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  • ID:3-7895619 人教新版 八年级(上)学期 第11章 三角形 单元测试卷(Word版 含解析)

    初中数学/人教版/八年级上册/第十一章 三角形/本章综合与测试

    人教新版 八年级上学期 第11章 三角形 单元测试卷 一.选择题(共10小题) 1.如图,在中,,平分,若,,则 A. B. C. D. 2.已知三角形的两边长分别为和,则第三边长可以是   A. B. C.6 D. 3.正十边形的每一个外角的度数为   A. B. C. D. 4.如图所示,设表示平行四边形,表示矩形,表示菱形,表示正方形,则下列四个图形中,能表示它们之间关系的是   A. B. C. D. 5.如果三角形的一个外角小于和它相邻的内角,那么这个三角形为   A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.以上都不对 6.课堂上,老师把教学用的两块三角板叠放在一起,得到如图所示的图形,其中三角形的个数为   A.2 B.3 C.5 D.6 7.如图,中,,,是内一点,且,则等于   A. B. C. D. 8.下列图形中,不是运用三角形的稳定性的是   A.房屋顶支撑架 B.自行车三脚架 C.拉闸门 D.木门上钉一根木条 9.如图,在中,,交的延长线于点,交的延长线于点,交于点.下列线段是的高的是   A. B. C. D. 10.直角三角形的一个锐角是另一个锐角的3倍,那么的度数是   A. B. C. D. 二.填空题(共5小题) 11.已知正多边形的一个外角为,则这个正多边形的内角和为  . 12.如图,中,,,则  . 13.如图,、分别平分和,且,,则  . 14.如图,在中,,的平分线与的外角平分线交于点,则的度数为  .(用含的式子表示) 15.如图,在中,,、、分别平分的外角,内角,外角,以下结论: ①; ②; ③; ④,其中正确的结论有  . 三.解答题(共5小题) 16.如图,在中,是的角平分线,,交于点,,,求的度数. 17.(1)思考探究:如图,的内角的平分线与外角的平分线相交于点,已知,.求和的度数; (2)类比探究:如图,的内角的平分线与外角的平分线相交于点,已知.求的度数(用含的式子表示); (3)拓展迁移:已知,在四边形中,四边形的内角与外角的平分线所在直线相交于点,,请画出图形;并探究出的度数(用含的式子表示). 18.如图,在三角形中,,点是上一点,点是三角形外一点,且,点为线段上一点,连接,且. (1)若,求的度数; (2)若,,求的度数. 19.如图,中,于点,交于点,于点,交于点. (1)求证:; (2)若,,求的度数. 20.问题情景:如图1,在同一平面内,点和点分别位于一块直角三角板的两条直角边,上,点与点在直线的同侧,若点在内部,试问,与的大小是否满足某种确定的数量关系? (1)特殊探究:若,则  度,  度,  度; (2)类比探索:请猜想与的关系,并说明理由; (3)类比延伸:改变点的位置,使点在外,其它条件都不变,判断(2)中的结论是否仍然成立?若成立,请说明理由;若不成立,请直接写出,与满足的数量关系式. 参考答案 一.选择题(共10小题) 1.如图,在中,,平分,若,,则   A. B. C. D. 解:平分, , , , , , , , 故选:. 2.已知三角形的两边长分别为和,则第三边长可以是   A. B. C.6 D. 解:设第三边的长为,根据三角形的三边关系, 得,即, 故选:. 3.正十边形的每一个外角的度数为   A. B. C. D. 解:正十边形的每一个外角都相等, 因此每一个外角为:, 故选:. 4.如图所示,设表示平行四边形,表示矩形,表示菱形,表示正方形,则下列四个图形中,能表示它们之间关系的是   A. B. C. D. 解:四个边都相等的矩形是正方形,有一个角是直角的菱形是正方形, 正方形应是的一部分,也是的一部分, 矩形、正方形、菱形都属于平行四边形, 它们之间的关系是:. 故选:. 5.如果三角形的一个外角小于和它相邻的内角,那么这个三角形为   A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.以上都不对 解:三角形的一个外角小于和它相邻的内角, 该外角小于90度,与它相邻的内角大于90度, 这个三角形为钝角三角形. 故选:. 6.课堂上,老师把教学用的两块三角板叠放在一起,得到如图所示的图形,其中三角形的个数为   A.2 B.3 C.5 D.6 解:图中三角形的个数是5个, 故选:. 7.如图,中,,,是内一点,且,则等于   A. B. C. D. 解: 故选:. 8.下列图形中,不是运用三角形的稳定性的是   A.房屋顶支撑架 B.自行车三脚架 C.拉闸门 D.木门上钉一根木条 解:伸缩的拉闸门是利用了四边形的不稳定性,、、都是利用了三角形的稳定性, 故选:. 9.如图,在中,,交的延长线于点,交的延长线于点,交于点.下列线段是的高的是   A. B. C. D. 解:如图所示:只有线段是的边上的高. 故选:. 10.直角三角形的一个锐角是另一个锐角的3倍,那么的度数是   A. B. C. D. 解: 设,则, 由直角三角形的性质可得, ,解得, , 故选:. 二.填空题(共5小题) 11.已知正多边形的一个外角为,则这个正多边形的内角和为  . 解:多边形的每个外角相等,且其和为, 据此可得, 解得. , 即这个正多边形的内角和为. 故答案为:. 12.如图,中,,,则  . 解:,, , 中,, 故答案为:. 13.如图,、分别平分和,且,,则  . 解:根据三角形内角和定理,, 所以,, 同理,, 、分别平分和, ,, , , ,, . 故答案为:. 14.如图,在中,,的平分线与的外角平分线交于点,则的度数为  .(用含的式子表示) 解:在的平分线上, 点到的距离等于到的距离, 在的外角的平分线上, 点到的距离等于到的距离, 点到的距离等于到的距离, 是的外角的平分线, , , 故答案为. 15.如图,在中,,、、分别平分的外角,内角,外角,以下结论: ①; ②; ③; ④,其中正确的结论有 ①③④ . 解:①平分, , , , , 故①正确; ②, , 平分,, , , 故②错误; ③在中,, 平分的外角, , , ,, ,, , , 故③正确; ④平分, , , , , , , 故④正确; 故答案是:①③④. 三.解答题(共5小题) 16.如图,在中,是的角平分线,,交于点,,,求的度数. 解:,, 平分 又 . 17.(1)思考探究:如图,的内角的平分线与外角的平分线相交于点,已知,.求和的度数; (2)类比探究:如图,的内角的平分线与外角的平分线相交于点,已知.求的度数(用含的式子表示); (3)拓展迁移:已知,在四边形中,四边形的内角与外角的平分线所在直线相交于点,,请画出图形;并探究出的度数(用含的式子表示). 解:(1),, , 点是和外角的角平分线的交点, ,, ; (2). 理由:,, 点是和外角的角平分线的交点, ,, , , , , ; (3)(Ⅰ)如图②延长交的延长线于. , 由(2)可知:, . (Ⅱ)如图③,延长交的延长线于. ,, . 综上所述:或. 18.如图,在三角形中,,点是上一点,点是三角形外一点,且,点为线段上一点,连接,且. (1)若,求的度数; (2)若,,求的度数. 解:(1), , , . (2)设,则,, , , , , , , , , . 19.如图,中,于点,交于点,于点,交于点. (1)求证:; (2)若,,求的度数. 【解答】(1)证明:, , ,, , , ; (2)解:,, , , , . 20.问题情景:如图1,在同一平面内,点和点分别位于一块直角三角板的两条直角边,上,点与点在直线的同侧,若点在内部,试问,与的大小是否满足某种确定的数量关系? (1)特殊探究:若,则 125 度,  度,  度; (2)类比探索:请猜想与的关系,并说明理由; (3)类比延伸:改变点的位置,使点在外,其它条件都不变,判断(2)中的结论是否仍然成立?若成立,请说明理由;若不成立,请直接写出,与满足的数量关系式. 解:(1)由题意:度,度, 度. 故答案为125,90,35. (2)猜想:. 理由:在中,, ,, , , 又在中,, , , . (3)判断:(2)中的结论不成立. ①如图中,结论:. 理由:设交于. , , . ②如图中,结论:.证明方法类似① ③如图中,结论:. 理由:,, , .

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  • ID:3-7895618 人教版 八年级数学上册 第13章轴对称 单元测试卷(Word版 含解析)

    初中数学/人教版/八年级上册/第十三章 轴对称/本章综合与测试

    人教版 八年级数学上册 第13章轴对称》单元测试卷 一、选择题(共9小题) 1.如图所示,共有等腰三角形   A.4个 B.5个 C.3个 D.2个 2.下列说法正确的是   A.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 B.顶角相等的两个等腰三角形全等 C.等腰三角形的两个底角相等 D.等腰三角形一边不可以是另一边的2倍 3.点关于轴对称的点是   A. B. C. D. 4.如图,是中边的垂直平分线,若,,则的周长为   A.10 B.12 C.14 D.16 5.如图,是等边三角形,,若,,则的周长为   A.4 B.30 C.18 D.12 6.如图,在五边形中,,且,,则   A. B. C. D. 7.如图,一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下,倒下部分与地面成夹角,这棵树在折断前的高度为  米. A.4 B.8 C.12 D. 8.等腰三角形有两条边长为和,则该三角形的周长是   A.17 B.22 C.17 或22 D.18 9.如图是一个经过改造的台球桌面的示意图,图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔,如果一个球按图中所示的方向被击出(球可以经过多次反弹),那么该球最后将落入的球袋是   A.1号袋 B.2号袋 C.3号袋 D.4号袋 二、填空题 10.在等腰中,,一边上的中线将这个三角形的周长分为15和12两个部分,则该等腰三角形的底边长为   . 11.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为,则它的顶角为   . 12.如图,是的角平分线,,垂足为,,,则   . 13.如图,是中边的垂直平分线,若,,则的周长为   . 14.如图,在中,,的垂直平分线交于点.若平分,则   . 15.如图,中,,,点在上,点在上,且恰好垂直平分于点,则与的面积之比为   . 三、解答题 16.如图,中,,是边上的中线,点在上,求证:. 17.如图,中国电信公司要在德令哈修建一座电视信号发射塔,按照设计要求,发射塔到尕海镇和柯鲁镇的距离必须相等,到两条高速公路和的距离也必须相等.发射塔应修建在什么位置?在图上画出它的位置(保留作图痕迹). 18.如图,,,的垂直平分线交于点,求的度数. 19.如图,中,,点,在边上,,点在的延长线上,. (1)求证:; (2)若,则  . 20.已知:如图,是等腰底边上一点,它到两腰、的距离分别为、. (1)当点在什么位置时,?并加以证明. (2)探索、与等腰的高的关系.说明理由. 21.如图在平面直角坐标系中,各顶点的坐标分别为:,, (1)在图中作△使△和关于轴对称; (2)写出点的坐标; (3)求的面积. 参考答案 一、选择题 1.如图所示,共有等腰三角形   A.4个 B.5个 C.3个 D.2个 解:根据三角形的内角和定理,得:, 根据三角形的外角的性质,得 . 再根据等角对等边,得 等腰三角形有,,,和. 故选:. 2.下列说法正确的是   A.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 B.顶角相等的两个等腰三角形全等 C.等腰三角形的两个底角相等 D.等腰三角形一边不可以是另一边的2倍 解:、错误.等腰三角形的底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合; 、错误.腰不一定相等,所以不一定是全等三角形; 、正确; 、错误.腰可以是底的两倍; 故选:. 3.点关于轴对称的点是   A. B. C. D. 解:关于轴对称的点是, 故选:. 4.如图,是中边的垂直平分线,若,,则的周长为   A.10 B.12 C.14 D.16 解:是中边的垂直平分线, , 又,, 的周长 , 故选:. 5.如图,是等边三角形,,若,,则的周长为   A.4 B.30 C.18 D.12 解:为等边三角形, , , , 为等边三角形, ,, , 的周长为12. 故选:. 6.如图,在五边形中,,且,,则   A. B. C. D. 解:, , , 是等边三角形, , , , ,, 在四边形中,. 故选:. 7.如图,一棵树在一次强台风中于离地面4米处折断倒下,倒下部分与地面成夹角,这棵树在折断前的高度为  米. A.4 B.8 C.12 D. 解:,, (米 这棵树在折断前的高度(米, 故选:. 8.等腰三角形有两条边长为和,则该三角形的周长是   A.17 B.22 C.17 或22 D.18 解:①是腰长, , 、4、9不能组成三角形, ②是腰长,能够组成三角形, , 所以,三角形的周长是. 故选:. 9.如图是一个经过改造的台球桌面的示意图,图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔,如果一个球按图中所示的方向被击出(球可以经过多次反弹),那么该球最后将落入的球袋是   A.1号袋 B.2号袋 C.3号袋 D.4号袋 解:根据轴对称的性质可知,台球走过的路径为: 故选:. 二、填空题 10.在等腰中,,一边上的中线将这个三角形的周长分为15和12两个部分,则该等腰三角形的底边长为 7或11 . 解:根据题意, ①当15是腰长与腰长一半时,,解得, 所以底边长; ②当12是腰长与腰长一半时,,解得, 所以底边长. 所以底边长等于7或11. 故答案为:7或11. 11.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为,则它的顶角为 或 . 解:当高在三角形内部时,顶角是; 当高在三角形外部时,顶角是. 故答案为:或. 12.如图,是的角平分线,,垂足为,,,则  . 解:设, , 即 是得角平分线, , , 联立可得解得: 故答案为: 13.如图,是中边的垂直平分线,若,,则的周长为  . 解:垂直平分, . 的周长, , , , . 故答案为:. 14.如图,在中,,的垂直平分线交于点.若平分,则 36 . 解:, , 的垂直平分线交于点. , 平分, , , 设为, 可得:, 解得:, 故答案为:36 15.如图,中,,,点在上,点在上,且恰好垂直平分于点,则与的面积之比为  . 解:过点作于点, ,, , 恰好垂直平分, ,, , ,, . 故答案为:. 三、解答题 16.如图,中,,是边上的中线,点在上,求证:. 【解答】证明:,是边上的中线, . 垂直平分. 点在上, . 17.如图,中国电信公司要在德令哈修建一座电视信号发射塔,按照设计要求,发射塔到尕海镇和柯鲁镇的距离必须相等,到两条高速公路和的距离也必须相等.发射塔应修建在什么位置?在图上画出它的位置(保留作图痕迹). 解:如图,点即为所求. 18.如图,,,的垂直平分线交于点,求的度数. 解:, , 垂直平分, , , . 故答案为:. 19.如图,中,,点,在边上,,点在的延长线上,. (1)求证:; (2)若,则 75 . 【解答】(1)证明:, , 在和中, , ; (2),, , , , , 故答案为:75. 20.已知:如图,是等腰底边上一点,它到两腰、的距离分别为、. (1)当点在什么位置时,?并加以证明. (2)探索、与等腰的高的关系.说明理由. 解:(1)为中点时,, 理由是: 连接, ,为中点, 平分, ,, . (2)的长为腰上的高的长, 理由是:连接,过作于, , , , , 即的长为腰上的高的长. 21.如图在平面直角坐标系中,各顶点的坐标分别为:,, (1)在图中作△使△和关于轴对称; (2)写出点的坐标; (3)求的面积. 解:(1)如图所示:△,即为所求; (2)点的坐标为,点的坐标为,点的坐标为; (3)的面积为:.

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  • ID:3-7895617 沪教新版 八年级上学期 第16章 二次根式 单元测试卷(Word版 含解析)

    初中数学/沪教版/八年级上册/第十六章 二次根式/本章综合与测试

    沪教新版 八年级上学期 第16章 二次根式 单元测试卷 一.选择题(共8小题) 1.下列根式中,属于最简二次根式的是   A. B. C. D. 2.下列计算中,正确的是   A. B. C. D. 3.下列二次根式中,与不是同类二次根式的是   A. B. C. D. 4.已知,,那么与的关系为   A.互为相反数 B.互为倒数 C.相等 D.是的平方根 5.已知且,化简二次根式的正确结果是   A. B. C. D. 6.下列各式一定有意义的是   A. B. C. D. 7.如图,在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片,则图中空白部分的面积为   A. B. C. D. 8.如图是一个按某种规律排列的数阵: 根据数阵排列的规律,第是整数,且行从左向右数第个数是(用含的代数式表示)   A. B. C. D. 二.填空题(共10小题) 9.计算的结果是  . 10.式子在实数范围内有意义的条件是  . 11.计算的结果是  . 12.已知为正整数,也是正整数,那么满足条件的的最小值是  . 13.已知实数,满足,则化简的结果是  . 14.如果,则的值是  . 15.已知,则代数式的值为  . 16.把根号外的因式移入根号内得   . 17.化简二次根式:  ,  . 18.已知,则  . 三.解答题(共6小题) 19.计算: (1); (2). 20.先化简,再求值:,其中. 21.已知长方形的长,宽. (1)求长方形的周长; (2)求与长方形等面积的正方形的周长,并比较与长方形周长的大小关系. 22.阅读下面问题:;;. (1)根据以上规律推测,化简:①;②为正整数). (2)根据你的推测,比较和的大小. 23.阅读理解题,下面我们观察: . 反之,所以, 所以. 完成下列各题: (1)在实数范围内因式分解:; (2)化简:; (3)化简:. 24.阅读下列材料,并完成相应的任务. 古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量论》一书中给出了利用三角形三边之长求面积的公式海伦公式(其中,,是三角形的三边长,,为三角形的面积),并给出了证明 例如:在中,,,,那么它的面积可以这样计算: ,, 事实上,对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题,还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决. 根据上述材料,解答下列问题: 如图,在中,,, (1)用海伦公式求的面积; (2)如图,、为的两条角平分线,它们的交点为,求的面积. 参考答案 一.选择题(共8小题) 1.下列根式中,属于最简二次根式的是   A. B. C. D. 解:、,不是最简二次根式,不符合题意; 、,不是最简二次根式,不符合题意; 、是最简二次根式,符合题意; 、,不是最简二次根式,不符合题意; 故选:. 2.下列计算中,正确的是   A. B. C. D. 解:、与不能合并,所以选项错误; 、2与不能合并,所以选项错误; 、原式,所以选项正确; 、原式,所以选项错误. 故选:. 3.下列二次根式中,与不是同类二次根式的是   A. B. C. D. 解:、与是同类二次根式,选项不符合题意; 、与不是同类二次根式,选项符合题意; 、与是同类二次根式,选项不符合题意; 、与是同类二次根式,选项不符合题意; 故选:. 4.已知,,那么与的关系为   A.互为相反数 B.互为倒数 C.相等 D.是的平方根 解:,, , 则与的关系是互为倒数. 故选:. 5.已知且,化简二次根式的正确结果是   A. B. C. D. 解:由题意:,即, , , 所以原式, 故选:. 6.下列各式一定有意义的是   A. B. C. D. 解:、由于,所以无意义,故本选项不符合题意. 、当时,该式子无意义,故本选项不符合题意. 、由于,所以该式子有意义,故本选项符合题意. 、当或时,该式子无意义,故本选项不符合题意. 故选:. 7.如图,在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片,则图中空白部分的面积为   A. B. C. D. 解:两张正方形纸片的面积分别为和, 它们的边长分别为,, ,, 空白部分的面积, , . 故选:. 8.如图是一个按某种规律排列的数阵: 根据数阵排列的规律,第是整数,且行从左向右数第个数是(用含的代数式表示)   A. B. C. D. 解:由图中规律知,前行的数据个数为, 所以第是整数,且行从左向右数第个数的被开方数是 , 所以第是整数,且行从左向右数第个数是. 故选:. 二.填空题(共10小题) 9.计算的结果是  . 解:原式 . 故答案为:. 10.式子在实数范围内有意义的条件是  . 解:由题意可知:, , 故答案为: 11.计算的结果是  . 解:原式. 故答案为:. 12.已知为正整数,也是正整数,那么满足条件的的最小值是 2 . 解:为正整数,也是正整数, 则是一个完全平方数, 又, 则是一个完全平方数, 所以的最小值是2. 故答案为:2. 13.已知实数,满足,则化简的结果是  . 解:原式, , , 原式 , 故答案为:. 14.如果,则的值是 9 . 解:, 解得:, 则, 故. 故答案为:9. 15.已知,则代数式的值为 2 . 解:, , 故答案为:2. 16.把根号外的因式移入根号内得  . 解:, . 故答案为. 17.化简二次根式:  ,  . 解:, . 故答案为:,. 18.已知,则  . 解: , 当时,原式, 故答案为. 三.解答题(共6小题) 19.计算: (1); (2). 解:(1)原式 ; (2)原式 . 20.先化简,再求值:,其中. 解:原式 , 当时,原式. 21.已知长方形的长,宽. (1)求长方形的周长; (2)求与长方形等面积的正方形的周长,并比较与长方形周长的大小关系. 解:,. (1)长方形的周长; (2)正方形的周长, , . 22.阅读下面问题:;;. (1)根据以上规律推测,化简:①;②为正整数). (2)根据你的推测,比较和的大小. 解:(1)① ; ②; (2),, , , . 23.阅读理解题,下面我们观察: . 反之,所以, 所以. 完成下列各题: (1)在实数范围内因式分解:; (2)化简:; (3)化简:. 解:(1); (2); (3). 24.阅读下列材料,并完成相应的任务. 古希腊的几何学家海伦在他的著作《度量论》一书中给出了利用三角形三边之长求面积的公式海伦公式(其中,,是三角形的三边长,,为三角形的面积),并给出了证明 例如:在中,,,,那么它的面积可以这样计算: ,, 事实上,对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题,还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决. 根据上述材料,解答下列问题: 如图,在中,,, (1)用海伦公式求的面积; (2)如图,、为的两条角平分线,它们的交点为,求的面积. 解:(1),,, , ; 答:面积是; (2)如图,过点作、、,垂足分别为点、、, 、分别为的角平分线, , , , 解得, 故.

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  • ID:3-7895615 沪教新版 八年级上学期 第16章 二次根式 单元测试卷 (Word版 含解析)

    初中数学/沪教版/八年级上册/第十六章 二次根式/本章综合与测试

    八年级上学期 第16章 二次根式 单元测试卷 一.选择题(共7小题) 1.在中,最简二次根式的个数为   A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列二次根式中,与是同类二次根式的是   A. B. C. D. 3.若、、为三角形的三条边,则   A. B. C. D. 4.若,,则、两数的关系是   A.互为相反数 B.互为倒数 C.相等 D.互为负倒数 5.下列各式中,一定是二次根式的有   ①②③④⑤ A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 6.若实数满足,那么下列四个式子中与相等的是   A. B. C. D. 7.若,则等于   A. B. C. D. 二.填空题(共8小题,满分16分,每小题2分) 8.  . 9.将根号外面的式子移到根号内是  . 10.若,化简  . 11.若,则的取值范围为   . 12.二次根式与的和是一个二次根式,则正整数的最小值为  ;其和为  . 13.写出的一个有理化因式:   . 14.如果代数式有意义,那么的取值范围为   . 15.已知,是实数,且,问,之间有怎样的关系:  . 三.解答题(共8小题,满分62分) 16.计算:. 17.计算: 18.计算:. 19.先化简,再求值:已知,,求的值. 20.已知,求的值. 21.先化简,再求值:已知,求的值. 22.解不等式:. 23.有这样一类题目:化简,如果你能找到两个数、,使,并且,那么将变成开方,从而将化简.例如:化简 因为 所以 仿照上例化简下列各式: (1); (2). 参考答案 一.选择题(共7小题,满分21分,每小题3分) 1.在中,最简二次根式的个数为   A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解:,,,,都不是最简二次根式, 是最简二次根式, 故选:. 2.下列二次根式中,与是同类二次根式的是   A. B. C. D. 解:与的被开方数不相同,故不是同类二次根式; ,与不是同类二次根式; ,与被开方数相同,故是同类二次根式; ,与被开方数不同,故不是同类二次根式. 故选:. 3.若、、为三角形的三条边,则   A. B. C. D. 解:、、为三角形的三条边, ,, 原式 . 故选:. 4.若,,则、两数的关系是   A.互为相反数 B.互为倒数 C.相等 D.互为负倒数 解:化简得:,, 则与互为相反数, 故选:. 5.下列各式中,一定是二次根式的有   ①②③④⑤ A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 解:①是二次根式; ②,当时是二次根式; ③是二次根式; ④是二次根式; ⑤,当时是二次根式, 故选:. 6.若实数满足,那么下列四个式子中与相等的是   A. B. C. D. 解:由得,, ,, . 故选:. 7.若,则等于   A. B. C. D. 解:, . 故选:. 二.填空题(共8小题,满分16分,每小题2分) 8.  . 解:原式, 故答案为:. 9.将根号外面的式子移到根号内是  . 解:. 故答案为:. 10.若,化简 1 . 解:, , 则,即, ,, 原式, 故答案为:1. 11.若,则的取值范围为  . 解: 由题意可得:,开方结果为,可得, 可得取值范围为:, 故答案为:. 12.二次根式与的和是一个二次根式,则正整数的最小值为 6 ;其和为  . 解:二次根式与的和是一个二次根式, 两根式为同类二次根式, 则分两种情况: ①是最简二次根式, 那么, 解得,不合题意,舍去; ②不是最简二次根式, 是最简二次根式,且取最小正整数, 可化简为,为正整数, . 当时,, 则. 故答案为:6,. 13.写出的一个有理化因式:  . 解:的有理化因式, 故答案为. 14.如果代数式有意义,那么的取值范围为  . 解:由题意得,, 解得,, 故答案为:. 15.已知,是实数,且,问,之间有怎样的关系:  . 解:, 等式的两边都乘以,得①, 等式的两边都乘以得②, ①②,得, 整理,得 所以 故答案为: 三.解答题(共8小题,满分62分) 16.计算:. 解:原式 . 17.计算: 解:原式 . 18.计算:. 解:原式 . 19.先化简,再求值:已知,,求的值. 解: , 当,时, 原式. 20.已知,求的值. 解:, , 原式 . 21.先化简,再求值:已知,求的值. 解:, , 则原式 . 22.解不等式:. 解: , 解得:. 故. 23.有这样一类题目:化简,如果你能找到两个数、,使,并且,那么将变成开方,从而将化简.例如:化简 因为 所以 仿照上例化简下列各式: (1); (2). 解:(1) ; (2) .

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  • ID:3-7895613 沪教新版 八年级上学期 第16章 二次根式 单元测试卷(Word版 含解析)

    初中数学/沪教版/八年级上册/第十六章 二次根式/本章综合与测试

    沪教新版 八年级上学期 第16章 二次根式 单元测试卷 一.选择题(共10小题) 1.已知,,则有   A. B. C. D. 2.如果,那么   A. B. C. D.为一切实数 3.已知:,,则   A. B. C.3 D. 4.若式子有意义,则   A. B. C. D.0 5.若是整数,则正整数的最小值是   A.4 B.5 C.6 D.7 6.在根式、、、、中,最简二次根式有   A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.把根号外的因式移入根号内得   A. B. C. D. 8.若最简二次根式与是同类二次根式,则的值为   A.2 B. C. D.1 9.若的整数部分为,小数部分为,则的值是   A. B. C.1 D.3 10.若,,以此类推,则的值为   A.2018 B.2019 C.2020 D.2021 二.填空题(共4小题) 11.二次根式在实数范围内有意义,则的取值范围为  . 12.已知,则的值是  . 13.若,都是实数,且,则的立方根为  . 14.观察下列等式: 第1个等式:, 第2个等式:, 第3个等式:, 第4个等式:, 按上述规律,回答以下问题: (1)请写出第个等式:  ; (2)  . 三.解答题(共11小题) 15.计算:. 16.计算: 17.① ②. 18.计算: (1); (2). 19.计算:. 20.计算题 (1); (2). 21.已知:,,分别求下列代数式的值 (1) (2) 22.化简求值:,其中,. 23.一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如. 设(其中、、、均为正整数),则有,,.这样可以把部分的式子化为平方式的方法. 请你仿照上述的方法探索并解决下列问题: (1)当、、、均为正整数时,若,用含、的式子分别表示、,得:  ,  . (2)利用所探索的结论,找一组正整数、、、填空:        ; (3)化简 24.阅读材料: 如果一个三角形的三边长分别为,,,记,那么这个三角形的面积.这个公式叫“海伦公式”,它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式.中国的秦九韶也得出了类似的公式,称三斜求积术,故这个公式又被称为“海伦秦九韶公式”完成下列问题: 如图,在中,,,. (1)求的面积; (2)设边上的高为,边上的高为,求的值. 25.小明在解方程时采用了下面的方法:由 , 又有,可得,将这两式相加可得,将两边平方可解得,经检验是原方程的解. 请你学习小明的方法,解下面的方程: (1)方程的解是  ; (2)解方程. 参考答案 一.选择题(共10小题) 1.已知,,则有   A. B. C. D. 解:因为,所以. 故选:. 2.如果,那么   A. B. C. D.为一切实数 解:, , 解得:. 故选:. 3.已知:,,则   A. B. C.3 D. 解:,, , , , 故选:. 4.若式子有意义,则   A. B. C. D.0 解:式子有意义, , 解得:. 故选:. 5.若是整数,则正整数的最小值是   A.4 B.5 C.6 D.7 解:,且是整数; 是整数,即是完全平方数; 的最小正整数值为7. 故选:. 6.在根式、、、、中,最简二次根式有   A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解:根式、、、、中,最简二次根式有、、,共3个, 故选:. 7.把根号外的因式移入根号内得   A. B. C. D. 解:成立, ,即, 原式. 故选:. 8.若最简二次根式与是同类二次根式,则的值为   A.2 B. C. D.1 解:最简二次根式与是同类二次根式, ,, ,, , 故选:. 9.若的整数部分为,小数部分为,则的值是   A. B. C.1 D.3 解:的整数部分为1,小数部分为, ,, . 故选:. 10.若,,以此类推,则的值为   A.2018 B.2019 C.2020 D.2021 解:原式 . 故选:. 二.填空题(共4小题) 11.二次根式在实数范围内有意义,则的取值范围为  . 解:二次根式在实数范围内有意义,则, 解得:. 故答案为:. 12.已知,则的值是 5 . 解:由题可得, 解得, 即, , , , 故答案为:5. 13.若,都是实数,且,则的立方根为 3 . 解:根据题意得,且, 解得且, 所以,, , , , 的立方根为3. 故答案为:3. 14.观察下列等式: 第1个等式:, 第2个等式:, 第3个等式:, 第4个等式:, 按上述规律,回答以下问题: (1)请写出第个等式: ; ; (2)  . 解:(1)第1个等式:, 第2个等式:, 第3个等式:, 第4个等式:, 第个等式:; (2) . 故答案为;. 三.解答题(共11小题) 15.计算:. 解:原式 . 16.计算: 解:原式. 17.① ②. 解:①原式 ; ②原式 . 18.计算: (1); (2). 解:(1)原式; (2)原式. 19.计算:. 解: . 20.计算题 (1); (2). 解:(1)原式 ; (2)原式 . 21.已知:,,分别求下列代数式的值 (1) (2) 解:(1),, , ; (2),, ,, . 22.化简求值:,其中,. 解:原式 , 当,时,原式. 23.一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如. 设(其中、、、均为正整数),则有,,.这样可以把部分的式子化为平方式的方法. 请你仿照上述的方法探索并解决下列问题: (1)当、、、均为正整数时,若,用含、的式子分别表示、,得:  ,  . (2)利用所探索的结论,找一组正整数、、、填空:        ; (3)化简 解:(1), , 故答案为:,. (2)设 则 , 若令,,则, 故答案为:21,4,1,2. (3) 24.阅读材料: 如果一个三角形的三边长分别为,,,记,那么这个三角形的面积.这个公式叫“海伦公式”,它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式.中国的秦九韶也得出了类似的公式,称三斜求积术,故这个公式又被称为“海伦秦九韶公式”完成下列问题: 如图,在中,,,. (1)求的面积; (2)设边上的高为,边上的高为,求的值. 【解答】解.(1)根据题意知 所以 的面积为; (2) , . 25.小明在解方程时采用了下面的方法:由 , 又有,可得,将这两式相加可得,将两边平方可解得,经检验是原方程的解. 请你学习小明的方法,解下面的方程: (1)方程的解是  ; (2)解方程. 解:(1) , , , , 经检验都是原方程的解, 方程的解是:; (2) , , , , , , 解得, 经检验是原方程的解, 方程的解是:. 故答案为:.

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  • ID:3-7895611 人教新版 八年级上学期 第12章 全等三角形 单元测试卷(Word版 含解析)

    初中数学/人教版/八年级上册/第十二章 全等三角形/本章综合与测试

    八年级上学期 第12章 全等三角形 单元测试卷 一.选择题(共10小题) 1.已知,,、相交于,下列结论:(1),(2),(3);其中正确的结论有   A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.如图,中,点的坐标为,点的坐标为,如果要使与全等,那么点的坐标是   A. B. C. D.以上都可以 3.如图,在中,,于点,,,则的度数为   A. B. C. D. 4.右图为边长相等的6个正方形的组合图形,则等于   A. B. C. D. 5.如图是两个全等三角形,图中的字母表示三角形的边长,则的度数是   A. B. C. D.、或都可以 6.如图,把两根钢条、的中点连在一起,可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳),若测得米,则槽宽为   A.3 B.4 C.5 D.6 7.如图,,,请问添加下面哪个条件不能判断的是   A. B. C. D. 8.下列结论正确的是   A.有两个锐角相等的两个直角三角形全等 B.顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等 C.一条斜边对应相等的两个直角三角形全等 D.两个等边三角形全等. 9.下列画图的语句中,正确的为   A.画直线 B.画射线 C.延长射线到,使 D.画线段 10.如图,在四边形中,,若的角平分线交于,连接,且边平分,则以下结论不正确的个数是   ①;②为中点;③;④;⑤. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 二.填空题(共5小题) 11.如图,点在的平分线上,,垂足为,点在上,若,,则  . 12.如图,在中,为的平分线,于点,于点,若的面积为,,,则的长为  . 13.如图, 在中,,是的角平分线,,,则点到的距离为   . 14.如图,已知中,,,,点为的中点,如果点在线段上以2厘米秒的速度由点向点运动,同时,点在线段上由点向点运动.若当与全等时,则点运动速度可能为  厘米秒. 15.如图,,,,则   度 . 三.解答题(共5小题) 16.如图,在中,,平分,于点,点在上,.求证:. 17.阅读并理解下面的证明过程,并在每步后的括号内填写该步推理的依据. 已知:如图,,,是的三条角平分线. 求证:、、交于一点. 证明:如图,设,交于点,过点分别作,,垂足分别为点,,. 是角平分线上的一点   ,    . 同理,.    . 是的平分线   , 在上   . 因此,,,交于一点. 18.如图,,、分别为、边中点,连接、相交于点. 求证:. 19.如图,在中,,,点从出发以每秒2个单位的速度在线段上从点向点运动,点同时从出发以每秒2个单位的速度在线段上向点运动,连接、,设、两点运动时间为秒 (1)运动  秒时,; (2)运动多少秒时,能成立,并说明理由; (3)若,,则  (用含的式子表示). 20.如图,中,,的角平分线、相交于点,过作交的延长线于点,交于点 (1)求度数; (2)求证:; (3)求证:. 参考答案 一.选择题(共10小题) 1.已知,,、相交于,下列结论:(1),(2),(3);其中正确的结论有   A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 解:,,, , ,,所以(2)正确, , ,所以(1)正确; ,,, ,所以(3)正确. 故选:. 2.如图,中,点的坐标为,点的坐标为,如果要使与全等,那么点的坐标是   A. B. C. D.以上都可以 解:与有一条公共边, 当点在的下边时,点有两种情况:①坐标是,②坐标为, 当点在的上边时,坐标为, 点的坐标是或或. 故选:. 3.如图,在中,,于点,,,则的度数为   A. B. C. D. 解:,,, 平分, , . 故选:. 4.右图为边长相等的6个正方形的组合图形,则等于   A. B. C. D. 解:观察图形可知:, , 又, . , . 故选:. 5.如图是两个全等三角形,图中的字母表示三角形的边长,则的度数是   A. B. C. D.、或都可以 解:两个三角形全等, , 故选:. 6.如图,把两根钢条、的中点连在一起,可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳),若测得米,则槽宽为   A.3 B.4 C.5 D.6 解:连接,如图, 在和△中 △, . 答:槽宽为. 故选:. 7.如图,,,请问添加下面哪个条件不能判断的是   A. B. C. D. 解:、添加,可根据判定,故正确; 、添加,不能判定,故错误; 、添加,可根据判定,故正确; 、添加,可根据判定,故正确. 故选:. 8.下列结论正确的是   A.有两个锐角相等的两个直角三角形全等 B.顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等 C.一条斜边对应相等的两个直角三角形全等 D.两个等边三角形全等. 解:、有两个锐角相等的两个直角三角形不一定全等,故不符合题意; 、顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等,故符合题意; 、一条斜边对应相等的两个直角三角形不一定全等,故不符合题意; 、两个等边三角形相似但不一定全等,故不符合题意; 故选:. 9.下列画图的语句中,正确的为   A.画直线 B.画射线 C.延长射线到,使 D.画线段 解:、错误.直线没有长度; 、错误.射线没有长度; 、错误.射线有无限延伸性,不需要延长; 、正确. 故选:. 10.如图,在四边形中,,若的角平分线交于,连接,且边平分,则以下结论不正确的个数是   ①;②为中点;③;④;⑤. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 解:, , 、分别是与的平分线, ,, , , 故③小题正确; 延长交延长线于, , , 平分, , 在与中,, , ,, , , 在与中,, , , ,故①小题正确; , ,即点为的中点,故②小题正确; , , , , ,故④小题正确; 若,则是斜边上的中线,则, 与不一定相等, 与不一定相等,故⑤小题错误. 综上所述,不正确的有⑤共1个. 故选:. 二.填空题(共5小题) 11.如图,点在的平分线上,,垂足为,点在上,若,,则 6 . 解:如图,作于点, 点在的平分线上,,, , , , 故答案为:6. 12.如图,在中,为的平分线,于点,于点,若的面积为,,,则的长为 3 . 解:为的平分线,,, , , , 即, . 故答案为3. 13.如图, 在中,,是的角平分线,,,则点到的距离为  . 解:,, , 是的角平分线,, 点到的距离等于,即点到的距离等于. 故答案为. 14.如图,已知中,,,,点为的中点,如果点在线段上以2厘米秒的速度由点向点运动,同时,点在线段上由点向点运动.若当与全等时,则点运动速度可能为 2或3.2 厘米秒. 解:,,点为的中点, , 设点、的运动时间为,则, ①当时,, 解得:, 则, 故点的运动速度为:(厘米秒); ②当时,, , (秒. 故点的运动速度为(厘米秒). 故答案为:2或3.2. 15.如图,,,,则  40  度 . 解:,,, ,, , , 故答案为: 40 . 三.解答题(共5小题) 16.如图,在中,,平分,于点,点在上,.求证:. 【解答】证明:平分,,, , 在和中,, ,, . 17.阅读并理解下面的证明过程,并在每步后的括号内填写该步推理的依据. 已知:如图,,,是的三条角平分线. 求证:、、交于一点. 证明:如图,设,交于点,过点分别作,,垂足分别为点,,. 是角平分线上的一点 已知 ,    . 同理,.    . 是的平分线   , 在上   . 因此,,,交于一点. 【解答】证明:设,交于点,过点分别作,,垂足分别为点,,. 是角平分线上的一点(已知), (角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等). 同理,. (等量代换). 是的平分线(已知), 在上(角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上). 因此,,,交于一点; 故答案为:已知;角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等;等量代换;已知;角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 18.如图,,、分别为、边中点,连接、相交于点. 求证:. 【解答】证: 且、分别为、边中点 在和中, 19.如图,在中,,,点从出发以每秒2个单位的速度在线段上从点向点运动,点同时从出发以每秒2个单位的速度在线段上向点运动,连接、,设、两点运动时间为秒 (1)运动 3 秒时,; (2)运动多少秒时,能成立,并说明理由; (3)若,,则  (用含的式子表示). 解:(1)由题可得,, ,, 当,时,, 解得, 故答案为:3; (2)当成立时,, , 解得, 运动2秒时,能成立; (3)当时,, 又,, , 又,, . 故答案为:. 20.如图,中,,的角平分线、相交于点,过作交的延长线于点,交于点 (1)求度数; (2)求证:; (3)求证:. 解:(1)平分,平分, , ; (2), , , , 在和中, , ; (3), ,,, , , 在和中, , , , , .

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  • ID:3-7895610 人教新版 八年级上学期 第12章 全等三角形 单元测试卷 (Word版 含解析)

    初中数学/人教版/八年级上册/第十二章 全等三角形/本章综合与测试

    八年级上学期 第12章 全等三角形 单元测试卷 一.选择题(共12小题) 1.如图,点,分别在线段,上,与相交于点,已知,现添加以下的哪个条件仍无法判定的是   A. B. C. D. 2.在平面直角坐标系中,点,,,,如果与全等,那么点的坐标可以是   A. B. C. D. 3.如图,在中,,,,为的角平分线,则三角形的面积为   A.3 B.10 C.12 D.15 4.如图是由4个相同的小正方形组成的网格图,其中等于   A. B. C. D. 5.如图,点,在的边上,,其中,为对应顶点,,为对应顶点,下列结论不一定成立的是   A. B. C. D. 6.如图,亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分,很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形.他的依据是   A. B. C. D. 7.下列说法:①能够完全重合的图形叫做全等形;②全等三角形的对应边相等、对应角相等;③全等三角形的周长相等、面积相等;④所有的等边三角形都全等;⑤面积相等的三角形全等.其中正确的说法有   A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 8.如图,,,,四点在一条直线上,,,再添一个条件仍不能证明的是   A. B. C. D. 9.如图,已知,,,则下列说法错误的是   A. B. C. D. 10.下列条件中,能判定两个直角三角形全等的是   A.一锐角对应相等 B.两锐角对应相等 C.一条边对应相等 D.两条直角边对应相等 11.如图,已知,垂足为,,,则可得到,理由是   A. B. C. D. 12.尺规作图是指   A.用直尺和圆规作图 B.用直尺规范作图 C.用刻度尺和圆规作图 D.用没有刻度的直尺和圆规作图 二.填空题(共6小题) 13.如图,是的平分线,,,若,则  . 14.如图,已知的周长是18,,分别平分和,于,且,则的面积是  . 15.如图,中,,,平分,若,则的面积为   . 16.如图,已知,若要用“”判定,应添加条件是   . 17.如图,若,且,,则   度. 18.如图,正方形中,点是边的中点,,交于点,、交于点,则下列结论:①;②;③;④.其中正确的答案是  ; 三.解答题(共8小题) 19.如图,点,分别在的两边上,点是内一点,,,垂足分别为,,且,.求证:. 20.如图,在和中,,,,,,,.求: (1)的度数; (2)的长. 21.已知,如图,,,,求证:. 22.已知:如图,,是的中点,且平分. (1)求证:平分. (2)试说明线段与有怎样的位置关系?并证明你的结论. 23.如图,在中,,垂足为,,点在上,,、分别是、的中点. (1)求证:; (2)求的度数.. 24.如图,在中,,点在内,,,点在外,,. (1)求的度数; (2)判断的形状并加以证明; (3)连接,若,,求的长. 25.如图(1),在平面直角坐标系中,轴于,轴于,点,,过点作分别交线段、于、两点 (1)若,求证:. (2)如图(2),且,,求的值. 26.在平面直角坐标系中,点在轴的正半轴上运动,点在轴的正半轴上运动,的外角平分线相交于点,如图1所示,连接. (1)求证:平分; (2)延长交的平分线于点,如图2所示,求证:. 参考答案 一.选择题(共12小题) 1.如图,点,分别在线段,上,与相交于点,已知,现添加以下的哪个条件仍无法判定的是   A. B. C. D. 解:,, 当添加时,可根据“”判断; 当添加时,可根据“”判断; 当添加时,可根据“”判断. 故选:. 2.在平面直角坐标系中,点,,,,如果与全等,那么点的坐标可以是   A. B. C. D. 解:如图所示:与全等,点的坐标可以是:. 故选:. 3.如图,在中,,,,为的角平分线,则三角形的面积为   A.3 B.10 C.12 D.15 解:作于,如图, 在中,,,, , 为的角平分线, , , ,解得, . 故选:. 4.如图是由4个相同的小正方形组成的网格图,其中等于   A. B. C. D. 解: 由题意得:,,, , , . 故选:. 5.如图,点,在的边上,,其中,为对应顶点,,为对应顶点,下列结论不一定成立的是   A. B. C. D. 解:, , ,成立,不符合题意; , ,成立,不符合题意; , ,成立,不符合题意; 不一定等于,不成立,符合题意, 故选:. 6.如图,亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分,很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形.他的依据是   A. B. C. D. 解:如图,、、都可以测量, 即他的依据是. 故选:. 7.下列说法:①能够完全重合的图形叫做全等形;②全等三角形的对应边相等、对应角相等;③全等三角形的周长相等、面积相等;④所有的等边三角形都全等;⑤面积相等的三角形全等.其中正确的说法有   A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 解:①中能够完全重合的图形叫做全等形,正确; ②中全等三角形的对应边相等、对应角相等,正确; ③全等三角形的周长相等、面积相等,也正确; ④中所有的等边三角形角都是,但由于边不相等,所以不能说其全等,④错误; ⑤中面积相等的三角形并不一定是全等三角形,⑤中说法错误; 故选:. 8.如图,,,,四点在一条直线上,,,再添一个条件仍不能证明的是   A. B. C. D. 解:、添加与原条件满足,不能证明,故选项正确. 、添加,可得,根据能证明,故选项错误. 、添加,根据能证明,故选项错误. 、添加,可得,根据能证明,故选项错误. 故选:. 9.如图,已知,,,则下列说法错误的是   A. B. C. D. 【解答】证明:, , , , , , , 在和中, , , , 在和中, , , . 故,,选项正确, 说法不正确, 故选:. 10.下列条件中,能判定两个直角三角形全等的是   A.一锐角对应相等 B.两锐角对应相等 C.一条边对应相等 D.两条直角边对应相等 解:两直角三角形隐含一个条件是两直角相等,要判定两直角三角形全等,起码还要两个条件,故可排除、; 而构成了,不能判定全等; 构成了,可以判定两个直角三角形全等. 故选:. 11.如图,已知,垂足为,,,则可得到,理由是   A. B. C. D. 解:在和中, , , 则如图,已知,垂足为,,,则可得到,理由是, 故选:. 12.尺规作图是指   A.用直尺和圆规作图 B.用直尺规范作图 C.用刻度尺和圆规作图 D.用没有刻度的直尺和圆规作图 解:尺规作图所用的作图工具是指不带刻度的直尺和圆规, 故选:. 二.填空题(共6小题) 13.如图,是的平分线,,,若,则 4 . 解:是的平分线,,, , , , 故答案为:4. 14.如图,已知的周长是18,,分别平分和,于,且,则的面积是 18 . 解:作于,于,连接, 平分,,, , 同理,, 的面积的面积的面积的面积 , 故答案为:18. 15.如图,中,,,平分,若,则的面积为 15 . 解:如图,过点作于, ,平分, , 的面积. 故答案为:15. 16.如图,已知,若要用“”判定,应添加条件是  . 解:添加条件:; 在和中, , . 17.如图,若,且,,则 60 度. 解:, , , 又, , 故答案为:60. 18.如图,正方形中,点是边的中点,,交于点,、交于点,则下列结论:①;②;③;④.其中正确的答案是 ①②③④ ; 【解答】证明:四边形是正方形,是边上的中点, ,,, , , 四边形是正方形, ,,, , , , , , , ,故①正确; , ,, ,故②正确; , , , 即;,故③正确; , , , , ,故④正确; 故答案为①②③④. 三.解答题(共8小题) 19.如图,点,分别在的两边上,点是内一点,,,垂足分别为,,且,.求证:. 【解答】证明:连接, ,,, , 在和中 , ,, . 20.如图,在和中,,,,,,,.求: (1)的度数; (2)的长. 解:(1) 且, , ; (2) ,且, . 21.已知,如图,,,,求证:. 【解答】证明:, , , 在和中, , . 22.已知:如图,,是的中点,且平分. (1)求证:平分. (2)试说明线段与有怎样的位置关系?并证明你的结论. 【解答】(1)证明:过作于, 平分,,, , 为的中点, , ,, 平分; (2), 证明如下: , , 平分,平分, ,, , , . 23.如图,在中,,垂足为,,点在上,,、分别是、的中点. (1)求证:; (2)求的度数.. 解:(1), , 在与中, , ; (2), ,, 、分别是、的中点, ,, , 在和中, , , , , , . 24.如图,在中,,点在内,,,点在外,,. (1)求的度数; (2)判断的形状并加以证明; (3)连接,若,,求的长. 【解答】(1)解:,, 是等边三角形, ,, 在和中, , , , . (2)解:结论:是等边三角形. 理由:, , 在和中, , , ,, 是等边三角形. (3)解:连接. ,, , ,, , , , . 25.如图(1),在平面直角坐标系中,轴于,轴于,点,,过点作分别交线段、于、两点 (1)若,求证:. (2)如图(2),且,,求的值. 解:(1)证明:轴,轴 , , 在和中 . (2)将绕点顺时针旋转, 则,, , 在和中 由(1)知四边形为边长为4的正方形 的值为4. 26.在平面直角坐标系中,点在轴的正半轴上运动,点在轴的正半轴上运动,的外角平分线相交于点,如图1所示,连接. (1)求证:平分; (2)延长交的平分线于点,如图2所示,求证:. 【解答】证明:(1)过分别向轴、轴、作垂线,垂足为,,, 平分, , 平分, , , 平分; (2)作射线, 为角平分线, , ,, , 平分, , ,, ,, , , .

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    初中数学/人教版/八年级上册/第十二章 全等三角形/本章综合与测试

    八年级上学期 第12章 全等三角形 单元测试卷 一.选择题(共10小题) 1.如图,已知,其中,那么下列结论中,不正确的是   A. B. C. D. 2.,下列结论中不正确的是   A. B. C. D. 3.如图,,,请问添加下面哪个条件不能判断的是   A. B. C. D. 4.在如图中,,于,于,、交于点,则下列结论中不正确的是   A. B.点在的平分线上 C. D.点是的中点 5.如图,在中,、分别是、上的点,作,,垂足分别为、,若,,则这四个结论中正确的有   ①平分;②;③;④. A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 6.如图,有一池塘,要测池塘两端,的距离,可先在平地上取一个直接到达和的点,连接并延长到,使,连接并延长到,使,连接,那么量出的长,就是、的距离.我们可以证明出,进而得出,那么判定和全等的依据是   A. B. C. D. 7.如图,中,,平分,交于点,,,则的长为   A.3 B.4 C.5 D.6 8.下列作图语句正确的是   A.延长线段到,使 B.延长射线 C.过点作 D.作的平分线 9.下列画图语句中,正确的是   A.画射线 B.连接,两点 C.画出,两点的中点 D.画出,两点的距离 10.尺规作图的画图工具是   A.刻度尺、量角器 B.三角板、量角器 C.直尺、量角器 D.没有刻度的直尺和圆规 二.填空题(共5小题) 11.如图为6个边长相等的正方形的组合图形,则  . 12.一个三角形的三边为2、7、,另一个三角形的三边为、2、6,若这两个三角形全等,则   . 13.如图,,要使,依据,应添加的一个条件是   . 14.如图,中,于,要使,若根据“”判定,还需要加条件  . 15.如图,在中,,,的平分线交于点,,交的延长线于点,若,则   . 三.解答题(共8小题) 16.如图,,其中点、、、在一条直线上 (1)若,,求的大小; (2)若,,求的长. 17.如图,已知. (1)若,,求的度数; (2)若,,求的长. 18.已知:如图,点、、、在一条直线上,,且 求证:. 19.如图,点、、、在一条直线上,于,于,,.求证:. 20.如图,平分,于,于,且,求证:. 21.如图,点、、、在同一直线上,点、在异侧,,,. (1)求证:; (2)若,,求的度数. 22.如图,,,,于,,,求的长. 23.探究:如图①,在中,,,直线经过点,于点,于点,求证:. 应用:如图②,在中,,、、三点都在直线上,并且有,求证:. 参考答案 一.选择题(共10小题) 1.如图,已知,其中,那么下列结论中,不正确的是   A. B. C. D. 解:, ,,, 第三个选项是错的. 故选:. 2.,下列结论中不正确的是   A. B. C. D. 解:, ,,, , 故,,正确, 故选:. 3.如图,,,请问添加下面哪个条件不能判断的是   A. B. C. D. 解:、添加,可根据判定,故正确; 、添加,不能判定,故错误; 、添加,可根据判定,故正确; 、添加,可根据判定,故正确. 故选:. 4.在如图中,,于,于,、交于点,则下列结论中不正确的是   A. B.点在的平分线上 C. D.点是的中点 解:、,于,于,,正确; 、,,,故点在的平分线上,正确; 、,,,,正确; 、无法判定,错误; 故选:. 5.如图,在中,、分别是、上的点,作,,垂足分别为、,若,,则这四个结论中正确的有   ①平分;②;③;④. A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 解:(1)平分. ,,,, , , 平分; (2)由(1)中的全等也可得; (3), , , 又平分, , , ; (4),, , , 不一定全等与(只具备一角一边的两三角形不一定全等). 故选:. 6.如图,有一池塘,要测池塘两端,的距离,可先在平地上取一个直接到达和的点,连接并延长到,使,连接并延长到,使,连接,那么量出的长,就是、的距离.我们可以证明出,进而得出,那么判定和全等的依据是   A. B. C. D. 【解答】证明:在和中, , , 故选:. 7.如图,中,,平分,交于点,,,则的长为   A.3 B.4 C.5 D.6 解:如图,过点作于, ,平分, , , 解得, . 故选:. 8.下列作图语句正确的是   A.延长线段到,使 B.延长射线 C.过点作 D.作的平分线 解:、应为:延长线段到,,故本选项错误; 、射线本身是无限延伸的,不能延长,故本选项错误; 、过点作只能作或的平行线,不一定平行于,故本选项错误; 、作的平分线,正确. 故选:. 9.下列画图语句中,正确的是   A.画射线 B.连接,两点 C.画出,两点的中点 D.画出,两点的距离 解:、射线没有长度,错误; 、连接,两点是作出线段,正确; 、画出,两点的线段,量出中点,错误; 、量出,两点的距离,错误. 故选:. 10.尺规作图的画图工具是   A.刻度尺、量角器 B.三角板、量角器 C.直尺、量角器 D.没有刻度的直尺和圆规 解:尺规作图的画图工具是没有刻度的直尺和圆规. 故选:. 二.填空题(共5小题) 11.如图为6个边长相等的正方形的组合图形,则  . 解:观察图形可知:, , 又, . , . 故答案为:. 12.一个三角形的三边为2、7、,另一个三角形的三边为、2、6,若这两个三角形全等,则 13 . 解:两个三角形全等, ,, . 故答案为:13 13.如图,,要使,依据,应添加的一个条件是  . 解:添加, 在和中,, . 故答案为:. 14.如图,中,于,要使,若根据“”判定,还需要加条件  . 解:还需添加条件, 于, , 在和中, , , 故答案为:. 15.如图,在中,,,的平分线交于点,,交的延长线于点,若,则 4 . 解:如图,延长、相交于点, 平分, , 在和中, , , , ,, ,, , 在和中, , , , , , . 故答案为:4. 三.解答题(共8小题) 16.如图,,其中点、、、在一条直线上 (1)若,,求的大小; (2)若,,求的长. 解:(1), , , , ; (2), , ,即, ,, , . 17.如图,已知. (1)若,,求的度数; (2)若,,求的长. 解:(1), , ; (2), , ,即, ,, , . 18.已知:如图,点、、、在一条直线上,,且 求证:. 【解答】证明:, , 在和中, . 19.如图,点、、、在一条直线上,于,于,,.求证:. 【解答】证明:,, . 在和中, , . . . 即:. 20.如图,平分,于,于,且,求证:. 【解答】证明:平分,于,于, ; 于,于. 在和中 ; . 21.如图,点、、、在同一直线上,点、在异侧,,,. (1)求证:; (2)若,,求的度数. 【解答】(1)证明:, , 在和中, , , ; (2)解:, ,,, , , , . 22.如图,,,,于,,,求的长. 解:于,于 , 在与中, , . ,, . 23.探究:如图①,在中,,,直线经过点,于点,于点,求证:. 应用:如图②,在中,,、、三点都在直线上,并且有,求证:. 【解答】证明:(1)直线,直线, , , , , 在和中 , ; (2)设, , , 在和中 , , ,, .

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  • ID:3-7895606 人教新版 八年级上学期 第11章 三角形 单元测试卷(Word版 含解析)

    初中数学/人教版/八年级上册/第十一章 三角形/本章综合与测试

    人教新版 八年级上学期 第11章 三角形 单元测试卷 一.选择题(共10小题) 1.等边三角形是   A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 2.如图,称有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形,则图中的共边三角形有  对. A.8 B.16 C.24 D.32 3.下列各图中,线段是的高的是   A. B. C. D. 4.若线段、分别是的边上的中线和高线,则   A. B. C. D. 5.如图所示,要使一个六边形木架在同一平面内不变形,至少还要再钉上  根木条. A.1 B.2 C.3 D.4 6.若三角形三边长分别为2,,3,且为正整数,则这样的三角形个数为   A.2 B.3 C.4 D.5 7.如图,将沿、翻折,使其顶点、均落在点处,若,则的度数为   A. B. C. D. 8.如图,是中的平分线,是的外角的平分线,如果,,则   A. B. C. D. 9.如图,在中,,,垂足为,平分,交于点,交于点,则下列结论成立的是   A. B. C. D. 10.已知是正整数,若一个三角形的3边长分别是、、,则满足条件的的值有   A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 二.填空题(共6小题) 11.,,为的三边,化简结果是  . 12.的三边分别是,,,试化简  ; 13.如图,折叠三角形纸片,使点落在边上的点,且折痕,若,则的度数为  . 14.如图,在中,,,平分,于,则的度数为  . 15.如图,的三个顶点分别位于轴、轴上,且,,过点作于,若,则的度数为  . 16.我们知道:四边形具有不稳定性.如图,在平面直角坐标系中,矩形的边在轴上,,,边长为5.现固定边,“推”矩形使点落在轴的正半轴上(落点记为,相应地,点的对应点的坐标为  . 三.解答题(共9小题) 17.若,,是的三边,化简:. 18.已知,,分别为的三边,且满足,. (1)求的取值范围; (2)若的周长为12,求的值. 19.如图,在中,,, (1)若设的长为奇数,则的取值是   ; (2)若,,,求的度数. 20.如图, 在中,,是边上的中线, 则,请说明理由 . 21.如图,,分别平分和,,,求的度数. 22.如图1,直角的直角边与直角的斜边在同一直线上,,,于点,将绕点按逆时针方向旋转,记为. (1)图1中  ,、所在直线的位置关系是  ; (2)如图2, ①若、分别交边于点、,请用含的代数式表示,则  ;此时、的数量关系为:  ; ②当  时,;当  时,; (友情提醒:可利用图3画图分析) (3)如图4,在旋转过程中,若顶点在内部(不含边界),边、分别交、的延长线于点、. ①写出的度数范围:  ; ②用含的代数式表示,则  ;此时与的数量关系为:  ; ③若,则的度数范围为:  . 23.如图,将纸片沿折叠,使点落在四边形内点的位置,探索与之间的数量关系,并说明理由. 24.如图,五边形中,,,. (1)求的度数; (2)直接写出五边形的外角和. 25.如图,点在上,点在上,连接,过点作交于点,过点作平分交于点,且. (1)求证:; (2)若,求的度数. 参考答案 一.选择题(共10小题) 1.等边三角形是   A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 解:等边三角形的三个内角都是60度,属于锐角三角形;等边三角形的三条边都相等,属于等腰三角形.观察选项,选项符合题意. 故选:. 2.如图,称有一条公共边的两个三角形为一对共边三角形,则图中的共边三角形有  对. A.8 B.16 C.24 D.32 解:以为公共边的三角形有:和; 以为公共边的三角形有:和; 以为公共边的三角形有:和; 以为公共边的三角形有:和; 以为公共边的三角形有:和和和,4个三角形中任何两个都是共边三角形,有6对; 以为公共边的三角形有:,,任何两个都是3对共边三角形; 以为公共边的三角形有:,,任何两个都是3对共边三角形. 以为公共边的三角形有:和; 以为公共边的三角形有:和和任何两个都是3对共边三角形. 以为公共边的三角形有:,,任何两个都是3对共边三角形; 以为公共边的三角形有:和; 以为公共边的三角形有:和和和三角,4个三角形中任何两个都是共边三角形,有6对; 以为公共边的三角形有:和; 以为公共边的三角形有:和. 共32对. 故选:. 3.下列各图中,线段是的高的是   A. B. C. D. 解:线段是的高的是. 故选:. 4.若线段、分别是的边上的中线和高线,则   A. B. C. D. 解:如图所示: 故选:. 5.如图所示,要使一个六边形木架在同一平面内不变形,至少还要再钉上  根木条. A.1 B.2 C.3 D.4 解:根据三角形的稳定性,要使六边形木架不变形,至少再钉上3根木条; 故选:. 6.若三角形三边长分别为2,,3,且为正整数,则这样的三角形个数为   A.2 B.3 C.4 D.5 解:由题意可得,, 解得, 为整数, 为2,3,4, 这样的三角形个数为3. 故选:. 7.如图,将沿、翻折,使其顶点、均落在点处,若,则的度数为   A. B. C. D. 解:将沿,翻折,顶点,均落在点处, ,, , , , , , , 故选:. 8.如图,是中的平分线,是的外角的平分线,如果,,则   A. B. C. D. 解:是中的平分线,是的外角的平分线, ,, ,, , 故选:. 9.如图,在中,,,垂足为,平分,交于点,交于点,则下列结论成立的是   A. B. C. D. 解:在中,,, , ,, , 平分, , , , . 故选:. 10.已知是正整数,若一个三角形的3边长分别是、、,则满足条件的的值有   A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 解:①若,则 , 解得,即, 正整数有6个:4,5,6,7,8,9; ②若,则 , 解得,即, 正整数有2个:3和4; ③若,则不等式组无解; 综上所述,满足条件的的值有7个, 故选:. 二.填空题(共6小题) 11.,,为的三边,化简结果是  . 解:,,为的三边, ,, 原式 . 故答案为:. 12.的三边分别是,,,试化简  ; 解:因为的三边分别是,,, 所以,,, 所以. 故答案为:. 13.如图,折叠三角形纸片,使点落在边上的点,且折痕,若,则的度数为  . 解:,理由如下: 由折叠的性质得:, , , ; 故答案为:. 14.如图,在中,,,平分,于,则的度数为  . 解:,, , 平分, , , , , 故答案为:. 15.如图,的三个顶点分别位于轴、轴上,且,,过点作于,若,则的度数为  . 解:,, , , , , , , , , , 故答案为:. 16.我们知道:四边形具有不稳定性.如图,在平面直角坐标系中,矩形的边在轴上,,,边长为5.现固定边,“推”矩形使点落在轴的正半轴上(落点记为,相应地,点的对应点的坐标为  . 解:由勾股定理,得 , 即. 矩形的边在轴上, 四边形是平行四边形, ,, 与的纵坐标相等, 故答案为:. 三.解答题(共9小题) 17.若,,是的三边,化简:. 解:、、是的三边, ,,, 原式. 18.已知,,分别为的三边,且满足,. (1)求的取值范围; (2)若的周长为12,求的值. 解:(1),,分别为的三边,,, , 解得:. 故的取值范围为; (2)的周长为12,, , 解得. 故的值是3.5. 19.如图,在中,,, (1)若设的长为奇数,则的取值是 3或5或7 ; (2)若,,,求的度数. 解:(1)在中,,, ; 的长为奇数, 的值为3或5或7; 故答案为:3或5或7; (2),, , 又, . 20.如图, 在中,,是边上的中线, 则,请说明理由 . 【解答】证明:是边上的中线,, ,, , , , , . 21.如图,,分别平分和,,,求的度数. 解:, , , , ,分别平分和, ,, , . 22.如图1,直角的直角边与直角的斜边在同一直线上,,,于点,将绕点按逆时针方向旋转,记为. (1)图1中 40 ,、所在直线的位置关系是  ; (2)如图2, ①若、分别交边于点、,请用含的代数式表示,则  ;此时、的数量关系为:  ; ②当  时,;当  时,; (友情提醒:可利用图3画图分析) (3)如图4,在旋转过程中,若顶点在内部(不含边界),边、分别交、的延长线于点、. ①写出的度数范围:  ; ②用含的代数式表示,则  ;此时与的数量关系为:  ; ③若,则的度数范围为:  . 解:(1), , , ,, , 故答案为:40,; (2)①, , 是的外角, , 故答案为:,; ②若,又, , , , 若,则, , 故答案为:40,10; (3)①当与重合时,,当与重合时,, 当时,顶点在内部; ②, , , , , 故答案为:,; ③, , , , 故答案为:. 23.如图,将纸片沿折叠,使点落在四边形内点的位置,探索与之间的数量关系,并说明理由. 解:, 理由是:沿折叠和重合, ,, ,, . 24.如图,五边形中,,,. (1)求的度数; (2)直接写出五边形的外角和. 解:(1), , 五边形中,,, . (2)五边形的外角和是. 25.如图,点在上,点在上,连接,过点作交于点,过点作平分交于点,且. (1)求证:; (2)若,求的度数. 【解答】(1)证明:, , , , , ; (2)解:, , , , , 平分, , , .

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    初中数学/人教版/八年级上册/第十一章 三角形/本章综合与测试

    八年级上学期 第11章 三角形 单元测试卷 一.选择题(共10小题) 1.在中,边的对角是   A. B. C. D. 2.下列四个图形中,线段是的高的图形是   A. B. C. D. 3.如图,在中,是高,是角平分线,是中线,则下列说法中错误的是   A. B. C. D. 4.三角形的两边长为和,则第三边长可以为   A.2 B.3 C.4 D.10 5.如图,中,,将沿折叠,点落在处,则的度数为   A. B. C. D. 6.具备下列条件的中,不是直角三角形的是   A. B. C. D. 7.如图,将四边形纸片沿折叠,若,则   A. B. C. D. 8.如图,已知为直角三角形,,若沿图中虚线剪去,则等于   A. B. C. D. 9.一副透明的三角板,如图叠放,直角三角板的斜边、相交于点,则的度数为   A. B. C. D. 10.已知三角形的三个外角之比为,则此三角形为   A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形 二.填空题(共10小题) 11.是的中线,,,和的周长的差是   . 12.盖房子时,在窗框未安装之前,木工师傅常常先在窗框上斜钉上一根木条,这是利用了三角形具有   的原理. 13.桥梁的斜拉钢索往往是三角形结构,这主要是利用了三角形的  . 14.三角形两边长分别是2,4,第三边长为偶数,第三边长为   . 15.如图,在五边形中,,、分别平分、,则的度数是  . 16.如果将一副三角板按如图方式叠放,那么  . 17.如图,在中,和的平分线交于点,若,则   . 18.如图,在中,,若剪去得到四边形,则  . 19.已知是的中线,,,且的周长为15,则的周长为  . 20.如图所示,①中多边形(边数为是由正三角形“扩展”而来的,②中多边形是由正方形“扩展”而来的,,依此类推,则由正边形“扩展”而来的多边形的边数为   . 三.解答题(共5小题) 21.如图,在中,,是边上高线,平分,求的度数. 22.在中,,,点在边上,连接,若为直角三角形,求的度数. 23.在中,,为的中线,且将周长分为与两部分,求三角形各边长. 24.如图,点在处的北偏东方向,点在处的北偏东方向,点在处的北偏西方向,求及的度数. 25.探究与发现: 探究一:我们知道,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.那么,三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢? 已知:如图1,与分别为的两个外角,试探究与的数量关系. 探究二:三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系? 已知:如图2,在中,、分别平分和,试探究与的数量关系. 探究三:若将改为任意四边形呢? 已知:如图3,在四边形中,、分别平分和,试利用上述结论探究与的数量关系. 参考答案 一.选择题(共10小题) 1.在中,边的对角是   A. B. C. D. 解:在中,边的对角是, 故选:. 2.下列四个图形中,线段是的高的图形是   A. B. C. D. 解:线段是的高的图是选项. 故选:. 3.如图,在中,是高,是角平分线,是中线,则下列说法中错误的是   A. B. C. D. 解:是的中线, ,说法正确,不符合题意; 是高, , ,说法正确,不符合题意; 是角平分线, ,说法错误,符合题意; , ,说法正确,不符合题意; 故选:. 4.三角形的两边长为和,则第三边长可以为   A.2 B.3 C.4 D.10 解:设第三边为,则, 所以符合条件的整数可以为4, 故选:. 5.如图,中,,将沿折叠,点落在处,则的度数为   A. B. C. D. 解:, , 由折叠知,,, , , 故选:. 6.具备下列条件的中,不是直角三角形的是   A. B. C. D. 解:选项,,即,,为直角三角形,不符合题意; 选项,,即,,为直角三角形,不符合题意; 选项,,即,同选项,不符合题意; 选项,,即,三个角没有角,故不是直角三角形,符合题意. 故选:. 7.如图,将四边形纸片沿折叠,若,则   A. B. C. D. 解:, . ,, . 故选:. 8.如图,已知为直角三角形,,若沿图中虚线剪去,则等于   A. B. C. D. 解:四边形的内角和为,直角三角形中两个锐角和为 . 故选:. 9.一副透明的三角板,如图叠放,直角三角板的斜边、相交于点,则的度数为   A. B. C. D. 解:,, , , 故选:. 10.已知三角形的三个外角之比为,则此三角形为   A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形 解:设三角形的三个外角的度数分别为、、, 则, 解得,, 三角形的三个外角的度数分别为、、, 对应的三个内角的度数分别为、、, 此三角形为直角三角形, 故选:. 二.填空题(共10小题) 11.是的中线,,,和的周长的差是 2 . 解:是的中线, , 和的周长的差, ,, 和的周长的差. 故答案为:2. 12.盖房子时,在窗框未安装之前,木工师傅常常先在窗框上斜钉上一根木条,这是利用了三角形具有 稳定性 的原理. 解:盖房子时,在窗框未安装好之前,木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条,这样就构成了三角形,故这样做的数学道理是三角形的稳定性. 故答案为:稳定性. 13.桥梁的斜拉钢索往往是三角形结构,这主要是利用了三角形的 稳定性 . 解:桥梁的斜拉钢索往往是三角形结构,这主要是利用了三角形的稳定性. 故答案为:稳定性. 14.三角形两边长分别是2,4,第三边长为偶数,第三边长为 4 . 解:设第三边为,根据三角形的三边关系知,. 即, 由周长为偶数, 则为4. 故答案为:4. 15.如图,在五边形中,,、分别平分、,则的度数是 60 . 解:五边形的内角和等于,, , 、的平分线在五边形内相交于点, , . 故答案是:60; 16.如果将一副三角板按如图方式叠放,那么  . 解:给图中角标上序号,如图所示. ,, , . 故答案为:. 17.如图,在中,和的平分线交于点,若,则  . 【解答】解;, , 和的平分线交于点, ,, , , 故答案为:. 18.如图,在中,,若剪去得到四边形,则  . 解:中,, , , . 故答案为:. 19.已知是的中线,,,且的周长为15,则的周长为 11 . 解:是的中线, , 的周长为15,,, 的周长是, 故答案为:11 20.如图所示,①中多边形(边数为是由正三角形“扩展”而来的,②中多边形是由正方形“扩展”而来的,,依此类推,则由正边形“扩展”而来的多边形的边数为  . 解:①正三边形“扩展”而来的多边形的边数是, ②正四边形“扩展”而来的多边形的边数是, ③正五边形“扩展”而来的多边形的边数为, ④正六边形“扩展”而来的多边形的边数为, 正边形“扩展”而来的多边形的边数为. 故答案为:. 三.解答题(共5小题) 21.如图,在中,,是边上高线,平分,求的度数. 解:,, , 平分, , ,是边上高线, , . 22.在中,,,点在边上,连接,若为直角三角形,求的度数. 解:当时, ,, . 当时, ,, , , 或. 23.在中,,为的中线,且将周长分为与两部分,求三角形各边长. 解:如图,为的中线 , 设,则, 当,解得, ,解得, 此时的三边长为:,; 当,,解得,, 此时的三边长为:,. 24.如图,点在处的北偏东方向,点在处的北偏东方向,点在处的北偏西方向,求及的度数. 解:,,, ,, , , . 25.探究与发现: 探究一:我们知道,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.那么,三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢? 已知:如图1,与分别为的两个外角,试探究与的数量关系. 探究二:三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系? 已知:如图2,在中,、分别平分和,试探究与的数量关系. 探究三:若将改为任意四边形呢? 已知:如图3,在四边形中,、分别平分和,试利用上述结论探究与的数量关系. 解:探究一:,, ; 探究二:、分别平分和, ,, ; 探究三:、分别平分和, ,, .

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  • ID:3-7895602 人教新版 八年级上学期 第11章 三角形 单元测试卷 (Word版 含解析)

    初中数学/人教版/八年级上册/第十一章 三角形/本章综合与测试

    八年级上学期 第11章 三角形 单元测试卷 一.选择题(共10小题) 1.如图,在中,,,,的度数是   A. B. C. D. 2.已知三角形的三边长分别为2、、3,则可能是   A.1 B.4 C.5 D.6 3.一个正多边形,它的一个内角恰好是一个外角的4倍,则这个正多边形的边数是   A.八 B.九 C.十 D.十二 4.一个五边形切去一个角后,剩余的图形是   A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.四边形或五边形或六边形 5.一次数学活动课上,小聪将一副含角的三角板的一条直角边和角的三角板的一条直角边重叠,则的度数为   A. B. C. D. 6.图中共有三角形的个数为   A.4 B.5 C.6 D.7 7.如图,在中,,,如果平分,那么的度数是   A. B. C. D. 8.下列四个图形,具有稳定性的有   A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.如图,在中,边上的高是   A. B. C. D. 10.直角三角形的一个锐角是另一个锐角的3倍,那么的度数是   A. B. C. D. 二.填空题(共5小题) 11.已知一个正边形的每个内角都为,则边数为  . 12.已知三角形三个内角的度数比为,则它的最小内角的度数为  度. 13.如图,、分别平分和,且,,则  . 14.已知,分别是的高线和角平分线. (1)若,,则  度. (2)若,,则  度(用,的代数式表示). 15.如图,中,、、分别平分的外角、内角、外角,.以下结论:①;②;③平分;④.其中正确的结论有  .(填序号) 三.解答题(共5小题) 16.如图,在中,是的角平分线,,交于点,,,求的度数. 17.(1)叙述并证明三角形内角和定理(证明用图; (2)如图2是七角星形,求的度数. 18.如图1,在中,平分,平分. (1)若,则的度数为  ; (2)若,直线经过点. ①如图2,若,求的度数(用含的代数式表示); ②如图3,若绕点旋转,分别交线段,于点,,试问在旋转过程中的度数是否会发生改变?若不变,求出的度数(用含的代数式表示),若改变,请说明理由; ③如图4,继续旋转直线,与线段交于点,与的延长线交于点,请直接写出与的关系(用含的代数式表示). 19.(1)已知:如图1,是直角三角板斜边上的一个动点,、分别是和的平分线.当点在斜边上移动时,  ; (2)把直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上: ①点和点在直线的上方(如图,此时与的数量关系是  ; ②当把这把直角三角板绕顶点旋转到点在直线的下方、点仍然在直线的上方时(如图,与的数量关系是  ; ③当把这把直角三角板绕顶点旋转到点和点都在直线的下方时(如图,与的数量关系是  . 20.已知:如左图,线段、相交于点,连接、,如右图,在左图的条件下,和的平分线和相交于点,并且与、分别相交于、.试解答下列问题: (1)在左图中,请直接写出、、、之间的数量关系:  ; (2)在右图中,若,,试求的度数;(写出解答过程) (3)如果右图中和为任意角,其他条件不变,试写出与、之间数量关系.(直接写出结论) 参考答案 一.选择题(共10小题) 1.如图,在中,,,,的度数是   A. B. C. D. 解:, , , , 故选:. 2.已知三角形的三边长分别为2、、3,则可能是   A.1 B.4 C.5 D.6 解:,, . 故选:. 3.一个正多边形,它的一个内角恰好是一个外角的4倍,则这个正多边形的边数是   A.八 B.九 C.十 D.十二 解:设多边形的一个外角为,则它的一个内角为, , 这个正边形的边数为:, 故选:. 4.一个五边形切去一个角后,剩余的图形是   A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.四边形或五边形或六边形 解:一个五边形切去一个角后,剩余的图形是四边形或五边形或六边形. 故选:. 5.一次数学活动课上,小聪将一副含角的三角板的一条直角边和角的三角板的一条直角边重叠,则的度数为   A. B. C. D. 解: 如图所示, , , , , , , 故选:. 6.图中共有三角形的个数为   A.4 B.5 C.6 D.7 解:图中有:,,,,,, 共6个. 故选:. 7.如图,在中,,,如果平分,那么的度数是   A. B. C. D. 解:在中,,, . 平分, . 在中,. 故选:. 8.下列四个图形,具有稳定性的有   A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解:第一个图形为个三角形,具有稳定性, 第二个图形是四边形,不具有稳定性; 第三个图形中左侧含有一个四边形,不具有稳定性; 第四个图形被分成了三个三角形,具有稳定性, 所以具有稳定性的有2个. 故选:. 9.如图,在中,边上的高是   A. B. C. D. 解:在中,边上的高是:. 故选:. 10.直角三角形的一个锐角是另一个锐角的3倍,那么的度数是   A. B. C. D. 解: 设,则, 由直角三角形的性质可得, ,解得, , 故选:. 二.填空题(共5小题) 11.已知一个正边形的每个内角都为,则边数为 十 . 解:由题意得,, 解得. 故答案为:十. 12.已知三角形三个内角的度数比为,则它的最小内角的度数为 45 度. 解:最小角的度数:. 故答案为:45. 13.如图,、分别平分和,且,,则  . 解:根据三角形内角和定理,, 所以,, 同理,, 、分别平分和, ,, , , ,, . 故答案为:. 14.已知,分别是的高线和角平分线. (1)若,,则 20 度. (2)若,,则  度(用,的代数式表示). 解:(1)如图所示: ,, , ,分别是的高线和角平分线, ,, , ; 故答案为:20; (2)分两种情况: ①当时,如图1所示: ,, , ,分别是的高线和角平分线, ,, , ; ②时,如图2所示: ,, , ,分别是的高线和角平分线, ,, , ; 综上所述,或; 故答案为:或. 15.如图,中,、、分别平分的外角、内角、外角,.以下结论:①;②;③平分;④.其中正确的结论有 ①②④ .(填序号) 解:平分, , , ,, ,故①正确; ,分别平分,, 可得, , ,故②正确; ,,, , ,与题目条件矛盾,故③错误, ,, ,, ,故④正确, 故答案为:①②④. 三.解答题(共5小题) 16.如图,在中,是的角平分线,,交于点,,,求的度数. 解:,, 平分 又 . 17.(1)叙述并证明三角形内角和定理(证明用图; (2)如图2是七角星形,求的度数. 【解答】(1)定理:三角形的内角和是. 已知:的三个内角分别为,,; 求证:. 证明:如图,过点作直线,使,, , ,(两直线平行,内错角相等) (平角定义) (等量代换) . (2)解:如图2, ,,, , , , . 18.如图1,在中,平分,平分. (1)若,则的度数为  ; (2)若,直线经过点. ①如图2,若,求的度数(用含的代数式表示); ②如图3,若绕点旋转,分别交线段,于点,,试问在旋转过程中的度数是否会发生改变?若不变,求出的度数(用含的代数式表示),若改变,请说明理由; ③如图4,继续旋转直线,与线段交于点,与的延长线交于点,请直接写出与的关系(用含的代数式表示). 解:(1)如图1中,平分,平分, ,, , , . 故答案为. (2)①如图2中,, ,, . ②结论不变. 理由:如图3中,, 结论成立. ③结论:如图4中,. 理由:,, . 19.(1)已知:如图1,是直角三角板斜边上的一个动点,、分别是和的平分线.当点在斜边上移动时, 45 ; (2)把直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上: ①点和点在直线的上方(如图,此时与的数量关系是  ; ②当把这把直角三角板绕顶点旋转到点在直线的下方、点仍然在直线的上方时(如图,与的数量关系是  ; ③当把这把直角三角板绕顶点旋转到点和点都在直线的下方时(如图,与的数量关系是  . 解:(1)如图1,的大小不会发生变化,理由如下: 、分别是和的平分线, ,, ; (2)①当点和点在直线的上方时(如图,; ②当点在直线的下方,点仍然在直线的上方时(如图, ,, ; ③当点和点都在直线的下方时(如图, ,, . 故答案为:45;,,. 20.已知:如左图,线段、相交于点,连接、,如右图,在左图的条件下,和的平分线和相交于点,并且与、分别相交于、.试解答下列问题: (1)在左图中,请直接写出、、、之间的数量关系:  ; (2)在右图中,若,,试求的度数;(写出解答过程) (3)如果右图中和为任意角,其他条件不变,试写出与、之间数量关系.(直接写出结论) 解:(1),, , 故答案为. (2)由(1)得,,, ,, 又、分别平分和, ,, , 即, . (3)由(2)可知:.

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    初中数学/人教版/八年级上册/第十一章 三角形/本章综合与测试

    人教新版 八年级上学期 第11章 三角形 单元测试卷 一.选择题(共10小题) 1.三角形的两边长为和,则第三边长可以为   A.2 B.3 C.4 D.10 2.已知三角形的两边分别为4和10,则此三角形的第三边可能是   A.4 B.5 C.9 D.14 3.如图,人字梯中间一般会设计一“拉杆”,以增加使用梯子时的安全性这样做的道理是   A.两点之间的所有连线中线段最短 B.三角形具有稳定性 C.经过两点有一条直线,并且只有一条直线拉杆 D.在连接直线外一点与直线上各点的线段中,垂线段最短 4.如图,在中,,点是线段上异于点和点的一点,连接,过点作交于点,过点作交于点,则下列说法中,错误的是   A.中,边上的高是 B.中,边上的高是 C.中,边上的高是 D.中,边上的高是 5.等边三角形是   A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 6.如图,中,于点,于点,则边上的高是   A. B. C. D. 7.如图,多边形中,,,则的值为   A. B. C. D. 8.三角形具有稳定性,所以要使如图所示的五边形木架不变形,至少要钉上  根木条. A.1 B.2 C.3 D.4 9.把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起,其中,,,,则等于   A. B. C. D. 10.下列图形为正多边形的是   A. B. C. D. 二.填空题(共25小题,满分50分,每小题2分) 11.若一个多边形的内角和比外角和大,则这个多边形的边数为   . 12.在各个内角都相等的多边形中,如果一个外角等于一个内角的,那么这个多边形是  边形. 13.如图,中,,将沿翻折后,点落在边上的点处.如果,那么的度数为  . 14.已知三角形的两边长分别是和,其周长的数值为偶数,则此三角形的周长为  . 15.如图,在中,,,于,于,与交于,则  . 16.已知一个正边形的每个内角都为,则边数为  . 17.如图,点是三角形内角平分线的交点,点是三角形外角平分线的交点,则与的数量关系是  . 18.如图,已知是的边上的中线,若,的周长比的周长多,则   . 19.如图,在中,,,平分,于,则的度数为  . 20.如图,中,,,平分线.过点作于点,则  . 21.如图,将纸片沿折叠,使点落在点处,若,则的度数是  . 22.如图,中,平分交于,过作交的平分线于、交于,若,则   . 23.在直角三角形中,两个锐角的差为,则这两个锐角的度数分别为   . 24.如图,是中的平分线,是的外角的平分线,如果,,则  . 25.已知三角形的三边长分别为2,,4,则化简的结果为  . 26.多边形的外角和等于  ,三角形的内角和等于  . 27.如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的,则  度. 28.如果从某个多边形的一个顶点出发,可以作2条对角线,则这个多边形的内角和是  . 29.如图,在中,,将沿着直线折叠,点落在点的位置,则的度数是  . 30.如图,在中,高,交于点.若,则  度. 31.如图,将沿折叠,点落在处.若.则的度数为  . 32.如图,将一副直角三角板,按如图所示叠放在一起,则图中  . 33.如图,中,,,是边上的高,是的角平分线,则  度. 34.如图,在中,是边上的高,是的平分线,,.则  . 35.如图,小林从点向西直走8米后,向左转,转动的角度为,再走8米,如此重复,小林共走了72米回到点,则为  . 三.解答题(共6小题,满分40分) 36.如图,在中,是边上的中线,的周长比的周长多,与的和为,求的长. 37.如图,,,,求各内角的度数. 38.一个零件的形状如图,按规定,检验已量得,,,请运用三角形的有关知识判断这个零件是否合格,并说明理由. 39.已知:如图,的两个外角的平分线交于点,如果,求的度数. 40.已知:如图,在平面直角坐标系中,点为轴负半轴上一点,. (1)求的面积; (2)若于,作的平分线交于,交于,求证: (3)若点为轴正半轴上的动点,的平分线交的延长线于点,设,,请你用含、的式子表示的大小; (4)在(3)的条件下,的值是否变化?若不变,求出其值;若变化,请说明理由. 41.阅读佳佳与明明的对话,解决下列问题: (1)“多边形内角和为”,为什么不可能? (2)明明求的是几边形的内角和? (3)错当成内角的那个外角为多少度? 参考答案 一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分) 1.三角形的两边长为和,则第三边长可以为   A.2 B.3 C.4 D.10 解:设第三边为,则, 所以符合条件的整数可以为4, 故选:. 2.已知三角形的两边分别为4和10,则此三角形的第三边可能是   A.4 B.5 C.9 D.14 解:设此三角形第三边的长为,则,即,四个选项中只有9符合条件. 故选:. 3.如图,人字梯中间一般会设计一“拉杆”,以增加使用梯子时的安全性这样做的道理是   A.两点之间的所有连线中线段最短 B.三角形具有稳定性 C.经过两点有一条直线,并且只有一条直线拉杆 D.在连接直线外一点与直线上各点的线段中,垂线段最短 解:人字梯中间一般会设计一“拉杆”,以增加使用梯子时的安全性这样做的道理是三角形具有稳定性, 故选:. 4.如图,在中,,点是线段上异于点和点的一点,连接,过点作交于点,过点作交于点,则下列说法中,错误的是   A.中,边上的高是 B.中,边上的高是 C.中,边上的高是 D.中,边上的高是 解:过点作交于点,, 中,边上的高是,边上的高是, 、两个选项说法正确,不符合题意; 交于点, 中,边上的高是,边上的高是, 选项说法错误,符合题意;选项说法正确,不符合题意; 故选:. 5.等边三角形是   A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 解:等边三角形的三个内角都是60度,属于锐角三角形;等边三角形的三条边都相等,属于等腰三角形.观察选项,选项符合题意. 故选:. 6.如图,中,于点,于点,则边上的高是   A. B. C. D. 解:边上的高是, 故选:. 7.如图,多边形中,,,则的值为   A. B. C. D. 解:连接, 五边形的内角和为:, , , , 故选:. 8.三角形具有稳定性,所以要使如图所示的五边形木架不变形,至少要钉上  根木条. A.1 B.2 C.3 D.4 解:过五边形的一个顶点作对角线,有条对角线,所以至少要钉上2根木条. 故选:. 9.把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起,其中,,,,则等于   A. B. C. D. 解:如图: ,, ,, . 故选:. 10.下列图形为正多边形的是   A. B. C. D. 解:正五边形五个角相等,五条边都相等, 故选:. 二.填空题(共25小题,满分50分,每小题2分) 11.若一个多边形的内角和比外角和大,则这个多边形的边数为 6 . 解:设多边形的边数是, 根据题意得,, 解得. 故答案为:6. 12.在各个内角都相等的多边形中,如果一个外角等于一个内角的,那么这个多边形是 十二 边形. 解:设这个多边形的每一个内角为,那么, 解得, 那么边数为. 故答案为:十二. 13.如图,中,,将沿翻折后,点落在边上的点处.如果,那么的度数为  . 解:由翻折的性质可知:,, , , , 故答案为. 14.已知三角形的两边长分别是和,其周长的数值为偶数,则此三角形的周长为  . 解:设第三边为,根据三角形的三边关系可得:. 即:, ,周长为偶数, 第三边的长为奇数数, 则可以为. 三角形的周长是 故答案为: 15.如图,在中,,,于,于,与交于,则  . 解:延长交于点, 在中,三边的高交于一点,所以, ,且, , , 在中,三内角之和为, , 故答案为. 16.已知一个正边形的每个内角都为,则边数为 十 . 解:由题意得,, 解得. 故答案为:十. 17.如图,点是三角形内角平分线的交点,点是三角形外角平分线的交点,则与的数量关系是  . 解:点是三角形内角平分线的交点,点是三角形外角平分线的交点, , 同法可证:, , 故答案为. 18.如图,已知是的边上的中线,若,的周长比的周长多,则 10 . 解:是的边上的中线, , 又,的周长比的周长多, , 即, , 故答案为:10; 19.如图,在中,,,平分,于,则的度数为  . 解:,, , 平分, , , , , 故答案为:. 20.如图,中,,,平分线.过点作于点,则  . 解:,, , 又平分线, , 又, 中,, 故答案为:. 21.如图,将纸片沿折叠,使点落在点处,若,则的度数是  . 解:连接. ,,, , 故答案为. 22.如图,中,平分交于,过作交的平分线于、交于,若,则 100 . 解:平分交于,平分, ,, , 是直角三角形, , ,, ,, ,, , , 在中,. 故答案为:100. 23.在直角三角形中,两个锐角的差为,则这两个锐角的度数分别为 , . 解:设这两个锐角的度数分别为,, 根据题意得,, 解得. 故答案为:,. 24.如图,是中的平分线,是的外角的平分线,如果,,则 30 . 解:是中的平分线,是的外角的平分线, ,, 是的外角, , 故答案为:. 25.已知三角形的三边长分别为2,,4,则化简的结果为  . 解:由三角形三边关系定理得, 即. . 故答案为:. 26.多边形的外角和等于  ,三角形的内角和等于  . 解:多边形的外角和是, 三角形三个内角的和等于. 故答案为:,. 27.如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的,则 30 度. 解:正六边形的每个内角的度数为:, 所以, 故答案为:30. 28.如果从某个多边形的一个顶点出发,可以作2条对角线,则这个多边形的内角和是  . 解:多边形从一个顶点出发可引出2条对角线, , 解得, 内角和. 故答案为:. 29.如图,在中,,将沿着直线折叠,点落在点的位置,则的度数是  . 解:由折叠的性质得:, 根据外角性质得:,, 则, 则. 故答案为:. 30.如图,在中,高,交于点.若,则 75 度. 解:,是的高, , ,, , 故答案为75. 31.如图,将沿折叠,点落在处.若.则的度数为  . 解:设的度数为,则, 由折叠可得,, 又, , , , 的度数为, 故答案为: 32.如图,将一副直角三角板,按如图所示叠放在一起,则图中  . 解:如图,,, , 故答案为:. 33.如图,中,,,是边上的高,是的角平分线,则 35 度. 解:由三角形内角和定理,得, , 又平分. , , 又, . 故答案为:35. 34.如图,在中,是边上的高,是的平分线,,.则 70 . 解:, , , , , , 平分, , , ; 故答案为:70. 35.如图,小林从点向西直走8米后,向左转,转动的角度为,再走8米,如此重复,小林共走了72米回到点,则为  . 解:设边数为,根据题意, , 则. 故答案为:. 三.解答题(共6小题,满分40分) 36.如图,在中,是边上的中线,的周长比的周长多,与的和为,求的长. 解:是边上的中线, 为的中点,. 的周长的周长. . 又, . 即的长度是. 37.如图,,,,求各内角的度数. 解:, , ; 同理, ; , 各内角的度数分别为、、. 38.一个零件的形状如图,按规定,检验已量得,,,请运用三角形的有关知识判断这个零件是否合格,并说明理由. 解:如图,是的外角,是的外角, ,, , 即. 检验已量得,就判断这个零件不合格. 39.已知:如图,的两个外角的平分线交于点,如果,求的度数. 解:, , , 、是的外角平分线, ,, , . 40.已知:如图,在平面直角坐标系中,点为轴负半轴上一点,. (1)求的面积; (2)若于,作的平分线交于,交于,求证: (3)若点为轴正半轴上的动点,的平分线交的延长线于点,设,,请你用含、的式子表示的大小; (4)在(3)的条件下,的值是否变化?若不变,求出其值;若变化,请说明理由. 解:(1)点,, ,且轴, 的面积; (2)平分, , , , 又, ; (3)在中,; (4)在和中,, , 轴, , 又(对顶角相等), , 即, , ,(是定值,不变). 41.阅读佳佳与明明的对话,解决下列问题: (1)“多边形内角和为”,为什么不可能? (2)明明求的是几边形的内角和? (3)错当成内角的那个外角为多少度? 解:(1)设多边形的边数为, , 解得, 为正整数, “多边形的内角和为”不可能. (2)设应加的内角为,多加的外角为, 依题意可列方程:, , , 解得, 又为正整数, ,. 故明明求的是十三边形或十四边形的内角和. (3)十三边的内角和:, , 又, 解得:,; 十四边的内角和:, , 又, 解得:,; 所以那个外角为或.

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  • ID:3-7895066 2019-2020学年黑龙江省哈师大附中高二下学期期中数学试卷(理科) (解析版)

    高中数学/期中专区/高二下册

    2019-2020学年黑龙江省哈师大附中高二第二学期期中数学试卷(理科) 一、选择题(共12小题). 1.甲乙和其他2名同学合影留念,站成两排两列,且甲乙两人不在同一排也不在同一列,则这4名同学的站队方法有(  ) A.8种 B.16种 C.32种 D.64种 2.函数y=x+2cosx在[0,]上取得最大值时,x的值为(  ) A.0 B. C. D. 3.为了调查某班级的作业完成情况,将该班级的52名同学随机编号01~52,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知05、18、44号同学在样本中,那么样本中还有一位同学的编号应该是(  ) A.23 B.27 C.31 D.33 4.如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是(  ) A. B. C. D. 5.在(1﹣x)(x+2)4的展开式中,含x3项的系数为(  ) A.﹣16 B.16 C.﹣8 D.8 6.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A:“取到的2个数之和为偶数”,事件B:“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)=(  ) A. B. C. D. 7.已知a为函数f(x)=x3﹣12x的极小值点,则a=(  ) A.﹣4 B.﹣2 C.4 D.2 8.某班某天上午有五节课,需安排的科目有语文,数学,英语,物理,化学,其中语文和英语必须连续安排,数学和物理不得连续安排,则不同的排课方法数为(  ) A.60 B.48 C.36 D.24 9.函数y=的图象大致为(  ) A. B. C. D. 10.某学习小组有三名男生、三名女生共计六名同学,选出四人进行学业水平测试,这四人中所含女生人数记为η,则η的数学期望为(  ) A.1 B. C.2 D.3 11.已知A,B分别是双曲线E:=1(a>0,b>0)的左右顶点,点M在E上.且|AB|:|BM|:|AM|=1:1:,则双曲线E的渐近线方程为(  ) A. B. C.y=±x D. 12.已知定义在(1,+∞)的函数f(x),f′(x)为其导函数,满足f(x)+f'(x)lnx+2x=0,且f(e)=﹣e2,若不等式f(x)≤ax对x∈(1,+∞)恒成立,则实数a的取值范围为(  ) A.[﹣e,+∞) B.(﹣e,2) C.[e,+∞) D.(﹣e2,2) 二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分.) 13.曲线y=sinx在点O(0,0)处的切线方程为   . 14.一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次.X表示抽到的二等品件数,则DX=   . 15.若(1﹣2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7,则: (1)a0=   ; (2)a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7=   . 16.如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当所得三棱锥体积(单位:cm3)最大时,△ABC的边长为   (cm). 三、解答题:(本大题共6小题,共70分.其中17题10分,18-22题每小题0分.) 17.已知函数f(x)=ln(x+1)+mx2﹣x. (1)当m=1时,求f(x)的单调区间; (2)当,且x>0时,求证:f(x)>0. 18.甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ,η,已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2. (1)求ξ,η的分布列; (2)求ξ,η的数学期望与方差,并以此比较甲、乙的射击技术. 19.已知函数y=2x2,函数图象上有两动点A(x1,y1)、B(x2,y2). (1)用x1表示在点A处的切线方程; (2)若动直线AB在y轴上的截距恒等于1,函数在A、B两点处的切线交于点P,求证:点P的纵坐标为定值. 20.国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线,每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队,筛选标准非常严格,例如要求女兵身高(单位:cm)在区间[165,175]内.现从全体受阅女兵中随机抽取200人,对她们的身高进行统计,将所得数据分为[165,167),[167,169),[169,171),[171,173),[173,175]五组,得到如图所示的频率分布直方图,其中第三组的频数为75,最后三组的频率之和为0.7. (1)请根据频率分布直方图估计样本的平均数和方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值代表); (2)根据样本数据,可认为受阅女兵的身高X(cm)近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2. (i)求P(167.86<X<174.28); (ii)若从全体受阅女兵中随机抽取10人,求这10人中至少有1人的身高在174.28cm以上的概率. 参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ﹣σ<X<μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<X<μ+2σ)=0.9544,,0.954410≈0.63,0.97729≈0.81,0.977210≈0.79. 21.2018年3月份,上海出台了《关于建立完善本市生活垃圾全程分类体系的实施方案》,4月份又出台了《上海市生活垃圾全程分类体系建设行动计划(2018﹣2020年)》,提出到2020年底,基本实现单位生活垃圾强制分类全覆盖,居民区普遍推行生活垃圾分类制度.为加强社区居民的垃圾分类意识,推动社区垃圾分类正确投放,某社区在健身广场举办了“垃圾分类,从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动,号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量,为此需要征集一部分垃圾分类志愿者? (1)为调查社区居民喜欢担任垃圾分类志愿者是否与性别有关,现随机选取了一部分社区居民进行调查,其中被调查的男性居民和女性居民人数相同,男性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占男性居民的,女性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占女性居民的,若研究得到在犯错误概率不超过0.010的前提下,认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关,则被调查的女性辱民至少多少人? 附:,其n=a+b+c+d. P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (2)某垃圾站的日垃圾分拣量y(千克)与垃圾分类志愿者人数x(人)满足回归直线方程,数据统计如下: 志愿者人数x(人) 2 3 4 5 6 日垃圾分拣量y(千克) 25 30 40 45 t 已知.请利用所给数据求t和回归直线方程; 附:=,=﹣. (3)用(2)中所求的以性回归方程得到与xi对应的日垃圾分拣量的估计值.当分拣数据yi与估计值满足|﹣yi|≤2时,则将分拣数据(xi,yi)称为一个“正常数据”.现从5个分拣数据中任取3个,记X表示取得“正常数据”的个数,求X的分布列和数学期望. 22.已知函数f(x)=aex﹣ex﹣a(a<e),其中e为自然对数的底数. (1)若曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线为y=(1﹣e)x,求a的值; (2)若函数y=f(x)的极小值为﹣1,求a的值; (3)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)+2x﹣xln(x+1)≥0. 参考答案 一、选择题(共12小题). 1.甲乙和其他2名同学合影留念,站成两排两列,且甲乙两人不在同一排也不在同一列,则这4名同学的站队方法有(  ) A.8种 B.16种 C.32种 D.64种 【分析】优先安排甲乙有AA种方法,再安排另两人有A种,相乘即可. 解:由已知先安排甲有A=4种,再安排乙有A=7种,最后安排另两人有A=2种, 则由乘法原理得这4名同学的站队方法有4×1×4=8种. 故选:A. 2.函数y=x+2cosx在[0,]上取得最大值时,x的值为(  ) A.0 B. C. D. 【分析】先求导函数,令导数等于0 求出满足条件的x,然后讨论导数符号,从而求出何时函数取最大值. 解:y′=1﹣2sinx=0 x∈[0,] 解得:x= 当x∈(,)时,y′<0,∴函数在(,)上单调递减, 故选:B. 3.为了调查某班级的作业完成情况,将该班级的52名同学随机编号01~52,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知05、18、44号同学在样本中,那么样本中还有一位同学的编号应该是(  ) A.23 B.27 C.31 D.33 【分析】根据系统抽样的定义计算出样本间隔进行求解即可. 解:用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本, 则样本间隔为52÷4=13, 故选:C. 4.如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是(  ) A. B. C. D. 【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积,结合几何概型的概率公式进行求解即可. 解:根据图象的对称性知,黑色部分为圆面积的一半,设圆的半径为1,则正方形的边长为2, 则黑色部分的面积S=, 故选:B. 5.在(1﹣x)(x+2)4的展开式中,含x3项的系数为(  ) A.﹣16 B.16 C.﹣8 D.8 【分析】把(x+2)4展开,求出二项式(1﹣x)(x+2)4的展开式中含x3项的系数. 解:(1﹣x)(x+2)4=(5﹣x)(?x4+?2x3+?22x2+?8x+?25), ∴二项式(1﹣x)(x+2)4展开式中,含x3项的系数为:﹣?22+?2=﹣16, 故选:A. 6.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A:“取到的2个数之和为偶数”,事件B:“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)=(  ) A. B. C. D. 【分析】用列举法求出事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件的个数,求p(A),同理求出P(AB),根据条件概率公式P(B|A)=即可求得结果. 解:事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件有:(1,3)、(1,5)、(7,5)、(2,4), ∴p(A)=, ∴P(B|A)=. 故选:B. 7.已知a为函数f(x)=x3﹣12x的极小值点,则a=(  ) A.﹣4 B.﹣2 C.4 D.2 【分析】可求导数得到f′(x)=3x2﹣12,可通过判断导数符号从而得出f(x)的极小值点,从而得出a的值. 解:f′(x)=3x2﹣12; ∴x<﹣2时,f′(x)>0,﹣2<x<2时,f′(x)<0,x>5时,f′(x)>0; 又a为f(x)的极小值点; 故选:D. 8.某班某天上午有五节课,需安排的科目有语文,数学,英语,物理,化学,其中语文和英语必须连续安排,数学和物理不得连续安排,则不同的排课方法数为(  ) A.60 B.48 C.36 D.24 【分析】由排列组合中的相邻问题与不相邻问题得:不同的排课方法数为=24,得解. 解:先将语文和英语捆绑在一起,作为一个新元素处理, 再将此新元素与化学全排,再在3个空中选2个空将数学和物理插入即可, 故选:D. 9.函数y=的图象大致为(  ) A. B. C. D. 【分析】判断函数的奇偶性,利用特殊值的大小,比较即可判断函数的图象. 解:函数是奇函数, 当x=1时,f(1)=>0,排除C,当x=8时,f(2)=<=f(1), 故选:B. 10.某学习小组有三名男生、三名女生共计六名同学,选出四人进行学业水平测试,这四人中所含女生人数记为η,则η的数学期望为(  ) A.1 B. C.2 D.3 【分析】推出η的可能取值为:1,2,3;分别求得其概率,进而可得分步列,由期望的计算公式,计算可得答案. 解:η的可能取值为:1,2,3. P(η=1)==,P(η=8)==,P(η=3)==. 故选:C. 11.已知A,B分别是双曲线E:=1(a>0,b>0)的左右顶点,点M在E上.且|AB|:|BM|:|AM|=1:1:,则双曲线E的渐近线方程为(  ) A. B. C.y=±x D. 【分析】利用已知条件求出M的坐标,代入双曲线方程,求出a,b的关系,然后求解双曲线的渐近线方程. 解:A,B分别是双曲线E:=1(a>3,b>0)的左右顶点,点M在E上.且|AB|:|BM|:|AM|=1:1:,可得AB=2a,BM=4a,AM=2a,所以cos∠ABM==﹣, ∴∠ABM=120°,可得M(2a,a),M代入双曲线方程可得:4﹣,解得a=b, 故选:C. 12.已知定义在(1,+∞)的函数f(x),f′(x)为其导函数,满足f(x)+f'(x)lnx+2x=0,且f(e)=﹣e2,若不等式f(x)≤ax对x∈(1,+∞)恒成立,则实数a的取值范围为(  ) A.[﹣e,+∞) B.(﹣e,2) C.[e,+∞) D.(﹣e2,2) 【分析】求出函数f(x)的解析式,问题转化为a≥﹣=g(x)对x∈(1,+∞)恒成立,结合函数的单调性求出g(x)的最大值,确定a的范围即可. 解:令f(x)lnx+x2=C, 两边求导数得: ∵f(e)=﹣e2, ∴f(x)=﹣, ∴a≥﹣=g(x)对x∈(7,+∞)恒成立, 令g′(x)>0,解得:0<x<e, 故g(x)在(1,e)递增,在(e,+∞)递减, 故a的取值范围是[﹣e,+∞), 故选:A. 二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分.) 13.曲线y=sinx在点O(0,0)处的切线方程为 x﹣y=0 . 【分析】先对函数y=sinx进行求导,再根据导数的几何意义求出曲线y=sinx在点x=π处的切线斜率,进而可得到切线方程. 解:∵y′=cosx, ∴切线的斜率k=y′|x=0=1, 即x﹣y=0. 故答案为:x﹣y=0. 14.一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次.X表示抽到的二等品件数,则DX= 1.96 . 【分析】判断概率满足的类型,然后求解方差即可. 解:由题意可知,该事件满足独立重复试验,是一个二项分布模型,其中,p=0.02,n=100, 则DX=npq=np(1﹣p)=100×0.02×0.98=1.96. 故答案为:1.96. 15.若(1﹣2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7,则: (1)a0= 1 ; (2)a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7= ﹣14 . 【分析】(1)在已知等式两端取x=0,即可求得a0; (2)把两边求导数,取x=1,即可求得a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6+7a7. 解:(1)在(1﹣2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7中,取x=0, 可得a5=1; 可得:﹣14(1﹣2x)5=a1x+2a2x+…+6a6x5+7a6x6, 故答案为:(1)1;(2)﹣14. 16.如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当所得三棱锥体积(单位:cm3)最大时,△ABC的边长为  (cm). 【分析】由题,连接OD,交BC于点G,由题意得OD⊥BC,OG=BC,设OG=x,则BC=2x,DG=5﹣x,三棱锥的高h=,求出三角形ABC的面积,写出棱锥体积,利用导数求得使棱锥体积取最大值时的x值,可得△ABC的边长. 解:由题意,连接OD,交BC于点G,由题意得OD⊥BC,OG=BC, 设OG=x,则BC=2x,DG=6﹣x, , 令f(x)=25x3﹣10x5,x∈(0,),f′(x)=100x3﹣50x4, 则f(x)≤f(2)=80, 此时△ABC的边长为BC=cm. 故答案为:4. 三、解答题:(本大题共6小题,共70分.其中17题10分,18-22题每小题0分.) 17.已知函数f(x)=ln(x+1)+mx2﹣x. (1)当m=1时,求f(x)的单调区间; (2)当,且x>0时,求证:f(x)>0. 【分析】(1)求导,令导数f′(x)<0,f′(x)>0,即可得函数的单调区间; (2)求导,利用导数求得函数的单调性,即可证得f(x)>f(0)=0. 解:. (4)当m=1时,f(x)的定义域为(﹣1,+∞),, ∴f(x)的单调递减区间为,f(x)的单调递增区间为,(0,+∞). ∵, ∴f(x)>f(0)=0. 18.甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ,η,已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2. (1)求ξ,η的分布列; (2)求ξ,η的数学期望与方差,并以此比较甲、乙的射击技术. 【分析】(1)由题意利用题中的条件已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1,可以得到:0.5+3a+a+0.1=1解出a的值,再有随机变量ξ,η的意义得到相应的分布列; (2)由于(1)中求得了随机变量的分布列,利用期望与方差的定义与二则的实际含义即可. 解:(1)依题意得0.5+3a+a+0.6=1,解得a=0.1, 因为乙射中10,9,8环的概率分别为5.3,0.3,0.2, ξ,η的分布列为: Eη=10×0.3+9×0.3+8×0.8+7×0.2=8.7, Dη=0.3×(10﹣8.7)2+0.3×(9﹣5.7)2+0.2×(8﹣8.7)2+0.6×(7﹣8.7)2=1.21, 利用期望与方差的几何含义可知:甲选手的平均成绩比乙的优秀且成绩相对稳定. 19.已知函数y=2x2,函数图象上有两动点A(x1,y1)、B(x2,y2). (1)用x1表示在点A处的切线方程; (2)若动直线AB在y轴上的截距恒等于1,函数在A、B两点处的切线交于点P,求证:点P的纵坐标为定值. 【分析】(1)求出导数,然后分别求出切点处的函数值,导数值,利用点斜式写出切线方程; (2)先分别求出切线方程,然后联立得到切线交点的纵坐标,利用AB的纵截距为1找到隐含条件,代入结论即可. 解:(1)因为:y'=4x,切点为(x1,6x12), 故切线为:, (2)证明:设A(x1,y1)、B(x2,y8), 令x=0得纵截距为:, 已知过(x7,y1)处的切线为:,① 联立①②得交点P纵坐标y=2x1x8=﹣1(定值) 20.国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线,每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队,筛选标准非常严格,例如要求女兵身高(单位:cm)在区间[165,175]内.现从全体受阅女兵中随机抽取200人,对她们的身高进行统计,将所得数据分为[165,167),[167,169),[169,171),[171,173),[173,175]五组,得到如图所示的频率分布直方图,其中第三组的频数为75,最后三组的频率之和为0.7. (1)请根据频率分布直方图估计样本的平均数和方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值代表); (2)根据样本数据,可认为受阅女兵的身高X(cm)近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2. (i)求P(167.86<X<174.28); (ii)若从全体受阅女兵中随机抽取10人,求这10人中至少有1人的身高在174.28cm以上的概率. 参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ﹣σ<X<μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<X<μ+2σ)=0.9544,,0.954410≈0.63,0.97729≈0.81,0.977210≈0.79. 【分析】(1)先算出各组的频率,再利用公式即可求出平均数和方差; (2)线根据条件求出μ,σ的值. (i)根据题目给的数据,结合正态分布的对称性,容易求出所求结果; (ii)可先求出对立事件(10人身高都在174.28之下)的概率,然后结果可求. 解:(1)由题知五组频率依次为0.1,0.2,3.375,0.25,0.075, 故, (8)由题知μ=170,, (ii),故10人中至少有1人的身高在174.28cm以上的概率P=1﹣(3﹣0.0228)10=1﹣0.977210≈1﹣0.79=0.21. 21.2018年3月份,上海出台了《关于建立完善本市生活垃圾全程分类体系的实施方案》,4月份又出台了《上海市生活垃圾全程分类体系建设行动计划(2018﹣2020年)》,提出到2020年底,基本实现单位生活垃圾强制分类全覆盖,居民区普遍推行生活垃圾分类制度.为加强社区居民的垃圾分类意识,推动社区垃圾分类正确投放,某社区在健身广场举办了“垃圾分类,从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动,号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量,为此需要征集一部分垃圾分类志愿者? (1)为调查社区居民喜欢担任垃圾分类志愿者是否与性别有关,现随机选取了一部分社区居民进行调查,其中被调查的男性居民和女性居民人数相同,男性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占男性居民的,女性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占女性居民的,若研究得到在犯错误概率不超过0.010的前提下,认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关,则被调查的女性辱民至少多少人? 附:,其n=a+b+c+d. P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (2)某垃圾站的日垃圾分拣量y(千克)与垃圾分类志愿者人数x(人)满足回归直线方程,数据统计如下: 志愿者人数x(人) 2 3 4 5 6 日垃圾分拣量y(千克) 25 30 40 45 t 已知.请利用所给数据求t和回归直线方程; 附:=,=﹣. (3)用(2)中所求的以性回归方程得到与xi对应的日垃圾分拣量的估计值.当分拣数据yi与估计值满足|﹣yi|≤2时,则将分拣数据(xi,yi)称为一个“正常数据”.现从5个分拣数据中任取3个,记X表示取得“正常数据”的个数,求X的分布列和数学期望. 【分析】(1)设被调查的女性居民人数为5x,然后补充完整2×2列联表,再根据K2的公式计算出观测值,并与附表中的临界值进行对比列出关于x的不等式,解之即可得解; (2)结合表格中的数据、参考数据和参考公式计算出t、、即可得解; (3)把x1=2,x2=3,x3=4,x4=5,x5=6分别代入(2)中得到的回归直线方程求出对应的,再求出|﹣yi|,并与2比较大小后判断出是否属于“正常数据”,然后确定X的可能取值为1,2,3,结合超几何分布计算概率的方式逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列,进而求得数学期望. 解:(1)设被调查的女性居民人数为5x,则2×2列联表如下所示, 不喜欢人数 喜欢人数 合计 男 7x 2x 5x 女 x 4x 5x 合计 4x 3x 10x ∴, 故被调查的女性居民至少有20人. ∴==,=40﹣8.5×4=6, (5)将x1=2,x5=3,x3=3,x4=5,x8=6分别代入回归直线方程得, ∴,属于“正常数据”, ,属于“正常数据”, ,不属于“正常数据”, P(X=1)=,P(X=5)=,P(X=3)=, X 1 2 3 P 数学期望E(X)=. 22.已知函数f(x)=aex﹣ex﹣a(a<e),其中e为自然对数的底数. (1)若曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线为y=(1﹣e)x,求a的值; (2)若函数y=f(x)的极小值为﹣1,求a的值; (3)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)+2x﹣xln(x+1)≥0. 【分析】(1)求导,由f'(0)=1﹣e,即可求得a的值; (2)分a≤0及0<a<e两种情形讨论,当a≤0时显然不合题意,当0<a<e时,利用导数可求得当时,f(x)取得极小值﹣1,进而得解. (3)f(x)+2x﹣xln(x+1)≥0?ex+(2﹣e)x﹣1≥xln(x+1),分别证明:当x≥0时,ln(x+1)≤x,ex+(2﹣e)x﹣1≥x2.即可得证. 【解答】(1)解:f'(x)=aex﹣e,f'(0)=a﹣e, 由题意得f'(0)=1﹣e, (2)解:当a≤4时,∵f'(x)<0,∴f(x)递减,∴f(x)没有极值; ∵,, ∴时,f(x)取得极小值﹣1. 令g(t)=elnt﹣t+7(0<t<e),则, ∴方程(*)有唯一解a=1. (6)证明:f(x)+2x﹣xln(x+1)≥0?ex+(2﹣e)x﹣1≥xln(x+8) (i)ln(x+1)≤x;(ii)ex+(2﹣e)x﹣1≥x8. ∵x≥0,∴x+1>0,∴ln(x+1)≤x,∴(i)式成立;x=0时,(ii)式显然成立;x>7时,. 则, ∵h'(x)<5?0<x<1,h'(x)>0?x>1, ∴ex+(8﹣e)x﹣1≥x2≥xln(x+1), ∴f(x)+2x﹣xln(x+1)≥0.

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  • ID:3-7895064 2019-2020学年安徽省六安中学高二下学期期中数学试卷(文科) (解析版)

    高中数学/期中专区/高二下册

    2019-2020学年安徽省六安中学高二第二学期期中数学试卷(文科) 一、单选题(共12小题). 1.设p:x<3,q:﹣1<x<3,则q是p成立的(  ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 2.下列命题中是真命题的是(  ) A.?x0∈R, B.?x∈R,lg(x2+1)≥0 C.若x2>x,则x>0”的逆命题 D.若x<y,则x2<y2”的逆否命题 3.在研究吸烟与患肺癌的关系中,通过收集数据,整理、分析数据得出“吸烟与患肺癌有关”的结论,并有99%的把握认为这个结论是成立的,下列说法中正确的是(  ) A.吸烟人患肺癌的概率为99% B.认为“吸烟与患肺癌有关”犯错误的概率不超过1% C.吸烟的人一定会患肺癌 D.100个吸烟人大约有99个人患有肺癌 4.已知函数y=f(x),其导函数y=f'(x)的图象如图所示,则y=f(x)(  ) A.在(﹣∞,0)上为减函数 B.在x=0处取极小值 C.在(1,2)上为减函数 D.在x=2处取极大值 5.用反证法证明命题:若a+b+c为偶数,则“自然a、b、c恰有一个偶数”时正确反设为(  ) A.a、b、c都是奇数 B.a、b、c都是偶数 C.a、b、c中至少有两个偶数 D.a、b、c中或都是奇数或至少有两个偶数 6.函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为(  ) A.(﹣1,1] B.(0,1] C.[1,+∞) D.(0,+∞) 7.已知命题p:?x∈R,x﹣2>0;命题q:?x≥0,<x,则下列说法中正确的是(  ) A.p∨q是假命题 B.p∧q是真命题 C.p∧(¬q)是真命题 D.p∨(¬q)是假命题 8.曲线在点(1,)处的切线的倾斜角为(  ) A. B. C. D. 9.若函数f(x)=kx﹣lnx在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是(  ) A.(﹣∞,﹣2] B.(﹣∞,﹣1] C.[1,+∞) D.[2,+∞) 10.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20厘米,要使其体积最大,则其高应为(  )厘米. A. B.100 C.20 D. 11.已知函数f(x)=x﹣lnx的图象在x=x1和x=x2处的切线互相垂直,且,则x1+x2=(  ) A.2 B.3 C.4 D.6 12.若函数f(x)=x3﹣3x+m有三个不同的零点,则实数m的取值范围是(  ) A.(1,+∞) B.(﹣∞,﹣1) C.[﹣2,2] D.(﹣2,2) 二、填空题(每题5分,共20分) 13.命题:?x∈R,sinx≤1的否定为   . 14.给出下列等式: ×=1﹣; ; … 由以上等式推出一个一般结论: 对于n∈N*,=   . 15.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=2lnx的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小值时,t的值为   . 16.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf′(x)﹣f(x)<0,其中f′(x)是函数f(x)的导函数,若2f(m﹣2020)>(m﹣2020)f(2),则实数m的取值范围为   . 三、解答题 17.已知a>0,b>0,求证:≥. 18.设命题p:实数x满足x2﹣4ax+3a2<0,其中a>0;命题q:实数x满足. (1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围; (2)若¬p是¬q的充分不必要条件,求实数a的取值范围. 19.某科研小组为了研究一种治疗新冠肺炎患者的新药的效果,选50名患者服药一段时间后,记录了这些患者的生理指标x和y的数据,并统计得到如表的2×2列联表(不完整): y≤60 7>60 合计 x≤1.7 12     36 x>1.7     7     合计             其中在生理指标x>1.7的人中,设A组为生理指标y≤60的人,B组为生理指标y>60的人,他们服用这种药物后的康复时间(单位:天)记录如下: A组:10,11,12,13,14,15,16 B组:12,13,15,16,17,14,25 (Ⅰ)填写表,并判断是否有95%的把握认为患者的两项生理指标x和y有关系; (Ⅱ)从A,B两组随机各选1人,A组选出的人记为甲,B组选出的人记为乙,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率. 附:,其中n=a+b+c+d. P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 20.设函数f(x)=x3+ax2+bx的图象与直线y=﹣3x+8相切于点P(2,2). (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数f(x)在区间[﹣1,4]上的最值. 21.已知函数,a∈R. (1)讨论f(x)的单调性; (2)当a<﹣e时,f(x)在[1,e]上的最小值为1+e,求a的值. 22.已知函数f(x)=ex﹣x﹣a(a∈R). (1)当a=0时,求证:f(x)>x; (2)讨论函数f(x)在R上的零点个数,并求出相对应的a的取值范围. 参考答案 一、单选题(共12小题). 1.设p:x<3,q:﹣1<x<3,则q是p成立的(  ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】由已知可得:可得:q?p,而p推不出q.即可得出结论. 解:p:x<3,q:﹣1<x<3, 可得:q?p,而p推不出q. 故选:B. 2.下列命题中是真命题的是(  ) A.?x0∈R, B.?x∈R,lg(x2+1)≥0 C.若x2>x,则x>0”的逆命题 D.若x<y,则x2<y2”的逆否命题 【分析】直接利用排除法和命题的真假的判断求出结果. 解:对于选项A, 对于?x0∈R,为假命题. 对于选项C: 对于选项D:若“x<y,则x2<y2”为假命题,故逆否命题为假命题. 故选:B. 3.在研究吸烟与患肺癌的关系中,通过收集数据,整理、分析数据得出“吸烟与患肺癌有关”的结论,并有99%的把握认为这个结论是成立的,下列说法中正确的是(  ) A.吸烟人患肺癌的概率为99% B.认为“吸烟与患肺癌有关”犯错误的概率不超过1% C.吸烟的人一定会患肺癌 D.100个吸烟人大约有99个人患有肺癌 【分析】“吸烟与患肺癌有关”的结论,并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的,表示有99%的把握认为这个结论成立,与多少个人患肺癌没有关系,得到结论. 解:∵“吸烟与患肺癌有关”的结论,并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的, 表示有99%的把握认为这个结论成立, 只有B选项正确, 故选:B. 4.已知函数y=f(x),其导函数y=f'(x)的图象如图所示,则y=f(x)(  ) A.在(﹣∞,0)上为减函数 B.在x=0处取极小值 C.在(1,2)上为减函数 D.在x=2处取极大值 【分析】结合图象求出函数的单调区间,求出函数的极值,确定答案. 解:x∈(﹣∞,0)时,f′(x)>0,f(x)递增, x∈(0,2)时,f′(x)<2,f(x)递减, x∈(4,+∞)时,f′(x)<0,f(x)递减, 故选:C. 5.用反证法证明命题:若a+b+c为偶数,则“自然a、b、c恰有一个偶数”时正确反设为(  ) A.a、b、c都是奇数 B.a、b、c都是偶数 C.a、b、c中至少有两个偶数 D.a、b、c中或都是奇数或至少有两个偶数 【分析】找出题中的题设,然后根据反证法的定义对其进行否定. 解:由于命题“自然数a、b、c中恰有一个偶数”的否定是“自然数a、b、c中都是奇数或至少有两个偶数”, 故选:D. 6.函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为(  ) A.(﹣1,1] B.(0,1] C.[1,+∞) D.(0,+∞) 【分析】由y=x2﹣lnx得y′=,由y′<0即可求得函数y=x2﹣lnx的单调递减区间. 解:∵y=x2﹣lnx的定义域为(7,+∞), y′=, ∴函数y=x4﹣lnx的单调递减区间为(0,1]. 故选:B. 7.已知命题p:?x∈R,x﹣2>0;命题q:?x≥0,<x,则下列说法中正确的是(  ) A.p∨q是假命题 B.p∧q是真命题 C.p∧(¬q)是真命题 D.p∨(¬q)是假命题 【分析】先得出命题p,q的真假,再根据真值表得复合命题的真假. 解:显然命题P为真命题,因为x=0时,<x不成立,所以命题q为假命题, 所以p∧(¬q)是真命题. 故选:C. 8.曲线在点(1,)处的切线的倾斜角为(  ) A. B. C. D. 【分析】根据题意,设曲线y=x3﹣2x+3在该点处切线的倾斜角为θ,求出曲线方程的导数,进而求出y′|x=1的值,即可得切线的斜率,据此分析可得答案. 解:根据题意,设曲线y=x3﹣2x+3在该点处切线的倾斜角为θ, 曲线方程为y=x3﹣7x+3,其导数y′=x2﹣2, 则有tanθ=﹣1,故θ=; 故选:D. 9.若函数f(x)=kx﹣lnx在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是(  ) A.(﹣∞,﹣2] B.(﹣∞,﹣1] C.[1,+∞) D.[2,+∞) 【分析】求出导函数f′(x),由于函数f(x)=kx﹣lnx在区间(1,+∞)单调递增,可得f′(x)≥0在区间(1,+∞)上恒成立.解出即可. 解:f′(x)=k﹣, ∵函数f(x)=kx﹣lnx在区间(1,+∞)单调递增, ∴k≥, ∴k≥1. 故选:C. 10.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20厘米,要使其体积最大,则其高应为(  )厘米. A. B.100 C.20 D. 【分析】设出圆锥的高x,求出底面半径,推出体积的函数表达式,利用导数求出体积的最大值时的高即可. 解:设圆锥的高为x,则底面半径为 其体积为V=πx(202﹣x2)(0<x<20),V′=π(400﹣3x2), 当5<x<时,V′>0;当<x<20时,V′<0; 故选:A. 11.已知函数f(x)=x﹣lnx的图象在x=x1和x=x2处的切线互相垂直,且,则x1+x2=(  ) A.2 B.3 C.4 D.6 【分析】求得f(x)的导数,可得切线的斜率,由两直线垂直的条件,化简整理,可得所求和. 解:函数f(x)=x﹣lnx的导数为f′(x)=1﹣, 可得在x=x1和x=x2处的切线斜率分别为6﹣和1﹣, 化为x7+x2=2x1x2+1=2×+1=2. 故选:A. 12.若函数f(x)=x3﹣3x+m有三个不同的零点,则实数m的取值范围是(  ) A.(1,+∞) B.(﹣∞,﹣1) C.[﹣2,2] D.(﹣2,2) 【分析】已知条件转化为函数有两个极值点,并且极小值小于0,极大值大于0,求解即可. 解:由函数f(x)=x3﹣3x+m有三个不同的零点, 则函数f(x)有两个极值点,极小值小于4,极大值大于0. 所以函数f(x)的两个极值点为 x1=1,x2=﹣1. ∴函数的极小值f(1)=m﹣2和极大值f(﹣8)=m+2. 所以 ,解之得﹣2<m<6. 故选:D. 二、填空题(每题5分,共20分) 13.命题:?x∈R,sinx≤1的否定为 ?x0∈R,使得sinx0>1 . 【分析】根据全称命题的否定方法,结合已知中的原命题,可得答案. 解:∵命题:?x∈R,sinx≤1, ∴命题的否定为:?x0∈R,使得sinx0>1, 故答案为:?x0∈R,使得sinx0>1 14.给出下列等式: ×=1﹣; ; … 由以上等式推出一个一般结论: 对于n∈N*,= 1﹣ . 【分析】由已知中的三个式子,我们分析等式左边每一个累加项的变化趋势,可以归纳出其通项为×,分析等式右边的式子,发现每一个式了均为两项差的形式,且被减数均为1,减数为,由此即可得到结论. 解:由已知中的等式: ×=1﹣; … 对于n∈N*,=1﹣. 故答案为:=1﹣. 15.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=2lnx的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小值时,t的值为 1 . 【分析】构造函数h(t)=f(t)﹣g(t)=t2﹣2lnt,求导,判断其单调性,进而求得其取得最小值时t的值. 解:设h(t)=f(t)﹣g(t)=t2﹣2lnt,则, 易知,当8<t<1时,h′(t)<0,当t>1时,h′(t)>0, ∴h(t)min=h(8),即|MN|达到最小值时,t的值为1. 故答案为:1. 16.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf′(x)﹣f(x)<0,其中f′(x)是函数f(x)的导函数,若2f(m﹣2020)>(m﹣2020)f(2),则实数m的取值范围为 (2020,2022) . 【分析】由题意构造函数,求导可得函数h(x)的单调性.把2f(m﹣2020)>(m﹣20120)f(2)转化为h(m﹣2020)>h(2).由单调性及函数的定义域,即可得到实数m的取值范围. 解:令,x∈(0,+∞), 则,∵xf'(x)﹣f(x)<0,∴h'(x)<0, ∵2f(m﹣2020)>(m﹣2020)f(2), 即h(m﹣2020)>h(2), 解得:m<2022, 故答案为:(2020,2022). 三、解答题 17.已知a>0,b>0,求证:≥. 【分析】利用分析法进行证明即可. 【解答】证明:要证≥成立, , 只需证a5+b2≥2ab成立, 很显然a2+b2﹣2ab=(a﹣b)2≥0成立, ∴≥成立. 18.设命题p:实数x满足x2﹣4ax+3a2<0,其中a>0;命题q:实数x满足. (1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围; (2)若¬p是¬q的充分不必要条件,求实数a的取值范围. 【分析】(1)若a=1,分别求出p,q成立的等价条件,利用且p∧q为真,求实数x的取值范围; (2)利用¬p是¬q的充分不必要条件,即q是p的充分不必要条件,求实数a的取值范围. 解:由x2﹣4ax+3a2<0得(x﹣a)(x﹣7a)<0,其中a>0, 得a<x<3a,a>0,则p:a<x<5a,a>0. 解得2<x≤3. (1)若a=1,则p:7<x<3, 即,解得2<x<2, (2)若¬p是¬q的充分不必要条件,即q是p的充分不必要条件, 解得1<a≤2. 19.某科研小组为了研究一种治疗新冠肺炎患者的新药的效果,选50名患者服药一段时间后,记录了这些患者的生理指标x和y的数据,并统计得到如表的2×2列联表(不完整): y≤60 7>60 合计 x≤1.7 12  24  36 x>1.7  7  7  14  合计  19   31   50  其中在生理指标x>1.7的人中,设A组为生理指标y≤60的人,B组为生理指标y>60的人,他们服用这种药物后的康复时间(单位:天)记录如下: A组:10,11,12,13,14,15,16 B组:12,13,15,16,17,14,25 (Ⅰ)填写表,并判断是否有95%的把握认为患者的两项生理指标x和y有关系; (Ⅱ)从A,B两组随机各选1人,A组选出的人记为甲,B组选出的人记为乙,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率. 附:,其中n=a+b+c+d. P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【分析】(Ⅰ)先根据题意补充完整2×2列联表,再利用K2的公式计算出其观测值,并与附表中的参考数据进行对比即可作出判断; (Ⅱ)设A组的康复时间为集合M={10,11,12,13,14,15,16},B组的康复时间为N={12,13,14,15,16,17,25},根据乘法计数原理可算得事件的总数,采用列举法得到甲的康复时间比乙的康复时间长的基本事件数,最后利用古典概型即可求得概率. 解:(Ⅰ)填表如下: y≤60 7>60 合计 x≤1.7 12 24 36 x>1.7 6 7 14 合计 19 31 50 所以. (Ⅱ)设集合M={10,11,12,13,14,15,16},N={12,13,14,15,16,17,25}. 其中符合题意的基本事件为(13,12),(14,12),(14,13),(15,12),(15,13),(15,14),(16,12),(16,13),(16,14),(16,15),共10个. 故甲的康复时间比乙的康复时间长的概率为. 20.设函数f(x)=x3+ax2+bx的图象与直线y=﹣3x+8相切于点P(2,2). (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数f(x)在区间[﹣1,4]上的最值. 【分析】(1)由题意可知f(2)=2,f'(2)=﹣3,代入即可求出a,b的值,从而求出函数f(x)的解析式; (2)先利用导数求出函数f(x)的单调区间,判断函数f(x)在区间[﹣1,4]上的单调性,从而求出f(x)在区间[﹣1,4]上的最值. 解:(1)∵函数f(x)=x3+ax2+bx的图象与直线y=﹣3x+8相切于点P(2,2), ∴f(2)=2,f'(2)=﹣3, ∴,解得, (2)f'(x)=8x2﹣12x+9=3(x﹣3)(x﹣6), 令f'(x)<0得,1<x<3, ∴f(x)=x3﹣6x2+9x的单调递增区间为(﹣2,1)和(3,4),单调减区间为(1,3) 可见f(1)=f(6)>f(3)>f(﹣1), 故最大值为4,最小值为﹣16. 21.已知函数,a∈R. (1)讨论f(x)的单调性; (2)当a<﹣e时,f(x)在[1,e]上的最小值为1+e,求a的值. 【分析】(1)求导得,定义域为(0,+∞),再分a≥0和a<0两类讨论f'(x)与0的大小关系即可得解; (2)由(1)知,当a<﹣e时,f(x)在[1,e]上单调递减,故f(x)min=f(e)=1﹣,解之即可. 解:(1)由题意得,f(x)的定义域为(0,+∞),, ①当a≥0时,f'(x)>6恒成立,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增; ②当a<0时,令f'(x)>0,得x>﹣a;令f'(x)<0,得x<﹣a, ∴f(x)在(0,﹣a]上单调递减,在(﹣a,+∞)上单调递增. 当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增; (2)由(1)知,当a<﹣e时,f(x)在[1,e]上单调递减, ∴a=﹣e2. 22.已知函数f(x)=ex﹣x﹣a(a∈R). (1)当a=0时,求证:f(x)>x; (2)讨论函数f(x)在R上的零点个数,并求出相对应的a的取值范围. 【分析】(1)当a=0时,构造函数g(x)=f(x)﹣x,求函数的导数,研究函数的单调性和最值进行证明即可. (2)求函数的导数,研究函数的单调性和极值,结合极值与0的关系进行判断即可. 【解答】(1)证明:当a=0时.f(x)=ex﹣x. 令g(x)=f(x)﹣x=ex﹣x﹣x=ex﹣2x. 当x<ln4时,g′(x)<0,当x>ln2时,g′(x)>0 在(ln2,+∞)内是增函数, 即g(x)min=g(ln2)=eln2﹣2ln2=2ln>0. (2)解:f′(x)=ex﹣1,由f'(x)=0.得x=0. 所以f(x)在(﹣∞,7)上是减函数,在(0.+∞)内是增函数, 即f(x)min=f(0)=l﹣a, 当1﹣a=0,即a=1时,f(x)在一、选择题上只有1个零点, 所以f(x)在(﹣∞,7)内只有一个零点,由(1)得ex>2x,令x=a,则得ea>2a. 于是f(x)在(0,+∞)内有一个零点; 综上当a<1时,函数f(x)在R上没有零点, 当a>l时,函数f(x)在R上有两个零点.

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  • ID:3-7895063 2019-2020学年安徽省滁州市定远县重点中学高二下学期期中数学试卷(理科) (解析版)

    高中数学/期中专区/高二下册

    2019-2020学年安徽省滁州市定远县重点中学高二第二学期期中数学试卷(理科) 一、选择题(共12小题). 1.已知m为正数,则“m>1”是“”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知命题p:“函数f(x)=2ax2+3lnx在区间(0,1]上是增函数”;命题q:“存在x0∈[1,+∞),使成立”,若p∧q为真命题,则a的取值范围为(  ) A. B. C. D. 3.已知四棱锥P﹣ABCD中,,,,则点P到底面ABCD的距离为(  ) A. B. C.1 D.2 4.自圆C:(x﹣3)2+(y+4)2=4外一点P(x,y)引该圆的一条切线,切点为Q,切线的长度等于点P到原点O的长,则|PQ|的最小值为(  ) A. B.3 C.4 D. 5.设F1,F2分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF1|=3|BF1|,若cos∠AF2B=,则椭圆E的离心率为(  ) A. B. C. D. 6.已知双曲线C的中心为原点,F(3,0)是C的焦点,过F的直线l与C相交于A,B两点,且AB的中点为N(﹣12,﹣15),则该双曲线的渐近线方程为(  ) A. B. C. D. 7.已知函数f(x)对定义域内R内的任意x都有f(x)=f(4﹣x),且当x≠2时,其导数f'(x)满足xf'(x)>2f'(x),若2<a<4,则(  ) A. B. C. D. 8.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=3,则|QF|=(  ) A. B. C.3 D.2 9.已知函数f(x)=ex﹣(x+1)2(e为2.71828…),则f(x)的大致图象是(  ) A. B. C. D. 10.已知A、B两点均在焦点为F的抛物线y2=2px(p>0)上,若||+||=4,线段AB的中点到直线x=的距离为1,则p的值为(  ) A.1 B.1或3 C.2 D.2或6 11.已知向量=(1﹣t,1﹣t,t),=(2,t,t),则|﹣|的最小值为(  ) A. B. C. D. 12.已知函数f(x)=xlnx﹣aex(e为自然对数的底数)有两个极值点,则实数a的取值范围是(  ) A. B.(0,e) C. D.(﹣∞,e) 二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) 13.已知α∥β,平面α与平面β的法向量分别为,,且=(1,﹣2,5),=(﹣3,6,z),则z=   . 14.抛物线y2=2mx(m>0)的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3,则此抛物线的方程为   . 15.已知函数f(x)=+2ax﹣lnx,若f(x)在区间上是增函数,则实数a的取值范围是   . 16.下列说法中所有正确的命题的序号是    ①“x<2”是“x2<4”成立的充分非必要条件 ②已知a,b∈R,则“ab>0”是“”的必要非充分条件 ③若一个命题的逆命题为真,则它的否命题一定为真 ④设等比数列{an}的前n项和为Sn,则“a1<0”是“S3<S2”成立的充要条件. 三、解答题(共6小题,共70分) 17.设命题p:<0,命题q:关于x不等式x+(x﹣2c)2>1的解集为R. (1)若命题q为真命题,求实数c的取值范围; (2)若命题p或q是真命题,p且q是假命题,求实数c的取值范围. 18.已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值﹣. (1)试求动点P的轨迹方程C; (2)设直线l:y=kx+1与曲线C交于M.N两点,当|MN|=时,求直线l的方程. 19.已知F1,F2分别是双曲线E:(a>0,b>0)的左、右焦点,P是双曲线上一点,F2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍, (1)求双曲线的渐近线方程; (2)当∠F1PF2=60°时,△PF1F2的面积为,求此双曲线的方程. 20.已知函数f(x)=ex(sinx﹣ax2+2a﹣e),其中a∈R,e=2.71828…为自然数的底数. (1)当a=0时,讨论函数f(x)的单调性; (2)当≤a≤1时,求证:对任意的x∈[0,+∞),f(x)<0. 21.已知抛物线x2=4y焦点为F,点A,B,C为该抛物线上不同的三点,且满足++=. (1)求|FA|+|FB|+|FC|; (2)若直线AB交y轴于点D(0,b),求实数b的取值范围. 22.已知函数,实数a>0. (Ⅰ)若a=2时,求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)若x>0时,不等式f(x)<0恒成立,求实数a的最大值. 参考答案 一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分) 1.已知m为正数,则“m>1”是“”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】令f(x)=lgx+x﹣1,x∈(0,1),f(1)=0.利用导数研究其单调性即可判断出结论. 解:令f(x)=lgx+x﹣1,x∈(0,1),f(1)=0. f′(x)=+1>4, ∴f(x)<f(1)=0. ∴“m>1”?“”. 故选:C. 2.已知命题p:“函数f(x)=2ax2+3lnx在区间(0,1]上是增函数”;命题q:“存在x0∈[1,+∞),使成立”,若p∧q为真命题,则a的取值范围为(  ) A. B. C. D. 【分析】分别求解两个命题都是真命题时,a的范围,利用复合命题的真假,求解a的范围即可. 解:命题p:,f(x)在(0,1]上单调递增,等价于f′(x)≥8,恒成立, 在(8,1]上为增函数,x=1时取最大值,则; 而函数为减函数,x=1时有最大值为,则,又p∧q为真命题, 所以; 故选:B. 3.已知四棱锥P﹣ABCD中,,,,则点P到底面ABCD的距离为(  ) A. B. C.1 D.2 【分析】求出平面ABCD的法向量,然后利用点到平面的距离公式求解即可. 解:四棱锥P﹣ABCD中,,,,设平面ABCD的法向量为=(x,y,z), 则, 不妨令x=3,则y=12,z=4, 则,在平面ABCD上的射影就是这个四棱锥的高h, 所以该四棱锥的高为2. 故选:D. 4.自圆C:(x﹣3)2+(y+4)2=4外一点P(x,y)引该圆的一条切线,切点为Q,切线的长度等于点P到原点O的长,则|PQ|的最小值为(  ) A. B.3 C.4 D. 【分析】由题意画出图象,根据条件和圆的切线性质列出方程化简,求出点P的轨迹方程,结合条件和两点之间、点到直线的距离公式求出|PQ|的最小值. 解:由题意得,圆心C(3,﹣4),半径r=2,如图: 因为|PQ|=|PO|,且PQ⊥CQ,所以|PO|2+r2=|PC|2, 即2x+8y﹣21=0,所以点P在直线6x+8y﹣21=0上, 当直线PO垂直于直线6x+8y﹣21=7时,|PQ|最小, 故选:D. 5.设F1,F2分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF1|=3|BF1|,若cos∠AF2B=,则椭圆E的离心率为(  ) A. B. C. D. 【分析】设|F1B|=k(k>0),则|AF1|=3k,|AB|=4k,由cos∠AF2B=,利用余弦定理,可得a=3k,从而△AF1F2是等腰直角三角形,即可求椭圆E的离心率. 解:设|F1B|=k(k>0),则|AF1|=3k,|AB|=4k, ∴|AF2|=2a﹣3k,|BF4|=2a﹣k 在△ABF2中,由余弦定理得,|AB|2=|AF2|2+|BF2|2﹣2|AF5|?|BF2|cos∠AF2B, 化简可得(a+k)(a﹣3k)=0,而a+k>0,故a=7k, ∴|BF2|2=|AF2|2+|AB|2, ∴△AF1F2是等腰直角三角形, ∴椭圆的离心率e==, 故选:D. 6.已知双曲线C的中心为原点,F(3,0)是C的焦点,过F的直线l与C相交于A,B两点,且AB的中点为N(﹣12,﹣15),则该双曲线的渐近线方程为(  ) A. B. C. D. 【分析】利用点差法求出直线AB的斜率,再根据F(3,0)是双曲线的焦点,过F的直线l与双曲线相交于A,B两点,且AB的中点为N(﹣12,﹣15),可建立方程组,从而可求双曲线的渐近线方程. 解:由题意,不妨设双曲线的方程为(a>6,b>0) ∵F(3,0)是双曲线的焦点,∴c=3,∴a2+b2=6.设A(x1,y1),B(x2,y2)则有:①; 由①﹣②得:=, ∴= ∴1=,即4b8=5a2,∴, 故选:A. 7.已知函数f(x)对定义域内R内的任意x都有f(x)=f(4﹣x),且当x≠2时,其导数f'(x)满足xf'(x)>2f'(x),若2<a<4,则(  ) A. B. C. D. 【分析】由f(x)=f(4﹣x),可知函数f(x)关于直线x=2对称,由xf′(x)>2f′(x),可知f(x)在(﹣∞,2)与(2,+∞)上的单调性,从而可得答案. 解:∵函数f(x)对定义域R内的任意x都有f(x)=f(4﹣x), ∴f(x)关于直线x=2对称; ∴当x>2时,f′(x)>0,f(x)在(2,+∞)上的单调递增; ∵2<a<4, 令g′(x)>3,解得:x<e,令g′(x)<0,解得:x>e, 故g(x)的最小值是g(2)=g(4)=,最大值是g(e)=; 故h(x)在(2,e)递增,在(e,8)递减, 故2>>>>, 而2x>4,故f(4x)>f(0), 故选:B. 8.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=3,则|QF|=(  ) A. B. C.3 D.2 【分析】设l与x轴的交点为M,过Q向准线l作垂线,垂足为N,由=3,可得=,又|MF|=p=4,根据抛物线的定义即可得出. 解:设l与x轴的交点为M,过Q向准线l作垂线,垂足为N, ∵=3, ∴|NQ|=, ∴|QF|=. 故选:A. 9.已知函数f(x)=ex﹣(x+1)2(e为2.71828…),则f(x)的大致图象是(  ) A. B. C. D. 【分析】求出函数的导数判断函数的单调性,然后判断选项即可. 解:函数f(x)=ex﹣(x+1)2. 可得函数f′(x)=ex﹣2x﹣2,显然x→+∞时,导函数f′(x)>0,函数是增函数;排除A,D; 故选:C. 10.已知A、B两点均在焦点为F的抛物线y2=2px(p>0)上,若||+||=4,线段AB的中点到直线x=的距离为1,则p的值为(  ) A.1 B.1或3 C.2 D.2或6 【分析】如图,设AB中点为M,A、B、M在准线l上的射影分别为C、D、N,连接AC、BD、MN.设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),根据抛物线定义和梯形的中位线定理,列式并化简整理可得|2﹣p|=1,解之得p=1或3. 解:分别过A、B作准线l:x=﹣的垂线,垂足分别为C、D, 设AB中点M在准线上的射影为点N,连接MN, 根据抛物线的定义,得 可得x0+=2,x0=2﹣, ∴|2﹣p|=1,解之得p=6或3 故选:B. 11.已知向量=(1﹣t,1﹣t,t),=(2,t,t),则|﹣|的最小值为(  ) A. B. C. D. 【分析】用向量减法坐标法则求的坐标,再用向量模的坐标公式求模的最小值. 解:=(1﹣t﹣2,1﹣t﹣t,t﹣t)=(﹣t﹣1,1﹣6t,0) ==(﹣t﹣1)2+(1﹣2t)3=5t2﹣3t+2 ∴的最小值是 故选:C. 12.已知函数f(x)=xlnx﹣aex(e为自然对数的底数)有两个极值点,则实数a的取值范围是(  ) A. B.(0,e) C. D.(﹣∞,e) 【分析】求出函数的导数,问题转化为y=a和g(x)=在(0,+∞)2个交点,根据函数的单调性求出g(x)的范围,从而求出a的范围即可. 解:f′(x)=lnx﹣aex+1, 若函数f(x)=xlnx﹣aex有两个极值点, g′(x)=,(x>0), h(x)在(0,+∞)递减,而h(6)=0, x∈(1,+∞)时,h(x)<0,即g′(x)<0,g(x)递减, 而x→0时,g(x)→﹣∞,x→+∞时,g(x)→0, 只需8<a<, 故选:A. 二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) 13.已知α∥β,平面α与平面β的法向量分别为,,且=(1,﹣2,5),=(﹣3,6,z),则z= ﹣15 . 【分析】由题意可得:∥,再利用向量共线定理即可得出. 解:由题意可得:∥,∴,解得z=﹣15. 故答案为:﹣15. 14.抛物线y2=2mx(m>0)的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3,则此抛物线的方程为 y2=20x . 【分析】求出抛物线的焦点坐标,双曲线的渐近线方程,然后利用点到直线的距离公式列出方程求解即可. 解:抛物线y2=2mx(m>0)的焦点(,0)到双曲线的一条渐近线3x+4y=0的距离为3, 可得:,解得m=10, 故答案为:y2=20x. 15.已知函数f(x)=+2ax﹣lnx,若f(x)在区间上是增函数,则实数a的取值范围是 a≥ . 【分析】由题意,f(x)在区间上是增函数可化为在恒成立,从而再化为最值问题. 解:∵f(x)在区间上是增函数, ∴在恒成立, ∵﹣x+在上是减函数, ∴即. 故答案为:a≥. 16.下列说法中所有正确的命题的序号是 ②③④  ①“x<2”是“x2<4”成立的充分非必要条件 ②已知a,b∈R,则“ab>0”是“”的必要非充分条件 ③若一个命题的逆命题为真,则它的否命题一定为真 ④设等比数列{an}的前n项和为Sn,则“a1<0”是“S3<S2”成立的充要条件. 【分析】运用充分必要条件和基本不等式,以及四种命题的关系和等比数列的通项和求和的关系,对选项一一判断,即可得到正确命题. 解:①由于x2<4?﹣2<x<7, 可得“x<2”是“x2<3”成立的必要非充分条件,故①错; ②已知a,b∈R,ab>0即有>0,且>0,则+≥2, 当且仅当a=b时,取得等号, ③一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题, ④“a4<0”可得““a1q2=a4<0”即有“S3<S2”; 则“a1<0”是“S3<S3”成立的充要条件,故④对. 故答案为:②③④. 三、解答题(共6小题,共70分) 17.设命题p:<0,命题q:关于x不等式x+(x﹣2c)2>1的解集为R. (1)若命题q为真命题,求实数c的取值范围; (2)若命题p或q是真命题,p且q是假命题,求实数c的取值范围. 【分析】(1)当q为真命题时,不等式x+(x﹣2c)2>1的解集为R,推导出c>; (2)由题设,若p和q有且只有一个为真命题,由此能求出c的取值范围. 解:(1)当q为真命题时,不等式x+(x﹣2c)2>3的解集为R, 所以当x∈R时,x2﹣(4c﹣1)x+(4c2﹣1)>0恒成立. 所以c>. 当q为真命题时,c>. ①当p真,q假时,,可得 ②当p假,q真时,,可得c>1, 综上所述,c的取值范围是(,)∪(1,+∞). 18.已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值﹣. (1)试求动点P的轨迹方程C; (2)设直线l:y=kx+1与曲线C交于M.N两点,当|MN|=时,求直线l的方程. 【分析】(Ⅰ)设出P的坐标,利用动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值,建立方程,化简可求动点P的轨迹方程C. (Ⅱ)直线l:y=kx+1与曲线C方程联立,利用韦达定理计算弦长,即可求得结论. 解:(Ⅰ)设动点P的坐标是(x,y),由题意得:kPAkPB= ∴,化简,整理得 (Ⅱ)设直线l与曲线C的交点M(x4,y1),N(x2,y2), ∴x1+x2=,x1 x2=8, 整理得,k4+k2﹣2=0,解得k2=1,或k2=﹣2(舍) ∴直线l的方程是y=±x+1,即:x﹣y+6=0或x+y﹣1=0 19.已知F1,F2分别是双曲线E:(a>0,b>0)的左、右焦点,P是双曲线上一点,F2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍, (1)求双曲线的渐近线方程; (2)当∠F1PF2=60°时,△PF1F2的面积为,求此双曲线的方程. 【分析】(1)根据双曲线的渐近线方程和点到直线的距离即可求出a和b的关系,问题得以解决, (2)根据余弦定理和三角形的面积公式以及双曲线的定义可得b2=48,问题得以解决. 解:(1)因为双曲线的渐近线方程为bx±ay=0, 则点F2到渐近线距离为(其中c是双曲线的半焦距), 解得, (2)因为∠F1PF2=60°,由余弦定理得, 又由双曲线的定义得||PF1|﹣|PF6||=2a, 相减得. 得b2=48.再由上小题结论得, 故所求双曲线方程是. 20.已知函数f(x)=ex(sinx﹣ax2+2a﹣e),其中a∈R,e=2.71828…为自然数的底数. (1)当a=0时,讨论函数f(x)的单调性; (2)当≤a≤1时,求证:对任意的x∈[0,+∞),f(x)<0. 【分析】(1)求函数的导数,利用函数单调性和导数之间的关系进行讨论即可. (2)对任意的x∈[0,+∞),f(x)<0转化为证明对任意的x∈[0,+∞),sinx﹣ax2+2a﹣e<0,即可,构造函数,求函数的导数,利用导数进行研究即可. 解:(1)当a=0时,f(x)=ex(sinx﹣e), 则f′(x)=ex(sinx﹣e)+excosx=ex(sinx﹣e+cosx), ∴sinx+cosx﹣e<0 则f(x)在R上单调递减. 要证明对任意的x∈[0,+∞),f(x)<0. 设g(a)=sinx﹣ax4+2a﹣e=(﹣x2+3)a+sinx﹣e, 要使sinx﹣ax2+2a﹣e<0, ∵sinx+1﹣e<0恒成立,∴①恒成立, 则h′(x)=cosx﹣2x, ∴t=,sint<sin, 则当x=t时,函数h(x)取得最大值h(t)=sint﹣t2+2﹣e=sint﹣()2+2﹣e 故④式成立, 综上对任意的x∈[0,+∞),f(x)<2. 21.已知抛物线x2=4y焦点为F,点A,B,C为该抛物线上不同的三点,且满足++=. (1)求|FA|+|FB|+|FC|; (2)若直线AB交y轴于点D(0,b),求实数b的取值范围. 【分析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),求得抛物线的焦点坐标,准线方程,运用抛物线的定义和向量的坐标表示,可得所求和; (2)显然直线AB斜率存在,设为k,则直线AB方程为y=kx+b,代入抛物线的方程,运用判别式大于0和韦达定理,结合向量的坐标表示,求出C的坐标,代入抛物线的方程,可得b的范围,讨论b=1不成立,即可得到所求范围. 解:设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x8,y3), 由抛物线x2=4y得焦点F坐标为(0,1), 所以由++=,得,(*) 由抛物线定义可知|FA|=y1+1,|FB|=y2+1,|FC|=y3+1, (2)显然直线AB斜率存在,设为k,则直线AB方程为y=kx+b, 所以△=16k2+16b>0即k2+b>6…① 代入式子(*)得又点C也在抛物线上, 由①,②及k2≥0可解得 即﹣<b≤, 得与共线,即点C也在直线AB上,此时点C必与A,B之一重合, 所以实数b的取值范围为(﹣,1)∪(1,]. 22.已知函数,实数a>0. (Ⅰ)若a=2时,求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)若x>0时,不等式f(x)<0恒成立,求实数a的最大值. 【分析】(Ⅰ)a=2时,f(x)=ln(1+x)﹣,f′(x)=.(x>﹣1).即可得出单调区间. (Ⅱ)函数,实数a>0.f(0)=0.(x>0).可得f′(x)=.令g(x)=(1+x)a﹣(1+x)+ax,g(0)=0.对a分类讨论,利用导数研究函数的单调性即可得出. 解:(Ⅰ)a=2时,f(x)=ln(1+x)﹣,f′(x)=﹣=.(x>﹣1). ∴函数f(x)的单增区间为(2,+∞);单减区间为(﹣1,0). f′(x)=﹣ 令g(x)=(1+x)a﹣(1+x)+ax,g(5)=0. ①当0<a时,g′(x)≤0,函数g(x)单调递减,∴g(x)<g(0)=6.f′(x)<0,函数f(x)单调递减,∴f(x)<f(0)=0,满足条件. ②a时,存在x7>0,使得g′(x0)=5,g′(x)>0,函数g(x)在(0,x0)上单调递增,g(x)>g(8). 综上可得:a. 即a的最大值为:.

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  • ID:3-7895061 2019-2020学年四川省绵阳市南山中学高一下学期期中数学试卷 (解析版)

    高中数学/期末专区/高一下册

    2019-2020学年四川绵阳市南山中学高一第二学期期中数学试卷 一、选择题(共12小题). 1.已知向量=(2,1),,则=(  ) A.(﹣1,3) B.(1,﹣3) C.(3,5) D.(﹣3,﹣5) 2.等差数列{an}中,若a5=10,a10=5,则数列{an}的公差为(  ) A.1 B.﹣1 C.5 D.﹣5 3.如果a,b∈R且a>b,那么下列不等式中不一定成立的是(  ) A.﹣a<﹣b B.a﹣1>b﹣2 C.a2>ab D.a﹣b>b﹣a 4.不等式x(2﹣x)>0的解集是(  ) A.(﹣∞,2) B.(0,2) C.(﹣∞,0) D.(﹣∞,0)∪(2,+∞) 5.在△ABC中,,AC=1,,△ABC的面积为,则C=(  ) A. B. C. D. 6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a6=20﹣a12,则S17等于(  ) A.170 B.85 C.340 D.10 7.设变量x、y满足约束条件,则目标函数z=2x+y的最大值为(  ) A.2 B.3 C.4 D.9 8.如图,已知正六边形P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中最大的是(  ) A. B. C. D. 9.已知等比数列{an}中,a2?a4?a6?a8=16,则a3?a7等于(  ) A.±4 B.4 C.8 D.±8 10.南山中学红豆园内的红豆树已有百年历史.百年红豆树,十年树一花.时光流转,红豆花开,读书爱国的气息随这花开风起.如图,小明为了测量红豆树高度,他在正西方向选取与红豆树根部C在同一水平面的A、B两点,在A点测得红豆树根部C在西偏北30°的方向上,步行40米到B处,测得树根部C在西偏北75°的方向上,树梢D的仰角为30°,则红豆树的高度为(  ) A.米 B.米 C.米 D.米 11.已知数列{an}满足a1=1,,则a2020=(  ) A. B. C. D. 12.设x>0,y>0且x+y=4,则+的最小值是(  ) A. B. C. D. 二、填空题 13.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,则B的大小为   . 14.设向量,,,若,则实数x的值是   . 15.已知a=x3+y3,b=x2y+xy2,其中x,y均为正数,则a,b的大小关系为   . 16.等差数列1,3,5,7,11……,按如下方法分组:(1),(3,5),(7,9,11),(13,15,17,19),……,则第n组中各数之和为   . 三、解答题 17.设△ABC的内角A,B,C所对应的边长分别是a,b,c且cosB=,b=2. (Ⅰ)当A=30°时,求a的值; (Ⅱ)当△ABC的面积为3时,求a+c的值. 18.已知平面向量,满足,. (Ⅰ)若与的夹角为,且,求实数x的值; (Ⅱ)若对于一切实数x,恒成立,求与的夹角. 19.已知f(x)=ax2+bx+c. (Ⅰ)若a=1时,f(x)<0的解集为{x|﹣1<x<2},解不等式cx2+bx+a≥0; (Ⅱ)若b=2﹣a,c=﹣2,解关于x的不等式f(x)>0. 20.已知数列{an}中,各项均为正数,其前n项和为Sn,且满足2anSn﹣an2=1. (Ⅰ)求证数列{Sn2}为等差数列,并求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,若Tn>ax2﹣ax﹣对所有的n∈N*和x∈R都成立,求实数a的取值范围. 参考答案 一、选择题(共12小题). 1.已知向量=(2,1),,则=(  ) A.(﹣1,3) B.(1,﹣3) C.(3,5) D.(﹣3,﹣5) 【分析】根据平面向量的坐标表示与线性运算法则,计算即可. 解:向量=(2,1),, 则=﹣=(8﹣2,4﹣1)=(﹣1,3). 故选:A. 2.等差数列{an}中,若a5=10,a10=5,则数列{an}的公差为(  ) A.1 B.﹣1 C.5 D.﹣5 【分析】由已知结合等差数列的性质即可直接求解. 解:因为等差数列{an}中,a5=10,a10=5, 所以数列{an}的公差d==﹣5. 故选:B. 3.如果a,b∈R且a>b,那么下列不等式中不一定成立的是(  ) A.﹣a<﹣b B.a﹣1>b﹣2 C.a2>ab D.a﹣b>b﹣a 【分析】根据不等式的基本性质,结合已知中a>b,逐一分析四个答案中的不等式是否一定成立,可得答案. 解:∵a>b, 不等式两边同乘﹣1,不等式变号,即﹣a<﹣b,故A一定成立; 等式两边同乘a,但a符号不确定,故a2与ab的大小不能确定,故C不一定成立, 故选:C. 4.不等式x(2﹣x)>0的解集是(  ) A.(﹣∞,2) B.(0,2) C.(﹣∞,0) D.(﹣∞,0)∪(2,+∞) 【分析】由x(2﹣x)>0,知x(x﹣2)<0,再由x(x﹣2)=0的解是x=0,或x=2,能求出原不等式的解集. 解:∵x(2﹣x)>0, ∴x(x﹣2)<0, ∴原不等式的解集是{x|0<x<5}. 故选:B. 5.在△ABC中,,AC=1,,△ABC的面积为,则C=(  ) A. B. C. D. 【分析】由已知结合三角形的面积公式可求A,进而可求C. 解:,AC=1,△ABC的面积S==, 则sinA=1即A=, 故选:C. 6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a6=20﹣a12,则S17等于(  ) A.170 B.85 C.340 D.10 【分析】先利用等差数列的性质求出a1+a17,再利用等差数列的前n项和公式求出结果即可. 解:∵a6=20﹣a12,∴a6+a12=20,由等差数列的性质知:a1+a17=a8+a16=20, ∴S17==170. 故选:A. 7.设变量x、y满足约束条件,则目标函数z=2x+y的最大值为(  ) A.2 B.3 C.4 D.9 【分析】作出不等式组的可行域,将目标函数变形,画出目标函数对应的直线y=﹣2x将其平移,由图判断出当直线经过点A时,z最大. 解:作出的可行域 由得A(3,4) 故选:D. 8.如图,已知正六边形P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中最大的是(  ) A. B. C. D. 【分析】设边长|P1P2|=a,∠P2P1P3=.,根据向量数量积的定义,=, ∠P2P1P4=,|P1P4|=2a, =,=0,<0, 从而得到答案. 解:如图,已知正六边形P1P2P3P4P3P6,设边长|P1P2|=a, 则∠P2P1P3=.,=, =,=0,<0, 故选:A. 9.已知等比数列{an}中,a2?a4?a6?a8=16,则a3?a7等于(  ) A.±4 B.4 C.8 D.±8 【分析】利用等比数列的性质即可求得结果. 解:由等比数列的性质可得:a3?a7=a2?a8=a5?a6,∵a2?a4?a6?a8=16=(a3?a6)2, ∴a3?a7=±4,又∵a7?a7=a52>0,∴a3?a7=2. 故选:B. 10.南山中学红豆园内的红豆树已有百年历史.百年红豆树,十年树一花.时光流转,红豆花开,读书爱国的气息随这花开风起.如图,小明为了测量红豆树高度,他在正西方向选取与红豆树根部C在同一水平面的A、B两点,在A点测得红豆树根部C在西偏北30°的方向上,步行40米到B处,测得树根部C在西偏北75°的方向上,树梢D的仰角为30°,则红豆树的高度为(  ) A.米 B.米 C.米 D.米 【分析】根据图形,在△ABC中利用正弦定理求得BC的值,在Rt△BCD中求出CD的值. 解:根据图形知, △ABC中,∠BAC=30°, 由正弦定理得,=, 在Rt△BCD中,∠BDC=30°, 所以红豆树的高度为千米. 故选:D. 11.已知数列{an}满足a1=1,,则a2020=(  ) A. B. C. D. 【分析】取倒数,求出新数列是等差数列,求解新数列的通项公式,然后求解即可. 解:数列{an}满足,整理得:an+1+anan+1=an, 所以:an﹣an+1=anan+2,故 ﹣=1(常数), 故:=6+(n﹣1)=n,所以an=. 故选:C. 12.设x>0,y>0且x+y=4,则+的最小值是(  ) A. B. C. D. 【分析】令x+1=s,y+2=t(s>1,t>2),可得s+t=7,化简所求式子为1++=1+(s+t)(+),展开后,运用基本不等式即可得到所求最小值. 解:令x+1=s,y+2=t(s>1,t>2), 则x=s﹣4,y=t﹣2, 可得+=+ =7﹣6++=1+(s+t)(+) ≥1+(5+4)=, 则+的最小值是. 故选:A. 二、填空题 13.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,则B的大小为  . 【分析】直接利用正弦定理、余弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出结果. 解:利用余弦定理a2=b2+c2﹣3bccosA, 由于, 则:2sinC=sinA+2sinBcosA, 化简得:cosB=, 所以:B=. 故答案为:. 14.设向量,,,若,则实数x的值是 4 . 【分析】根据平面向量的共线定理列出方程求得x的值. 解:向量,, 若,则1×x﹣(﹣4)×(﹣1)=2, 故答案为:4. 15.已知a=x3+y3,b=x2y+xy2,其中x,y均为正数,则a,b的大小关系为 a≥b . 【分析】作差,变形,写成几个因式乘积的形式,即可判定大小. 解:a=x3+y3,b=x2y+xy2, 则a﹣b=x3+y3﹣x2y﹣xy2=x2(x﹣y)﹣y2(x﹣y)=(x﹣y)(x2﹣y8)=(x﹣y)2(x+y), 所以(x﹣y)2(x+y)≥0,即a﹣b≥0, 故答案为:a≥b. 16.等差数列1,3,5,7,11……,按如下方法分组:(1),(3,5),(7,9,11),(13,15,17,19),……,则第n组中各数之和为 n3 . 【分析】先由题设求出等差数列的公差,再根据分组的规律求出第n组中各数之和即可. 解:由题设知:等差数列1,3,5,7,11……的公差d=6, 设该数列的前n项和为Sn,则Sn=n+=n8. ∴第n组中各数之和为S﹣S=[]2﹣[]2=n8. 故答案为:n3. 三、解答题 17.设△ABC的内角A,B,C所对应的边长分别是a,b,c且cosB=,b=2. (Ⅰ)当A=30°时,求a的值; (Ⅱ)当△ABC的面积为3时,求a+c的值. 【分析】(Ⅰ)由cosB=,B∈(0,π),可得sinB=,再利用正弦定理即可得出. (Ⅱ)由S△ABC==3,可得ac=.再利用余弦定理即可得出. 解:(Ⅰ)∵cosB=,B∈(0,π), ∴sinB==, ∴a=. ∴ac=. ∴(a+c)2=+4=28, 故:a+c=2. 18.已知平面向量,满足,. (Ⅰ)若与的夹角为,且,求实数x的值; (Ⅱ)若对于一切实数x,恒成立,求与的夹角. 【分析】(Ⅰ)由与的夹角为,利用向量的数量积公式和向量垂直的性质能求出实数x的值. (Ⅱ)由与的夹角为θ,利用向量的数量积公式结合题设条件整理得:恒成立,即恒成立,由此能求出与的夹角. 解:(Ⅰ)与的夹角为, ∴,, (Ⅱ)设与的夹角为θ, ∵恒成立,∴恒成立, 整理得:恒成立, ∴,, 与的夹角θ∈[0,π],∴. 19.已知f(x)=ax2+bx+c. (Ⅰ)若a=1时,f(x)<0的解集为{x|﹣1<x<2},解不等式cx2+bx+a≥0; (Ⅱ)若b=2﹣a,c=﹣2,解关于x的不等式f(x)>0. 【分析】(I)把a=1代入,然后根据二次不等式的解集端点即是方程的根可求b,c,代入后根据二次不等式的求法,即可求解; (II)把已知b=2﹣a,c=﹣2代入已知不等式后,结合a的范围即可求解. 解:(Ⅰ)∵x2+bx+c<0的解集为{x|﹣1<x<6},∴x1=﹣1,x6=2为f(x)=0的两个根, ∴由根与系数的关系,得,解得, ∴不等式cx2+bx+1≥2的解集为. (1)当a=0时,解原不等式得x>1. (3)当a<﹣4时,解原不等式得. (5)当﹣2<a<3时,解原不等式得. 当a=﹣2时,原不等式解集为?; 当a=4时,解原不等式解集为{x|x>1}; 当a>0时,解原不等式解集为. 20.已知数列{an}中,各项均为正数,其前n项和为Sn,且满足2anSn﹣an2=1. (Ⅰ)求证数列{Sn2}为等差数列,并求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,若Tn>ax2﹣ax﹣对所有的n∈N*和x∈R都成立,求实数a的取值范围. 【分析】(Ⅰ)利用数列的关系式的变换和等差数列的定义的应用求出结果. (Ⅱ)利用裂项相消法和恒成立问题的应用求出参数a的取值范围. 【解答】(Ⅰ)证明:∵, ∴当n≥2时,, ∴数列为首项和公差都是1的等差数列. ∴n≥2时,, ∴数列{an}的通项公式为; ∴ 依题意有,即ax2﹣ax﹣1<0 若a≠7,则,解得﹣4<a<8. ∴a的取值范围为(﹣4,0].

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  • ID:3-7895059 2019-2020学年陕西省宝鸡中学高一下学期期中数学试卷 (解析版)

    高中数学/期末专区/高一下册

    2019-2020学年陕西省宝鸡中学高一第二学期期中数学试卷 一.选择题(共10小题). 1.cos(﹣)=(  ) A. B. C.﹣ D.﹣ 2.已知向量=(1,m),=(3,﹣2),且(+)⊥,则m=(  ) A.﹣8 B.﹣6 C.6 D.8 3.三角函数值sin1,sin2,sin3的大小顺序是(  ) A.sin1>sin2>sin3 B.sin2>sin1>sin3 C.sin1>sin3>sin2 D.sin3>sin2>sin1 4.已知弧度数为的圆心角所对的弦长为,则这个圆心角所对的弧长是(  ) A. B. C. D. 5.已知向量=(,),=(,),则∠ABC=(  ) A.30° B.45° C.60° D.120° 6.若sinθ=,cosθ=,则m的值为(  ) A.0 B.8 C.0或8 D.3<m<9 7.函数f(x)=tan(2x﹣)的单调递增区间是(  ) A.[﹣,+](k∈Z) B.(﹣,+)(k∈Z) C.(kπ+,kπ+)(k∈Z) D.[kπ﹣,kπ+](k∈Z) 8.有以下四种变换方式: ①向左平移个单位长度,再将每个点的横坐标缩短为原来的; ②向右平移个单位长度,再将每个点的横坐标缩短为原来的; ③每个点的横坐标缩短为原来的,向右平移个单位长度; ④每个点的横坐标缩短为原来的,向左平移个单位长度; 其中能将y=sinx的图象变换成函数y=sin(2x+)的图象的是(  ) A.①和③ B.①和④ C.②和④ D.②和③ 9.已知O为△ABC内一点,满足4=+2,则△AOB与△AOC面积之比为(  ) A.1:1 B.1:2 C.1:3 D.2:1 10.对任意向量、,下列关系式中不恒成立的是(  ) A.||≤|||| B.||≤|||﹣||| C.()2=||2 D.()?()=2﹣2 二.填空题(共4小题,每小题5分,共20分) 11.若,是两个不共线的向量,=3+2,=k+,=3﹣2,若A,B,D三点共线,则k=    . 12.已知:,则=   . 13.已知向量,则向量在向量方向上的投影为   . 14.关于函数f(x)=4sin(2x+)(x∈R)有下列命题,其中正确的是   . ①y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x﹣); ②y=f(x)的图象关于点(﹣,0)对称; ③y=f(x)的最小正周期为2π; ④y=f(x)的图象的一条对称轴为x=﹣. 三.解答题:(本大题共5小题,共50分) 15.已知,且tanα<0. (1)求tanα的值; (2)求的值. 16.已知向量,,且与夹角为. (1)求; (2)若,求实数k的值. 17.函数f(x)=Asin(ωx+?)+B的一部分图象如图所示,其中A>0,ω>0,|φ|<. (1)求函数y=f(x)解析式; (2)求x∈[0,]时,函数y=f(x)的值域; (3)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)的单调递减区间. 18.如图所示,在△ABO中,,,AD与BC相交于点M,设,. (1)试用向量,表示; (2)过点M作直线EF,分别交线段AC,BD于点E,F.记,,求证:为定值. 19.某景区客栈的工作人员为了控制经营成本,减少浪费,合理安排入住游客的用餐,他们通过统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律: ①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同; ②入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人; ③2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增直到8月份达到最多. (1)若入住客栈的游客人数y与月份x之间的关系可用函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,0<|φ|<π)近似描述,求该函数解析式. (2)请问哪几个月份要准备不少于400人的用餐? 参考答案 一.选择题(共10小题). 1.cos(﹣)=(  ) A. B. C.﹣ D.﹣ 【分析】原式中的角度变形后,利用诱导公式化简,计算即可得到结果. 解:cos(﹣)=cos=cos(4π﹣)=cos(﹣)=cos=. 故选:A. 2.已知向量=(1,m),=(3,﹣2),且(+)⊥,则m=(  ) A.﹣8 B.﹣6 C.6 D.8 【分析】求出向量+的坐标,根据向量垂直的充要条件,构造关于m的方程,解得答案. 解:∵向量=(1,m),=(3,﹣2), ∴+=(4,m﹣2), ∴12﹣2(m﹣7)=0, 故选:D. 3.三角函数值sin1,sin2,sin3的大小顺序是(  ) A.sin1>sin2>sin3 B.sin2>sin1>sin3 C.sin1>sin3>sin2 D.sin3>sin2>sin1 【分析】先估计弧度角的大小,再借助诱导公式转化到(0°,90°)上的正弦值,借助正弦函数在(0°,90°)的单调性比较大小. 解:∵1弧度≈57°,2弧度≈114°,3弧度≈171°. ∴sin1≈sin57°, sin3≈171°=sin9° ∴sin9°<sin57°<sin66°, 故选:B. 4.已知弧度数为的圆心角所对的弦长为,则这个圆心角所对的弧长是(  ) A. B. C. D. 【分析】连接圆心与弦的中点,可得半弦长AD=,∠AOD=,解得半径为2,代入弧长公式求弧长即可. 解:连接圆心O与弦的中点D, 则由题意可得AD=,∠AOB=,∠AOD=, 由弧长公式可得所求弧长l=?2=. 故选:B. 5.已知向量=(,),=(,),则∠ABC=(  ) A.30° B.45° C.60° D.120° 【分析】根据向量的坐标便可求出,及的值,从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值,根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值. 解:,; ∴; ∴∠ABC=30°. 故选:A. 6.若sinθ=,cosθ=,则m的值为(  ) A.0 B.8 C.0或8 D.3<m<9 【分析】利用同角三角函数间的基本关系列出方程,求出方程的解即可得到m的值. 解:∵sinθ=,cosθ=, ∴sin6θ+cos2θ=1,即()2+()2=1, 解得:m=0或m=5, 则m的值是0或8. 故选:C. 7.函数f(x)=tan(2x﹣)的单调递增区间是(  ) A.[﹣,+](k∈Z) B.(﹣,+)(k∈Z) C.(kπ+,kπ+)(k∈Z) D.[kπ﹣,kπ+](k∈Z) 【分析】由正切函数的单调性的性质即可得到结论. 解:由<2x﹣, 即﹣<x<+,(k∈Z), 故选:B. 8.有以下四种变换方式: ①向左平移个单位长度,再将每个点的横坐标缩短为原来的; ②向右平移个单位长度,再将每个点的横坐标缩短为原来的; ③每个点的横坐标缩短为原来的,向右平移个单位长度; ④每个点的横坐标缩短为原来的,向左平移个单位长度; 其中能将y=sinx的图象变换成函数y=sin(2x+)的图象的是(  ) A.①和③ B.①和④ C.②和④ D.②和③ 【分析】根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,逐一判断四种变换方式得到的函数解析,最后综合讨论结果,得出结论. 解:将y=sinx的图象向左平移个单位长度,再将每个点的横坐标缩短为原来的可得函数y=sin(2x+)的图象,故①满足要求; 将y=sinx的图象向右平移个单位长度,再将每个点的横坐标缩短为原来的可得函数y=sin(2x﹣)的图象,故②不满足要求; 将y=sinx的图象每个点的横坐标缩短为原来的,向左平移个单位长度可得函数y=sin(5x+)的图象,故④满足要求; 故选:B. 9.已知O为△ABC内一点,满足4=+2,则△AOB与△AOC面积之比为(  ) A.1:1 B.1:2 C.1:3 D.2:1 【分析】利用向量的运算法则:平行四边形法则得到O为中线CD的中点,得到三角形面积的关系. 解:设AB的中点为D, ∵O为△ABC内一点,满足4=+2, ∴+=﹣2, ∴△AOD,△BOD,△AOC的面积相等, 故选:D. 10.对任意向量、,下列关系式中不恒成立的是(  ) A.||≤|||| B.||≤|||﹣||| C.()2=||2 D.()?()=2﹣2 【分析】由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得. 解:选项A恒成立,∵||=|||||cos<,>|, 又|cos<,>|≤1,∴||≤||||恒成立; 选项C恒成立,由向量数量积的运算可得()2=||2; 故选:B. 二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 11.若,是两个不共线的向量,=3+2,=k+,=3﹣2,若A,B,D三点共线,则k=   . 【分析】由平面向量的线性运算和共线定理,列方程求出k的值. 解:=3+2,=k+,=3﹣2, 所以=﹣=(2﹣k)﹣3; 所以向量与共线, 所以, 故答案为:. 12.已知:,则=  . 【分析】先由得到sinθ=,再用诱导公式对所求问题化简整理即可得出答案. 解:因为, ∴sinθ=. =+5(﹣tanθ)?(﹣cosθ) =sinθ=. 故答案为:. 13.已知向量,则向量在向量方向上的投影为  . 【分析】根据向量的坐标即可求出和的值,进而可得出向量在方向上的投影. 解:, ∴在方向上的投影为. 故答案为:. 14.关于函数f(x)=4sin(2x+)(x∈R)有下列命题,其中正确的是 ①② . ①y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x﹣); ②y=f(x)的图象关于点(﹣,0)对称; ③y=f(x)的最小正周期为2π; ④y=f(x)的图象的一条对称轴为x=﹣. 【分析】利用三角函数的图象和性质分别判断即可. 解:4sin(2x+)=4sin[+(4x﹣)]=4cos(2x﹣), 又f(﹣)=4sin[2×(﹣)+]=4sin4=0, 对称轴方程为x=,k∈Z, 故答案为:①②. 三.解答题:(本大题共5小题,共50分) 15.已知,且tanα<0. (1)求tanα的值; (2)求的值. 【分析】(1)由已知可求α在第四象限,利用同角三角函数基本关系式即可求解. (2)由(1)利用诱导公式即可计算得解. 解:(1)∵0,tanα<3, ∴α在第四象限, ; (2)=. 16.已知向量,,且与夹角为. (1)求; (2)若,求实数k的值. 【分析】(1)由,知;由平面向量数量积的定义计算出?的值;而||==,代入数据进行运算,从而得解; (2)由,得,展开后根据平面向量数量积的运算可列出关于k的方程,解之即可. 解:(1)∵,∴. 又,与的夹角为, ∴||====2, (6)由,得,即, ∴﹣2﹣4﹣6k﹣k=0,解得k=﹣2. 17.函数f(x)=Asin(ωx+?)+B的一部分图象如图所示,其中A>0,ω>0,|φ|<. (1)求函数y=f(x)解析式; (2)求x∈[0,]时,函数y=f(x)的值域; (3)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)的单调递减区间. 【分析】(1)由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出ω,由五点法作图求出φ的值,可得函数的解析式. (2)利用正弦函数的定义域和值域,求得x∈[0,]时,函数y=f(x)的值域. (3)利用正弦函数的单调性,求得函数y=g(x)的单调递减区间. 解:(1)根据函数f(x)=Asin(ωx+?)+B的一部分图象,其中A>0,ω>0,|φ|<, 可得A=3﹣2=2,B=2,==﹣,∴ω=2. (2)∵x∈[8,],∴2x+∈[,],∴sin(2x+)∈[﹣,1],∴y=f(x)∈[2,4]. 对于函数y=g(x)=2sin(2x﹣)+2,令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+,求得kπ+≤x≤kπ+, 故函数g(x)的单调增区间为[kπ+,kπ+],k∈Z. 18.如图所示,在△ABO中,,,AD与BC相交于点M,设,. (1)试用向量,表示; (2)过点M作直线EF,分别交线段AC,BD于点E,F.记,,求证:为定值. 【分析】(1)由A,M,D三点共线,可设=,由B,M,C三点共线,可设=, 由平面向量基本定理可得:因为,不共线,所以,解得,, (2)由向量表示三点共线得:设=,由(1)知,,即,,所以,得解 解:(1)由A,M,D三点共线,可设=, 由B,M,C三点共线,可设=, 所以,解得,, (2)因为E,M,F三点共线, 由(1)知,, 所以, 故=7. 19.某景区客栈的工作人员为了控制经营成本,减少浪费,合理安排入住游客的用餐,他们通过统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律: ①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同; ②入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人; ③2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增直到8月份达到最多. (1)若入住客栈的游客人数y与月份x之间的关系可用函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,0<|φ|<π)近似描述,求该函数解析式. (2)请问哪几个月份要准备不少于400人的用餐? 【分析】(1)由题意可得:,解得A,b.又=2×(8﹣2),解得ω.可得y=f(x)=200sin+300.又sin=﹣1,又0<|φ|<π,解得φ,即可得出. (2)由200sin+300≥400,化简利用正弦函数的单调性值域即可得出. 解:(1)由题意可得:,解得A=200,b=300. 又=2×(8﹣2),解得ω=. 又sin=﹣1,又0<|φ|<π, ∴y=f(x)=200sin+300. 化为:sin,(x∈一、选择题*,1≤x≤12) 因此应该在8,7,8,9,10月份要准备不少于400人的用餐.

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  • ID:3-7895058 2019-2020学年江苏省丹徒高中、句容实验高中、扬中二中高一下学期期中数学试卷 (解析版)

    高中数学/期末专区/高一下册

    2019-2020学年江苏省丹徒高中、句容实验高中、扬中二中高一第二学期期中数学试卷 一、选择题(共8小题). 1.若直线经过A(1,0),B(4,)两点,则直线AB的倾斜角为(  ) A. B. C. D. 2.复数z=1﹣i的虚部是(  ) A.1 B.﹣1 C.i D.﹣i 3.若=(1,2),=(﹣3,1),则2﹣=(  ) A.(5,3) B.(5,1) C.(﹣1,3) D.(﹣5,﹣3) 4.如图,已知向量,那么下列结论正确的是(  ) A. B. C. D. 5.在△ABC中,a=2,b=,B=,则A=(  ) A. B. C. D.或 6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则△ABC的形状为(  ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 7.在边长为2的正方形ABCD中,E,F分别为BC和DC的中点,则=(  ) A. B. C.4 D.﹣4 8.在△ABC中,A=60°,b=1,S△ABC=,求=(  ) A. B. C.2 D. 二.多项选择题(共4小题,每小题5分,共20分.). 9.在下列四个命题中,错误的有(  ) A.任意一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率 B.直线的倾斜角的取值范围是[0,π] C.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 D.直线y=3x﹣2 在y轴上的截距为2 10.已知复数,则以下说法正确的是(  ) A.复数z的虚部为 B.z的共轭复数= C.|z|= D.在复平面内与z对应的点在第二象限 11.对于△ABC,有如下判断,其中正确的判断是(  ) A.若A>B,则sinA>sinB B.若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形 C.若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC是钝角三角形 D.若a=8,c=10,B=60°,则符合条件的△ABC有两个 12.在△ABC中,下列结论正确的是(  ) A. B. C.若,则△ABC是锐角三角形 D.若,则△ABC是等腰三角形 三.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分). 13.直线l过点M(1,﹣2),倾斜角为60°.则直线l的斜截式方程为   . 14.如图,测量河对岸的塔高AB时,选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得∠BCD=15°,∠BDC=45°,,并在点C测得塔顶A的仰角为30°,则塔高AB=   . 15.已知=(1,3),=(2+λ,1),且与成锐角,则实数λ的取值范围是   . 16.在△ABC中,D为边BC的中点,AB=4,AC=2,∠BAD=30°,则AD=   . 四.解答题(本大题共6小题,共计70分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.已知复数Z1=2+ai(其中a∈R且a>0,i为虚数单位),且为纯虚数. (1)求实数a的值; (2)若,求复数Z的模|Z|. 18.已知平面向量=(1,x),=(2x+3,﹣x),x∈R. (1)若⊥,求x的值; (2)若∥,求|﹣|的值. 19.已知a,b,c分别是△ABC中角A,B,C的对边,且csinB=bcosC. (1)求角C的大小; (2)若c=3,sinA=2sinB,求△ABC的面积S△ABC. 20.如图,已知正三角形ABC的边长为1,设=,=. (1)若D是AB的中点,用,分别表示向量,; (2)求|2+|; (3)求2+与﹣3+2的夹角. 21.已知直线l过点P(3,4) (1)它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍,求直线l的方程. (2)若直线l与x轴,y轴的正半轴分别交于点A,B,求△AOB的面积的最小值. 22.如图,在△ABC中,,,BC=1.P是△ABC内一点,且. (1)若,求线段AP的长度; (2)若,求△ABP的面积. 参考答案 一.单项选择题(共8小题). 1.若直线经过A(1,0),B(4,)两点,则直线AB的倾斜角为(  ) A. B. C. D. 【分析】先根据直线的斜率公式求出斜率,再根据倾斜角和斜率的关系,以及倾斜角的取值范围,求出倾斜角的值. 解:若直线经过A(1,0),B(4,)两点,则直线的斜率等于=﹣. 设直线的倾斜角等于θ,则有tanθ=﹣. 故选:D. 2.复数z=1﹣i的虚部是(  ) A.1 B.﹣1 C.i D.﹣i 【分析】根据复数的代数形式得复数的虚部. 解:根据复数的概念得,z=1﹣i的虚部是﹣1, 故选:B. 3.若=(1,2),=(﹣3,1),则2﹣=(  ) A.(5,3) B.(5,1) C.(﹣1,3) D.(﹣5,﹣3) 【分析】先根据向量数乘法则求出2的坐标,然后根据平面向量的减法运算法则求出的值即可. 解:∵ ∴2=2(5,2)=(2,4) ∴=(2,4)﹣(﹣7,1)=(5,3) 故选:A. 4.如图,已知向量,那么下列结论正确的是(  ) A. B. C. D. 【分析】根据向量的三角形法则即可得到 解:如图,已知向量,根据向量的三角形法则可得,+=﹣, 故选:B. 5.在△ABC中,a=2,b=,B=,则A=(  ) A. B. C. D.或 【分析】由已知及正弦定理可求sinA=的值,由题意可得范围A∈(,π),进而可求A的值. 解:在△ABC中,∵a=2,b=,B=, ∴由正弦定理可得:sinA===, ∴A=或. 故选:D. 6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则△ABC的形状为(  ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 【分析】由已知及余弦定理可解得b=c,即可判断得解. 解:∵, ∴由余弦定理可得:, 故选:B. 7.在边长为2的正方形ABCD中,E,F分别为BC和DC的中点,则=(  ) A. B. C.4 D.﹣4 【分析】根据题意即可得出,然后根据AD=AB=2,AD⊥AB进行数量积的运算即可. 解:∵E,F分别为BC和DC的中点,且AD=AB=2,AD⊥AB, ∴,, 故选:C. 8.在△ABC中,A=60°,b=1,S△ABC=,求=(  ) A. B. C.2 D. 【分析】利用△ABC面积S△ABC求出c,再利用余弦定理,正弦定理,根据合分比性质求出. 解:S△ABC==,c=4, 利用余弦定理,a2=b2+c7﹣2bcos60°=13,a=, 根据合分比性质=, 故选:D. 二.多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.漏选得3分,错选不得分). 9.在下列四个命题中,错误的有(  ) A.任意一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率 B.直线的倾斜角的取值范围是[0,π] C.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 D.直线y=3x﹣2 在y轴上的截距为2 【分析】对于A,当直线与x轴垂直时没有斜率;对于B,直线的倾斜角的取值范围是[0,2π);对于C,当直线与x轴垂直时没有斜率;对于D,直线y=3x﹣2 在y轴上的截距为﹣2. 解:对于A,任意一条直线都有倾斜角,但当直线与x轴垂直时没有斜率,故A正确; 对于B,直线的倾斜角的取值范围是[0,2π),故B错误; 当直线与x轴垂直时没有斜率,故C错误; 故选:BCD. 10.已知复数,则以下说法正确的是(  ) A.复数z的虚部为 B.z的共轭复数= C.|z|= D.在复平面内与z对应的点在第二象限 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,然后逐一核对四个选项得答案. 解:∵=, ∴复数z的虚部为,,|z|==, 故选:CD. 11.对于△ABC,有如下判断,其中正确的判断是(  ) A.若A>B,则sinA>sinB B.若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形 C.若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC是钝角三角形 D.若a=8,c=10,B=60°,则符合条件的△ABC有两个 【分析】对于A,由A>B,根据“大角对大边”,则有a>b根据正弦定理,得sinA>sinB;对于B,若sin2A=sin2B,则2A与2B相等或互补;对于C,推导出a2+b2<c2;对于D,符合条件的△ABC只有1个. 解:对于A,对于△ABC中,若A>B,根据“大角对大边”,则有a>b 根据正弦定理,>1,∴sinA>sinB,故A正确; 对于C,若sin2A+sin2B<sin2C,则a2+b2<c2,∴△ABC是钝角三角形,故C正确; 故选:AC. 12.在△ABC中,下列结论正确的是(  ) A. B. C.若,则△ABC是锐角三角形 D.若,则△ABC是等腰三角形 【分析】对于A,由向量减法法则求解;对于B,由向量加法法则求解;对于C,推导出∠BAC是锐角,但△ABC不一定是是锐角三角形;对于D,推导出AB=AC,从而△ABC是等腰三角形. 解:对于A,由向量减法法则得:=,故A正确; 对于B,由向量加法法则得:=,故B正确; 对于D,若,则,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,故D正确. 故选:ABD. 三.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分). 13.直线l过点M(1,﹣2),倾斜角为60°.则直线l的斜截式方程为 y=x﹣﹣2 . 【分析】根据直线的斜率和倾斜角的关系求出斜率,再用点斜式求出直线的方程,再化为斜截式方程. 解:直线l过点M(1,﹣2),倾斜角为60°,则直线l的斜率为 tan60°=, 则直线的方程为 y+2=(x﹣1),故直线的斜截式方程为y=x﹣﹣2, 故答案为:y=x﹣﹣3. 14.如图,测量河对岸的塔高AB时,选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得∠BCD=15°,∠BDC=45°,,并在点C测得塔顶A的仰角为30°,则塔高AB= 20 . 【分析】直接利用正弦定理和解直角三角形知识的应用求出结果. 解:在△BCD中,∠BCD=15°,∠BDC=45°, 所以∠DBC=120°. 在Rt△ABC中,利用=,解得AB=20. 故答案为:20 15.已知=(1,3),=(2+λ,1),且与成锐角,则实数λ的取值范围是 {λ|λ>﹣5,且λ≠﹣} . 【分析】由题意可得>0,且、不共线,由,求得λ的范围. 解:由题意可得>0,且、不共线,∴,求得 λ>﹣5,且λ≠﹣, 故答案为:{λ|λ>﹣5,且λ≠﹣}. 16.在△ABC中,D为边BC的中点,AB=4,AC=2,∠BAD=30°,则AD=  . 【分析】延长AD至E,使DE=AD,连接BE,在△ABE中,利用正弦定理,勾股定理即可得到结论. 解:延长AD至E,使DE=AD,连接BE, ∵BD=CD,∠ADC=∠EDB, ∴BE=AC=2, 可得∠AEB=90°,故AE===2, 故答案为:. 四.解答题(本大题共6小题,共计70分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.已知复数Z1=2+ai(其中a∈R且a>0,i为虚数单位),且为纯虚数. (1)求实数a的值; (2)若,求复数Z的模|Z|. 【分析】(1)直接把Z1代入化简,再根据为纯虚数,且a>0求解即可得答案; (2)直接利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数求模公式计算得答案. 解:(1)由Z1=2+ai, 得=(2+ai)2=4﹣a2+4ai, ∴, (2)=, 则|Z|=2. 18.已知平面向量=(1,x),=(2x+3,﹣x),x∈R. (1)若⊥,求x的值; (2)若∥,求|﹣|的值. 【分析】(1)由⊥,?=0,我们易构造一个关于x的方程,解方程即可求出满足条件的x的值. (2)若∥,根据两个向量平行,坐标交叉相乘差为零,构造一个关于x的方程,解方程求出x的值后,分类讨论后,即可得到|﹣|. 解:(1)∵⊥, ∴?=(1,x)?(2x+3,﹣x)=2x+3﹣x2=0 解得:x=﹣1,或x=3 ∴1×(﹣x)﹣x(2x+3)=0 解得x=﹣2,或x=5 ﹣=(2,﹣4) 当x=0时,=(1,0),=(4,0) ∴|﹣|=2 故|﹣|的值为2或2. 19.已知a,b,c分别是△ABC中角A,B,C的对边,且csinB=bcosC. (1)求角C的大小; (2)若c=3,sinA=2sinB,求△ABC的面积S△ABC. 【分析】(1)根据正弦定理转化csinB=bcosC,求出tanC的值即可得出C的值; (2)由正弦定理化简sinA=2sinB,再由c和cosC利用余弦定理得到关于a、b方程组, 求出a、b的值,即可求出△ABC的面积. 解:(1)△ABC中,csinB=bcosC, ∴sinCsinB=sinBcosC, 又C∈(7,π), (2)由sinA=2sinB及正弦定理得: 由c=3,C=及余弦定理得: 即a2+b5﹣ab=9②, 解得a=2,b=, 则△ABC的面积S△ABC=absinC=×6×sin=. 20.如图,已知正三角形ABC的边长为1,设=,=. (1)若D是AB的中点,用,分别表示向量,; (2)求|2+|; (3)求2+与﹣3+2的夹角. 【分析】(1)由平面向量的线性运算得:=﹣=,===. (2)由平面向量的模的运算得:|2|===. (3)平面向量数量积的运算得:cosθ==,又θ∈[0,π],故2+与﹣3+2的夹角为,得解. 解:(1)因为=,=.D是AB的中点, 故=﹣=,===. 故|2|===. 又|﹣3+2|==, 所以cosθ==, 故2+与﹣6+2的夹角为. 21.已知直线l过点P(3,4) (1)它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍,求直线l的方程. (2)若直线l与x轴,y轴的正半轴分别交于点A,B,求△AOB的面积的最小值. 【分析】(1)当直线l过原点时,符合题意,求出斜率k即可得出;当直线l不过原点时,由于它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍,可设直线l的方程为:.把点P的坐标代入即可. (2)设直线l的方程为(a>0,b>0),由直线l过点P(3,4)可得得:.利用基本不等式即可得出ab的最小值,进而得到三角形AOB的面积的最小值. 解:(1)①当直线l过原点时,符合题意,斜率k=,直线方程为,即5x﹣3y=0; ②当直线l不过原点时,∵它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍, ∵直线l过点P(6,4),∴,解得a=6. 综上所述,所求直线l方程为4x﹣3y=0或2x+y﹣10=0. 由直线l过点P(3,4)得:. ∴△AOB的面积==24,其最小值为24. 22.如图,在△ABC中,,,BC=1.P是△ABC内一点,且. (1)若,求线段AP的长度; (2)若,求△ABP的面积. 【分析】(1)由已知可求PB的值,进而在△APB中,利用余弦定理即可解得AP的值; (2)设∠PBA=α,则∠PCB=α,可求PB=sinα,在△APB中,∠ABP=α,BP=sinα,AB=3,∠APB=,由正弦定理可求sin2α,进而根据三角形面积公式即可计算得解. 解:(1)因为, 所以在Rt△PBC中,,BC=1,, 在△APB中,,,, 所以; 所以PB=sinα,在△APB中,∠ABP=α,BP=sinα,,, 又 =.

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  • ID:3-7895056 2019-2020学年湖北省武汉市部分重点中学(武汉六中等)高一下学期期末数学试卷 (解析版)

    高中数学/期末专区/高一下册

    2019-2020学年湖北省武汉市部分重点中学(武汉六中等)高一第二学期期末数学试卷 一、选择题(共12小题). 1.已知直线(2a+1)x+ay﹣2=0在两坐标轴上的截距相等,则实数a=(  ) A.﹣ B.1 C.﹣或﹣1 D.﹣1 2.下列命题中正确的个数为(  ) ①如果=λ(λ∈R),那么与方向相同; ②若非零向量与共线,则A、B、C、D四点共线; ③△ABC中,若B>90°,则?<0; ④四边形ABCD是平行四边形,则必有=. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 3.在△ABC中,内角A,B,C的对边是a,b,c,若=,b2﹣a2=ac,则cosC等于(  ) A. B. C. D. 4.圆心都在直线L:x+y=0上的两圆相交于两点M(m,3),N(﹣3,n),则m+n=(  ) A.﹣1 B.1 C.0 D.2 5.某工厂生产某产品2019年每月生产量基本保持稳定,2020年由于防疫需要2、3、4、5月份停产,6月份恢复生产时月产量仅为去年同期的一半,随着疫情缓解月产量逐步提高.该工厂如果想8月份产量恢复到去年同期水平,那么该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达多少个百分点?(  ) A.25 B.35 C.42 D.50 6.已知直线l:mx﹣y﹣m+=0与圆C:(x﹣2)2+y2=4.直线l与圆C下列关系中不可能的是(  ) A.相交 B.相切 C.过圆心 D.相离 7.已知两个非零向量,的夹角为,且|﹣|=2,则?的取值范围是(  ) A.(﹣,0) B.[﹣2,0) C.[﹣,0) D.[﹣1,0) 8.已知x>1,y>0,且+=1,则x+2y的最小值为(  ) A.9 B.10 C.11 D.7+2 9.下列说法正确有(  ) ①若|a|>b,则a2>b2;②a>b,c>d,则a﹣c>b﹣d; ③若a<b<0,c<d<0,则ac>bd;④若a>b>0,c<0,则>. A.①④ B.②④ C.③④ D.④ 10.已知{an}为等比数列,a1a3a5=27,a2a4a6=,以Tn表示{an}的前n项积,则使得Tn达到最大值的n是(  ) A.4 B.5 C.6 D.7 11.若直线ax+by﹣2=0(a,b>1)始终把圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0的周长分为1:2.则+的最大值为(  ) A.4﹣2 B.2﹣ C.﹣1 D. 12.在锐角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a2=b2+c2,则tanA的取值范围是(  ) A.[,+∞) B.(,+∞) C.(,+∞) D.[2,+∞) 二、填空题(每小题5分,共20分) 13.直线l:x﹣ysin+1=0的斜率为   . 14.已知向量=(﹣1+2t,2),=(2,﹣4+4t),=(1,λ)(其中t,λ∈R).若⊥(2+),则λ=   . 15.设等差数列{an}满足:a4+a6=4,a82﹣a22=48.数列{nan}的前n项和记为Sn,则S6的值为   . 16.锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知acos=bsinA,则B=   ,若a≥c=2,则a的取值范围是   . 三、解答题(解答题应写出文字说明,演算步骤或证明过程) 17.已知直线l过点P(﹣1,2). (1)若直线l在两坐标轴上截距和为零,求l方程; (2)设直线l的斜率k>0,直线l与两坐标轴交点分别为A、B,求△AOB面积最小值. 18.如图,在正△ABC中,AB=2,P,E分别是BC、CA边上一点,并且=3,设=t,AP与BE相交于F. (1)试用,表示; (2)求?的取值范围. 19.设等比数列{an+bn}的公比为3,等差数列{an﹣bn}的公差为2,且a1=b1=1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{n(an﹣n)}的前n项和Sn. 20.圆x2+y2=4,点P为直线l:x+y﹣4=0上一动点,过点P引圆O的两条切线,切点分别为A,B. (1)若点P的坐标为(6,﹣2),求直线PA、PB的方程; (2)求证:直线AB恒过定点Q,并求出该定点Q的坐标. 21.设函数f(x)=ax2+4x+b. (1)当a>0且a+b=4时,解关于x的不等式f(x)≥0; (2)已知a>b,若f(x)的值域为[0,+∞),求的最小值. 22.如图,有一矩形空地ABCD,AB=2BC=40米,现计划种植甲、乙两种蔬菜,已知单位面积种植甲蔬菜的经济价值是种植乙蔬菜经济价值的3倍,但种植甲蔬菜需要有辅助光照.AB边中点O处处恰有一可旋转光源满足甲蔬菜生长的需要,该光源照射范围是∠EOF=60°,其中E、F分别在边BC,CD上. (1)若∠BOE=30°,求四边形OECF的面积; (2)求该空地产生最大经济价值时种植甲种蔬菜的面积. 参考答案 一、选择题(共12小题). 1.已知直线(2a+1)x+ay﹣2=0在两坐标轴上的截距相等,则实数a=(  ) A.﹣ B.1 C.﹣或﹣1 D.﹣1 【分析】根据直线的截距相等,得到关于a的方程,解出即可. 解:显然直线不过(0,0),截距不是0, 故直线可化为:+=1, 则=,解得:a=﹣1, 故选:D. 2.下列命题中正确的个数为(  ) ①如果=λ(λ∈R),那么与方向相同; ②若非零向量与共线,则A、B、C、D四点共线; ③△ABC中,若B>90°,则?<0; ④四边形ABCD是平行四边形,则必有=. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【分析】根据向量的相等以向量的平行和向量的共线即可判断. 解:对于①,=λ(λ∈R),那么与方向相同或相反,故①错误, 对于②,非零向量与共线,则A,B,C,D四点共线或AB与CD平行,故②错误, 对于④,四边形ABCD是平行四边形,则必有=,故④正确. 故选:C. 3.在△ABC中,内角A,B,C的对边是a,b,c,若=,b2﹣a2=ac,则cosC等于(  ) A. B. C. D. 【分析】解:由已知利用正弦定理可得c=a,结合已知b2﹣a2=ac,可求得b=2a,进而根据余弦定理可求cosC的值. 解:∵=, ∴由正弦定理可得:=,即c=a, ∴b2﹣a2=2a2,可得b=2a, 故选:A. 4.圆心都在直线L:x+y=0上的两圆相交于两点M(m,3),N(﹣3,n),则m+n=(  ) A.﹣1 B.1 C.0 D.2 【分析】由两圆的公共弦垂直于两圆圆心的连线,再由两直线斜率的关系列式可得m+n的值. 解:∵两圆相交于两点M(m,3),N(﹣3,n),且两圆的圆心都在直线x+y=0上, ∴MN垂直直线x+y=0, 故选:C. 5.某工厂生产某产品2019年每月生产量基本保持稳定,2020年由于防疫需要2、3、4、5月份停产,6月份恢复生产时月产量仅为去年同期的一半,随着疫情缓解月产量逐步提高.该工厂如果想8月份产量恢复到去年同期水平,那么该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达多少个百分点?(  ) A.25 B.35 C.42 D.50 【分析】设该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达x,8月份产量去年同期水平为a,则a(1+x)2=a.由此能求出该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达多少个百分点. 解:设该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达x,8月份产量去年同期水平为a, 则a(7+x)2=a. ∴该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达42个百分点. 故选:C. 6.已知直线l:mx﹣y﹣m+=0与圆C:(x﹣2)2+y2=4.直线l与圆C下列关系中不可能的是(  ) A.相交 B.相切 C.过圆心 D.相离 【分析】由直线系方程可得直线过圆上的定点,由此可得直线l与圆C不可能相离. 解:由直线l:mx﹣y﹣m+=0,得m(x﹣1)﹣y+=0, 由,得,可得直线l过定点A(1,). ∵|CA|=,∴A在圆C上, ∴直线l与圆C不可能相离,故选:D. 7.已知两个非零向量,的夹角为,且|﹣|=2,则?的取值范围是(  ) A.(﹣,0) B.[﹣2,0) C.[﹣,0) D.[﹣1,0) 【分析】对|﹣|=2两边平方后,结合?=||?||cos进行化简可得+||?||+=4;由基本不等式的性质知,+≥2||?||,于是推出0<||?||,再结合平面向量数量积即可得解. 解:∵|﹣|=2,∴﹣2?+=4, ∴﹣2||?||cos+=4,即+||?||+=4, ∴0<||?||, 故选:C. 8.已知x>1,y>0,且+=1,则x+2y的最小值为(  ) A.9 B.10 C.11 D.7+2 【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出. 解:∵x>1,∴x﹣1>0, 又y>0,且+=1, =[(x﹣1)+2y](+)+8 ≥6+2 当且仅当=,即x=4,y=2时等号成立, 故选:B. 9.下列说法正确有(  ) ①若|a|>b,则a2>b2;②a>b,c>d,则a﹣c>b﹣d; ③若a<b<0,c<d<0,则ac>bd;④若a>b>0,c<0,则>. A.①④ B.②④ C.③④ D.④ 【分析】对于①②,可根据条件取特殊值判断;对于③④,可直接利用不等式的基本性质判断. 解:①由|a|>b,取a=0,b=﹣2,则a2>b2不成立,故①错误; ②由a>b,c>d,取a=c=3,b=d=﹣1,则a﹣c>b﹣d不成立,故②错误; ③∵a<b<0,c<d<0,∴﹣a>﹣b>0,﹣c>﹣d>0,∴ac>bd,故③正确; ④由a>b>5,得,∵c<0,∴,故④正确. 故选:C. 10.已知{an}为等比数列,a1a3a5=27,a2a4a6=,以Tn表示{an}的前n项积,则使得Tn达到最大值的n是(  ) A.4 B.5 C.6 D.7 【分析】先求出首项和公比,得出{an}是一个减数列,前4项都大于1,从第五项开始小于1,从而得出结论. 解:∵{an}为等比数列,a1a3a5=27=,a2a4a6==, ∴a3=3,a5=,∴q==,a1=12,a5=a4?q=<4. 以Tn表示{an}的前n项积,则使得Tn达到最大值的n是4, 故选:A. 11.若直线ax+by﹣2=0(a,b>1)始终把圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0的周长分为1:2.则+的最大值为(  ) A.4﹣2 B.2﹣ C.﹣1 D. 【分析】由圆的方程得圆心和半径,根据圆的周长被分为1:2,可推出圆心到直线的距离为1,即,化简整理后,再结合基本不等式的性质可得ab的最小值,再求出+的最大值. 解:把圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=4化成标准形式为(x﹣1)2+(y﹣1)2=4,其中圆心为(1,1),半径为2. 因为直线把圆的周长分为7:2,所以∠ACB=×360°=120°, 因为a,b>1,所以ab﹣2(a+b)+2=2, 当且仅当a=b时,等号成立,此时有ab≥, 所以+的最大值为2﹣. 故选:B. 12.在锐角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a2=b2+c2,则tanA的取值范围是(  ) A.[,+∞) B.(,+∞) C.(,+∞) D.[2,+∞) 【分析】由三角形的余弦定理、正弦定理和两角和的正弦公式、同角的商数关系,化简可得tanA=3tanB,再由两角和的正切公式,以及锐角三角形的定义,可得tanA>0,tanC>0,解不等式可得所求范围. 解:由a2=b2+c8, 又a2=b2+c2﹣7bccosA, 可得c=4bcosA, 可得sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=4sinBcosA, 在锐角△ABC中,cosA≠8,cosB≠0, 又tanC=﹣tan(A+B)=﹣=﹣, 解得tanA>, 故选:B. 二、填空题(每小题5分,共20分) 13.直线l:x﹣ysin+1=0的斜率为  . 【分析】求出sin,把直线方程变形,再由直线的一般方程求斜率公式得答案. 解:由直线l:x﹣ysin+1=0,得x﹣, 即2x﹣. 故答案为:. 14.已知向量=(﹣1+2t,2),=(2,﹣4+4t),=(1,λ)(其中t,λ∈R).若⊥(2+),则λ= ﹣1 . 【分析】根据条件求出,然后由,得到,再求出λ的值. 解:,,且, ∴,∴λ=﹣1. 故答案为:﹣1. 15.设等差数列{an}满足:a4+a6=4,a82﹣a22=48.数列{nan}的前n项和记为Sn,则S6的值为 14 . 【分析】等差数列{an}的公差设为d,运用等差数列的通项公式,解方程可得首项和公差,可得an,nan,计算可得所求和. 解:等差数列{an}的公差设为d, 由a4+a6=4,a52﹣a22=48,可得2a2+8d=4,6d?(2a1+8d)=48, 可得an=﹣8+2(n﹣1)=2n﹣8, 则S6=2[(52+28+32+72+53+62)﹣4(1+2+3+4+5+7)] 故答案为:14. 16.锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知acos=bsinA,则B=  ,若a≥c=2,则a的取值范围是 (1,4) . 【分析】①由正弦定理=,可推出sinAcos=sinBsinA,再结合二倍角公式和B的取值范围即可得解; ②由正弦定理=,知a=,再根据三角形的内角和与正弦的两角和公式可将其化简为;然后由A、C∈(0,),可求得C∈(,),即tanC>,将其代入化简后的式子即可得解. 解:①由正弦定理知,=, ∵acos=bsinA,∴sinAcos=sinBsinA, ∵锐角△ABC,∴B∈(0,),∈(5,), ②由正弦定理知,=, ∵锐角△ABC,∴A、C∈(0,), ∴C∈(,),tanC>, 故答案为:;(1,4). 三、解答题(解答题应写出文字说明,演算步骤或证明过程) 17.已知直线l过点P(﹣1,2). (1)若直线l在两坐标轴上截距和为零,求l方程; (2)设直线l的斜率k>0,直线l与两坐标轴交点分别为A、B,求△AOB面积最小值. 【分析】(1)由题意利用点斜式设出直线的方程,求出斜率k的值,可得结论. (2)先求出直线在坐标轴上的截距,再由题意利用基本不等式求得△AOB面积最小值. 解:(1)直线l过点P(﹣1,2),若直线l在两坐标轴上截距和为零, 设直线l的方程为y﹣2=k(x+1),即kx﹣y+2+k=5. 由题意,﹣1﹣+k+2=0,∴k=﹣8 或k=1, (2)设直线l的斜率k>0, 求△AOB面积为 S=|﹣1|?|k+2|==+2+≥2+8=4, 故△AOB面积最小值为4. 18.如图,在正△ABC中,AB=2,P,E分别是BC、CA边上一点,并且=3,设=t,AP与BE相交于F. (1)试用,表示; (2)求?的取值范围. 【分析】(1)由=t,可推出=+t,而=﹣,代入化简整理即可得解; (2)由=3,知=﹣,再结合平面向量的数量积可推出?=[(1﹣t)+t]?(﹣)=(4t﹣5),而t∈[0,1],从而求得?的取值范围. 解:(1)∵=t, ∴=+=+t=+t(﹣)=(1﹣t)+t. ∴?=[(1﹣t)+t]?(﹣) =4(t﹣1)+()×2×2cos60°+t×4 ∵P是BC边上一点,∴t∈[0,1], ∴?=(4t﹣5)∈[,]. 19.设等比数列{an+bn}的公比为3,等差数列{an﹣bn}的公差为2,且a1=b1=1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{n(an﹣n)}的前n项和Sn. 【分析】(1)运用等差数列和等比数列的通项公式,解方程可得an; (2)求得n(an﹣n)=n(3n﹣1﹣1),分别运用数列的分组求和、错位相减法求和,结合等差数列和等比数列的求和公式,可得所求和. 解:(1)由等比数列{an+bn}的公比为3,等差数列{an﹣bn}的公差为2,且a1=b1=2, 可得an+bn=(a1+b1)?3n﹣3=2?3n﹣1, 则an=n﹣1+3n﹣1,n∈N*; Sn=(5?30+2?31+5?32+…+n?3n﹣1)﹣(1+2+…+n), 3Tn=1?8+2?32+6?33+…+n?3n, =﹣n?3n, 则Sn=+?3n﹣n(n+1). 20.圆x2+y2=4,点P为直线l:x+y﹣4=0上一动点,过点P引圆O的两条切线,切点分别为A,B. (1)若点P的坐标为(6,﹣2),求直线PA、PB的方程; (2)求证:直线AB恒过定点Q,并求出该定点Q的坐标. 【分析】(1)由题意,切线的斜率存在,设切线方程为y+2=k(x﹣6),由圆心到直线的距离等于半径列式求得k,则切线方程可求; (2)根据题意,设P(4﹣m,m),可得AB是圆O与以PO为直径的两圆的公共弦,求出以PO为直径的圆的方程,与圆O的方程联立,消去二次项可得直线AB的方程,再由直线系方程可得定点Q的坐标. 解:(1)由题意,切线的斜率存在,设切线方程为y+2=k(x﹣6), 即kx﹣y﹣6k﹣2=0. ∴所求切线方程分别为y=﹣2和2x+4y﹣10=0; ∵PA,PB是圆O的切线, ∴AB是圆O与以PO为直径的两圆的公共弦, 即x2﹣(4﹣m)x+y4﹣my=0,① ①﹣②,得(4﹣m)x+my﹣4=6, 即m(y﹣x)+4x﹣4=0,则该直线必过点Q(1,8). 21.设函数f(x)=ax2+4x+b. (1)当a>0且a+b=4时,解关于x的不等式f(x)≥0; (2)已知a>b,若f(x)的值域为[0,+∞),求的最小值. 【分析】(1)把a>0且a+b=4,代入不等式,利用配方法可求得不等式的解; (2)化简变形,再利用基本不等式,即可求得最小值. 解:(1)由a>0且a+b=4,代入不等式f(x)≥0,得ax3+4x+4﹣a≥0, 化简,得(x+8)(ax﹣a+4)≤0,∴x≤﹣1或x≥﹣1+, (2)由f(x)的值域为[5,+∞),可得a>0,△≤0, ==(a﹣b)+ ∴的最小值为8=4. 22.如图,有一矩形空地ABCD,AB=2BC=40米,现计划种植甲、乙两种蔬菜,已知单位面积种植甲蔬菜的经济价值是种植乙蔬菜经济价值的3倍,但种植甲蔬菜需要有辅助光照.AB边中点O处处恰有一可旋转光源满足甲蔬菜生长的需要,该光源照射范围是∠EOF=60°,其中E、F分别在边BC,CD上. (1)若∠BOE=30°,求四边形OECF的面积; (2)求该空地产生最大经济价值时种植甲种蔬菜的面积. 【分析】(1)四边形OECF的面积S=SOBCF﹣S△BOE; (2)设∠BOE=α∈[0°,45°],过点F作FM⊥AB于点M,利用三角函数的知识可得S△EOF;设单位面积种植乙蔬菜的经济价值为m,该空地产生的经济价值为y,可用含α的式子表示出y;令f(α)=cosα?sin(120°﹣α),结合三角恒等变换公式和余弦函数的图象与性质求出f(α)取得最小值时,α的值,再将其代入S△EOF的表达式中即可得解. 解:(1)由∠EOF=60°,∠BOE=30°,可知OF⊥OB,O为AB中点, ∵AB=2BC,∴OB=BC,∴四边形FOBC为正方形. ∴四边形OECF的面积为SOBCF﹣S△BOE=平方米. 在Rt△OBE中,cos∠BOE=,∴OE==, ∴S△EOF=OE?OFsin∠EOF=×××sin60°=, 则y=3mS△EOF+m(S矩形ABCD﹣S△EOF) =m[800+]. =×﹣×sin2α=cos(2α+30°)+. 若该空地产生的经济价值y最大,则f(α)应取得最小值,为,此时α=6°, 故该空地产生最大经济价值时种植甲种蔬菜的面积为200平方米.

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  • ID:3-7895055 2019-2020学年河南省平顶山市高一下学期期末数学试卷 (解析版)

    高中数学/期末专区/高一下册

    2019-2020学年河南省平顶山市高一第二学期期末数学试卷 一、选择题(共12小题). 1.若sin2α<0,则α的终边在(  ) A.第二象限 B.第四象限 C.第一或第三象限 D.第二或第四象限 2.向量=(2,x),=(x,8),若∥,且它们的方向相反,则实数x的值为(  ) A.﹣4 B.4 C.±4 D.2 3.某中学初中部共有240名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该中学男教师的人数为(  ) A.93 B.123 C.162 D.228 4.一个魔方的六个面分别是红、橙、蓝、绿、白、黄六种颜色,且红色面和橙色面相对、蓝色面和绿色面相对,白色面和黄色面相对,将这个魔方随意扔到桌面上,则事件“红色面朝上”和“绿色面朝下”(  ) A.是对立事件 B.不是互斥事件 C.是相等事件 D.是互斥但不是对立事件 5.执行如图所示的程序框图,若输入的n=13,则输出的i,k的值分别为(  ) A.3,5 B.4,7 C.5,9 D.6,11 6.用样本估计总体的统计思想在我国古代数学名著《数书九章》中就有记载,其中有道“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来一批米,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得250粒内夹谷25粒,若这批米内夹谷有160石,则这一批米约有(  ) A.600石 B.800石 C.1600石 D.3200石 7.已知f(α)=,则f(﹣π)=(  ) A.﹣ B.﹣ C. D. 8.某学校共有学生4000名,为了了解学生的自习情况,随机调查了部分学生的每周自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,估计该校学生中每周自习时间不少于22.5小时的人数是(  ) A.2800 B.1200 C.140 D.60 9.如果函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=π对称,那么|φ|取最小值时φ的值为(  ) A. B. C.﹣ D.± 10.把不超过实数x的最大整数记为[x],则函数f(x)=[x]称作取整函数,又叫高斯函数.在区间[2,4]上任取实数x,则[x]=[]的概率为(  ) A. B. C. D. 11.函数f(x)=sinx﹣cosx在[t,2t](t>0)上是增函数,则t的最大值为(  ) A. B. C. D. 12.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且其图象关于直线x=1对称,若当x∈[0,1]时,f(x)=x,则F(x)=f(x)﹣﹣(x∈(﹣7,8))的零点的个数为(  ) A.4 B.5 C.6 D.8 二、填空题(共4小题). 13.某工厂甲、乙、丙三种不同型号的产品的产量分别为400,300,300(单位:件).为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取50件进行检验,则应抽取的甲种型号的产品件数为   . 14.一次体操比赛中,7位裁判为某运动员打出的分数如茎叶图所示(其中茎表示十位数,叶表示个位数),去掉一个最高分和一个最低分后,剩余数据的平均数为   . 15.已知方程sin(ωx+)=(ω>0)在[0,]上有两个不同的根,则实数m的取值范围为   . 16.如图所示,点P在由线段AB,AC的延长线及线段BC围成的阴影区域内(不含边界),则下列说法中正确的是   .(填写所有正确说法的序号) ①存在点P,使得; ②存在点P,使得; ③存在点P,使得; ④存在点P,使得. 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知函数f(x)的图象向右平移2个单位长度得到函数y=log2(x﹣2)的图象. (Ⅰ)求f(x)的解析式; (Ⅱ)若函数g(x)=[f(x)]2﹣f(x2)+7,求g(x)在[,4]上的最大值和最小值的和. 18.在?ABCD中,,,向量与的夹角为. (Ⅰ)求; (Ⅱ)求和夹角的余弦值. 19.如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,且AB=BC,D为线段AC的中点,E在线段PC上. (Ⅰ)若PA∥平面BDE,确定E点的位置并证明; (Ⅱ)证明:平面BDE⊥平面PAC. 20.新冠肺炎疫情期间,某定点医院从2020年2月11日开始收治新冠肺炎患者,前5天每天新收治的患者人数统计如表: 2月x日 11 12 13 14 15 新收治患者人数y 25 26 29 28 31 (Ⅰ)求y关于x的线性回归方程; (Ⅱ)若该医院共有300张病床,不考虑出院的情况,按照这个趋势,该医院到哪一天病床会住满? 附:回归直线方程为,其中,. 21.已知函数f(x)=2cosx(sinx+cosx)﹣1. (Ⅰ)求f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间; (Ⅱ)若α∈(0,π),f()=,求sin(α+)的值. 22.工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y进行检测,一共抽取了48件产品,并得到如下统计表.该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y有关,具体见表. 质量指标Y [9.4,9.8) [9.8,10.2] (10.2,10.6] 频数 8 24 16 一年内所需维护次数 2 0 1 (1)以每个区间的中点值作为每组指标的代表,用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y的平均值(保留两位小数); (2)用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品,再从6件产品中随机抽取2件产品,求这2件产品的指标Y都在[9.8,10.2]内的概率; (3)已知该厂产品的维护费用为300元/次.工厂现推出一项服务:若消费者在购买该厂产品时每件多加100元,该产品即可一年内免费维护一次.将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用.假设这48件产品每件都购买该服务,或者每件都不购买该服务,就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用,并以此为决策依据,判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务? 参考答案 一、选择题(共12小题). 1.若sin2α<0,则α的终边在(  ) A.第二象限 B.第四象限 C.第一或第三象限 D.第二或第四象限 【分析】由题意利用二倍角的正弦公式,三角函数在各个象限中的符号,得出结论. 解:若sin2α=2sinαcosα<0,则sinα与 cosα异号, 故α的终边在第二或第四象限, 故选:D. 2.向量=(2,x),=(x,8),若∥,且它们的方向相反,则实数x的值为(  ) A.﹣4 B.4 C.±4 D.2 【分析】根据即可求出x=±4,然后根据方向相反即可求出x的值. 解:∵, ∴16﹣x2=0,解得x=±4, ∴x=﹣4. 故选:A. 3.某中学初中部共有240名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则该中学男教师的人数为(  ) A.93 B.123 C.162 D.228 【分析】根据题意,由图中的数据求出初中部、高中部男教师的人数,相加即可得答案. 解:根据题意,某中学初中部共有240名教师, 其中男教师占30%,则男教师有240×30%=72人, 则男教师有150×60%=90人, 故选:C. 4.一个魔方的六个面分别是红、橙、蓝、绿、白、黄六种颜色,且红色面和橙色面相对、蓝色面和绿色面相对,白色面和黄色面相对,将这个魔方随意扔到桌面上,则事件“红色面朝上”和“绿色面朝下”(  ) A.是对立事件 B.不是互斥事件 C.是相等事件 D.是互斥但不是对立事件 【分析】事件“红色面朝上”和“绿色面朝下”不能同时发生,但能同时不发生,从而事件“红色面朝上”和“绿色面朝下”是互斥但不对立事件. 解:将这个魔方随意扔到桌面上, 则事件“红色面朝上”和“绿色面朝下”不能同时发生,但能同时不发生, 故选:D. 5.执行如图所示的程序框图,若输入的n=13,则输出的i,k的值分别为(  ) A.3,5 B.4,7 C.5,9 D.6,11 【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i,k的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 解:模拟程序的运行,可得 n=13,i=1,k=1,s=0 不满足条件s>n,执行循环体,s=7,i=3,k=5 满足条件s>n,退出循环,输出i,k的值分别为4,4. 故选:B. 6.用样本估计总体的统计思想在我国古代数学名著《数书九章》中就有记载,其中有道“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来一批米,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得250粒内夹谷25粒,若这批米内夹谷有160石,则这一批米约有(  ) A.600石 B.800石 C.1600石 D.3200石 【分析】根据数得250粒内夹谷25粒,可得比例数,由此列式即可求得答案. 解:设这一批米约有N石, 由题意可得,即N=1600石. 故选:C. 7.已知f(α)=,则f(﹣π)=(  ) A.﹣ B.﹣ C. D. 【分析】已知关系式右边利用诱导公式化简确定出f(α),即可求出所求式子的值. 解:f(α)===cosα, 则f(﹣π)=cos(﹣π)=cos(673π+)=﹣cos=﹣. 故选:B. 8.某学校共有学生4000名,为了了解学生的自习情况,随机调查了部分学生的每周自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,估计该校学生中每周自习时间不少于22.5小时的人数是(  ) A.2800 B.1200 C.140 D.60 【分析】由频率分布直方图计算该校学生中每周自习时间不少于22.5小时的频率和频数. 解:由频率分布直方图知,该校学生中每周自习时间不少于22.5小时的频率为 1﹣(0.02+0.10)×(20﹣17.5)=4﹣0.3=0.7, 4000×0.4=2800(人). 故选:A. 9.如果函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=π对称,那么|φ|取最小值时φ的值为(  ) A. B. C.﹣ D.± 【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果. 解:函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=π对称, 所以:2π+φ+=kπ+, 所以:当k=1或2时,|φ|取最小值时φ的值为±, 故选:D. 10.把不超过实数x的最大整数记为[x],则函数f(x)=[x]称作取整函数,又叫高斯函数.在区间[2,4]上任取实数x,则[x]=[]的概率为(  ) A. B. C. D. 【分析】由已知分类求得使[x]=[]的x的范围,再由测度比是长度比得答案. 解:当2≤x<3时,[x]=[]=2; 当7≤x<4时,[x]=3,[]=2; 由测度比为长度比可得,[x]=[]的概率为=. 故选:B. 11.函数f(x)=sinx﹣cosx在[t,2t](t>0)上是增函数,则t的最大值为(  ) A. B. C. D. 【分析】将函数f(x)化简,由正弦函数的单调性可得t的取值范围,然后求出t的最大值. 解:f(x)=sinx﹣cosx=2sin(x﹣)在[t,2t](t>0)上是增函数, 所以t﹣≤x﹣≤2t﹣,所以[t﹣,2t]?[﹣,], 故选:C. 12.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且其图象关于直线x=1对称,若当x∈[0,1]时,f(x)=x,则F(x)=f(x)﹣﹣(x∈(﹣7,8))的零点的个数为(  ) A.4 B.5 C.6 D.8 【分析】在同一平面直角坐标系内作出函数y=f(x)与y=的图象,得到两函数图象在(﹣7,8)内的交点个数,即可求得F(x)=f(x)﹣﹣(x∈(﹣7,8))的零点的个数. 解:函数F(x)=f(x)﹣﹣(x∈(﹣5,8))的零点的个数, 即方程f(x)﹣﹣=3在(﹣7,8))上的解的个数, 又函数f(x)是定义域为R的偶函数,且其图象关于直线x=1对称,当x∈[0,7]时,f(x)=x, 故选:C. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.某工厂甲、乙、丙三种不同型号的产品的产量分别为400,300,300(单位:件).为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取50件进行检验,则应抽取的甲种型号的产品件数为 20 . 【分析】根据题意求出抽样比例,再计算应从甲种型号的产品中抽取的样本数据. 解:抽样比例是=, ∴应从甲种型号的产品中抽取400×=20(件). 故答案为:20. 14.一次体操比赛中,7位裁判为某运动员打出的分数如茎叶图所示(其中茎表示十位数,叶表示个位数),去掉一个最高分和一个最低分后,剩余数据的平均数为 89 . 【分析】根据茎叶图写出这7个数据,计算去掉一个最高分和一个最低分后剩余数据的平均数. 解:根据茎叶图知,这7个数据从小到大排列为:79,86,87,90,91,91,92; 去掉一个最高分92,一个最低分79,剩余数据的平均数为 故答案为:89. 15.已知方程sin(ωx+)=(ω>0)在[0,]上有两个不同的根,则实数m的取值范围为 [2,4) . 【分析】根据x∈[0,]上,求解内层ωx+的范围,结合正弦函数图象与性质,即可得y=sin(ωx+)与y=有两个不同的交点,再求出实数m的取值范围. 解:由x∈[0,],得ωx+∈[,], 根据正弦函数图象,可知函数y=sin(ωx+)图象与函数y=有两个不同的交点, 故答案为:[2,4). 16.如图所示,点P在由线段AB,AC的延长线及线段BC围成的阴影区域内(不含边界),则下列说法中正确的是 ①④ .(填写所有正确说法的序号) ①存在点P,使得; ②存在点P,使得; ③存在点P,使得; ④存在点P,使得. 【分析】利用基底表示向量,结合图形即可作出判断. 解:设,(λ,μ∈R,)由图可知,λ>0,μ>0, 若B,P,C三点共线,则λ+μ=1,而点P在阴影区域内,所以λ+μ>1. 故答案为:①④. 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知函数f(x)的图象向右平移2个单位长度得到函数y=log2(x﹣2)的图象. (Ⅰ)求f(x)的解析式; (Ⅱ)若函数g(x)=[f(x)]2﹣f(x2)+7,求g(x)在[,4]上的最大值和最小值的和. 【分析】(Ⅰ)利用图象变换法则直接求解即可; (Ⅱ)表示出g(x),由二次函数的性质即可得解. 解:(Ⅰ)y=log2(x﹣2)的图象向左平移2个单位长度得到函数的图象为y=log2[(x+2)﹣7]=log2x, ∴f(x)=log2x; 当时,log2x∈[﹣1,2], ∴最大值与最小值之和为16. 18.在?ABCD中,,,向量与的夹角为. (Ⅰ)求; (Ⅱ)求和夹角的余弦值. 【分析】(Ⅰ)根据题意,设,,由数量积公式可得?=||,结合,求出||的值即可; (Ⅱ)根据题意,由数量积公式可得?=0,即可得与的夹角为,进而求出和夹角的余弦值. 解:(Ⅰ)设,,则,. 向量与的夹角为, ∴, (Ⅱ), 则与的夹角为,故. 19.如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,且AB=BC,D为线段AC的中点,E在线段PC上. (Ⅰ)若PA∥平面BDE,确定E点的位置并证明; (Ⅱ)证明:平面BDE⊥平面PAC. 【分析】(Ⅰ)E点为线段PC的中点,通过PA∥平面BDE,推出PA∥DE,结合中位线定理推出结果即可. (Ⅱ)先证明PA⊥平面ABC,推出PA⊥BD,结合BD⊥AC,推出BD⊥平面PAC,然后证明平面BDE⊥平面PAC. 【解答】证明:(Ⅰ)E点为线段PC的中点. 证明:因为PA∥平面BDE,平面PAC∩平面BDE=DE,所以PA∥DE, (证明过程由“E是线段PC的中点”推出“PA∥平面BDE”也算对) 因为BD?平面ABC,所以PA⊥BD. 又因为AC∩PA=A,所以BD⊥平面PAC,因为BD?平面BDE, 所以平面BDE⊥平面PAC. 20.新冠肺炎疫情期间,某定点医院从2020年2月11日开始收治新冠肺炎患者,前5天每天新收治的患者人数统计如表: 2月x日 11 12 13 14 15 新收治患者人数y 25 26 29 28 31 (Ⅰ)求y关于x的线性回归方程; (Ⅱ)若该医院共有300张病床,不考虑出院的情况,按照这个趋势,该医院到哪一天病床会住满? 附:回归直线方程为,其中,. 【分析】(Ⅰ)由已知数据求得与的值,则线性回归方程可求; (Ⅱ)在线性回归方程中,分别取x=16、17、18、19、20求得y值,然后作和判断. 解:(Ⅰ),=27.8, . ∴y关于x的线性回归方程为; 2月x日 16 17 18 19 20 新收治患者人数y 32 33 35 36 38 到2月20日,患者总人数预计为25+26+29+28+31+32+33+35+36+38=313>300, ∴该医院到2月20日病床会住满. 21.已知函数f(x)=2cosx(sinx+cosx)﹣1. (Ⅰ)求f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间; (Ⅱ)若α∈(0,π),f()=,求sin(α+)的值. 【分析】(Ⅰ)把已知函数解析式变形,再由复合函数的单调性求解f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间; (Ⅱ)由f()=,可得sin()=,进一步求得cos(),再由sin(α+)=sin[()+],展开两角和的正弦求解. 解:(Ⅰ)f(x)=2cosx(sinx+cosx)﹣1 == 由, ∵x∈[0,π],∴取k=3和k=1时, (Ⅱ)由f()=,得2sin()=,即sin()=. ∴sin(α+)=sin[()+]=sin()cos+cos()sin ==. 22.工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y进行检测,一共抽取了48件产品,并得到如下统计表.该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y有关,具体见表. 质量指标Y [9.4,9.8) [9.8,10.2] (10.2,10.6] 频数 8 24 16 一年内所需维护次数 2 0 1 (1)以每个区间的中点值作为每组指标的代表,用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y的平均值(保留两位小数); (2)用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品,再从6件产品中随机抽取2件产品,求这2件产品的指标Y都在[9.8,10.2]内的概率; (3)已知该厂产品的维护费用为300元/次.工厂现推出一项服务:若消费者在购买该厂产品时每件多加100元,该产品即可一年内免费维护一次.将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用.假设这48件产品每件都购买该服务,或者每件都不购买该服务,就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用,并以此为决策依据,判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务? 【分析】(1)由样本数据能估计该厂产品的质量指标Y的平均值指标. (2)由分层抽样法知,先抽取的件产品中,指标Y在[9.8,10.2]内的有3件,记为A1,A2,A3,指标Y在(10.2,10.6]内的有2件,记为B1,B2,指标Y在[9.4,9.8)内的有1件,记为C,从6件产品中,随机抽取2件产品,共有基本事件15个,由此能求出指标Y都在[9.8,10.2]内的概率. (3)不妨设每件产品的售价为x元,假设这48件样品每件都不购买该服务,则购买支出为48x元,其中有16件产品一年内的维护费用为300元/件,有8件产品一年内的维护费用为600元/件,由此能求出结果. 解:(1)指标Y的平均值为:≈10.07. (8)由分层抽样法知,先抽取的件产品中, 指标Y在(10.2,10.6]内的有2件,记为B1,B2, 从6件产品中,随机抽取2件产品,共有基本事件15个,分别为: (A1,C),(A2,A3),(A2,B1), (B1,B4),(B1,C),(B2,C), (3)不妨设每件产品的售价为x元,假设这48件样品每件都不购买该服务, 有8件产品一年内的维护费用为600元/件, 假设为这48件产品每件产品都购买该项服务,则购买支出为48(x+100)元, 平均每件产品的消费费用: ∴该服务值得购买.

    • 2020-09-22
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