该部门规定:每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手.若该部门有300名工人,试估计该部门生产能手的人数. 20.图①,图②,图③均是4×4的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,线段的端点均在格点上,在图①,图②,图③恰定的网格中按要求画图. (1)在图①中,画出格点C,使AC=BC,用黑色实心圆点标出点C所有可能的位置. (2)在图②中,在线段AB上画出点M,使AM=3BM. (3)在图③中,在线段AB上画出点P,使AP=2BP.(保留作图痕迹) 要求:借助网格,只用无刻度的直尺,不要求写出画法. 21.小明在练习操控航拍无人机,该型号无人机在上升和下落时的速度相同,设无人机的飞行高度为y(米),小明操控无人飞机的时间为x(分),y与x之间的函数图象如图所示. (1)无人机上升的速度为   米/分,无人机在40米的高度上飞行了   分. (2)求无人机下落过程中,y与x之间的函数关系式. (3)求无人机距地面的高度为50米时x的值. 22.教材呈现:如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容. 2.线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形,线段的垂直平分线是线段的对称轴,如图,直线MN是线段AB的垂直平分线,P是MN上任一点,连结PA、PB,将线段AB沿直线MN对称,我们发现PA与PB完全重合,由此即有: 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段的距离相等. 已知:如图,MN⊥AB,垂足为点C,AC=BC,点P是直线MN上的任意一点. 求证:PA=PB. 分析:图中有两个直角三角形APC和BPC,只要证明这两个三角形全等,便可证明PA=PB(请写出完整的证明过程) 请根据教材中的分析,结合图①,写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程. 定理应用: (1)如图②,在△ABC中,直线l、m、n分别是边AB、BC、AC的垂直平分线.求证:直线l、m、n交于一点. (2)如图③,在△ABC中,AB=BC,边AB的垂直平分线交AC于点D,边BC的垂直平分线交AC于点E,若∠ABC=120°,AC=18,则DE的长为   . 23.在△ABC中,AC=5,BC=4,∠B=45°,点D在边AB上,且AD=3,动点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度向终点B运动,以PD为边向上做正方形PDMN,设点P运动的时间为t秒,正方形PDMN与△ABC重叠部分的面积为S. (1)用含有t的代数式表示线段PD的长. (2)当点N落在△ABC的边上时,求t的值. (3)求S与t的函数关系式. (4)当点P在线段AD上运动时,做点N关于CD的对称点N',当N'与△ABC的某一个顶点的连线平分△ABC的面积时,求t的值. 24.在平面直角坐标系中,对于点P(x,y)和Q(x,y′),给出如下定义:如果y′=,那么称点Q为点P的“伴随点”. 例如:点(5,6)的“伴随点”为点(5,6);点(﹣5,6)的“伴随点”为点(﹣5,﹣6). (1)直接写出点A(2,1)的“伴随点”A′的坐标. (2)点B(m,m+1)在函数y=kx+3的图象上,若其“伴随点”B′的纵坐标为2,求函数y=kx+3的解析式. (3)点C、D在函数y=﹣x2+4的图象上,且点C、D关于y轴对称,点D的“伴随点”为D′.若点C在第一象限,且CD=DD′,求此时“伴随点”D′的横坐标. (4)点E在函数y=﹣x2+n(﹣1≤x≤2)的图象上,若其“伴随点”E′的纵坐标y′的最大值为m(1≤m≤3),直接写出实数n的取值范围. 参考答案 一、选择题:本大题共8个小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.如图,数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为(  ) A.3 B.2 C.1 D.﹣1 【分析】直接利用数轴得出结果即可. 解:数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为﹣1, 故选:D. 2.今年初,党中央、国务院对湖北发生的新型冠状病毒肺炎疫情非常重视,共派遣援鄂抗役医务人员42000多人,经过全国人民的共同努力,取得了这场战役的胜利:42000这个数用科学记数法表示为(  ) A.42×103 B.4.2×104 C.4.2×105 D.4.2×103 【分析】科学记数法表示较大的数形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.10的指数n=原来的整数位数﹣1. 解:42000=4.2×104, 故选:B. 3.某立体图形的左视图如图所示,则该立体图形不可能(  ) A. B. C. D. 【分析】找到各选项中从左面看不是所给视图的立体图形即可. 解:各选项中只有选项D从左面看得到从左往右2列正方形的个数依次为2,1,1, 故选:D. 4.不等式2x﹣2≤0的解集在数轴上表示正确的是(  ) A. B. C. D. 【分析】利用不等式的基本性质,移项后再除以2,不等号的方向不变. 解:移项,得2x≤2, 系数化为1,得x≤1, 不等式的解集在数轴上表示如下: . 故选:D. 5.我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题,大意是:100匹马恰好拉了100片瓦,已知1匹大马能拉3片瓦,3匹小马能拉1片瓦,问有多少匹大马、多少匹小马?若设大马有x匹,小马有y匹,那么可列方程组为(  ) A. B. C. D. 【分析】设有x匹大马,y匹小马,根据100匹马恰好拉了100片瓦,已知一匹大马能拉3片瓦,3匹小马能拉1片瓦,列方程组即可. 解:设有x匹大马,y匹小马,根据题意得 , 故选:C. 6.在△ABC中,∠ACB=90°,用直尺和圆规在AB上确定点D,使△ACD∽△CBD,根据作图痕迹判断,正确的是 (  ) A. B. C. D. 【分析】如果△ACD∽△CBD,可得∠CDA=∠BDC=90°,即CD是AB的垂线,根据作图痕迹判断即可. 解:当CD是AB的垂线时,△ACD∽△CBD. ∵CD⊥AB, ∴∠CDA=∠BDC=90°, ∵∠ACB=90°, ∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°, ∴∠A=∠BCD, ∴△ACD∽△CBD. 根据作图痕迹可知, A选项中,CD是∠ACB的角平分线,不符合题意; B选项中,CD不与AB垂直,不符合题意; C选项中,CD是AB的垂线,符合题意; D选项中,CD不与AB垂直,不符合题意; 故选:C. 7.如图,在莲花山滑雪场滑雪,需从山脚下乘缆车上山,缆车索道与水平线所成的角为32°,缆车速度为每分钟50米,从山脚下A到达山顶B缆车需要16分钟,则山的高度BC为(  ) A.800?sin32° B. C.800?tan32° D. 【分析】作BC⊥AC,垂足为C,在Rt△ABC中,利用三角函数解答即可. 解:如图,作BC⊥AC,垂足为C. 在Rt△ABC中,∠ACB=90°, ∠BAC=32°,AB=50×16=800(米), sin∠BAC=, ∴BC=sin∠BAC?AB=800?sin32°. 故选:A. 8.如图,点A,B分别在反比例函数y=(x>0),y=(x<0)的图象上.若OA⊥OB,=2,则a的值为(  ) A.﹣4 B.4 C.﹣2 D.2 【分析】过点A作AM⊥x轴于点M,过点B作BN⊥x轴于点N,利用相似三角形的判定定理得出△AOM∽△OBN,再由反比例函数系数k的几何意义得出S△AOM:S△BON=1:(﹣a),进而可得出结论. 解:过点A作AM⊥x轴于点M,过点B作BN⊥x轴于点N, ∴∠AMO=∠BNO=90°, ∴∠AOM+∠OAM=90°, ∵OA⊥OB, ∴∠AOM+∠BON=90°, ∴∠OAM=∠BON, ∴△AOM∽△OBN, ∵点A,B分别在反比例函数y=(x>0),y=(x<0)的图象上, ∴S△AOM:S△BON=1:(﹣a), ∴AO:BO=1:, ∵OB:OA=2, ∴a=﹣4, 故选:A. 二、填空题(每题3分,满分18分,将答案填在答题纸上) 9.化简:﹣=  . 【分析】先把各根式化为最简二次根式,再根据二次根式的减法进行计算即可. 解:原式=2﹣ =. 故答案为:. 10.因式分解:m2﹣4m+4= (m﹣2)2 . 【分析】原式利用完全平方公式分解即可. 解:原式=(m﹣2)2. 故答案为:(m﹣2)2. 11.关于x的方程2x2﹣3x﹣k=0有两个相等的实数根,则k的值为 ﹣ . 【分析】根据关于x的方程2x2﹣3x﹣k=0有两个相等的实数根可得△=(﹣3)2﹣4×2(﹣k)=0,求出k的值即可. 解:∵关于x的方程2x2﹣3x﹣k=0有两个相等的实数根, ∴△=(﹣3)2﹣4×2(﹣k)=0, ∴9+8k=0, ∴k=﹣. 故答案为:﹣. 12.如图,一束平行太阳光线照射到正五边形上,则∠1= 30° . 【分析】作出平行线,根据两直线平行:内错角相等、同位角相等,结合三角形的内角和定理,即可得出答案. 解:作出辅助线如图: 则∠2=42°,∠1=∠3, ∵五边形是正五边形, ∴一个内角是108°, ∴∠3=180°﹣∠2﹣∠3=30°, ∴∠1=∠3=30°. 故答案为:30°. 13.图①表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上,其中分针上有一点A,当钟面显示3点30分时,分针垂直于桌面,A点距桌面的高度为10cm.图②表示当钟面显示3点45分时,A点距桌面的高度为16cm,若钟面显示3点55分时,A点距桌面的高度为 (16+3) cm. 【分析】根据当钟面显示3点30分时,分针垂直于桌面,A点距桌面的高度为10公分得出AD=10,进而得出A′C=16,从而得出FA″=3,得出答案即可. 解:∵当钟面显示3点30分时,分针垂直于桌面,A点距桌面的高度为10公分. ∴AD=10, ∵钟面显示3点45分时,A点距桌面的高度为16公分, ∴A′C=16, ∴AO=A″O=6, 则钟面显示3点55分时, ∠A″OA′=45°, ∴FA″=3, ∴A点距桌面的高度为:16+3(cm). 故答案为:(). 14.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=a(x+1)2+b与y=a(x﹣2)2+b+1交于点A.过点A作y轴的垂线,分别交两条抛物线于点B、C(点B在点A左侧,点C在点A右侧),则线段BC的长为 6 . 【分析】设抛物线y=a(x+1)2+b的对称轴与线段BC交于点E,抛物线y=a(x﹣2)2+b+1的对称轴与线段BC交于点F,由抛物线的对称性结合BC═2(AE+AF),即可求出结论. 解:设抛物线y=a(x+1)2+b的对称轴与线段BC交于点E,抛物线y=a(x﹣2)2+b+1的对称轴与线段BC交于点F,如图所示. 由抛物线的对称性,可知:BE=AE,CF=AF, ∴BC=BE+AE+AF+CF=2(AE+AF)=2×[2﹣(﹣1)]=6. 故答案为:6. 三、解答题:共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.先化简,再求值(a﹣1)2﹣2a(a﹣1)+(2a+1)(2a﹣1),其中a=. 【分析】原式利用平方差公式,完全平方公式,以及单项式乘以多项式法则计算,去括号合并得到最简结果,把a的值代入计算即可求出值. 解:原式=a2﹣2a+1﹣2a2+2a+4a2﹣1=3a2, 当a=时,原式=3×5=15. 16.在一个不透明的盒子中装有三张卡片,分别标有数字为1,2,7,这些卡片除数字不同外其余均相同.洗匀后,小强从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回,洗匀后再随机抽取一张卡片.用画树状图或列表的方法,求两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率. 【分析】首先根据题意列表求得所有等可能的结果与抽到的两张卡片上的数字之和为偶数的情况,再利用概率公式即可求得答案. 解:根据题意,列表如下: 1 2 7 1 2 3 8 2 3 4 9 7 8 9 14 所以P(两次抽取的卡片上数字之和为偶数)=. 17.今年初,新型冠状病毒肺炎侵袭湖北,武汉是重灾区,某爱心人士两次购买N95口罩支援武汉,第一次花了500000元,第二次花了770000,购买了同样的N95口罩,已知第二次购买的口罩的单价是第一次的1.4倍,且比第一次多购进了10000个,求该爱心人士第一次购进口罩的单价. 【分析】设该爱心人士第一次购进口罩的单价为x元/个.则第二次购进口罩的单价为1.4x元/个,根据数量=总价÷单价结合第二次比第一次多购进了10000个,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论. 解:设该爱心人士第一次购进口罩的单价为x元/个.则第二次购进口罩的单价为1.4x元/个, 依题意,得:, 解得:x=5, 经检验,x=5是原方程的解,且符合题意. 答;该爱心人士第一次购进口罩的单价为5元/个. 18.如图,E是Rt△ABC的斜边AB上一点,以AE为直径的⊙O与边BC相切于点D,交边AC于点F,连结AD. (1)求证:AD平分∠BAC. (2)若AE=2,∠CAD=25°,求的长. 【分析】(1)连接OD,如图,由切线的性质得到OD⊥BC,则OD∥AC,根据平行线的性质得到∠CAD=∠ODA,由∠ODA=∠OAD,所以∠CAD=∠DAE; (2)由(1)知,∠FAE=50°,由弧长公式可得答案. 解:(1)如图,连结OD, ∵⊙O与边BC相切于点D, ∴OD⊥BC, ∴∠ODB=90°, ∵∠C=90°, ∴∠C=∠ODB=90°, ∴OD∥AC. ∴∠CAD=∠ODA, ∵OA=OD, ∴∠OAD=∠ODA, ∴∠OAD=∠CAD, ∴AD平分∠BAC; (2)如图,连结OF, ∵AD平分∠BAC,且∠CAD=25°, ∴12﹣3=9, ∴∠EOF=100°, ∴的长为. 19.某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况,进行了抽样调查.该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数,数据如下: 20 21 19 16 27 18 31 29 21 22 25 20 19 22 35 33 19 17 18 29 18 35 22 15 18 18 31 31 19 22 整理上面数据,得到条形统计图: 样本数据的平均数、众数、中位数如表所示: 统计量 平均数 众数 中位数 数值 23 m 21 根据以上信息,解答下列问题: (1)上表中众数m的值为 18 ; (2)为调动工人的积极性,该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准,凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励.如果想让一半左右的工人能获奖,应根据 中位数 来确定奖励标准比较合适.(填“平均数”、“众数”或“中位数”) (3)该部门规定:每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手.若该部门有300名工人,试估计该部门生产能手的人数. 【分析】(1)根据条形统计图中的数据可以得到m的值; (2)根据题意可知应选择中位数比较合适; (3)根据统计图中的数据可以计该部门生产能手的人数. 解:(1)由图可得, 众数m的值为18, 故答案为:18; (2)由题意可得, 如果想让一半左右的工人能获奖,应根据中位数来确定奖励标准比较合适, 故答案为:中位数; (3)300×=100(名), 答:该部门生产能手有100名工人. 20.图①,图②,图③均是4×4的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,线段的端点均在格点上,在图①,图②,图③恰定的网格中按要求画图. (1)在图①中,画出格点C,使AC=BC,用黑色实心圆点标出点C所有可能的位置. (2)在图②中,在线段AB上画出点M,使AM=3BM. (3)在图③中,在线段AB上画出点P,使AP=2BP.(保留作图痕迹) 要求:借助网格,只用无刻度的直尺,不要求写出画法. 【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质画图即可; (2)根据相似三角形的性质,构造相似三角形即可; (3)由相似三角形的性质,构造相似三角形即可. 解:(1)如图①所示,点C即为所求; (2)如图②所示,点M即为所求; (3)如图③所示,点P即为所求. 21.小明在练习操控航拍无人机,该型号无人机在上升和下落时的速度相同,设无人机的飞行高度为y(米),小明操控无人飞机的时间为x(分),y与x之间的函数图象如图所示. (1)无人机上升的速度为 20 米/分,无人机在40米的高度上飞行了 3 分. (2)求无人机下落过程中,y与x之间的函数关系式. (3)求无人机距地面的高度为50米时x的值. 【分析】(1)利用图象信息,根据速度=计算即可解决问题; (2)利用待定系数法即可解决问题; (3)求出无人机从40米高度到60米高度的函数关系式为y=20x﹣60(5≤x≤6),分两种情形构建方程即可解决问题; 解:(1)无人机上升的速度为=20米/分,无人机在40米的高度上飞行了6﹣1﹣2=3分. 故答案为20,3; (2)设y=kx+b,把(9,60)和(12,0)代入得到, 解得, ∴无人机下落过程中,y与x之间的函数关系式为y=﹣20x+240. (3)易知无人机从40米高度到60米高度的函数关系式为y=20x﹣60(5≤x≤6), 由20x﹣60=50,解得x=5.5, 由﹣20x+240=50,解得x=9.5, 综上所述,无人机距地面的高度为50米时x的值为5.5和9.5. 22.教材呈现:如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容. 2.线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形,线段的垂直平分线是线段的对称轴,如图,直线MN是线段AB的垂直平分线,P是MN上任一点,连结PA、PB,将线段AB沿直线MN对称,我们发现PA与PB完全重合,由此即有: 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段的距离相等. 已知:如图,MN⊥AB,垂足为点C,AC=BC,点P是直线MN上的任意一点. 求证:PA=PB. 分析:图中有两个直角三角形APC和BPC,只要证明这两个三角形全等,便可证明PA=PB(请写出完整的证明过程) 请根据教材中的分析,结合图①,写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程. 定理应用: (1)如图②,在△ABC中,直线l、m、n分别是边AB、BC、AC的垂直平分线.求证:直线l、m、n交于一点. (2)如图③,在△ABC中,AB=BC,边AB的垂直平分线交AC于点D,边BC的垂直平分线交AC于点E,若∠ABC=120°,AC=18,则DE的长为 6 . 【分析】教材呈现:如图①中,证明△PAC≌△PBC即可解决问题. 定理应用:(1)如图②中,设直线l、m交于点O,连结AO、BO、CO.利用线段的垂直平分线的判定和性质解决问题即可. (2)连接BD,BE,证明△BDE是等边三角形即可. 【解答】教材呈现:解:如图①中, ∵MN⊥AB, ∴∠PCA=∠PCB=90°. 又∵AC=BC,PC=PC, ∴△PAC≌△PBC(SAS), ∴PA=PB. 定理应用:(1)证明:如图②中,设直线l、m交于点O,连结AO、BO、CO. ∵直线l是边AB的垂直平分线, ∴OA=OB, 又∵直线m是边BC的垂直平分线, ∴OB=OC, ∴OA=OC, ∴点O在边AC的垂直平分线n上, ∴直线l、m、n交于点O. (2)解:如图③中,连接BD,BE. ∵BA=BC,∠ABC=120°, ∴∠A=∠C=30°, ∵边AB的垂直平分线交AC于点D,边BC的垂直平分线交AC于点E, ∴DA=DB,EB=EC, ∴∠A=∠DBA=30°,∠C=∠EBC=30°, ∴∠BDE=∠A+∠DBA=60°,∠BED=∠C+∠EBC=60°, ∴△BDE是等边三角形, ∴AD=BD=DE=BE=EC, ∵AC=18, ∴DE=AC=6. 故答案为6. 23.在△ABC中,AC=5,BC=4,∠B=45°,点D在边AB上,且AD=3,动点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度向终点B运动,以PD为边向上做正方形PDMN,设点P运动的时间为t秒,正方形PDMN与△ABC重叠部分的面积为S. (1)用含有t的代数式表示线段PD的长. (2)当点N落在△ABC的边上时,求t的值. (3)求S与t的函数关系式. (4)当点P在线段AD上运动时,做点N关于CD的对称点N',当N'与△ABC的某一个顶点的连线平分△ABC的面积时,求t的值. 【分析】(1)分0<t≤3时,3<t≤7时,两种情形分别求解即可. (2)分两种情形①如图2中,当点N在AC上时,②如图3中,当点N在BC上时,利用平行线分线段成比例定理解决问题即可. (3)分三种情形:①如图4中,当0<t≤时,重叠部分是五边形EFPDM,②如图5或6中.当<t≤5时,重叠部分是正方形PDMN.③如图7中,当5<t≤7时,重叠部分是五边形EFPDM,分别求解即可. (4)分三种情形画出图形,利用平行线分线段成比例定理构建方程即可解决问题. 解:(1)如图1中,作CD′⊥AB于D. ∵∠B=45°,BC=4, ∴CD′=BD′=4, ∴AD′===3, ∵AD=3, ∴AD=AD′, ∴D′与D重合, 当0<t≤3时,PD=3﹣t. 当3<t≤7时,PD=t﹣3; (2)①如图2中,当点N在AC上时, ∵MN∥AD, ∴, ∴, 解得t=; ②如图3中,当点N在BC上时, ∵MN∥BD, ∴, ∴, 解得t=5; 综上所述,满足条件的t的值为s或5s. (3)①如图4中,当0<t≤时,重叠部分是五边形EFPDM, S=S正方形MDPN﹣S△NEF=(3﹣t)2﹣?(3﹣t﹣t)2=﹣t+; ②如图5或6中,当<t≤5时,重叠部分是正方形PDMN,S=t2﹣6t+9 ③如图7中,当5<t≤7时,重叠部分是五边形EFPDM,S=S正方形MNPD﹣S△EFN=(t﹣3)2﹣?[(t﹣3)﹣(7﹣t)]2=﹣t2+14t﹣41. 综上所述,S=. (4)如图8中,当点N′落在中线AE上时,作EK⊥BC于K,N′J⊥AB于J. ∵JN′∥EK, ∴, 则, 解得t=1; 如图9中,当点N′落在中线BG上时,作GK⊥BC于K,N′J⊥AB于J. ∵N′J∥GK, ∴, ∴, 解得t=; 如图10中,当点N′落在中线CF上时, ∵MN′∥DF, ∴, ∴=, 解得t=. 综上所述,满足条件的t的值为1s或s或s. 24.在平面直角坐标系中,对于点P(x,y)和Q(x,y′),给出如下定义:如果y′=,那么称点Q为点P的“伴随点”. 例如:点(5,6)的“伴随点”为点(5,6);点(﹣5,6)的“伴随点”为点(﹣5,﹣6). (1)直接写出点A(2,1)的“伴随点”A′的坐标. (2)点B(m,m+1)在函数y=kx+3的图象上,若其“伴随点”B′的纵坐标为2,求函数y=kx+3的解析式. (3)点C、D在函数y=﹣x2+4的图象上,且点C、D关于y轴对称,点D的“伴随点”为D′.若点C在第一象限,且CD=DD′,求此时“伴随点”D′的横坐标. (4)点E在函数y=﹣x2+n(﹣1≤x≤2)的图象上,若其“伴随点”E′的纵坐标y′的最大值为m(1≤m≤3),直接写出实数n的取值范围. 【分析】(1)由题意即可求解; (2)分m≥0、m<0两种情况分别求解即可; (3)设点C的横坐标为n,点C在函数y=﹣x2+4的图象上,CD=DD′,即可求解; (4)通先分段表示出y',进而确定出最大值,最后用m的范围建立不等式组,即可得出结论. 解:(1)由题意得:点A'的坐标为(2,1) (2)①当m≥0时, m+1=2,m=1 ∴B(1,2) ∵点B在一次函数y=kx+3图象上, ∴k+3=2, 解得:k=﹣1 ∴一次函数解析式为y=﹣x+3 ②m<0时, m+1=﹣2,m=﹣3 ∴B(﹣3,﹣2) ∵点B在一次函数y=kx+3图象上, ∴﹣3k+3=﹣2 解得:k= 一次函数解析式为y=x+3. (3)设点C的横坐标为n,点C在函数y=﹣x2+4的图象上, ∴点C的坐标为(n,﹣n2+4), ∴点D的坐标为(﹣n,﹣n2+4),D′(﹣n,n2﹣4) ∵CD=DD′, ∴2n=2(﹣n2+4), 解得:n=; ∵点C在第一象限, ∴D′的横坐标为; (4)当﹣1≤x≤0时,y'=x2﹣n,此时,﹣n≤y'≤1﹣n, 当0≤x≤2时,y'=﹣x2+n,此时,n﹣4≤y'≤n, 当n≥1﹣n时,即:n≥,y'的最大值是n, ①∵“伴随点”E′的纵坐标y′的最大值为m(1≤m≤3), ∴1≤n≤3, 当n<时,y'最大值为1﹣n, ②∵“伴随点”E′的纵坐标y′的最大值为m(1≤m≤3), ∴1≤1﹣n≤3, ∴﹣2≤n≤0, ∴n的取值范围应为1≤n≤3或﹣2≤n≤0.

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