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  • ID:3-8247509 [精]第57讲 过程评价与案例赏析-2021年新高考数学一轮专题复习(新高考专版)

    高中数学/高考专区/一轮复习

    中小学教育资源及组卷应用平台 第57讲 过程评价与案例赏析 一 测量学校内、外建筑物的高度项目的过程性评价 [目的] 给出过程性评价,体现如何让学生在交流过程中展现个性、学会交流、归纳总结,发现问题、积累经验、提升素养. [评价过程] 在每一个学生都完成“测量报告”后,安排交流讲评活动.安排讲评的报告应当有所侧重.例如,测量结果准确,测量过程清晰,测量方法有创意,误差处理得当,报告书写认真等;或误差明显而学生自己没有察觉,测量过程中构建的模型有待商榷等.事实表明,这种形式的交流讲评,往往是数学建模过程中学生收获最大的环节. 附件:某个小组的研究报告的展示片段摘录. 测量不可及“理想大厦”的方法 1.两次测角法 (1)测量并记录测量工具距离地面h m; (2)用大量角器,将一边对准大厦的顶部,计算并记录仰角α; (3)后退a m,重复(2)中的操作,计算并记录仰角β; (4)楼高x的计算公式为: x=+h, 其中α,β,a,h如图所示. 两次测角法示意图 2.镜面反射法 (1)将镜子(平面镜)置于平地上,人后退至从镜中能够看到房顶的位置,测量人与镜子的距离; (2)将镜子后移a m,重复(1)中的操作; (3)楼高x的计算公式为x=,其中a1,a2是人与镜子的距离,a是两次观测时镜面之间的距离,h是人的“眼高”,如图所示.根据光的反射原理,利用相似三角形的性质联立方程组,可以得到这个公式. 镜面反射法示意图 实际测量数据和计算结果,测量误差简要分析. (1)两次测角法 实际测量数据: 第一次 第二次 仰角 67° 52° 后退距离为25 m,人的“眼高”为1.5 m,计算可得理想大厦的高度约为71.5 m,结果与期望值(70 m~80 m)相差不大.误差的原因是铅笔在纸板上画出度数时不够精确.减小误差的方法是几个人分别测量高度及仰角,再求平均值,误差就能更小. (2)镜面反射法 实际测量数据: 第一次 第二次 人与镜子的距离 3.84 m 3.91 m 镜子的相对距离10 m,人的“眼高”为1.52 m.计算可得理想大厦的高度约为217 m,结果与期望值相差较大. 产生误差有以下几点原因: 镜面放置不能保持水平; 两次放镜子的相对距离太短,容易造成误差; 人眼看镜内物像时,两次不一定都看准镜面上的同一个点; 人体不一定在两次测量时保证高度不变. 综上所述,要做到没有误差很难,但可以通过某些方法使误差更小,我们准备用更多的测量方法找出理想的结果. 对上面的测量报告,教师和同学给出评价.例如,对测量方法,教师和同学评价均为“优”,因为对不可及的测量对象选取了两种可行的测量方法;对测量结果,教师评价为“良”,同学评价为“中”,因为两种方法得到的结果相差较大. 对测量结果的评价,教师和同学产生差异的原因是,教师对测量过程的部分项目实施加分,包括对自制测量仰角的工具等因素作了误差分析;同学则进一步分析产生误差的主要原因,包括: (1)测量工具问题.两次测角法的同学,自制量角工具比较粗糙,角度的刻度误差较大;镜面反射法的同学,选用的镜子尺寸太大,造成镜间距测量有较大误差. (2)间距差的问题.这是一个普遍的问题.间距差a值是测量者自己选定的,因为没有较长的卷尺测量距离,有的同学甚至选间距差a是1 m.由于间距太小,两次测量的角度差或者人与镜的距离差太小,最终导致计算结果产生巨大误差.当学生意识到了这个问题后,他们利用运动场100 m跑道的自然长度作为间距差a,使得测量精度得到较大提高. (3)不少学生用自己的身高代替“眼高”,反映了学生没有很好地理解测量过程中的“眼高”应当是测量的高度,如照片所示. 在结题交流过程中,教师通过测量的现场照片,引导学生发现问题,让学生分析测量误差产生的原因.学生们在活动中意识到,书本知识和实践能力的联系与转化是有效的学习方式. 测量现场的照片和观察说明: 照片 说明 左图:测量角的工具(量角器)太小,造成仰角的测量误差很大. 右上图:用腕尺法测量时,腕尺应与地面垂直,手臂水平,否则就没有相似的直角三角形. 右下图:用镜子反射法时,要保持镜面水平,否则入射三角形和反射三角形就不相似. 测量仰角的工具好:把一个量角器放在复印机上放大4倍复印.在中心处绑上一个铅垂,这样测量视线和铅垂线之间的夹角可以在图上直接读出,这个角是待测仰角的余角. 测量工具好:用自行车来测距离,解决了皮尺长度不够的问题. [分析] 建模活动的评价要关注结果,更要关注过程. 对测量方法和结果的数学评价可以占总评价的60%,主要由教师作评价.评价依据是现场观察和学生上交的测量报告,关注的主要评价点有: (1)测量模型是否有效; (2)计算过程是否清晰准确,测量结果是否可以接受; (3)测量工具是否合理、有效; (4)有创意的测量方法(可获加分); (5)能减少测量误差的思考和做法(可获加分); (6)有数据处理的意识和做法(可获加分); …… 非数学的评价可以占总评价的40%,主要评价点有: (1)每一名成员在小组测量和计算过程中的工作状态; (2)测量过程中解决困难的机智和办法; (3)讨论发言、成果汇报中的表现等. 非数学的评价主要是在同学之间进行,可以要求学生给出本小组以外其他汇报小组的成绩,并写出评价的简单理由. 二 黄金数的应用 班  级:高三(  )班 指导老师: 组  长: 组  员: 研究背景:黄金数不仅仅是那简简单单的一串数字,它在美术、建筑甚至是人的饮食都可以起到作用.那些世界建筑大师设计的作品中常常会用到黄金数的知识.我们在数学、物理、化学、生物及美学中都存在很多的最好、最优化的问题,如何实现最优化从而达到我们的要求,使得我们在各方面都能取得很好的成绩. 研究目的和意义: 1.培养学生对数学的学习兴趣; 2.提高学习的查找、分析、集中能力; 3.拓宽学生的知识面,感受古代数学家高超的证题思想和刻苦钻研的精神; 4.通过集体配合较好完成对本课题的研究,增加同学间团结合作的精神. 研究分工:搜集整理资料;撰写研究方案;写开题报告;撰写结题报告. 研究步骤:查阅资料、实际调查、计算、总结. 预期成果:在这次研究性学习中,我们组成员互相合作,共同完成了这一课题研究.从中我们了解到黄金数不仅仅是那简简单单的一串数字,它在美术、建筑甚至是人的饮食都可以起到作用.那些世界建筑大师设计的作品中常常会用到黄金数的知识. 研究结果: 一、黄金数的发展“历史” 黄金数是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现的.一天,毕达哥拉斯从一家铁匠铺路过,被铺子中那有节奏的叮叮当当的打铁声所吸引,便停下来仔细聆听,似乎这声音中隐匿着什么秘密.他走进作坊,拿出一把尺量了一下铁锤和铁砧的尺寸,发现它们之间存在着一种十分和谐的关系.回到家里,毕达哥拉斯拿出一根线,想将它分为两段.怎样分才最好呢?经过反复比较,他最后确定1∶0.618的比例截断最优美. 0.618在数学中叫黄金比值,又称黄金数.这是意大利著名画家达·芬奇给它的美称.其实数学上有许多几何图形蕴涵了黄金比,如五角星等. 代数上也有许多黄金数的知识,其中最有名的裴波那契数列,也就是1,1,3,5,8,13,21,34,55,89…,或许大家要问这里面没有黄金数啊,其实如果用前一项比后一项,它的比值将会在0.618上下波动,如果你有兴趣还可以算下去,最后你还会得到一个数,一个无限接近于黄金数的比值,不信你可以试一试. 二、黄金数的广泛应用 1.艺术中的黄金数 “0.618”,这个比值因具有美学价值而被古希腊美学家运用到造型艺术中,因为凡符合黄金分割律的形体总是最美的形体.在美术史上曾经把它作为经典法则来应用.有许多美术家运用它创造了不少不朽的名著.例如达·芬奇的《蒙娜丽莎》、拉斐尔笔下温和俊秀的圣母像,都有意无意地用上了这个比值. 黄金分割对摄影画面构图可以说有着自然联系.例如照相机的片窗比例:135相机就是24×36即2∶3的比例,这是很典型的.只要我们翻开影集看一看,就会发现,大多数的画幅形式,都是近似这个比例. 2.饮食、生活作息中的黄金数 “黄金分割”的比值为0.618,它不仅是美学造型方面常用的一个比值,也是一个饮食参数.日本人的平均寿命多年来稳居世界首位,合理的膳食是一个主要因素.在他们的膳食中,谷物、素菜、优质蛋白、碱性食物所占的比例基本上达到了黄金分割的比值. 医学专家分析后还发现,饭吃六七成饱的人几乎不生胃病. 还有喝5杯水.人体内的水分占体重的61.8%,不计出汗,每天失去和需要补充的水达2 500毫升.其中半固体食物供给的水和人体内部合成的水约1 500毫升,大约占61.8%.其余1 000毫升需要补充,才能保持水平衡.因此,每人一天要喝5杯水. 一天合理的生活作息也应该符合黄金分割,24小时中,2/3时间是工作与生活,1/3时间是休息与睡眠;在动与静的关系上,究竟是“生命在于运动”,还是“生命在于静养”?从辩证观和大量的生活实践证明,动与静的关系同一天休息与工作的比例一样,动四分,静六分,才是最佳的保健之道.掌握与运用好黄金分割,可使人体节约能耗,延缓衰老,提高生命质量. 3.植物中的黄金数 植物叶子,千姿百态,生机盎然,给大自然带来了美丽的绿色世界. 尽管叶子形状随种而异,但它在茎上的排列顺序(称为叶序),却是极有规律的.你从植物茎的顶端向下看,经细心观察,发现上下层中相邻的两片叶子之间约为137.5°.如果每层叶子只画一片来代表,第一层和第二层的相邻两叶之间的角度差约是137.5°,以后二到三层,三到四层,四到五层……两叶之间都成这个角度数.植物学家经过计算表明:这个角度对叶子的采光、通风都是最佳的.叶子的排布,多么精巧叶子间的137.5°中,藏有什么“密码”呢?我们知道,一周是360°,360°-137.5°=222.5°,137.5°∶222.5°≈0.618.瞧,这就是“密码”!叶子的精巧而神奇的排布中,竟然隐藏着0.618. 有些植物的花瓣及主干上枝条的生长,也是符合这个规律的. 4.建筑中的黄金数 世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割比”.遍布全球的众多优秀近现代建筑,尽管其风格各异,但在构图布局设计方面,都有意无意地运用了黄金分割的法则,给人以整体上的和谐与悦目之美. 举世闻名的巴特农神庙也是这样一个例子,神庙外部呈长方形,长228英尺,宽101英尺,有46根多立克式环列圆柱构成柱廊. 文明古国埃及的金字塔,形似方锥,大小各异.但这些金字塔底面的边长与高之比都接近于0.618,能使平直单调的塔身变得丰富多彩;在现代建筑中,一些摩天建筑中使用“黄金分割点”进行处理,在这类高层建筑物的黄金分割处布置腰线或装饰物,则可使整个楼群显得雄伟雅致.如举世闻名的法国巴黎埃菲尔铁塔、当今世界最高建筑之一的加拿大多伦多电视塔(553.33米),都是根据黄金分割的原则来建造的.上海的东方明珠广播电视塔,塔身高达468米.为了美化塔身,设计师巧妙地在上面装置了晶莹耀眼的上球体、下球体和太空舱,既可供游人登高俯瞰地面景色,又使笔直的塔身有了曲线变化.更妙的是,上球体所选的位置在塔身总高度5∶8的地方,即从上球体到塔顶的距离,同上球体到地面的距离大约是5∶8这一符合黄金分割之比的安排,使塔体挺拔秀美,具有审美效果. 三、开展生活中实际调查的研究及成果 经过我们的讨论,我们觉得应该自己去寻找生活中的黄金数. 1.下面就是我们实地测量结果的统计表格,从中我们发现其实黄金数就在我们的身边.只要稍微留心一下便可发现它离我们的生活有多近!在生活中,只要我们善于观察,善于思考,将所学的知识与生活结合起来将会感到数学的乐趣,生活中处处都应用着数学的知识. 物品 宽(cm) 长(cm) 比值 教室墙体砖块 18 29 0.621 一片叶子 0.9 104 0.6428 学生 92 150 0.613 安中学生证 6.1 10 0.61 安中校园雕像 51 83 0.614 安中课桌 40 65 0.615 2.在实地调查、相关问题的访问、同学们之间互相交流讨论后,我们从中获得了不少的生活小知识. 如(1)报幕员应站在舞台的什么地方报幕最佳? 答:根据黄金分割,应站在舞台宽度的0.618处以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观,声音传播得最好. (2)假如您打算买台25寸的国产彩色电视机,要想物美价廉,最佳价位是多少? 答:如上所述,要想确定最佳价格,我们得知道同一品牌的最高价与最低价,然后根据公式:(最高价位-最低价位)×0.618+最低价位=最佳价位. 以下是我们的调查结果 名牌 高档的价格(元) 低档的价格(元) 最佳的价格(元) 长虹彩电 1 350 1 280 1320 创维彩电 1 295 1100 1 221 (3)请问在夏季,人们为什么格外留恋春天的感觉? 答:人在春季感到舒畅,那是因为这时的环境温度正好在22至24摄氏度之间,而这种气温与人的正常体温37摄氏度正呈现微妙之处:人的正常体温37摄氏度与0.618的乘积为22.8摄氏度,人在这一环境温度中,机体的新陈代谢、生理活动均处于最佳状态. 四、问题与建设 在这次研究性学习中,我们组成员互相合作,共同完成了这一课题研究.从中我们了解到黄金数不仅仅是那简简单单的一串数字,它在美术、建筑甚至是人的饮食都可以起到作用.那些世界建筑大师设计的作品中常常会用到黄金数的知识. 在研究中,当然也会遇到各种无法预料的问题.刚开始,大家对于黄金数的知识都很缺乏,只是带着一份好奇去探询其中的奥秘,而且黄金数的资料学校图书馆比较缺乏,网上资料又是十分杂乱,对于信息需要筛选,留下对课题研究有用的部分.在学习大量资料以后,我们渐渐了解了黄金数,我们惊奇地发现小小的“黄金数”竟然有这么多神奇的应用!既然知道了,我们就更应该在生活中使用黄金数,美化生活. _21?????????è?????(www.21cnjy.com)_

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  • ID:3-8247507 [精]第56讲 数学建模与数学探究-2021年新高考数学一轮专题复习(新高考专版)

    高中数学/高考专区/一轮复习

    中小学教育资源及组卷应用平台 第56讲数学建模与数学探究 考情分析 数学建模活动是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程.主要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、构建模型,确定参数、计算求解,检验结果、改进模型,最终解决实际问题.数学建模活动是基于数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动,是高中阶段数学课程的重要内容. 知识梳理 数学建模活动的基本过程如下: 数学探究活动是围绕某个具体的数学问题,开展自主探究、合作研究并最终解决问题的过程.具体表现为:发现和提出有意义的数学问题,猜测合理的数学结论,提出解决问题的思路和方案,通过自主探索、合作研究论证数学结论.数学探究活动是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动,也是高中阶段数学课程的重要内容. 【过程解读】 掌握建模基本过程,会对实际问题进行问题分析,善于合理假设. ·问题分析也常称为模型准备或问题重述.由于数学模型是建立数学与实际现象之间的桥梁,因此,首要的工作是要设法用数学的语言表述实际现象.所谓问题重述是指把实际现象尽量地使用贴近数学的语言进行重新描述.为此,要充分了解问题的实际背景,明确建模的目的,尽可能弄清对象的特征,并为此搜集必需的各种信息或数据.要善于捕捉对象特征中隐含的数学因素,并将其一一列出.至此,我们便有了一个很好的开端,而有了这个良好的开端,不仅可以决定建模方向,初步确定用哪一类模型,而且对下面的各个步骤都将产生影响. ·模型假设(即合理假设)是与问题分析紧密衔接的又一个重要步骤.根据对象的特征和建模目的,在问题分析基础上对问题进行必要的、合理的取舍简化,并使用精确的语言作出假设,这是建模至关重要的一步.这是因为,一个实际问题往往是复杂多变的,如不经过合理的简化假设,将很难于转化成数学模型,即便转化成功,也可能是一个复杂的难于求解的模型从而使建模归于失败.当然,假设作得不合理或过分简单也同样会因为与实际相去甚远而使建模归于失败.一般地,作出假设时要充分利用与问题相关的有关学科知识,充分发挥想象力和观察判断力,分清问题的主次,抓住主要因素,舍弃次要因素. 【实际意义】 数学建模的实际意义 1.在一般工程技术领域,数学建模仍然大有用武之地. 在以声、光、热、力、电这些物理学科为基础的诸如机械、电机、土木、水利等工程技术领域中,数学建模的普遍性和重要性不言而喻,虽然这里的基本模型是已有的,但是由于新技术、新工艺的不断涌现,提出了许多需要用数学方法解决的新问题;高速、大型计算机的飞速发展,使得过去即便有了数学模型也无法求解的课题(如大型水坝的应力计算,中长期天气预报等)迎刃而解;建立在数学模型和计算机模拟基础上的CAD技术,以其快速、经济、方便等优势,大量地替代了传统工程设计中的现场实验、物理模拟等手段. 2.在高新技术领域,数学建模几乎是必不可少的工具. 无论是发展通讯、航天、微电子、自动化等高新技术本身,还是将高新技术用于传统工业去创造新工艺、开发新产品,计算机技术支持下的建模和模拟都是经常使用的有效手段.数学建模、数值计算和计算机图形等相结合形成的计算机软件,已经被固化于产品中,在许多高新技术领域起着核心作用,被认为是高新技术的特征之一. 3.数学迅速进入一些新领域,为数学建模开拓了许多新的处女地. 随着数学向诸如经济、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透,一些交叉学科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生.在这些领域里建立不同类型、不同方法、不同深浅程度模型的余地相当大,为数学建模提供了广阔的新天地.马克思说过,一门科学只有成功运用数学时,才算达到了完善的地步.展望21世纪,数学必将大踏步地进入所有学科,数学建模将迎来蓬勃发展的新时期. 【课题研究】 课题研究的过程包括选题、开题、做题、结题四个环节.学生需要撰写开题报告,教师要组织开展开题交流活动,开题报告应包括选题意义、文献综述、解决问题思路、研究计划、预期结果等.做题是解决问题的过程,包括描述问题、数学表达、建立模型、求解模型、得到结论、反思完善等.结果包括撰写研究报告和报告研究结果,开展结题答辩.根据选题的内容,报告可以采用专题作业、测量报告、算法程序、制作的实物、研究报告或小论文等多种形式. 经典例题 测量学校内、外建筑物的高度 [目的] 运用所学知识解决实际测量高度的问题,体验数学建模活动的完整过程.组织学生通过分组、合作等形式,完成选题、开题、做题、结题四个环节. [情境] 给出下面的测量任务; (1)测量本校的一座教学楼的高度; (2)测量本校的旗杆的高度; (3)测量学校院墙外的一座不可及,但在学校操场上可以看到见的物体的高度. 可以每2~3个学生组成一个测量小组,以小组为单位完成;各人填写测量课题报告表,一周后上交. 测量课题报告表 项目名称:______________ 完成时间:______________ 1.成员与分工 姓名 分工 2.测量对象 例如,某小组选择的测量对象是:旗杆、教学楼、校外的××大厦. 3.测量方法(请说明测量的原理、测量工具、创新点等) 4.测量数据、计算过程和结果(可以另外附图或附页) 5.研究结果(包括误差分析) 6.简述工作感受 [要求] (1)成立项目小组,确定工作目标,准备测量工具. (2)小组成员查阅有关资料,进行讨论交流,寻求测量效率高的方法,设计测量方案(最好设计两套测量方案). (3)分工合作,明确责任.例如,测量、记录数据、计算求解、撰写报告的分工等. (4)撰写报告,讨论交流.可以用照片、模型、PPT等形式展现获得的成果. 根据上述要求,每个小组要完成以下工作. (1)选题 本案例活动的选题步骤略去. (2)开题 可以在课堂上组织开题交流,让每一个项目小组陈述初步测量方案,教师和其他同学可以提出质疑.在讨论的基础上,项目小组最终形成各自的测量方案. (3)做题 依据小组的测量方案实施测量.尽量安排各个小组在同一时间进行测量,这样有利于教师的现场观察和管理.要有分工、合作、责任落实到个人. (4)结题 在每一位学生都完成“测量报告”后,安排一次交流讲评活动.遴选的交流报告最好有鲜明的特点,如测量结果准确,过程完整清晰,方法有创意,误差处理得当,报告书写规范等;或者测量的结果出现明显误差,使用的方法不当. [分析] 测量高度是传统的数学应用问题,这样的问题有助于培养学生分析解决问题、动手实践、误差分析等方面的能力.测量模型可以用平面几何的方法,例如,比例线段、相似形等;也可以用三角的方法,甚至可以用物理的方法,例如,考虑自由落体的时间;等等. [拓展] 欢迎提出新的问题,积累数学建模资源.例如: 1.本市的电视塔的高度是多少米? 2.一座高度为H m的电视塔,信号传播半径是多少?信号覆盖面积有多大? 3.找一张本市的地图,看一看本市的地域面积有多少平方千米?电视塔的位置在地图上的什么地方?按照计算得到的数据,这座电视塔发出的电视信号是否能覆盖本市? 4.本市(外地)到省会的距离有多少千米?要用一座电视塔把信号从省会直接发送到本市,这座电视台的高度至少要多少米? 5.如果采用多个中继站的方式,用100 m高的塔接力传输电视信号,从省会到本地至少要建多少座100 m高的中继传送塔? 6.考虑地球大气层和电离层对电磁波的反射作用,重新考虑问题2,4,5. 7.如果一座电视塔(例如300 m高)不能覆盖本市,请设计一个多塔覆盖方案. 8.至少发射几颗地球定点的通讯卫星,可以使其信号覆盖地球? 9.如果我国要发射一颗气象监测卫星,监测我国的气象情况,请你设计一个合理的卫星定点位置或卫星轨道. 10.在网上收集资料,了解有关“北斗卫星导航系统”的内容,在班里做一个相关内容的综述,并发表对这件事的看法. _21?????????è?????(www.21cnjy.com)_

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  • ID:3-8247505 [精]第55讲 随机变量的数字特征-2021年新高考数学一轮专题复习(新高考专版)

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  • ID:3-8247503 [精]第54讲 条件概率与事件的独立性、正态分布-2021年新高考数学一轮专题复习(新高考专版)

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  • ID:3-8247502 [精]第53讲 离散型随机变量及其分布列-2021年新高考数学一轮专题复习(新高考专版)

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  • ID:3-8247403 [精]第45讲 获取数据的基本途径及抽样方法-2021年新高考数学一轮专题复习(新高考专版)

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  • ID:3-8247401 [精]第44讲 圆锥曲线的综合应用-2021年新高考数学一轮专题复习(新高考专版)

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  • ID:11-8193020 山东省德州市2020-2021学年度第一学期高一生物期中试题(PDF版)含答案

    高中生物/期中专区/高一上学期

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  • ID:4-8193011 山东省德州市2020-2021学年度第一学期高一英语期中试题(PDF版)(无听力音频有文字材料)

    高中英语/期中专区/高一上学期

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  • ID:9-8184373 山东省德州市2020-2021学年度上学期期中高一政治试题(PDF版含答案)

    高中思想政治/期中专区/高一上学期

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    • 2020-11-17
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  • ID:3-8184364 山东省德州市2020-2021学年度上学期期中高一数学试题(PDF版含答案)

    高中数学/期中专区/高一上册

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  • ID:10-8179968 山东省德州市2020-2021学年度第一学期高一地理期中试题(PDF版含答案)

    高中地理/期中专区/高一上学期

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  • ID:7-8179751 山东省德州市2020-2021学年度第一学期高一化学期中试题(PDF版)含答案

    高中化学/期中专区/高一上学期

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