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资源 文章 汇编
  • ID:3-7098246 [精]必修5 第三章 不等式 单元测试训练题(原卷版+解析版)

    高中数学/人教新课标A版/必修5/第三章 不等式/本章综合与测试

    中小学教育资源及组卷应用平台 必修5 第三章 单元训练测试题 选择题 1.已知a,b∈R,下列命题正确的是 A.若a>b,则|a|>|b|   B.若a>b,则< C.若|a|>b,则a2>b2 D.若a>|b|,则a2>b2 2.不等式2x2-x-3>0的解集是 A. B.(-∞,-1)∪ C. D.∪(1,+∞) 3.已知集合M={x|-11,0logb2 018 B.logba(c-b)ba D.(a-c)ac>(a-c)ab 5.对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是 A.(-∞,2) B.(-∞,2] C.(-2,2) D.(-2,2] 二、填空题 6.不等式1-<0的解集是________. 7.已知实数a∈(1,3),b∈,则的取值范围是________. 8.若关于x的不等式x2+2ax+1≥0在[0,+∞)上恒成立,则实数a的取值范围为 A.(0,+∞) B.[-1,+∞) C.[-1,1] D.[0,+∞) 9.已知函数f(x)=ln(x2-4x-a),若对任意的m∈R,均存在x0使得f(x0)=m,则实数a的取值范围是 A.(-∞,-4) B.(-4,+∞) C.(-∞,-4] D.[-4,+∞) 10.设不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为A,若A?[1,3],则a的取值范围为 A. B. C. D.[-1,3] 11.(2019·全国卷Ⅱ)设x,y满足约束条件则z=2x+y的最小值是 A.-15     B.-9     C.1      D.9 12.若x,y满足约束条件 则z=x2+2x+y2的最小值为 A. B. C.- D.- 13.实数x,y满足条件则的最大值为 A. B. C.1 D.2 14.若x,y满足x+1≤y≤2x,则2y-x的最小值是________. 15.已知实数x,y满足 则z=2x-2y-1的最小值是________. 16.已知点M的坐标(x,y)满足不等式组N为直线y=-2x+2上任一点,则|MN|的最小值是 A. B. C.1 D. 17.已知直线y=kx-3经过不等式组所表示的平面区域,则实数k的取值范围是 A. B.∪ C. D.∪ 18.某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表 每亩年产量 每亩年种植成本 每吨售价 黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元 韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元 为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为 A.50,0 B.30,20 C.20,30 D.0,50 19.已知x,y满足约束条件若ax+y取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为 A.或-1 B.2或 C.-2或1 D.2或-1 三.解答题 20.已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+6. (1)解关于a的不等式f(1)>0; (2)若不等式f(x)>b的解集为(-1,3),求实数a,b的值. 21.若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),满足f(x+2)-f(x)=16x且f(0)=2. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若存在x∈[1,2],使不等式f(x)>2x+m成立,求实数m的取值范围. 22.解关于x的不等式ax2-(2a+1)x+2<0(a∈R). 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页) HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com) " 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 中小学教育资源及组卷应用平台 必修5 第三章 单元测试训练题 解析版 选择题 1.已知a,b∈R,下列命题正确的是 A.若a>b,则|a|>|b|   B.若a>b,则< C.若|a|>b,则a2>b2 D.若a>|b|,则a2>b2 解析 当a=1,b=-2时,选项A,B,C均不正确;对于D项,a>|b|≥0,则a2>b2. 答案 D 2.不等式2x2-x-3>0的解集是 A. B.(-∞,-1)∪ C. D.∪(1,+∞) 解析 2x2-x-3>0可化为(x+1)(2x-3)>0, 解得x>或x<-1,所以不等式2x2-x-3>0的解集是(-∞,-1)∪.故选B. 答案 B 3.已知集合M={x|-11,0logb2 018 B.logba(c-b)ba D.(a-c)ac>(a-c)ab 解析 ∵a>1,00, ∴logb2 018=logab>logac,∴<,∴logba(c-b)ba,∴C正确;∵ac0, ∴(a-c)ac<(a-c)ab,∴D错误.故选D. 答案 D 5.对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是 A.(-∞,2) B.(-∞,2] C.(-2,2) D.(-2,2] 解析 当a-2=0,即a=2时,-4<0恒成立; 当a-2≠0,即a≠2时,则有 解得-20时,x2+2ax+1≥0?2ax≥-(x2+1)?2a≥-,又-≤-2,当且仅当x=1时取等号,所以2a≥-2?a≥-1,所以实数a的取值范围为[-1,+∞). 解法二 设f(x)=x2+2ax+1,函数图像的对称轴为直线x=-a. 当-a≤0,即a≥0时,f(0)=1>0,所以当x∈[0,+∞)时,f(x)≥0恒成立; 当-a>0,即a<0时,要使f(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,需f(-a)=a2-2a2+1=-a2+1≥0,得-1≤a<0. 综上,实数a的取值范围为[-1,+∞). 答案 B 9.已知函数f(x)=ln(x2-4x-a),若对任意的m∈R,均存在x0使得f(x0)=m,则实数a的取值范围是 A.(-∞,-4) B.(-4,+∞) C.(-∞,-4] D.[-4,+∞) 解析 依题意得函数f(x)的值域为R,令函数g(x)=x2-4x-a,则函数g(x)的值域取遍一切正实数,因此对方程x2-4x-a=0,有Δ=16+4a≥0,解得a≥-4.故选D. 答案 D 10.设不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为A,若A?[1,3],则a的取值范围为 A. B. C. D.[-1,3] 解析 设f(x)=x2-2ax+a+2,因为不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为A,且A?[1,3],所以对于方程x2-2ax+a+2=0,若A=?,则Δ=4a2-4(a+2)<0,即a2-a-2<0,解得-12时,直线y=-ax+z经过点A(-2,-2)时纵截距最大,此时最优解仅有一个,故不符合题意;当-a=2时,直线y=-ax+z与y=2x+2重合时纵截距最大,此时最优解不唯一,故符合题意;当-1<-a<2时,直线y=-ax+z经过点B(0,2)时纵截距最大,此时最优解仅有一个,故不符合题意;当-a=-1时,直线y=-ax+z与y=-x+2重合时纵截距最大,此时最优解不唯一,故符合题意;当-a<-1时,直线y=-ax+z经过点C(2,0)时纵截距最大,此时最优解仅有一个,故不符合题意.综上,当a=-2或a=1时最优解不唯一,符合题意.故选C. 答案 C 20.已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+6. (1)解关于a的不等式f(1)>0; (2)若不等式f(x)>b的解集为(-1,3),求实数a,b的值. 解析 (1)因为f(x)=-3x2+a(6-a)x+6, 所以f(1)=-3+a(6-a)+6=-a2+6a+3, 所以原不等式可化为a2-6a-3<0, 解得3-2b的解集为(-1,3)等价于方程-3x2+a(6-a)x+6-b=0的两根为-1,3, 等价于解得 21.若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),满足f(x+2)-f(x)=16x且f(0)=2. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若存在x∈[1,2],使不等式f(x)>2x+m成立,求实数m的取值范围. 解析 (1)由f(0)=2,得c=2,所以f(x)=ax2+bx+2(a≠0), 由f(x+2)-f(x)=[a(x+2)2+b(x+2)+2]-(ax2+bx+2)=4ax+4a+2b, 又f(x+2)-f(x)=16x,得4ax+4a+2b=16x, 故a=4,b=-8,所以f(x)=4x2-8x+2. (2)因为存在x∈[1,2],使不等式f(x)>2x+m成立,即存在x∈[1,2],使不等式m<4x2-10x+2成立, 令g(x)=4x2-10x+2,x∈[1,2],只需m0时,原不等式可以化为a(x-2)<0,根据不等式的性质, 这个不等式等价于(x-2)·<0. 因为方程(x-2)=0的两个根分别是2,, 所以当0时,<2,则原不等式的解集是. (2)当a=0时,原不等式为-(x-2)<0,解得x>2,即原不等式的解集是{x|x>2}. (3)当a<0时,原不等式可以化为a(x-2)<0, 根据不等式的性质,这个不等式等价于(x-2)·>0,由于<2, 故原不等式的解集是. 综上所述,当a<0时,不等式的解集为; 当a=0时,不等式的解集为{x|x>2}; 当0时,不等式的解集为. 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页) HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com) " 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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  • ID:3-7088125 [精]选修2-1.第一章.简单的逻辑用语.单元测试训练题(原卷版+解析版)

    高中数学/人教新课标A版/选修2-1/第一章 常用逻辑用语/本章综合与测试

    中小学教育资源及组卷应用平台 选修2-1 第一章 单元训练测试题 选择题 1.命题“若α=,则tan α=1”的否命题是 A.若α≠,则tan α≠1 B.若α=,则tan α≠1 C.若tan α≠1,则α≠ D.若tan α≠1,则α= 2.关于命题“若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,则{x|ax2+bx+c<0}≠?”的逆命题、否命题、逆否命题的真假性,下列结论成立的是 A.都真 B.都假 C.否命题真 D.逆否命题真 3.设x∈R,则“x3>8”是“|x|>2”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若“x>5”是“x>a”的充分条件,则实数a的取值范围为 A.a>5    B.a≥5    C.a<5    D.a≤5 5.已知集合A={1,m2+1},B={2,4},则“m=”是“A∩B={4}”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.有下列命题: ①“若x+y>0,则x>0且y>0”的否命题; ②“矩形的对角线相等”的否命题; ③“若m≥1,则mx2-2(m+1)x+m+3>0的解集是R”的逆命题; ④“若a+7是无理数,则a是无理数”的逆否命题. 其中正确的是 A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①④ 二、填空题 7.若a,b都是实数,试从①ab=0;②a+b=0;③a(a2+b2)=0;④ab>0中选出适合下列条件者,用序号填空: (1)“使a,b都为0”的必要条件是________; (2)“使a,b都不为0”的充分条件是________; (3)“使a,b至少有一个为0”的充要条件是________. 8.若命题“ax2-2ax-3>0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是________. 9.如果x,y是实数,那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 10.已知平面α,直线m,n满足m?α,n?α,则“m∥n”是“m∥α”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 11.设θ∈R,则“<”是“sin θ<”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 12.“a=0”是“函数f(x)=sin x-+a为奇函数”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 13.已知在实数a,b满足某一前提条件时,命题“若a>b,则<”及其逆命题、否命题和逆否命题都是假命题,则实数a,b应满足的前提条件是________. 14.已知集合A=,B={x|-12 D.?x∈R,f(x)≤1或f(x)>2 16.已知f(x)=3sin x-πx,命题p:?x∈,f(x)<0,则 A.p是真命题,綈p:?x∈,f(x)>0 B.p是真命题,綈p:?x0∈,f(x0)≥0 C.p是假命题,綈p:?x∈,f(x)≥0 D.p是假命题,綈p:?x0∈,f(x0)≥0 17.下列命题中是假命题的是 A.?x∈R,log2x=0     B.?x∈R,cos x=1 C.?x∈R,x2>0 D.?x∈R,2x>0 18.已知命题p:“x>3”是“x2>9”的充要条件,命题q:“a2>b2”是“a>b”的充要条件,则 A.p∨q为真 B.p∧q为真 C.p真q假 D.p∨q为假 19.命题p:甲的数学成绩不低于100分,命题q:乙的数学成绩低于100分,则p∨(綈q)表示 A.甲、乙两人的数学成绩都低于100分 B.甲、乙两人至少有一人的数学成绩低于100分 C.甲、乙两人的数学成绩都不低于100分 D.甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分 20.已知命题p:?x∈R,3x<5x,命题 q:?x0∈R+,2-x>,则下列命题中真命题是 A.p∧q B.p∨(非q) C.(非p)∧(非q) D.(非p)∧q 21.下列说法中,正确的是 A.命题“若am20”的否定是“?x∈R,x2-x≤0” C.命题“p或q”为真命题,则命题“p”和命题“q”均为真命题 D.已知x∈R,则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件 22.已知下列命题: ①命题:?x∈(0,2),3x>x3的否定:?x0∈(0,2),3x0≤x; ②若f(x)=2x-2-x,则?x∈R,f(-x)=-f(x); ③若f(x)=x+,则?x0∈(0,+∞),f(x0)=1; ④等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4=3,则S7=21; ⑤在△ABC中,若A>B,则sin A>sin B. 其中真命题是________.(只填写序号) 23.已知命题p,q,则“非p为假命题”是“p∧q是真命题”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 24.已知命题p:?x0∈R,ex0-mx0=0,q:?x∈R,x2+mx+1≥0,若p∨(非q)为假命题,则实数m的取值范围是 A.(-∞,0)∪(2,+∞) B.[0,2] C.R D.? 25.已知函数f(x)=给出下列两个命题:命题p:?m∈(-∞,0),方程f(x)=0有实数解;命题q:当m=时,f(f(-1))=0,则下列命题为真命题的是 A.p∧q B.(非p)∧q C.p∧(非q) D.(非p)∧(非q) 26.已知命题“?x∈R,x2-5x+a>0”的否定为假命题,则实数a的取值范围是________. 27.已知命题p:?x∈[0,1],a≥ex,命题q:?x0∈R,x+4x0+a=0,若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围是________. 28.设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,q:实数x满足|x-3|<1. (1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围; (2)若a>0且非p是非q的充分不必要条件,求实数a的取值范围. 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页) HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com) " 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 中小学教育资源及组卷应用平台 选修2-1 第一章 单元测试训练题 解析版 选择题 1.命题“若α=,则tan α=1”的否命题是 A.若α≠,则tan α≠1 B.若α=,则tan α≠1 C.若tan α≠1,则α≠ D.若tan α≠1,则α= 解析 因为命题“若p,则q”的否命题是“若綈p,则綈q”,故“若α=,则tan α=1”的否命题是“若α≠,则tan α≠1”. 答案 A 2.关于命题“若抛物线y=ax2+bx+c的开口向下,则{x|ax2+bx+c<0}≠?”的逆命题、否命题、逆否命题的真假性,下列结论成立的是 A.都真 B.都假 C.否命题真 D.逆否命题真 解析 原命题为真命题,则其逆否命题为真命题. 答案 D 3.设x∈R,则“x3>8”是“|x|>2”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 解不等式x3>8得x>2,解不等式|x|>2得x>2或x<-2,因为{x|x>2}{x|x>2或x<-2},所以“x3>8”是“|x|>2”的充分而不必要条件. 答案 A 4.若“x>5”是“x>a”的充分条件,则实数a的取值范围为 A.a>5    B.a≥5    C.a<5    D.a≤5 解析 由x>5是x>a的充分条件知,{x|x>5}?{x|x>a}.∴a≤5.故选D. 答案 D 5.已知集合A={1,m2+1},B={2,4},则“m=”是“A∩B={4}”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 若A∩B={4},则m2+1=4,∴m=±,故“m=”是“A∩B={4}”的充分不必要条件. 答案 A 6.有下列命题: ①“若x+y>0,则x>0且y>0”的否命题; ②“矩形的对角线相等”的否命题; ③“若m≥1,则mx2-2(m+1)x+m+3>0的解集是R”的逆命题; ④“若a+7是无理数,则a是无理数”的逆否命题. 其中正确的是 A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①④ 解析 ①的逆命题为“若x>0且y>0,则x+y>0”为真,故否命题为真;②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”,为假命题;③的逆命题为,若mx2-2(m+1)x+m+3>0的解集为R,则m≥1.∵当m=0时,解集不是R,∴应有即m>1.∴③是真命题;④原命题为真,逆否命题也为真. 答案 C 二、填空题 7.若a,b都是实数,试从①ab=0;②a+b=0;③a(a2+b2)=0;④ab>0中选出适合下列条件者,用序号填空: (1)“使a,b都为0”的必要条件是________; (2)“使a,b都不为0”的充分条件是________; (3)“使a,b至少有一个为0”的充要条件是________. 解析 ①ab=0?a=0或b=0,即a,b至少有一个为0;②a+b=0?a,b互为相反数,则a,b可能均为0,也可能为一正一负;③a(a2+b2)=0?a=0或④ab>0?或即a,b都不为0. 答案 (1)①②③ (2)④ (3)① 8.若命题“ax2-2ax-3>0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是________. 解析 由题意知ax2-2ax-3≤0恒成立,当a=0时,-3≤0成立;当a≠0时,得解得-3≤a<0,故-3≤a≤0. 答案 [-3,0] 9.如果x,y是实数,那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析 设集合A={(x,y)|x≠y},B={(x,y)|cos x≠cos y},则A的补集C={(x,y)|x=y},B的补集D={(x,y)|cos x=cos y},显然CD,所以BA.于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件. 答案 C 10.已知平面α,直线m,n满足m?α,n?α,则“m∥n”是“m∥α”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 由直线与平面平行的判定定理可知当m∥n时,m∥α成立;但当m∥α时,直线m与n可能平行,也可能异面,故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件. 答案 A 11.设θ∈R,则“<”是“sin θ<”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 因为b,则<”及其逆命题、否命题和逆否命题都是假命题,则实数a,b应满足的前提条件是________. 解析 显然ab≠0,当ab>0时,b,则必有a>0>b,故>0>,所以原命题是假命题;若<,则必有<0<,故a<03,即m>2. 答案 (2,+∞) 15.命题“?x0∈R,12 D.?x∈R,f(x)≤1或f(x)>2 解析 根据特称命题的否定是全称命题可知原命题的否定形式为“?x∈R,f(x)≤1或f(x)>2”. 答案 D 16.已知f(x)=3sin x-πx,命题p:?x∈,f(x)<0,则 A.p是真命题,綈p:?x∈,f(x)>0 B.p是真命题,綈p:?x0∈,f(x0)≥0 C.p是假命题,綈p:?x∈,f(x)≥0 D.p是假命题,綈p:?x0∈,f(x0)≥0 解析 依题意得,当x∈时,f′(x)=3cos x-π<3-π<0,函数f(x)是减函数,此时f(x)0 D.?x∈R,2x>0 解析 因为log21=0,cos 0=1,所以选项A,B均为真命题,02=0,选项C为假命题,2x>0,选项D为真命题,故选C. 答案 C 18.已知命题p:“x>3”是“x2>9”的充要条件,命题q:“a2>b2”是“a>b”的充要条件,则 A.p∨q为真 B.p∧q为真 C.p真q假 D.p∨q为假 解析 由x>3能够得出x2>9,反之不成立,故命题p是假命题;由a2>b2可得|a|>|b|,但a不一定大于b,反之也不一定成立,故命题q是假命题.所以p∨q为假. 答案 D 19.命题p:甲的数学成绩不低于100分,命题q:乙的数学成绩低于100分,则p∨(綈q)表示 A.甲、乙两人的数学成绩都低于100分 B.甲、乙两人至少有一人的数学成绩低于100分 C.甲、乙两人的数学成绩都不低于100分 D.甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分 解析 由于命题q:乙的数学成绩低于100分,因此綈q:乙的数学成绩不低于100分.所以p∨(綈q):甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分,故选D. 答案 D 20.已知命题p:?x∈R,3x<5x,命题 q:?x0∈R+,2-x>,则下列命题中真命题是 A.p∧q B.p∨(非q) C.(非p)∧(非q) D.(非p)∧q 解析 先判断命题p,q的真假,对于命题p,当x=-1时,命题不成立,所以命题p:?x∈R,3x<5x是假命题.对于命题q,当x=时,该命题成立,所以命题q:?x0∈R+,2-x>是真命题.于是綈p和q都是真命题,则(非p)∧q为真命题,选D. 答案 D 21.下列说法中,正确的是 A.命题“若am20”的否定是“?x∈R,x2-x≤0” C.命题“p或q”为真命题,则命题“p”和命题“q”均为真命题 D.已知x∈R,则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件 解析 选项A的逆命题为“若a1”是“x>2”的必要不充分条件,所以是假命题.故选B. 答案 B 22.已知下列命题: ①命题:?x∈(0,2),3x>x3的否定:?x0∈(0,2),3x0≤x; ②若f(x)=2x-2-x,则?x∈R,f(-x)=-f(x); ③若f(x)=x+,则?x0∈(0,+∞),f(x0)=1; ④等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4=3,则S7=21; ⑤在△ABC中,若A>B,则sin A>sin B. 其中真命题是________.(只填写序号) 解析 ①命题:?x∈(0,2),3x>x3的否定:?x0∈(0,2),3x0≤x,为真命题;②因为f(x)=2x-2-x为R上的奇函数,所以?x∈R,f(-x)=-f(x),为真命题;③若f(x)=x+=1,则x=0,即不存在x0∈(0,+∞),f(x0)=1,故该命题为假命题;④等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4=3,则S7===7a4=21,是真命题;⑤在△ABC中,大角对大边,若A>B,则sin A>sin B,为真命题.故真命题是①②④⑤. 答案 ①②④⑤ 23.已知命题p,q,则“非p为假命题”是“p∧q是真命题”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 充分性:若非p为假命题,则p为真命题,由于不知道q的真假性,所以推不出p∧q是真命题.必要性:p∧q是真命题,则p,q均为真命题,则非p为假命题.所以“非p为假命题”是“p∧q是真命题”的必要不充分条件,故选B. 答案 B 24.已知命题p:?x0∈R,ex0-mx0=0,q:?x∈R,x2+mx+1≥0,若p∨(非q)为假命题,则实数m的取值范围是 A.(-∞,0)∪(2,+∞) B.[0,2] C.R D.? 解析 若p∨(非q)为假命题,则p假q真.命题p为假命题时,有0≤m0”的否定为假命题,则实数a的取值范围是________. 解析 由“?x∈R,x2-5x+a>0”的否定为假命题,可知原命题必为真命题,即不等式x2-5x+a>0对任意实数x恒成立. 设f(x)=x2-5x+a,则其图像恒在x轴的上方.故Δ=25-4×a<0,解得a>,即实数a的取值范围为. 答案  27.已知命题p:?x∈[0,1],a≥ex,命题q:?x0∈R,x+4x0+a=0,若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围是________. 解析 命题“p∧q”是真命题,则p和q均为真命题; 当p是真命题时,a≥(ex)max=e; 当q为真命题时,Δ=16-4a≥0,a≤4;所以a∈[e,4]. 答案 [e,4] 28.设p:实数x满足x2-4ax+3a2<0,q:实数x满足|x-3|<1. (1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围; (2)若a>0且非p是非q的充分不必要条件,求实数a的取值范围. 解析 (1)由x2-4ax+3a2<0得(x-3a)(x-a)<0, 当a=1时,10,∴a

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  • ID:3-7086089 [精]必修2 第一章 空间几何体 单元测试训练题(原卷版+解析版)

    高中数学/人教新课标A版/必修2/第一章 空间几何体/本章综合与测试

    中小学教育资源及组卷应用平台 必修2 第一章 单元测试训练题 一、选择题 1.下列说法中,正确的是 A.棱柱的侧面可以是三角形 B.若棱柱有两个侧面是矩形,则该棱柱的其他侧面也是矩形 C.正方体的所有棱长都相等 D.棱柱的所有棱长都相等 2.某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是 A.圆柱   B.圆锥   C.四面体  D.三棱柱 3.某几何体的三视图如图所示,那么这个几何体是 A.三棱锥 B.四棱锥 C.四棱台 D.三棱台 4.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时,它的俯视图可能是 5.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某四棱锥的三视图,则该四棱锥的所有棱中,最长的棱的长度为 A. B. C.5 D.3 6.某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的图形,则在下图的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是 A.①③ B.①④ C.②④ D.①②③④ 二、填空题 7.一水平放置的平面四边形OABC,用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如图所示,此直观图恰好是一个边长为1的正方形,则原平面四边形OABC面积为________. 8.已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面积为的矩形,则该正方体的正视图的面积等于________. 9.如图,网格纸上小正方形的边长为1,图中粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为 A.2 B.3 C. D. 10.一个几何体的三视图如图所示,在该几何体的各个面中,面积最小的面的面积为 A.8 B.4 C.4 D.4 11.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,点P是平面A1B1C1D1内一点,则三棱锥P-BCD的正视图与侧视图的面积之比为________. 12.已知某几何体的三视图如图,则该几何体的所有面中最大面的面积是 A.3 B.6 C.8 D.10 13.正四棱锥的底面边长为2,侧棱长均为,其正视图和侧视图是全等的等腰三角形,则正视图的周长为________. 14.如图,点O为正方体ABCD-A′B′C′D′的中心,点E为面B′BCC′的中心,点F为B′C′的中点,则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号). 15.一个球的表面积是16π,那么这个球的体积为 A.π   B.π   C.16π   D.24π 16.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 A.     B. C.2+   D.4+ 17.(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为 A.12π B.12π C.8π D.10π 18.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的正视图和侧视图,且该几何体的体积为,则该几何体的俯视图可以是 19.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形,则该几何体外接球的体积为 A.π B. C.3π D.3 20.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,俯视图中的两条曲线均为圆弧,则该几何体的体积为 A.64- B.64-8π C.64- D.64- 21.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为________. 22.如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的表面积是________. 23.已知三棱锥A-BCD中,△ABD与△BCD是边长为2的等边三角形且二面角A-BD-C为直二面角,则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为 A. B.5π C.6π D. 24.已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形,AB=2,SA=SB=SC=2,则三棱锥S-ABC的外接球的球心到平面ABC的距离是 A. B.1 C. D. 25.设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9,则三棱锥D-ABC体积的最大值为 A.12 B.18 C.24 D.54 26.已知正方体ABCD-A′B′C′D′的外接球的体积为π,将正方体割去部分后,剩余几何体的三视图如图所示,则剩余几何体的表面积为 A.+ B.3+或+ C.2+ D.+或2+ 27.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1-BB1D1D的体积为________. 28.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等腰直角三角形,AB=BC=1.点D为侧棱BB1上的动点.若△ADC1周长的最小值为+,则三棱锥C1-ABC外接球的表面积为________. 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页) HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com) " 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 中小学教育资源及组卷应用平台 必修2 第一章 单元测试训练题 解析版 一、选择题 1.下列说法中,正确的是 A.棱柱的侧面可以是三角形 B.若棱柱有两个侧面是矩形,则该棱柱的其他侧面也是矩形 C.正方体的所有棱长都相等 D.棱柱的所有棱长都相等 解析 棱柱的侧面都是平行四边形,选项A错误;其他侧面可能是平行四边形,选项B错误;棱柱的侧棱与底面边长并不一定相等,选项D错误;易知选项C正确.故选C. 答案 C 2.某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是 A.圆柱   B.圆锥   C.四面体  D.三棱柱 解析 由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形,而圆柱的正视图不可能为三角形. 答案 A 3.某几何体的三视图如图所示,那么这个几何体是 A.三棱锥 B.四棱锥 C.四棱台 D.三棱台 解析 因为正视图和侧视图都为三角形,可知几何体为锥体,又因为俯视图为三角形,故该几何体为三棱锥.故选A. 答案 A 4.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图,图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时,它的俯视图可能是 解析 由直观图知,俯视图应为正方形,又上半部分相邻两曲面的交线为可见线,在俯视图中应为实线,因此,选项B可以是几何体的俯视图. 答案 B 5.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某四棱锥的三视图,则该四棱锥的所有棱中,最长的棱的长度为 A. B. C.5 D.3 解析 由三视图可知该几何体为如图所示的四棱锥P-ABCD,其中PA⊥底面ABCD,四棱锥P-ABCD的底面是边长为3的正方形,高PA=4. 连接AC,易知最长的棱为PC,且PC===. 答案 B 6.某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的图形,则在下图的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是 A.①③ B.①④ C.②④ D.①②③④ 解析 由正视图和侧视图知,该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体,故①③正确. 答案 A 二、填空题 7.一水平放置的平面四边形OABC,用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如图所示,此直观图恰好是一个边长为1的正方形,则原平面四边形OABC面积为________. 解析 因为直观图的面积是原图形面积的倍,且直观图的面积为1,所以原图形的面积为2. 答案 2 8.已知正方体的棱长为1,其俯视图是一个面积为1的正方形,侧视图是一个面积为的矩形,则该正方体的正视图的面积等于________. 解析 由题知此正方体的正视图与侧视图是一样的,正视图的面积与侧视图的面积相等为. 答案  9.如图,网格纸上小正方形的边长为1,图中粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为 A.2 B.3 C. D. 解析 根据三视图,利用棱长为2的正方体分析知,该多面体是一个三棱锥,即三棱锥A1-MNP,如图所示,其中M,N,P是棱长为2的正方体相应棱的中点,可得棱A1M最长,A1M==3,故最长的棱的长度为3,选B. 答案 B 10.一个几何体的三视图如图所示,在该几何体的各个面中,面积最小的面的面积为 A.8 B.4 C.4 D.4 解析 由三视图可知该几何体的直观图如图所示,由三视图特征可知, PA⊥平面ABC,DB⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=AB=AC=4,DB=2, 则易得S△PAC=S△ABC=8,S△CPD=12,S梯形ABDP=12,S△BCD=×4×2=4, 故选D. 答案 D 11.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,点P是平面A1B1C1D1内一点,则三棱锥P-BCD的正视图与侧视图的面积之比为________. 解析 根据题意,三棱锥P-BCD的正视图是三角形,且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高;侧视图是三角形,且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高,故三棱锥P-BCD的正视图与侧视图的面积之比为1∶1. 答案 1∶1 12.已知某几何体的三视图如图,则该几何体的所有面中最大面的面积是 A.3 B.6 C.8 D.10 解析 由三视图知该几何体为如图所示的四棱锥S-ABCD,其中平面SAD⊥平面ABCD,底面是矩形(矩形的两邻边长分别是2,4), 由题意得四棱锥的高为=,△SAB,△SCD是直角三角形,△SBC是等腰三角形,通过计算知在△SBC中,边BC上的高为=3, S矩形ABCD=2×4=8,S△SAD=×4×=2, S△SAB=S△SCD=×2×3=3,S△SBC=×4×3=6,故选C. 答案 C 13.正四棱锥的底面边长为2,侧棱长均为,其正视图和侧视图是全等的等腰三角形,则正视图的周长为________. 解析 由题意知,正视图就是如图所示的截面PEF,其中E,F分别是AD,BC的中点,连接AO,易得AO=,又PA=,于是解得PO=1,所以PE=,故其正视图的周长为2+2. 答案 2+2 14.如图,点O为正方体ABCD-A′B′C′D′的中心,点E为面B′BCC′的中心,点F为B′C′的中点,则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号). 解析 空间四边形D′OEF在正方体的面DCC′D′及其对面ABB′A′上的正投影是①;在面BCC′B′及其对面ADD′A′上的正投影是②;在面ABCD及其对面A′B′C′D′上的正投影是③. 答案 ①②③ 15.一个球的表面积是16π,那么这个球的体积为 A.π   B.π   C.16π   D.24π 解析 设球的半径为R,则S=4πR2=16π,解得R=2,则球的体积V=πR3=π.故选B. 答案 B 16.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 A.     B. C.2+   D.4+ 解析 由三视图可知,该几何体为一个半径为1的半球与一个底面半径为1,高为2的半圆柱组合而成的组合体,故其体积V=π×13+π×12×2=π,故选B. 答案 B 17.(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为 A.12π B.12π C.8π D.10π 解析 设圆柱的底面半径为r,高为h,由题意可知2r=h=2, ∴圆柱的表面积S=2πr2+2πr·h=4π+8π=12π.故选B. 答案 B 18.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的正视图和侧视图,且该几何体的体积为,则该几何体的俯视图可以是 解析 若俯视图为选项C中的图形,则该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P-ABCD,如图所示,该四棱锥的体积V=×2×2×2=,符合题意.若俯视图为其他选项中的图形,则根据三视图易判断对应的几何体不存在,故选C. 答案 C 19.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形,则该几何体外接球的体积为 A.π B. C.3π D.3 解析 由题意得,该几何体为四棱锥,且该四棱锥的外接球即为棱长为1的正方体的外接球,其半径为,故体积为π=π,故选A. 答案 A 20.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,俯视图中的两条曲线均为圆弧,则该几何体的体积为 A.64- B.64-8π C.64- D.64- 解析 由三视图可知该几何体是由棱长为4的正方体截去个圆锥和个圆柱所得到的,且圆锥的底面半径为2,高为4,圆柱的底面半径为2,高为4,所以该几何体的体积为43-=64-.故选C. 答案 C 21.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为________. 解析 由题意知四棱锥的底面EFGH为正方形,其边长为,即底面面积为,由正方体的性质知,四棱锥的高为.故四棱锥M-EFGH的体积V=××=. 答案  22.如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的表面积是________. 解析 由三视图可知该几何体为一个圆柱挖去一个圆锥构成,所以其表面积为圆锥的侧面积+圆柱的侧面积+圆柱的一个底面积=2π+4π×3+4π=2π+16π. 答案 (16+2)π 23.已知三棱锥A-BCD中,△ABD与△BCD是边长为2的等边三角形且二面角A-BD-C为直二面角,则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为 A. B.5π C.6π D. 解析 取BD中点M,连接AM,CM,取△ABD,△CBD的中心即AM,CM的三等分点P,Q,过P作面ABD的垂线,过Q作面CBD的垂线,两垂线相交于点O,则点O为外接球的球心,其中OQ=,CQ=,连接OC,则外接球的半径R=OC=,表面积为4πR2=,故选D. 答案 D 24.已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形,AB=2,SA=SB=SC=2,则三棱锥S-ABC的外接球的球心到平面ABC的距离是 A. B.1 C. D. 解析 ∵三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形,SA=SB=SC=2,∴S在底面ABC内的射影为AB的中点,设AB的中点为H,连接SH,CH,∴SH⊥平面ABC,∴SH上任意一点到A,B,C的距离相等,易知SH=,CH=1,∴Rt△SHC中∠HSC=30°.在面SHC内作SC的垂直平分线MO,交SH于点O,交SC于点M,则O为三棱锥S-ABC的外接球的球心.∵SC=2, ∴SM=1,又∠OSM=30°,∴SO=,OH=, ∴球心O到平面ABC的距离为,故选A. 答案 A 25.设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9,则三棱锥D-ABC体积的最大值为 A.12 B.18 C.24 D.54 解析 设等边△ABC的边长为a, 则有S△ABC=a·a·sin 60°=9,解得a=6. 设△ABC外接圆的半径为r,则2r=,解得r=2, 则球心到平面ABC的距离为=2,所以点D到平面ABC的最大距离为2+4=6,所以三棱锥D-ABC体积的最大值为×9×6=18. 答案 B 26.已知正方体ABCD-A′B′C′D′的外接球的体积为π,将正方体割去部分后,剩余几何体的三视图如图所示,则剩余几何体的表面积为 A.+ B.3+或+ C.2+ D.+或2+ 解析 设正方体的棱长为a,依题意得,π×=π,解得a=1.由三视图可知,该几何体的直观图有以下两种可能,图1对应的几何体的表面积为+,图2对应的几何体的表面积为3+.故选B. 答案 B 27.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1-BB1D1D的体积为________. 解析 四棱锥的底面BB1D1D为矩形,其面积为1×=, 又点A1到底面BB1D1D的距离,即四棱锥A1-BB1D1D的高为A1C1=,所以四棱锥A1-BB1D1D的体积为××=. 答案  28.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等腰直角三角形,AB=BC=1.点D为侧棱BB1上的动点.若△ADC1周长的最小值为+,则三棱锥C1-ABC外接球的表面积为________. 解析 将侧面展开如图. 易知当D为侧棱BB1的中点时,△ADC1周长最小.此时设BD=x,则2+=+,可得x=,∴CC1=1,又易知三棱锥C1-ABC外接球的球心为AC1的中点,∴半径R=,则三棱锥C1-ABC外接球的表面积为S=4πR2=3π. 答案 3π 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页) HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com) " 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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  • ID:3-7074192 [精]【备考2020】高考数学历年真题专题汇编:函数与导数(原卷+解析卷)

    高中数学/高考专区/二轮专题

    中小学教育资源及组卷应用平台 专题 函数与导数 历年高考真题原卷版 1.(2019·全国Ⅰ卷)函数f(x)=在[-π,π]的图象大致为(  ) INCLUDEPICTURE"19L2.TIF" 2.(2019·全国Ⅲ卷)设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则(  ) A.f>f(2-)>f(2-) B.f>f(2-)>f(2-) C.f(2-)>f(2-)>f D.f(2-)>f(2-)>f 3.(2019·全国Ⅱ卷)已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-eax,若f(ln 2)=8,则a=________. 4.(2018·江苏卷)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(-2,2]上,f(x)=则f[f(15)]的值为________. 5.(2018·全国Ⅰ卷)设函数f(x)=则满足f(x+1)0,排除B,C,只有D适合. 答案 D 2.(2019·全国Ⅲ卷)设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则(  ) A.f>f(2-)>f(2-) B.f>f(2-)>f(2-) C.f(2-)>f(2-)>f D.f(2-)>f(2-)>f 解析 因为f(x)是定义域为R的偶函数, 所以f=f(-log34)=f(log34). 又因为log34>1>2->2->0,且函数f(x)在(0,+∞)上单调递减, 所以f(log34)0时,f(x)=-f(-x)=-(-e-ax)=e-ax, 所以f(ln 2)=e-aln 2=(eln 2)-a=2-a=8. 解得a=-3. 答案 -3 4.(2018·江苏卷)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(-2,2]上,f(x)=则f[f(15)]的值为________. 解析 因为函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),所以函数f(x)的最小正周期为4. 所以f[f(15)]=f[f(-1)]=f=cos =. 答案  5.(2018·全国Ⅰ卷)设函数f(x)=则满足f(x+1)0时,f(1)=e->2,排除C,D,只有B项满足. 9.(2018·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)= f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=(  ) A.-50 B.0 C.2 D.50 解析:法一 ∵f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,且f(1-x)=f(1+x),∴f(4+x)=f(x),∴f(x)是周期函数,且一个周期为4,又f(0)=0,知f(2)=f(0),f(4)=f(0)=0,由f(1)=2,知f(-1)=-2,则f(3)=f(-1)=-2,从而f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(50)=12×0+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2,故选C. 法二 由题意可设 f(x)=2sin,作出f(x)的部分图象如图所示.由图可知,f(x)的一个周期为4,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=2. INCLUDEPICTURE"18GS42.tif" 答案 C 10.(2018·全国Ⅲ卷)下列函数中,其图象与函数y=ln x的图象关于直线x=1对称的是(  ) A.y=ln(1-x) B.y=ln(2-x) C.y=ln(1+x) D.y=ln(2+x) 解析 法一 设所求函数图象上任一点的坐标为(x,y),则其关于直线x=1的对称点的坐标为(2-x,y),由对称性知点(2-x,y)在函数f(x)=ln x的图象上,所以y=ln(2-x). 法二 由题意知,对称轴上的点(1,0)在函数y=ln x的图象上也在所求函数的图象上,代入选项中的函数表达式逐一检验,排除A,C,D,选B. 答案 B 11.(2019·全国Ⅰ卷)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则(  ) A.a20=1,01时,f′(x)>0;当-20,则当x∈(-∞,0)∪时,f′(x)>0, 当x∈时,f′(x)<0, 故f(x)在(-∞,0),单调递增,在单调递减; 若a=0,则f(x)在(-∞,+∞)单调递增; 若a<0,则当x∈∪(0,+∞)时,f′(x)>0, 当x∈时,f′(x)<0, 故f(x)在,(0,+∞)单调递增,在单调递减. (2)当00; 当x∈(3-2,3+2)时,f′(x)<0. 故f(x)在(-∞,3-2),(3+2,+∞)单调递增,在(3-2,3+2)单调递减. (2)证明 由于x2+x+1>0,所以f(x)=0等价于-3a=0. 设g(x)=-3a,则g′(x)=≥0,仅当x=0时g′(x)=0,所以g(x)在(-∞,+∞)单调递增. 故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点. 又f(3a-1)=-6a2+2a-=-6-<0, f(3a+1)=>0,故f(x)有一个零点. 综上,f(x)只有一个零点. 24.(2019·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=2sin x-xcos x-x,f′(x)为f(x)的导数. (1)证明:f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点; (2)若x∈[0,π]时,f(x)≥ax,求a的取值范围. (1)证明 设g(x)=f′(x),则g(x)=cos x+xsin x-1, g′(x)=-sin x+sin x+xcos x=xcos x. 当x∈时,g′(x)>0; 当x∈时,g′(x)<0, 所以g(x)在上单调递增,在上单调递减. 又g(0)=0,g>0,g(π)=-2, 故g(x)在(0,π)存在唯一零点. 所以f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点. (2)解 由题设知f(π)≥aπ,f(π)=0,可得a≤0. 由(1)知,f′(x)在(0,π)只有一个零点,设为x0,且当x∈(0,x0)时,f′(x)>0;当x∈(x0,π)时,f′(x)<0,所以f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,π)上单调递减. 又f(0)=0,f(π)=0,所以当x∈[0,π]时,f(x)≥0. 又当a≤0,x∈[0,π]时,ax≤0,故f(x)≥ax. 因此,a的取值范围是(-∞,0]. 25. (2018·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)=. (1)求曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程; (2)证明:当a≥1时,f(x)+e≥0. (1)解 f′(x)=,f′(0)=2. 因此曲线y=f(x)在(0,-1)处的切线方程是 2x-y-1=0. (2)证明 当a≥1时,f(x)+e≥(x2+x-1+ex+1)e-x. 令g(x)=x2+x-1+ex+1,则g′(x)=2x+1+ex+1. 当x<-1时,g′(x)<0,g(x)单调递减;当x>-1时, g′(x)>0,g(x)单调递增;所以g(x)≥g(-1)=0. 因此f(x)+e≥0. 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页) HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com) " 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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  • ID:3-7056442 [精]文科数学:专题:立体几何 历年高考真题汇编(原卷版+解析版)

    高中数学/人教新课标A版/必修2/第二章 点、直线、平面之间的位置关系/本章综合与测试

    中小学教育资源及组卷应用平台 专题 立体几何 历年高考真题 1.(2018·全国Ⅲ卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(  ) INCLUDEPICTURE"18GS10.tif" 2.(2018·全国Ⅰ卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为(  ) A.12π B.12π C.8π D.10π 3.(2019·全国Ⅲ卷)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体.其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为________g. 4.(2019·全国Ⅱ卷)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图①).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图②是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1,则该半正多面体共有________个面,其棱长为________(本题第一空2分,第二空3分). INCLUDEPICTURE"19L11.TIF" 5.(2018·全国Ⅰ卷)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在侧视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为(  ) INCLUDEPICTURE"18GW2.TIF" A.2 B.2 C.3 D.2 6.(2019·唐山模拟)已知某几何体的三视图如图所示(俯视图中曲线为四分之一圆弧),则该几何体的表面积为(  ) INCLUDEPICTURE"P57.TIF" A.1- B.3+ C.2+ D.4 7. (1)(2019·浙江卷)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh,其中S是柱体的底面积,h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位:cm),则该柱体的体积(单位:cm3)是(  ) INCLUDEPICTURE"19W42.TIF" A.158 B.162 C.182 D.324 (2)(2019·天津卷)已知四棱锥的底面是边长为的正方形,侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为________. 8.(2019·北京卷)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为________. INCLUDEPICTURE"19L32.TIF" 9.(2018·全国Ⅲ卷)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9,则三棱锥D-ABC体积的最大值为(  ) A.12 B.18 C.24 D.54 10.(2019·江苏卷)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是________. 11.(2019·全国Ⅱ卷)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是(  ) A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α,β平行于同一条直线 D.α,β垂直于同一平面 12.(2019·全国Ⅲ卷)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则(  ) A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线 B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线 C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线 D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线 13.(2018·全国Ⅰ卷)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为(  ) A. B. C. D. 14.(2019·全国Ⅰ卷)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点. (1)证明:MN∥平面C1DE; (2)求点C到平面C1DE的距离. 15.(2019·江苏卷)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC. 求证:(1)A1B1∥平面DEC1; (2)BE⊥C1E. 16. (2019·全国Ⅲ卷)图①是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图②. INCLUDEPICTURE"19L24.TIF" (1)证明:图②中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE; (2)求图②中的四边形ACGD的面积. 17. (2019·北京卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,E为CD的中点. (1)求证:BD⊥平面PAC; (2)若∠ABC=60°,求证:平面PAB⊥平面PAE; (3)棱PB上是否存在点F,使得CF∥平面PAE?说明理由. 18.(2018·全国Ⅰ卷)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为(  ) A.8 B.6 C.8 D.8 19.(2018·北京卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点. (1)求证:PE⊥BC; (2)求证:平面PAB⊥平面PCD; (3)求证:EF∥平面PCD. 20.(2019·全国Ⅰ卷)已知∠ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到∠ACB两边AC,BC的距离均为,那么P到平面ABC的距离为________. 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页) HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com) " 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 中小学教育资源及组卷应用平台 专题 概率与统计 历年高考真题汇编解析版 1.(2018·全国Ⅲ卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(  ) INCLUDEPICTURE"18GS10.tif" 解析 由题意知,在咬合时带卯眼的木构件中,从俯视方向看,榫头看不见,所以是虚线,结合榫头的位置知选A. 答案 A 2.(2018·全国Ⅰ卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为(  ) A.12π B.12π C.8π D.10π 解析 因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,所以圆柱的高为2,底面圆的直径为2.所以S表面积=2×π×()2+2π××2=12π. 答案 B 3.(2019·全国Ⅲ卷)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体.其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为________g. 解析 由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形,其对角线长分别为6 cm和4 cm, 故V挖去的四棱锥=××4×6×3=12(cm3). 又V长方体=6×6×4=144(cm3), 所以模型的体积为 V长方体-V挖去的四棱锥=144-12=132(cm3), 所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9=118.8(g). 答案 118.8 4.(2019·全国Ⅱ卷)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图①).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图②是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1,则该半正多面体共有________个面,其棱长为________(本题第一空2分,第二空3分). INCLUDEPICTURE"19L11.TIF" 解析 依题意知,题中的半正多面体的上部分有9个面,中间部分有8个面,下部分为9个面,共面9+8+9=26(个)面,因此题中的半正多面体共有26个面.注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形,设题中的半正多面体的棱长为x,则 x+x+x=1,解得x=-1,故题中的半正多面体的棱长为-1. 答案 26 -1 5.(2018·全国Ⅰ卷)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在侧视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为(  ) INCLUDEPICTURE"18GW2.TIF" A.2 B.2 C.3 D.2 解析 由三视图可知,该几何体为如图①所示的圆柱,该圆柱的高为2,底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图,如图②所示,连接MN,则MS=2,SN=4.则从M到N的路径中,最短路径的长度为==2. INCLUDEPICTURE"18GS33.tif" 6.(2019·唐山模拟)已知某几何体的三视图如图所示(俯视图中曲线为四分之一圆弧),则该几何体的表面积为(  ) INCLUDEPICTURE"P57.TIF" A.1- B.3+ C.2+ D.4 解析 由题设知,该几何体是棱长为1的正方体被截去底面半径为1的圆柱后得到的, 如图所示,所以表面积 S=2×+2×(1×1)+×2π×1×1=4.故选D. 答案 D 7. (1)(2019·浙江卷)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家,他提出的“幂势既同,则积不容异”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh,其中S是柱体的底面积,h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位:cm),则该柱体的体积(单位:cm3)是(  ) INCLUDEPICTURE"19W42.TIF" A.158 B.162 C.182 D.324 (2)(2019·天津卷)已知四棱锥的底面是边长为的正方形,侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为________. 解析 (1)由三视图可知,该柱体是一个直五棱柱,如图,棱柱的高为6,底面可以看作由两个直角梯形组合而成,其中一个上底为4,下底为6,高为3,另一个的上底为2,下底为6,高为3. 则底面面积S=×3+×3=27.因此,该柱体的体积V=27×6=162. 故选B. (2)由题意知圆柱的高恰为四棱锥的高的一半,圆柱的底面直径恰为四棱锥的底面正方形对角线的一半.因为四棱锥的底面正方形的边长为,所以底面正方形对角线长为2,所以圆柱的底面半径为.又因为四棱锥的侧棱长均为,所以四棱锥的高为=2,所以圆柱的高为1.所以圆柱的体积V=π×1=. 答案 (1)B (2) 8.(2019·北京卷)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1,那么该几何体的体积为________. INCLUDEPICTURE"19L32.TIF" 解析 由三视图知,该几何体是如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,去掉四棱柱MQD1A1-NPC1B1(其底面是一个上底为2,下底为4,高为2的直角梯形)所得的几何体, ∵V棱柱=4×=24, ∴所求几何体的体积V=43-24=40. 9.(2018·全国Ⅲ卷)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9,则三棱锥D-ABC体积的最大值为(  ) A.12 B.18 C.24 D.54 解析 设等边△ABC的边长为x,则x2sin 60°=9,得x=6.设△ABC的外接圆半径为r,则2r=,解得r=2,所以球心到△ABC所在平面的距离d==2,则点D到平面ABC的最大距离d1=d+4=6.所以三棱锥D-ABC体积的最大值Vmax=S△ABC×6=×9×6=18. 答案 B 10.(2019·江苏卷)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是________. 解析 设长方体中BC=a,CD=b,CC1=c,则abc=120, ∴VE-BCD=×ab×c=abc=10. 答案 10 11.(2019·全国Ⅱ卷)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是(  ) A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α,β平行于同一条直线 D.α,β垂直于同一平面 解析 若α∥β,则α内有无数条直线与β平行,当无数条直线互相平行时,α与β可能相交;若α,β平行于同一条直线,则α与β可以平行也可以相交;若α,β垂直于同一个平面,则α与β可以平行也可以相交,故A,C,D中条件均不是α∥β的充要条件.根据两平面平行的判定定理知,若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,则两平面平行,反之也成立.因此B中条件是α∥β的充要条件. 答案 B 12.(2019·全国Ⅲ卷)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则(  ) A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线 B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线 C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线 D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线 解析 连接BD,BE, ∵点N是正方形ABCD的中心, ∴点N在BD上,且BN=DN, ∴BM,EN是△DBE的中线, ∴BM,EN必相交. 连接CM,设DE=a,则EC=DC=a,MC=a, ∵平面ECD⊥平面ABCD,且BC⊥DC, ∴BC⊥平面EDC, 则BD=a,BE==a, BM==a, 又EN==a, 故BM≠EN. 答案 B 13.(2018·全国Ⅰ卷)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为(  ) A. B. C. D. 解析 如图,依题意,平面α与棱BA,BC,BB1所在直线所成角都相等,容易得到平面AB1C符合题意,进而所有平行于平面AB1C的平面均符合题意. 由对称性,知过正方体ABCD-A1B1C1D1中心的平面面积应取最大值,此时截面为正六边形EFGHIJ.正六边形EFGHIJ的边长为,将该正六边形分成6个边长为的正三角形.故其面积为6××=. 答案 A 14.(2019·全国Ⅰ卷)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点. (1)证明:MN∥平面C1DE; (2)求点C到平面C1DE的距离. (1)证明 连接B1C,ME.因为M,E分别为BB1,BC的中点,所以ME∥B1C,且ME=B1C. INCLUDEPICTURE"19W7.TIF" 又因为N为A1D的中点,所以ND=A1D. 由题设知A1B1綊DC,可得B1C綊A1D,故ME綊ND, 因此四边形MNDE为平行四边形,所以MN∥ED. 又MN?平面C1DE,ED?平面C1DE,所以MN∥平面C1DE. (2)解 过点C作C1E的垂线,垂足为H. 由已知可得DE⊥BC,DE⊥C1C,又BC∩C1C=C,BC,C1C?平面C1CE,所以DE⊥平面C1CE, 故DE⊥CH.所以CH⊥平面C1DE, 故CH的长即为点C到平面C1DE的距离. 由已知可得CE=1,C1C=4, 所以C1E=,故CH=. 从而点C到平面C1DE的距离为. 15.(2019·江苏卷)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC. 求证:(1)A1B1∥平面DEC1; (2)BE⊥C1E. 证明 (1)因为D,E分别为BC,AC的中点, 所以ED∥AB. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1, 所以A1B1∥ED. 又因为ED?平面DEC1,A1B1?平面DEC1, 所以A1B1∥平面DEC1. (2)因为AB=BC,E为AC的中点,所以BE⊥AC. 因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱,所以C1C⊥平面ABC. 又因为BE?平面ABC,所以C1C⊥BE. 又C1C?平面A1ACC1,AC?平面A1ACC1,且C1C∩AC=C, 所以BE⊥平面A1ACC1. 因为C1E?平面A1ACC1,所以BE⊥C1E. 16. (2019·全国Ⅲ卷)图①是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图②. INCLUDEPICTURE"19L24.TIF" (1)证明:图②中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE; (2)求图②中的四边形ACGD的面积. (1)证明 由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG, 所以AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面. 由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,且BE∩BC=B,BE,BC?平面BCGE, 所以AB⊥平面BCGE. 又因为AB?平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE. (2)解 如图,取CG的中点M,连接EM,DM. 因为AB∥DE,AB⊥平面BCGE,所以DE⊥平面BCGE,又CG、EM?平面BCGE,故DE⊥CG,DE⊥EM. 由已知,四边形BCGE是菱形,且∠EBC=60°,得EM⊥CG, 又DE∩EM=E,DE,EM?平面DEM,故CG⊥平面DEM. 又DM?平面DEM,因此DM⊥CG. 在Rt△DEM中,DE=1,EM=, 故DM=2.又CG=BF=2, 所以四边形ACGD的面积为S=2×2=4. 17. (2019·北京卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,E为CD的中点. (1)求证:BD⊥平面PAC; (2)若∠ABC=60°,求证:平面PAB⊥平面PAE; (3)棱PB上是否存在点F,使得CF∥平面PAE?说明理由. (1)证明 因为PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD, 所以PA⊥BD. 因为底面ABCD为菱形, 所以BD⊥AC. 又PA∩AC=A, 所以BD⊥平面PAC. (2)证明 因为PA⊥平面ABCD,AE?平面ABCD, 所以PA⊥AE. 因为底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,且E为CD的中点, 所以AE⊥CD.又因为AB∥CD,所以AB⊥AE. 又AB∩PA=A,所以AE⊥平面PAB. 因为AE?平面PAE,所以平面PAB⊥平面PAE. (3)解 棱PB上存在点F,使得CF∥平面PAE.理由如下:取PB的中点F,PA的中点G,连接CF,FG,EG, 则FG∥AB,且FG=AB. 因为底面ABCD为菱形,且E为CD的中点, 所以CE∥AB,且CE=AB. 所以FG∥CE,且FG=CE. 所以四边形CEGF为平行四边形.所以CF∥EG. 因为CF?平面PAE,EG?平面PAE, 所以CF∥平面PAE. 18.(2018·全国Ⅰ卷)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为(  ) A.8 B.6 C.8 D.8 解析 连接BC1,因为AB⊥平面BB1C1C,所以∠AC1B=30°,AB⊥BC1,所以△ABC1为直角三角形.又AB=2,所以BC1=2.又B1C1=2,所以BB1==2,故该长方体的体积V=2×2×2=8.故选C. 答案 C 19.(2018·北京卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点. (1)求证:PE⊥BC; (2)求证:平面PAB⊥平面PCD; (3)求证:EF∥平面PCD. 证明 (1)因为PA=PD,E为AD的中点, 所以PE⊥AD. 因为底面ABCD为矩形, 所以BC∥AD.所以PE⊥BC. (2)因为底面ABCD为矩形,所以AB⊥AD. 又因为平面PAD⊥平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD,AB?平面ABCD, 所以AB⊥平面PAD,且PD?平面PAD. 所以AB⊥PD. 又因为PA⊥PD,且PA∩AB=A, 所以PD⊥平面PAB.又PD?平面PCD, 所以平面PAB⊥平面PCD. (3)如图,取PC中点G,连接FG,DG. 因为F,G分别为PB,PC的中点, 所以FG∥BC,FG=BC. INCLUDEPICTURE"18GW39.TIF" 因为ABCD为矩形,且E为AD的中点, 所以DE∥BC, DE=BC. 所以DE∥FG,DE=FG. 所以四边形DEFG为平行四边形. 所以EF∥DG. 又因为EF?平面PCD,DG?平面PCD, 所以EF∥平面PCD. 20.(2019·全国Ⅰ卷)已知∠ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到∠ACB两边AC,BC的距离均为,那么P到平面ABC的距离为________. 解析 如图,过点P作PO⊥平面ABC于O,则PO为P到平面ABC的距离. 再过O作OE⊥AC于E,OF⊥BC于F, 连接PC,PE,PF,则PE⊥AC,PF⊥BC. 所以PE=PF=,所以OE=OF, 所以CO为∠ACB的平分线, 即∠ACO=45°. 在Rt△PEC中,PC=2,PE=,所以CE=1, 所以OE=1,所以PO===. 答案  21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页) HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com) " 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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  • ID:3-7050695 高中数学人教新课标A版选修4-5第三讲 柯西不等式与排序不等式三 排序不等式(共25张PPT)

    高中数学/人教新课标A版/选修4-5/第三讲 柯西不等式与排序不等式/三 排序不等式

    (共25张PPT) 设c1,c2,…,cn是数组b1,b2,…,bn的任何一个排列,问以下的n个乘积的和s=a1c1+a2c2+…+ancn何时取得最大值? 把S=a1c1+a2c2+…+ancn叫做数组(a1,a2,…,an)和(b1,b2,…,bn)的乱序和; 按相反顺序想成所得积的和 S=a1bn+a2bn-1+…+anc1称为反序和; 按相同顺序相乘所得积得和S2=a1b1+a2b2+…+ancn称为顺序和. 即;反序和≤乱序和≤顺序和. 有直觉可以得到S1≤S≤S2 为了初步检验上面的直觉,用两组数(例如1,2,3和4,5,6)检验出的结果和直觉一致. 设a1≤a2≤…≤an,b1 ≤b2 ≤… ≤bn为两组实数,c1 ≤c2 ≤… ≤cn是b1,b2,…,bn的任一排列. 因为b1,b2,…,bn的全排列只有n!,所以S=a1c1+a2c2+…ancn (1)的不同值只有有限个,其中必有最大和最小值. 若c1≠b1,则有某ck=b1(k>1),c1>ck. 经有限步调整,可知一切和数中,最大和数所对应的情况只能是数组{ci} 由小到大的情况,最大和数是顺序和,即S≤S2. 将(1)中c1,ck对换,得S,=a1ck+…+akc1+…+ancn (2) (2)-(1)得:S,-S=(ak-a1)(c1-ck)≥0. 若c1=b1,则转而考察c2,并进行类似讨论. 同样可证,最小和数是反序和,即S1≤S. 因此S1 ≤S ≤S2 顺序和S2与反序和S1能相等吗?如果能,那么什么条件下两者相等? 观察可得,当a1=a2=…an,或b1=b2=…=bn时,顺序和等于反序和.即S1=S=S2. 定理(排序不等式又称排序原理) 设a1≤a2≤…≤an,b1 ≤b2 ≤… ≤bn为两组实数,c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,则a1bn+a2bn-1+…+anb1 ≤a1c1+a2c2+…+anbn ≤a1b1+a2b2+…+anbn.当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时,反序和等于顺序和. 首先转化为数学问题.若第一接水的人需要t1分,接这桶水时10人所需等候的总时间是10t1分;第二接水的人需要t2分,接这桶水时9人所需等候的总时间是9t2 分;如此继续下去,到第10人接水时,只有他一人在等,需要t10分. 所以,按这个顺序,10人都接满水所需的等待总时间(分)是10t1+9t2+…+2t9+t10. 现要考虑t1,t2,…t10满足什么条件时这个和数最小. 解: 等待总时间(分)是10t1+9t2+…+2t9+t10. 根据排序不等式,当t1

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  • ID:3-7050691 高中数学人教新课标A版选修4-5第四讲 数学归纳法证明不等式二 一般形式的柯西不等式(共28张PPT)

    高中数学/人教新课标A版/选修4-5/第三讲 柯西不等式与排序不等式/二 一般形式的柯西不等式

    (共28张PPT) 回顾旧知 1.二维形式的柯西不等式的代数形式? 若a,b,c,d都是实数, 则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立. 2.二维形式的柯西不等式的向量形式? 设αβ是两个向量,则│α.β│≤│α││β│,当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立. 从三维的角度思考问题,关于柯西不等式会有什么结论(结合图像)? 观察图,从平面向量的集合背景可以得到二维形式的柯西不等式.类似地,从空间向量的集合背景也可以得到│α.β│≤│α││β│ 将空间向量的坐标代入,化简得(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2,当且仅当α=β共线时,即β=0.或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,3)时,等号成立. 对比二维形式和三维形式的柯西不等式,你能猜想出一般形式的柯西不等式吗? 柯西不等式的一般形式为(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2 (2) 如果设A=a12+a22+…+an2,B=a1b1+a2b2+…+anbn,C=b12+b22+…+bn2,不等式(2)就是AC≥B2.我们可以构造二次函数,通过讨论相应的判别式来证明. 当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时,(2)式显然成立. 设a1,a2,…,an中至少有一个不为0,则a12+a22+…+an2>0. 因为对于任意实数x,f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+…+(anx+bn)2≥0,所以二次函数f(x)的判别式△≤0, 即4(a1b1+a2b2+…+anbn)-4(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≤0.于是(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当f(x)有唯一零点时,判别式△=0,以上不等式取等号. 此时,有唯一实数x,使aix=bi(i=1,2,…,n). 定理(一般形式的柯西不等式) 设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn都是实数,则(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2) ≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立. 用n乘要证的式子两边,能使式子变成明显符合柯西不等式的形式. 根据柯西不等式,有(12+12+…+12)(a12+a22+…+an2) ≥(1×a1+ 1×a2+…+ 1×an)2, 所以n(a12+a22+…+an2) ≥(a1+a2+…+an)2 即 已知a,b,c,d是不全相等的正数,证明a2+b2+c2+d2>ab+bc+cd+da. 上式两边都是a,b,c,d这四个数组成的式子,特别是右边式子的字母排列顺序启发我们,可以用柯西不等式进行证明. 由x+2y+3z=1以及 x2+y2+z2 的形式,联系柯西不等式,可以通过构造(12+22+32)作为一个因式而解决问题. 已知x+2y+3z=1以及 x2+y2+z2 的最小值. 解: 1.一般形式的柯西不等式: 设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn都是实数,则(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2) ≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立. 2.一般形式的柯西不等式的应用. 对于许多不等式问题,应用柯西不等式往往简明。掌握柯西不等式的结构特点,灵活应用. 因为4(a2+b2+c2+d2) ≥(a.1+b.1+c.1+d.1)2 =(a+b+c+d)2=1, 所以a2+b2+c2+d2=1 习题3.2(第41页)

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  • ID:3-7050680 高中数学人教新课标A版选修4-5第三讲 柯西不等式与排序不等式一 二维形式的柯西不等式(共35张PPT)

    高中数学/人教新课标A版/选修4-5/第三讲 柯西不等式与排序不等式/一 二维形式的柯西不等式

    (共35张PPT) 类比不等式a2+b2≥2ab的推导过程,通过乘法及配方,研究关于它的不等关系. 把该式首先展开,再用配方法,问题就可以解决。 解: 展开乘积得(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2 由于a2c2+b2d2+a2d2+b2c2 =(ac+bd)2+(ad-bc)2 即(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2 而(ad-bc)2≥0, 因此(a2+b2)(c2+d2) ≥(ac+bd)2 上式(1)是本节课所要研究的柯西不等式. 定理1(二维形式的柯西不等式) 若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2) ≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立. 对一个代数结果进行最简单的诠释,往往要借助直观的几何背景。讨论柯西不等式的几何意义。 设在平面直角坐标系xoy中有向量α=(a,b), =(c,d) ,与之间的夹角为θ,0≤ θ ≤π (如图) 根据向量数量积的定义,有 α.β=│α││β│cos θ 用平面向量的坐标表示不等式(2)得: 所以 │α.β│=│α││β││cosθ│ 因为│cosθ│≤1, 所以│ α.β │≤│ α ││ β │ 定理2(柯西不等式的向量形式) 设α,β是两个向量,则│α .β│≤│α││β│,当且仅当β是零向量或存在实数k,使α=kβ时,等号成立. 试从不等式(1)推导不等式(2),再进行反方向的推导,从数形结合的角度体会两者的等价关系。 如图,在平面直角坐标系中,设点P1,P2 的坐标分别是(x1,y1)(x2,y2),根据△oP1P2 的边长关系,你能发现这四个实数 x1,y1,x2,y2蕴含着何种大小关系吗? 定理3(二维形式的三角不等式) 能用柯西不等式证明吗? 不等式(3)对于任何实数都成立,于是可以得到: 请结合平面直角坐标系,解释不等式(4)的几何意义。 虽然可以作乘法展开上式的两边,然后在比较它们的大小。但如果注意到不等式的形式与柯西不等式的一致性,既可以避免繁杂了。 已知a,b为实数。 试证(a4+b4)(a2+b2)≥(a3+b3) 根据柯西不等式,有(a4+b4)(a2+b2)≥(a2a+b2b)2=(a3+b3)2 在证明不等式时,联系经典不等式,既可以启发证明思路,又可以简化运算. 利用不等式解决极值问题,通常设法在不等式一边得到一个常数,并寻找不等式取等号的条件。这个函数的解析式是两部分的和,若能化成ac+bd的形式,就能利用柯西不等式求其最大值。 问题中a+b=1这个条件,由于常数1的特殊性,用a+b去乘任何数或式子,都不会改变它们的值. 1.二维形式的柯西不等式的代数形式. 若a,b,c,d都是实数, 则(a2+b2)(c2+d2) ≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时,等号成立. 2.二维形式的柯西不等式的向量形式. 设α,β是两个向量, 则│α .β│≤│α││β│, 当且仅当β是零向量或存在实数k,使α=kβ时,等号成立. 3.二维形式的柯西不等式的应用.

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  • ID:3-7050677 高中数学人教新课标A版选修4-5第四讲 数学归纳法证明不等式二 用数学归纳法证明不等式(共27张PPT)

    高中数学/人教新课标A版/选修4-5/第四讲 数学归纳法证明不等式/二 用数学归纳法证明不等式

    (共27张PPT) 回顾旧知 数学归纳法的步骤: (1)证明当n=n0时命题成立; (2)假设当n=k时命题成立,证明n=k+1时命题也成立. 观察下面两个数列,从第几项起an 始终小于bn?证明你的结论. {an=n2}:1,4,9,16,25,36,…; {bn=2n}:2,4,8,16,32,64,… 这是个涉及正整数n的三角函数问题,又与绝对值有关,在证明递推关系时,应注意利用三角函数的性质及绝对值不等式. (1)当n=1时,左边=右边,命题成立. (2)假设当n=k(k≥1) 时命题成立,即有│sinkθ│≤k│sinθ│ 由(1)(2)可知,不等式对一切正整数n均成立. 当n=k+1时, │sin(k+1)θ│ =│sinkθcosθ+coskθsinθ│ ≤│sinkθcosθ│+ │coskθsinθ│ = │sinkθ││cosθ│+ │coskθ││sinθ│ ≤k │sinθ│+ │sinθ│ =(k+1) │sinθ│ 贝努利不等式中涉及两个字母,x表示大于-1且不等于0的任意实数,n是大于1的自然数,我们用数学归纳法只能对n进行归纳. (1)当n=2时,由x ≠ 0得(1+x)2>1+2x,不等式成立. (2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立, 即有(1+x)k>1+kx. 当n=k+1时,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx) >1+(k+1)x 所以当n=k+1时不等式成立. 由(1)(2)可知,贝努利不等式成立. 证明: 如果n(n为正整数)个正数a1,a2,…,an 的乘积a1,a2,…,an, 那么它们的和a1+a2…+an=1. 在数学研究中,经常用贝努利不等式把二项式的乘方(1+x)n缩小为简单的1+nx的形式.这在数值估计和放缩法证明不等式中可以发挥作用. 事实上,贝努利不等式的一般形式是: 当a是实数,并且满足a>1或者a<0时,有(1+x)a ≥1+ax(x>-1); 当a是实数,并且满足a>1或者0-1). 这是与正整数密切相关的不等式,它的形式简洁和谐.用数学归纳法证明它时,应注意利用n个正数的乘积为1的条件,并对什么时归纳假设和由它要递推的目标心中有数. (1)当n=1时,有a1=1,命题成立. (2)假设当n=k时,命题成立, 即若k个正数的乘积a1a2…ak=1, 则a1+a2+…+ak≥k.当 n=k+1时,已知k+1个正数a1,a2,…,ak满足条件a1a2…ak+1=1. 若这k+1个正数a1,a2,…,ak+1都相等,则它们都是1.其和为k+1,命题成立. 若这k+1个正数a1,a2,…,ak+1不全相等,则其中必有大于1的数,也有小于1的数.不妨设a1>1,a2<1 有归纳假设可得到:a1+a2+…+ak+ak+1 ≥k (1) 我们要证a1+a2+…+ak+ak+1≥k+1 (2) 由(1)(2)得:a1+a2-a1a2≥1. (3) 则(1)+(3)=(2). 由于a1>1,a2<1得(a1-1)(a2-1)<0, 即a1+a2-a1a2>1. 于是目标得证,即:当n=k+1时命题成立. 由(1)(2)可知,原命题成立. 本节用数学归纳法证明不等式通过4个例题由浅入深的讨论如何通过“奠基”“假设和递推”证明含有任意正整数n的不等式. 习题4.2(第53页)

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  • ID:3-7050668 高中数学人教新课标A版选修4-5第四讲 数学归纳法证明不等式一 数学归纳法(共26张PPT)

    高中数学/人教新课标A版/选修4-5/第四讲 数学归纳法证明不等式/一 数学归纳法

    (共26张PPT) 试证:-1+3-5+…+(-1)n(2n-1)=(-1)n 多米若骨牌是一种码放骨牌的游戏,码放时保证任意相邻的两块骨牌,若前一块骨牌倒下,则一定会导致后一块骨牌倒下.这样,只要推倒第一块骨牌,就可以导致第二块骨牌倒下……最后,不论有多少块骨牌,都能倒下. 你知道为什么所有骨牌都会倒下吗? 使所有骨牌都倒下的条件有两个: (1)第一块骨牌倒下; (2)任意相邻的两块骨牌,前一块倒下一定导致后一块倒下. 其中,条件(2)事实上是一个递推关系;当第k块倒下时,相邻的第k+1块也倒下.只要保证(1)(2)成立,那所有的骨牌一定会全部倒下. 按照上述思路证明题目会怎样? (1)当n=1时,等式左右两边都等于-1,即这时等式成立. (2)假设当n=k(k≥1) 时等号成立,即 -1+3-5+…+(-1)k(2k-1)=(-1)kk 此时, 左边=-1+3-5+…+(-1)k(2k-1)+(-1)k+1[2(k+1)-1] =(-1)k[-k+2(k+1)-1] =(-1)k+1(k+1) =右边 所以当n=k+1时,等号成立. 由(1)(2)可证等式成立. 数学归纳法 你认为数学归纳法的基本思想是什么? 在数学归纳法的两个步骤中,第一步是奠基,第二步是假设与递推.这两部非常重要,缺一不可.而递推是实现从有限到无限的飞越关键. 这是一个与整除有关的命题,它涉及全体正整数,若用数学归纳法证明,第一步应证n=1时命题成立;第二步要明确目标,即在假设k3+5k能够被6整除的前提下证明. (1)当n=1时,n3+5n=6显然能够被6整除,命题成立. (2)假设n=k(k≥1)时,命题成立,即k3+5k能被6整除. 当n=k+1时,(k+1)3+5(k+1)=(k3+5k)+3k(k+1)+6. 由假设知k3+5k能被6整除,而k(k+1)是偶数,故3k(k+1)能够被6整除。 因此,当n=k+1时命题成立. 可以先从有限个点的情况中,归纳出一个猜想;然后再用数学归纳法证明猜想成立. 解: (1)当n=3时,命题成立. 由(1)(2)可知,猜想正确. 数学归纳法实现了由有限到无限的飞跃 1.数学归纳法的步骤: (1)证明当n=n0时命题成立; (2)假设当n=k时命题成立,证明n=k+1时命题也成立. 2.数学归纳法的应用. 当证明一个命题对于不小于某正整数的所有正整数n都成立,可以用数学归纳法. 1.由数学归纳证明: 1+3+5+…+(2n-1)=n2 (1)当n=1时,命题成立. (2)假设当n=k(k≥1)时,命题成立. 即1+3+…+(2k-1)=k2. 当n=k+1时, 1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)-1=(k+1)2. 所以,当n=k+1时,命题成立. 由(1)(2)知,命题对一切正整数成立. 2.凸n边形有多少条对角线? 证明你的结论.

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  • ID:3-7050318 专题:概率与统计.历年高考真题汇编(word原卷+解析卷)

    高中数学/人教新课标A版/必修3/本册综合

    中小学教育资源及组卷应用平台 专题 数列 历年高考真题汇编 1.(2019·全国Ⅱ卷)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是(  ) A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差 2.(2019·全国Ⅲ卷)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为(  ) A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8 3.(2019·全国Ⅰ卷)某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表: 满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客 30 20 (1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率; (2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异? 附:K2=. P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 4.(2018·全国Ⅱ卷)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图. INCLUDEPICTURE"18GS7.tif" 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:=-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②:=99+17.5t. (1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值; (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由. 5.(2019·全国Ⅰ卷)某学校为了解1 000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,…,1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是(  ) A.8号学生 B.200号学生 C.616号学生 D.815号学生 6.(2019·昆明)某班男女生各10名同学最近一周平均每天的锻炼时间(单位:分钟)用茎叶图记录如下: 假设每名同学最近一周平均每天的锻炼时间是互相独立的. ①男生每天锻炼的时间差别小,女生每天锻炼的时间差别大; ②从平均值分析,男生每天锻炼的时间比女生多; ③男生平均每天锻炼时间的标准差大于女生平均每天锻炼时间的标准差; ④从10个男生中任选一人,平均每天的锻炼时间超过65分钟的概率比同样条件下女生锻炼时间超过65分钟的概率大. 其中符合茎叶图所给数据的结论是(  ) A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④ (2)(2019·江苏卷)已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是________. 7.(2019·全国Ⅲ卷)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠随机分成A,B两组,每组100只,其中A组小鼠给服甲离子溶液,B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图: INCLUDEPICTURE"19L22.TIF" INCLUDEPICTURE"19L23.TIF" 记C为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到P(C)的估计值为0.70. (1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值; (2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表). 8.(2019·全国Ⅱ卷)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表. y的分组 [-0.20,0) [0,0.20) [0.20,0.40) [0.40,0.60) [0.60,0.80) 企业数 2 24 53 14 7 ①分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例; ②求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)附:≈8.602. 9.(2019·西安)为了调查一款电视机的使用时间,研究人员对该款电视机进行了相应的测试,将得到的数据统计如下图所示: INCLUDEPICTURE"A142.TIF" 并对不同年龄层的市民对这款电视机的购买意愿作出调查,得到的数据如下表所示: 愿意购买该 款电视机 不愿意购买 该款电视机 总计 40岁以上 800 1 000 40岁以下 600 总计 1 200 (1)根据图中的数据,试估计该款电视机的平均使用时间; (2)根据表中数据,判断是否有99.9%的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关. 附:K2=,其中n=a+b+c+d, 参考数据: P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 10.(2018·全国Ⅰ卷)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如图所示的饼图: INCLUDEPICTURE"18GS1.tif" 则下面结论中不正确的是(  ) A.新农村建设后,种植收入减少 B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍 D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 11.(2018·全国Ⅲ卷)某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是________. 12.(2018·全国Ⅰ卷)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下: 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用 水量 [0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6) [0.6,0.7) 频数 1 3 2 4 9 26 5 使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用 水量 [0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6) 频数 1 5 13 10 16 5 (1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图: INCLUDEPICTURE"18GW4.TIF" (2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率; (3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表). 13.(2019·全国Ⅲ卷)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是(  ) A. B. C. D. 14.(2018·全国Ⅰ卷)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则(  ) A.p1=p2 B.p1=p3 C.p2=p3 D.p1=p2+p3 15.(2018·天津卷)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动. (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人? (2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作. ①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果; ②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率. 16.(2019·北京卷)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校所有的1 000名学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:     支付金额支付方式     不大于2 000元 大于2 000元 仅使用A 27人 3人 仅使用B 24人 1人 (1)估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数; (2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率; (3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,发现他本月的支付金额大于2 000元.结合(2)的结果,能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化?说明理由. 17.(2019·天津卷)2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况. (1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人? (2)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A,B,C,D,E,F.享受情况如下表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.   员工 项目   A B C D E F 子女教育 ○ ○ × ○ × ○ 继续教育 × × ○ × ○ ○ 大病医疗 × × × ○ × × 住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○ 住房租金 × × ○ × × × 赡养老人 ○ ○ × × × ○ ①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果; ②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M发生的概率. 18.(2018·全国Ⅲ卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为(  ) A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 19.(2019·全国Ⅱ卷)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为(  ) A. B. C. D. 20.(2019湖南).有一底面半径为1、高为2的圆柱,点O为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为(  ) A. B. C. D. 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页) HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com) " 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 中小学教育资源及组卷应用平台 专题 概率与统计 历年高考真题汇编解析版 1.(2019·全国Ⅱ卷)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是(  ) A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差 解析 中位数是将9个数据从小到大或从大到小排列后,处于中间位置的数据,因而去掉1个最高分和1个最低分,中位数是不变的,平均数、方差、极差均受影响. 答案 A 2.(2019·全国Ⅲ卷)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了100位学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为(  ) A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8 解析 法一 设调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为x,则x+80-60=90,解得x=70, 所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为=0.7.故选C. 法二 用Venn图表示阅读过《西游记》和《红楼梦》的人数之间的关系如图: INCLUDEPICTURE"19L26.TIF" 易知调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为70,所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为=0.7.故选C. 答案 C 3.(2019·全国Ⅰ卷)某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表: 满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客 30 20 (1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率; (2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异? 附:K2=. P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 解 (1)由调查数据,男顾客中对该商场服务满意的比率为=0.8,因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.女顾客中对该商场服务满意的比率为=0.6,因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6. (2)K2的观测值k=≈4.762. 由于4.762>3.841,故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. 4.(2018·全国Ⅱ卷)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图. INCLUDEPICTURE"18GS7.tif" 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:=-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②:=99+17.5t. (1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值; (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由. 解 (1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=-30.4+13.5×19=226.1(亿元). 利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=99+17.5×9=256.5(亿元). (2)利用模型②得到的预测值更可靠. 理由如下: 从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y= -30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠. 5.(2019·全国Ⅰ卷)某学校为了解1 000名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,…,1 000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是(  ) A.8号学生 B.200号学生 C.616号学生 D.815号学生 解析:根据题意,系统抽样是等距抽样, 所以抽样间隔为=10. 因为46除以10余6,所以抽到的号码都是除以10余6的数,结合选项知应为616.故选C. 答案:C 6.(2019·昆明)某班男女生各10名同学最近一周平均每天的锻炼时间(单位:分钟)用茎叶图记录如下: 假设每名同学最近一周平均每天的锻炼时间是互相独立的. ①男生每天锻炼的时间差别小,女生每天锻炼的时间差别大; ②从平均值分析,男生每天锻炼的时间比女生多; ③男生平均每天锻炼时间的标准差大于女生平均每天锻炼时间的标准差; ④从10个男生中任选一人,平均每天的锻炼时间超过65分钟的概率比同样条件下女生锻炼时间超过65分钟的概率大. 其中符合茎叶图所给数据的结论是(  ) A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④ (2)(2019·江苏卷)已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是________. 解析 (1)由茎叶图知,男生每天锻炼时间差别小,女生差别大,①正确. 男生平均每天锻炼时间超过65分钟的概率p1==,女生平均每天锻炼时间超过65分钟的概率p2==,p1>p2,因此④正确. 设男生、女生两组数据的平均数分别为甲,乙,标准差分别为s甲,s乙. 易求甲=65.2,乙=61.8,知甲>乙,②正确. 又根据茎叶图,男生锻炼时间较集中,女生锻炼时间较分散, ∴s甲10.828; 故有99.9%的把握认为“愿意购买该款电视机”与“市民的年龄”有关. 10.(2018·全国Ⅰ卷)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如图所示的饼图: INCLUDEPICTURE"18GS1.tif" 则下面结论中不正确的是(  ) A.新农村建设后,种植收入减少 B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍 D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 解析 设新农村建设前经济收入为a,则新农村建设后经济收入为2a,则由饼图可得新农村建设前种植收入为0.6a,其他收入为0.04a,养殖收入为0.3a.新农村建设后种植收入为0.74a,其他收入为0.1a,养殖收入为0.6a,养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a,所以新农村建设后,种植收入减少是错误的.故选A. 答案 A 11.(2018·全国Ⅲ卷)某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是________. 解析 因为不同年龄段的客户对公司的服务评价有较大差异,所以需按年龄进行分层抽样,才能了解到不同年龄段的客户对公司服务的客观评价. 答案 分层抽样 12.(2018·全国Ⅰ卷)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下: 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用 水量 [0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6) [0.6,0.7) 频数 1 3 2 4 9 26 5 使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用 水量 [0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6) 频数 1 5 13 10 16 5 (1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图: INCLUDEPICTURE"18GW4.TIF" (2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率; (3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表). 解 (1)所求的频率分布直方图如下: INCLUDEPICTURE"18GW27.TIF" (2)由题可知使用节水龙头后50天的用水量在[0.3,0.4)的频数为10,所以可估计在[0.3,0.35)的频数为5,故用水量小于0.35(m3)的频数为1+5+13+5=24,其频率为=0.48. 因此,估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率为0.48. (3)该家庭未使用节水龙头50天的日用水量的平均数为 1=(0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5)=0.48. 该家庭使用了节水龙头后50天的日用水量的平均数为 2=(0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5)=0.35. 估计使用节水龙头后,一年可节省水(0.48-0.35)×365=47.45(m3). 13.(2019·全国Ⅲ卷)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是(  ) A. B. C. D. 解析 设两位男同学分别为A,B,两位女同学分别为a,b,则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示. INCLUDEPICTURE"19W20.TIF" 由图知,共有24种等可能的结果,其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种,故所求概率为=. 答案 D 14.(2018·全国Ⅰ卷)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则(  ) A.p1=p2 B.p1=p3 C.p2=p3 D.p1=p2+p3 解析 不妨设△ABC为等腰直角三角形,AB=AC=2,则BC=2,所以区域Ⅰ的面积即△ABC的面积,为S1=×2×2=2,区域Ⅲ的面积S3=-S1=π-2.区域Ⅱ的面积为S2=π·-S3=2.根据几何概型的概率计算公式,得p1=p2=,p3=,所以p1≠p3,p2≠p3,p1≠p2+p3. 答案 A 15.(2018·天津卷)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动. (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人? (2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作. ①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果; ②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率. 解 (1)由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人. (2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为 {A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{F,G},共21种. ②由(1),不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5种.所以,事件M发生的概率P(M)=. 16.(2019·北京卷)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校所有的1 000名学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:     支付金额支付方式     不大于2 000元 大于2 000元 仅使用A 27人 3人 仅使用B 24人 1人 (1)估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数; (2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率; (3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,发现他本月的支付金额大于2 000元.结合(2)的结果,能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化?说明理由. 解 (1)由题知,样本中仅使用A的学生有27+3=30(人),仅使用B的学生有24+1=25(人),A,B两种支付方式都不使用的学生有5人. 故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40(人). 估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数为×1 000=400. (2)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于2 000元,”则P(C)==0.04. (3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,该学生本月的支付金额大于2 000元”. 假设样本仅使用B的学生中,本月支付金额大于2 000元的人数没有变化,则由(2)知,P(E)=0.04. 答案示例1:可以认为有变化.理由如下: P(E)比较小,概率比较小的事件一般不容易发生,一旦发生,就有理由认为本月支付金额大于2 000元的人数发生了变化. 所以可以认为有变化. 答案示例2:无法确定有没有变化.理由如下: 事件E是随机事件,P(E)比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的,所以无法确定有没有变化. 17.(2019·天津卷)2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况. (1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人? (2)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为A,B,C,D,E,F.享受情况如下表,其中“○”表示享受,“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.   员工 项目   A B C D E F 子女教育 ○ ○ × ○ × ○ 继续教育 × × ○ × ○ ○ 大病医疗 × × × ○ × × 住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○ 住房租金 × × ○ × × × 赡养老人 ○ ○ × × × ○ ①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果; ②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件M发生的概率. 解 (1)由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10,由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工, 因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人. (2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15种. ②由表格知,符合题意的所有结果为{A,B},{A,D},{A,E},{A,F},{B,D},{B,E},{B,F},{C,E},{C,F},{D,F},{E,F},共11种. 所以事件M发生的概率P(M)=. 18.(2018·全国Ⅲ卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为(  ) A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 解析 某群体中的成员分为只用现金支付、既用现金支付也用非现金支付、不用现金支付,是互斥事件,所以不用现金支付的概率为1-(0.15+0.45)=0.4. 答案 B 19.(2019·全国Ⅱ卷)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为(  ) A. B. C. D. 解析 设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1,a2,a3,未测量过这项指标的2只为b1,b2,则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1,a2,a3),(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a3,b1),(a1,a3,b2),(a2,a3,b1),(a2,a3,b2),(a1,b1,b2),(a2,b1,b2),(a3,b1,b2),共10种可能.其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a3,b1),(a1,a3,b2),(a2,a3,b1),(a2,a3,b2),共6种可能. 故恰有2只测量过该指标的概率为=.故选B. 答案 B 20.(2019湖南).有一底面半径为1、高为2的圆柱,点O为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为(  ) A. B. C. D. 解析 设点P到点O的距离小于等于1的概率为p1,由几何概型,则p1===. 故点P到点O的距离大于1的概率p=1-=. 答案 B 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页) HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com) " 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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  • ID:3-7045297 高中数学人教新课标A版选修4-5第二讲 讲明不等式的基本方法三 反证法与放缩法(共27张PPT)

    高中数学/人教新课标A版/选修4-5/第二讲 讲明不等式的基本方法/三 反证法与放缩法

    (共27张PPT) 本题是证明不等式性质(6).用通常的综合法则相当困难,我们很难直接从条件和已有的事实直接证明.正面入手不能凑效,可以从结论的反面来思考. 先假设要证的命题不成立,依次为出发点,结合已知条件,应用公里,定义,定理,性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件矛盾的结论,以说明假设不成立,从而证明原命题成立.我们把它叫做反证法. 要证的结论和条件之间的联系不明显,如果从正面证明,需要对某个分式小于2或两个分式都小于2等进行分类讨论,从反面证明只要证明两个分时都小于2是不可能的即可. 已知a,b,c为实数,a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0, 求证:a>0,b>0,c>0. 要证的结论与条件之间的联系不明显,于是考虑采用反证法. 假设a,b,c不全是正数,这需要逐个讨论a,b,c不是正数的情形.但注意到条件的特点,我们只要讨论其中的一个数,其他两个数与这种情形类似. 假设a,b,c不全是正数,即其中至少有一个不是正数.不妨设a≤0.下面分a=0和a<0 两种情况讨论. (1)如果a=0,则abc>0,与abc>0矛盾. 所以a=0不可能. (2)如果a<0,那么由abc>0可得bc<0. 又因为a+b+c>0,所以b+c>-a. 于是ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0, 这和已知矛盾.因此,a<0也不可能. 综上所述,a>0. 同理可证b>0,c>0. 所以原命题成立. 如果不等式是某些初始命题,否定命题或唯一性命题等等,常常可以考虑用反证法证明.用反证法证明不等式时,正确地否定不等式的结论非常重要,另外还要注意观察条件,建立条件和结论的否定之间的联系,有利于找到证明的思路. 若把 直接同分相加则会使运算非常复杂,不易达到证明的目的.分析此式的形式特点,可以通过是党的放大或缩小,使不等式简化. 证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证明的目的,这种方法叫放缩法.其关键是放,缩适当. 1.反证法证明不等式. 先假设要证的命题不成立,依次为出发点,结合已知条件,应用公里,定义,定理,性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件矛盾的结论,以说明假设不成立,从而证明原命题成立.我们把它叫做反证法. 2.放缩法证明不等式. 证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证明的目的,这种方法叫放缩法. 2.体积为V的圆柱中,底面半径r和圆柱的高h 为多少时,其秒面积最小? 习题2.3(第29页)

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  • ID:3-7045292 高中数学人教新课标A版选修4-5第二讲 讲明不等式的基本方法二 综合法(共19张PPT)

    高中数学/人教新课标A版/选修4-5/第二讲 讲明不等式的基本方法/二 综合法与分析法

    (共19张PPT) 已知a,b,c>0,且不全为零, 求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc. 本题不能用比较法证明.观察欲证不等式的特点,左边三项每一项都是两个数的平方和与另一个数的乘积,右边是三个数的乘积的6倍. 因为b2+c2≥2bc,a>0, 所以a(b2+c2) ≥2abc----(1) 同理b(c2+a2) ≥2abc---(2) c(a2+b2) ≥2abc---(3) 由于a,b,c不全为零,所以上述(1)(2)(3)中至少有一个不取等号,把它们相加得a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)>6abc 从已知条件出发,利用定义,公里,定理,性质等,经过一系列的推理,论证而得出命题成立,这种证明方法叫做综合法. 已知a,b,c,d∈R+,求证(ab+cd)(ac+bd) ≥4abcd 本题的解题方法有几种? 证法一: 由重要不等式可得, 证法二: 显然,次不等式正确. 证明命题时,从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实,这种证明方法叫分析法.(如本题解法二) 从不等式的结构不易发现需要用不等式的那些性质或事实解决这个问题,因此用分析法. 在思考数学命题时,执果索因和由因导果总是交替出现在思维过程中.有些问题一时难以看出综合推理的出发点,我们可以运用分析法. 1.综合法证明不等式. 即从已知条件和不等式的性质,基本不等式,已知成立的不等式出发,逐步推理论证,直至的出要证明的不等式. 2.分析法证明不等式. 即从要证的不等式着手,逐步推求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知正确的不等式或已知条件,从而得知要征得不等式成立. 1.求证a2+b2+5 ≥2(2a-b) 解:因为 a2+b2+5-2(2a-b)=(a-2)2+(b-1)2 ≥0, 所以a2+b2+5 ≥2(2a-b).

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  • ID:3-7045288 高中数学人教新课标A版选修4-5第二讲 讲明不等式的基本方法 一 比较法(共17张PPT)

    高中数学/人教新课标A版/选修4-5/第二讲 讲明不等式的基本方法/一 比较法

    (共17张PPT) 1.设a<0,-1 怎么证明结果呀? 要想证明结果,最基本的方法就是作差. 即:转化为比较差与0的大小. 很重要呀! 同理可证ab2-a>0 综上可知,a0,1-b>0. 故ab>ab2 2. 综上可知,A>B. 注意讨论来判断符号 A-B=(1+2x4)-(2x3+x2) =2x4-2x3-x3+1 =2x3(x-1)-(x-1)(x+1) =(x-1)(2x3-x-1) 当x>1时,x-1>0, 2x3-x-1>0; 当x<1时, x-1>0, 2x3-x-1>0; 作差证明不等式. 因为a0; 又因为a,b,m都是正数,,所以m(b-a)>0,b(b+m)>0. 除了把不等式两边相减,通过比较差与0的大小证明不等式外,有没有其它方法? 可以通过把不等式两边相除,转化为所得的商式与1的比较. 不等式的两边都是正数,并且都是指数形式,把它们相除并考察商式与1的关系方便. 将不等式两边相除,得 不妨设a≥b>0, 当且仅当时a=b ,等号成立. 比较法证明不等式有两种途径: 途径一:作差法.通过把不等式两边相减,转化为比较差与0的大小. 途径二:作商法.通过把不等式两边相除,转化为所得商式与1的大小关系. 1.已知a>b,求证a3-b3>ab(a-b). 证明: a3-b3-ab(a-b)=a2(a-b)-b2(b-a) =(a-b)(a2+ab+b2-ab) =(a-b)(a2+b2)>0 所以a3-b3>ab(a-b). 2.已知a,b,c是正数,求证a2ab2bc2c≥ab+cbc+aca+b. 习题2.1(第29页)

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  • ID:3-7045287 高中数学人教新课标A版选修4-5第一讲 不等式和绝对值不等式二 绝对值不等式(共35张PPT)

    高中数学/人教新课标A版/选修4-5/第一讲 不等式和绝对值不等式/二 绝对值不等式/本节综合

    (共35张PPT) 回顾旧知 1.实数的a绝对值的几何意义是什么? x 从“运算”的角度考察 分ab>0和ab<0情况讨论 (2)当ab<0时,又可以分a>0,b<0和a<0,b>0两中情况. 如果a>0,b>0时,如图2-1, 定理1 (很重要) 如果把定理1中的实数a,b分别换为向量a,b能得出什么结果?你能解释它的几何意义吗? 其几何意义是三角形的两边之和大于第三边(如下图)。 由此可称定理1为绝对值三角不等式 (1)当向量a,b不共线时,向量a+b,a,b构成三角形. (2)当向量a,b共线时,分以下两种情况: 分类讨论 (1)当ab≥0时, 放缩法 利用定理1证明。 定理2 如果a,b,c是实数,那么│a-c│≤ │a-b│+ │b-c│ 当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立. 其几何意义通过数轴考虑。 点B在点A,C之间 点B不在A,C之间 根据定理1, 当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立. 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路路碑的第10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工区地点之间往返一次。要使两个施工队每天往返的路程之和最小,生活区应该建在何处? 解不等式│2x-1│≤3 该题解的几何解释是什么? 如何求解│x-a│+│x-b│≥c和 │x-a│+│x-b│ ≤c型不等式? 思路一:对几何意义作分析; 思路二:把含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式; 思路三:从函数的观点处理。 解法一: 设数轴上与-2,1对应的点分别是A,B。(如图) 所以,原不等式的解集是(-∞, -3] ∪[2, + ∞) 从数轴上可以看到,点A1和B1之间的任何点到点A,B的距离之和都小于5;点A1的左边或点B1的右边的任何点到点A,B的距离之和都大于5. 解不等式: │x-1│+│x+2│≥5 解法二: 当x ≤-2时,原不等式可以为-(x-1)-(x+2) ≥5 解得 x ≤-3. 当x ≥1 时,原不等式可以化为 (x-1)+(x+2) ≥ 5 综上所述,原不等式的解集是(-∞, -3] ∪[2, + ∞) 解法三: 将原不等式转化为│x-1│+│x+2│-5≥0 构造函数y= │x-1│+│x+2│-5 作出图像(右图)可知,当x∈(-∞, -3) ∪[2, + ∞), 有y ≥0 所以,原不等式的解集是(-∞, -3] ∪[2, + ∞) 本题介绍了三种解决这类问题的方法,其中体现的思想方法具有普遍意义。解法一体现了数形结合思想,解法二体现了分类讨论思想,解法三体现了函数与方程的思想。 1.绝对值三角函数的几何意义。 2.两类绝对值不等式的解法。 1.解不等式│x2-2x│<3 解法一: 由│x2-2x│<3得-3

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  • ID:3-7045283 高中数学人教新课标A版选修4-5第一讲 不等式和绝对值不等式一 不等式(共43张PPT)

    高中数学/人教新课标A版/选修4-5/第一讲 不等式和绝对值不等式/一 不等式/本节综合

    (共43张PPT) 回顾旧知 a___b ______>0 a___b ______<0 > a-b < a-b 1.如果a=b,那么a- b___0。 2. 我们可以用什么方法比较两个实数的大小? = 比较法 (0是标杆) 通过考察它们与0的大小关系,得出结论。 比较(x+1)(x+2)与(x-3)(x+6)得大小。 解:因为 > 0 所以 (x+1)(x+2)-(x-3)(x+6) =(x2+3x+2)-(x2+3x-18) =20 (x+1)(x+2)>(x-3)(x+6) 等式有“等式两边同加(或减)一个数,等式仍然成立”“等式两边同乘(或除以)一个数,等式仍然成立”等基本性质。类比等式的这些性质,不等式有哪些基本性呢? (5) a>b>0 (6) a>b>0 an>bn 观察不等式的基本性质,并与不等式的基本性质比较,你认为在研究不等式时,需要特别注意什么问题? 特别注意“符号问题” 性质4 性质4 性质2 性质6 因为a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,当且仅当a=b时等号成立,所以a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立。 你能从几何的角度解释上述定理吗? 即矩形BCGH和矩形JCDI成为两个正方形时等号成立。 如图,S正方形ABCD+S正方形CEFG=a2+b2, S矩形BCGH+S锯形JCDI=2ab. 有图形可知,a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立。 重要不等式 基本不等式 观察下图,如果AD=a,BD=b,OC是斜边AB的中线,你能给出基本不等式的几何意义吗? 分 析 所以∠DCA= ∠B. 于是Rt△DCA和Rt△DBC相似. 综上所述可知,基本不等式的几何意义是:直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高。(即半弦长小于等于半径) 求证: (1)在所有周长相同的矩形中,正方形的面积最大; (2)在所有面积相同的矩形中,正方形的周长最短。 基本不等式涉及两个正数的和与积之间的数量关系,所以可以考虑利用基本不等式进行证明。 设矩形的长为x,宽为y。 (1)设矩形周长为定值L,即2x+2y=L。 (2)设矩形面积为定值S,即xy=S为定值。 基本 不等式 对两个正实数x,y,如果它们的和S是定值,则当且仅当x=y时,它们的积P取得最大值;如果它们的积P是定值,则当且仅当x=y时,它们的和S取得最小值。 很重要! 简称:一 “正”, 二“定”, 三“相等” 某居民小区要建 一座八边形的休闲场所, 它的主体造型平面图(如图) 是由两个相同的矩形ABCD和 EFGH构成的面积为200平方米 的十字型地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛,造价为每平方米4200元,在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪,造价为每平方米210元,再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪,造价为每平方米80元。 (1)设总造价为S元,AD长为x米,试建立S关于x的函数关系式; (2)当x为何值时,S最小?并求出这个最小值。 该问题属于利用基本不等式解决最值问题。 求: 解: (1) (2) 由上可知,当AD约为3.16米时,休闲场所总造价S取最小值118000元。 根据基本不等式得 所以S ≥38000+80000=118000, 反 思 利用基本不等式解决极值问题,要先写出函数的解析式,然后判断是否可以借助于基本不等式去解决。 基本不等式给出了两个正数的算术平均数与几何平均数的关系,这个不等式能否推广呢?例如,对于3个正数,会有怎样的不等式成立? (x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3 x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2) 由于a3+b3+c3-3abc =(a+b)3-3a2b-3ab2+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2-3ab2-3abc =(a+b+c)〔 (a+b)2-(a+b)c+c2 〕-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) =(a+b+c) 〔 (a-b)2-(b-c)2+(c-a)2 〕≥0 所以a3+b3+c3 ≥3abc,当且仅当a=b=c时, 等号成立。 三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 本题涉及三个实数的和积,可以考虑基本不等式的推广。 在表面积一定的长方体中,以正方体的体积最大吗? 设长方体的三条相交于同一顶点的棱的长分别为x,y,z,则长方体的体积为V=xyz, 即x=y=z时,等号成立。 所以,当长方体是正方体时,体积取得最大值,最大值是 1.不等式的基本性质。 2. 基本不等式及其应用。 3.基本不等式的推广 2.若M=(2x+3)(x-4),N=(x-7)(x+3)+8,讨论M与N的大小关系。 习题1.1(第9页) 1.(1)假命题 (2)假命题 (3)假命题 (4)真命题

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  • ID:3-7038417 [精]必修5 二轮专题:数列 历年高考真题汇编(原卷版+解析版)

    高中数学/人教新课标A版/必修5/第二章 数列/本章综合与测试

    中小学教育资源及组卷应用平台 专题 数列 历年高考真题汇编 1.(2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则(  ) A.an=2n-5 B.an=3n-10 C.Sn=2n2-8n D.Sn=n2-2n 2.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为(  ) A.f B.f C.f D.f 3.(2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=1,S3=,则S4=________. 4.(2019·全国Ⅱ卷)已知{an}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16. (1)求{an}的通项公式; (2)设bn=log2an,求数列{bn}的前n项和. 5.(1)(2019·全国Ⅲ卷)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=(  ) A.16 B.8 C.4 D.2 (2)(2019·北京卷)设{an}是等差数列,a1=-10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比数列. ①求{an}的通项公式; ②记{an}的前n项和为Sn,求Sn的最小值. 6.(2019·全国Ⅲ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3=5,a7=13,则S10=________. 7.(2018·全国Ⅲ卷)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3. ①求{an}的通项公式; ②记Sn为{an}的前n项和.若Sm=63,求m. 8.(2018·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=(  ) A.-12 B.-10 C.10 D.12 9..(2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=-a5. (1)若 a3=4,求{an}的通项公式; (2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围. 10.(2018·全国Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=________. 11.(2017·全国Ⅲ卷)设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列的前n项和. 12.(2019·天津卷)设{an}是等差数列,{bn}是等比数列,公比大于0.已知a1=b1=3,b2=a3,b3=4a2+3. (1)求{an}和{bn}的通项公式; (2)设数列{cn}满足cn=求a1c1+a2c2+…+a2nc2n(n∈N*). 13.(2019·广州)设数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=3an-3. (1)求{an}的通项公式; (2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Tn. 14.(2019·湖南)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,其面积S=,B=60°,a2+c2=2b2.在等差数列{an}中,a1=a,公差d=b.数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn-2bn+1=0,n∈N*. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)若cn=anbn,求数列{cn}的前n项和为Sn. 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页) HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com) " 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 中小学教育资源及组卷应用平台 专题 数列 历年高考真题汇编解析版 1.(2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则(  ) A.an=2n-5 B.an=3n-10 C.Sn=2n2-8n D.Sn=n2-2n 解析 设首项为a1,公差为d. 由S4=0,a5=5可得解得 所以an=-3+2(n-1)=2n-5, Sn=n×(-3)+×2=n2-4n. 答案 A 2.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为(  ) A.f B.f C.f D.f 解析 从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于,第一个单音的频率为f.由等比数列的定义知,这十三个单音的频率构成一个首项为f,公比为的等比数列,记为{an}.则第八个单音频率为a8=f·()8-1=f. 答案 D 3.(2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=1,S3=,则S4=________. 解析 设等比数列{an}的公比为q,则an=a1qn-1=qn-1. ∵a1=1,S3=,∴a1+a2+a3=1+q+q2=, 则4q2+4q+1=0,∴q=-, ∴S4==. 答案  4.(2019·全国Ⅱ卷)已知{an}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16. (1)求{an}的通项公式; (2)设bn=log2an,求数列{bn}的前n项和. 解 (1)设{an}的公比为q(q>0), 由题设得2q2=4q+16,即q2-2q-8=0. 解得q=-2(舍去)或q=4. 因此{an}的通项公式为an=2×4n-1=22n-1. (2)由(1)得bn=(2n-1)log22=2n-1,因此数列{bn}的前n项和为1+3+…+2n-1=n2. 5.(1)(2019·全国Ⅲ卷)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=(  ) A.16 B.8 C.4 D.2 (2)(2019·北京卷)设{an}是等差数列,a1=-10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比数列. ①求{an}的通项公式; ②记{an}的前n项和为Sn,求Sn的最小值. (1)解析 设等比数列{an}的公比为q,依题意q>0. 由a5=3a3+4a1,得q4=3q2+4. ∴q2=4,则q=2. 又S4=a1(1+q+q2+q3)=15,所以a1=1. 故a3=a1q2=4. 答案 C (2)解 ①设{an}的公差为d. 因为a1=-10, 所以a2=-10+d,a3=-10+2d,a4=-10+3d. 因为a2+10,a3+8,a4+6成等比数列, 所以(a3+8)2=(a2+10)(a4+6). 所以(-2+2d)2=d(-4+3d). 解得d=2. 所以an=a1+(n-1)d=2n-12. ②法一 由①知,an=2n-12. 则当n≥7时,an>0;当n=6时,an=0,当n<6时,an<0; 所以Sn的最小值为S5=S6=-30. 法二 由①知,Sn=(a1+an)=n(n-11)=-,又n∈N*, ∴当n=5或n=6时,Sn的最小值S5=S6=-30. 6.(2019·全国Ⅲ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3=5,a7=13,则S10=________. 解析 由题意得公差d===2, 首项a1=a3-2d=5-2×2=1, ∴S10=10a1+d=100. 答案 100 7.(2018·全国Ⅲ卷)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3. ①求{an}的通项公式; ②记Sn为{an}的前n项和.若Sm=63,求m. 解 ①设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1. 由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2. 故an=(-2)n-1或an=2n-1. ②若an=(-2)n-1,则Sn=, 由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解. 若an=2n-1,则Sn=2n-1. 由Sm=63得2m=64,解得m=6. 综上,m=6. 8.(2018·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=(  ) A.-12 B.-10 C.10 D.12 解析 设数列{an}的公差为d,∵3S3=S2+S4, ∴3=2a1+d+4a1+d, 解得d=-a1. ∵a1=2,∴d=-3,∴a5=a1+4d=2+4×(-3)=-10. 答案 B 9..(2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=-a5. (1)若 a3=4,求{an}的通项公式; (2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围. 解 (1)设{an}的公差为d. 由S9=-a5得9a1+d=-(a1+4d),即a1+4d=0. 由a3=4得a1+2d=4.于是a1=8,d=-2. 因此{an}的通项公式为an=10-2n. (2)由(1)得a1=-4d, 故an=(n-5)d,Sn=. 由a1>0知d<0,故Sn≥an等价于≤n-5, 即n2-11n+10≤0,解得1≤n≤10, 所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N}. 10.(2018·全国Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=________. 解析 法一 因为Sn=2an+1,所以当n=1时,a1=2a1+1,解得a1=-1. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an+1-(2an-1+1), 所以an=2an-1,所以数列{an}是以-1为首项,2为公比的等比数列,所以an=-2n-1. 所以S6==-63. 法二 由Sn=2an+1,得S1=2S1+1,所以S1=-1,当n≥2时,由Sn=2an+1得Sn=2(Sn-Sn-1)+1,即Sn=2Sn-1-1,∴Sn-1=2(Sn-1-1),又S1-1=-2,∴{Sn-1}是首项为-2,公比为2的等比数列,所以Sn-1=-2×2n-1=-2n,所以Sn=1-2n,∴S6=1-26=-63. 答案 -63 11.(2017·全国Ⅲ卷)设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列的前n项和. 解 (1)因为a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,① 故当n≥2时,a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1),② ①-②得(2n-1)an=2,所以an=, 又n=1时,a1=2适合上式, 从而{an}的通项公式为an=. (2)记的前n项和为Sn, 由(1)知==-, 则Sn=++…+ =1-=. 12.(2019·天津卷)设{an}是等差数列,{bn}是等比数列,公比大于0.已知a1=b1=3,b2=a3,b3=4a2+3. (1)求{an}和{bn}的通项公式; (2)设数列{cn}满足cn=求a1c1+a2c2+…+a2nc2n(n∈N*). 解 (1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q(q>0). 依题意,得 解得 故an=3+3(n-1)=3n,bn=3×3n-1=3n. 所以{an}的通项公式为an=3n,{bn}的通项公式为bn=3n. (2)a1c1+a2c2+…+a2nc2n =(a1+a3+a5+…+a2n-1)+(a2b1+a4b2+a6b3+…+a2nbn) =+(6×31+12×32+18×33+… +6n×3n) =3n2+6(1×31+2×32+…+n×3n). 记Tn=1×31+2×32+…+n×3n,① 则3Tn=1×32+2×33+…+n×3n+1,② ②-①得,2Tn=-3-32-33-…-3n+n×3n+1 =-+n×3n+1=. 所以a1c1+a2c2+…+a2nc2n=3n2+6Tn =3n2+3× =(n∈N*). 13.(2019·广州)设数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=3an-3. (1)求{an}的通项公式; (2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Tn. 解 (1)因为2Sn=3an-3, 所以2Sn-1=3an-1-3(n≥2), 所以2an=3an-3an-1(n≥2),即=3(n≥2). 又2S1=3a1-3,所以a1=3. 则数列{an}是首项为3,公比为3的等比数列,故an=3n. (2)由(1)知bn====-, 所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=+++…+=1-=. 14.(2019·湖南)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,其面积S=,B=60°,a2+c2=2b2.在等差数列{an}中,a1=a,公差d=b.数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn-2bn+1=0,n∈N*. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)若cn=anbn,求数列{cn}的前n项和为Sn. 解 (1)由S=acsin 60°=,得ac=4. 根据余弦定理,得b2=a2+c2-2accos 60°,且a2+c2=2b2, ∴b2=2b2-4,则b2=4, 从而得a=b=c=2. ∴数列{an}的通项an=2+2(n-1)=2n, 又Tn-2bn+1=0,n∈N* 当n=1时,b1-2b1+1=0,b1=1, 当n≥2时,Tn-1-2bn-1+1=0,∴bn=2bn-1, 则{bn}是公比为2,首项为1的等比数列, 所以bn=2n-1. (2)cn=anbn=n·2n,Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn, Sn=1·21+2·22+3·23+…+(n-1)2n-1+n·2n, 2Sn=1·22+2·23+3·24+…+(n-1)2n+n·2n+1, 两式相减得-Sn=21+22+23+…+2n-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1, 所以Sn=(n-1)2n+1+2. 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页) HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com) " 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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  • ID:3-7034581 [精]必修5 二轮专题:三角函数与解三角形 历年高考真题汇编(原卷版+解析版)

    高中数学/人教新课标A版/必修5/第一章解三角形/本章综合与测试

    中小学教育资源及组卷应用平台 专题 三角函数与解三角形 历年高考真题汇编 1.(2018·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2α=,则|a-b|=(  ) A. B. C. D.1 2.(2019·全国Ⅱ卷)若x1=,x2=是函数f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点,则ω=(  ) A.2 B. C.1 D. 3.(2018·全国Ⅱ卷)若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]是减函数,则a的最大值是(  ) A. B. C. D.π 4.(2019·全国Ⅰ卷)函数f(x)=sin-3cos x的最小值为________. 5.(2018·全国Ⅰ卷改编)已知角θ的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,且终边经过点(a,2a)(a≠0),则cos 2θ=(  ) A.- B.- C. D. 6. (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则(  ) A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3 B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4 C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3 D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4 (2)设函数f(x)=cos,则下列结论错误的是(  ) A.f(x)的一个周期为-2π B.y=f(x)的图象关于直线x=对称 C.f(x+π)的一个零点为x= D.f(x)在上单调递减 7.(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)=的最小正周期为(  ) A. B. C.π D.2π 8.(全国卷)定义一种运算=ad-bc,将函数f(x)=的图象向左平移φ(φ>0)个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则φ的最小值是(  ) A. B. C. D. 9.(2019·全国Ⅱ卷)已知α∈,2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=(  ) A. B. C. D. 10.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC中,cos =,BC=1,AC=5,则AB=(  ) A.4 B. C. D.2 11.(2018·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. (1)求cos∠ADB; (2)若DC=2,求BC. 12.(2019·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin =bsin A. (1)求B; (2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围. 13. (2018·江苏卷)已知α,β为锐角,tan α=,cos(α+β)=-. (1)求cos 2α的值; (2)求tan(α-β)的值. 14. (2019浙江)已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin B-bcos A=0. (1)求角A的大小. (2)若a=2,b=2,求△ABC的面积. 15.(2019·全国Ⅲ卷)函数f(x)=2sin x-sin 2x在[0,2π]的零点个数为(  ) A.2 B.3 C.4 D.5 16.(2018·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为,则C=(  ) A. B. C. D. 17..(2019·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-,则=(  ) A.6 B.5 C.4 D.3 18.(2018·全国Ⅱ卷)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=________. 19.(2019·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin A+acos B=0,则B=________ 20. 已知向量a=,b=(-sin x,sin x),f(x)=a·b. (1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的最大值; (2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f=1,a=2,求△ABC面积的最大值并说明此时△ABC的形状. 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页) HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com) " 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 中小学教育资源及组卷应用平台 专题 三角函数与解三角形 历年高考真题汇编解析版 1.(2018·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2α=,则|a-b|=(  ) A. B. C. D.1 解析 由题意知cos α>0.因为cos 2α=2cos2α-1=,所以cos α=,sin α=±,得|tan α|=. 由题意知|tan α|=,所以|a-b|=. 答案 B 2.(2019·全国Ⅱ卷)若x1=,x2=是函数f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点,则ω=(  ) A.2 B. C.1 D. 解析 由题设知,函数f(x)的最小正周期T==2=π,解得ω=2. 答案 A 3.(2018·全国Ⅱ卷)若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]是减函数,则a的最大值是(  ) A. B. C. D.π 解析 f(x)=cos x-sin x=cos,且函数y=cos x在区间[0,π]上单调递减,则由0≤x+≤π,得-≤x≤.因为f(x)在[-a,a]上是减函数,所以 解得a≤. 所以00)个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则φ的最小值是(  ) A. B. C. D. 解析 f(x)=2cos x-2sin x=4cos, 依题意g(x)=f(x+φ)=4cos是偶函数(其中φ>0).∴+φ=kπ,k∈Z,则φmin=π. 答案 C 9.(2019·全国Ⅱ卷)已知α∈,2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=(  ) A. B. C. D. 解析 由2sin 2α=cos 2α+1,得4sin αcos α=2cos2α. 则2sin α=cos α,代入sin2α+cos2α=1,解得sin2α=, 又α∈,所以sin α=. 答案 B 10.(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC中,cos =,BC=1,AC=5,则AB=(  ) A.4 B. C. D.2 解析 由题意知cos C=2cos2 -1=2×-1=-.在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cos C=52+12-2×5×1×=32. 所以AB=4. 答案 A 11.(2018·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. (1)求cos∠ADB; (2)若DC=2,求BC. 解 (1)在△ABD中,由正弦定理得=,即=, 所以sin∠ADB=. 由题设知,0°<∠ADB<90°, 所以cos∠ADB==. (2)由题设及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=. 在△BCD中,由余弦定理得 BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC =25+8-2×5×2×=25. 所以BC=5. 12.(2019·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin =bsin A. (1)求B; (2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围. 解 (1)由题设及正弦定理得sin Asin=sin Bsin A. 因为sin A≠0,所以sin=sin B. 由A+B+C=180°,可得sin=cos, 故cos=2sincos. 因为cos≠0,所以sin=,所以B=60°. (2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=a. 由(1)知A+C=120°, 由正弦定理得a===+. 由于△ABC为锐角三角形,故0°

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  • ID:3-7032726 [精]【备考2020】高考数学二轮 选考系列4 专题提升测试(附答案解析)

    高中数学/高考专区/二轮专题

    中小学教育资源及组卷应用平台  选考系列4 专项训练测试题 1.在平面直角坐标系xOy中,⊙O的参数方程为(θ为参数),过点(0,-)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A,B两点. (1)求α的取值范围; (2)求AB中点P的轨迹的参数方程. 2.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρ1cos=2.已知点Q为曲线C1上的动点,点P在线段OQ上,且满足|OQ|·|OP|=4,动点P的轨迹为C2. (1)求C2的直角坐标方程; (2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△AOB面积的最大值. 3.已知曲线C的参数方程为(α为参数),以直角坐标系原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C的极坐标方程,并说明方程表示什么轨迹; (2)若直线l的极坐标方程为sin θ-cos θ=,求直线l被曲线C截得的弦长. 4.在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为 (t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ= 6cos θ. (1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程; (2)若点P的坐标为(-1,0),直线l交曲线C于A,B两点,求|PA|+|PB|的值. 不等式选讲 1.已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+3|. (1)解不等式f(x)≥6; (2)记f(x)的最小值是m,正实数a,b满足2ab+a+2b=m,求a+2b的最小值. 2.、已知函数f(x)=|x+2a-1|+(a>0). (1)若f(1)>2,求实数a的取值范围; (2)求证:f(x)≥2-1. 3.设函数f(x)=|x+a|+2a. (1)若不等式f(x)≤1的解集为{x|-2≤x≤4},求实数a的值; (2)在(1)的条件下,若不等式f(x)≥k2-k-4恒成立,求实数k的取值范围. 4.已知函数f(x)=|x+4|,不等式f(x)>8-|2x-2|的解集为M. (1)求M; (2)设a,b∈M,证明:f(ab)>f(2a)-f(-2b). 答案解析 1.解 (1)⊙O的直角坐标方程为x2+y2=1. 当α=时,l与⊙O交于两点,符合题意. 当α≠时,记tan α=k,则l的方程为y=kx-. l与⊙O交于两点,即点O到l的距离小于半径1,当且仅当<1, 解得k<-1或k>1,则α∈或α∈. 综上,α的取值范围是. (2)l的参数方程为(t为参数,<α<). 设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP, 则tP=,且tA,tB满足t2-2tsin α+1=0. 于是tA+tB=2sin α,tP=sin α. 又点P的坐标(x,y)满足 所以点P的轨迹的参数方程是 (α为参数,<α<). 2.解 (1)设点P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),Q的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0), 由题设,知|OP|=ρ,|OQ|=ρ1=, 由|OQ|·|OP|=4,得C2的极坐标方程为ρ=2cos(ρ>0), 因此C2的直角坐标方程为+=1,但不包括点(0,0). (2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0), 由题设知|OA|=2,ρB=2cos, 于是△AOB面积S=|OA|·ρB·sin ∠AOB =2cos· =2≤, 当α=0时,S可取得最大值, 所以△AOB面积的最大值为. 3.解 (1)因为曲线C的参数方程为 (α为参数), 所以曲线C的普通方程为(x-3)2+(y-1)2=10,① 将代入①并化简,得 ρ=6cos θ+2sin θ, 故曲线C的极坐标方程为ρ=6cos θ+2sin θ, 曲线C表示以C(3,1)为圆心,为半径的圆. (2)因为直线l的直角坐标方程为y-x=1, 所以圆心C到直线y=x+1的距离d=, 所以直线l被曲线C截得的弦长为2=2=. 4.解 (1)由消去参数t, 得直线l的普通方程为x-y+1=0. 又由ρ=6cos θ,得ρ2=6ρcos θ, 由 得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-6x=0. (2)将代入x2+y2-6x=0中, 得t2-4t+7=0,Δ=32-28>0, 则t1+t2=4,t1t2=7>0, 结合直线l的参数方程中t的几何意义可得 |PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4. 不等式选讲 1.解 (1)当x≤-时,f(x)=-2-4x, 由f(x)≥6,解得x≤-2; 当-0) 当02, 则2a2-3a+1>0,∴01时,f(1)=2a+1->2, 则2a2-a-1>0,∴a>1. 综上知实数a的取值范围是∪(1,+∞). (2)证明 f(x)=|x+2a-1|+ ≥=, 令φ(a)=2a+(a>0), 则φ(a)=2a+≥2=2, 当且仅当a=时,上式取等号, 因此f(x)≥≥2-1. 3.解 (1)因为|x+a|+2a≤1,所以|x+a|≤1-2a(1-2a>0), 所以2a-1≤x+a≤1-2a,所以a-1≤x≤1-3a. 因为不等式f(x)≤1的解集为{x|-2≤x≤4}, 所以解得a=-1,满足1-2a>0,故a=-1. (2)由(1)得f(x)=|x-1|-2. 不等式f(x)≥k2-k-4恒成立, 只需f(x)min≥k2-k-4, 所以-2≥k2-k-4,即k2-k-2≤0, 所以k的取值范围是[-1,2]. 4.(1)解 将f(x)=|x+4|代入不等式, 整理得|x+4|+|2x-2|>8. ①当x≤-4时,不等式转化为-x-4-2x+2>8, 解得x<-,所以x≤-4; ②当-48, 解得x<-2,所以-48, 解得x>2,所以x>2. 综上,M={x|x<-2或x>2}. (2)证明 因为f(2a)-f(-2b)=|2a+4|-|-2b+4|≤|2a+4+2b-4|=|2a+2b|, 所以要证f(ab)>f(2a)-f(-2b), 只需证|ab+4|>|2a+2b|, 即证(ab+4)2>(2a+2b)2, 即证a2b2+8ab+16>4a2+8ab+4b2, 即证a2b2-4a2-4b2+16>0, 即证(a2-4)(b2-4)>0, 因为a,b∈M,所以a2>4,b2>4, 所以(a2-4)(b2-4)>0成立, 所以原不等式成立. 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页) HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com) " 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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  • ID:3-7032682 [精]【备考2020】高考二轮 函数及函数的应用 客观题专题提升测试(附答案解析)

    高中数学/高考专区/二轮专题

    中小学教育资源及组卷应用平台 高考二轮复习 函数与函数的应用 客观题提升训练                     1.设函数y=的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B等于(  ) A.(1,2) B.(1,2] C.(-2,1) D.[-2,1) 2.函数f(x)=log(x2-2x-3)的单调递增区间是(  ) A.(3,+∞) B.(-∞,-1) C.(1,+∞) D.(-∞,1) 3已知函数f(x)对x∈R,恒有f(-x)+f(x)=0.且当x≥0时,f(x)=ex+m(m为常数),则f(-ln 5)的值为(  ) A.4 B.-4 C.6 D.-6 4.设f(x)是定义在[-2b,3+b]上的偶函数,且在[-2b,0]上为增函数,则f(x-1)≥f(3)的解集为(  ) A.[-3,3] B.[-2,4] C.[-1,5] D.[0,6] 5.已知a=log3 ,b=,c=log ,则a,b,c的大小关系为(  ) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 6.函数f(x)=的图象大致为(  ) INCLUDEPICTURE"18GS5.tif" 7.设函数f(x)=2|x|+x2-3,则函数y=f(x)的零点个数是(  ) A.4 B.3 C.2 D.1 8.若函数f(x)=为奇函数,g(x)=则不等式g(x)>1的解集是(  ) A.(-∞,0)∪ B.∪(0,1) C. D. 9.当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到,则它经过的“半衰期”个数至少是(  ) A.8 B.9 C.10 D.11 10.已知f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,a≠1),且f(1)=2,则f(x)在区间上的最大值为(  ) A.4 B.2 C.6 D.8 11.设函数f(x)= 若对任意的a∈R都有f[f(a)]=2f(a)成立,则λ的取值范围是(  ) A.(0,2] B.[0,2] C.[2,+∞) D.(-∞,2) 12.已知函数f(x)=3|x-k-1|+cos x的图象关于y轴对称,若函数g(x)恒满足g(k+x)+g(3-x)+2=0,则函数g(x)的图象的对称中心为(  ) A.(1,1) B.(2,-1) C.(2,1) D.(1,-1) 13.设偶函数g(x)=a|x+b|在(0,+∞)上单调递增,则g(a)与g(b-1)的大小关系是________. 14.若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当00,函数f(x)=的图象经过点P,Q.若2p+q=36pq,则a=________. 16.函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是________. 答案解析 1.解析 ∵4-x2≥0,∴-2≤x≤2,∴A=[-2,2]. ∵1-x>0,∴x<1,∴B=(-∞,1).∴A∩B=[-2,1). 答案 D 2.解析 由x2-2x-3>0,得x>3或x<-1. 设t=x2-2x-3, 则y=logt为减函数, ∵函数t=x2-2x-3的单调递减区间为(-∞,-1). ∴函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1). 答案 B 3.解析 由任意x∈R,f(-x)+f(x)=0,知函数f(x)为奇函数,由奇函数的性质得f(0)=e0+m=0,∴m=-1, 则当x≥0时,f(x)=ex-1, 故f(-ln 5)=-f(ln 5)=-(eln 5-1)=-4. 答案 B 4.解析 因为f(x)是定义在[-2b,3+b]上的偶函数, 所以有-2b+3+b=0,解得b=3, 由函数f(x)在[-6,0]上为增函数,得f(x)在(0,6]上为减函数.故f(x-1)≥f(3)?f(|x-1|)≥f(3)?|x-1|≤3,故-2≤x≤4. 答案 B 5.解析 log =log3-15-1=log35,因为函数y=log3x在(0,+∞)上为增函数,所以log35>log3 >log33=1,因为函数y=在(-∞,+∞)上为减函数,所以<=1,故c>a>b. 答案 D 6.解析 f(x)=是奇函数,图象关于原点对称,排除A;当x>0时,f(1)==e->2,排除C,D. 答案 B 7.解析 易知f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)=2x+x2-3, ∴x≥0时,f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(1)=0, ∴x=1是函数y=f(x)在(0,+∞)内唯一零点. 从而x=-1是y=f(x)在(-∞,0)内唯一零点. 故y=f(x)有两个零点. 答案 C 8.解析 因为函数f(x)=为奇函数,∴f(0)=0, ∴a=-1,则g(x)= 当x>0时,由-ln x>1,得01,即ex<1,得x<0. 故不等式g(x)>1的解集是(-∞,0)∪. 答案 A 9.解析 设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1,则经过n个“半衰期”后的含量为,由<,得n≥10. 所以,若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到,则它至少需要经过10个“半衰期”. 答案 C 10.解析 由f(1)=loga2+loga2=2,得a=2, ∴f(x)=log2(1+x)+log2(3-x)=log2[4-(x-1)2]. 当x∈[0,1]时,f(x)是增函数;当x∈时,f(x)是减函数, ∴当x=1时,f(x)在上有最大值f(1)=2. 答案 B 11.解析 当a≥1时,2a≥2. ∴f[f(a)]=f(2a)=22a=2f(a)恒成立,此时λ∈R. 当a<1时,f[f(a)]=f(-a+λ)=2f(a)=2λ-a, ∴λ-a≥1,即λ≥a+1恒成立,由题意λ≥(a+1)max, ∴λ≥2,综上,λ的取值范围是[2,+∞). 答案 C 12.解析 因为f(x)的图象关于y轴对称,所以函数f(x)为偶函数, 则f(-π)=f(π)?3|-π-k-1|=3|π-k-1|,|-π-k-1|=|π-k-1|,可得k=-1. 则g(k+x)+g(3-x)+2=0,即g(-1+x)+g(3-x)=-2. 根据满足g(a+x)+g(b-x)=c的函数g(x)的图象的对称中心为,得函数g(x)的图象的对称中心为(1,-1). 答案 D 13.解析 由于g(x)=a|x+b|是偶函数,知b=0, 又g(x)=a|x|在(0,+∞)上单调递增,得a>1. 则g(b-1)=g(-1)=g(1), 故g(a)>g(1)=g(b-1). 答案 g(a)>g(b-1) 14.解析 ∵f(x)是定义在R上的奇函数, ∴f(0)=0, 又f(x)在R上的周期为2, ∴f(2)=f(0)=0. 又f=f=-f=-4=-2, ∴f+f(2)=-2. 答案 -2 15.解析 因为f(x)==,且其图象经过点P,Q, 则f(p)==,即=-,① f(q)==-,即=-6,② ①×②得=1,则2p+q=a2pq=36pq, 所以a2=36,解得a=±6,因为a>0,所以a=6. 答案 6 16.解析 因为函数f(x)=2x--a在区间(1,2)上单调递增,又函数f(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则有f(1)·f(2)<0, 所以(-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,所以0

    • 2020-03-16
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