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  • ID:3-6781927 四川省成都市2020年高考数学一诊试卷试题(理科) 含解析

    高中数学/高考专区/模拟试题

    2020年四川省成都市高考数学一诊试卷(理科) 一、选择题(本题共12小题) 1.若复数z1与z2=﹣3﹣i(i为虚数单位)在复平面内对应的点关于实轴对称,则z1=(  ) A.﹣3i B.﹣3+i C.3+i D.3﹣i 2.已知集合A={﹣1,0,m},B={1,2},若A∪B={﹣1,0,1,2},则实数m的值为(  ) A.﹣1或0 B.0或1 C.﹣1或2 D.1或2 3.若,则tan2θ=(  ) A.﹣ B. C.﹣ D. 4.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试,测试结果发现这l00名同学的得分都在[50,100]内,按得分分成5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如图所示的频率分布直方图则这100名同学的得分的中位数为(  ) A.72.5 B.75 C.77.5 D.80 5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且an≠0,若a5=3a3,则=(  ) A. B. C. D. 6.已知α,β是空间中两个不同的平面,m,n是空间中两条不同的直线,则下列说法正确的是(  ) A.若m∥α,n∥β,且α∥β,则m∥n B.若m∥α,n∥β,且α⊥β,则m∥n C.若m⊥α,n∥β,且α∥β,则m⊥n D.若m⊥α,n∥β且α⊥β,则m⊥n 7.的展开式的常数项为(  ) A.25 B.﹣25 C.5 D.﹣5 8.将函数y=sin(4x﹣)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把所得图象向左平移个单位长度,得到函数f(x)的图象,则函数f(x)的解析式为(  ) A. B. C. D. 9.已知抛物线y2=4x的焦点为F,M,N是抛物线上两个不同的点.若|MF|+|NF|=5,则线段MN的中点到y轴的距离为(  ) A.3 B. C.5 D. 10.已知,则(  ) A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a 11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2﹣x)=f(2+x),当x≤2时,f(x)=(x﹣1)ex﹣1.若关于x的方程f(x)﹣kx+2k﹣e+1=0有三个不相等的实数根,则实数k的取值范围是(  ) A.(﹣2,0)∪(0,2) B.(﹣2,0)∪(2,+∞) C.(﹣e,0)∪(0,+∞) D.(﹣e,0)∪(0,e) 12.如图,在边长为2的正方形AP1P2P3中,线段BC的端点B,C分别在边P1P2,P2P3上滑动,且P2B=P2C=x.现将△AP1B,△AP3C分别沿AB,AC折起使点P1,P3重合,重合后记为点P,得到三棱锥P﹣ABC.现有以下结论: ①AP⊥平面PBC; ②当B,C分别为P1P2,P2P3的中点时,三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为6π; ③x的取值范围为(0,4﹣2); ④三棱锥P﹣ABC体积的最大值为. 则正确的结论的个数为(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上. 13.已知实数x,y满足约束条件,则z=x+2y的最大值为   . 14.设正项等比数列{an}满足a4=81,a2+a3=36,则an=   . 15.已知平面向量,满足||=2,||=,且⊥(﹣),则向量与的夹角的大小为   . 16.已知直线y=kx与双曲线C:(a>0,b>0)相交于不同的两点A,B,F为双曲线C的左焦点,且满足|AF|=3|BF|,|OA|=b(O为坐标原点),则双曲线C的离心率为   . 三、解答题:本大题共5小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且. (Ⅰ)求sinA的值; (Ⅱ)若△ABC的面积为,且sinB=3sinC,求△ABC的周长 18.某公司有l000名员工,其中男性员工400名,采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G手机购买意向的调查,将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”,计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人. (Ⅰ)完成下列2×2列联表,并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关; 属于“追光族” 属于“观望族” 合计 女性员工 男性员工 合计 100 (Ⅱ)已知被抽取的这l00名员工中有10名是人事部的员工,这10名中有3名属于“追光族”现从这10名中随机抽取3名,记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X,求X的分布列及数学期望. 附:K2=,其中n=a+b+c+d. P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AP⊥平面PBC,底面ABCD为菱形,且∠ABC=60°,E分别为BC的中点. (Ⅰ)证明:BC⊥平面PAE; (Ⅱ)若AB=2.PA=1,求平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值. 20.已知函数f(x)=(a﹣1)lnx+x+,a∈R. (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性; (Ⅱ)当a<﹣1时,证明?x∈(1,+∞),f(x)>﹣a﹣a2. 21.已知椭圆C:+y2=1的右焦点为F,过点F的直线(不与x轴重合)与椭圆C相交于A,B两点,直线l:x=2与x轴相交于点H,过点A作AD⊥l,垂足为D. (Ⅰ)求四边形OAHB(O为坐标原点)面积的取值范围; (Ⅱ)证明直线BD过定点E.并求出点E的坐标 请考生在第22,23题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.[选修4-4:坐标系与参数方程] 22.在平面直角坐标系xOy中,已知P是曲线C1:x2+(y﹣2)2=4上的动点,将OP绕点O顺时针旋转90°得到OQ,设点Q的轨迹为曲线C2以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求曲线C1,C2的极坐标方程; (Ⅱ)在极坐标系中,点M(3,),射线≥0)与曲线C1,C2分别相交于异于极点O的A,B两点,求△MAB的面积. [选修45:不等式选讲] 23.已知函数f(x)=|x﹣3|. (Ⅰ)解不等式f(x)≥4﹣|2x+l|; (Ⅱ)若=2(m>0,n>0),求证:m+n≥|x+|﹣f(x). 参考答案 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若复数z1与z2=﹣3﹣i(i为虚数单位)在复平面内对应的点关于实轴对称,则z1=(  ) A.﹣3i B.﹣3+i C.3+i D.3﹣i 【分析】由已知可得复数z1与z2=﹣3﹣i(i为虚数单位)的实部相等,虚部互为相反数,则z1可求. 解:∵复数z1与z2=﹣3﹣i(i为虚数单位)在复平面内对应的点关于实轴对称, ∴复数z1与z2=﹣3﹣i(i为虚数单位)的实部相等,虚部互为相反数, 则z1=﹣3+i. 故选:B. 2.已知集合A={﹣1,0,m},B={1,2},若A∪B={﹣1,0,1,2},则实数m的值为(  ) A.﹣1或0 B.0或1 C.﹣1或2 D.1或2 【分析】因为A∪B={﹣1,0,1,2},A,B本身含有元素﹣1,0,1,2,根据元素的互异性m≠﹣1,0,求出m即可. 解:集合A={﹣1,0,m},B={1,2},A∪B={﹣1,0,1,2}, 因为A,B本身含有元素﹣1,0,1,2,所以根据元素的互异性,m≠﹣1,0即可, 故m=1或2, 故选:D. 3.若,则tan2θ=(  ) A.﹣ B. C.﹣ D. 【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系,二倍角公式,求得要求式子的值. 解:若,则 tanθ=,则tan2θ==﹣, 故选:C. 4.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试,测试结果发现这l00名同学的得分都在[50,100]内,按得分分成5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如图所示的频率分布直方图则这100名同学的得分的中位数为(  ) A.72.5 B.75 C.77.5 D.80 【分析】由频率分布直方图求出[50,70)的频率为0.4,[70,80)的频率为0.4,由此能求出这100名同学的得分的中位数. 解:由频率分布直方图得: [50,70)的频率为:(0.010+0.030)×10=0.4, [70,80)的频率为:0.040×10=0.4, ∴这100名同学的得分的中位数为: 70+=72.5. 故选:A. 5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且an≠0,若a5=3a3,则=(  ) A. B. C. D. 【分析】将S9,S5转化为用a5,a3表达的算式即可得到结论. 解:依题意,==, 又=3, ∴=×3=, 故选:D. 6.已知α,β是空间中两个不同的平面,m,n是空间中两条不同的直线,则下列说法正确的是(  ) A.若m∥α,n∥β,且α∥β,则m∥n B.若m∥α,n∥β,且α⊥β,则m∥n C.若m⊥α,n∥β,且α∥β,则m⊥n D.若m⊥α,n∥β且α⊥β,则m⊥n 【分析】由考查空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案. 解:由m∥α,n∥β,且α∥β,得m∥n或m与n异面,故A错误; 由m∥α,n∥β,且α⊥β,得m∥n或m与n相交或m与n异面,故B错误; 由m⊥α,α∥β,得m⊥β,又n∥β,则m⊥n,故C正确; 由m⊥α,n∥β且α⊥β,得m∥n或m与n相交或m与n异面,故D错误. 故选:C. 7.的展开式的常数项为(  ) A.25 B.﹣25 C.5 D.﹣5 【分析】求出(x﹣)6的通项公式,考虑r=3,r=4时的系数,相加求和即可得到所求值. 解:(x﹣)6的通项公式为Tr+1=x6﹣r(﹣)r =(﹣1)rx6﹣2r,r=0,1,2,…,6, 则(x2+2)(x﹣)6的展开式的常数项须6﹣2r=0或者6﹣2r=﹣2?r=3或者r=4: ∴常数项为(﹣1)4+2×(﹣1)3=15﹣40=﹣25. 故选:B. 8.将函数y=sin(4x﹣)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把所得图象向左平移个单位长度,得到函数f(x)的图象,则函数f(x)的解析式为(  ) A. B. C. D. 【分析】直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果. 解:函数y=sin(4x﹣)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin(2x﹣)的图象, 再把所得图象向左平移个单位长度,得到函数f(x)=sin(2x+)的图象, 故选:A. 9.已知抛物线y2=4x的焦点为F,M,N是抛物线上两个不同的点.若|MF|+|NF|=5,则线段MN的中点到y轴的距离为(  ) A.3 B. C.5 D. 【分析】抛物线到焦点的距离转化为到准线的距离,可求出横坐标之和,进而求出中点的横坐标,求出结果即可. 解:由抛物线方程得,准线方程为:x=﹣1, 设M(x,y),N(x',y'), 由抛物线的性质得,MF+NF=x+x'+p=x+x'+2=5, 中点的横坐标为, 线段MN的中点到y轴的距离为:, 故选:B. 10.已知,则(  ) A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a 【分析】利用根式的运算性质、幂函数的单调性可得a,b的大小关系,利用对数函数的单调性即可得出c<1. 解:∵a==,b==,∴1<a<b. c=ln<1. ∴c<a<b. 故选:C. 11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2﹣x)=f(2+x),当x≤2时,f(x)=(x﹣1)ex﹣1.若关于x的方程f(x)﹣kx+2k﹣e+1=0有三个不相等的实数根,则实数k的取值范围是(  ) A.(﹣2,0)∪(0,2) B.(﹣2,0)∪(2,+∞) C.(﹣e,0)∪(0,+∞) D.(﹣e,0)∪(0,e) 【分析】本题根据题意先利用一阶导数分析当x≤2时,f(x)=(x﹣1)ex﹣1.的函数单调性及图象,然后根据f(2﹣x)=f(2+x)可知函数f(x)关于x=2对称.即可画出函数y=f(x)的大致图象.一次函数y=k(x﹣2)+e﹣1.很明显是恒过定点(2,e﹣1).则只要考查斜率k的变动情况,当k=e时,y=f(x)与y=k(x﹣2)+e﹣1正好在(1,﹣1)处相切,再根据数形结合法可得k的取值范围,当x>2时也同理可得. 解:由题意,当x≤2时,f(x)=(x﹣1)ex﹣1. f′(x)=xex. ①令f′(x)=0,解得x=0; ②令f′(x)<0,解得x<0; ③令f′(x)>0,解得0<x≤2. ∴f(x)在(﹣∞,0)上单调递减,在(0,2]上单调递增, 在x=0处取得极小值f(0)=﹣2.且f(1)=﹣1;x→﹣∞,f(x)→0. 又∵函数f(x)在R上满足f(2﹣x)=f(2+x), ∴函数f(x)的图象关于x=2对称. ∴函数y=f(x)的大致图象如下: 关于x的方程f(x)﹣kx+2k﹣e+1=0可转化为f(x)=k(x﹣2)+e﹣1. 而一次函数y=k(x﹣2)+e﹣1很明显是恒过定点(2,e﹣1). 结合图象,当k=0时,有两个交点,不符合题意, 当k=e时,有两个交点,其中一个是(1,﹣1).此时y=f(x)与y=k(x﹣2)+e﹣1正好相切. ∴当0<k<e时,有三个交点. 同理可得当﹣e<k<0时,也有三个交点. 实数k的取值范围为:(﹣e,0)∪(0,e). 故选:D. 12.如图,在边长为2的正方形AP1P2P3中,线段BC的端点B,C分别在边P1P2,P2P3上滑动,且P2B=P2C=x.现将△AP1B,△AP3C分别沿AB,AC折起使点P1,P3重合,重合后记为点P,得到三棱锥P﹣ABC.现有以下结论: ①AP⊥平面PBC; ②当B,C分别为P1P2,P2P3的中点时,三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为6π; ③x的取值范围为(0,4﹣2); ④三棱锥P﹣ABC体积的最大值为. 则正确的结论的个数为(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 【分析】根据折起形状的形成条件,分析各结论,即可判断真假. 解:折起后,△CP3A≌△CPA,故AP⊥PC. 同理,AP⊥PB,所以AP⊥平面PBC,①正确; 当B,C分别为P1P2,P2P3的中点时,PB=PC=1,BC=, 所以PB2+PC2=BC2,又AP⊥平面PBC, 所以PA,PB,PC两两垂直,所以三棱锥P﹣ABC的外接球与 以PA,PB,PC为长宽高的长方体的外接球半径相等. 设半径为r,所以(2r)2=22+12+12=6,S=4πr2=6π. 即三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为6π,②正确; 因为P2B=P2C=x,所以PB=PC=2﹣x,而BC=, 故2(2﹣x)>,解得x<4﹣2,③正确; 因为△PBC的面积为S== 设f(x)=x4﹣8x3+8x2, f′(x)=4x3﹣24x2+16x=4x(x2﹣6x+4) 当0<x<3﹣时,f′(x)>0,当3﹣<x<4﹣2时,f′(x)<0 fmax=f(3﹣)>f(1)=,所以S>. VP﹣ABC=VA﹣PBC=>,④错误. 故选:C. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上. 13.已知实数x,y满足约束条件,则z=x+2y的最大值为 6 . 【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求z的最大值. 解:作出实数x,y满足约束条件对应的平面区域如图:(阴影部分) 由z=x+2y得y=﹣x+z, 平移直线y=﹣x+z, 由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时,直线y=﹣x+z的截距最大, 此时z最大. 由,解得A(2,2), 代入目标函数z=x+2y得z=2×2+2=6 故答案为:6. 14.设正项等比数列{an}满足a4=81,a2+a3=36,则an= 3n . 【分析】将已知条件转化为基本量a1,q的方程组,解方程组得到a1,q,进而可以得到an. 解:依题意, 解得, ∴an==3?3n﹣1=3n, 故答案为:3n. 15.已知平面向量,满足||=2,||=,且⊥(﹣),则向量与的夹角的大小为  . 【分析】由题意利用两个向量垂直的性质,两个向量的数量积的定义,求出向量与的夹角的大小. 解:∵平面向量,满足||=2,=,且⊥(﹣), ∴?(﹣)=?﹣=0,∴=. 设向量与的夹角的大小为θ,则 2??cosθ=3, 求得 cosθ=,故θ=, 故答案为:. 16.已知直线y=kx与双曲线C:(a>0,b>0)相交于不同的两点A,B,F为双曲线C的左焦点,且满足|AF|=3|BF|,|OA|=b(O为坐标原点),则双曲线C的离心率为  . 【分析】取双曲线的右焦点F',连接AF',BF',可得四边形AF'BF为平行四边形,运用双曲线的定义和平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和,以及离心率公式可得所求值. 解:设|BF|=m,则|AF|=3|BF|=3m, 取双曲线的右焦点F',连接AF',BF', 可得四边形AF'BF为平行四边形, 可得|AF'|=|BF|=m,设A在第一象限,可得3m﹣m=2a,即m=a, 由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和, 可得(2b)2+(2c)2=2(a2+9a2), 化为c2=3a2,则e==. 故答案为:. 三、解答题:本大题共5小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且. (Ⅰ)求sinA的值; (Ⅱ)若△ABC的面积为,且sinB=3sinC,求△ABC的周长 【分析】(Ⅰ)由已知利用余弦定理可求cosA的值,进而根据同角三角函数基本关系式可求sinA的值. (Ⅱ)利用三角形的面积公式可求bc的值,由正弦定理化简已知等式可得b=3c,解得b,c的值,根据余弦定理可求a的值,即可求解三角形的周长. 解:(Ⅰ)∵, ∴由余弦定理可得2bccosA=bc, ∴cosA=, ∴在△ABC中,sinA==. (Ⅱ)∵△ABC的面积为,即bcsinA=bc=, ∴bc=6, 又∵sinB=3sinC,由正弦定理可得b=3c, ∴b=3,c=2,则a2=b2+c2﹣2bccosA=6, ∴a=, ∴△ABC的周长为2+3+. 18.某公司有l000名员工,其中男性员工400名,采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G手机购买意向的调查,将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”,计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人. (Ⅰ)完成下列2×2列联表,并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关; 属于“追光族” 属于“观望族” 合计 女性员工 男性员工 合计 100 (Ⅱ)已知被抽取的这l00名员工中有10名是人事部的员工,这10名中有3名属于“追光族”现从这10名中随机抽取3名,记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X,求X的分布列及数学期望. 附:K2=,其中n=a+b+c+d. P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【分析】(Ⅰ)根据题意,列出列联表,计算K2,查表判断即可; (Ⅱ)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,分布求出对应概率,列出分布列,求期望即可. 解:(Ⅰ)由题,2×2列联表如下: 属于“追光族” 属于“观望族” 合计 女性员工 20 40 60 男性员工 20 20 40 合计 40 60 100 ∵K2===≈2.778<3.841, ∴没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关; (Ⅱ)由题,随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3, P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==, ∴X的分布列为: X 0 1 2 3 P ∴E(X)=1×+2×+3×=. 19.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AP⊥平面PBC,底面ABCD为菱形,且∠ABC=60°,E分别为BC的中点. (Ⅰ)证明:BC⊥平面PAE; (Ⅱ)若AB=2.PA=1,求平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值. 【分析】(Ⅰ)根据菱形基本性质得BC⊥AE,再由线面垂直得BC⊥AP,故BC⊥平面PAE; (Ⅱ)建立如图所示空间直角坐标系,分别求出两平面的法向量即可 解:(Ⅰ)如图,连接AC, 因为底面ABCD为菱形,且∠ABC=60°,所以△ABC为正三角形, 因为E为BC的中点,所以BC⊥AE, 又因为AP⊥平面PBC,BC?平面PBC, 所以BC⊥AP, 因为AP∩AE=A,AP,AE?平面PAE, 所以BC⊥平面PAE; (Ⅱ)因为AP⊥平面PBC,PB?平面PBC,所以AP⊥PB, 又因为AB=2,PA=1,所以PB=, 由(Ⅰ)得BC⊥PE,又因为E为BC中点,所以PB=PC=,EC=1,所以PE=, 如图,过点P作BC的平行线PQ,则PQ,PE,PA两两互相垂直, 以P为坐标原点,的方向分别为xyz轴的正方形,建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz, 则P(0,0,0),A(0,0,1),B(,﹣1,0),C(,1,0),D(0,2,1), 设平面BAP的一个法向量=(x,y,z),又=(0,0,1),=(,﹣1,0), 由,得x﹣y=0,z=0,令x=1,则=(1,,0), 设平面CDP的一个法向量=(a,b,c),又=(,1,0),=(0,2,1), 由,得a+b=0,2y+z=0,令a=1,则=(1,﹣,2), 所以cos<>==﹣, 即平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值为. 20.已知函数f(x)=(a﹣1)lnx+x+,a∈R. (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性; (Ⅱ)当a<﹣1时,证明?x∈(1,+∞),f(x)>﹣a﹣a2. 【分析】(Ⅰ)先求出函数的导数,通过讨论a的范围,得到函数的单调区间; (Ⅱ)欲证明不等式f(x)>﹣a﹣a2成立,即证明﹣a﹣a2<(a﹣1)ln(﹣a)﹣a﹣1,设新函数h(x)=lnx﹣x+1(x≥1),利用其单调性求出h(x)≤h(1)=0, 进而得证. 解:(Ⅰ)f′(x)===, 因为x>0,a∈R, 所以当a≥0时,x+a>0,所以函数在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增; 当﹣1<a<0时,0<﹣a<1,函数f(x)在(0,﹣a)上单调递增,在(﹣a,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增; 当a=﹣1时,f′(x)=≥0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a<﹣1时,﹣a>1,函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,﹣a)上单调递减,在(﹣a,+∞)上单调递增; (Ⅱ)当a<﹣1时,由(Ⅰ)得,函数f(x)在(1,﹣a)上单调递减,在(﹣a,+∞)上单调递增; 函数f(x)在(1,+∞)上的最小值为f(﹣a)=(a﹣1)ln(﹣a)﹣a﹣1, 欲证明不等式f(x)>﹣a﹣a2成立,即证明﹣a﹣a2<(a﹣1)ln(﹣a)﹣a﹣1, 即证明a2+(a﹣1)ln(﹣a)﹣1>0, 因为a<﹣1,所以只需证明ln(﹣a)<﹣a﹣1, 令h(x)=lnx﹣x+1(x≥1),则h′(x)==≤0, 所以函数h(x)在[1,+∞)上单调递减,则有h(x)≤h(1)=0, 因为a<﹣1,所以﹣a>1, 所以h(﹣a)=ln(﹣a)+a+1<0,即当a<﹣1时,ln(﹣a)<﹣a﹣1成立, 所以当a<﹣1时,任意x∈(1,+∞),f(x)>﹣a﹣a2. 21.已知椭圆C:+y2=1的右焦点为F,过点F的直线(不与x轴重合)与椭圆C相交于A,B两点,直线l:x=2与x轴相交于点H,过点A作AD⊥l,垂足为D. (Ⅰ)求四边形OAHB(O为坐标原点)面积的取值范围; (Ⅱ)证明直线BD过定点E.并求出点E的坐标 【分析】(Ⅰ)由题意设直线AB的方程,带入椭圆整理设而不求得出纵坐标之和与之积,将四边形的面积分成2个三角形,底相同与纵坐标之差的绝对值之积的二分之一,然后又均值不等式可得面积的取值范围; (Ⅱ)由(Ⅰ)得,B,D的坐标,设直线BD 的方程,令纵坐标为零得横坐标是定值,即直线BD过定点. 解:(Ⅰ)由题意F(1,0),设直线AB的方程:x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),与抛物线联立(m2+2)y2+2my﹣1=0,因为△=4m2+4(m2+2)>0,y1+y2=﹣,y1y2=﹣,所以|y1﹣y2|==, 所以四边形OAHB的面积S=|OH|?|y1﹣y2|=|y1﹣y2|=,令t=≥1,S==≤,当且仅当t=1时,即m=0时取等号,所以0, 所以四边形OAHB的面积的取值范围为(0,,] (Ⅱ) B(x2,y2),D(2,y1),kBD=,所以直线BD的方程:y﹣y1=(x﹣2),令y=0,得x==由(Ⅰ)得,y1+y2=﹣,y1y2=﹣,所以y1+y2=2my1y2,化简得 x===, 所以直线BD过定点E(,0). 请考生在第22,23题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.[选修4-4:坐标系与参数方程] 22.在平面直角坐标系xOy中,已知P是曲线C1:x2+(y﹣2)2=4上的动点,将OP绕点O顺时针旋转90°得到OQ,设点Q的轨迹为曲线C2以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求曲线C1,C2的极坐标方程; (Ⅱ)在极坐标系中,点M(3,),射线≥0)与曲线C1,C2分别相交于异于极点O的A,B两点,求△MAB的面积. 【分析】(Ⅰ)由题意,点Q的轨迹是以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,写出其普通方程,再结合ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得曲线C1,C2的极坐标方程; (Ⅱ)在极坐标系中,设A,B的极径分别为ρ1,ρ2,求得|AB|=|ρ1﹣ρ2|,再求出M(3,)到射线≥0)的距离h=,代入三角形面积公式求△MAB的面积. 解:(Ⅰ)由题意,点Q的轨迹是以(2,0)为圆心,以2为半径的圆, 则曲线C2:(x﹣2)2+y2=4, ∵ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ, ∴曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ, 曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ; (Ⅱ)在极坐标系中,设A,B的极径分别为ρ1,ρ2, ∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|=4||=. 又∵M(3,)到射线≥0)的距离h=. ∴△MAB的面积S=. [选修45:不等式选讲] 23.已知函数f(x)=|x﹣3|. (Ⅰ)解不等式f(x)≥4﹣|2x+l|; (Ⅱ)若=2(m>0,n>0),求证:m+n≥|x+|﹣f(x). 【分析】(I)原不等式可化为:|x﹣3|≥4﹣|2x+1|,即|2x+1|+|x﹣3|≥4,分段讨论求出即可; (II)根据绝对值的性质求出|x+|﹣f(x)≤,m+n,证明即可. 解:(I)原不等式可化为:|x﹣3|≥4﹣|2x+1|,即|2x+1|+|x﹣3|≥4, 当x≤时,不等式﹣2x﹣1﹣x+3≥4,解得x,故x; 当﹣<x<3时,不等式2x+1﹣x+3≥4,解得x≥0,故0≤x<3; 当x≥3时,不等式2x+1+x﹣3≥4,解得x≥0,故x≥3; 综上,不等式的解集为(﹣∞,﹣]∪[0,+∞); (II)因为f(x)=|x﹣3|, 所以|x+|﹣f(x)=||x+|﹣|x﹣3|≤|x+﹣x+3|=,当且仅当(x+)(x+3)≥0,且|x+|≥|x﹣3|时,取等号, 又=2(m>0,n>0), 所以(m+n)()≥(1+2)2=9,当且仅当m=2n时,取得等号, 故m+n, 所以m+n≥|x+|﹣f(x)成立.

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  • ID:3-6781926 2019-2020学年天津一中高一第一学期期末数学试卷 含解析

    高中数学/人教A版(2019)/期末专区/高一上学期

    2019-2020学年高一(上)期末数学试卷 一、选择题(本题共10小题) 1.函数f(x)=ln(x+1)﹣的零点所在的大致区间是(  ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 2.设a=30.5,b=log32,c=cos,则(  ) A.c<b<a B.c<a<b C.a<b<c D.b<c<a 3.若θ∈[,],cos2θ=﹣则sinθ=(  ) A. B. C. D. 4.下列函数中,以为最小正周期的偶函数是(  ) A.y=sin2x+cos2x B.y=sin2xcos2x C.y=cos(4x+) D.y=sin22x﹣cos22x 5.在△ABC中,满足tanA?tanB>1,则这个三角形是(  ) A.正三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 6.已知tan(α+β)=,tan(β﹣)=,则tan(α+)的值等于(  ) A. B. C. D. 7.将函数y=的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是(  ) A. B. C. D. 8.函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图,此函数的解析式(  ) A.y=2sin (2x+) B.y=2sin (2x+) C.y=2sin () D.y=2sin (2x﹣) 9.对于函数f(x)=sin(2x+)的图象,①关于直线x=﹣对称;②关于点(,0)对称;③可看作是把y=sin2x的图象向左平移个单位而得到;④可看作是把y=sin(x+)的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的倍而得到.以上叙述正确的个数是(  ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.已知函数f(x)=sin2+sinωx﹣(ω>0),x∈R,若f(x)在区间(π,2π)内没有零点,则ω的取值范围是(  ) A.(0,] B.(0,]∪[,1) C.(0,] D.(0,]∪[,] 二.填空题(共6小题) 11.已知点P(x,3)是角θ终边上一点,且cosθ=﹣,则x的值为   . 12.已知<α<π,且cos()=﹣,则cosα的值为   . 13.已知一个扇形的弧长为πcm,其圆心角为,则这扇形的面积为   cm2. 14.已知函数f(x)=asinx+btanx﹣1(a,b∈R),若f(﹣2)=2018,则f(2)=   . 15.定义在R上的奇函数f(x)满足:对于任意x∈R有f(x+3)=﹣f(x).若tanα=2,则f(15sinαcosα)的值为   . 16.己知函数,g(x)=sinx+cosx+4,若对任意t∈[﹣3,3],总存在,使得f(t)+a≤g(s)(a>0)成立,则实数a的取值范围为   . 三、简答题(共4小题) 17.已知0<α<,sinα=. (Ⅰ)求tanα的值; (Ⅱ)求cos(2)的值; (Ⅲ)若0<β<且cos(α+β)=﹣,求sinβ的值. 18.已知﹣. (Ⅰ)求sinx﹣cosx的值. (Ⅱ)求的值. 19.已知函数; (1)求f(x)的定义域与最小正周期; (2)求f(x)在区间上的单调性与最值. 20.已知函数是定义在R上的奇函数, (1)求实数m的值; (2)如果对任意x∈R,不等式恒成立,求实数a的取值范围. 参考答案 一、选择题(共10小题) 1.函数f(x)=ln(x+1)﹣的零点所在的大致区间是(  ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 【分析】函数f(x)=ln(x+1)﹣的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反. 解:∵f(1)=ln(1+1)﹣2=ln2﹣2<0, 而f(2)=ln3﹣1>lne﹣1=0, ∴函数f(x)=ln(x+1)﹣的零点所在区间是 (1,2), 故选:B. 2.设a=30.5,b=log32,c=cos,则(  ) A.c<b<a B.c<a<b C.a<b<c D.b<c<a 【分析】首先根据所给的三个数字,按照对数函数和指数函数的性质进行比较,第一个数字第一个数字30.5>30=1,第二个数字=log31<log32<log33=1,第三个数字求出结果小于0,最后总结最后结果. 解:∵在,三个数字中, 第一个数字30.5>30=1, 第二个数字0=log31<log32<log33=1 第三个数字cos=﹣<0 故选:A. 3.若θ∈[,],cos2θ=﹣则sinθ=(  ) A. B. C. D. 【分析】根据余弦函数的倍角公式即可得到结论. 解:∵cos2θ=﹣=1﹣2sin2θ, ∴sin2θ=, ∵θ∈[,],∴sinθ=, 故选:B. 4.下列函数中,以为最小正周期的偶函数是(  ) A.y=sin2x+cos2x B.y=sin2xcos2x C.y=cos(4x+) D.y=sin22x﹣cos22x 【分析】根据三角函数的奇偶性和周期性分别进行判断即可得到结论. 解:函数y=sin2x+cos2x=sin(2x+)的周期为=π,且为非奇非偶函数; 函数y=sin2xcos2x=sin4x的周期为=,且为奇函数; 函数y=cos(4x+)=sin4x的周期为=,且为奇函数; 函数y=sin22x﹣cos22x=﹣cos4x的周期为=,且为偶函数; 故选:D. 5.在△ABC中,满足tanA?tanB>1,则这个三角形是(  ) A.正三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 【分析】由条件可得A、B都是锐角,tanA>0,tanB>0,再由 tan(A+B)=<0,可得A+B为钝角,C为锐角,由此得出结论. 解:∵在△ABC中,满足tanA?tanB>1,∴A、B都是锐角,tanA>0,tanB>0. 再由 tan(A+B)=<0,可得A+B为钝角,故由三角形内角和公式可得C为锐角. 综上可得这个三角形是锐角三角形. 故选:C. 6.已知tan(α+β)=,tan(β﹣)=,则tan(α+)的值等于(  ) A. B. C. D. 【分析】由于α+=(α+β)﹣(β﹣),利用两角差的正切即可求得答案. 解:∵tan(α+β)=,tan(β﹣)=, ∴tan(α+)=tan[(α+β)﹣(β﹣)]===. 故选:B. 7.将函数y=的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是(  ) A. B. C. D. 【分析】函数解析式提取2变形后,利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,利用平移规律得到平移后的解析式,根据所得的图象关于y轴对称,即可求出m的最小值. 解:y=cosx+sinx=2(cosx+sinx)=2sin(x+), ∴图象向左平移m(m>0)个单位长度得到y=2sin[(x+m)+]=2sin(x+m+), ∵所得的图象关于y轴对称, ∴m+=kπ+(k∈Z), 由于m>0,则m的最小值为. 故选:A. 8.函数y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图,此函数的解析式(  ) A.y=2sin (2x+) B.y=2sin (2x+) C.y=2sin () D.y=2sin (2x﹣) 【分析】由函数的最值求出A,由周期求出ω,把点(﹣,2)代入函数的解析式求出φ的值,从而求得此函数的解析式. 解:由函数的图象可得函数的最大值为2,最小值为﹣2,故有A=2. 再由函数的周期性可得 ==,解得ω=2. 把点(﹣,2)代入函数的解析式可得2sin[2×(﹣)+φ]=2,∴2×(﹣)+φ=2kπ+,k∈z,解得 φ=2kπ+,k∈z. 故函数的解析式为y=2sin (2x+2kπ+),k∈z,考查四个选项,A符合题意 故选:A. 9.对于函数f(x)=sin(2x+)的图象,①关于直线x=﹣对称;②关于点(,0)对称;③可看作是把y=sin2x的图象向左平移个单位而得到;④可看作是把y=sin(x+)的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的倍而得到.以上叙述正确的个数是(  ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【分析】利用正弦函数的图象和性质,函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得出结论. 解:对于函数f(x)=sin(2x+)的图象,令x=﹣,求得f(x)=0,不是最值,故①不正确; 令x=,求得f(x)=0,可得f(x)的图象关于点(,0)对称,故②正确; 把y=sin2x的图象向左平移个单位,得到y=sin(2x+)的图象,故③不正确; 把y=sin(x+)的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的倍, 得到函数f(x)=sin(2x+)的图象,故④正确, 故选:B. 10.已知函数f(x)=sin2+sinωx﹣(ω>0),x∈R,若f(x)在区间(π,2π)内没有零点,则ω的取值范围是(  ) A.(0,] B.(0,]∪[,1) C.(0,] D.(0,]∪[,] 【分析】函数f(x)=,由f(x)=0,可得=0,解得x=?(π,2π),因此ω?∪∪∪…=∪,即可得出. 解:函数f(x)=+sinωx﹣=+sinωx=, 由f(x)=0,可得=0, 解得x=?(π,2π), ∴ω?∪∪∪…=∪, ∵f(x)在区间(π,2π)内没有零点, ∴ω∈∪. 故选:D. 二.填空题(共6小题) 11.已知点P(x,3)是角θ终边上一点,且cosθ=﹣,则x的值为 ﹣4 . 【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义,求得x的值. 解:∵点P(x,3)是角θ终边上一点,且cosθ==﹣,∴x=﹣4, 故答案为:﹣4. 12.已知<α<π,且cos()=﹣,则cosα的值为  . 【分析】根据同角的三角函数的关系结合两角和的余弦公式即可求出. 解:∵<α<π, ∴<< ∵cos()=﹣, ∴sin()=, ∴cosα=cos[(α﹣)+]=cos(α﹣)cos﹣sin(α﹣)sin=﹣×﹣×=, 故答案为: 13.已知一个扇形的弧长为πcm,其圆心角为,则这扇形的面积为 2π cm2. 【分析】根据弧长公式求出对应的半径,然后根据扇形的面积公式求面积即可. 解:∵弧长为πcm的弧所对的圆心角为, ∴半径r==4, ∴这条弧所在的扇形面积为S=×π×4=2πcm2. 故答案为:2π. 14.已知函数f(x)=asinx+btanx﹣1(a,b∈R),若f(﹣2)=2018,则f(2)= ﹣2020 . 【分析】根据题意,求出f(﹣x)的解析式,进而可得f(x)+f(﹣x)=﹣2,结合f(2)的值,就是可得答案. 解:根据题意,函数f(x)=asinx+btanx﹣1,则f(﹣x)=asin(﹣x)+btan(﹣x)﹣1=﹣(asinx+btanx)﹣1, 则有f(x)+f(﹣x)=﹣2; 又由f(﹣2)=2018,则f(2)=﹣2020; 故答案为:﹣2020. 15.定义在R上的奇函数f(x)满足:对于任意x∈R有f(x+3)=﹣f(x).若tanα=2,则f(15sinαcosα)的值为 0 . 【分析】先求出函数的周期,然后根据同角三角函数关系求出15sinαcosα的值,利用周期性进行化简,最后根据奇函数的性质进行求解. 解:∵对于任意x∈R有f(x+3)=﹣f(x). ∴f(x+6)=f(x)即T=6 ∵tanα=2 ∴15sinαcosα=6即f(15sinαcosα)=f(6)=f(0) ∵定义在R上的奇函数f(x) ∴f(0)=0即f(15sinαcosα)=f(6)=f(0)=0 故答案为0 16.己知函数,g(x)=sinx+cosx+4,若对任意t∈[﹣3,3],总存在,使得f(t)+a≤g(s)(a>0)成立,则实数a的取值范围为 (0,2] . 【分析】求出f(x)和g(x)的值域,根据存在性和恒成立问题,求出a的范围. 解:对于函数f(x),当x≤0时,f(x)=,由﹣3≤x≤0,可得f(t)∈[﹣4,3], 当x>0时,f(x)=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,由0<x≤3,可得f(x)∈[0,4], ∴对任意t∈[﹣3,3],f(t)∈[﹣4,4], 对于函数g(x)=sinx+cosx+4=2sin(x+)+4, ∵x∈[0,],∴x+∈[,π], ∴g(x)∈[5,6], ∴对于s∈[0,],使得g(s)∈[5,6], ∵对任意t∈[﹣3,3],总存在s∈[0,],使得f(t)+a≤g(s)(a>0)成立, ∴a+4≤6, 解得0<a≤2, 故答案为:(0,2] 三、简答题(共4小题) 17.已知0<α<,sinα=. (Ⅰ)求tanα的值; (Ⅱ)求cos(2)的值; (Ⅲ)若0<β<且cos(α+β)=﹣,求sinβ的值. 【分析】(Ⅰ)根据同角的三角函数的关系即可求出, (Ⅱ)根据二倍角公式和两角差的余弦公式即可求出, (Ⅱ)根据同角的三角函数的关系结合两角差的正弦公式即可求出 解:(Ⅰ)∵0<α<,sinα=, ∴cosα==, ∴tanα==, (Ⅱ)∵sin2α=2sinαcosα=,cos2α=cos2α﹣sin2α=﹣ ∴cos(2)=(cos2α﹣sin2α)=(﹣﹣)=﹣, (Ⅲ)∵0<α<,0<β<, ∴0<α+β<π, ∵cos(α+β)=﹣, ∴sin(α+β)=, ∴sinβ=sin[(α+β)﹣α]=sin(α+β)cosα﹣cos(α+β)sinα= 18.已知﹣. (Ⅰ)求sinx﹣cosx的值. (Ⅱ)求的值. 【分析】(Ⅰ)由﹣<x<0可知x是第四象限角,从而sinx<0,cosx>0,由此可知sinx﹣cosx<0.再利用平方关系式求解.(sinx﹣cosx)2=(sinx+cosx)2﹣4sinxcosx.然后求解即可. (Ⅱ)利用二倍角公式以及切化弦,化简,利用第一问的结果,代入求值. 解:(Ⅰ)∵﹣<x<0,∴sinx<0,cosx>0,则sinx﹣cosx<0, 又sinx+cosx=,平方后得到 1+sin2x=, ∴sin2x=﹣∴(sinx﹣cosx )2=1﹣sin2x=, 又∵sinx﹣cosx<0, ∴sinx﹣cosx=﹣. (Ⅱ) = =(﹣cosx﹣sinx+2)sinxcosx = = 19.已知函数; (1)求f(x)的定义域与最小正周期; (2)求f(x)在区间上的单调性与最值. 【分析】(1)根据tanx有意义得出定义域;利用三角恒等变换化简f(x),得出f(x)的周期; (2)根据正弦函数的单调性求出f(x)的单调区间,根据单调性计算最值. 解:(1)由tanx有意义得x≠+kπ,k∈Z. ∴f(x)的定义域是, f(x)=4tanxcosxcos(x﹣)﹣=4sinxcos(x﹣)﹣=2sinxcosx+2sin2x﹣ =sin2x+(1﹣cos2x)﹣=sin2x﹣cos2x=2sin(2x﹣). ∴f(x)的最小正周期T==π. (2)令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ,解得﹣+kπ≤x≤+kπ,k∈Z. 令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z. [﹣+kπ,+kπ]∩[﹣,]=[﹣,], [+kπ,+kπ]∩[﹣,]=[﹣,﹣], ∴f(x)在上单调递增,在上单调递减, ∴f(x)的最小值为f(﹣)=﹣2, 又f(﹣)=﹣1,f()=1, ∴f(x)的最大值为f()=1. 20.已知函数是定义在R上的奇函数, (1)求实数m的值; (2)如果对任意x∈R,不等式恒成立,求实数a的取值范围. 【分析】(1)由奇函数性质f(﹣x)=﹣f(x),求得m; (2)先判断f(x)的单调性,再由f(x)奇函数化简不等式 最后变量分离可求得实数a的取值范围. 解:(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数, 所以f(﹣x)=﹣f(x),即, 即2m﹣2=0,即m=1. (2), 任取x1<x2,则f(x1)﹣f(x2)==, 因为x1<x2,所以,所以f(x1)﹣f(x2)<0, 所以函数f(x)在R上是增函数. 因为,且f(x)是奇函数. 所以, 因为f(x)在R上单调递增,所以, 即对任意x∈R都成立, 由于﹣cos2x﹣4sinx+7=(sinx﹣2)2+2,其中﹣1≤sinx≤1, 所以(sinx﹣2)2+2≥3,即最小值为3. 所以, 即,解得, 由,得. 故实数a的取值范围.

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  • ID:3-6781922 2019-2020学年湖北省部分重点中学高三第一学期期末数学试卷(理科) 含解析

    高中数学/期末专区/高三

    2019-2020学年高三(上)期末数学试卷(理科) 一、选择题(本题共12小题) 1.i2020=(  ) A.1 B.﹣1 C.i D.﹣i 2.已知集合A={x|0<log2x<2},B={y|y=3x+2,x∈R},则A∩B=(  ) A.(1,4) B.(2,4) C.(1,2) D.(1,+∞) 3.若a=ln2,,的大小关系为(  ) A.b<c<a B.b<a<c C.a<b<c D.c<b<a 4.当0<x<1时,则下列大小关系正确的是(  ) A.x3<3x<log3x B.3x<x3<log3 x C.log3 x<x3<3x D.log3 x<3x<x3 5.已知cos(﹣α)=2cos(π+α),且tan(α+β)=,则tanβ的值为(  ) A.﹣7 B.7 C.1 D.﹣1 6.将函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,则函数f(x)的一个单调减区间为(  ) A. B. C. D. 7.设向量=(1,﹣2),=(a,﹣1),=(﹣b,0),其中 O 为坐标原点,a>0,b>0,若 A,B,C 三点共线,则+的最小值为(  ) A.4 B.6 C.8 D.9 8.若数列{an}满足﹣=d(n∈N*,d为常数),则称数列{an}为调和数列.已知数列{}为调和数列,且x1+x2+…+x20=200,则x5+x16=(  ) A.10 B.20 C.30 D.40 9.设函数f(x)=x2+2cosx,x∈[﹣1,1],则不等式f(x﹣1)>f(2x)的解集为(  ) A.(﹣1,) B.[0,) C.(] D.[0,] 10.设椭圆的左焦点为F,在x轴上F的右侧有一点A,以FA为直径的圆与椭圆在x轴上方部分交于M、N两点,则的值为(  ) A. B. C. D. 11.已知向量、、满足,,,E、F分别是线段BC、CD的中点.若,则向量与向量的夹角为(  ) A. B. C. D. 12.已知变量x1,x2∈(0,m)(m>0),且x1<x2,若x1<x2恒成立,则m的最大值为(  ) A.e B. C. D.1 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在答题卡横线上. 13.已知数列{an}满足a1=1,前n项和未sn,且sn=2an(n≥2,n∈N*),则{an}的通项公式an=   . 14.已知边长为3的正△ABC三个顶点都在球O的表面上,且OA与平面ABC所成的角为30°,则球O的表面积为   . 15.公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图,发现0.618就是黄金分割,这是一个伟大的发现,这一数值也表示为a=2sin18°,若a2+b=4,则=   . 16.如图,已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的右顶点为A,O为坐标原点,以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P,Q,若∠PAQ=60°,且=3,则双曲线的离心率为   . 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共70分 17.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c满足. (1)求A. (2)若△ABC的面积,求△ABC的周长. 18.棋盘上标有第0,1,2,…,100站,棋子开始时位于第0站,棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏.若掷出正面,棋子向前跳出一站;若掷出反面,棋子向前跳出两站,直到跳到第99站或第100站时,游戏结束.设棋子跳到第n站的概率为Pn. (1)当游戏开始时若抛掷均匀硬币3次后求棋手所走站数之和X的分布列与数学期望; (2)证明: (3)求P99,P100的值. 19.如图,已知平面BCC1B1是圆柱的轴截面(经过圆柱的轴截面)BC是圆柱底面的直径,O为底面圆心,E为母线CC1的中点,已知AB=AC=AA1=4 (1)求证:B1O⊥平面AEO (2)求二面角B1﹣AE﹣O的余弦值. 20.椭圆C焦点在y轴上,离心率为,上焦点到上顶点距离为2﹣. (Ⅰ)求椭圆C的标准方程; (Ⅱ)直线l与椭圆C交与P,Q两点,O为坐标原点,△OPQ的面积S△OPQ=1,则||2+||2是否为定值,若是求出定值;若不是,说明理由. 21.已知函数f(x)=excosx﹣xsinx,g(x)=sinx﹣ex,其中e为自然对数的底数. (1)?x1∈[﹣,0],?x2∈[0,],使得不等式f(x1)≤m+g(x2)成立,试求实数m的取值范围; (2)若x>﹣1,求证:f(x)﹣g(x)>0. (二)选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分) 22.在平面直角坐标系中,已知直线l的参数方程为(t为参数),以原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程ρ=4cosθ. (1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程; (2)直线l与曲线C交于A、B两点,点P(1,2),求|PA|+|PB|的值. [选修4-5:不等式选讲](本小题满分0分) 23.已知函数f(x)=|2x+1|+|x﹣4|. (1)解不等式f(x)≤6; (2)若不等式f(x)+|x﹣4|<a2﹣8a有解,求实数a的取值范围. 参考答案 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确的选项填涂在答题卡上) 1.i2020=(  ) A.1 B.﹣1 C.i D.﹣i 【分析】直接利用虚数单位i的运算性质求解. 解:i2020=i4×505=(i4)505=1. 故选:A. 2.已知集合A={x|0<log2x<2},B={y|y=3x+2,x∈R},则A∩B=(  ) A.(1,4) B.(2,4) C.(1,2) D.(1,+∞) 【分析】求出A中不等式的解集确定出A,求出B中y的范围确定出B,找出两集合的交集即可. 解:由A中不等式变形得:log21=0<log2x<2=log24,即1<x<4, ∴A=(1,4), 由B中y=3x+2>2,得到B=(2,+∞), 则A∩B=(2,4), 故选:B. 3.若a=ln2,,的大小关系为(  ) A.b<c<a B.b<a<c C.a<b<c D.c<b<a 【分析】利用对数函数的性质,判断a>,b<,利用定积分的性质求得c=,即可判断a、b和c的大小. 解:a=ln2>ln=,=<,== ∴a>c>b, 故选:A. 4.当0<x<1时,则下列大小关系正确的是(  ) A.x3<3x<log3x B.3x<x3<log3 x C.log3 x<x3<3x D.log3 x<3x<x3 【分析】利用指数函数与对数函数、幂函数的单调性即可得出. 解:∵0<x<1,∴log3x<0<x3<1<3x, ∴log3x<x3<3x, 故选:C. 5.已知cos(﹣α)=2cos(π+α),且tan(α+β)=,则tanβ的值为(  ) A.﹣7 B.7 C.1 D.﹣1 【分析】由题意利用诱导公式求得tanα的值,再利用两角和的正切公式,求得tanβ的值. 解:∵已知cos(﹣α)=2cos(π+α),即 sinα=﹣2cosα,即 tanα=﹣2. 又∵tan(α+β)===,则tanβ=7, 故选:B. 6.将函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,则函数f(x)的一个单调减区间为(  ) A. B. C. D. 【分析】首先利用三角函数的平移变换的应用和正弦型函数的整体思想的应用求出结果. 解:函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象, 即:把函数的图象,向左平移个单位,即得到f(x)的图象, 故:=sin(2x+), 令:(k∈Z), 解得:(k∈Z), 当k=0时,, 由于:, 故选:A. 7.设向量=(1,﹣2),=(a,﹣1),=(﹣b,0),其中 O 为坐标原点,a>0,b>0,若 A,B,C 三点共线,则+的最小值为(  ) A.4 B.6 C.8 D.9 【分析】利用向量共线定理可得:2a+b=1.再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出. 解:=(a﹣1,1),=(﹣b﹣1,2), ∵A,B,C 三点共线,∴2(a﹣1)﹣(﹣b﹣1)=0,化为:2a+b=1. 又a>0,b>0,则+=(2a+b)=4++≥4+2=8,当且仅当b=2a=时取等号. 故选:C. 8.若数列{an}满足﹣=d(n∈N*,d为常数),则称数列{an}为调和数列.已知数列{}为调和数列,且x1+x2+…+x20=200,则x5+x16=(  ) A.10 B.20 C.30 D.40 【分析】由题意知道,本题是构造新等差数列的问题,经过推导可知{xn}是等差数列,运用等差数列的性质可求解答案. 解:由题意知: ∵数列{}为调和数列 ∴﹣=xn+1﹣xn=d ∴{xn}是等差数列 又∵x1+x2+…+x20=200= ∴x1+x20=20 又∵x1+x20=x5+x16 ∴x5+x16=20 故选:B. 9.设函数f(x)=x2+2cosx,x∈[﹣1,1],则不等式f(x﹣1)>f(2x)的解集为(  ) A.(﹣1,) B.[0,) C.(] D.[0,] 【分析】根据条件判断函数的奇偶性和单调性,利用函数奇偶性和单调性进行转化求解即可. 解:函数f(﹣x)=(﹣x)2+2cos(﹣x)=x2+2cosx=f(x), 则函数f(x)是偶函数, 函数的导数f′(x)=2x﹣2sinx=2(x﹣sinx), [f′(x)]′=2﹣2cosx≥0,即f′(x)在[﹣1,1]是为增函数, 则当0≤x≤1时,f′(x)≥f′(0)=0,即f(x)在[0,1]上为增函数, 则不等式f(x﹣1)>f(2x)等价为f(|x﹣1|)>f(|2x|), 得得,得得, 得0≤x<, 又 即不等式的解集为[0,), 故选:B. 10.设椭圆的左焦点为F,在x轴上F的右侧有一点A,以FA为直径的圆与椭圆在x轴上方部分交于M、N两点,则的值为(  ) A. B. C. D. 【分析】若以FA为直径的圆与椭圆大x轴上方的部分交于短轴端点,则M、N重合(设为M),此时A为椭圆的右焦点,由此可知=,从而能够得到结果. 解:若以FA为直径的圆与椭圆大x轴上方的部分交于短轴端点, 则M、N重合(设为M),此时A为椭圆的右焦点,则 ==. 故选:A. 11.已知向量、、满足,,,E、F分别是线段BC、CD的中点.若,则向量与向量的夹角为(  ) A. B. C. D. 【分析】由题意画出图形,结合求得,从而向量与向量的夹角为. 解:如图 =. 由,,可得 ∴cos=,则, 从而向量与向量的夹角为. 故选:A. 12.已知变量x1,x2∈(0,m)(m>0),且x1<x2,若x1<x2恒成立,则m的最大值为(  ) A.e B. C. D.1 【分析】在不等式两边同时取对数,然后构造函数f(x)=,求函数的导数,研究函数的单调性即可得到结论. 解:对不等式两边同时取对数得lnx1<lnx2, 即x2lnx1<x1lnx2, 即<恒成立, 设f(x)=,x∈(0,m), ∵x1<x2,f(x1)<f(x2),则函数f(x)在(0,m)上为增函数, 函数的导数f′(x)==, 由f′(x)>0得1﹣lnx>0得lnx<1, 得0<x<e, 即函数f(x)的最大增区间为(0,e), 则m的最大值为e 故选:A. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在答题卡横线上. 13.已知数列{an}满足a1=1,前n项和未sn,且sn=2an(n≥2,n∈N*),则{an}的通项公式an=  . 【分析】由已知可得数列{an}满足a1=1,从第二项开始,数列{an}成以1为首项以2为公比的等比数列,进而得到答案. 解:当n≥2时,sn=2an,……① 令n=2,则s2=a1+a2=1+a2=2a2,故a2=1, 令n≥3,则sn﹣1=2an﹣1,……② ①﹣②得:an=2an﹣2an﹣1, 即an=2an﹣1, 即从第二项开始,数列{an}成以1为首项以2为公比的等比数列, 故an=, 故答案为:. 14.已知边长为3的正△ABC三个顶点都在球O的表面上,且OA与平面ABC所成的角为30°,则球O的表面积为 16π . 【分析】求出边长为3的正△ABC的外接圆的半径,利用OA与平面ABC所成的角为30°,求出球O的半径,即可求出球O的表面积. 解:边长为3的正△ABC的外接圆的半径为=, ∵OA与平面ABC所成的角为30°, ∴球O的半径为=2, ∴球O的表面积为4πR2=16π. 故答案为:16π. 15.公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图,发现0.618就是黄金分割,这是一个伟大的发现,这一数值也表示为a=2sin18°,若a2+b=4,则=  . 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求b=4cos218°,然后利用降幂公式,诱导公式,二倍角的正弦函数公式化简得答案. 解:∵a=2sin18°,若a2+b=4, ∴b=4﹣a2=4﹣4sin218°=4(1﹣sin218°)=4cos218°, ∴===, 故答案为:. 16.如图,已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的右顶点为A,O为坐标原点,以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P,Q,若∠PAQ=60°,且=3,则双曲线的离心率为  . 【分析】确定△QAP为等边三角形,设AQ=2R,则OP=R,利用勾股定理,结合余弦定理,即可得出结论 解:因为∠PAQ=60°且=3, 所以△QAP为等边三角形, 设AQ=2R,则OP=R, 渐近线方程为y=x,A(a,0),取PQ的中点M,则AM= 由勾股定理可得(2R)2﹣R2=()2, 所以(ab)2=3R2(a2+b2)① 在△OQA中,=,所以7R2=a2② ①②结合c2=a2+b2,可得e==. 故答案为: 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共70分 17.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c满足. (1)求A. (2)若△ABC的面积,求△ABC的周长. 【分析】(1)结合已知及正弦定理进行化简可求cosA,进而可求A, (2)结合三角形的面积公式可求bc,然后结合余弦定理可求b+c,进而可求. 解:(1), 由正弦定理可得:,∴, ∴,且A∈(0,π), ∴, (2), ∴bc=12, 又a2=b2+c2﹣2bcosA,∴9=(b+c)2﹣3bc, ∴, 即△ABC的周长为. 18.棋盘上标有第0,1,2,…,100站,棋子开始时位于第0站,棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏.若掷出正面,棋子向前跳出一站;若掷出反面,棋子向前跳出两站,直到跳到第99站或第100站时,游戏结束.设棋子跳到第n站的概率为Pn. (1)当游戏开始时若抛掷均匀硬币3次后求棋手所走站数之和X的分布列与数学期望; (2)证明: (3)求P99,P100的值. 【分析】(1)由题意得X的可能取值为3,4,5,6,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列和数学期望. (2)棋子先跳到第n﹣2站,再掷出反面,其概率为,棋子先跳到第n﹣1站,再掷出正面,其概率为,从而,由此能证明.. (3)数列{Pn﹣Pn﹣1}(n≥1)是首项为{Pn﹣Pn﹣1}(n≥1),,公比为的等比数列.从而,由此能求出P99,P100的值. 解:(1)解:由题意得X的可能取值为3,4,5,6, P(X=3)=()3=, P(X=4)==, P(X=5)==, P(X=6)=()3=. ∴X的分布列如下: X 3 4 5 6 P ∴. (2)证明:棋子先跳到第n﹣2站,再掷出反面,其概率为, 棋子先跳到第n﹣1站,再掷出正面,其概率为, ∴,即, ∴.. (3)解:由(2)知数列{Pn﹣Pn﹣1}(n≥1)是首项为{Pn﹣Pn﹣1}(n≥1), ,公比为的等比数列. ∴, 由此得到, 由于若跳到第99站时,自动停止游戏, 故. 19.如图,已知平面BCC1B1是圆柱的轴截面(经过圆柱的轴截面)BC是圆柱底面的直径,O为底面圆心,E为母线CC1的中点,已知AB=AC=AA1=4 (1)求证:B1O⊥平面AEO (2)求二面角B1﹣AE﹣O的余弦值. 【分析】(1)依题意可知,AA1⊥平面ABC,∠BAC=90°,建立空间直角坐标系A﹣xyz,利用向量法能证明B1O⊥平面AEO. (2)求出平面AEO的法向量和平面B1AE的法向量,利用向量法能求出二面角B1﹣AE﹣F的余弦值. 【解答】证明:(1)依题意可知,AA1⊥平面ABC,∠BAC=90°, 如图建立空间直角坐标系A﹣xyz,因为AB=AC=AA1=4, 则A(0,0,0),B(4,0,0),E(0,4,2),B1(4,0,4),C(0,4,0),O(2,2,0), =(﹣2,2,﹣4),=(2,﹣2,﹣2),=(2,2,0), ?=(﹣2)×2+2×(﹣2)+(﹣4)×(﹣2)=0, ∴⊥,∴B1O⊥EO, =(﹣2)×2+2×2+(﹣4)×0=0,∴⊥,∴B1O⊥AO, ∵AO∩EO=O,AO,EO?平面AEO, ∴B1O⊥平面AEO. (2)由(1)知,平面AEO的法向量为=(﹣2,2,﹣4), 设平面 B1AE的法向量为=(x,y,z), , 则,令x=2,则=(2,2,﹣2), ∴cos<>===, ∴二面角B1﹣AE﹣F的余弦值为. 20.椭圆C焦点在y轴上,离心率为,上焦点到上顶点距离为2﹣. (Ⅰ)求椭圆C的标准方程; (Ⅱ)直线l与椭圆C交与P,Q两点,O为坐标原点,△OPQ的面积S△OPQ=1,则||2+||2是否为定值,若是求出定值;若不是,说明理由. 【分析】(Ⅰ)运用椭圆的离心率公式和两点的距离公式,及a,b,c的关系,解得a,b,进而得到椭圆方程; (Ⅱ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),讨论直线l的斜率不存在和存在,设出直线方程,代入椭圆方程,运用韦达定理和判别式大于0,结合三角形的面积公式,点到直线的距离公式和弦长公式,化简整理,即可得到所求和为定值5. 解:(Ⅰ)由题意可得, 解得, 可得b2=a2﹣c2=1, 即有椭圆C的标准方程为:; (Ⅱ)设P(x1,y1),Q(x2,y2) (1)当l斜率不存在时,P,Q两点关于x轴对称, S△OPQ=|x1|?|y1|=1, 又,解得, ||2+||2=2(x12+y12)=2×(+2)=5; (2)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m, 由题意知m≠0,将其代入,得 (k2+4)x2+2kmx+m2﹣4=0, 即有, 则,O到PQ距离, 则, 解得k2+4=2m2,满足△>0, 则, 即有||2+||2=(x12+y12)(x22+y22) = ==﹣3+8=5, 综上可得||2+||2为定值5. 21.已知函数f(x)=excosx﹣xsinx,g(x)=sinx﹣ex,其中e为自然对数的底数. (1)?x1∈[﹣,0],?x2∈[0,],使得不等式f(x1)≤m+g(x2)成立,试求实数m的取值范围; (2)若x>﹣1,求证:f(x)﹣g(x)>0. 【分析】(1)根据题意便知,f(x)max≤m+g(x)max,这样可根据导数求f(x),g(x)的最大值:求导数f′(x),容易说明f′(x)>0,从而可以得出f(x)在上单调递增,从而可求出最大值为1;同样的办法,求,可设h(x)=g′(x),再求导便可得出h(x)<0在上恒成立,从而得出g(x)单调递减,从而可以得出最大值为g(0)=,从而便可得到1,这样便可得出实数m的取值范围; (2)先求出f(x)﹣g(x)=,根据导数可以证明ex≥x+1,而显然恒成立,从而有,而根据两角和的余弦公式即可说明(x+1)(cosx+)﹣sinx(x+1)≥0,并且可以看出这个等号和前面不等式的等号不同时取到,从而便证出f(x)﹣g(x)>0. 解:(1)f′(x)=excosx﹣exsinx﹣sinx﹣xcosx; ∵; ∴cosx≥0,sinx≤0,ex>0; ∴excosx﹣exsinx﹣sinx﹣xcosx>0; 即f′(x)>0; ∴f(x)在上单调递增; ∴f(x)的最大值为f(0)=1; ,设h(x)=g′(x),则:; ∵; ∴; ∴h′(x)<0; ∴h(x)在[0,]上单调递减; ∴h(x)的最大值为h(0)=; ∴h(x)<0,即g′(x)<0; ∴g(x)在[0,]上单调递减; ∴g(x)的最大值为g(0)=; 根据题意知,f(x)max≤m+g(x)max; ∴; ∴; ∴实数m的取值范围为; (2); 设F(x)=ex﹣(x+1),则F′(x)=ex﹣1; ∴x∈(﹣1,0)时,F′(x)<0,x∈(0,+∞)时,F′(x)>0; ∴F(x)在(﹣1,+∞)上的最小值为F(0)=0; ∴F(x)≥0; ∴ex≥x+1在x∈(﹣1,+∞)上恒成立; ; ∴①,x=0时取“=”; ∴; ==; ; ∴,该不等式和不等式①等号不能同时取到; ∴; ∴f(x)﹣g(x)>0. (二)选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分) 22.在平面直角坐标系中,已知直线l的参数方程为(t为参数),以原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程ρ=4cosθ. (1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程; (2)直线l与曲线C交于A、B两点,点P(1,2),求|PA|+|PB|的值. 【分析】(1)由直线l的参数方程,能求出l的普通方程;由曲线C的极坐标方程,能求出曲线C的直角坐标方程. (2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,得,由此能求出|PA|+|PB|的值. 解:(1)∵直线l的参数方程为(t为参数), 由得, ∴l的普通方程为:, ∵C的极坐标方程是ρ=4cosθ, ∴ρ2=4ρcosθ,∴x2+y2=4x, ∴C的直角坐标方程为:x2+y2﹣4x=0. (2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,得: , ∴, ∴,∴t1,t2同号, ∴. [选修4-5:不等式选讲](本小题满分0分) 23.已知函数f(x)=|2x+1|+|x﹣4|. (1)解不等式f(x)≤6; (2)若不等式f(x)+|x﹣4|<a2﹣8a有解,求实数a的取值范围. 【分析】(1)利用分段讨论法去掉绝对值,求出不等式f(x)≤6的解集; (2)利用绝对值不等式求出f(x)+|x﹣4|的最小值,问题化为关于a的不等式,求解集即可. 解:(1)由已知得当时,不等式f(x)≤6化为﹣3x+3≤6, 解得x≥﹣1,所以取; 当时,不等式f(x)≤6化为x+5≤6, 解得x≤1,所以取; 当x>4时,不等式f(x)≤6化为3x﹣3≤6, 解得x≤3,不合题意,舍去; 综上知,不等式f(x)≤6的解集为[﹣1,1]. (2)由题意知,f(x)+|x﹣4|=|2x+1|+|2x﹣8|≥|(2x+1)﹣(2x﹣8)|=9, 当且仅当﹣≤x≤4时取等号; 由不等式f(x)+|x﹣4|<a2﹣8a有解,则a2﹣8a>9, 即(a﹣9)(a+1)>0,解得a<﹣1或a>9; 所以a的取值范围是(﹣∞,﹣1)∪(9,+∞).

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  • ID:3-6781920 2019-2020学年西藏拉萨中学高一第一学期(上)期末数学试卷 含解析

    高中数学/期末专区/高一上册

    2019-2020学年拉萨中学高一(上)期末数学试卷 一、选择题(本题共12小题) 1.下列几何体中是棱柱的有(  ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.已知点A(3,2),B(0,﹣1),则直线AB的倾斜角为(  ) A.30° B.45° C.60° D.120° 3.下列命题正确的是(  ) A.在空间中两条直线没有公共点,则这两条直线平行 B.一条直线与一个平面可能有无数个公共点 C.经过空间任意三点可以确定一个平面 D.若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 4.已知直线l1:2x+y﹣2=0,l2:ax+4y+1=0,若l1∥l2,则a的值为(  ) A.8 B.2 C.﹣ D.﹣2 5.如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,直线AB1与BC1所成角为(  ) A.30° B.45° C.60° D.90° 6.根据表中的数据,可以断定方程ex﹣x﹣2=0的一个根所在的区间是(  ) x ﹣1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 A.(﹣1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 7.已知幂函数y=f(x)的图象过,则可以求出幂函数y=f(x)是(  ) A. B.f(x)=x2 C. D. 8.在空间四边形ABCD的各边AB,BC,CD,DA上依次取点E,F,G,H,若EH、FG所在直线相交于点P,则(  ) A.点P必在直线AC上 B.点P必在直线BD上 C.点P必在平面DBC外 D.点P必在平面ABC内 9.复利是一种计算利息的方法.即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,再计算下一期的利息.某同学有压岁钱1000元,存入银行,年利率为2.25%;若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝,年利率可达4.01%.如果将这1000元选择合适方式存满5年,可以多获利息(  )元. (参考数据:1.02254=1.093,1.02255=1.117,1.04014=1.170,1.04015=1.217) A.176 B.104.5 C.77 D.88 10.如图,已知△OAB的直观图△O'A'B'是一个直角边长是1的等腰直角三角形,那么△OAB的面积是(  ) A. B. C.1 D. 11.表面积为24的正方体的顶点都在同一个球面上,则该球的表面积是(  ) A.12π B.8π C. D.4π 12.函数f(x)=lg(|x|﹣1)的大致图象是(  ) A. B. C. D. 二、填空题(每小题5分,共计20分) 13.直线3x+2y+5=0在x轴上的截距为   . 14.已知定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,当x>0时,f(x)=x2+x,则f(﹣2)=   . 15.16、17世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急,约翰?纳皮尔正是在研究天文学的过程中,为了简化其中的计算而发明了对数.后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系,即ab=N?b=logaN.现在已知2a=3,3b=4,则ab=   . 16.如图,圆锥的底面圆直径AB为2,母线长SA为4,若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C,则小虫爬行的最短距离为   . 三、解答题 17.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={x|x2﹣3x+2=0},B={x|1≤x≤5,x∈Z},C={x|2<x<9,x∈Z} (1)求A∪(B∩C); (2)求(?UB)∪(?UC) 18.(1)计算:lg25+lg2?lg50+lg22 (2)已知+=3,求的值. 19.已知△ABC的三个顶点A(4,﹣6),B(﹣4,1),C(﹣1,4).求: (Ⅰ)AC边上高BD所在的直线的一般方程; (Ⅱ)AB边中线CE所在的直线的一般方程. 20.已知函数f(x)= (1)请在给定的坐标系中画出此函数的图象; (2)写出此函数的定义域及单调区间,并写出值域. 21.已知函数f(x)=loga(2+x)﹣loga(2﹣x),(a>0且a≠1). (1)求函数f(x)的定义域; (2)求满足f(x)≤0的实数x的取值范围. 22.在三棱锥P﹣ABC中,△PAC和△PBC是边长为的等边三角形,AB=2,O,D分别是AB,PB的中点. (1)求证:OD∥平面PAC; (2)求证:OP⊥平面ABC; (3)求三棱锥D﹣ABC的体积. 参考答案 一、单选题(每小题5分,共计60分) 1.下列几何体中是棱柱的有(  ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【分析】根据棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.进行判断即可. 解:观察图形得:“有两个面互相平行,其余各面都是四边形,”的几何体有: ①③⑤,只有它们是棱柱, 共三个. 故选:C. 2.已知点A(3,2),B(0,﹣1),则直线AB的倾斜角为(  ) A.30° B.45° C.60° D.120° 【分析】设直线AB的倾斜角为θ,θ∈[0°,180°).利用斜率计算公式、三角函数求值即可得出. 解:设直线AB的倾斜角为θ,θ∈[0°,180°). 则tanθ==1, ∴θ=45°. 故选:B. 3.下列命题正确的是(  ) A.在空间中两条直线没有公共点,则这两条直线平行 B.一条直线与一个平面可能有无数个公共点 C.经过空间任意三点可以确定一个平面 D.若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 【分析】运用空间中直线和平面的有关概念可解决此问题. 解:由题意得,A选项中如两条直线异面,两条直线没有公共点,不是平行关系; B选项直线在平面内时,直线和平面有无数个公共点; C选项中经过不在同一条直线上的三点可确定一平面,题中没有指明三点不共线; D选项中三点分布在平面两侧时不符合题意; 故选:B. 4.已知直线l1:2x+y﹣2=0,l2:ax+4y+1=0,若l1∥l2,则a的值为(  ) A.8 B.2 C.﹣ D.﹣2 【分析】利用直线平行的性质求解. 解:∵直线l1:2x+y﹣2=0,l2:ax+4y+1=0,l1∥l2, ∴, 解得a=8. 故选:A. 5.如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,直线AB1与BC1所成角为(  ) A.30° B.45° C.60° D.90° 【分析】由AB1∥DC1,知∠DC1B是直线AB1与BC1所成角,由此能求出直线AB1与BC1所成角. 解:∵AB1∥DC1, ∴∠DC1B是直线AB1与BC1所成角, ∵△BDC1是等边三角形, ∴直线AB1与BC1所成角60°. 故选:C. 6.根据表中的数据,可以断定方程ex﹣x﹣2=0的一个根所在的区间是(  ) x ﹣1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 A.(﹣1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 【分析】令f(x)=ex﹣x﹣2,求出选项中的端点函数值,从而由根的存在性定理判断根的位置. 解:由上表可知, 令f(x)=ex﹣x﹣2, 则f(﹣1)≈0.37+1﹣2<0, f(0)=1﹣0﹣2=﹣1<0, f(1)≈2.72﹣1﹣2<0, f(2)≈7.39﹣2﹣2>0, f(3)≈20.09﹣3﹣2>0. 故f(1)f(2)<0, 故选:C. 7.已知幂函数y=f(x)的图象过,则可以求出幂函数y=f(x)是(  ) A. B.f(x)=x2 C. D. 【分析】设出函数的解析式,根据幂函数y=f(x)的图象过点(2,),构造方程求出指数a的值,即可得到函数的解析式. 解:设幂函数的解析式为y=xa, ∵幂函数y=f(x)的图象过点(2,), ∴=2a, 解得a=﹣ ∴f(x)= 故选:D. 8.在空间四边形ABCD的各边AB,BC,CD,DA上依次取点E,F,G,H,若EH、FG所在直线相交于点P,则(  ) A.点P必在直线AC上 B.点P必在直线BD上 C.点P必在平面DBC外 D.点P必在平面ABC内 【分析】由题意连接EH、FG、BD,则P∈EH且P∈FG,再根据两直线分别在平面ABD和BCD内,根据公理3则点P一定在两个平面的交线BD上. 解:如图:连接EH、FG、BD, ∵EH、FG所在直线相交于点P, ∴P∈EH且P∈FG, ∵EH?平面ABD,FG?平面BCD, ∴P∈平面ABD,且P∈平面BCD, 由∵平面ABD∩平面BCD=BD, ∴P∈BD, 故选:B. 9.复利是一种计算利息的方法.即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,再计算下一期的利息.某同学有压岁钱1000元,存入银行,年利率为2.25%;若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝,年利率可达4.01%.如果将这1000元选择合适方式存满5年,可以多获利息(  )元. (参考数据:1.02254=1.093,1.02255=1.117,1.04014=1.170,1.04015=1.217) A.176 B.104.5 C.77 D.88 【分析】计算两种情况下的利息,得出结论. 解:将1000元钱存入微信零钱通或者支付宝的余额宝,选择复利的计算方法, 则存满5年后的本息和为1000?1.04015=1217,故而共得利息1217﹣1000=217元. 将1000元存入银行,不选择复利的计算方法,则存满5年后的利息为1000?0.0225×5=112.5, 故可以多获利息217﹣112.5=104.5. 故选:B. 10.如图,已知△OAB的直观图△O'A'B'是一个直角边长是1的等腰直角三角形,那么△OAB的面积是(  ) A. B. C.1 D. 【分析】直接判断直观图的平面图形的形状和数据关系,求出平面图形的面积即可. 解:直观图的平面图形△OAB是直角三角形,直角边长为:2和, 那么△OAB的面积为:×2×=. 故选:D. 11.表面积为24的正方体的顶点都在同一个球面上,则该球的表面积是(  ) A.12π B.8π C. D.4π 【分析】求出正方体的边长为a=2,从而球半径r==,由此能求出该球的表面积. 解:∵表面积为24的正方体的顶点都在同一个球面上, ∴则正方体的边长为a==2, ∴球半径r==, ∴该球的表面积是S=4πr2=4π×3=12π. 故选:A. 12.函数f(x)=lg(|x|﹣1)的大致图象是(  ) A. B. C. D. 【分析】利用特殊值法进行判断,先判断奇偶性; 解:∵函数f(x)=lg(|x|﹣1), ∴f(﹣x)=lg(|x|﹣1)=f(x),f(x)是偶函数, 当x=1或﹣1时,y<0, 故选:B. 二、填空题(每小题5分,共计20分) 13.直线3x+2y+5=0在x轴上的截距为  . 【分析】直接令y=0,即可求出. 解:对直线3x+2y+5=0令y=0,得x=﹣. 可得直线在x轴上截距是﹣, 故答案为:﹣ 14.已知定义在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,当x>0时,f(x)=x2+x,则f(﹣2)= 6 . 【分析】根据f(x)是偶函数,以及x>0时的f(x)的解析式即可求出f(﹣2)的值. 解:∵f(x)是偶函数, 又x>0时,f(x)=x2+x, ∴f(﹣2)=f(2)=4+2=6. 故答案为:6. 15.16、17世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急,约翰?纳皮尔正是在研究天文学的过程中,为了简化其中的计算而发明了对数.后来天才数学家欧拉发现了对数与指数的关系,即ab=N?b=logaN.现在已知2a=3,3b=4,则ab= 2 . 【分析】2a=3,3b=4,化为a=log23,b=log34.再利用对数换底公式即可得出. 解:∵2a=3,3b=4, ∴a=log23,b=log34. ∴a=,b=. ∴ab=?=2. 故答案为:2. 16.如图,圆锥的底面圆直径AB为2,母线长SA为4,若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C,则小虫爬行的最短距离为 2 . 【分析】由圆锥的侧面展开图是一扇形,求出扇形的圆心角α,再求点P到SA的中点C的距离即可. 解:由圆锥的侧面展开图是一扇形,如图所示; 底面圆直径AB为2,母线长SA为4, 则侧面展开图扇形的圆心角为α==, 从点P到SA的中点C的距离为PC==2, 即小虫爬行的最短距离为2. 故答案为:2. 三、解答题 17.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={x|x2﹣3x+2=0},B={x|1≤x≤5,x∈Z},C={x|2<x<9,x∈Z} (1)求A∪(B∩C); (2)求(?UB)∪(?UC) 【分析】(1)先用列举法表示A、B、C三个集合,利用交集和并集的定义求出B∩C,进而求出A∪(B∩C). (2)先利用补集的定义求出(?UB)和(?UC),再利用并集的定义求出(?UB)∪(?UC). 解:(1)依题意有:A={1,2},B={1,2,3,4,5},C={3,4,5,6,7,8}, ∴B∩C={3,4,5},故有A∪(B∩C)={1,2}∪{3,4,5}={1,2,3,4,5}. (2)由?UB={6,7,8},?UC={1,2}; 故有(?UB)∪(?UC)={6,7,8}∪{1,2}={1,2,6,7,8}. 18.(1)计算:lg25+lg2?lg50+lg22 (2)已知+=3,求的值. 【分析】(1)利用乘积的对数等于对数的和展开,重新合并后再利用对数的和等于乘积的对数求解; (2)把给出的已知条件进行两次平方运算,然后分别代入要求解的式子即可得到答案. 解:(1)lg25+lg2?lg50+lg22 =lg52+lg2(lg5+1)+lg22 =2lg5+lg2?lg5+lg2+lg22 =2lg5+lg2+lg2(lg5+lg2) =2(lg5+lg2) =2; (2)由,得, 即x+2+x﹣1=9. ∴x+x﹣1=7. 两边再平方得:x2+2+x﹣2=49, ∴x2+x﹣2=47. ∴=. 19.已知△ABC的三个顶点A(4,﹣6),B(﹣4,1),C(﹣1,4).求: (Ⅰ)AC边上高BD所在的直线的一般方程; (Ⅱ)AB边中线CE所在的直线的一般方程. 【分析】(I)利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得高BD所在的直线的斜率,进而得出点斜式. (Ⅱ)利用中点坐标公式可得AB边的中点,利用两点式即可得出. 解:(Ⅰ), ∴kBD=. ∴直线BD的方程为,即x﹣2y+6=0. (Ⅱ)AB边中点E, ∴中线CE的方程为, 即13x+2y+5=0,(x=0时也满足题意). 20.已知函数f(x)= (1)请在给定的坐标系中画出此函数的图象; (2)写出此函数的定义域及单调区间,并写出值域. 【分析】(1)根据函数解析式,分别作出各段图象即可;(2)由解析式可求出函数的定义域,由图观察,即可得到单调区间以及值域. 解:(1)图象如图所示 (2)定义域为R, 增区间为[1,3],减区间为(﹣∞,0)、[0,1]、[3,+∞), 值域为(﹣∞,3]. 21.已知函数f(x)=loga(2+x)﹣loga(2﹣x),(a>0且a≠1). (1)求函数f(x)的定义域; (2)求满足f(x)≤0的实数x的取值范围. 【分析】(1)由题意可得,,解不等式可求; (2)由已知可得loga(2+x)≤loga(2﹣x),结合a的范围,进行分类讨论求解x的范围. 解:由题意可得,, 解可得,﹣2<x<2, ∴函数f(x)的定义域为(﹣2,2), (2)由f(x)=loga(2+x)﹣loga(2﹣x)≤0, 可得loga(2+x)≤loga(2﹣x), ①a>1时,0<2+x≤2﹣x, 解可得,﹣2<x≤0, ②0<a<1时,0<2﹣x≤2+x, 解可得,0≤x<2. 22.在三棱锥P﹣ABC中,△PAC和△PBC是边长为的等边三角形,AB=2,O,D分别是AB,PB的中点. (1)求证:OD∥平面PAC; (2)求证:OP⊥平面ABC; (3)求三棱锥D﹣ABC的体积. 【分析】(1)推导出OD∥PA,由此能证明OD∥平面PAC. (2)连接OC,OP,推导出OC⊥AB,OC=1,PO⊥AB,PO=1,从而PO⊥OC,由此能证明PO⊥平面ABC. (3)由,能求出三棱锥D﹣ABC的体积. 【解答】证明:(1)∵O,D分别为AB,PB的中点, ∴OD∥PA. 又PA?平面PAC,OD?平面PAC, ∴OD∥平面PAC. (2)连接OC,OP,∵O为AB中点,AB=2, ∴OC⊥AB,OC=1. 同理,PO⊥AB,PO=1. 又, ∴PC2=OC2+PO2=2,∴∠POC=90°. ∴PO⊥OC. ∵PO⊥OC,PO⊥AB,AB∩OC=O, ∴PO⊥平面ABC. 解:(3)由(2)可知OP⊥平面ABC, ∴OP为三棱锥P﹣ABC的高,且OP=1. ∴.

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  • ID:3-6781918 2019-2020学年吉林省长春市榆树市第一学期高二(上)期末数学试卷(文科) 含解析

    高中数学/期末专区/高二上册

    2019-2020学年高二(上)期末数学试卷(文科) 一、选择题(本题共12小题) 1.不等式x2+4x<5的解集为(  ) A.(﹣∞,﹣1)∪(5,+∞) B.(﹣1,5) C.(﹣∞,﹣5)∪(1,+∞) D.(﹣5,1) 2.若p∧q是假命题,则(  ) A.p是真命题,q是假命题 B.p、q均为假命题 C.p、q至少有一个是假命题 D.p、q至少有一个是真命题 3.函数f(x)=4x2+e的导函数是(  ) A.f'(x)=8x+1 B.f'(x)=4x C.f'(x)=8x D.f'(x)=2x 4.下列条件中,使“”成立的充分不必要条件是(  ) A.0<x<1 B.0<x<2 C.0<x<3 D.﹣1<x<1 5.命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为(  ) A.对任意x∈R,都有x2<0 B.不存在x∈R,都有x2<0 C.存在x0∈R,使得x02≥0 D.存在x0∈R,使得x02<0 6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且,,B=60°,则A=(  ) A.45° B.30° C.45°或135° D.30°或150° 7.等比数列{an}的公比q=3,则等于(  ) A. B.﹣3 C. D.3 8.若椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,则双曲线﹣=1的离心率为(  ) A. B. C. D. 9.数列{an}的前n项和为Sn,若an=,则S5等于(  ) A.1 B. C. D. 10.在△ABC中,如果sinA:sinB:sinC=2:3:4,那么cosC等于(  ) A. B. C. D. 11.已知正实数x,y满足x+y=3,则的最小值(  ) A.2 B.3 C.4 D. 12.已知函数f(x)在x>0上可导且满足xf'(x)﹣f(x)>0,则下列一定成立的为(  ) A.ef(π)>πf(e) B.f(π)<f(e) C. D.f(π)>f(e) 二、填空题(本大题共4小题每小题5分,共20分) 13.已知x>0,则 的最小值为   . 14.已知点P在拋物线y2=16x上,且点P到y轴的距离6,则点P到焦点的距离为   . 15.函数y=xex在其极值点处的切线方程为   . 16.对于曲线C:=1,给出下面四个命题: ①由线C不可能表示椭圆; ②当1<k<4时,曲线C表示椭圆; ③若曲线C表示双曲线,则k<1或k>4; ④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则1<k< 其中所有正确命题的序号为   . 三、解答题(共70分解答题写文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边,若△ABC面积S△ABC=,c=2,A=60°,求a、b的值. 18.设等差数列{an}满足a3=﹣6,a10=8. (1)求{an}的通项公式; (2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最小的序号n的值. 19.某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示: 甲 乙 原料限额 A(吨) 3 2 12 B(吨) 1 2 8 (1)设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x,y吨,试写出关于的线性约束条件并画出可行域; (2)如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,试求该企业每天可获得的最大利润. 20.在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n. (Ⅰ)设bn=.证明:数列{bn}是等差数列; (Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn. 21.已知函数f(x)=xlnx. (Ⅰ)求函数f(x)在[1,3]上的最小值; (Ⅱ)若存在使不等式2f(x)≥﹣x2+ax﹣3成立,求实数a的取值范围. 22.已知椭圆的离心率为,点在C上. (Ⅰ)求C的方程; (Ⅱ)直线l不经过原点O,且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB中点为M,证明:直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值. 参考答案 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的) 1.不等式x2+4x<5的解集为(  ) A.(﹣∞,﹣1)∪(5,+∞) B.(﹣1,5) C.(﹣∞,﹣5)∪(1,+∞) D.(﹣5,1) 【分析】先将不等式左边进行因式分解,然后根据开口向上小于0的解集为两根之间,从而求出所求. 解:因为x2+4x﹣5=(x﹣1)(x+5)<0 ∴不等式x2+4x﹣5<0的解集为{x|﹣5<x<1} 故选:D. 2.若p∧q是假命题,则(  ) A.p是真命题,q是假命题 B.p、q均为假命题 C.p、q至少有一个是假命题 D.p、q至少有一个是真命题 【分析】根据p∧q是假命题,则可知p,q至少有一个为假命题,即可判断. 解:根据复合命题与简单命题真假之间的关系可知, 若p∧q是假命题,则可知p,q至少有一个为假命题. 故选:C. 3.函数f(x)=4x2+e的导函数是(  ) A.f'(x)=8x+1 B.f'(x)=4x C.f'(x)=8x D.f'(x)=2x 【分析】利用求导公式直接计算即可. 解:由f(x)=4x2+e得f′(x)=8x. 故选:C. 4.下列条件中,使“”成立的充分不必要条件是(  ) A.0<x<1 B.0<x<2 C.0<x<3 D.﹣1<x<1 【分析】先化简命题,再判断充要性. 解:解之得:0<x<2, 则选项中0<x<1为0<x<2的充分不必要条件, 故选:A. 5.命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为(  ) A.对任意x∈R,都有x2<0 B.不存在x∈R,都有x2<0 C.存在x0∈R,使得x02≥0 D.存在x0∈R,使得x02<0 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题,写出命题的否定命题即可. 解:因为全称命题的否定是特称命题, 所以命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为.存在x0∈R,使得x02<0. 故选:D. 6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且,,B=60°,则A=(  ) A.45° B.30° C.45°或135° D.30°或150° 【分析】根据正弦定理,代入题中数据算出sinA=,结合a<b得A<B,可得A=45°,得到本题答案. 解:∵△ABC中,a=,b=,B=60° ∴由正弦定理,得sinA=== ∵A∈(0°,180°),a<b ∴A=45°或135°,结合A<B可得A=45° 故选:A. 7.等比数列{an}的公比q=3,则等于(  ) A. B.﹣3 C. D.3 【分析】结合等比数列的性质即可求解. 解:∵等比数列{an}的公比q=3, 则结合等比数列的性质可知,==, 故选:C. 8.若椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,则双曲线﹣=1的离心率为(  ) A. B. C. D. 【分析】利用a与b表示出椭圆的离心率并且结合椭圆离心率的数值求出,接着利用a,b表示出双曲线的离心率,即可求出双曲线的离心率. 解:由题意得椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=, 所以=. 所以. 所以双曲线的离心率=. 故选:B. 9.数列{an}的前n项和为Sn,若an=,则S5等于(  ) A.1 B. C. D. 【分析】利用“裂项求和”即可得出. 解:∵, ∴…+==. ∴. 故选:B. 10.在△ABC中,如果sinA:sinB:sinC=2:3:4,那么cosC等于(  ) A. B. C. D. 【分析】由正弦定理可得;sinA:sinB:sinC=a:b:c,可设a=2k,b=3k,c=4k(k>0),由余弦定理可求得答案. 解:由正弦定理可得;sinA:sinB:sinC=a:b:c=2:3:4 可设a=2k,b=3k,c=4k(k>0) 由余弦定理可得,= 故选:D. 11.已知正实数x,y满足x+y=3,则的最小值(  ) A.2 B.3 C.4 D. 【分析】根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可. 解:∵x+y=3,x>0,y>0,∴(x+y)=1, ∴=()(x+y)=(5++)≥(5+2)=3, 当且仅当x=2y即x=2,y=1时“=”成立, 故选:B. 12.已知函数f(x)在x>0上可导且满足xf'(x)﹣f(x)>0,则下列一定成立的为(  ) A.ef(π)>πf(e) B.f(π)<f(e) C. D.f(π)>f(e) 【分析】构造g(x)=(x>0),求导数g′(x),利用利用导数判定g(x)的单调性,可以得出结论. 解:令g(x)=(x>0),则 g'(x)=, 由已知xf′(x)﹣f(x)>0恒成立得,当x>0时,g'(x)>0. 故函数g(x)在(0,+∞)上是增函数, 又π>e>0,故g(π)>g(e),即,即ef(π)>πf(e). 故选:A. 二、填空题(本大题共4小题每小题5分,共20分) 13.已知x>0,则 的最小值为 2 . 【分析】利用基本不等式的性质即可得出. 解:∵x>0,∴=2,当且仅当x=1时取等号. 故的最小值为2. 故答案为2. 14.已知点P在拋物线y2=16x上,且点P到y轴的距离6,则点P到焦点的距离为 10 . 【分析】根据抛物线的定义,结合P到y轴的距离.转化求解即可. 解:∵抛物线y2=16x,则p=8,则焦点F(4,0),设P(x,y) 由抛物线定义可知,抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的, 点P到y轴的距离6, ∴|MF|=6+4=10, 故答案为:10. 15.函数y=xex在其极值点处的切线方程为 y=﹣ . 【分析】求出极值点,再结合导数的几何意义即可求出切线的方程. 解:依题解:依题意得y′=ex+xex, 令y′=0,可得x=﹣1, ∴y=﹣. 因此函数y=xex在其极值点处的切线方程为y=﹣. 故答案为:y=﹣. 16.对于曲线C:=1,给出下面四个命题: ①由线C不可能表示椭圆; ②当1<k<4时,曲线C表示椭圆; ③若曲线C表示双曲线,则k<1或k>4; ④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则1<k< 其中所有正确命题的序号为 ③④ . 【分析】据椭圆方程的特点列出不等式求出k的范围判断出①②错,据双曲线方程的特点列出不等式求出k的范围,判断出③对;据椭圆方程的特点列出不等式求出t的范围,判断出④错. 解:若C为椭圆应该满足即1<k<4 且k≠故①②错 若C为双曲线应该满足(4﹣k)(k﹣1)<0即k>4或k<1 故③对 若C表示椭圆,且长轴在x轴上应该满足4﹣k>k﹣1>0则 1<k<,故④对 故答案为:③④. 三、解答题(共70分解答题写文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边,若△ABC面积S△ABC=,c=2,A=60°,求a、b的值. 【分析】根据三角形的面积求出b的值,再由余弦定理求出a的值. 解:∵,∴,得b=1. 由余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bccosA=12+22﹣2×1×2?cos60°=3,所以. 综上,,b=1. 18.设等差数列{an}满足a3=﹣6,a10=8. (1)求{an}的通项公式; (2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最小的序号n的值. 【分析】(1)结合等差数列的性质先求出公差d,然后结合等差数列的通项公式即可求解, (2)结合等差数列的求和公式及二次函数的性质即可求解. 解:(1)∵等差数列{an}满足a3=﹣6,a10=8. d===2, ∴an=a3+2(n﹣3)=2n﹣12, (2){an}的前n项和 , ∴当n=5或6时,Sn取得最小值﹣30. 19.某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示: 甲 乙 原料限额 A(吨) 3 2 12 B(吨) 1 2 8 (1)设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为x,y吨,试写出关于的线性约束条件并画出可行域; (2)如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,试求该企业每天可获得的最大利润. 【分析】(1)直接由题意得到关于x,y的线性约束条件并画出可行域; (2)设该企业每天可获得的利润为z,则z=3x+4y,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案. 解:(1)由题意可得:,画出可行域如图: (2)该企业每天可获得的利润为z,则z=3x+4y, 联立,解得A(2,3), 化z=3x+4y为y=﹣, 由图可知,当直线y=﹣过A时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值为3×2+4×3=18. 即该企业每天可获得的最大利润为18万元. 20.在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n. (Ⅰ)设bn=.证明:数列{bn}是等差数列; (Ⅱ)求数列{an}的前n项和Sn. 【分析】(1)由an+1=2an+2n构造可得即数列{bn}为等差数列 (2)由(1)可求=n,从而可得an=n?2n﹣1 利用错位相减求数列{an}的和 解:由an+1=2an+2n.两边同除以2n得 ∴,即bn+1﹣bn=1 ∴{bn}以1为首项,1为公差的等差数列 (2)由(1)得 ∴an=n?2n﹣1 Sn=20+2×21+3×22+…+n?2n﹣1 2Sn=21+2×22+…+(n﹣1)?2n﹣1+n?2n ∴﹣Sn=20+21+22+…+2n﹣1﹣n?2n = ∴Sn=(n﹣1)?2n+1 21.已知函数f(x)=xlnx. (Ⅰ)求函数f(x)在[1,3]上的最小值; (Ⅱ)若存在使不等式2f(x)≥﹣x2+ax﹣3成立,求实数a的取值范围. 【分析】(Ⅰ)先求出函数的导函数,研究出原函数在[1,3]上的单调性即可求出函数f(x)在[1,3]上的最小值; (Ⅱ)先把不等式2f(x)≥﹣x2+ax﹣3成立转化为a≤2lnx+x+成立,设h(x)=2lnx+x+(x>0),利用导函数求出h(x)在x∈[,e]上的最大值即可求实数a的取值范围. 解:(Ⅰ)由f(x)=xlnx,可得f'(x)=lnx+1, 当x∈(0,)时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当x∈(,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增. 所以函数f(x)在[1,3]上单调递增. 又f(1)=ln1=0, 所以函数f(x)在[1,3]上的最小值为0. (Ⅱ)由题意知,2xlnx≥﹣x2+ax﹣3,则a≤2lnx+x+. 若存在x∈[,e]使不等式2f(x)≥﹣x2+ax﹣3成立, 只需a小于或等于2lnx+x+的最大值. 设h(x)=2lnx+x+(x>0),则h′(x)=+1﹣=. 当x∈[,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减; 当x∈(1,e]时,h'(x)>0,h(x)单调递增. 由h()=﹣2++3e,h(e)=2+e+, h()﹣h(e)=2e﹣﹣4>0, 可得h()>h(e). 所以,当x∈[,e]时,h(x)的最大值为h()=﹣2++3e, 故a≤﹣2++3e. 22.已知椭圆的离心率为,点在C上. (Ⅰ)求C的方程; (Ⅱ)直线l不经过原点O,且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB中点为M,证明:直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值. 【分析】(Ⅰ)由题意得关于a,b,c的方程组,求解得a2=8,b2=4,则椭圆方程可求; (Ⅱ)设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM),联立直线方程与椭圆方程,化为关于x的一元二次方程,利用中点坐标公式及根与系数的关系求得M坐标,得到直线OM的斜率,进一步可得直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值. 解:(Ⅰ)由题意得,解得a2=8,b2=4, ∴椭圆C的方程为; 证明:(Ⅱ)设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM), 把y=kx+b代入,得(2k2+1)x2+4kbx+2b2﹣8=0. 故, 于是直线OM的斜率,即, ∴直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.

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  • ID:3-6781916 2019-2020学年人教A版安徽省安庆市高一第一学期(上)期末数学试卷 含解析

    高中数学/期末专区/高一上册

    2019-2020学年高一(上)期末数学试卷 一、选择题(本题共12小题) 1.已知全集U={2,3,5,7,11,13,17,19},集合A={2,7,11},集合B={5,11,13},则(?UA)∩B=(  ) A.{5} B.{13} C.{5,13} D.{11,13} 2.计算:log32﹣log36=(  ) A.1 B.﹣1 C.﹣log32 D.﹣2log32 3.已知幂函数f(x)=(a2﹣2a﹣2)?xa在区间(0,+∞)上是单调递增函数,则a的值为(  ) A.3 B.﹣1 C.﹣3 D.1 4.在△ABC中,已知sinA=2sinBcosC,则该三角形的形状是(  ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 5.若实数m,n满足2m<2n,则下列不等关系成立的是(  ) A.log2m<log2n B. C.> D.m3<n3 6.下列关系式一定正确的是(  ) A.sin2<0 B.cos3>0 C.sin(π﹣3)=﹣sin3 D.|sin2α|≤2|sinα| 7.若函数y=sin2x的图象经过点P(x0,y0),则其图象必经过点(  ) A.(﹣x0,y0) B. C. D.(π﹣x0,y0) 8.已知tanα=2,则=(  ) A.﹣1 B.1 C. D. 9.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|<π)的图象如图所示,则ω,φ的值为(  ) A.ω=3, B.ω=3, C.ω=6, D.ω=6, 10.某数学课外兴趣小组对函数f(x)=2|x﹣1|的图象与性质进行了探究,得到下列四条结论:①该函数的值域为(0,+∞); ②该函数在区间[0,+∞)上单调递增;③该函数的图象关于直线x=1对称;④该函数的图象与直线y=﹣a2(a∈R)不可能有交点. 则其中正确结论的个数为(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 11.函数y=在区间[﹣3,0)∪(0,3]上的图象为(  ) A. B. C. D. 12.已知函数f(x)是定义在R上的函数,f(1)=1.若对任意的x1,x2∈R且x1<x2有,则不等式f[log2(3x﹣2)]<log216﹣3log2(3x﹣2)的解集为(  ) A. B. C. D. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填写在答题卷中的相应区域,答案写在试题卷上无效. 13.函数的定义域为   . 14.计算:sin39°cos21°+sin51°sin21°=   . 15.已知函数,则f(﹣2)+f(﹣1)+f(0)+f(1)+f(2)=   . 16.若A为不等边△ABC的最小内角,则的值域为   . 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知集合A={x|x≥1},集合B={x|3﹣a≤x≤3+a,a∈R}. (Ⅰ)当a=4时,求A∪B; (Ⅱ)若B?A,求实数a的取值范围. 18.已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点P(3,﹣4). (Ⅰ)求sinα﹣cosα的值; (Ⅱ)求的值. 19.已知函数图象两条相邻对称轴间的距离为. (Ⅰ)求函数f(x)在[0,π]上的单调递增区间; (Ⅱ)将函数y=f(x)的图象向左平移个单位后得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)图象的对称中心坐标. 20.已知函数f(x)=ax2+bx+4,其中a,b∈R,且a≠0. (Ⅰ)若函数y=f(x)的图象过点(﹣3,1),且函数f(x)只有一个零点,求函数f(x)的解析式; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若a∈Z,函数g(x)=ln[f(x)﹣kx]在区间[2,+∞)上单调递增,求实数k的取值范围. 21.某科研团队对某一生物生长规律进行研究,发现其生长蔓延的速度越来越快.开始在某水域投放一定面积的该生物,经过2个月其覆盖面积为18平方米,经过3个月其覆盖面积达到27平方米.该生物覆盖面积y(单位:平方米)与经过时间x(x∈N)个月的关系有两个函数模型y=k?ax(k>0,a>1)与y=p可供选择. (Ⅰ)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的函数解析式; (Ⅱ)问约经过几个月,该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍?(参考数据:≈1.73,lg2≈0.30,lg3≈0.48) 22.已知函数. (Ⅰ)当时,f2(x)﹣mf(x)﹣m≤0恒成立,求实数m的取值范围; (Ⅱ)是否同时存在实数a和正整数n,使得函数g(x)=f(x)﹣a在[0,nπ]上恰有2019个零点?若存在,请求出所有符合条件的a和n的值;若不存在,请说明理由. 参考答案 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集U={2,3,5,7,11,13,17,19},集合A={2,7,11},集合B={5,11,13},则(?UA)∩B=(  ) A.{5} B.{13} C.{5,13} D.{11,13} 【分析】进行补集、交集的运算即可. 解:∵U={2,3,5,7,11,13,17,19},A={2,7,11},B={5,11,13}, ∴?UA={3,5,13,17,19},(?UA)∩B={5,13}. 故选:C. 2.计算:log32﹣log36=(  ) A.1 B.﹣1 C.﹣log32 D.﹣2log32 【分析】利用对数的性质和运算法则求解. 解:log32﹣log36===﹣1, 故选:B. 3.已知幂函数f(x)=(a2﹣2a﹣2)?xa在区间(0,+∞)上是单调递增函数,则a的值为(  ) A.3 B.﹣1 C.﹣3 D.1 【分析】利用幂函数的定义和单调性即可算出结果. 解:∵幂函数f(x)=(a2﹣2a﹣2)?xa在区间(0,+∞)上是单调递增函数, ∴,解得a=3, 故选:A. 4.在△ABC中,已知sinA=2sinBcosC,则该三角形的形状是(  ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 【分析】通过三角形的内角和,以及两角和的正弦函数,化简方程,求出角的关系,即可判断三角形的形状. 解:因为sinA=2sinBcosc,所以sin(B+C)=2sinBcosC, 所以sinBcosC﹣sinCcosB=0,即sin(B﹣C)=0, 因为A,B,C是三角形内角,所以B=C. 所以三角形是等腰三角形. 故选:C. 5.若实数m,n满足2m<2n,则下列不等关系成立的是(  ) A.log2m<log2n B. C.> D.m3<n3 【分析】直接利用用不等式的应用求出结果. 解:实数m,n满足2m<2n,所以m<n. 由于没有确定m和n的符号,所以ABC都错误. 对于选项D:n3﹣m3=(n﹣m)(n2+mn+m2)=(n﹣m)[]>0, 所以n>m. 故选:D. 6.下列关系式一定正确的是(  ) A.sin2<0 B.cos3>0 C.sin(π﹣3)=﹣sin3 D.|sin2α|≤2|sinα| 【分析】对于A,B,由于0<2<π,<3<π,利用正弦函数,余弦函数的图象即可判断错误;对于C,由于sin(π﹣3)=sin3,即可判断错误;对于D,利用二倍角公式化简,即可证明正确. 解:对于A,由于0<2<π,可得sin2>0,故错误; 对于B,由于<3<π,可得cos3<0,故错误; 对于C,由于sin(π﹣3)=sin3,故错误; 对于D,由于|sin2α|=2|sinα||cosα|≤2|sinα|?sinα=0,或|cosα|≤1,成立,故正确. 故选:D. 7.若函数y=sin2x的图象经过点P(x0,y0),则其图象必经过点(  ) A.(﹣x0,y0) B. C. D.(π﹣x0,y0) 【分析】由已知可得y0=sin2x0,利用诱导公式逐项求值验证即可得解. 解:∵y=sin2x的图象经过点P(x0,y0),可得y0=sin2x0, 对于A,由于y=sin2(﹣x0)=﹣sin2x0=﹣y0≠y0,故错误; 对于B,由于y=sin2(+x0)=sin(π+2x0)=﹣sin2x0=﹣y0≠y0,故错误; 对于C,由于y=sin2(﹣x0)=sin(π﹣2x0)=sin2x0=y0=y0,故正确; 对于D,由于y=sin2(π﹣x0)=sin(2π﹣2x0)=﹣sin2x0=﹣y0≠y0,故错误. 故选:C. 8.已知tanα=2,则=(  ) A.﹣1 B.1 C. D. 【分析】由题意利用两角和差的正切公式、二倍角的正切公式,求得要去式子的值. 解:∵tanα=2,则=+=+=﹣1, 故选:A. 9.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|<π)的图象如图所示,则ω,φ的值为(  ) A.ω=3, B.ω=3, C.ω=6, D.ω=6, 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出ω,由五点法作图求出φ的值,求出函数的解析式. 解:根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|<π)的图象, 可得A=1,?=﹣,求得ω=3. 再根据 五点法作图可得3?+φ=π, 求得φ=, 故选:A. 10.某数学课外兴趣小组对函数f(x)=2|x﹣1|的图象与性质进行了探究,得到下列四条结论:①该函数的值域为(0,+∞); ②该函数在区间[0,+∞)上单调递增;③该函数的图象关于直线x=1对称;④该函数的图象与直线y=﹣a2(a∈R)不可能有交点. 则其中正确结论的个数为(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 【分析】在①中,该函数的值域为[1,+∞);在②中,该函数在区间[0,+∞)上先减后增;在③中,该函数的图象关于直线x=1对称;在④中,该函数的图象与直线y=﹣a2(a∈R)不可能有交点. 解:由函数f(x)=2|x﹣1|的图象与性质,得: 在①中,该函数的值域为[1,+∞),故①错误; 在②中,该函数在区间[0,+∞)上先减后增,故②错误; 在③中,该函数的图象关于直线x=1对称,故③正确; 在④中,∵f(x)=2|x﹣1|≥1,y=﹣a2≤0, ∴该函数的图象与直线y=﹣a2(a∈R)不可能有交点,故④正确. 故选:B. 11.函数y=在区间[﹣3,0)∪(0,3]上的图象为(  ) A. B. C. D. 【分析】由函数为奇函数排除AD,由f(3)>0排除C. 解:,故函数为奇函数,由此排除AD, 又,排除C, 故选:B. 12.已知函数f(x)是定义在R上的函数,f(1)=1.若对任意的x1,x2∈R且x1<x2有,则不等式f[log2(3x﹣2)]<log216﹣3log2(3x﹣2)的解集为(  ) A. B. C. D. 【分析】构造函数令g(x)=f(x)+3x,结合其单调性之间的关系,即可得到结论. 解:∵对任意的x1,x2∈R且x1<x2有, ∴f(x1)﹣f(x2)<﹣3x1+3x2, 即f(x1)+3x1<f(x2)+3x2, 令g(x)=f(x)+3x,则可得g(x1)<g(x2), ∴g(x)在R上单调递增,且g(1)=f(1)+3=4, ∵f[log2(3x﹣2)]<log216﹣3log2(3x﹣2), ∴f[log2(3x﹣2)]+3log2(3x﹣2)<4, 即g[log2(3x﹣2)]<g(1), ∴log2(3x﹣2)<1, ∴0<3x﹣2<2 ∴ 故不等式的解集为() 故选:C. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填写在答题卷中的相应区域,答案写在试题卷上无效. 13.函数的定义域为 (﹣1,2)∪(2,+∞) . 【分析】根据函数f(x)的解析式,列出使解析式有意义的不等式组,求出解集即可. 解:函数中, 令,解得x>﹣1且x≠2; 所以函数f(x)的定义域为(﹣1,2)∪(2,+∞). 故答案为:(﹣1,2)∪(2,+∞). 14.计算:sin39°cos21°+sin51°sin21°=  . 【分析】由题意利用诱导公式、两角和的正弦公式,求得结果. 解:sin39°cos21°+sin51°sin21°=sin39°cos21°+cos39°sin21°=sin(39°+21°)=sin60°=, 故答案为:. 15.已知函数,则f(﹣2)+f(﹣1)+f(0)+f(1)+f(2)= 5 . 【分析】解题的关键是根据式子结构,推导出f(x)+f(﹣x)=2,进而得解. 解:=, ∴f(﹣2)+f(﹣1)+f(0)+f(1)+f(2)=5. 故答案为:5. 16.若A为不等边△ABC的最小内角,则的值域为 (0,﹣1] . 【分析】根据条件可得0<A<,求出cosA+sinA的取值范围后,令t=sinA+cosA,从而得到f(A)==t﹣1,再根据t的范围求出f(A)的值域. 解:∵A为不等边△ABC的最小内角,∴0<A<, ∴sinA+cosA=sin(A+)∈(1,]. 令t=sinA+cosA,则2sinAcosA=t2﹣1, ∴==t﹣1∈(0,﹣1]. ∴f(A)的值域为(0,﹣1]. 故答案为:(0,﹣1]. 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知集合A={x|x≥1},集合B={x|3﹣a≤x≤3+a,a∈R}. (Ⅰ)当a=4时,求A∪B; (Ⅱ)若B?A,求实数a的取值范围. 【分析】(Ⅰ)当a=4时,求出集合A,集合B,由此能求出A∪B. (Ⅱ)当B=?时,3﹣a>3+a,当B≠?时,,由此能求出实数a的取值范围. 解:(Ⅰ)当a=4时,集合A={x|x≥1},集合B={x|﹣1≤x≤7}. ∴A∪B={x|x≥﹣1}. (Ⅱ)∵集合A={x|x≥1},集合B={x|3﹣a≤x≤3+a,a∈R},B?A, ∴当B=?时,3﹣a>3+a,解得a<0, 当B≠?时,,解得0≤a≤2. 综上,实数a的取值范围是(﹣∞,2]. 18.已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点P(3,﹣4). (Ⅰ)求sinα﹣cosα的值; (Ⅱ)求的值. 【分析】(Ⅰ)由题意利用任意角的三角函数的定义,求得sinα,cosα的值,即可得解sinα﹣cosα的值. (Ⅱ)由条件利用诱导公式,即可求解. 解:(Ⅰ)∵角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(3,﹣4), 故x=3,y=﹣4,r=|OP|==5, ∴sinα==﹣,cosα==. ∴sinα﹣cosα=﹣﹣=﹣. (Ⅱ) ===. 19.已知函数图象两条相邻对称轴间的距离为. (Ⅰ)求函数f(x)在[0,π]上的单调递增区间; (Ⅱ)将函数y=f(x)的图象向左平移个单位后得到函数y=g(x)的图象,求函数y=g(x)图象的对称中心坐标. 【分析】(I)先结合两角和的正弦公式及辅助角公式对已知函数进行化简,然后结合正弦函数的单调性即可求解, (II)结合函数的图象平移及正弦函数的对称性可求. 解:(I), =ωx+cosωx, =sin(ωx+), ∵图象两条相邻对称轴间的距离为, ∴,即T=π, ∴ω=2,f(x)=sin(2x+), 令﹣≤2x+,可得kπ﹣≤x≤kπ+,k∈Z, 故函数f(x)在[0,π]上的单调递增区间[0,],[,π]; (Ⅱ)由题意可得y=g(x)=sin(2x+), 令2x+=kπ可得x=﹣+kπ,k∈Z, ∴函数y=g(x)图象的对称中心坐标(﹣+kπ,0),k∈Z. 20.已知函数f(x)=ax2+bx+4,其中a,b∈R,且a≠0. (Ⅰ)若函数y=f(x)的图象过点(﹣3,1),且函数f(x)只有一个零点,求函数f(x)的解析式; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若a∈Z,函数g(x)=ln[f(x)﹣kx]在区间[2,+∞)上单调递增,求实数k的取值范围. 【分析】(Ⅰ)根据题意得,1=9a+3b+4,即b=3a+1①,△=b2﹣4a×4=b2﹣16a=0②,即可解得a,b,进而得出函数f(x)的解析式. (Ⅱ)因为a∈Z,由上可知a=1,f(x)=x2+4x+4,函数g(x)=ln[x2+(4﹣k)x+4]在区间[2,+∞)上单调递增,由复合函数的单调性得,y=x2+(4﹣k)x+4在区间[2,+∞)上单调递增,且任意x∈[2,+∞),x2+(4﹣k)x+4>0,即可解得k的取值范围. 解:(Ⅰ)根据题意得, 1=9a+3b+4,即b=3a+1,① △=b2﹣4a×4=b2﹣16a=0,② 由①②解得 或, 所以函数f(x)=,或f(x)=x2+4x+4, (Ⅱ)因为a∈Z,由上可知a=1, f(x)=x2+4x+4, 函数g(x)=ln[f(x)﹣kx]=ln[x2+(4﹣k)x+4]在区间[2,+∞)上单调递增, 由复合函数的单调性得, y=x2+(4﹣k)x+4在区间[2,+∞)上单调递增,且任意x∈[2,+∞),x2+(4﹣k)x+4>0, 可得2≥且22+(4﹣k)×2+4>0, k≤8且k<8, 所以k的取值范围k<8. 21.某科研团队对某一生物生长规律进行研究,发现其生长蔓延的速度越来越快.开始在某水域投放一定面积的该生物,经过2个月其覆盖面积为18平方米,经过3个月其覆盖面积达到27平方米.该生物覆盖面积y(单位:平方米)与经过时间x(x∈N)个月的关系有两个函数模型y=k?ax(k>0,a>1)与y=p可供选择. (Ⅰ)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的函数解析式; (Ⅱ)问约经过几个月,该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍?(参考数据:≈1.73,lg2≈0.30,lg3≈0.48) 【分析】(Ⅰ)判断两个函数y=kax(k>0,a>1)与与y=p在(0,+∞)的单调性,说明函数模型y=kax(k>0,a>1)适合要求.然后列出方程组,求解即可. (Ⅱ)由题意列指数方程,求解得答案. 解:(Ⅰ)因为y=k?ax(k>0,a>1)的增长速度越来越快,而y=p增长速度越来越慢, 故依题意应选择y=k?ax(k>0,a>1),则有,解得,所以y=8?; (Ⅱ)当x=0时,y=8,设经过x个月,该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍, 则8?=8×1000,解得x===≈17.03; 故,经过17个月后该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍. 22.已知函数. (Ⅰ)当时,f2(x)﹣mf(x)﹣m≤0恒成立,求实数m的取值范围; (Ⅱ)是否同时存在实数a和正整数n,使得函数g(x)=f(x)﹣a在[0,nπ]上恰有2019个零点?若存在,请求出所有符合条件的a和n的值;若不存在,请说明理由. 【分析】(Ⅰ)化简,先求得当时,函数,再还原转化为二次函数在给定区间上的恒成立问题,进而得解; (Ⅱ)先研究一个周期的情形,再结合a的范围即可得解. 解:由已知得,=, (Ⅰ)当时,,, 要使f2(x)﹣mf(x)﹣m≤0恒成立,令t=f(x),则, h(t)=t2﹣mt﹣m≤0对任意均成立,故,解得, ∴实数m的取值范围为; (Ⅱ)假设同时存在实数a和正整数n,使得函数g(x)=f(x)﹣a在[0,nπ]上恰有2019个零点,即函数y=f(x)与直线y=a在[0,nπ]上恰有2019个交点, 当x∈[0,π]时,, ①当或时,函数y=f(x)与直线y=a在[0,nπ]上无交点; ②当时,函数y=f(x)与直线y=a在[0,π]上仅有一个交点,要使函数y=f(x)与直线y=a在[0,nπ]上恰有2019个交点,则n=2019; ③当或时,函数y=f(x)与直线y=a在[0,π]上有两个交点,此时函数y=f(x)与直线y=a在[0,nπ]上有偶数个交点, 不可能有2019个交点,不符合; ④当a=1时,函数y=f(x)与直线y=a在[0,π]上有三个交点,要使函数y=f(x)与直线y=a在[0,nπ]上恰有2019个交点,则n=1009; 综上可得存在实数a和正整数n,当时,n=2019,当a=1时,n=1009.

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  • ID:3-6781914 2018-2019学年河南省商丘市名校联考高二(上)期末数学试卷(文科) 含解析

    高中数学/期末专区/高二上册

    2018-2019学年高二(上)期末数学试卷(文科) 一、选择题(本题共12小题) 1.命题p:?x>0,x2+x+1≤0的否定为(  ) A.?x>0,x2+x+1>0 B.?x<0,x2+x+1>0 C.?x>0,x2+x+1>0 D.?x≤0,x2+x+1>0 2.函数f(x)=(2x+1)(x2﹣x﹣2)的导函数为(  ) A.f′(x)=2x+1 B.f′(x)=4x﹣2 C.f′(x)=4x2+4x﹣3 D.f′(x)=6x2﹣2x﹣5 3.不等式的解集为(  ) A.(﹣3,2] B.[﹣3,2] C.(﹣∞,2] D.(﹣∞,﹣3)∪[2,+∞) 4.曲线y=xlnx+1在点(1,1)处切线的斜率为(  ) A.0 B.﹣1 C.2 D.1 5.已知实数x,y满足,则z=x﹣y的最大值为(  ) A.﹣8 B. C.2 D.8 6.双曲线﹣=1的渐近线方程是(  ) A.y= B.y= C.y= D.y= 7.已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=30,c=20,C=30°,则符合条件的三角形的个数为(  ) A.0 B.1 C.2 D.不确定 8.已知抛物线C:y2=2px上一点M的横坐标为5,且到抛物线C的焦点的距离为,则点M的纵坐标为(  ) A.10 B. C. D. 9.已知命题p:x2﹣3x﹣10>0,命题q:x>m2﹣m+3,若¬p是¬q的充分不必要条件,则实数m的取值范围是(  ) A.[﹣1,2] B.(﹣∞,﹣1]∪[2,+∞) C.(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) D.(﹣1,2) 10.已知函数f(x)=x2﹣3x,g(x)=mx+1,对任意x1∈[1,3],存在x2∈[1,3],使得g(x1)=f(x2),则实数m的取值范围为(  ) A.[,﹣1] B.[﹣1,+∞) C.(﹣∞,﹣1] D.[) 11.若抛物线过A(﹣2,0),B(2,0)两点,且以圆x2+y2=8的切线为准线,则该抛物线的焦点F的轨迹方程是(  ) A.(y≠0) B.(x≠0) C.(y≠0) D.(x≠0) 12.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,f′(x)为f(x)的导函数,且满足当x<0时,有xf′(x)﹣f(x)<0,则不等式f(x)﹣xf(1)>0的解集为(  ) A.(﹣1,0)∪(1,+∞) B.(﹣∞,0)∪(0,1) C.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) D.(﹣1,0)∪(0,1) 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.若两个正实数x,y满足x+4y=1,且不等式>m2﹣8m恒成立,则实数m的取值范围是   . 14.已知数列{an}满足a1=27,an+1﹣an=2n,则的最小值为   . 15.已知函数f(x)=(x2﹣ax+2)ex在区间[1,2]上单调递增,则实数a的取值范围是   . 16.设F1,F2为椭圆的焦点,过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点,若△ABF2为锐角三角形,则该椭圆离心率e的取值范围是   . 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知命题p:函数f(x)=lg(ax2﹣4ax+3)的定义域为R,命题q:?x>0,x+<a.若命题p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数a的取值范围. 18.已知递增的等差数列{an}的前n项和为Sn,满足S5=25,且a2,a5,a9+10成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{}的前n项和为Tn,证明Tn<. 19.已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足bcosC+ccosB=2acos B. (1)求B; (2)若a=4,△ABC的面积为,点M是AC的中点,求BM的长. 20.已知正项数列{an}满足an+12﹣an+1(an+1)﹣an(2an+1)=0,a1=1,数列{bn}为等差数列,b5+1=a4,b4+b7=a5. (1)求证:{an+1}为等比数列,并求{bn}的通项公式; (2)求数列{anbn}的前n项和. 21.已知函数f(x)=x﹣(a+1)lnx(a∈R). (1)若函数y=f(x)在x=3时取得极值.求实数a的值; (2)若对任意的x>1都有f(x)>0成立,求实数a的取值范围. 22.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,以椭圆C的右顶点与下项点为直径端点的圆的面积为. (1)求椭圆C的标准方程; (2)已知点P(0,1),动直线l与椭圆交于y轴同一侧的A、B两点,且满足∠OPA+∠OPB=180°,试问直线l是否过定点,若过定点,求出此定点坐标,若不存在,说明理由. 参考答案 一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.命题p:?x>0,x2+x+1≤0的否定为(  ) A.?x>0,x2+x+1>0 B.?x<0,x2+x+1>0 C.?x>0,x2+x+1>0 D.?x≤0,x2+x+1>0 【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论. 解:命题为全称命题,则命题p:?x>0,x2+x+1≤0的否定为否定为?x>0,x2+x+1>0, 故选:C. 2.函数f(x)=(2x+1)(x2﹣x﹣2)的导函数为(  ) A.f′(x)=2x+1 B.f′(x)=4x﹣2 C.f′(x)=4x2+4x﹣3 D.f′(x)=6x2﹣2x﹣5 【分析】根据题意,由导数乘法的计算公式计算即可得答案. 解:根据题意,f(x)=(2x+1)(x2﹣x﹣2),其导数f′(x)=(2x+1)′(x2﹣x﹣2)+(2x+1)(x2﹣x﹣2)′ =2(x2﹣x﹣2)+(2x+1)(2x﹣1)=6x2﹣2x﹣5, 故选:D. 3.不等式的解集为(  ) A.(﹣3,2] B.[﹣3,2] C.(﹣∞,2] D.(﹣∞,﹣3)∪[2,+∞) 【分析】:利用移项,通分,转化不等式求解即可. 解:由可得,=﹣≥0, ∴ 解可得,﹣3<x≤2, 故不等式的解集为(﹣3,2]. 故选:A. 4.曲线y=xlnx+1在点(1,1)处切线的斜率为(  ) A.0 B.﹣1 C.2 D.1 【分析】求出函数的导数,可得切线的斜率. 解:y=xlnx+1的导数为y′=lnx+1, 曲线y=xlnx+1在点(1,1)处的切线斜率为k=1, 故选:D. 5.已知实数x,y满足,则z=x﹣y的最大值为(  ) A.﹣8 B. C.2 D.8 【分析】根据二元一次不等式组表示平面区域,画出不等式组表示的平面区域,由z=x﹣y得y=x﹣z,利用平移即可得到结论. 解:实数x,y满足,对应的平面区域如图:(阴影部分). 由z=x﹣y得y=x﹣z,平移直线y=x﹣z, 由平移可知当直线y=x﹣z,经过点A时, 直线y=x﹣z的截距最小,此时z取得最大值, 由,解得A(5,﹣3) 代入z=x﹣y=5+3=8, 即z=x﹣y的最大值是8, 故选:D. 6.双曲线﹣=1的渐近线方程是(  ) A.y= B.y= C.y= D.y= 【分析】渐近线方程﹣=0,整理后就得到双曲线的渐近线方程. 解:∵双曲线﹣=1其渐近线方程是﹣=0, 整理得y=±x. 故选:B. 7.已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=30,c=20,C=30°,则符合条件的三角形的个数为(  ) A.0 B.1 C.2 D.不确定 【分析】直接利用正弦定理和大边对大角的应用求出结果. 解:根据正弦定理得:,由于b>c, 所以B>C,则B可取锐角也可取钝角. 故选:C. 8.已知抛物线C:y2=2px上一点M的横坐标为5,且到抛物线C的焦点的距离为,则点M的纵坐标为(  ) A.10 B. C. D. 【分析】利用抛物线的定义与性质,求出p,然后求解点M的纵坐标. 解:抛物线C:y2=2px上一点M的横坐标为5,且到抛物线C的焦点的距离为, 可得5+=,所以p=1,所以点M的纵坐标为:. 故选:D. 9.已知命题p:x2﹣3x﹣10>0,命题q:x>m2﹣m+3,若¬p是¬q的充分不必要条件,则实数m的取值范围是(  ) A.[﹣1,2] B.(﹣∞,﹣1]∪[2,+∞) C.(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞) D.(﹣1,2) 【分析】利用¬p是¬q的充分不必要条件,即可推出q是p的充分不必要条件,可以推出m2﹣m+3≥5,求解即可. 解:∵x2﹣3x﹣10>0, ∴x<﹣2或x>5; ∵¬p是¬q的充分不必要条件, ∴q是p的充分不必要条件; ∴m2﹣m+3≥5, ∴m≥2或m≤﹣1. 故选:B. 10.已知函数f(x)=x2﹣3x,g(x)=mx+1,对任意x1∈[1,3],存在x2∈[1,3],使得g(x1)=f(x2),则实数m的取值范围为(  ) A.[,﹣1] B.[﹣1,+∞) C.(﹣∞,﹣1] D.[) 【分析】依题意,g(x)的值域是f(x)的值域的子集,分m>0,m=0及m<0分类讨论即可得解. 解:对任意x1∈[1,3],存在x2∈[1,3],使得g(x1)=f(x2)等价于g(x)的值域是f(x)的值域的子集, 由二次函数的图象及性质可知,f(x)在区间[1,3]上的值域为, 当m>0时,g(x)的值域为[m+1,3m+1],所以[m+1,3m+1],无解; 当m=0时,显然不成立; 当m<0时,g(x)的值域为[3m+1,m+1],所以[3m+1,m+1],解得, 综上, 故选:A. 11.若抛物线过A(﹣2,0),B(2,0)两点,且以圆x2+y2=8的切线为准线,则该抛物线的焦点F的轨迹方程是(  ) A.(y≠0) B.(x≠0) C.(y≠0) D.(x≠0) 【分析】可设焦点为P,根据抛物线的定义便有|PA|+||PB|=d1+d2,d1,d2分别表示点A,B到切线的距离,而能够知道该距离等于原点O到切线距离的2倍,从而得出|PA|+|PB|=4,这样便可得出抛物线的焦点轨迹为椭圆. 解:画出抛物线的大致图象如下: 根据抛物线的定义知:A,B两点到焦点P的距离和等于A,B两点到准线距离的和; 而A,B两点到准线的距离和等于O到准线距离和的2倍; ∴|PA|+|PB|=4; ∴焦点的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,∴a=2,c=2;b=2, ∴焦点的轨迹方程为:(y≠0). 故选:A. 12.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,f′(x)为f(x)的导函数,且满足当x<0时,有xf′(x)﹣f(x)<0,则不等式f(x)﹣xf(1)>0的解集为(  ) A.(﹣1,0)∪(1,+∞) B.(﹣∞,0)∪(0,1) C.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) D.(﹣1,0)∪(0,1) 【分析】构造函数g(x)=,根据已知条件可判断g(x)的单调性及奇偶性,进而可求解不等式. 解:设g(x)=, ∵当x<0时,有xf′(x)﹣f(x)<0, 则g′(x)=<0,即g(x)在(﹣∞,0)上单调递减, ∵f(x)是定义在R上的奇函数, 故g(x)为R上的偶函数,且g(x)在(0,+∞)上单调递增,距离对称轴越远,函数值越大, 当x>0时,f(x)﹣xf(1)>0等价于,即g(x)>g(1), ∴x>1, 当x<0时,f(x)﹣xf(1)>0等价于,即g(x)<g(﹣1), ∴﹣1<x<0, 综上,不等式的解集(﹣1,0))∪(1,+∞) 故选:A. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.若两个正实数x,y满足x+4y=1,且不等式>m2﹣8m恒成立,则实数m的取值范围是 (﹣1,9) . 【分析】根据题意,由基本不等式的性质求出的最小值为9,进而可得m2﹣8m<9,解可得m的取值范围,即可得答案. 解:根据题意,若两个正实数x,y满足x+4y=1,则()=()(x+4y)=1+++4≥9, 当且仅当x=2y=时等号成立; 若不等式>m2﹣8m恒成立,则有m2﹣8m<9, 解可得:﹣1<m<9,即m的取值范围为(﹣1,9); 故答案为:(﹣1,9). 14.已知数列{an}满足a1=27,an+1﹣an=2n,则的最小值为  . 【分析】数列{an}中满足a1=27,an+1=an+2n,利用an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1=n2﹣n+27,可得=n+﹣1,利用导数考察函数f(x)=x+(x>0)的单调性即可得出. 解:∵数列{an}中满足a1=27,an+1=an+2n,n∈N? ∴an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1 =2(n﹣1)+2(n﹣2)+…+2+27 =n2﹣n+27, ∴=n+﹣1,n∈N? 考察函数f(x)=x+﹣1(x>0)的单调性,f′(x)=1﹣, 由f′(x)>0,解得x>,此时函数f(x)单调递增; 由f′(x)<0,解得1≤x<3,此时函数f(x)单调递减. ∴当n=5时,f(5)=,f(6)=, 的最小值:. 故答案为:. 15.已知函数f(x)=(x2﹣ax+2)ex在区间[1,2]上单调递增,则实数a的取值范围是 (﹣] . 【分析】由题意可得,f′(x)=[x2+(2﹣a)x+(2﹣a)]ex≥0在[1,2]上恒成立,结合函数的单调性可求. 解:∵f(x)=(x2﹣ax+2)ex在区间[1,2]上单调递增, ∴f′(x)=[x2+(2﹣a)x+(2﹣a)]ex≥0在[1,2]上恒成立, ∴2﹣a在[1,2]上恒成立, ∵==﹣[(x+1)+]﹣2, ∴, ∴, 则实数a的取值范围是(﹣]. 故答案为:(﹣]. 16.设F1,F2为椭圆的焦点,过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点,若△ABF2为锐角三角形,则该椭圆离心率e的取值范围是  . 【分析】先依据条件求出AF1的长度,由题意知∠AF2F1 小于45°,由 tan∠AF2F1<1 建立关于a、c的不等式, 转化为关于e的不等式,解此不等式求出离心率e的范围,再结合 0<e<1 得到准确的离心率e的范围. 解:由题意知∠AF2F1小于45°,故 tan∠AF2F1=<1,即<1, b2<2ac,a2﹣c2<2ac,e2+2e﹣1>0,∴e>﹣1,或 e<﹣1﹣(舍去). 又 0<e<1,故有﹣1<e<1, 故答案为:﹣1<e<1. 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知命题p:函数f(x)=lg(ax2﹣4ax+3)的定义域为R,命题q:?x>0,x+<a.若命题p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数a的取值范围. 【分析】求出命题p、q为真时对应的a的取值范围,再根据复合命题的真假性求出满足题意的a的取值范围. 解:若命题p为真命题,则?x∈R,ax2﹣4ax+3>0恒成立, 所以a=0或,解得0≤a<, 若命题q为真命题,因为当x>0时,x+≥2=2, 当且仅当x=1时上式取等号,∴a>2. ∵命题p∨q为真命题,p∧q为假命题, ∴p、q一真一假, ∴当p真q假时,, 当q真p假时,, 综上可知,实数a的取值范围是[0,)∪(2,+∞). 18.已知递增的等差数列{an}的前n项和为Sn,满足S5=25,且a2,a5,a9+10成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{}的前n项和为Tn,证明Tn<. 【分析】(1)利用已知条件运用等差数列的求和公式和等比数列的中项性质,结合等差数列的通项公式,列出方程组求出数列的首项与公差,然后求解通项公式; (2)求得==(﹣),然后利用裂项消项法求解数列的和,由不等式的性质即可得证. 解:(1)递增的等差数列{an}的公差设为d,d>0, 由S5=25,可得5a1+10d=25,即a1+2d=5, a2,a5,a9+10成等比数列,可得a2(a9+10)=a52, 即为(a1+d)(a1+8d+10)=(a1+4d)2, 解得a1=1,d=2,可得an=1+2(n﹣1)=2n﹣1; (2)证明:==(﹣), 可得前n项和为Tn=(1﹣+﹣+…+﹣) =(1﹣)<. 19.已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足bcosC+ccosB=2acos B. (1)求B; (2)若a=4,△ABC的面积为,点M是AC的中点,求BM的长. 【分析】(1)由正弦定理,两角和的正弦函数公式化简已知等式可求cosB=,结合范围0<B<π,可求B的值. (2)由已知利用三角形的面积公式可求c,由余弦定理解得b,可得AM=CM=,分别在△AMB,△CMB中利用余弦定理即可解得BM的值. 解:(1)∵bcosC+ccosB=2acosB, ∴由正弦定理可得:sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB,即sin(B+C)=2sinAcosB, ∵B+C=π﹣A, ∴sin(B+C)=sinA, ∵sinA≠0, ∴cosB=, ∵0<B<π, ∴B=. (2)∵a=4,B=,△ABC的面积为, ∴S△ABC=acsinB==, ∵c=1, ∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB=16+1﹣2×=13,解得b=, ∴AM=CM=, ∵∠AMB+∠CMB=π, ∴分别在△AMB,△CMB中利用余弦定理可得:+=0, 代入a=4,c=1,AM=CM=,解得BM=. 20.已知正项数列{an}满足an+12﹣an+1(an+1)﹣an(2an+1)=0,a1=1,数列{bn}为等差数列,b5+1=a4,b4+b7=a5. (1)求证:{an+1}为等比数列,并求{bn}的通项公式; (2)求数列{anbn}的前n项和. 【分析】(1)由题意可得an+1=2an+1,即有an+1+1=2(an+1),运用等比数列的定义,可得{an+1}为首项和公比都为2的等比数列;由等比数列的通项公式可得an,再由等差数列的通项公式,解方程可得首项和公差,可得bn; (2)求得anbn=(3n﹣1)?(2n﹣1)=(3n﹣1)?2n﹣(3n﹣1),运用数列的分组求和、错位相减法求和,结合等差数列和等比数列的求和公式,可得所求和. 解:(1)证明:正项数列{an}满足an+12﹣an+1(an+1)﹣an(2an+1)=0, 可得(an+1+an)(an+1﹣2an﹣1)=0,(an>0), 则an+1=2an+1,即有an+1+1=2(an+1), 可得{an+1}为首项为2,公比为2的等比数列; 则an+1=2n,即an=2n﹣1, 数列{bn}为等差数列,b5+1=a4=15,即b5=14,b1+4d=14, b4+b7=a5=31,即2b1+9d=31, 解得b1=2,d=3, 可得bn=2+3(n﹣1)=3n﹣1; (2)anbn=(3n﹣1)?(2n﹣1)=(3n﹣1)?2n﹣(3n﹣1), 数列{anbn}的前n项和Tn=2?2+5?4+8?8+…+(3n﹣1)?2n﹣(2+5+8+…+3n﹣1), 可设Sn=2?2+5?4+8?8+…+(3n﹣1)?2n, 2Sn=2?4+5?8+8?16+…+(3n﹣1)?2n+1, 相减可得﹣Sn=4+3(4+8+…+2n)﹣(3n﹣1)?2n+1 =4+3?﹣(3n﹣1)?2n+1, 化为Sn=8+(3n﹣4)?2n+1, 则数列{anbn}的前n项和Tn=8+(3n﹣4)?2n+1﹣. 21.已知函数f(x)=x﹣(a+1)lnx(a∈R). (1)若函数y=f(x)在x=3时取得极值.求实数a的值; (2)若对任意的x>1都有f(x)>0成立,求实数a的取值范围. 【分析】(1)由题意可得f′(3)=0,代入即可求解a (2)由(1))f′(x)=,讨论a与1的大小,分别判断f′(x)的符号,然后结合导数与单调性的关系可求. 解:(1)∵f′(x)=1﹣+=, 由y=f(x)在x=3时取得极值可得f′(3)==0, ∴a=3, 当a=3时,f′(x)>0可得0<x<1或x>3,此时函数单调递增, f′(x)<0可得1<x<3,此时函数单调递减, 故x=3是函数的极小值,符合题意, 综上可得,a=3; (2)由(1))f′(x)=, 当a≤1时,f′(x)>0恒成立,故f(x)在(1,+∞)上单调递增, 只要f(1)=1﹣a≥0, 解可得,a≤1, 当a>1时,由f′(x)>0可得,x>a,此时函数f(x)单调递增, 由f′(x)<0可得,1<x<a,此时函数f(x)单调递减, 故只要f(a)=a﹣1﹣(a+1)lna>0, 因为当a>1时,f(1)=1﹣a<0,而f(x)在(1,a)上单调递减, 故当1<x<a时,f(x)<0,不符合题意, 综上可得,a的范围(﹣∞,1]. 22.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,以椭圆C的右顶点与下项点为直径端点的圆的面积为. (1)求椭圆C的标准方程; (2)已知点P(0,1),动直线l与椭圆交于y轴同一侧的A、B两点,且满足∠OPA+∠OPB=180°,试问直线l是否过定点,若过定点,求出此定点坐标,若不存在,说明理由. 【分析】(1)由题意的离心率及以右顶点和下顶点为直径的圆的面积和a,b,c之间的关系可求出椭圆的标准方程; (2)由两个角的和为180°可得两条直线互为补角,即斜率互为相反数,设直线l与椭圆联立得两根之和,两根之积,代入斜率之和中,可得过定点,经验值,不符合题意,所以不存在这样的点. 解:(1)由题意得:椭圆的右顶点为(b,0),下顶点(0,﹣a),所以椭圆C的右顶点与下项点为直径端点的圆的半径为,所以=,即:a2+b2=7;=,即a=2c,而a2=b2+c2所以a2=4,b2=3, 所以椭圆C的标准方程为:=1; (2)由题意得直线l的斜率存在且不为零, 所以设l的方程:y=kx+m,(k≠0)A(x,y),B(x',y'), 代入椭圆方程整理得:(4+3k2)x2+6kmx+3m2﹣12=0,△>0,m2<4+3k2,x+x'=,xx'=, 因为∠OPA+∠OPB=180°得kPA+kPB=0, 而kPA=,kPB=, 所以==0即:2kxx'+(m﹣1)(x+x')=0, 所以2k?+(m﹣1)==0, 所以m=4,所以直线y=kx+4,与椭圆联立,(4+3k2)x2+24kx+36=0,△=0时,k2=4,与椭圆相切,过上顶点与(4,0)时,斜率为﹣,所以在y轴同一侧时斜率在(﹣2,﹣)∪(,2),而这时不满足42<4+3k2,所以不存在符合体中的条件.

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  • ID:3-6781913 2018-2019学年人教A版甘肃省临夏州临夏中学特长班高一(上)期末数学试卷 含解析

    高中数学/期末专区/高一上册

    2018-2019学年高一(上)期末数学试卷 一、选择题(本题共10小题) 1.直线2x﹣y+3=0与直线x+2y﹣5=0的位置关系是(  ) A.平行 B.垂直 C.重合 D.相交但不垂直 2.如果直线y=kx﹣1与直线y=3x平行,那么实数k的值为(  ) A.﹣1 B. C. D.3 3.直线l1:x+y﹣2=0与直线互相垂直,则实数a的值为(  ) A.﹣1 B.1 C.±1 D.0 4.过点(2,﹣3)且斜率为2的直线方程为(  ) A.2x﹣y+7=0 B.2x﹣y﹣7=0 C.2x﹣y+1=0 D.2x﹣y﹣1=0 5.过点A(3,4)且与直线l:x﹣2y﹣1=0平行的直线的方程是(  ) A.x+2y﹣11=0 B.2x+y﹣10=0 C.x﹣2y+5=0 D.x﹣2y﹣5=0 6.已知点P(2,3)点Q(1,4),则|PQ|为(  ) A.4 B.2 C. D. 7.在空间直角坐标系中,已知A(1,0,﹣3),B(4,﹣2,1),则|AB|=(  ) A. B. C. D. 8.圆心为(1,﹣1)且过原点的圆的方程是(  ) A.(x+1)2+(y﹣1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x﹣1)2+(y+1)2=2 D.(x﹣1)2+(y﹣1)2=2 9.圆x2+y2﹣4=0与圆x2+y2+2x=0的位置关系是(  ) A.相离 B.相切 C.相交 D.内含 10.直线3x﹣4y=0截圆(x﹣1)2+(y﹣2)2=2所得弦长为(  ) A.4 B.2 C.2 D.2 二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.) 11.若三点A(1,1),B(a,0),C(0,2)共线,则a=   . 12.直线5x﹣2y﹣10=0在y轴上的截距为   . 13.已知直线3x+2y﹣1=0和直线mx+4y+2=0互相平行,则它们之间的距离是   . 14.圆C的方程是x2+y2+2x+4y=0,则其圆心坐标是   ,半径是    三、解答题(本大题共4小题,每题10分,共40分.) 15.已知直线l的方程为3x+4y﹣12=0,求下列直线l′的方程,l′满足: (1)过点(﹣1,3),且与l平行; (2)过点(﹣1,3),且与l垂直; 16.已知△ABC的点A(1,3),B(2,7),C(﹣3,4). (1)判断△ABC的形状; (2)设D,E分别为AB,AC的中点,求直线DE的斜率; 17.已知圆C的圆心在直线x﹣2y﹣3=0上,并且经过A(2,﹣3)和B(﹣2,﹣5),求圆C的标准方程. 18.已知△ABC的三个顶点分别是A(4,1),B(6,0),C(﹣3,0),求△ABC外接圆的方程. 参考答案 一.选择题(将正确答案填到答题栏内) 1.直线2x﹣y+3=0与直线x+2y﹣5=0的位置关系是(  ) A.平行 B.垂直 C.重合 D.相交但不垂直 【分析】根据两直线的系数关系满足A1A2+B1B2=0,判断两直线垂直. 解:直线l1:2x﹣y+3=0, 直线l2:x+2y﹣5=0, 则2×1+(﹣1)×2=0, ∴l1、l2的位置关系是互相垂直. 故选:B. 2.如果直线y=kx﹣1与直线y=3x平行,那么实数k的值为(  ) A.﹣1 B. C. D.3 【分析】利用两条直线相互平行的充要条件即可得出. 解:∵直线y=kx﹣1与直线y=3x平行, ∴k=3,经过验证满足两条直线平行. 故选:D. 3.直线l1:x+y﹣2=0与直线互相垂直,则实数a的值为(  ) A.﹣1 B.1 C.±1 D.0 【分析】利用相互垂直即可得出. 解:由直线l1:x+y﹣2=0与直线互相垂直,则1﹣a2=0,解得a=±1. 故选:C. 4.过点(2,﹣3)且斜率为2的直线方程为(  ) A.2x﹣y+7=0 B.2x﹣y﹣7=0 C.2x﹣y+1=0 D.2x﹣y﹣1=0 【分析】根据题意,由直线的点斜式方程可得直线的方程为y+3=2(x﹣2),变形可得答案. 解:根据题意,过点(2,﹣3)且斜率为2的直线方程为y+3=2(x﹣2), 变形可得2x﹣y﹣7=0; 故选:B. 5.过点A(3,4)且与直线l:x﹣2y﹣1=0平行的直线的方程是(  ) A.x+2y﹣11=0 B.2x+y﹣10=0 C.x﹣2y+5=0 D.x﹣2y﹣5=0 【分析】与直线l:x﹣2y﹣1=0平行的直线的方程是:x﹣2y+m=0.把点A(3,4)代入解得m即可得出. 解:与直线l:x﹣2y﹣1=0平行的直线的方程是:x﹣2y+m=0. 把点A(3,4)代入可得:3﹣8+m=0,解得m=5. ∴与直线l:x﹣2y﹣1=0平行的直线的方程是:x﹣2y+5=0. 故选:C. 6.已知点P(2,3)点Q(1,4),则|PQ|为(  ) A.4 B.2 C. D. 【分析】直接利用两点间距离公式求解即可. 解:点P(2,3)点Q(1,4), 则|PQ|==. 故选:C. 7.在空间直角坐标系中,已知A(1,0,﹣3),B(4,﹣2,1),则|AB|=(  ) A. B. C. D. 【分析】利用空间直角坐标系中两点间的距离公式,计算即可. 解:空间直角坐标系中,A(1,0,﹣3),B(4,﹣2,1), 则|AB|==. 故选:B. 8.圆心为(1,﹣1)且过原点的圆的方程是(  ) A.(x+1)2+(y﹣1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x﹣1)2+(y+1)2=2 D.(x﹣1)2+(y﹣1)2=2 【分析】已知圆心,先求出圆的半径,可得圆的方程. 解:圆心为(1,﹣1)且过原点的圆的半径为=, 故圆心为(1,﹣1)且过原点的圆的圆的方程为(x﹣1)2+(y+1)2=2, 故选:C. 9.圆x2+y2﹣4=0与圆x2+y2+2x=0的位置关系是(  ) A.相离 B.相切 C.相交 D.内含 【分析】把圆的方程化为标准形式,求出圆心坐标和圆的半径,再根据这两个圆的圆心距为d=R﹣r,可得两圆相内切. 解:圆x2+y2﹣4=0即x2+y2=4,表示以原点O为圆心、半径等于2的圆, 圆x2+y2+2x=0,即 (x+1)2+y2 =1,表示以C(﹣1,0)为圆心、半径等于1的圆. 由于这两个圆的圆心距为d=OC==2﹣1=R﹣r,故两圆相内切, 故选:B. 10.直线3x﹣4y=0截圆(x﹣1)2+(y﹣2)2=2所得弦长为(  ) A.4 B.2 C.2 D.2 【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,再由垂径定理可得直线3x﹣4y=0截圆(x﹣1)2+(y﹣2)2=2所得弦长. 解:圆(x﹣1)2+(y﹣2)2=2的圆心坐标为(1,2),半径为, 则圆心(1,2)到直线3x﹣4y=0的距离d=, 由垂径定理可得直线3x﹣4y=0截圆(x﹣1)2+(y﹣2)2=2所得弦长为2×. 故选:D. 二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.) 11.若三点A(1,1),B(a,0),C(0,2)共线,则a= 2 . 【分析】根据题意,由三点共线可得kAB=kAC,即=,解可得a的值,即可得答案. 解:根据题意,若三点A(1,1),B(a,0),C(0,2)共线, 则kAB=kAC,即=,解可得a=2; 故答案为:2 12.直线5x﹣2y﹣10=0在y轴上的截距为 ﹣5 . 【分析】化直线方程的一般式为截距式,则直线5x﹣2y﹣10=0在y轴上的截距可求. 解:由5x﹣2y﹣10=0,得,即. 所以直线5x﹣2y﹣10=0在y轴上的截距为﹣5. 故答案为﹣5. 13.已知直线3x+2y﹣1=0和直线mx+4y+2=0互相平行,则它们之间的距离是  . 【分析】直线3x+2y﹣1=0和直线mx+4y+2=0互相平行,﹣=﹣,解得m,再利用两点之间的距离公式即可得出. 解:直线3x+2y﹣1=0和直线mx+4y+2=0互相平行, ∴﹣=﹣,解得m=6. 直线6x+4y+2=0化为:3x+2y+1=0, 则它们之间的距离==. 故答案为:. 14.圆C的方程是x2+y2+2x+4y=0,则其圆心坐标是 (﹣1,﹣2) ,半径是   【分析】把圆的一般方程化为标准方程,可得圆的圆心和半径. 解:圆C的方程是x2+y2+2x+4y=0,即 (x+1)2+(y+2)2 =5,则其圆心坐标位(﹣1,﹣2),半径为, 故答案为:(﹣1,﹣2);. 三、解答题(本大题共4小题,每题10分,共40分.) 15.已知直线l的方程为3x+4y﹣12=0,求下列直线l′的方程,l′满足: (1)过点(﹣1,3),且与l平行; (2)过点(﹣1,3),且与l垂直; 【分析】(1)由l∥l′,得l′的斜率为﹣,由此能求出直线l′的方程. (2)由l′与l垂直,得l′的斜率为,由此能求出直线l′的方程. 解:(1)∵l∥l′,∴l′的斜率为﹣, ∴直线l′的方程为:y﹣3=﹣(x+1),即3x+4y﹣9=0. (2)∵由l′与l垂直,∴l′的斜率为, ∴直线l′的方程为:y﹣3=(x+1),即4x﹣3y+13=0. 16.已知△ABC的点A(1,3),B(2,7),C(﹣3,4). (1)判断△ABC的形状; (2)设D,E分别为AB,AC的中点,求直线DE的斜率; 【分析】(1)由已知点的坐标分别求出AB,AC,BC及BC边上中线的斜率,由斜率关系可得△ABC的形状; (2)由已知可得DE∥BC,则直线DE的斜率可求. 解:(1)∵A(1,3),B(2,7),C(﹣3,4), ∴,,. 设F为BC的中点,则F(),. 由于kAB?kAC=﹣1,kBC?kAF=﹣1, ∴△ABC是等腰直角三角形; (2)由于D,E分别为AB,AC的中点, ∴DE∥BC,即. 故直线DE的斜率为. 17.已知圆C的圆心在直线x﹣2y﹣3=0上,并且经过A(2,﹣3)和B(﹣2,﹣5),求圆C的标准方程. 【分析】线段AB的中垂线所在直线与直线x﹣2y﹣3=0的交点即为圆C的圆心,再求出半径CA的值,即可求得圆的标准方程. 解:由已知,线段AB的中垂线所在直线与直线x﹣2y﹣3=0的交点即为圆C的圆心. 线段AB的斜率为:KAB==,∴线段AB的中垂线所在直线的斜率为﹣=﹣2, 又∵线段AB的中点为(0,﹣4),∴线段AB的中垂线所在直线方程为:y+4=﹣2x,即2x+y+4=0. 由 ,求得,∴圆C的圆心坐标为(﹣1,﹣2) ∴圆C的半径r满足:r2=(2+1)2+(﹣3+2)2=10, ∴圆C的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10. 18.已知△ABC的三个顶点分别是A(4,1),B(6,0),C(﹣3,0),求△ABC外接圆的方程. 【分析】设出圆的标准方程,代入点,联立解方程组即可. 解:设圆的标准方程为(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2, 把点代入,得,联立解方程组得,r=, 所以△ABC外接圆的方程为.

    • 2020-01-20
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  • ID:3-6781796 人教版2019-2020学年四川省自贡市九年级第一学期期末数学试卷 含解析

    初中数学/期末专区/九年级上册

    2019-2020学年九年级(上)期末数学试卷 一.选择题 1.下列汽车标志中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是   A. B. C. D. 2.下列事件:①.在足球比赛中,中国男足战胜德国男足;②.有交通信号灯的路口遇到红灯;③.连续两次抛掷一枚普通的正方体骰子得到的点数之和为13;④.任取一数为,使它满足.其中随机事件有   A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 3.方程的两根为,,则   A. B.18 C.9 D.0 4.社会主义核心价值观中:“富强、民主、文明、和谐”是国家层面的价值目标;“自由、平等、公正、法治”是社会层面的价值取向;“爱国、敬业、诚信、友善”是公民个人层面的价值准则.现将12个词语写在12张不透明的卡片上(背面完全一样),背面朝上放在桌面上,从中随机抽取一张,抽到社会层面价值取向的卡片的概率为   A. B. C. D. 5.若点与点关于原点对称,则点位于   A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.已知是方程的一个根,则代数式的值为   A.1 B. C.或1 D.2 7.如图,、、三点在上,,则等于   A. B. C. D. 8.将抛物线向左平移3个单位,再向上平移1个单位得到的抛物线,其解析式是   A. B. C. D. 9.关于的一元二次方程有实数根,则的值范围是   A.且 B.且 C. D. 10.若一个圆锥的底面半径为,高为,则圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为   A. B. C. D. 11.如图,在中,,;若将绕点逆时针旋转到△的位置,连接,则的长为   A. B. C. D. 12.如图,的图象经过点,;有如下判断: ①;②;③;④. 其中正确的判断有   A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二.填空题(本大题共6个小题,每题4分,共24分) 13.抛物线的对称轴  . 14.已知正六边形的边心距为,则这个正六边形的边长为   . 15.已知的半径是一元二次方程的解,且点到直线的距离是,则直线与的位置关系是  . 16.已知一个口袋中有5个只有颜色不同的球,其中红球2个,黄球3个,若在口袋中再放入个红球、个黄球,从口袋中随机摸出一个黄球的概率是.则与的函数关系式为  . 17.若二次函数的图象经过,则关于的方程的实数根是  . 18.如图,是的直径,为圆上一点,且,的半径为2,为圆上一动点,为的中点,则的长的最值是  . 三、解答题(共8个题,.共78分) 19.如图,抛物线与轴交于,两点.求该抛物线的解析式. 20.如图,点是的内心,的延长线和的外接圆相交于点.求证:. 21.已知关于的一元二次方程中,; (1)若,求的值; (2)若方程有两个相等的实数根,求方程的根. 22.如图为一个封闭的圆形装置,整个装置内部为、、三个区域、两区域为圆环,区域为小圆),具体数据如图. (1)求出、、三个区域三个区域的面积:   ,  ,  ; (2)随机往装置内扔一粒豆子,多次重复试验,豆子落在区域的概率为多少? (3)随机往装置内扔180粒豆子,请问大约有多少粒豆子落在区域? 23.用配方法解关于的一元二次方程. 24.已知是的外接圆,是的直径,是延长线上的一点,交的延长线于,交于,于,点是弧的中点. (1)求证:是的切线; (2)若,是一元二次方程的两根,求和的长. 25.某校学生准备购买标价为50元的《现代汉语词典》,现有甲、乙两书店出售此书,甲店按如下方法促销:若只购1本,则按原价销售;若一次性购买多于1本,但不多于30本时,每多购一本,售价在标价的基础上优惠(例如买2本,每本售价优惠;买三本,每本售价优惠,以此类推);若多于30本,每本售价20元.乙书店一律按标价的6折销售. (1)分别写出在两书店购买此书总价、与购书本数之间的函数关系式; (2)若这些学生一次性购买多于30本时,那么去哪家书店购买更划算,为什么?若要一次性购买不多于30本时,先写出与购买本数之间的函数式,画出其图象,再利用函数图象分析去哪家书店购买更划算. 26.矩形中,,,将矩形绕点顺时针旋转至矩形(其中、、分别与、、对应). (1)如图1,当点落在边上时,直接写出的长为  ; (2)如图2,当点落在线段上时,与交于点,求的长; (3)如图3,记为矩形对角线的交点,为的面积,求的取值范围. 参考答案与试题解析 一.选择题(每小题4分,共48分) 1.下列汽车标志中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是   A. B. C. D. 【解答】解:、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不合题意; 、不是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不合题意; 、是轴对称图形,也是中心对称图形,故本选项正确; 、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不合题意. 故选:. 2.下列事件:①.在足球比赛中,中国男足战胜德国男足;②.有交通信号灯的路口遇到红灯;③.连续两次抛掷一枚普通的正方体骰子得到的点数之和为13;④.任取一数为,使它满足.其中随机事件有   A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【解答】解:①、在足球比赛中,中国男足战胜德国男足,是随机事件; ②、有交通信号灯的路口遇到红灯,是随机事件; ③、连续两次抛掷一枚普通的正方体骰子得到的点数之和为13,是不可能事件; ④、任取一数为,使它满足,是随机事件; 故选:. 3.方程的两根为,,则   A. B.18 C.9 D.0 【解答】解:由题意可知:,, 原式, 故选:. 4.社会主义核心价值观中:“富强、民主、文明、和谐”是国家层面的价值目标;“自由、平等、公正、法治”是社会层面的价值取向;“爱国、敬业、诚信、友善”是公民个人层面的价值准则.现将12个词语写在12张不透明的卡片上(背面完全一样),背面朝上放在桌面上,从中随机抽取一张,抽到社会层面价值取向的卡片的概率为   A. B. C. D. 【解答】解:将12个词语写在12张不透明的卡片上(背面完全一样),背面朝上放在桌面上,从中随机抽取一张, 则抽到社会层面价值取向的卡片的概率为, 故选:. 5.若点与点关于原点对称,则点位于   A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解答】解:点与点关于原点对称, ,, 解得:,, 故点坐标为:, 则点位于第二象限. 故选:. 6.已知是方程的一个根,则代数式的值为   A.1 B. C.或1 D.2 【解答】解:是方程的一个根, , 整理得,, . 故选:. 7.如图,、、三点在上,,则等于   A. B. C. D. 【解答】解:设点是优弧上一点, , , . 故选:. 8.将抛物线向左平移3个单位,再向上平移1个单位得到的抛物线,其解析式是   A. B. C. D. 【解答】解:抛物线先向左平移3个单位得到解析式:,再向上平移1个单位得到抛物线的解析式为:. 故选:. 9.关于的一元二次方程有实数根,则的值范围是   A.且 B.且 C. D. 【解答】解:由题意可知:△且, 且, 故选:. 10.若一个圆锥的底面半径为,高为,则圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为   A. B. C. D. 【解答】解:设圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为, 圆锥的母线长为, 所以,解得, 即圆锥的侧面展开图中圆心角的度数为. 故选:. 11.如图,在中,,;若将绕点逆时针旋转到△的位置,连接,则的长为   A. B. C. D. 【解答】解:如图,连接,延长交于点; 由题意得:,, 为等边三角形, ,; 在与△中,, △, , ,且; 由题意得:, ,, ;由勾股定理可求:, , 故选:. 12.如图,的图象经过点,;有如下判断: ①;②;③;④. 其中正确的判断有   A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解答】解:抛物线开口向下.则,对称轴在轴右侧,、异号,有,与轴交于正半轴,则,因此,故①正确; 的图象经过点,则,即:,又,,所以,因此不正确,即②不正确; ,是方程,的两个根,则有,所以, 又,, , 即:,因此③正确; ,是方程,的两个根, ,, , 即:,也就是:,因此④正确; 综上所述,正确的结论有3个, 故选:. 二.填空题(本大题共6个小题,每题4分,共24分) 13.抛物线的对称轴  . 【解答】解:为抛物线的顶点式, 抛物线的对称轴是, 故答案为:. 14.已知正六边形的边心距为,则这个正六边形的边长为  2  . 【解答】解:正六边形的边心距为, ,, , . 故答案为: 2 . 15.已知的半径是一元二次方程的解,且点到直线的距离是,则直线与的位置关系是 相交 . 【解答】解:的半径是一元二次方程的解, 解方程, , 解得:(舍去),, , 点到直线距离是, , 直线与圆相交. 故答案为相交. 16.已知一个口袋中有5个只有颜色不同的球,其中红球2个,黄球3个,若在口袋中再放入个红球、个黄球,从口袋中随机摸出一个黄球的概率是.则与的函数关系式为  . 【解答】解:根据题意得: , 整理得:, 则与之间的函数关系式为:. 故答案为:. 17.若二次函数的图象经过,则关于的方程的实数根是 或0 . 【解答】解:把代入二次函数得:, 解得:, 所以二次函数的解析式为, 当时,, 解得:, 即二次函数与轴的交点坐标是和, 所以把二次函数向左平移2个单位得出二次函数, 即关于的方程的实数根为或, 故答案为:或0. 18.如图,是的直径,为圆上一点,且,的半径为2,为圆上一动点,为的中点,则的长的最值是  . 【解答】解:如图,连接,作于. , , , 点的运动轨迹为以为直径的,连接, 当点在的延长线上时,的值最大, 在中, ,, ,, 在中,, 的最大值为 三、解答题(共8个题,.共78分) 19.如图,抛物线与轴交于,两点.求该抛物线的解析式. 【解答】解:抛物线与轴的两个交点分别为,, , 解得. 所求抛物线的解析式为:. 20.如图,点是的内心,的延长线和的外接圆相交于点.求证:. 【解答】证明:连接 是的内心 又 是等腰三角形 21.已知关于的一元二次方程中,; (1)若,求的值; (2)若方程有两个相等的实数根,求方程的根. 【解答】解:(1)且, , ; (2)根据题意得△, , , , 解得, , 原方程化为, 解得. 22.如图为一个封闭的圆形装置,整个装置内部为、、三个区域、两区域为圆环,区域为小圆),具体数据如图. (1)求出、、三个区域三个区域的面积:   ,  ,  ; (2)随机往装置内扔一粒豆子,多次重复试验,豆子落在区域的概率为多少? (3)随机往装置内扔180粒豆子,请问大约有多少粒豆子落在区域? 【解答】解:(1), , ; 故答案为:,,; (2)豆子落在区域的概率为:; (3)根据题意得: (粒, 答:大约有100粒豆子落在区域. 23.用配方法解关于的一元二次方程. 【解答】解:关于的方程是一元二次方程, . 由原方程,得 , 等式的两边都加上,得 , 配方,得 , 当时, 开方,得:, 解得,, 当时,解得:; 当时,原方程无实数根. 24.已知是的外接圆,是的直径,是延长线上的一点,交的延长线于,交于,于,点是弧的中点. (1)求证:是的切线; (2)若,是一元二次方程的两根,求和的长. 【解答】(1)证明:连接, 点是弧的中点, , , , , , , , , 为半径, 是的切线; (2)连接, , , ,是一元二次方程的两根, ,, , 是的直径, , , ,, ,, , , ,, , , . 25.某校学生准备购买标价为50元的《现代汉语词典》,现有甲、乙两书店出售此书,甲店按如下方法促销:若只购1本,则按原价销售;若一次性购买多于1本,但不多于30本时,每多购一本,售价在标价的基础上优惠(例如买2本,每本售价优惠;买三本,每本售价优惠,以此类推);若多于30本,每本售价20元.乙书店一律按标价的6折销售. (1)分别写出在两书店购买此书总价、与购书本数之间的函数关系式; (2)若这些学生一次性购买多于30本时,那么去哪家书店购买更划算,为什么?若要一次性购买不多于30本时,先写出与购买本数之间的函数式,画出其图象,再利用函数图象分析去哪家书店购买更划算. 【解答】解:(1)设购买本,则在书店购书的总费用为: , 在书店购书的总费用为:; (2)当时,显然,即到书店购买更合算, 当时, , 当时,解得:,, 由图象可得出:当时,, 当时,, 当时,, 综上所述,若购书少于21本,则到书店购买更合算;若购书21本,到,购书的费用一样; 若购书超过21但不多于20本,则到书店购书更合算. 26.矩形中,,,将矩形绕点顺时针旋转至矩形(其中、、分别与、、对应). (1)如图1,当点落在边上时,直接写出的长为  ; (2)如图2,当点落在线段上时,与交于点,求的长; (3)如图3,记为矩形对角线的交点,为的面积,求的取值范围. 【解答】解:(1)如图1中, 四边形是矩形, ,, , , , 故答案为. (2)如图2中, 由四边形是矩形,得到, 点在线段上, , ,, . , , , ,设,则, 在中,, , , ,. (3)如图,当点在对角线上时,的面积最小,最小值. 当点在的延长线上时,△的面积最大.最大值 综上所述,.

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  • ID:3-6781783 2019-2020学年浙教版浙江省湖州市吴兴区九年级第一学期(上)期中数学试卷 含解析

    初中数学/期中专区/九年级上册

    2019-2020学年九年级(上)期中数学试卷 一、选择题(本题有10小题) 1.下列函数是二次函数的是   A. B. C. D. 2.下列成语或词组所描述的事件,不可能事件的是   A.守株待兔 B.水中捞月 C.瓮中捉鳖 D.十拿九稳 3.在同一平面内,的半径为,点到圆心的距离,则点与圆的位置关系为   A.点在圆内 B.点在圆上 C.点在圆外 D.无法确定 4.对于函数,下列结论错误的是   A.图象顶点是 B.图象开口向上 C.图象关于直线对称 D.函数最大值为5 5.如图,已知是的圆心角,,则圆周角的度数是   A. B. C. D. 6.在一个不透明的布袋中装有红色,白色玻璃球共40个,除颜色外其他完全相同.小明通过多次摸球试验后发现,其中摸到红色球的频率稳定在左右,则口袋中红色球可能有   A.4个 B.6个 C.34个 D.36个 7.如图,为的弦,过点作的垂线,交于点,交于点,已知的直径为10,,则的长为   A.4 B.6 C.8 D.10 8.矩形的两条对称轴为坐标轴,点的坐标为,一张透明纸上画有一个点和一条抛物线,平移透明纸,使这个点与点重合,此时抛物线的函数表达式为,再次平移透明纸,使这个点于点重合,则该抛物线的函数表达式变为   A. B. C. D. 9.在平面直角坐标系,某二次函数图象的顶点为,此函数图象与轴交于、两点,且.若此函致图象经过,,,四点,则实数,,,中为负数的是   A. B. C. D. 10.如图,是的直径,点,在上,,,,则的半径为   A. B. C. D. 二、填空题(本题有6小题,每小题4分,共24分) 11.在一个不透明的布袋中装有8个白球和4个红球,它们除了颜色不同外,其余均相同.从中随机摸出一个球,摸到红球的概率是  . 12.抛物线与轴交点坐标为  . 13.如图,三角形绕点逆时针旋转到三角形的位置,已知,则  度. 14.图1是一款优雅且稳定的抛物线型落地灯.防滑螺母为抛物线支架的最高点,灯罩距离地面1.86米,灯柱及支架的相关数据如图2所示.若茶几摆放在灯罩的正下方,则茶几到灯柱的距离为  米. 15.如图,抛物线与直线交于,两点,则不等式的解集是  . 16.如图,是的直径,、是上的两个动点(点、不与、重合),在运动过程中弦始终保持不变,是弦的中点,过点作于点.若,,当取得最大值时,的长度为  . 三、解答题(本题有8小题,共66分) 17.已知二次函数的图象过点. (1)求这个二次函数的解析式; (2)判断点是否在抛物线上. 18.一个不透明的布袋里装有2个白球,1个黑球和若干个红球,它们除颜色外其余都相同,从中任意摸出1个球,是白球的概率为. (1)布袋里红球有多少个? (2)先从布袋中摸出1个球后不放回,再摸出1个球,请用列表法或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率. 19.如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格,线段的端点在格点上. (1)将线段绕点逆时针旋转得线段;建立适当的平面直角坐标系,使得的坐标为,在此坐标系下,点的坐标为  . (2)第(1)题的坐标系下,二次函数的图象过、、三点,试求出抛物线解析式. 20.如图,是的直径,半径弦,点为垂足,连、. (1)若,求的度数; (2)若,,求的半径. 21.对于一个函数给出如下定义:对于函数,当,函数值满足,且满足,则称此函数为“属函数”.例如:正比例函数,当,,则,求得:,所以函数为“3属函数”. (1)反比例函数为“属函数”,求的值; (2)若一次函数为“2属函数”,求的值. 22.浙北商场一专柜销售某种品牌的玩具,每件进价为20元.销售过程中发现,每月销售(件与销售单价(元之间的关系可近似的看作一次函数:. (1)每月销售260件,则每件利润是多少? (2)如果该专柜想要每月获2160元的利润,且成本要低,那么销售单价应定为多少元? (3)设专柜每月获得的利润为(元,当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润多少元? 23.一节数学课后,老师布置了一道课后练习题: 如图1,是的直径,点在上,,垂足为,,交、于点、.求证:. (1)初步尝试: 本题证明的思路可用下列框图表示: 根据上述思路,请你完整地书写本题的证明过程. (2)类比探究 若点和点在的两侧,、的延长线交于点,的延长线交于点,其余条件不变,(1)中的结论还成立吗?请说明理由; (3)延伸拓展 在(2)的条件下,若,,求的长. 24.如图1,矩形的顶点、的坐标分别为,,抛物线经过,两点.抛物线的顶点为. (1)求抛物线的表达式和点的坐标; (2)点是抛物线对称轴上一动点,当为等腰三角形时,求所有符合条件的点的坐标; (3)如图2,现将抛物线进行平移,保持顶点在直线上,若平移后的抛物线与射线只有一个公共点,设平移后抛物线的顶点横坐标为,求的值或取值范围. 参考答案与试题解析 一、选择题(本题有10小题,每小题3分,共30分) 1.下列函数是二次函数的是   A. B. C. D. 【解答】解:、,是一次函数,错误; 、,当时,不是二次函数,错误; 、,是二次函数,正确, 、,不是二次函数,错误. 故选:. 2.下列成语或词组所描述的事件,不可能事件的是   A.守株待兔 B.水中捞月 C.瓮中捉鳖 D.十拿九稳 【解答】解:“守株待兔”可能发生,也可能不发生,但发生的可能性非常小, “水中捞月”根本捞不到月亮,是不可能事件, “瓮中捉鳖”是必然事件,“十拿九稳”是必然事件 故选:. 3.在同一平面内,的半径为,点到圆心的距离,则点与圆的位置关系为   A.点在圆内 B.点在圆上 C.点在圆外 D.无法确定 【解答】解:的半径为,点到圆心的距离为, 即点到圆心的距离小于圆的半径, 点在内. 故选:. 4.对于函数,下列结论错误的是   A.图象顶点是 B.图象开口向上 C.图象关于直线对称 D.函数最大值为5 【解答】解:函数, 该函数图象的顶点坐标是,故选项正确; ,该函数图象开口向上,故选项正确; 该函数图象关于直线对称,故选项正确; 当时,该函数取得最小值,故选项错误; 故选:. 5.如图,已知是的圆心角,,则圆周角的度数是   A. B. C. D. 【解答】解:是的圆心角,, 圆周角的度数是:. 故选:. 6.在一个不透明的布袋中装有红色,白色玻璃球共40个,除颜色外其他完全相同.小明通过多次摸球试验后发现,其中摸到红色球的频率稳定在左右,则口袋中红色球可能有   A.4个 B.6个 C.34个 D.36个 【解答】解:摸到红色球的频率稳定在左右, 口袋中红色球的频率为,故红球的个数为个. 故选:. 7.如图,为的弦,过点作的垂线,交于点,交于点,已知的直径为10,,则的长为   A.4 B.6 C.8 D.10 【解答】解:连接, , , 的直径为10, , , , , , , . 故选:. 8.矩形的两条对称轴为坐标轴,点的坐标为,一张透明纸上画有一个点和一条抛物线,平移透明纸,使这个点与点重合,此时抛物线的函数表达式为,再次平移透明纸,使这个点于点重合,则该抛物线的函数表达式变为   A. B. C. D. 【解答】解:矩形的两条对称轴为坐标轴, 矩形关于坐标原点对称, 点点是对角线上的两个点, 点、点关于坐标原点对称, 点坐标为; 透明纸由点平移至点,抛物线向左平移了4个单位,向下平移了2个单位; 透明纸经过点时,函数表达式为, 透明纸经过点时,函数表达式为 故选:. 9.在平面直角坐标系,某二次函数图象的顶点为,此函数图象与轴交于、两点,且.若此函致图象经过,,,四点,则实数,,,中为负数的是   A. B. C. D. 【解答】解:抛物线的表达式为:, 图象与轴交于、两点,且, 则点、的坐标分别为:、, 将点的坐标代入抛物线表达式并解得:, 抛物线的表达式为:, 将,,1,3代入上式逐次验证, 当时,,即, 故选:. 10.如图,是的直径,点,在上,,,,则的半径为   A. B. C. D. 【解答】解:作半径,连接,作于,如图, ,, , , , , , 在,, 为等腰直角三角形, . 故选:. 二、填空题(本题有6小题,每小题4分,共24分) 11.在一个不透明的布袋中装有8个白球和4个红球,它们除了颜色不同外,其余均相同.从中随机摸出一个球,摸到红球的概率是  . 【解答】解:根据题意可得:一个不透明的布袋中装有8个白球和4个红球,共12个, 从中随机摸出一个,则摸到红球的概率. 故答案为:. 12.抛物线与轴交点坐标为  . 【解答】解:把代入得,, 因此与轴的交点坐标为, 故答案为: 13.如图,三角形绕点逆时针旋转到三角形的位置,已知,则 54 度. 【解答】解:三角形绕点逆时针旋转到三角形的位置, , , 故答案为:54. 14.图1是一款优雅且稳定的抛物线型落地灯.防滑螺母为抛物线支架的最高点,灯罩距离地面1.86米,灯柱及支架的相关数据如图2所示.若茶几摆放在灯罩的正下方,则茶几到灯柱的距离为 2.7 米. 【解答】解:设点为坐标原点,由题意可知:防滑螺母为抛物线支架的最高点 顶点的坐标为:,点坐标为, 设抛物线的解析式为, 将点的坐标代入得:, 解之:, , 灯罩距离地面1.86米,茶几摆放在灯罩的正下方, 当时, 解之:,, 茶几在对称轴的右侧 , 茶几到灯柱的距离为 故答案为:2.7. 15.如图,抛物线与直线交于,两点,则不等式的解集是  . 【解答】解:作直线关于轴的对称直线, 点、是两个函数的交点,根据点的的对称性,点,, 由图象可以看出,的解集为:, 故答案为:. 16.如图,是的直径,、是上的两个动点(点、不与、重合),在运动过程中弦始终保持不变,是弦的中点,过点作于点.若,,当取得最大值时,的长度为  . 【解答】解:如图,延长交于,连接. , , , , 当在直径时,的值最大,此时, , , 最大时,的长为, 故答案为. 三、解答题(本题有8小题,共66分) 17.已知二次函数的图象过点. (1)求这个二次函数的解析式; (2)判断点是否在抛物线上. 【解答】解:(1)把点代入二次函数得,, 解得,, 二次函数的关系式为; (2)当时,, 点不在抛物线上. 18.一个不透明的布袋里装有2个白球,1个黑球和若干个红球,它们除颜色外其余都相同,从中任意摸出1个球,是白球的概率为. (1)布袋里红球有多少个? (2)先从布袋中摸出1个球后不放回,再摸出1个球,请用列表法或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率. 【解答】解:(1)设红球的个数为,由题意可得: , 解得:,经检验是方程的根, 即红球的个数为1个; (2)画树状图如下: (摸得两白). 19.如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格,线段的端点在格点上. (1)将线段绕点逆时针旋转得线段;建立适当的平面直角坐标系,使得的坐标为,在此坐标系下,点的坐标为  . (2)第(1)题的坐标系下,二次函数的图象过、、三点,试求出抛物线解析式. 【解答】解:(1)画出线段如图所示, 点的坐标为, 故答案为:; (2)点的坐标为,, ,解得 所求二次函数解析式为. 20.如图,是的直径,半径弦,点为垂足,连、. (1)若,求的度数; (2)若,,求的半径. 【解答】解:(1), , , 由圆周角定理得,; (2)连接 是的直径, , , ,, , , 的半径为. 21.对于一个函数给出如下定义:对于函数,当,函数值满足,且满足,则称此函数为“属函数”.例如:正比例函数,当,,则,求得:,所以函数为“3属函数”. (1)反比例函数为“属函数”,求的值; (2)若一次函数为“2属函数”,求的值. 【解答】解:(1)反比例函数中,, 随的增大而减小, 当时,, , ; (2)①时,对于一次函数,随增大而增大, 当时,, , , ; ②当时,随增大而减小, 当时,, , , . 22.浙北商场一专柜销售某种品牌的玩具,每件进价为20元.销售过程中发现,每月销售(件与销售单价(元之间的关系可近似的看作一次函数:. (1)每月销售260件,则每件利润是多少? (2)如果该专柜想要每月获2160元的利润,且成本要低,那么销售单价应定为多少元? (3)设专柜每月获得的利润为(元,当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润多少元? 【解答】解:(1)令,则, 解得:, 所以每件利润是(元; (2)由题意可得: , , 解得:,, 当时,,成本为:(元, 当时,,成本为:(元, 专柜想要每月获2160元的利润,且成本要低,那么销售单价应定为38元; (3)由题意可得: , , 当时,(元, 当销售单价定为35元时,每月可获得最大利润为2250元. 23.一节数学课后,老师布置了一道课后练习题: 如图1,是的直径,点在上,,垂足为,,交、于点、.求证:. (1)初步尝试: 本题证明的思路可用下列框图表示: 根据上述思路,请你完整地书写本题的证明过程. (2)类比探究 若点和点在的两侧,、的延长线交于点,的延长线交于点,其余条件不变,(1)中的结论还成立吗?请说明理由; (3)延伸拓展 在(2)的条件下,若,,求的长. 【解答】(1)证明:如图1中,延长交于. 是直径,, , , , , , , ,, , . (2)解:成立.理由如下: 是直径,, , , , , , , ,, , . (3)解:由(2)可知:, , , , 解得,, , 24.如图1,矩形的顶点、的坐标分别为,,抛物线经过,两点.抛物线的顶点为. (1)求抛物线的表达式和点的坐标; (2)点是抛物线对称轴上一动点,当为等腰三角形时,求所有符合条件的点的坐标; (3)如图2,现将抛物线进行平移,保持顶点在直线上,若平移后的抛物线与射线只有一个公共点,设平移后抛物线的顶点横坐标为,求的值或取值范围. 【解答】解:(1)抛物线抛经过、两点经过,, ,解得, 抛物线的解析式为, (2)设,,, ,,, ①当时,, 解得, ,或. ②当时,, 解得, 或; ③当时,, 解得, 此时,,共线,故舍去. 综合以上可得所有符合条件的点的坐标为,或或或; (3),, 设直线的解析式为, , 解得, 直线的解析式为:,移动中抛物线的顶点为, 则抛物线的解析式为, 又,, 将代入,, 解得,, , 又, , △, 解得, 抛物线的顶点横坐标的值或取值范围为或.

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  • ID:3-6781774 2019-2020学年人教版云南省昆明市官渡区九年级第一学期(上)期末数学试卷 含解析

    初中数学/期末专区/九年级上册

    2019-2020学年九年级(上)期末数学试卷 一、填空题 1.在平面直角坐标系中,点关于原点对称的点的坐标是   . 2.在一个不透明的口袋中装有5个除了标号外其余都完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4,5,从中随机摸出一个小球,其标号小于4的概率为   . 3.若一元二次方程有一根为,则  . 4.二次函数的顶点坐标是  . 5.如图,将绕点按逆时针方向旋转后得到△,若,则的度数是  . 6.如图,在扇形中,,半径,将扇形沿过点的直线折叠,点恰好落在弧上点处,折痕交于点,整个阴影部分的面积   . 二、选择题:(每小题4分,满分32分.每小题的四个选项中,只有一项是正确的) 7.下列事件属于必然事件的是   A.篮球队员在罚球线上投篮一次,未投中 B.掷一次骰子,向上一面的点数是6 C.任意画一个五边形,其内角和是 D.经过有交通信号灯的路口,遇到红灯 8.如图,、、分别切于、两点,,则的度数为   A. B. C. D. 9.函数先向右平移1个单位,再向下平移2个单位,所得函数解析式是   A. B. C. D. 10.一个圆锥的底面直径是,母线长为,则圆锥的全面积为   A. B. C. D. 11.一个群里共有个好友,每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息,共发信息1980条,则可列方程   A. B. C. D. 12.某校科技实践社团制作实践设备,小明的操作过程如下: ①小明取出老师提供的圆形细铁环,先通过在圆一章中学到的知识找到圆心,再任意找出圆的一条直径标记为(如图,测量出分米; ②将圆环进行翻折使点落在圆心的位置,翻折部分的圆环和未翻折的圆环产生交点分别标记为、(如图; ③用一细橡胶棒连接、两点(如图; ④计算出橡胶棒的长度. 小明计算橡胶棒的长度为   A.分米 B.分米 C.分米 D.分米 13.若关于的一元二次方程有实数根,则的取值范围是   A.且 B. C. D.且 14.如图是二次函数图象的一部分,对称轴是直线.关于下列结论:①;②;③;④;⑤方程的两个根为,,其中正确的结论有   A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 三、解答题:(共9题,满分70分.请考生用黑色碳素笔在答题卷相应的题号后答题区域内作答,必须写出运算步骤、推理过程或文字说明,超出答题区域的作答无效) 15.用适当的方法解下列一元二次方程: (1); (2). 16.如图,是的直径,是的弦,如果. (1)求的度数; (2)若,求的长. 17.如图,在平面直角坐标系中,的三个顶点坐标分别为,,. (1)作出关于轴对称的△,并写出的坐标; (2)画出绕点顺时针旋转后得到的△. 18.在一个不透明的布袋里装有3个标有1,2,3的小球,它们的形状,大小完全相同,李强从布袋中随机取出一个小球,记下数字为,然后放回袋中搅匀,王芳再从袋中随机取出一个小球,记下数字为,这样确定了点的坐标. (1)用列表或画树状图(只选其中一种)的方法表示出点所有可能的坐标; (2)求点在函数图象上的概率. 19.如图,正三角形内接于,若,求的直径及正三角形的面积. 20.如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为的住房墙,另外三边用长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个宽的门,所围矩形猪舍的长,宽分别为多少米时,猪舍面积为? 21.如图,是的外接圆,为直径,的平分线交于点,过点作分别交的延长线于点,交的延长线于点. (1)求证:是的切线; (2)若,,求弧的长.(结果保留 22.某超市销售一种商品,成本每千克40元,规定每千克售价不低于成本,且不高于60元,经市场调查,每天的销售量(单位:千克)与每千克售价(单位:元)满足一次函数关系,部分数据如下表: 售价(元千克) 45 50 60 销售量(千克) 110 100 80 (1)求与之间的函数表达式; (2)设商品每天的总利润为(单位:元),则当每千克售价定为多少元时,超市每天能获得的利润最大?最大利润是多少元? 23.如图,抛物线经过,两点,与轴交于点,连接,,. (1)求抛物线的表达式; (2)求的面积; (3)抛物线的对称轴上是否存在点,使得是直角三角形?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由. 参考答案与试题解析 一、填空题(每小题3分,满分18分.请考生用黑色碳素笔将答案写在答题卷相应题号后的横线上) 1.在平面直角坐标系中,点关于原点对称的点的坐标是  . 【解答】解:点关于原点对称的点的坐标是. 故答案为:. 2.在一个不透明的口袋中装有5个除了标号外其余都完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4,5,从中随机摸出一个小球,其标号小于4的概率为  . 【解答】解:根据题意可得:标号小于4的有1,2,3三个球,共5个球, 任意摸出1个,摸到标号小于4的概率是. 故答案为: 3.若一元二次方程有一根为,则 2020 . 【解答】解:把代入一元二次方程得:, 即. 故答案是:2020. 4.二次函数的顶点坐标是  . 【解答】解:因为是抛物线的顶点式, 根据顶点式的坐标特点,顶点坐标为. 故答案为:. 5.如图,将绕点按逆时针方向旋转后得到△,若,则的度数是  . 【解答】解:将绕点按逆时针方向旋转后得到△, ,, , 故答案是:. 6.如图,在扇形中,,半径,将扇形沿过点的直线折叠,点恰好落在弧上点处,折痕交于点,整个阴影部分的面积  . 【解答】解:连接. 根据折叠的性质,,,, , 即是等边三角形, , , , , ,, 整个阴影部分的面积为:. 故答案为:. 二、选择题:(每小题4分,满分32分.每小题的四个选项中,只有一项是正确的) 7.下列事件属于必然事件的是   A.篮球队员在罚球线上投篮一次,未投中 B.掷一次骰子,向上一面的点数是6 C.任意画一个五边形,其内角和是 D.经过有交通信号灯的路口,遇到红灯 【解答】解:、篮球队员在罚球线上投篮一次,未投中,是随机事件. 、掷一次骰子,向上一面的点数是6,是随机事件. 、任意画一个五边形,其内角和是,是必然事件. 、经过有交通信号灯的路口,遇到红灯,是随机事件. 故选:. 8.如图,、、分别切于、两点,,则的度数为   A. B. C. D. 【解答】解:是圆的切线. , 同理, 根据四边形内角和定理可得: , . 故选:. 9.函数先向右平移1个单位,再向下平移2个单位,所得函数解析式是   A. B. C. D. 【解答】解:抛物线的顶点坐标为,把先向右平移1个单位,再向下平移2个单位所得对应点的坐标为,所以平移后的抛物线解析式为. 故选:. 10.一个圆锥的底面直径是,母线长为,则圆锥的全面积为   A. B. C. D. 【解答】解:圆锥的全面积. 故选:. 11.一个群里共有个好友,每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息,共发信息1980条,则可列方程   A. B. C. D. 【解答】解:设有个好友,依题意, , 故选:. 12.某校科技实践社团制作实践设备,小明的操作过程如下: ①小明取出老师提供的圆形细铁环,先通过在圆一章中学到的知识找到圆心,再任意找出圆的一条直径标记为(如图,测量出分米; ②将圆环进行翻折使点落在圆心的位置,翻折部分的圆环和未翻折的圆环产生交点分别标记为、(如图; ③用一细橡胶棒连接、两点(如图; ④计算出橡胶棒的长度. 小明计算橡胶棒的长度为   A.分米 B.分米 C.分米 D.分米 【解答】解:连接,作,如图3, 分米, 分米, 将圆环进行翻折使点落在圆心的位置, 分米, 在中,分米, 分米; 故选:. 13.若关于的一元二次方程有实数根,则的取值范围是   A.且 B. C. D.且 【解答】解:根据题意得且△, 解得且. 故选:. 14.如图是二次函数图象的一部分,对称轴是直线.关于下列结论:①;②;③;④;⑤方程的两个根为,,其中正确的结论有   A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【解答】解:抛物线开口向下, , , ,, , ①错误,④正确, 抛物线与轴交于,0处两点, ,方程的两个根为,, ②⑤正确, 当时,即, ③正确, 故正确的有②③④⑤. 故选:. 三、解答题:(共9题,满分70分.请考生用黑色碳素笔在答题卷相应的题号后答题区域内作答,必须写出运算步骤、推理过程或文字说明,超出答题区域的作答无效) 15.用适当的方法解下列一元二次方程: (1); (2). 【解答】解:(1), , , . (2), , 或. 16.如图,是的直径,是的弦,如果. (1)求的度数; (2)若,求的长. 【解答】解:(1)是的直径, , , ; (2)在中,. 17.如图,在平面直角坐标系中,的三个顶点坐标分别为,,. (1)作出关于轴对称的△,并写出的坐标; (2)画出绕点顺时针旋转后得到的△. 【解答】解:(1)如图所示,△即为所求,的坐标为; (2)如图所示,△即为所求. 18.在一个不透明的布袋里装有3个标有1,2,3的小球,它们的形状,大小完全相同,李强从布袋中随机取出一个小球,记下数字为,然后放回袋中搅匀,王芳再从袋中随机取出一个小球,记下数字为,这样确定了点的坐标. (1)用列表或画树状图(只选其中一种)的方法表示出点所有可能的坐标; (2)求点在函数图象上的概率. 【解答】解:(1)用列表的方法表示出点所有可能的坐标如下; (2)由表格可知,共有9种可能出现的结果,其中点在函数图象上的的结果有1种,即, . 19.如图,正三角形内接于,若,求的直径及正三角形的面积. 【解答】解:如图所示: 连接并延长与交于点,连接, 点是正三角形的外心, ,, 设,则, 根据勾股定理,得 ,解得, 则, 半径,直径为. , . 答:的直径为; 正三角形的面积为 20.如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为的住房墙,另外三边用长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个宽的门,所围矩形猪舍的长,宽分别为多少米时,猪舍面积为? 【解答】解:设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为可以得出平行于墙的一边的长为 ,由题意得 , 解得:,, 当时,(舍去),当时,. 答:所围矩形猪舍的长为、宽为. 21.如图,是的外接圆,为直径,的平分线交于点,过点作分别交的延长线于点,交的延长线于点. (1)求证:是的切线; (2)若,,求弧的长.(结果保留 【解答】(1)证明:连接,如图1所示: , , 平分, , , , , , 是的切线; (2)解:作于点,连接,如图2所示: 则,, 四边形是矩形, ,, , ,, , ,, , ,即, , 在中,, 在中,, , , 则弧的长度为. 22.某超市销售一种商品,成本每千克40元,规定每千克售价不低于成本,且不高于60元,经市场调查,每天的销售量(单位:千克)与每千克售价(单位:元)满足一次函数关系,部分数据如下表: 售价(元千克) 45 50 60 销售量(千克) 110 100 80 (1)求与之间的函数表达式; (2)设商品每天的总利润为(单位:元),则当每千克售价定为多少元时,超市每天能获得的利润最大?最大利润是多少元? 【解答】解:(1)设, 将、代入,得:, 解得:, ; (2) , , 当时,取得最大值为1600, 答:与之间的函数表达式为,售价为60元时获得最大利润,最大利润是1600元. 23.如图,抛物线经过,两点,与轴交于点,连接,,. (1)求抛物线的表达式; (2)求的面积; (3)抛物线的对称轴上是否存在点,使得是直角三角形?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由. 【解答】解:(1)将点,代入, 得, 解得,, 抛物线的解析式为:; (2)在抛物线中, 当时,, , , 轴, , 的面积为10; (3)存在,理由如下: 在抛物线中, 对称轴为:, 设点,, ①如图1,当时, 设轴与对称轴交于点,过点作轴于点, 则,,,, ,, , 又, , , 即, 解得,, ,; ②如图2,当时, 设轴与对称轴交于点,与对称轴交于点, 由抛物线的对称性可知,对称轴垂直平分, , , 又, , , ,,,, , 解得,, ,; ③如图3,当时, 设轴与对称轴交于点,与对称轴交于点, 则, ,, , ,,,, 即, 解得,,, ,,,; 综上所述,存在点的坐标,其坐标为,,,,,,,.

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  • ID:3-6781773 2019-2020学年人教版四川省遂宁市市城区九年级第一学期期末数学试卷 含解析

    初中数学/期末专区/九年级上册

    2019-2020学年九年级(上)期末数学试卷 一、选择题(共18小题) 1.在式子中,二次根式有   A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.下列二次根式中与是同类二次根式的是   A. B. C. D. 3.下列二次根式中,最简二次根式是   A. B. C. D. 4.若方程是关于的一元二次方程,则的值为   A.0 B. C.1 D. 5.关于的一元二次方程有实根,则的最大整数解是   A.2 B.3 C.4 D.5 6.设、是方程的两个根,则的值为   A. B. C.3 D.4 7.某地2017年为做好“精准扶贫”,投入资金1280万元用于异地安置,并规划投入资金逐年增加,2019年在2017年的基础上增加投入资金1600万元.设从2017年到2019年该地投入异地安置资金的年平均增长率为,则下列方程正确的是   A. B. C. D. 8.在中,是边上中线,是重心,若,那么的长为   A.9 B.12 C.3 D.2 9.如果是线段的黄金分割点,并且,,那么的长度为   A. B. C. D. 10.如图,已知在中,点、、分别是边、、上的点,,,且,那么等于   A. B. C. D. 11.如图,如果,那么添加下列一个条件后,仍不能确定的是   A. B. C. D. 12.下列说法中正确的是   A.“明天降雨的概率为”,表示明天有半天都在降雨 B.“抛一枚硬币,正面朝上的概率为”,表示每抛两次就有一次正面朝上 C.“抛一枚均匀的正方体骰子,朝上的点数是6的频率为”,表示随着抛掷次数的增加,“抛出朝上的点数是6”这一事件发生的频率稳定在附近 D.某种彩票的中奖概率为,说明每买1000张,一定有一张中奖 13.如图,点是矩形的边的中点,且于点,则下列结论中错误的是   A. B. C.图中与相似的三角形共有5个 D. 14.矩形中,边长,边,、分别是边、上的两个动点,且始终保持.则的最大值为   A.1 B. C. D.2 15.如图,是的中位线,是的中点,的延长线交于点,则等于   A. B. C. D. 16.已知:中,,于,若,,那么的值是   A. B. C. D. 17.如图,河堤横断面迎水坡的坡比是,堤高,则坡面的长度是 A. B. C. D. 18.抛物线对称轴为直线,其部分图象如图所示,则下列结论: ①; ②; ③为任意实数); ④; ⑤点,,,,,是该抛物线上的点,且, 其中正确结论的个数是   A.5 B.4 C.3 D.2 二、填空题(共6小题,共计18分) 19.计算:  . 20.如图,在平行四边形中,为边上一点,与相交于点,若,,则等于  . 21.在一个不透明的袋子中有四个完全相同的小球,分别标号为1,2,3,4.随机摸取一个小球不放回,再随机摸取一个小球,两次摸出的小球的标号的和等于4的概率是   . 22.我国海域辽阔,渔业资源丰富.如图,现有渔船在海岛,附近捕鱼作业,已知海岛位于海岛的北偏东方向上.在渔船上测得海岛位于渔船的北偏西的方向上,此时海岛恰好位于渔船的正北方向处,则海岛,之间的距离为  . 23.如图, 直线与轴交于点,与轴交于点,与△是以点为位似中心的位似图形, 且相似比为,则点的对应点的坐标为   . 24.已知是关于的二次函数,当的取值范围在时,若在时取得最大值,则实数的取值范围是  . 三、解答题(共78分) 25.计算: (1). (2). 26.解方程: (1). (2). 27.关于的一元二次方程有两个不等实根、. (1)求实数的取值范围. (2)若方程两实根、满足,求的值. 28.如图,在平行四边形中,点在边上,点在的延长线上,且. 求证:(1); (2)若,,,求的长. 29.现有、两个不透明袋子,分别装有3个除颜色外完全相同的小球.其中,袋装有2个白球,1个红球;袋装有2个红球,1个白球. (1)将袋摇匀,然后从袋中随机取出一个小球,求摸出小球是白色的概率; (2)小华和小林商定了一个游戏规则:从摇匀后的,两袋中随机摸出一个小球,摸出的这两个小球,若颜色相同,则小林获胜;若颜色不同,则小华获胜.请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平. 30.某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本. (1)当销售单价为70元时,每天的销售利润是多少? (2)求出每天的销售利润(元与销售单价(元之间的函数关系式,并求出自变量的取值范围; (3)如果该企业每天的总成本不超过7000元,那么销售单价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(每天的总成本每件的成本每天的销售量) 31.如图,某风景区内有一古塔,在塔的一侧有一建筑物,当光线与水平面的夹角是时,塔在建筑物的墙上留下了高为3米的影子;而当光线与地面的夹角是时,塔尖在地面上的影子与建筑物的距离为15米、、在一条直线上),求塔的高度(结果保留根号). 32.如图,直线与轴、轴分别相交于点、,经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为,顶点为,且对称轴为直线.点是抛物线位于直线下方的任意一点,连接、、、. (1)求该抛物线的解析式; (2)求面积的最大值; (3)连接,在轴上是否存在一点,使得以点,,为顶点的三角形与相似?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由. 参考答案与试题解析 一、选择题(共18小题,共计54分) 1.在式子中,二次根式有   A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【解答】解:根据二次根式的定义,时,, 所以二次根式有,,,共4个. 故选:. 2.下列二次根式中与是同类二次根式的是   A. B. C. D. 【解答】解:; 、,被开方数是2;故本选项错误; 、是最简二次根式,被开方数是30;故本选项错误; 、被开方数是3;故本选项错误; 、,被开方数是6;故本选项正确. 故选:. 3.下列二次根式中,最简二次根式是   A. B. C. D. 【解答】解:、,被开方数含分母,不是最简二次根式; 、,被开方数含分母,不是最简二次根式; 、,是最简二次根式; 、,被开方数含能开得尽方的因数,不是最简二次根式; 故选:. 4.若方程是关于的一元二次方程,则的值为   A.0 B. C.1 D. 【解答】解:由题意得:,, 解得, 故选:. 5.关于的一元二次方程有实根,则的最大整数解是   A.2 B.3 C.4 D.5 【解答】解:关于的一元二次方程有实根, △且, 解得:且, 的最大整数解为4, 故选:. 6.设、是方程的两个根,则的值为   A. B. C.3 D.4 【解答】解:因为、是方程的两个根, 所以,. , 故选:. 7.某地2017年为做好“精准扶贫”,投入资金1280万元用于异地安置,并规划投入资金逐年增加,2019年在2017年的基础上增加投入资金1600万元.设从2017年到2019年该地投入异地安置资金的年平均增长率为,则下列方程正确的是   A. B. C. D. 【解答】解:设该地投入异地安置资金的年平均增长率为,根据题意得: , 故选:. 8.在中,是边上中线,是重心,若,那么的长为   A.9 B.12 C.3 D.2 【解答】解:如图,是重心, . 故选:. 9.如果是线段的黄金分割点,并且,,那么的长度为   A. B. C. D. 【解答】解:是线段的黄金分割点,, , 故选:. 10.如图,已知在中,点、、分别是边、、上的点,,,且,那么等于   A. B. C. D. 【解答】解:, , , , , . 故选:. 11.如图,如果,那么添加下列一个条件后,仍不能确定的是   A. B. C. D. 【解答】解:, , ,,都可判定 选项中不是夹这两个角的边,所以不相似, 故选:. 12.下列说法中正确的是   A.“明天降雨的概率为”,表示明天有半天都在降雨 B.“抛一枚硬币,正面朝上的概率为”,表示每抛两次就有一次正面朝上 C.“抛一枚均匀的正方体骰子,朝上的点数是6的频率为”,表示随着抛掷次数的增加,“抛出朝上的点数是6”这一事件发生的频率稳定在附近 D.某种彩票的中奖概率为,说明每买1000张,一定有一张中奖 【解答】解:、“明天降雨的概率为”,表示明天有半天都在降雨错误,故本选项错误; 、“抛一枚硬币,正面朝上的概率为”,表示每抛两次就有一次正面朝上错误,故本选项错误; 、“抛一枚均匀的正方体骰子,朝上的点数是6的频率为”,表示随着抛掷次数的增加,“抛出朝上的点数是6”这一事件发生的频率稳定在附近正确,故本选项正确; 、某种彩票的中奖概率为,说明每买1000张,一定有一张中奖错误,故本选项错误. 故选:. 13.如图,点是矩形的边的中点,且于点,则下列结论中错误的是   A. B. C.图中与相似的三角形共有5个 D. 【解答】解:、, , , , ,故正确,不符合题意; 、过作交于, ,, 四边形是平行四边形, , , , 于点,, , , ,故正确,不符合题意; 、图中与相似的三角形有,,,,共有5个,故错误,符合题意. 、设,由,有. ,故正确,不符合题意. 故选:. 14.矩形中,边长,边,、分别是边、上的两个动点,且始终保持.则的最大值为   A.1 B. C. D.2 【解答】解:设,,则, 四边形是矩形, , , , , , , 即, , , 有最大值,, 的最大值. 故选:. 15.如图,是的中位线,是的中点,的延长线交于点,则等于   A. B. C. D. 【解答】解:是的中位线, ,, 若设的面积是1,根据,得, , 连接,根据题意,得, ,, , . , , . 故选:. 16.已知:中,,于,若,,那么的值是   A. B. C. D. 【解答】解:, , , 又, , , 即, 解得, 在中,由勾股定理得,, 所以,. 故选:. 17.如图,河堤横断面迎水坡的坡比是,堤高,则坡面的长度是 A. B. C. D. 【解答】解:在中, ,, , . 故选:. 18.抛物线对称轴为直线,其部分图象如图所示,则下列结论: ①; ②; ③为任意实数); ④; ⑤点,,,,,是该抛物线上的点,且, 其中正确结论的个数是   A.5 B.4 C.3 D.2 【解答】解:抛物线与轴有两个不同交点,因此,故①正确; 对称轴为,即:,也就是,故②正确; 当时,,当时,, , 即:,故③正确; 由抛物线的对称性可知与轴另一个交点,当时,,又,即,代入得:,也就是;因此④正确; 点,,,,,到对称轴的距离分别为、、, 则有,且、在对称轴左侧,在对称轴的右侧,故,因此⑤正确, 综上所述,正确的结论有5个, 故选:. 二、填空题(共6小题,共计18分) 19.计算:  . 【解答】解:原式 . 故答案为. 20.如图,在平行四边形中,为边上一点,与相交于点,若,,则等于 4 . 【解答】解:四边形是平行四边形, 、, 而, ,且它们的相似比为, , 而, . 故答案为:4. 21.在一个不透明的袋子中有四个完全相同的小球,分别标号为1,2,3,4.随机摸取一个小球不放回,再随机摸取一个小球,两次摸出的小球的标号的和等于4的概率是  . 【解答】解:画树状图得: 由树状图可知:所有可能情况有12种,其中两次摸出的小球标号的和等于4的占2种,所以其概率, 故答案为:. 22.我国海域辽阔,渔业资源丰富.如图,现有渔船在海岛,附近捕鱼作业,已知海岛位于海岛的北偏东方向上.在渔船上测得海岛位于渔船的北偏西的方向上,此时海岛恰好位于渔船的正北方向处,则海岛,之间的距离为  . 【解答】解:作于, 设海里, 在中,, 则, 在中,, 则,解得,, 答:,之间的距离为海里. 故答案为: 23.如图, 直线与轴交于点,与轴交于点,与△是以点为位似中心的位似图形, 且相似比为,则点的对应点的坐标为 或 . 【解答】解:直线与轴交于点,与轴交于点, 令可得; 令可得, 点和点的坐标分别为;, 与△是以点为位似中心的位似图形, 且相似比为, , ,, 的坐标为或. 故答案为:或. 24.已知是关于的二次函数,当的取值范围在时,若在时取得最大值,则实数的取值范围是  . 【解答】解:第一种情况: 当二次函数的对称轴不在内时,此时,对称轴一定在的左边,函数方能在这个区域取得最大值, ,即, 第二种情况: 当对称轴在内时,对称轴一定是在顶点处取得最大值,即对称轴为, ,即 综合上所述. 故答案为. 三、解答题(共78分) 25.计算: (1). (2). 【解答】解:(1)原式 ; (2)原式 . 26.解方程: (1). (2). 【解答】解:(1), 或 , (2), 或, ,. 27.关于的一元二次方程有两个不等实根、. (1)求实数的取值范围. (2)若方程两实根、满足,求的值. 【解答】解:(1)原方程有两个不相等的实数根, △, 解得:, 即实数的取值范围是; (2)根据根与系数的关系得:,, 又方程两实根、满足, , 解得:,, , 只能是2. 28.如图,在平行四边形中,点在边上,点在的延长线上,且. 求证:(1); (2)若,,,求的长. 【解答】(1)证明: 四边形是平行四边形, ,. ,. 又, . ; (2), , 四边形是平行四边形, . . . 29.现有、两个不透明袋子,分别装有3个除颜色外完全相同的小球.其中,袋装有2个白球,1个红球;袋装有2个红球,1个白球. (1)将袋摇匀,然后从袋中随机取出一个小球,求摸出小球是白色的概率; (2)小华和小林商定了一个游戏规则:从摇匀后的,两袋中随机摸出一个小球,摸出的这两个小球,若颜色相同,则小林获胜;若颜色不同,则小华获胜.请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平. 【解答】解:(1)共有3种等可能结果,而摸出白球的结果有2种 (摸出白球); (2)根据题意,列表如下: 红1 红2 白 白1 (白1,红 (白1,红 (白1,白) 白2 (白2,红 (白2,红 (白2,白) 红 (红,红 (红,红 (红,白) 由上表可知,共有9种等可能结果,其中颜色不相同的结果有5种,颜色相同的结果有4种 (颜色不相同),(颜色相同) 这个游戏规则对双方不公平 30.某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本. (1)当销售单价为70元时,每天的销售利润是多少? (2)求出每天的销售利润(元与销售单价(元之间的函数关系式,并求出自变量的取值范围; (3)如果该企业每天的总成本不超过7000元,那么销售单价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(每天的总成本每件的成本每天的销售量) 【解答】解:(1)当销售单价为70元时,每天的销售利润元; (2)由题得. 销售单价不得低于成本, . (3)该企业每天的总成本不超过7000元 解得. 由(2)可知 抛物线的对称轴为且 抛物线开口向下,在对称轴右侧,随增大而减小. 当时,有最大,最大值, 即 销售单价为82元时,每天的销售利润最大,最大利润为4480元. 31.如图,某风景区内有一古塔,在塔的一侧有一建筑物,当光线与水平面的夹角是时,塔在建筑物的墙上留下了高为3米的影子;而当光线与地面的夹角是时,塔尖在地面上的影子与建筑物的距离为15米、、在一条直线上),求塔的高度(结果保留根号). 【解答】解:如图,过点作,垂足为, ,, 四边形是矩形, ,, 设米, 在中,, , 在中, ,, , , , 解得, 答:塔的高度米. 32.如图,直线与轴、轴分别相交于点、,经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为,顶点为,且对称轴为直线.点是抛物线位于直线下方的任意一点,连接、、、. (1)求该抛物线的解析式; (2)求面积的最大值; (3)连接,在轴上是否存在一点,使得以点,,为顶点的三角形与相似?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由. 【解答】解:(1)直线与轴相交于点、点, 当时,;当时,. 点的坐标为,点的坐标为, 又抛物线过轴上的,两点,且对称轴为, 点的坐标为, 又抛物线过点,,, , 解得:, 该抛物线的解析式为:; (2)如图1,过作轴交于点, 设点,,则点,, , , , 根据二次函数的图象及性质知,当时,的面积取最大值; (3)如图2, 由,得顶点, 设抛物线的对称轴交轴于点, 在中,, ,, 由点,知,, 在等腰直角三角形中,, 由勾股定理,得, 假设在轴上存在点,使得以点,,为顶点的三角形与相似, ①当,时,. 即, 解得:, 又, 点与点重合, 的坐标是; ②当,时,. 即, 解得:, , , 的坐标是,; ③当在点右侧, 则,, 故, 则点不可能在点右侧的轴上, 综上所述,在轴上存在两点,,, 能使得以点,,为顶点的三角形与相似.

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  • ID:3-6779875 2019-2020学年沪教版上海市徐汇区西南模范中学八年级第一学期(上)期中数学试卷 解析版

    初中数学/期中专区/八年级上册

    2019-2020学年上海市徐汇区西南模范中学八年级(上) 期中数学试卷 一、选择题(本大题共6题) 1.在下列方程中,一元二次方程的个数是   ①;②;③;④. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.方程的根为   A. B. C., D., 3.已知函数中随的增大而增大,那么它和函数在同一直角坐标系内的大致图象可能是   A. B. C. D. 4.到一个三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形   A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三边中垂线的交点 D.三条角平分线的交点 5.下列说法错误的是   A.到点距离等于的点的轨迹是以点为圆心,半径长为的圆 B.等腰的底边固定,顶点的轨迹是线段的垂直平分线 C.在一个角的内部(包括顶点)到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线 D.到直线的距离等于的点的轨迹是两条平行于且与的距离等于的直线 6.如图,中,的垂直平分线交边于点,的垂直平分线交边于点,若,则的度数为   A. B. C. D. 二、填空题(本大题共12题,每题2分,满分24分) 7.函数的定义域是  . 8.方程的解为  . 9.方程的根是  . 10.在实数范围内因式分解:  . 11.已知正比例函数的图象经过第一、三象限,则的取值范围是  . 12.已知点,和,都在反比例函数的图象上,若,则、的大小关系是  . 13.命题“平行于同一直线的两直线平行”的逆命题是:  . 14.某企业生产某种产品,今年产量为200件,计划通过技术革新,三年(包括今年)的产量达到1400件,若明后两年的产量平均增长率相同为,可以得到方程:  . 15.在中,分别以点和点为圆心,大于的长为半径画弧,两弧相交于,,作直线,交于点,连接.如果,,那么  . 16.如图,已知在中,是边上的高,平分,交于点,,,则的面积等于   . 17.如图,中,平分,的中垂线交于点,交于点,连接,.若为等腰三角形,则的度数为  . 18.如图,在中,,的平分线与的外角平分线交于点,则的度数为  .(用含的式子表示) 三、简答题(本大题共4题) 19.解方程: 20.用配方法解方程: 21.解方程: 22.已知:、点及线段(如图).求作:点,使得点到和的距离相等,且.(要求尺规作图,保留作图痕迹,不必写作法和证明) 四、解答题(本大题共4题) 23.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,求的取值范围. 24.小芸家与学校之间是一条笔直的公路,小芸从家步行前往学校的途中发现忘记带阅读分享要用的盘,便停下给妈妈打电话,妈妈接到电话后,带上盘马上赶往学校,同时小芸沿原路返回.两人相遇后,小芸立即赶往学校,妈妈沿原路返回家,并且小芸到达学校比妈妈到家多用了5分钟.若小芸步行的速度始终是每分钟100米,小芸和妈妈之间的距离与小芸打完电话后步行的时间之间的函数关系如图所示,根据图象回答下列问题: (1)妈妈从家出发  分钟后与小芸相遇; (2)相遇后妈妈回家的平均速度是每分钟  米; (3)小芸家离学校的距离为  米. 25.如图,点,,,在同一条直线上,,在以下三个论断“,,”中选择两个作为已知条件,另一个作为结论,构成真命题(补充已知和求证),并进行证明. 已知:如图,点,,,在同一条直线上,,  . 求证:  . 证明: 26.某果园有100棵桃树,一棵桃树平均结1000个桃子,现准备多种一些桃树以提高产量,试验发现,每多种一棵桃树,每棵桃树的产量就会减少2个,如果要使产量增加,且所种桃树要少于原有桃树,那么应多种多少棵桃树? 五、综合题(本大题共2题) 27.在平面直角坐标系中(如图),点为直线和双曲线的一个交点. (1)求、的值; (2)若点,在直线上有一点,使得,请求出点的坐标; (3)在双曲线上是否存在点,使得,若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由. 28.如图,等边,点为射线上一点,延长至点,使得,联结并延长交射线于点. (1)当点在边上时,如图1,若,则  ; (2)当点在边上时;如图2,若,则(1)的结论还成立吗?若成立,请证明;若不成立,写出与的数量关系并证明; (3)当点在的延长线上时,则(1)的结论还成立吗?若成立,请证明;若不成立,写出与的数量关系并证明. 2019-2020学年上海市徐汇区西南模范中学八年级(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共6题,每题2分,满分12分) 1.在下列方程中,一元二次方程的个数是   ①;②;③;④. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答.一元二次方程必须满足四个条件:(1)未知数的最高次数是2;(2)二次项系数不为0;(3)是整式方程;(4)含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证,满足这四个条件者为正确答案. 【解答】解:①,是一元二次方程,故本小题正确; ②,时是一元二次方程,故本小题错误; ③,整理后不是一元二次方程,故本小题错误; ④,是分式方程,不是一元二次方程,故本小题错误. 故选:. 2.方程的根为   A. B. C., D., 【分析】两边直接开平方法求解可得. 【解答】解:, 或, 解得:或, 故选:. 3.已知函数中随的增大而增大,那么它和函数在同一直角坐标系内的大致图象可能是   A. B. C. D. 【分析】先根据正比例函数的性质判断出的符号,再根据反比例函数的性质利用排除法求解即可. 【解答】解:函数中随的增大而增大, , 函数的图象经过一、三象限,故可排除、; , , 函数的图象在二、四象限,故错误,正确. 故选:. 4.到一个三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形   A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三边中垂线的交点 D.三条角平分线的交点 【分析】根据线段的操作票个方向的性质即可判断. 【解答】解:三角形的三边的中垂线到三个顶点距离相等, 故选:. 5.下列说法错误的是   A.到点距离等于的点的轨迹是以点为圆心,半径长为的圆 B.等腰的底边固定,顶点的轨迹是线段的垂直平分线 C.在一个角的内部(包括顶点)到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线 D.到直线的距离等于的点的轨迹是两条平行于且与的距离等于的直线 【分析】利用圆的定义,线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质,角平分线的性质依次判断即可求解. 【解答】解:、到点距离等于的点的轨迹是以点为圆心,半径为的圆,故选项不符合题意; 、等腰的底边固定,顶点的轨迹是线段的垂直平分线(线段中点除外),故选项符合题意; 、在一个角的内部(包括顶点)到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线,故选项不符合题意; 、到直线的距离等于的点的轨迹是两条平行于且与的距离等于的直线,故选项不符合题意; 故选:. 6.如图,中,的垂直平分线交边于点,的垂直平分线交边于点,若,则的度数为   A. B. C. D. 【分析】根据三角形内角和定理可求,根据垂直平分线性质,,,则,,从而可得,即可得到,即可得解. 【解答】解:, , 的垂直平分线交边于点,的垂直平分线交边于点, ,, ,, , , . 故选:. 二、填空题(本大题共12题,每题2分,满分24分) 7.函数的定义域是  . 【分析】当函数的表达式是偶次根式时,自变量的取值范围必须使被开方数不小于零,依此即可求解. 【解答】解:依题意有, 解得. 故答案为:. 8.方程的解为  . 【分析】根据配方法可以解答本题. 【解答】解:, , 所以,, 故答案为. 9.方程的根是 或 . 【分析】利用因式分解法求解可得. 【解答】解:, , 则, 或, 解得或, 故答案为:或. 10.在实数范围内因式分解:  . 【分析】利用求根公式求得关于的一元二次方程的两根,然后利用公式法进行因式分解. 【解答】解:解关于的一元二次方程得到:,. 所以. 故答案是:. 11.已知正比例函数的图象经过第一、三象限,则的取值范围是  . 【分析】先根据正比例函数的图象经过第一、三象限列出关于的不等式,求出的取值范围即可. 【解答】解:正比例函数的图象经过第一、三象限, , . 故答案为:. 12.已知点,和,都在反比例函数的图象上,若,则、的大小关系是  . 【分析】反比例函数的图象位于一、三象限,在每个象限内,随的增大而减小,又,可得到点,和,在第三象限图象上的两点,可得 【解答】解:, 在每个象限内,随的增大而减小, 又, 可得, 故答案为: 13.命题“平行于同一直线的两直线平行”的逆命题是: “如果两直线平行于同一直线,那么这两条直线平行” . 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题. 【解答】解:命题“平行于同一直线的两直线平行”的逆命题是:“如果两直线平行于同一直线,那么这两条直线平行”, 故答案为:“如果两直线平行于同一直线,那么这两条直线平行”. 14.某企业生产某种产品,今年产量为200件,计划通过技术革新,三年(包括今年)的产量达到1400件,若明后两年的产量平均增长率相同为,可以得到方程:  . 【分析】设明后两年的产量平均增长率为,根据三年(包括今年)的产量达到1400件,即可得出关于的一元二次方程,此题得解. 【解答】解:设明后两年的产量平均增长率为, 依题意,得:. 故答案为:. 15.在中,分别以点和点为圆心,大于的长为半径画弧,两弧相交于,,作直线,交于点,连接.如果,,那么 3 . 【分析】直接利用基本作图方法得出垂直平分,进而得出答案. 【解答】解:由作图步骤可得:垂直平分,则, ,, . 故答案为:3. 16.如图,已知在中,是边上的高,平分,交于点,,,则的面积等于 5 . 【分析】过作于点,由角平分线的性质可求得,则可求得的面积. 【解答】解: 过作于点, 是边上的高,平分, , , 故答案为:5. 17.如图,中,平分,的中垂线交于点,交于点,连接,.若为等腰三角形,则的度数为 或或 . 【分析】根据角平分线的定义求出的度数,根据线段垂直平分线的性质得到,根据等腰三角形的性质得到答案. 【解答】解:平分, , 是的中垂线, , , , 为等腰三角形, 当, , , , 当, , , , 当, , , 综上所述,的度数为或或, 故答案为:或或. 18.如图,在中,,的平分线与的外角平分线交于点,则的度数为  .(用含的式子表示) 【分析】首先证明也是的外角的平分线,根据平角的定义和角平分线的定义求得,的度数,最后根据三角形的内角和定理即可求得. 【解答】解:在的平分线上, 点到的距离等于到的距离, 在的外角的平分线上, 点到的距离等于到的距离, 点到的距离等于到的距离, 是的外角的平分线, , , 故答案为. 三、简答题(本大题共4题,每题5分,满分20分) 19.解方程: 【分析】先把方程化为一般式,再计算判别式的值,然后利用求根公式求解. 【解答】解:, , ,, △, , 所以,. 20.用配方法解方程: 【分析】方程二次项系数化为1,常数项移到右边,利用完全平方公式配方后,开方即可求出解. 【解答】解:方程整理得:, 配方得:,即, 或, ,. 21.解方程: 【分析】先将方程化为一般形式,确定,,的值,然后代入求根公式进行计算即可. 【解答】解:, 整理得:, ,,,△, . 即,. 22.已知:、点及线段(如图).求作:点,使得点到和的距离相等,且.(要求尺规作图,保留作图痕迹,不必写作法和证明) 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点在的平分线上,然后再以点为圆心,以的长度为半径画弧,与的平分线相交于一点,交点就是所求的点. 【解答】解: 所以两个位置的点就是所要求作的点. 每作对一个点得2分,共4分;结论2分. 四、解答题(本大题共4题,每题6分,满分24分) 23.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,求的取值范围. 【分析】由方程有两个不相等的实数根,根据根的判别式可得到关于的不等式,可求得的取值范围. 【解答】解:方程有两个不相等的实数根, △且且即且且, 解得且. 故的取值范围是且. 24.小芸家与学校之间是一条笔直的公路,小芸从家步行前往学校的途中发现忘记带阅读分享要用的盘,便停下给妈妈打电话,妈妈接到电话后,带上盘马上赶往学校,同时小芸沿原路返回.两人相遇后,小芸立即赶往学校,妈妈沿原路返回家,并且小芸到达学校比妈妈到家多用了5分钟.若小芸步行的速度始终是每分钟100米,小芸和妈妈之间的距离与小芸打完电话后步行的时间之间的函数关系如图所示,根据图象回答下列问题: (1)妈妈从家出发 8 分钟后与小芸相遇; (2)相遇后妈妈回家的平均速度是每分钟  米; (3)小芸家离学校的距离为  米. 【分析】(1)根据函数图象中的数据可知妈妈从家出发几分钟后与小芸相遇; (2)根据函数图象中的数据可以求得相遇后妈妈回家的平均速度; (3)根据函数图象中的数据可以求得小芸家离学校的距离. 【解答】解:(1)由图象可得, 妈妈从家出发8分钟后与小芸相遇, 故答案为:8; (2)相遇后妈妈回家的平均速度是每分钟:(米, 故答案为:60; (3)小芸家离学校的距离为:(米, 故答案为:2100. 25.如图,点,,,在同一条直线上,,在以下三个论断“,,”中选择两个作为已知条件,另一个作为结论,构成真命题(补充已知和求证),并进行证明. 已知:如图,点,,,在同一条直线上,, , . 求证:  . 证明: 【分析】根据题意写出已知、求证,根据线段垂直平分线的判定定理证明. 【解答】已知:如图,点,,,在同一条直线上,,,, 求证:, 证明:, 点在线段的垂直平分线上, 点在线段的垂直平分线上, , 点在线段的垂直平分线上, , 故答案为:,;. 26.某果园有100棵桃树,一棵桃树平均结1000个桃子,现准备多种一些桃树以提高产量,试验发现,每多种一棵桃树,每棵桃树的产量就会减少2个,如果要使产量增加,且所种桃树要少于原有桃树,那么应多种多少棵桃树? 【分析】每多种一棵桃树,每棵桃树的产量就会减少2个,所以多种棵树每棵桃树的产量就会减少个(即是平均产个),桃树的总共有棵,所以总产量是个.要使产量增加,达到个. 【解答】解:设应多种棵桃树,则由题意可得: 整理,得:, 即, 解得:, 因为所种桃树要少于原有桃树, 所以不符合题意,应舍去,取, 答:应多种20棵桃树. 五、综合题(本大题共2题,每题10分,满分20分) 27.在平面直角坐标系中(如图),点为直线和双曲线的一个交点. (1)求、的值; (2)若点,在直线上有一点,使得,请求出点的坐标; (3)在双曲线上是否存在点,使得,若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由. 【分析】(1)利用待定系数法即可解决问题. (2)如图1中,设直线与反比例函数的另一个交点为.由对称性可知:,推出当点与重合时,,此时.当点在的延长线上时,时,,再利用中点坐标公式求解即可. (3)如图2中,将绕点顺时针旋转得到,则,取的中点,作直线在第二象限交反比例函数于.此时,求出直线的解析式,再构建方程组确定点的坐标. 【解答】解:(1)点在直线和双曲线的图象上, ,. (2)如图1中,设直线与反比例函数的另一个交点为. 由对称性可知:, 当点与重合时,,此时. 当点在的延长线上时,时,,此时, 综上所述,满足条件的点的坐标为或. (3)如图2中,将绕点顺时针旋转得到,则, 取的中点,作直线在第二象限交反比例函数于.此时, ,, 直线的解析式为, 由,解得或, 点在第二象限, ,. 28.如图,等边,点为射线上一点,延长至点,使得,联结并延长交射线于点. (1)当点在边上时,如图1,若,则  ; (2)当点在边上时;如图2,若,则(1)的结论还成立吗?若成立,请证明;若不成立,写出与的数量关系并证明; (3)当点在的延长线上时,则(1)的结论还成立吗?若成立,请证明;若不成立,写出与的数量关系并证明. 【分析】(1)由等边三角形的性质可得,,,可求,即可求解; (2)如图2,过点作交的延长线于,可证是等边三角形,可得,通过证明,可得,由外角性质可求解; (3)如图3,过点作交的延长线于,可证是等边三角形,可得,通过证明,可得,由外角性质可求解; 【解答】解:(1)是等边三角形,, ,,, ,, , , , 故答案为:; (2)如图2,过点作交的延长线于, , ,, 是等边三角形, , , , , , ,,, , , ; (3)如图3,过点作交的延长线于, , ,,, 是等边三角形, , , , , , ,,, , ,, , , .

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  • ID:3-6778762 2019-2020学年人教A版西藏林芝一中高一第一学期期末数学试卷word版 含解析

    高中数学/期末专区/高一上册

    2019-2020学年高一(上)期末数学试卷 一、选择题(本题共12个小题) 1.已知集合A={x|x﹣1≥0},B={0,1,2},则A∩B=(  ) A.{0} B.{1} C.{1,2} D.{0,1,2} 2.函数f(x)=的定义域为(  ) A.(﹣1,+∞) B.[﹣1,+∞) C.(﹣1,1)∪(1,+∞) D.[﹣1,1)∪(1,+∞) 3.下列函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上是增函数的是(  ) A. B.y=2x C.y=x2 D.y=2x 4.三个数a=0.32,b=log20.3,c=20.3之间的大小关系是(  ) A.a<c<b B.a<b<c C.b<a<c D.b<c<a 5.函数f(x)=xα的图象经过点,则等于(  ) A. B.3 C.9 D.81 6.函数f(x)=2x﹣1+log2x的零点所在的一个区间是(  ) A.(,) B.(,) C.(,1) D.(1,2) 7.若直线经过A (1,0 )、B (2,) 两点,则直线AB的倾斜角是(  ) A.135° B.120° C.60° D.45° 8.过点(2,﹣3)且斜率为2的直线方程为(  ) A.2x﹣y+7=0 B.2x﹣y﹣7=0 C.2x﹣y+1=0 D.2x﹣y﹣1=0 9.以(﹣1,2)为圆心,为半径的圆的方程为(  ) A.x2+y2﹣2x+4y=0 B.x2+y2+2x+4y=0 C.x2+y2+2x﹣4y=0 D.x2+y2﹣2x﹣4y=0 10.已知直线l过圆x2+(y﹣3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是(  ) A.x+y﹣2=0 B.x﹣y+2=0 C.x+y﹣3=0 D.x﹣y+3=0 11.圆x2+y2﹣6x=0与圆x2+y2+8y+12=0的位置关系是(  ) A.相离 B.相交 C.外切 D.内切 12.若直线x﹣y+1=0与圆(x﹣a)2+y2=2相切,则a等于(  ) A.1或﹣3 B.﹣1或﹣3 C.1或3 D.﹣1或3 二、填空题(每小题5分,共20分) 13.已知函数,且f(x)=3,则x的值是   . 14.函数f(x)=ax﹣1(a>0,a≠1)的图象必过定点   . 15.已知直线经过点P(1,2),且与直线y=2x+3平行,则该直线方程为   . 16.函数f(x)=在[2,3]上的最小值为   最大值为   . 三、解答题(共6小题,共70分) 17.求经过两直线l1:x﹣2y+4=0和l2:x+y﹣2=0的交点P,且与直线l3:3x﹣4y+5=0垂直的直线l的方程. 18.函数f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,函数的解析式为f(x)=+1. (1)用定义证明f(x)在(0,+∞)上是减函数; (2)当x<0时,求函数f(x)的解析式. 19.求满足下列条件的直线的方程. (1)直线过点(﹣1,2),且与直线x+y﹣2=0平行; (2)直线过(0,1)点且与直线3x+y+1=0垂直. 20.已知△ABC的三个顶点是A(1,1),B(﹣1,3),C(3,4). (1)求BC边的高所在直线l1的方程; (2)若直线l2过C点,且A、B到直线l2的距离相等,求直线l2的方程. 21.已知圆C的圆心是直线x﹣y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,求圆C的方程. 22.已知圆C的圆心在坐标原点,且过点M(). (1)求圆C的方程; (2)已知点P是圆C上的动点,试求点P到直线x+y﹣4=0的距离的最小值; (3)若直线l与圆C相切于点M,求直线l的方程. 参考答案 一、选择题(本题共12个小题) 1.已知集合A={x|x﹣1≥0},B={0,1,2},则A∩B=(  ) A.{0} B.{1} C.{1,2} D.{0,1,2} 【分析】求解不等式化简集合A,再由交集的运算性质得答案. 解:∵A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1},B={0,1,2}, ∴A∩B={x|x≥1}∩{0,1,2}={1,2}. 故选:C. 2.函数f(x)=的定义域为(  ) A.(﹣1,+∞) B.[﹣1,+∞) C.(﹣1,1)∪(1,+∞) D.[﹣1,1)∪(1,+∞) 【分析】依题意可知要使函数有意义需要x+1>0且x﹣1≠0,进而可求得x的范围. 解:要使函数有意义需, 解得x>﹣1且x≠1. ∴函数的定义域是(﹣1,1)∪(1,+∞). 故选:C. 3.下列函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上是增函数的是(  ) A. B.y=2x C.y=x2 D.y=2x 【分析】根据题意,依次分析选项中函数的奇偶性与单调性,综合即可得答案. 解:根据题意,依次分析选项: 对于A,y=,为反比例函数,是奇函数但在区间(0,+∞)上是减函数,不符合题意; 对于B,y=2x,为正比例函数,既是奇函数又在区间(0,+∞)上是增函数,符合题意, 对于C,y=x2,是二次函数,是偶函数,不符合题意; 对于D,y=2x,是指数函数,不是奇函数,不符合题意; 故选:B. 4.三个数a=0.32,b=log20.3,c=20.3之间的大小关系是(  ) A.a<c<b B.a<b<c C.b<a<c D.b<c<a 【分析】将a=0.32,c=20.3分别抽象为指数函数y=0.3x,y=2x之间所对应的函数值,利用它们的图象和性质比较,将b=log20.3,抽象为对数函数y=log2x,利用其图象可知小于零.最后三者得到结论. 解:由对数函数的性质可知:b=log20.3<0, 由指数函数的性质可知:0<a<1,c>1 ∴b<a<c 故选:C. 5.函数f(x)=xα的图象经过点,则等于(  ) A. B.3 C.9 D.81 【分析】由题意得f(9)=9α=,解得α=﹣,从而f(x)=,由此能求出. 解:∵函数f(x)=xα的图象经过点, ∴f(9)=9α=, 解得α=﹣, ∴f(x)=, ∴=()=3. 故选:B. 6.函数f(x)=2x﹣1+log2x的零点所在的一个区间是(  ) A.(,) B.(,) C.(,1) D.(1,2) 【分析】根据函数f(x)=2x﹣1+log2x,在(0,+∞)单调递增,f(1)=1,f()=﹣1,可判断分析. 解:∵函数f(x)=2x﹣1+log2x,在(0,+∞)单调递增. ∴f(1)=1,f()=﹣1, ∴根据函数的零点的判断方法得出:零点所在的一个区间是(), 故选:C. 7.若直线经过A (1,0 )、B (2,) 两点,则直线AB的倾斜角是(  ) A.135° B.120° C.60° D.45° 【分析】设直线AB的倾斜角是 α,则由斜率的定义和斜率公式可得 tanα==,再由α 的范围求得 α 的值. 解:设直线AB的倾斜角是 α,则由斜率的定义和斜率公式可得 tanα==, 由 0°≤α<180°,可得 α=60°, 故选:C. 8.过点(2,﹣3)且斜率为2的直线方程为(  ) A.2x﹣y+7=0 B.2x﹣y﹣7=0 C.2x﹣y+1=0 D.2x﹣y﹣1=0 【分析】根据题意,由直线的点斜式方程可得直线的方程为y+3=2(x﹣2),变形可得答案. 解:根据题意,过点(2,﹣3)且斜率为2的直线方程为y+3=2(x﹣2), 变形可得2x﹣y﹣7=0; 故选:B. 9.以(﹣1,2)为圆心,为半径的圆的方程为(  ) A.x2+y2﹣2x+4y=0 B.x2+y2+2x+4y=0 C.x2+y2+2x﹣4y=0 D.x2+y2﹣2x﹣4y=0 【分析】由圆心的坐标和半径写出圆的标准方程,再化为一般方程即可. 解:由圆心坐标为(﹣1,2),半径r=, 则圆的标准方程为:(x+1)2+(y﹣2)2=5, 化为一般方程为:x2+y2+2x﹣4y=0. 故选:C. 10.已知直线l过圆x2+(y﹣3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是(  ) A.x+y﹣2=0 B.x﹣y+2=0 C.x+y﹣3=0 D.x﹣y+3=0 【分析】由题意可得所求直线l经过点(0,3),斜率为1,再利用点斜式求直线l的方程. 解:由题意可得所求直线l经过点(0,3),斜率为1, 故l的方程是 y﹣3=x﹣0,即x﹣y+3=0, 故选:D. 11.圆x2+y2﹣6x=0与圆x2+y2+8y+12=0的位置关系是(  ) A.相离 B.相交 C.外切 D.内切 【分析】把圆的方程化为标准形式,求出圆心和半径,再根据两圆的圆心距MN等于两圆的半径之和,可得两圆相外切. 解:圆x2+y2﹣6x=0 即(x﹣3)2+y2=9,表示以M(3,0)为圆心、半径等于3的圆. 圆x2+y2+8y+12=0即 x2+(y+4)2=4,表示以N(0,﹣4)为圆心、半径等于2的圆. 由于两圆的圆心距MN==5=2+3,故MN等于它们的半径之和,故两圆相外切, 故选:C. 12.若直线x﹣y+1=0与圆(x﹣a)2+y2=2相切,则a等于(  ) A.1或﹣3 B.﹣1或﹣3 C.1或3 D.﹣1或3 【分析】根据题意,分析圆的圆心与半径,结合直线与圆相切的性质可得圆心到直线的距离d==,解可得a的值,即可得答案. 解:根据题意,圆(x﹣a)2+y2=2的圆心为(a,0),半径r=, 若直线x﹣y+1=0与圆(x﹣a)2+y2=2相切, 则圆心到直线的距离d==,即|a+1|=2, 解可得:a=1或﹣3, 故选:A. 二、填空题(每小题5分,共20分) 13.已知函数,且f(x)=3,则x的值是 2或 . 【分析】当x≥1时,f(x)=x+1=3,解得x=2,当x<1时,f(x)=4x=3,解得x=,由此能求出x的值. 解:∵函数,且f(x)=3, ∴当x≥1时,f(x)=x+1=3,解得x=2, 当x<1时,f(x)=4x=3,解得x=, ∴x的值是2或. 故答案为:2或. 14.函数f(x)=ax﹣1(a>0,a≠1)的图象必过定点 (1,1) . 【分析】由指数函数的定义可知,当指数为0时,指数式的值为1,故令指数x﹣1=0,解得x=1,y=1,故得定点(1,1). 解:令x﹣1=0,解得x=1, 此时y=a0=1,故得(1,1) 此点与底数a的取值无关, 故函数y=ax﹣1的图象必经过定点(1,1) 故答案为(1,1). 15.已知直线经过点P(1,2),且与直线y=2x+3平行,则该直线方程为 y=2x . 【分析】设所求直线的方程为y=2x+b,将P点代入求出b值,可得答案. 解:∵所求直线与直线y=2x+3平行, ∴设所求直线的方程为y=2x+b, ∵直线经过点P(1,2), ∴2=2+b,解得:b=0, 故所求直线的方程为:y=2x; 故答案为:y=2x 16.函数f(x)=在[2,3]上的最小值为  最大值为 1 . 【分析】先判定f(x)在[2,3]上的单调性,再求最值. 解:∵任取x1,x2∈[2,+∞),且x1<x2, 则f(x1)﹣f(x2)=﹣=, ∵2≤x1<x2,∴x2﹣x1>0,(x1﹣1)(x2﹣1)>0, ∴f(x1)﹣f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2), ∴f(x)在[2,+∞)上是减函数; ∴函数f(x)=在[2,3]上的最小值是f(3)=, 最大值是f(2)=1; 故答案为:,1. 三、解答题(共6小题,共70分) 17.求经过两直线l1:x﹣2y+4=0和l2:x+y﹣2=0的交点P,且与直线l3:3x﹣4y+5=0垂直的直线l的方程. 【分析】直接求出两直线l1:x﹣2y+4=0和l2:x+y﹣2=0的交点P的坐标,求出直线的斜率,然后求出所求直线方程. 解:由方程组可得P(0,2). … ∵l⊥l3,∴kl=﹣,… ∴直线l的方程为y﹣2=﹣x,即4x+3y﹣6=0.… 18.函数f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,函数的解析式为f(x)=+1. (1)用定义证明f(x)在(0,+∞)上是减函数; (2)当x<0时,求函数f(x)的解析式. 【分析】(1)利用单调性的证明方法:取值,作差,变形,判号,作结论的步骤证明即可; (2)通过已知函数解析式及函数为奇函数即可求解. 解:(1)证明:设0<x1<x2,由x>0时,f(x)=+1 得:f(x1)﹣f(x2)=, ∵0<x1<x2,∴x1x2>0,x2﹣x1>0, ∴f(x1)﹣f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), ∴f(x)在(0,+∞)上是减函数. (2)当x<0时,﹣x>0, ∵x>0时,f(x)=+1, ∴f(﹣x)=+1=﹣+1, 又f(x)为奇函数,f(﹣x)=﹣f(x), ∴﹣f(x)=﹣+1,f(x)=﹣1, ∴x<0时,f(x)=﹣1. 19.求满足下列条件的直线的方程. (1)直线过点(﹣1,2),且与直线x+y﹣2=0平行; (2)直线过(0,1)点且与直线3x+y+1=0垂直. 【分析】(1)设所求直线的方程为x+y+m=0,mh 点(﹣1,2)在直线上,求出m=﹣1,由此能求出直线的方程. (2)设所求直线的方程为x﹣3y+m=0.由点(0,1)在直线x﹣3y+m=0上,求出m=3.由此能求出直线的方程. 解:(1)设所求直线的方程为x+y+m=0, ∵点(﹣1,2)在直线上,∴﹣1+2+m=0, ∴m=﹣1, 故所求直线的方程为x+y﹣1=0. (2)设所求直线的方程为x﹣3y+m=0. ∵点(0,1)在直线x﹣3y+m=0上, ∴0﹣3+m=0,解得m=3. 故所求直线的方程为x﹣3y+3=0. 20.已知△ABC的三个顶点是A(1,1),B(﹣1,3),C(3,4). (1)求BC边的高所在直线l1的方程; (2)若直线l2过C点,且A、B到直线l2的距离相等,求直线l2的方程. 【分析】(1)利用斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式即可得出. (2)利用斜率计算公式、中点坐标公式、点斜式即可得出. 解:(1)∵,==﹣4,… ∴直线l1的方程是y=﹣4(x﹣1)+1,即4x+y﹣5=0. … (2)∵直线l2过C点且A、B到直线l2的距离相等, ∴直线l2与AB平行或过AB的中点M, ∵,∴直线l2的方程是y=﹣(x﹣3)+4,即x+y﹣7=0,… ∵AB的中点M的坐标为(0,2), ∴,∴直线l2的方程是,即2x﹣3y+6=0, 综上,直线l2的方程是x+y﹣7=0或2x﹣3y+6=0. … 21.已知圆C的圆心是直线x﹣y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,求圆C的方程. 【分析】求出直线x﹣y+1=0与x轴的交点即为圆心C坐标,求出点C到直线x+y+3=0的距离即为圆的半径,写出圆的标准方程即可. 解:对于直线x﹣y+1=0,令y=0,得到x=﹣1,即圆心C(﹣1,0), ∵圆心C(﹣1,0)到直线x+y+3=0的距离d==, ∴圆C半径r=, 则圆C方程为(x+1)2+y2=2. 22.已知圆C的圆心在坐标原点,且过点M(). (1)求圆C的方程; (2)已知点P是圆C上的动点,试求点P到直线x+y﹣4=0的距离的最小值; (3)若直线l与圆C相切于点M,求直线l的方程. 【分析】(1)由题意可得圆C的半径r=|OM|的值,再根据原点为圆心,可得圆的方程. (2)求出圆心到直线x+y﹣4=0的距离d,则点P到直线x+y﹣4=0的距离的最小值为d﹣r,计算可得结果. (3)先求出直线l的斜率为的值,再由点斜式求得直线l的方程,化简可得结果. 解:(1)由题意可得圆C的半径r=|OM|==2,再根据原点为圆心, 可得圆的方程为 x2+y2=4. (2)已知点P是圆C上的动点,圆心到直线x+y﹣4=0的距离d==2, 故点P到直线x+y﹣4=0的距离的最小值为d﹣r=2﹣2. (3)若直线l与圆C相切于点M(1,),故直线l的斜率为==﹣, 由点斜式求得直线l的方程为 y﹣=﹣(x﹣1),即 x+y﹣4=0.

    • 2020-01-20
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  • ID:3-6778760 2018-2019学年新疆石河子二中高一第一学期(上)期末数学试卷 含解析

    高中数学/人教A版(2019)/期末专区/高一上学期

    2018-2019学年高一(上)期末数学试卷 一、选择题(本题共12个小题) 1.设集合A={x|x2﹣4x+3<0},B={x|2x﹣3>0},则A∩B=(  ) A.(﹣3,﹣) B.(﹣3,) C.(1,) D.(,3) 2.以A(1,3),B(﹣5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是(  ) A.3x﹣y﹣8=0 B.3x+y+4=0 C.3x﹣y+6=0 D.3x+y+2=0 3.与函数y=x是同一函数的函数是(  ) A. B. C. D. 4.已知,,,则(  ) A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 5.幂函数y=f(x)经过点(3,),则f(x)是(  ) A.偶函数,且在(0,+∞)上是增函数 B.偶函数,且在(0,+∞)上是减函数 C.奇函数,且在(0,+∞)是减函数 D.非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数 6.函数y=log2(x+1)的图象大致是(  ) A. B. C. D. 7.下列函数中,定义域是R且为增函数的是(  ) A.y=e﹣x B.y=x C.y=lnx D.y=|x| 8.一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为(  ) A.+π B.+π C.+π D.1+π 9.如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,直线AB1与BC1所成角为(  ) A.30° B.45° C.60° D.90° 10.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=log2x,则f(﹣2)的值等于(  ) A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2 11.函数f(x)=lnx﹣的零点所在的区间是(  ) A.(0,1) B.(1,e) C.(e,3) D.(3,+∞) 12.已知函数f(x)=(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解,则a的取值范围是(  ) A.(0,] B.[,] C.[,]∪{} D.[,)∪{} 二、填空题 13.函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的定义域为   ,值域为   . 14.若函数f(x)=为奇函数,则实数a=   . 15.如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,直线A1B与平面A1B1CD所成的角的大小等于   . 16.α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题: (1)如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β. (2)如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n. (3)如果α∥β,m?α,那么m∥β. (4)如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等. 其中正确的命题有   .(填写所有正确命题的编号) 三、解答题 17.函数f(x)=x﹣2, (1)证明函数的奇偶性 (2)判断函数在(﹣∞,0)上单调性,并证明. 18.已知直角三角形ABC的斜边长AB=2,现以斜边AB为轴旋转一周,得旋转体,当∠A=30°时,求此旋转体的体积与表面积的大小. 19.已知f(x)=9x﹣2×3x+4,x∈[﹣1,2]. (1)设t=3x,x∈[﹣1,2],求t的最大值与最小值; (2)求f(x)的最大值与最小值. 20.求函数f(x)=(x2﹣3)的单调区间. 21.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,E是PC的中点,求证: (Ⅰ)PA∥平面EDB (Ⅱ)AD⊥PC. 22.在如图所示的几何体中,四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,FC⊥平面ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF. (Ⅰ)求证:BD⊥平面AED; (Ⅱ)求二面角F﹣BD﹣C的余弦值. 参考答案 一、选择题 1.设集合A={x|x2﹣4x+3<0},B={x|2x﹣3>0},则A∩B=(  ) A.(﹣3,﹣) B.(﹣3,) C.(1,) D.(,3) 【分析】解不等式求出集合A,B,结合交集的定义,可得答案. 解:∵集合A={x|x2﹣4x+3<0}=(1,3), B={x|2x﹣3>0}=(,+∞), ∴A∩B=(,3), 故选:D. 2.以A(1,3),B(﹣5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是(  ) A.3x﹣y﹣8=0 B.3x+y+4=0 C.3x﹣y+6=0 D.3x+y+2=0 【分析】求出AB的中点坐标,求出AB的中垂线的斜率,然后求出中垂线方程. 解:因为A(1,3),B(﹣5,1), 所以AB的中点坐标(﹣2,2),直线AB的斜率为:=, 所以AB的中垂线的斜率为:﹣3, 所以以A(1,3),B(﹣5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是y﹣2=﹣3(x+2),即3x+y+4=0. 故选:B. 3.与函数y=x是同一函数的函数是(  ) A. B. C. D. 【分析】根据两个函数的定义域相同,对应关系也相同,判断它们是同一函数即可 解:y=x是的定义域和值域均为R的函数. 对于A:其定义域为R,定义域相同,而对应关系不相同,∴不是同一函数; 对于B:其定义域为R,对应关系也相同,∴是同一函数; 对于C:其定义域为{x|x≥0},定义域不相同,∴不是同一函数; 对于D:其定义域为{x|x≠0},定义域不相同,∴不是同一函数; 故选:B. 4.已知,,,则(  ) A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 【分析】本题将a、b、c的分数指数式变为根式,即可得出结果. 解:由题意, ==, ==, =. ∵9<16<25, ∴<<. 故选:A. 5.幂函数y=f(x)经过点(3,),则f(x)是(  ) A.偶函数,且在(0,+∞)上是增函数 B.偶函数,且在(0,+∞)上是减函数 C.奇函数,且在(0,+∞)是减函数 D.非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数 【分析】设出幂函数的解析式,求出自变量的指数,从而求出函数的性质即可. 解:设幂函数的解析式为:y=xα, 将(3,)代入解析式得: 3α=,解得α=, ∴y=, 故选:D. 6.函数y=log2(x+1)的图象大致是(  ) A. B. C. D. 【分析】函数y=log2(x+1)的图象是把函数y=log2x的图象向左平移了一个单位得到的,由此可得结论. 解:函数y=log2(x+1)的图象是把函数y=log2x的图象向左平移了一个单位得到的,定义域为(﹣1,+∞), 过定点(0,0),在(﹣1,+∞)上是增函数, 故选:B. 7.下列函数中,定义域是R且为增函数的是(  ) A.y=e﹣x B.y=x C.y=lnx D.y=|x| 【分析】可求每个选项函数的定义域,定义域为R时再判断其单调性即可. 解:y=e﹣x在定义域R上是减函数,在定义域R上是增函数,y=lnx的定义域不是R,y=|x|在定义域R上没有单调性. 故选:B. 8.一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为(  ) A.+π B.+π C.+π D.1+π 【分析】由已知中的三视图可得:该几何体上部是一个半球,下部是一个四棱锥,进而可得答案. 解:由已知中的三视图可得:该几何体上部是一个半球,下部是一个四棱锥, 半球的直径为棱锥的底面对角线, 由棱锥的底底面棱长为1,可得2R=. 故R=,故半球的体积为:=π, 棱锥的底面面积为:1,高为1, 故棱锥的体积V=, 故组合体的体积为:+π, 故选:C. 9.如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,直线AB1与BC1所成角为(  ) A.30° B.45° C.60° D.90° 【分析】由AB1∥DC1,知∠DC1B是直线AB1与BC1所成角,由此能求出直线AB1与BC1所成角. 解:∵AB1∥DC1, ∴∠DC1B是直线AB1与BC1所成角, ∵△BDC1是等边三角形, ∴直线AB1与BC1所成角60°. 故选:C. 10.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=log2x,则f(﹣2)的值等于(  ) A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2 【分析】先根据f(x)是定义在R上的奇函数,把自变量转化到所给的区间内,即可求出函数值. 解:∵f(x)是定义在R上的奇函数, ∴f(﹣2)=﹣f(2), 又∵当x>0时,f(x)=log2x, ∴f(2)=log22=1, ∴f(﹣2)=﹣1. 故选:B. 11.函数f(x)=lnx﹣的零点所在的区间是(  ) A.(0,1) B.(1,e) C.(e,3) D.(3,+∞) 【分析】根据连续函数f(x)=lnx﹣,可得f(1)=﹣1<0,f(e)=1﹣>0,由此得到函数f(x)=lnx﹣的零点所在的区间. 解:∵连续函数f(x)=lnx﹣, ∴f(1)=﹣1<0,f(e)=1﹣>0, ∴函数f(x)=lnx﹣的零点所在的区间是 (1,e), 故选:B. 12.已知函数f(x)=(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解,则a的取值范围是(  ) A.(0,] B.[,] C.[,]∪{} D.[,)∪{} 【分析】利用函数是减函数,根据对数的图象和性质判断出a的大致范围,再根据f(x)为减函数,得到不等式组,利用函数的图象,方程的解的个数,推出a的范围. 解:y=loga(x+1)+1在[0,+∞)递减,则0<a<1, 函数f(x)在R上单调递减,则: ; 解得,; 由图象可知,在[0,+∞)上,|f(x)|=2﹣x有且仅有一个解, 故在(﹣∞,0)上,|f(x)|=2﹣x同样有且仅有一个解, 当3a>2即a>时,联立|x2+(4a﹣3)x+3a|=2﹣x, 则△=(4a﹣2)2﹣4(3a﹣2)=0, 解得a=或1(舍去), 当1≤3a≤2时,由图象可知,符合条件, 综上:a的取值范围为[,]∪{}, 故选:C. 二、填空题 13.函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的定义域为 [﹣5,5] ,值域为 [﹣2,3] . 【分析】通过图象直接观察即可得到答案. 解:由图象可知,函数的定义域为[﹣5,5],值域为[﹣2,3]. 故答案为:[﹣5,5],[﹣2,3]. 14.若函数f(x)=为奇函数,则实数a= ﹣1 . 【分析】利用奇函数的性质即可得出. 解:∵函数f(x)=为奇函数, ∴f(﹣x)+f(x)=+=0, 化为(a+1)x=0, ∴a+1=0, 解得a=﹣1. 故答案为:﹣1. 15.如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,直线A1B与平面A1B1CD所成的角的大小等于 30° . 【分析】连接BC1,交B1C于点O,再连接A1O,根据几何体的结构特征可得:BO⊥平面A1B1CD,所以∠BA1O是直线A1B与平面A1B1CD 所成的角,再利用解三角形的有关知识求出答案即可. 解:连接BC1,交B1C于点O,再连接A1O, 因为是在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中, 所以BO⊥平面A1B1CD, 所以∠BA1O是直线A1B与平面A1B1CD 所成的角. 设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为1, 所以在△A1BO中,A1B=,OB=, 所以sin∠BA1O=, 所以直线A1B与平面A1B1CD 所成的角的大小等于30°. 故答案为30°. 16.α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题: (1)如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β. (2)如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n. (3)如果α∥β,m?α,那么m∥β. (4)如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等. 其中正确的命题有 (2)(3)(4) .(填写所有正确命题的编号) 【分析】由线面垂直和面面的位置关系,即可判断(1); 由线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理,即可判断(2); 由面面平行的性质定理,即可判断(3); 运用面面平行和线面角的定义,即可判断(4). 解:(1)如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α∥β或α、β相交,故(1)错; (2)如果m⊥α,n∥α,过n的平面与α的交线l平行于n,且m⊥l,那么m⊥n,故(2)正确; (3)如果α∥β,m?α,由面面平行的性质可得m∥β,故(3)正确; (4)如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等,正确. 故答案为:(2)(3)(4). 三、解答题 17.函数f(x)=x﹣2, (1)证明函数的奇偶性 (2)判断函数在(﹣∞,0)上单调性,并证明. 【分析】(1)先确定函数的定义域,再用奇偶性的定义证明函数为偶函数; (2)先判断函数在(﹣∞,0)上单调递增,再用单调性的定义用作差比较法证明; 解:(1)f(x)的定义域为:(﹣∞,0)∪(0,+∞), 且为偶函数,证明如下: 因为f(x)=x﹣2=, 所以f(﹣x)=, 即f(﹣x)=f(x),因此f(x)为定义域上的偶函数; (2)函数f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,证明如下: 任取x1,x2∈(﹣∞,0),且x1<x2, 则f(x1)﹣f(x2)===, 因为,x1,x2∈(﹣∞,0),且x1<x2, 所以,f(x1)﹣f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2), 所以,函数f(x)在(﹣∞,0)上单调递增. 18.已知直角三角形ABC的斜边长AB=2,现以斜边AB为轴旋转一周,得旋转体,当∠A=30°时,求此旋转体的体积与表面积的大小. 【分析】由已知中直角三角形ABC的斜边长AB=2,∠A=30°,判断出以斜边AB为轴旋转一周,所得旋转体的形状是AB边的高CO为底面半径的两个圆锥组成的组合体,计算出底面半径及两个圆锥高的和,代入圆锥体积公式,即可求出旋转体的体积;该几何体的表面积是两个圆锥的侧面积之和,分别计算出两个圆锥的母线长,代入圆锥侧面积公式,即可得到答案. 解:如图以斜边AB为轴旋转一周,得旋转体是以AB边的高CO为底面半径的两个圆锥组成的组合体 ∵AB=2,∠A=30° ∴CB=sin30°?AB=1,CA=cos30°?AB=, CO== 故此旋转体的体积V=?πr2?h=?π?CO2?AB=…6分 (2)又∵CB=1,CA=, 故此旋转体的表面积 S=πr?(l+l′)=πCO?(AC+BC)=(3+)π…12分. 19.已知f(x)=9x﹣2×3x+4,x∈[﹣1,2]. (1)设t=3x,x∈[﹣1,2],求t的最大值与最小值; (2)求f(x)的最大值与最小值. 【分析】(1)设t=3x,由 x∈[﹣1,2],且函数t=3x 在[﹣1,2]上是增函数,故有 ≤t≤9,由此求得t的最大值和最小值. (2)由f(x)=t2﹣2t+4=(t﹣1)2+3,可得此二次函数的对称轴为 t=1,且 ≤t≤9,由此求得f(x)的最大值与最小值. 解:(1)设t=3x,∵x∈[﹣1,2],函数t=3x 在[﹣1,2]上是增函数,故有 ≤t≤9,故t的最大值为9,t的最小值为. (2)由f(x)=9x﹣2×3x+4=t2﹣2t+4=(t﹣1)2+3,可得此二次函数的对称轴为 t=1,且 ≤t≤9, 故当t=1时,函数f(x)有最小值为3, 当t=9时,函数f(x)有最大值为 67. 20.求函数f(x)=(x2﹣3)的单调区间. 【分析】根据对数函数以及二次函数的性质求出函数的单调区间即可. 解:要使函数有意义,当且仅当u=x2﹣3>0, 即x>或x<﹣. 又x∈(,+∞)时,u是x的增函数; x∈(﹣∞,﹣)时,u是x的减函数. 而u>0时,y=logu是减函数, 故函数y=log(x2﹣3)的单减区间是(,+∞),单增区间是(﹣∞,﹣). 21.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,E是PC的中点,求证: (Ⅰ)PA∥平面EDB (Ⅱ)AD⊥PC. 【分析】(Ⅰ)连接AC交BD于O,连接OE,证明OE∥PA,即可证明PA∥平面EDB; (Ⅱ)证明AD⊥平面PCD,即可证明AD⊥PC. 【解答】证明:(Ⅰ)连接AC交BD于O,连接OE ∵底面ABCD是正方形,∴O为AC中点, ∵在△PAC中,E是PC的中点, ∴OE∥PA,… ∵OE?平面EDB,PA?平面EDB, ∴PA∥平面EDB.… (Ⅱ)∵侧棱PD⊥底面ABCD,AD?底面ABCD, ∴PD⊥AD, ∵底面ABCD是正方形, ∴AD⊥CD, 又PD∩CD=D, ∴AD⊥平面PCD.… ∴AD⊥PC.… 22.在如图所示的几何体中,四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,FC⊥平面ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF. (Ⅰ)求证:BD⊥平面AED; (Ⅱ)求二面角F﹣BD﹣C的余弦值. 【分析】(Ⅰ)由题意及图可得,先由条件证得AD⊥BD及AE⊥BD,再由线面垂直的判定定理即可证得线面垂直; (II)解法一:由(I)知,AD⊥BD,可得出AC⊥BC,结合FC⊥平面ABCD,知CA,CA,CF两两垂直,因此可以C为坐标原点,分别以CA,CB,CF所在的直线为X轴,Y轴,Z轴建立如图的空间直角坐标系,设CB=1,表示出各点的坐标,再求出两个平面的法向量的坐标,由公式求出二面角F﹣BD﹣C的余弦值即可; 解法二:取BD的中点G,连接CG,FG,由于 CB=CD,因此CG⊥BD,又FC⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,可证明出∠FGC为二面角F﹣BD﹣C的平面角,再解三角形求出二面角F﹣BD﹣C的余弦值. 【解答】(I)证明:因为四边形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°.所以∠ADC=∠BCD=120°.又CB=CD, 所以∠CDB=30°,因此,∠ADB=90°,AD⊥BD, 又AE⊥BD且,AE∩AD=A,AE,AD?平面AED, 所以BD⊥平面AED; (II)解法一:由(I)知,AD⊥BD,同理AC⊥BC, 又FC⊥平面ABCD,因此CA,CB,CF两两垂直,以C为坐标原点,分别以CA,CB,CF所在的直线为X轴,Y轴,Z轴建立如图的空间直角坐标系, 不妨设CB=1,则C(0,0,0),B(0,1,0),D(,﹣,0),F(0,0,1),因此=(,﹣,0),=(0,﹣1,1) 设平面BDF的一个法向量为=(x,y,z),则?=0,?=0 所以x=y=z,取z=1,则=(,1,1), 由于=(0,0,1)是平面BDC的一个法向量, 则cos<,>===,所以二面角F﹣BD﹣C的余弦值为 解法二:取BD的中点G,连接CG,FG,由于 CB=CD,因此CG⊥BD,又FC⊥平面ABCD,BD?平面ABCD, 所以FC⊥BD,由于FC∩CG=C,FC,CG?平面FCG. 所以BD⊥平面FCG.故BD⊥FG,所以∠FGC为二面角F﹣BD﹣C的平面角, 在等腰三角形BCD中,由于∠BCD=120°, 因此CG=CB,又CB=CF, 所以GF==CG, 故cos∠FGC=, 所以二面角F﹣BD﹣C的余弦值为

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  • ID:3-6778759 山西省朔州市怀仁一中2018-2019学年高二(上)第一学期期末数学试卷(理科) 含解析

    高中数学/期末专区/高二上册

    2018-2019学年高二(上)期末数学试卷(理科) 一、选择题(本题共12个小题) 1.若命题“p∧q”为假,且“¬p”为假,则(  ) A.p或q为假 B.q假 C.q真 D.不能判断q的真假 2.已知向量=(1,1,0),=(﹣1,0,2)且k+与2﹣互相垂直,则k的值是(  ) A.1 B. C. D. 3.设P是椭圆上一点,F1、F2是椭圆的焦点,若|PF1|等于4,则|PF2|等于(  ) A.22 B.21 C.20 D.13 4.设l为直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是(  ) A.若l∥α,l∥β,则α∥β B.若l⊥α,l⊥β,则α∥β C.若l⊥α,l∥β,则α∥β D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β 5.双曲线方程为x2﹣2y2=1,则它的右焦点坐标为(  ) A. B. C. D. 6.函数f(x)=lnx﹣x的单调递增区间是(  ) A.(﹣∞,1) B.(0,1) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 7.“a<0”是“方程ax2+1=0至少有一个负根”的(  ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.函数f(x)=x3﹣2x+3的图象在x=1处的切线与圆x2+y2=8的位置关系是(  ) A.相切 B.相交且过圆心 C.相交但不过圆心 D.相离 9.如图,已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1,M,N分别为A1D1和AA1的中点,则下列四种说法中正确的个数为(  ) ①C1M∥AC; ②BD1⊥AC; ③BC1与AC的所成角为60°; ④CD与BN为异面直线. A.1 B.2 C.3 D.4 10.已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是(  ) A.[0,) B.[,) C.(,] D.[,π) 11.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为(  ) A.2 B.2 C.3 D.2 12.已知函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),若f(x)满足:(x﹣1)[f′(x)﹣f(x)]>0,f(2﹣x)=f(x)e2﹣2x,则下列判断一定正确的是(  ) A.f(1)<f(0) B.f(2)>ef(0) C.f(3)>e3f(0) D.f(4)<e4f(0) 二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.将正确答案填在题中横线上) 13.命题“若|x|>1则x>1”的否命题是   命题(填“真”或“假”). 14.若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2﹣y2=1的一个焦点,则p=   . 15.已知函数f(x)=,则f'()=    16.已知矩形ABCD中,AB=1,BC=,将矩形ABCD沿对角线AC折起,使平面ABC与平面ACD垂直,则B与D之间的距离为   . 三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.写出下列命题的否定,并判断其真假: (1)p:?x∈R,方程x2+x﹣m=0必有实根; (2)q:?x∈R,使得x2+x+1≤0. 18.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=,D是棱AC的中点,且AB=BC=BB1=2. (1)求证:AB1∥平面BC1D; (2)求异面直线AB1与BC1所成的角. 19.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8. (1)求l的方程; (2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程. 20.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=﹣与x=1时都取得极值. (1)求a、b的值与函数f(x)的单调区间; (2)若对x∈[﹣1,2],不等式f(x)<c2恒成立,求c的取值范围. 21.在四棱锥P﹣ABCD中,△ABC,△ACD都为等腰直角三角形,∠ABC=∠ACD=90°,△PAC是边长为2的等边三角形,PB=,E为PA的中点. (Ⅰ)求证:BE⊥平面PAD; (Ⅱ)求二面角C﹣PA﹣D的余弦值. 22.设,其中a为正实数 (Ⅰ)当a=时,求f(x)的极值点; (Ⅱ)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围. 参考答案 一、选择题(本题共12个小题) 1.若命题“p∧q”为假,且“¬p”为假,则(  ) A.p或q为假 B.q假 C.q真 D.不能判断q的真假 【分析】根据复合命题的真值表,先由“?p”为假,判断出p为真;再根据“p∧q”为假,判断q为假. 解:因为“?p”为假, 所以p为真; 又因为“p∧q”为假, 所以q为假. 对于A,p或q为真, 对于C,D,显然错, 故选:B. 2.已知向量=(1,1,0),=(﹣1,0,2)且k+与2﹣互相垂直,则k的值是(  ) A.1 B. C. D. 【分析】由向量=(1,1,0),=(﹣1,0,2),求得k+与2﹣的坐标,代入数量积的坐标表示求得k值. 解:∵=(1,1,0),=(﹣1,0,2), ∴k+=k(1,1,0)+(﹣1,0,2)=(k﹣1,k,2), 2﹣=2(1,1,0)﹣(﹣1,0,2)=(3,2,﹣2), 又k+与2﹣互相垂直, ∴3(k﹣1)+2k﹣4=0,解得:k=. 故选:D. 3.设P是椭圆上一点,F1、F2是椭圆的焦点,若|PF1|等于4,则|PF2|等于(  ) A.22 B.21 C.20 D.13 【分析】由已知条件,利用|PF1|+|PF2|=2a,能求出结果. 解:∵P是椭圆上一点, F1、F2是椭圆的焦点,|PF1|等于4, ∴|PF2|=2﹣|PF1|=26﹣4=22. 故选:A. 4.设l为直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是(  ) A.若l∥α,l∥β,则α∥β B.若l⊥α,l⊥β,则α∥β C.若l⊥α,l∥β,则α∥β D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β 【分析】根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法,可判断A; 根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征,可判断B; 根据线面平行的性质定理,线面垂直及面面垂直的判定定理,可判断C; 根据面面垂直及线面平行的几何特征,可判断D. 解:若l∥α,l∥β,则平面α,β可能相交,此时交线与l平行,故A错误; 若l⊥α,l⊥β,根据垂直于同一直线的两个平面平行,可得B正确; 若l⊥α,l∥β,则存在直线m?β,使l∥m,则m⊥α,故此时α⊥β,故C错误; 若α⊥β,l∥α,则l与β可能相交,可能平行,也可能线在面内,故D错误; 故选:B. 5.双曲线方程为x2﹣2y2=1,则它的右焦点坐标为(  ) A. B. C. D. 【分析】把双曲线方程化为标准方程可分别求得a和b,进而根据c=求得c,焦点坐标可得. 解:双曲线的,,, ∴右焦点为. 故选:C. 6.函数f(x)=lnx﹣x的单调递增区间是(  ) A.(﹣∞,1) B.(0,1) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 【分析】先求出函数的定义域,求出函数f(x)的导函数,在定义域下令导函数大于0得到函数的递增区间 解:f′(x)= 令f′(x)>0得0<x<1 所以函数f(x)=lnx﹣x的单调递增区间是(0,1) 故选:B. 7.“a<0”是“方程ax2+1=0至少有一个负根”的(  ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】“a<0”?“方程ax2+1=0至少有一个负根”,“方程ax2+1=0至少有一个负根”?“a<0”,由此能求出结果. 解:曲线y=ax2+1与y轴焦点在(0,1), 所以只要开口向下就能确定有负根,不管对称轴在x正半轴还是负半轴, ∴“a<0”?“方程ax2+1=0至少有一个负根”, 方程ax2+1=0至少有一个负根, 当a=0时,方程ax2+1=0无解; 当a>0时,方程ax2+1=0无解; 当a<0时,方程ax2+1=0的根为x=±,至少有一个是负根, ∴“方程ax2+1=0至少有一个负根”?“a<0”, ∴a<0”是“方程ax2+1=0至少有一个负根”的充要条件. 故选:C. 8.函数f(x)=x3﹣2x+3的图象在x=1处的切线与圆x2+y2=8的位置关系是(  ) A.相切 B.相交且过圆心 C.相交但不过圆心 D.相离 【分析】求出函数在x=1处的导数,就是这点处切线的斜率,求出切线方程,利用圆心到直线的距离与半径比较,即可得到正确选项. 解:因为函数f(x)=x3﹣2x+3,所以f′(x)=3x2﹣2, 所以函数f(x)=x3﹣2x+3的图象在x=1处的切线的斜率为:k=1,切点坐标为(1,2) 所以切线方程为:y﹣2=1×(x﹣1),即x﹣y+1=0, 圆x2+y2=8的圆心到直线的距离d==<2, 所以直线与圆相交,而(0,0)不满足x﹣y+1=0. 所以函数f(x)=x3﹣2x+3的图象在x=1处的切线与圆x2+y2=8的位置关系为相交但不过圆心. 故选:C. 9.如图,已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1,M,N分别为A1D1和AA1的中点,则下列四种说法中正确的个数为(  ) ①C1M∥AC; ②BD1⊥AC; ③BC1与AC的所成角为60°; ④CD与BN为异面直线. A.1 B.2 C.3 D.4 【分析】在①中,C1M与AC是异面直线;在②中,由AC⊥平面BDD1,知BD1⊥AC;在③中,由AC∥A1C1,BC=A1C1=BA1,知BC1与AC的所成角为60°;在④中,由CD∥AB,AB∩BN=B,知CD与BN既为异面直线. 解:由正方体ABCD﹣A1B1C1D1,M,N分别为A1D1和AA1的中点,知: 在①中,AC∥A1C1,A1C1∩C1M=C1,∴C1M与AC是异面直线,故①错误; 在②中,∵AC⊥DD1,AC⊥BD,BD∩DD1=D, ∴AC⊥平面BDD1,又BD?平面BDD1,故BD1⊥AC,故②正确; 在③中,AC∥A1C1,BC=A1C1=BA1,∴BC1与AC的所成角为60°,故③正确; 在④中,CD∥AB,AB∩BN=B,故CD与BN既为异面直线,故④正确. 故选:C. 10.已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是(  ) A.[0,) B.[,) C.(,] D.[,π) 【分析】利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率,再根据斜率等于倾斜角的正切值求出角的范围. 解:因为y=上的导数为y′=﹣=﹣, ∵ex+e﹣x≥2=2, ∴ex+e﹣x+2≥4, ∴y′∈[﹣1,0) 即tanα∈[﹣1,0), ∵0≤α<π ∴π≤α<π. 即α的取值范围是[π,π). 故选:D. 11.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为(  ) A.2 B.2 C.3 D.2 【分析】判断三视图对应的几何体的形状,利用侧面展开图,转化求解即可. 解:由题意可知几何体是圆柱,底面周长16,高为:2, 直观图以及侧面展开图如图: 圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度:=2. 故选:B. 12.已知函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),若f(x)满足:(x﹣1)[f′(x)﹣f(x)]>0,f(2﹣x)=f(x)e2﹣2x,则下列判断一定正确的是(  ) A.f(1)<f(0) B.f(2)>ef(0) C.f(3)>e3f(0) D.f(4)<e4f(0) 【分析】由已知f(2﹣x)=f(x)e2﹣2x,变形得,因此考虑可构造函数g(x)=,可得.利用已知f(x)满足:(x﹣1)[f′(x)﹣f(x)]>0,即可得出f(x)单调递减.可得g(﹣1)>g(0).即.利用f(2﹣x)=f(x)e2﹣2x,可得f(3)=f(﹣1)e4>e﹣1f(0)?e4=e3f(0).即可 解:令g(x)=,则. ∵f(x)满足:(x﹣1)[f′(x)﹣f(x)]>0, ∴当x<1时,f′(x)﹣f(x)<0.∴g′(x)<0.此时函数g(x)单调递减. ∴g(﹣1)>g(0).即. ∵f(2﹣x)=f(x)e2﹣2x,∴f(3)=f(﹣1)e4>e﹣1f(0)?e4=e3f(0). 故选:C. 二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.将正确答案填在题中横线上) 13.命题“若|x|>1则x>1”的否命题是 真 命题(填“真”或“假”). 【分析】命题“若|x|>1则x>1”的否命题是“若|x|≤1则x≤1”,即可得出结论. 解:命题“若|x|>1则x>1”的否命题是“若|x|≤1则x≤1”,是真命题. 故答案为:真. 14.若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2﹣y2=1的一个焦点,则p= 2 . 【分析】先求出x2﹣y2=1的左焦点,得到抛物线y2=2px的准线,依据p的意义求出它的值. 解:双曲线x2﹣y2=1的左焦点为(﹣,0),故抛物线y2=2px的准线为x=﹣, ∴=,∴p=2, 故答案为:2. 15.已知函数f(x)=,则f'()= ﹣  【分析】求出,由此能求出f'()的值. 解:∵函数f(x)=, ∴, ∴f'()==﹣. 故答案为:﹣. 16.已知矩形ABCD中,AB=1,BC=,将矩形ABCD沿对角线AC折起,使平面ABC与平面ACD垂直,则B与D之间的距离为  . 【分析】作BO⊥AC,则BO⊥平面ACD,求出BO,DO,即可求出BD. 解:如图所示,作BO⊥AC,则BO⊥平面ACD, ∵AB=1,BC=, ∴AC=2, ∴BO=,AO=, ∴DO===, ∴BD==. 故答案为:. 三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.写出下列命题的否定,并判断其真假: (1)p:?x∈R,方程x2+x﹣m=0必有实根; (2)q:?x∈R,使得x2+x+1≤0. 【分析】命题的否定即命题的对立面.可根据如下规则书写:“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述.如“对所有的…都成立”与“至少有一个…不成立”;“都是”与“不都是”等,所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”,“存在性命题”的否定一定是“全称命题”. 解:(1)¬p:?m∈R.方程x2+x﹣m=0无实数根; 由于当m=﹣1时,方程x2+x﹣m=0的根的判别式△<0, ∴方程x2+x﹣m=0无实数根,故其是真命题. (2)¬q:?x∈R,使得x2+x+1>0; 由于x2+x+1=(x+)2+>0, 故其是真命题. 18.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=,D是棱AC的中点,且AB=BC=BB1=2. (1)求证:AB1∥平面BC1D; (2)求异面直线AB1与BC1所成的角. 【分析】(1)连接B1C交BC1于点O,连接OD.推出OD∥AB1.然后证明AB1∥平面BC1D. (2)建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz.求出相关点的坐标,利用空间向量的数量积求解异面直线所成角. 解:(1)如图,连接B1C交BC1于点O,连接OD. ∵O为B1C的中点,D为AC的中点,∴OD∥AB1. ∵AB1?平面BC1D,OD?平面BC1D, ∴AB1∥平面BC1D. (2)建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz. 则B(0,0,0)、A(0,2,0)、C1(2,0,2)、B1(0,0,2).∴=(0,﹣2,2)、=(2,0,2). cos===, 设异面直线AB1与BC1所成的角为θ,则cosθ=, ∵θ∈(0,),∴θ=. 19.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8. (1)求l的方程; (2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程. 【分析】(1)方法一:设直线AB的方程,代入抛物线方程,根据抛物线的焦点弦公式即可求得k的值,即可求得直线l的方程; 方法二:根据抛物线的焦点弦公式|AB|=,求得直线AB的倾斜角,即可求得直线l的斜率,求得直线l的方程; (2)根据过A,B分别向准线l作垂线,根据抛物线的定义即可求得半径,根据中点坐标公式,即可求得圆心,求得圆的方程. 解:(1)方法一:抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0), 设直线AB的方程为:y=k(x﹣1),设A(x1,y1),B(x2,y2), 则,整理得:k2x2﹣2(k2+2)x+k2=0,则x1+x2=,x1x2=1, 由|AB|=x1+x2+p=+2=8,解得:k2=1,则k=1, ∴直线l的方程y=x﹣1; 方法二:抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),设直线AB的倾斜角为θ,由抛物线的弦长公式|AB|===8,解得:sin2θ=, ∴θ=,则直线的斜率k=1, ∴直线l的方程y=x﹣1; (2)由(1)可得AB的中点坐标为D(3,2),则直线AB的垂直平分线方程为y﹣2=﹣(x﹣3),即y=﹣x+5, 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则, 解得:或, 因此,所求圆的方程为(x﹣3)2+(y﹣2)2=16或(x﹣11)2+(y+6)2=144. 20.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=﹣与x=1时都取得极值. (1)求a、b的值与函数f(x)的单调区间; (2)若对x∈[﹣1,2],不等式f(x)<c2恒成立,求c的取值范围. 【分析】(1)求出f′(x),因为函数在x=﹣与x=1时都取得极值,所以得到f′(﹣)=0且f′(1)=0联立解得a与b的值,然后把a、b的值代入求得f(x)及f′(x),然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间; (2)根据(1)函数的单调性,由于x∈[﹣1,2]恒成立求出函数的最大值值为f(2),代入求出最大值,然后令f(2)<c2列出不等式,求出c的范围即可. 【解答】解;(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f'(x)=3x2+2ax+b 由解得, f'(x)=3x2﹣x﹣2=(3x+2)(x﹣1),函数f(x)的单调区间如下表: x (﹣∞,﹣) ﹣ (﹣,1) 1 (1,+∞) f′(x) + 0 ﹣ 0 + f(x) ↑ 极大值 ↓ 极小值 ↑ 所以函数f(x)的递增区间是(﹣∞,﹣)和(1,+∞),递减区间是(﹣,1). (2), 当x=﹣时,f(x)=+c为极大值,而f(2)=2+c,所以f(2)=2+c为最大值. 要使f(x)<c2对x∈[﹣1,2]恒成立,须且只需c2>f(2)=2+c. 解得c<﹣1或c>2. 21.在四棱锥P﹣ABCD中,△ABC,△ACD都为等腰直角三角形,∠ABC=∠ACD=90°,△PAC是边长为2的等边三角形,PB=,E为PA的中点. (Ⅰ)求证:BE⊥平面PAD; (Ⅱ)求二面角C﹣PA﹣D的余弦值. 【分析】(Ⅰ)证明BE⊥BC,利用BC∥AD,可得BE⊥AD,结合BE⊥PA,证明BE⊥平面PAD; (Ⅱ)建立空间直角坐标系,求出平面PAC、PAD的一个法向量,即可求二面角C﹣PA﹣D的余弦值. 【解答】(Ⅰ)证明:∵△ABC与△ACD都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ACD=90°, ∴∠ACB=∠DAC=45°,,∴BC∥AD,, ∵E为PA的中点,且,∴BE⊥PA, 在△PBC中,PC2=PB2+BC2,∴BC⊥PB. 又∵BC⊥AB,且PB∩AB=B,∴BC⊥平面PAB, ∵BE?平面PAB,∴BE⊥BC, 又∵BC∥AD,∴BE⊥AD, 又∵PA∩AD=A,∴BE⊥平面PAD; (Ⅱ)解:由(Ⅰ)可以BC,AB,BP两两垂直,以B为原点,BC,AB,BP分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则,B(0,0,0),,,则,. 设平面PAC的一个法向量为,则∴∴取 又由(Ⅰ)知BE⊥平面PAD,故为平面PAD的一个法向量, ∴,, 故二面角C﹣PA﹣D的余弦值. 22.设,其中a为正实数 (Ⅰ)当a=时,求f(x)的极值点; (Ⅱ)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围. 【分析】(Ⅰ)首先对f(x)求导,将a=代入,令f′(x)=0,解出后判断根的两侧导函数的符号即可. (Ⅱ)因为a>0,所以f(x)为R上为增函数,f′(x)≥0在R上恒成立,转化为二次函数恒成立问题,只要△≤0即可. 解:对f(x)求导得 f′(x)=ex…① (Ⅰ)当a=时,若f′(x)=0,则4x2﹣8x+3=0,解得 结合①,可知 x (﹣∞,) (,) (,+∞) f′(x) + 0 ﹣ 0 + f(x) 增 极大值 减 极小值 增 所以,是极小值点,是极大值点. (Ⅱ)若f(x)为R上的单调函数,则f′(x)在R上不变号, 结合①与条件a>0知ax2﹣2ax+1≥0在R上恒成立, 因此△=4a2﹣4a=4a(a﹣1)≤0,由此并结合a>0,知0<a≤1.

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  • ID:3-6778757 2019-2020学年人教A版吉林省吉林市朝鲜族四校联考高二第一学期(上)期末数学试卷(文科) 含解析

    高中数学/期末专区/高三

    2019-2020学年高二(上)期末数学试卷(文科) 一、选择题(本题共12个小题) 1.在数列2,9,23,44,72,…中,第6项是(  ) A.82 B.107 C.100 D.83 2.如果a、b、c、d∈R,则下列命题中正确的是(  ) A.若a>b,c>b,则a>c B.若a>﹣b,则c﹣a<c+b C.若a>b,则ac2>bc2 D.若a>b,c>d,则ac>bd 3.设x∈R,则“x=1”是“x3=x”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.△ABC中,已知b=5,A=60°,S△ABC=5,则c等于(  ) A.4 B.16 C.21 D. 5.双曲线﹣y2=1的离心率为(  ) A. B. C. D. 6.已知命题p:?x∈R,sinx≥0,则下列说法正确的是(  ) A.非p是特称命题,且是真命题 B.非p是全称命题,且是假命题 C.非p是全称命题,且是真命题 D.非p是特称命题,且是假命题 7.不等式2x2﹣x﹣1>0的解集是(  ) A.(﹣,1) B.(1,+∞) C.(﹣∞,1)∪(2,+∞) D.(﹣∞,﹣)∪(1,+∞) 8.已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则a5等于(  ) A.4 B.5 C.6 D.7 9.曲线y=x3在点(2,8)处的切线方程为(  ) A.y=6x﹣12 B.y=12x﹣16 C.y=8x﹣10 D.y=2x﹣32 10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=1,,则B=(  ) A. B. C. D. 11.如果抛物线y2=ax的准线是直线x=﹣1,那么它的焦点坐标为(  ) A.(1,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(﹣1,0) 12.函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间[0,3]上最大值与最小值分别是(  ) A.5,﹣15 B.5,﹣4 C.﹣4,﹣15 D.5,﹣16 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.已知变量x、y满足约束条件,则z=3x+y的最大值为   . 14.函数f(x)=x3﹣3x2﹣5的单调增区间是   . 15.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若,则A=   . 16.下列有关命题的说法正确的有   (填写序号) ①命题“若x2﹣3x+2=0,则xx=1”的逆否命题为:“若x≠1,则x2﹣3x+2≠0” ②“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件 ③若p∧q为假命题,则p.q均为假命题 ④对于命题p:?x∈R使得x2+x+1<0,则¬p:?x∈R,均有x2+x+1≥0. 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.求以椭圆9x2+5y2=45的焦点为焦点,且经过点M(2,)的椭圆的标准方程. 18.等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10=30,a20=50. (Ⅰ)求通项an; (Ⅱ)若Sn=242,求n. 19.已知△ABC中,a,b,c为角A,B,C所对的边,3bcosA=ccosA+acosC. (Ⅰ)求cosA的值; (Ⅱ)若△ABC的面积为2,a=3,求b,c的长. 20.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求数列的前n项和Tn. 21.如果函数f(x)=ax5﹣bx3+c(a>0)在x=±1时有极值,极大值为4,极小值为0,试求函数f(x)的解析式. 22.已知椭圆C:的左焦点为F(﹣1,0),离心率为,过点F的直线l与椭圆C交于A、B两点. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)设过点F不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点G,求点G横坐标的取值范围. 参考答案 一.选择题:本大题共12题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求. 1.在数列2,9,23,44,72,…中,第6项是(  ) A.82 B.107 C.100 D.83 解:∵9﹣2=7, 23﹣9=14=2×7, 44﹣23=21=3×7, 72﹣44=28=4×7, 设第6项为x, 则x﹣72=5×7=35, ∴x=35+72=107. 故选:B. 2.如果a、b、c、d∈R,则下列命题中正确的是(  ) A.若a>b,c>b,则a>c B.若a>﹣b,则c﹣a<c+b C.若a>b,则ac2>bc2 D.若a>b,c>d,则ac>bd 解:对于A,例如a=1,b=0,c=2,则不满足,故A错误, 对于B,若a>﹣b,则﹣a<b,则c﹣a<a+b,成立,故B正确, 对于C,若c=0,则不成立,故C错误, 对于D,例如a=1,b=0,c=﹣2,D=﹣3,则不满足,故D错误, 故选:B. 3.设x∈R,则“x=1”是“x3=x”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解:因为x3=x,解得x=0,1,﹣1, 显然条件的集合小, 结论表示的集合大, 由集合的包含关系, 我们不难得到“x=1”是“x3=x”的充分不必要条件 故选:A. 4.△ABC中,已知b=5,A=60°,S△ABC=5,则c等于(  ) A.4 B.16 C.21 D. 解:由题意得,b=5,A=60°,S△ABC=5, 所以bcsinA=5, 可得:×5×c×=5, 解得c=4, 故选:A. 5.双曲线﹣y2=1的离心率为(  ) A. B. C. D. 解:根据题意,双曲线的标准方程为:﹣y2=1, 则其a==2,b=1, 故c==, 则其离心率e==; 故选:D. 6.已知命题p:?x∈R,sinx≥0,则下列说法正确的是(  ) A.非p是特称命题,且是真命题 B.非p是全称命题,且是假命题 C.非p是全称命题,且是真命题 D.非p是特称命题,且是假命题 解:命题p:?x∈R,sinx≥0,该命题为假命题. 非p是特称命题,且是真命题. 故选:A. 7.不等式2x2﹣x﹣1>0的解集是(  ) A.(﹣,1) B.(1,+∞) C.(﹣∞,1)∪(2,+∞) D.(﹣∞,﹣)∪(1,+∞) 解:原不等式同解于 (2x+1)(x﹣1)>0 ∴x>1或x< 故选:D. 8.已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则a5等于(  ) A.4 B.5 C.6 D.7 解:解法1:∵{an}为等差数列,设首项为a1,公差为d, ∴a2+a8=a1+d+a1+7d=2a1+8d=12; ∴a1+4d=6; ∴a5=a1+4d=6. 解法2:∵a2+a8=2a5,a2+a8=12, ∴2a5=12, ∴a5=6, 故选:C. 9.曲线y=x3在点(2,8)处的切线方程为(  ) A.y=6x﹣12 B.y=12x﹣16 C.y=8x﹣10 D.y=2x﹣32 解:∵y=x3, ∴y′=3x2, ∴k=y′|x=2=3×4=12, ∴曲线y=x3在点(2,8)处的切线方程为y﹣8=12(x﹣2), 整理,得y=12x﹣16. 故选:B. 10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=1,,则B=(  ) A. B. C. D. 解:根据余弦定理得: cosB===﹣, 由B∈(0,π),得到B=. 故选:B. 11.如果抛物线y2=ax的准线是直线x=﹣1,那么它的焦点坐标为(  ) A.(1,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(﹣1,0) 解:∵抛物线y2=ax的准线是直线x=﹣1, ∴抛物线y2=ax的焦点坐标是(1,0), 故选:A. 12.函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间[0,3]上最大值与最小值分别是(  ) A.5,﹣15 B.5,﹣4 C.﹣4,﹣15 D.5,﹣16 解:由题意y'=6x2﹣6x﹣12 令y'>0,解得x>2或x<﹣1 故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在(0,2)减,在(2,3)上增 又y(0)=5,y(2)=﹣15,y(3)=﹣4 故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间[0,3]上最大值与最小值分别是5,﹣15 故选:A. 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.已知变量x、y满足约束条件,则z=3x+y的最大值为 11 . 解:画出变量x、y满足约束条件的可行域如图阴影部分, 由解得C(3,2) 目标函数z=3x+y可看做斜率为﹣3的动直线,其纵截距越大,z越大, 由图数形结合可得当动直线过点C时,z最大=3×3+2=11. 故答案为:11. 14.函数f(x)=x3﹣3x2﹣5的单调增区间是 (﹣∞,0),(2,+∞) . 解:∵f′(x)=3x2﹣6x, ∴由3x2﹣6x>0可得: ∴x<0或x>2 故答案为:(﹣∞,0),(2,+∞) 15.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若,则A=  . 解:由正弦定理得 ∴A=或 ∵a<c 故答案为: 16.下列有关命题的说法正确的有 ①②④ (填写序号) ①命题“若x2﹣3x+2=0,则xx=1”的逆否命题为:“若x≠1,则x2﹣3x+2≠0” ②“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件 ③若p∧q为假命题,则p.q均为假命题 ④对于命题p:?x∈R使得x2+x+1<0,则¬p:?x∈R,均有x2+x+1≥0. 解:①命题“若x2﹣3x+2=0,则x=1”的逆否命题是:“若x≠1,则x2﹣3x+2≠0”,正确; ②若x=1,则x2﹣3x+2=1﹣3+2=0成立,即充分性成立;若x2﹣3x+2=0,则x=1或x=2,此时x=1不一定成立,即必要性不成立,故“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件,正确; ③若p∧q为假命题,则p、q至少有一个为假命题,不正确 ④对于命题p:?x∈R使得x2+x+1<0,则¬p:?x∈R,均有x2+x+1≥0,正确. 故答案为:①②④ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.求以椭圆9x2+5y2=45的焦点为焦点,且经过点M(2,)的椭圆的标准方程. 解:由9x2+5y2=45,得. 其焦点F1(0,2)、F2(0,﹣2). 设所求椭圆方程为. 所以a2﹣b2=4① 又∵点在椭圆上, ∴② 解①②得a2=12,b2=8. 故所求椭圆方程为. 18.等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10=30,a20=50. (Ⅰ)求通项an; (Ⅱ)若Sn=242,求n. 解:(Ⅰ)由an=a1+(n﹣1)d,a10=30,a20=50,得 方程组 解得a1=12,d=2.所以an=2n+10. (Ⅱ)由得 方程. 解得n=11或n=﹣22(舍去). 19.已知△ABC中,a,b,c为角A,B,C所对的边,3bcosA=ccosA+acosC. (Ⅰ)求cosA的值; (Ⅱ)若△ABC的面积为2,a=3,求b,c的长. 解:(Ⅰ)由正弦定理化简3bcosA=ccosA+acosC化简得:3sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC, 整理得:3sinBcosA=sin(A+C)=sinB, ∵sinB≠0, ∴cosA=; (Ⅱ)∵cosA=,A为三角形内角, ∴sinA==, ∴S△ABC=bcsinA=bc=2,即bc=6①, 由余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc,即9=(b+c)2﹣2bc﹣bc, 把bc=6代入得:b+c=5②, 联立①②,解得:b=2,c=3或b=3,c=2. 20.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求数列的前n项和Tn. 解:(Ⅰ)当n=1时,a1=S1=3; 当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=(n2+2n)﹣[(n﹣1)2+2(n﹣1)]=2n+1, 对a1=3仍成立, ∴数列{an}的通项公式:an=2n+1; (Ⅱ)由(Ⅰ)知==(﹣) ∴Tn=[(﹣)+(﹣)+(﹣)+…+(﹣)] =(﹣) =. 21.如果函数f(x)=ax5﹣bx3+c(a>0)在x=±1时有极值,极大值为4,极小值为0,试求函数f(x)的解析式. 解:f′(x)=5ax4﹣3bx2. 令f′(x)=0,即5ax4﹣3bx2=0,即x2(5ax2﹣3b)=0. 因为x=±1是极值点,所以5a?(±1)2﹣3b=0,即5a=3b, 所以f′(x)=5ax2(x+1)(x﹣1). 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (﹣∞,﹣1) ﹣1 (﹣1,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞) f′(x) + 0 ﹣ 0 ﹣ 0 + f(x) 增函数 极大值 减函数 无极值 减函数 极小值 增函数 由上表可知,当x=﹣1时,f(x)有极大值;当x=1时,f(x)有极小值, 所以解得所以f(x)=3x5﹣5x3+2. 22.已知椭圆C:的左焦点为F(﹣1,0),离心率为,过点F的直线l与椭圆C交于A、B两点. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)设过点F不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点G,求点G横坐标的取值范围. 解:(Ⅰ)由题意可知:c=1,a2=b2﹣c2,e=… 解得:a=,b=1 故椭圆的方程为:=1 (II)设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0), 联立,得, 整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2﹣2=0 ∵直线AB过椭圆的左焦点F∴方程有两个不等实根. 记A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点N(x0,y0) 则x1+x2= x0= 垂直平分线NG的方程为y﹣y0=﹣, 令y=0,得xG=x0+ky0=﹣ =﹣. ∵k≠0,∴﹣<0 ∴点G横坐标的取值范围为(﹣,0).

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  • ID:3-6778754 2019-2020学年人教A版北京市朝阳区高一第一学期期末数学试卷 含解析

    高中数学/人教A版(2019)/期末专区/高一上学期

    2019-2020学年高一(上)期末数学试卷 一、选择题(本题共10个小题) 1.已知集合A={﹣1,0,1},集合B={x∈Z|x2﹣2x≤0},那么A∪B等于(  ) A.{﹣1} B.{0,1} C.{0,1,2} D.{﹣1,0,1,2} 2.已知命题p:?x<﹣1,x2>1,则¬p是(  ) A.?x<﹣1,x2≤1 B.?x≥﹣1,x2>1 C.?x<﹣1,x2>1 D.?x≤﹣1,x2≤1 3.下列命题是真命题的是(  ) A.若a>b>0,则ac2>bc2 B.若a>b,则a2>b2 C.若a<b<0,则a2<ab<b2 D.若a<b<0,则 4.函数f(x)=cos2x﹣sin2x的最小正周期是(  ) A. B.π C.2π D.4π 5.已知函数f(x)在区间(0,+∞)上的函数值不恒为正,则在下列函数中,f(x)只可能是(  ) A.f(x)=x B.f(x)=sinx+2 C.f(x)=ln(x2﹣x+1) D.f(x)= 6.已知a,b,c∈R,则“a=b=c”是“a2+b2+c2>ab+ac+bc”的(  ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.通过科学研究发现:地震时释放的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M.已知2011年甲地发生里氏9级地震,2019年乙地发生里氏7级地震,若甲、乙两地地震释放能量分别为E1,E2,则E1和E2的关系为(  ) A.E1=32E2 B.E1=64E2 C.E1=1000E2 D.E1=1024E2 8.已知函数f(x)=x+﹣a(a∈R),g(x)=﹣x2+4x+3,在同一平面直角坐标系里,函数f(x)与g(x)的图象在y轴右侧有两个交点,则实数a的取值范围是(  ) A.{a|a<﹣3} B.{a|a>﹣3} C.{a|a=﹣3} D.{a|﹣3<a<4} 9.已知大于1的三个实数a,b,c满足(lga)2﹣2lgalgb+lgblgc=0,则a,b,c的大小关系不可能是(  ) A.a=b=c B.a>b>c C.b>c>a D.b>a>c 10.已知正整数x1,x2,…,x10满足当i<j(i,j∈N*)时,xi<xj,且x12+x22+…+x102≤2020,则x9﹣(x1+x2+x3+x4)的最大值为(  ) A.19 B.20 C.21 D.22 二.填空题:本大题共6小题,每空5分,共30分. 11.计算sin330°=   . 12.若集合A={x|x2﹣ax+2<0}=?,则实数a的取值范围是   . 13.已知函数f(x)=log2x,在x轴上取两点A(x1,0),B(x2,0)(0<x1<x2),设线段AB的中点为C,过A,B,C作x轴的垂线,与函数f(x)的图象分别交于A1,B1,C1,则点C1在线段A1B1中点M的   .(横线上填“上方”或者“下方”) 14.给出下列命题: ①函数是偶函数; ②函数f(x)=tan2x在上单调递增; ③直线x=是函数图象的一条对称轴; ④将函数的图象向左平移单位,得到函数y=cos2x的图象. 其中所有正确的命题的序号是   . 15.已知在平面直角坐标系xOy中,点A(1,1)关于y轴的对称点A'的坐标是   .若A和A'中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组,则实数a的取值范围是   . 16.在物理学中,把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.可以证明,在适当的直角坐标系下,简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)表示,其中A>0,ω>0.如图,平面直角坐标系xOy中,以原点O为圆心,r为半径作圆,A为圆周上的一点,以Ox为始边,OA为终边的角为α,则点A的坐标是   ,从A点出发,以恒定的角速度ω转动,经过t秒转动到点B(x,y),动点B在y轴上的投影C作简谐运动,则点C的纵坐标y与时间t的函数关系式为   . 三.解答题:本大题共4小题,共70分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 17.已知集合A={x|x2﹣5x﹣6≤0},B={x|m+1≤x≤2m﹣1,m∈R}. (Ⅰ)求集合?RA; (Ⅱ)若A∪B=A,求实数m的取值范围; 18.(18分)已知函数f(x)=sin2x﹣2. (Ⅰ)若点在角α的终边上,求tan2α和f(α)的值; (Ⅱ)求函数f(x)的最小正周期; (Ⅲ)若,求函数f(x)的最小值. 19.(18分)已知函数f(x)=(x≠a). (Ⅰ)若2f(1)=﹣f(﹣1),求a的值; (Ⅱ)若a=2,用函数单调性定义证明f(x)在(2,+∞)上单调递减; (Ⅲ)设g(x)=xf(x)﹣3,若函数g(x)在(0,1)上有唯一零点,求实数a的取值范围. 20.(20分)已知函数f(x)=log2(x+a)(a>0).当点M(x,y)在函数y=g(x)图象上运动时,对应的点M'(3x,2y)在函数y=f(x)图象上运动,则称函数y=g(x)是函数y=f(x)的相关函数. (Ⅰ)解关于x的不等式f(x)<1; (Ⅱ)对任意的x∈(0,1),f(x)的图象总在其相关函数图象的下方,求a的取值范围; (Ⅲ)设函数F(x)=f(x)﹣g(x),x∈(0,1).当a=1时,求|F(x)|的最大值 参考答案 一、选择题 1.已知集合A={﹣1,0,1},集合B={x∈Z|x2﹣2x≤0},那么A∪B等于(  ) A.{﹣1} B.{0,1} C.{0,1,2} D.{﹣1,0,1,2} 【分析】先分别求出集合A,B,再由并集定义能求出A∪B. 解:∵集合A={﹣1,0,1}, 集合B={x∈Z|x2﹣2x≤0}={x∈Z|0≤x≤2}={0,1,2}, ∴A∪B={﹣1,0,1,2}. 故选:D. 2.已知命题p:?x<﹣1,x2>1,则¬p是(  ) A.?x<﹣1,x2≤1 B.?x≥﹣1,x2>1 C.?x<﹣1,x2>1 D.?x≤﹣1,x2≤1 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断. 解:命题是全称命题,则命题的否定为:?x<﹣1,x2≤1, 故选:A. 3.下列命题是真命题的是(  ) A.若a>b>0,则ac2>bc2 B.若a>b,则a2>b2 C.若a<b<0,则a2<ab<b2 D.若a<b<0,则 【分析】利用不等式的基本性质,判断选项的正误即可. 解:对于A,若a>b>0,则ac2>bc2,c=0时,A不成立; 对于B,若a>b,则a2>b2,反例a=0,b=﹣2,所以B不成立; 对于C,若a<b<0,则a2<ab<b2,反例a=﹣4,b=﹣1,所以C不成立; 对于D,若a<b<0,则,成立; 故选:D. 4.函数f(x)=cos2x﹣sin2x的最小正周期是(  ) A. B.π C.2π D.4π 【分析】利用二倍角的余弦公式求得y=cos2x,再根据y=Acos(ωx+φ)的周期等于 T=,可得结论. 解:∵函数y=cos2x﹣sin2x=cos2x,∴函数的周期为T==π, 故选:B. 5.已知函数f(x)在区间(0,+∞)上的函数值不恒为正,则在下列函数中,f(x)只可能是(  ) A.f(x)=x B.f(x)=sinx+2 C.f(x)=ln(x2﹣x+1) D.f(x)= 【分析】结合基本初等函数的性质分别求解选项中函数的值域即可判断. 解:∵x>0, 根据幂函数的性质可知,y=>0,不符合题意, ∵﹣1≤sinx≤1, ∴2+sinx>0恒成立,故选项B不符合题意, C:∵x2﹣x+1=,而f(x)=ln(x2﹣x+1),故值域中不恒为正数,符合题意, D:当x>0时,f(x)=2x﹣1>0恒成立,不符合题意, 故选:C. 6.已知a,b,c∈R,则“a=b=c”是“a2+b2+c2>ab+ac+bc”的(  ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】先化简命题,再讨论充要性. 解:由a,b,c∈R,知: ∵a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc =(2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc) =[(a﹣b)2+(b﹣c)2+(a﹣c)2], ∴“a=b=c”?“a2+b2+c2=ab+ac+bc”, “a2+b2+c2>ab+ac+bc”?“a,b,c不全相等”. “a=b=c”是“a2+b2+c2>ab+ac+bc”的既不充分也不必要条件. 故选:D. 7.通过科学研究发现:地震时释放的能量E(单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M.已知2011年甲地发生里氏9级地震,2019年乙地发生里氏7级地震,若甲、乙两地地震释放能量分别为E1,E2,则E1和E2的关系为(  ) A.E1=32E2 B.E1=64E2 C.E1=1000E2 D.E1=1024E2 【分析】先把数据代入已知解析式,再利用对数的运算性质即可得出. 解:根据题意得: lgE1=4.8+1.5×9 ①, lgE2=4.8+1.5×7 ②, ①﹣②得lgE1﹣lgE2=3, lg()=3, 所以, 即E1=1000E2, 故选:C. 8.已知函数f(x)=x+﹣a(a∈R),g(x)=﹣x2+4x+3,在同一平面直角坐标系里,函数f(x)与g(x)的图象在y轴右侧有两个交点,则实数a的取值范围是(  ) A.{a|a<﹣3} B.{a|a>﹣3} C.{a|a=﹣3} D.{a|﹣3<a<4} 【分析】作出函数f(x)与函数g(x)的图象,数形结合即可判断出a的取值范围 解:在同一坐标系中作出函数f(x)与g(x)的示意图如图: 因为f(x)=x+﹣a≥2﹣a=4﹣a(x>0),当且仅当x=2时取等号, 而g(x)的对称轴为x=2,最大值为7, 根据条件可知0<4﹣a<7,解得﹣3<a<4, 故选:D. 9.已知大于1的三个实数a,b,c满足(lga)2﹣2lgalgb+lgblgc=0,则a,b,c的大小关系不可能是(  ) A.a=b=c B.a>b>c C.b>c>a D.b>a>c 【分析】因为三个实数a,b,c都大于1,所以lga>0,lgb>0,lgc>0,原等式可化为lgalg+lgblg=0,分别分析选项的a,b,c的大小关系即可判断出结果. 解:∵三个实数a,b,c都大于1,∴lga>0,lgb>0,lgc>0, ∵(lga)2﹣2lgalgb+lgblgc=0, ∴(lga)2﹣lgalgb+lgblgc﹣lgalgb=0, ∴lga(lga﹣lgb)+lgb(lgc﹣lga)=0, ∴lgalg+lgblg=0, 对于A选项:若a=b=c,则lg=0,lg=0,满足题意; 对于B选项:若a>b>c,则,0<<1,∴lg>0,lg<0,满足题意; 对于C选项:若b>c>a,则0<<1,>1,∴lg<0,lg>0,满足题意; 对于D选项:若b>a>c,则0<<1,0<<1,∴lg<0,lg<0,∴lgalg+lgblg<0,不满足题意; 故选:D. 10.已知正整数x1,x2,…,x10满足当i<j(i,j∈N*)时,xi<xj,且x12+x22+…+x102≤2020,则x9﹣(x1+x2+x3+x4)的最大值为(  ) A.19 B.20 C.21 D.22 【分析】要使x9﹣(x1+x2+x3+x4)取得最大值,结合题意,则需前8项最小,第9项最大,则第10项为第9项加1,由此建立不等式,求出第9项的最大值,进而得解. 解:依题意,要使x9﹣(x1+x2+x3+x4)取得最大值,则xi=i(i=1,2,3,4,5,6,7,8),且x10=x9+1, 故,即, 又2×292+2×29﹣1815=﹣75<0,2×302+2×30﹣1815=45>0, 故x9的最大值为29, ∴x9﹣(x1+x2+x3+x4)的最大值为29﹣(1+2+3+4)=19. 故选:A. 二.填空题:本大题共6小题,每空5分,共30分. 11.计算sin330°= ﹣ . 【分析】所求式子中的角变形后,利用诱导公式化简即可得到结果. 解:sin330°=sin(360°﹣30°)=﹣sin30°=﹣. 故答案为:﹣ 12.若集合A={x|x2﹣ax+2<0}=?,则实数a的取值范围是 [﹣2,2] . 【分析】根据集合A的意义,利用△≤0求出实数a的取值范围. 解:集合A={x|x2﹣ax+2<0}=?,则不等式x2﹣ax+2<0无解, 所以△=(﹣a)2﹣4×1×2≤0, 解得﹣2≤a≤2, 所以实数a的取值范围是[﹣2,2]. 故答案为:[﹣2,2]. 13.已知函数f(x)=log2x,在x轴上取两点A(x1,0),B(x2,0)(0<x1<x2),设线段AB的中点为C,过A,B,C作x轴的垂线,与函数f(x)的图象分别交于A1,B1,C1,则点C1在线段A1B1中点M的 上方 .(横线上填“上方”或者“下方”) 【分析】求出点C1,M的纵坐标,作差后利用基本不等式即可比较大小,进而得出结论. 解:依题意,A1(x1,log2x1),B1(x2,log2x2), 则, 则=, 故点C1在线段A1B1中点M的上方. 故答案为:上方. 14.给出下列命题: ①函数是偶函数; ②函数f(x)=tan2x在上单调递增; ③直线x=是函数图象的一条对称轴; ④将函数的图象向左平移单位,得到函数y=cos2x的图象. 其中所有正确的命题的序号是 ①②③ . 【分析】利用三函数的奇偶性、单调性、对称轴、图象的平移等性质直接求解. 解:在①中,函数=cos2x是偶函数,故①正确; 在②中,∵y=tanx在(﹣,)上单调递增, ∴函数f(x)=tan2x在上单调递增,故②正确; 在③中,函数图象的对称轴方程为: 2x+=kπ+,k∈Z,即x=,k=0时,x=, ∴直线x=是函数图象的一条对称轴,故③正确; 在④中,将函数的图象向左平移单位, 得到函数y=cos(2x+)的图象,故④错误. 故答案为:①②③. 15.已知在平面直角坐标系xOy中,点A(1,1)关于y轴的对称点A'的坐标是 (﹣1,1) .若A和A'中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组,则实数a的取值范围是 {a|a≥0或a≤﹣1} . 【分析】先求出对称点的坐标,再求出第二问的对立面,即可求解. 解:因为点A(1,1)关于y轴的对称点A'的坐标是(﹣1,1); A和A'中至多有一个点的横纵坐标满足不等式组, 其对立面是A和A'中两个点的横纵坐标都满足不等式组, 可得:且?a<0且﹣1<a<2?﹣1<a<0 故满足条件的a的取值范围是{a|a≥0或a≤﹣1}. 故答案为:(﹣1,1),{a|a≥0或a≤﹣1}. 16.在物理学中,把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.可以证明,在适当的直角坐标系下,简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)表示,其中A>0,ω>0.如图,平面直角坐标系xOy中,以原点O为圆心,r为半径作圆,A为圆周上的一点,以Ox为始边,OA为终边的角为α,则点A的坐标是 A(rcosα,rsinα) ,从A点出发,以恒定的角速度ω转动,经过t秒转动到点B(x,y),动点B在y轴上的投影C作简谐运动,则点C的纵坐标y与时间t的函数关系式为 y=rsin(ωt+α) . 【分析】由任意角三角函数的定义,A(rcosα,rsinα),根据题意∠BOx=ωt+α,进而可得点C的纵坐标y与时间t的函数关系式. 解:由任意角三角函数的定义,A(rcosα,rsinα), 若从A点出发,以恒定的角速度ω转动,经过t秒转动到点B(x,y), 则∠BOx=ωt+α, 点C的纵坐标y与时间t的函数关系式为y=rsin(ωt+α). 故答案为:A(rcosα,rsinα),y=rsin(ωt+α). 三.解答题:本大题共4小题,共70分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 17.已知集合A={x|x2﹣5x﹣6≤0},B={x|m+1≤x≤2m﹣1,m∈R}. (Ⅰ)求集合?RA; (Ⅱ)若A∪B=A,求实数m的取值范围; 【分析】(Ⅰ)容易求出A={x|﹣1≤x≤6},然后进行补集的运算即可; (Ⅱ)根据A∪B=A可得出B?A,从而可讨论B是否为空集:B=?时,m+1>2m﹣1;B≠?时,,解出m的范围即可. 解:(Ⅰ)A={x|﹣1≤x≤6}, ∴?RA={x|x<﹣1或x>6}, (Ⅱ)∵A∪B=A, ∴B?A, ∴①B=?时,m+1>2m﹣1,解得m<2; ②B≠?时,,解得, ∴实数m的取值范围为. 18.(18分)已知函数f(x)=sin2x﹣2. (Ⅰ)若点在角α的终边上,求tan2α和f(α)的值; (Ⅱ)求函数f(x)的最小正周期; (Ⅲ)若,求函数f(x)的最小值. 【分析】(Ⅰ)直接利用三角函数的定义的应用和函数的关系式的应用求出结果. (Ⅱ)利用三角函数关系式的恒等变换,把函数的关系式变形成正弦型函数,进一步求出函数的最小正周期. (Ⅲ)利用函数的定义域的应用求出函数的值域和最小值. 解:(Ⅰ)若点在角α的终边上, 所以,,故, 所以tan2α===. f(α)==2. (Ⅱ)由于函数f(x)=sin2x﹣2=. 所以函数的最小正周期为. (Ⅲ)由于,所以, 所以当x=时,函数的最小值为. 19.(18分)已知函数f(x)=(x≠a). (Ⅰ)若2f(1)=﹣f(﹣1),求a的值; (Ⅱ)若a=2,用函数单调性定义证明f(x)在(2,+∞)上单调递减; (Ⅲ)设g(x)=xf(x)﹣3,若函数g(x)在(0,1)上有唯一零点,求实数a的取值范围. 【分析】(Ⅰ)由已知,建立关于a的方程,解出即可; (Ⅱ)将a=2代入,利用取值,作差,变形,判号,作结论的步骤证明即可; (Ⅲ)问题转化为h(x)=2x2﹣3x+3a在(0,1)上有唯一零点,由二次函数的零点分布问题解决. 解:(Ⅰ)由2f(1)=﹣f(﹣1)得,,解得a=﹣3; (Ⅱ)当a=2时,,设x1,x2∈(2,+∞),且x1<x2, 则, ∵x1,x2∈(2,+∞),且x1<x2, ∴x2﹣x1>0,(x1﹣2)(x2﹣2)>0, ∴f(x1)>f(x2), ∴f(x)在(2,+∞)上单调递减; (Ⅲ), 若函数g(x)在(0,1)上有唯一零点,即h(x)=2x2﹣3x+3a在(0,1)上有唯一零点(x=a不是函数h(x)的零点), 且二次函数h(x)=2x2﹣3x+3a的对称轴为,若函数h(x)在(0,1)上有唯一零点,依题意, ①当h(0)h(1)<0时,3a(3a﹣1)<0,解得; ②当△=0时,9﹣24a=0,解得,则方程h(x)=0的根为,符合题意; ③当h(1)=0时,解得,则此时h(x)=2x2﹣3x+1的两个零点为,符合题意. 综上所述,实数a的取值范围为. 20.(20分)已知函数f(x)=log2(x+a)(a>0).当点M(x,y)在函数y=g(x)图象上运动时,对应的点M'(3x,2y)在函数y=f(x)图象上运动,则称函数y=g(x)是函数y=f(x)的相关函数. (Ⅰ)解关于x的不等式f(x)<1; (Ⅱ)对任意的x∈(0,1),f(x)的图象总在其相关函数图象的下方,求a的取值范围; (Ⅲ)设函数F(x)=f(x)﹣g(x),x∈(0,1).当a=1时,求|F(x)|的最大值 【分析】(Ⅰ)利用对数函数的性质可得,解出即可; (Ⅱ)根据题意,求得,依题意,在(0,1)上恒成立,由此得解; (Ⅲ)结合(Ⅱ)可知,,则只需求出的最大值即可. 解:(Ⅰ)依题意,,则,解得﹣a<x<2﹣a, ∴所求不等式的解集为(﹣a,2﹣a); (Ⅱ)由题意,2y=log2(3x+a),即f(x)的相关函数为, ∵对任意的x∈(0,1),f(x)的图象总在其相关函数图象的下方, ∴当x∈(0,1)时,恒成立, 由x+a>0,3x+a>0,a>0得, ∴在此条件下,即x∈(0,1)时,恒成立,即(x+a)2<3x+a,即x2+(2a﹣3)x+a2﹣a<0在(0,1)上恒成立, ∴,解得0<a≤1, 故实数a的取值范围为(0,1]. (Ⅲ)当a=1时,由(Ⅱ)知在区间(0,1)上,f(x)<g(x), ∴,令,则, 令μ=3x+1(1<μ<4),则, ∴,当且仅当“”时取等号, ∴|F(x)|的最大值为.

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  • ID:3-6778750 2018-2019学年人教B版山东省威海市高三上学期期末数学试卷(文科)

    高中数学/人教A版(2019)/期末专区/高三

    2018-2019学年高三(上)期末数学试卷(文科) 一、选择题(本题共12个小题) 1.若集合A={x|x2﹣3x+2>0},B={x||x﹣1|<2},则A∩B=(  ) A.(﹣1,1) B.(2,3) C.(﹣1,3) D.(﹣1,1)U(2,3) 2.若复数z满足z(1+2i)=4+3i,则=(  ) A.2+i B.2﹣i C.1+2i D.1﹣2i 3.命题“?x≤0,x2﹣x>0”的否定是(  ) A.?x>0,x2﹣x≤0 B.?x≤0,x2﹣x≤0 C.?x>0,x2﹣x≤0 D.?x≤0,x2﹣x≤0 4.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,对称轴与准线的交点为T,P为C上任意一点,若|PT|=2|PF|,则∠PTF=(  ) A.30° B.45° C.60° D.75° 5.如图所示函数图象经过何种变换可以得到y=sin2x的图象(  ) A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 6.已知变量x,y满足不等式组,则2x﹣y的最小值为(  ) A.﹣4 B.﹣2 C.0 D.4 7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(  ) A.48+12 B.60+12 C.72+12 D.84 8.已知cos(﹣α)=,α∈(,π),则sinα﹣cosα=(  ) A. B.﹣ C. D.﹣ 9.某设备使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)的统计数据(x,y)分别为(2,1.5),(3,4.5),(4,5.5),(5,6.5),由最小二乘法得到回归直线方程为=1.6x+,若计划维修费用超过15万元将该设备报废,则该设备的使用年限为(  ) A.8年 B.9年 C.10年 D.11年 10.公比为2的等比数列{an}中存在两项am,an,满足aman=32a12,则的最小值为(  ) A. B. C. D. 11.函数f(x)=2x3﹣ax2+1在(0,+∞)内有且只有一个零点,则a的值为(  ) A.3 B.﹣3 C.2 D.﹣2 12.设F1,F2分别为双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F1作圆x2+y2=b2的切线与双曲线的左支交于点P,若|PF2|=2|PF1|,则双曲线的离心率为(  ) A. B. C. D. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分 13.记Sn为等比数列{an}的前n项和,已知a5=﹣2,S3=a2+3a1,则a1=   . 14.已知半径为R的圆周上有一定点A,在圆周上等可能地任取一点与点A连接,则所得弦长介于R与R之间的概率为   . 15.如图所示梯子结构的点数依次构成数列{an},则a100=   . 16.在△ABC中,∠BAC=60°,AD为∠BAC的角平分线,且=+,若AB=2,则BC=   . 三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,sin(A+B)=4. (Ⅰ)求cosC; (Ⅱ)若b=7,D是BC边上的点,且△ACD的面积为6,求sin∠ADB. 18.改革开放40年,我国经济取得飞速发展,城市汽车保有量在不断增加,人们的交通安全意识也需要不断加强.为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识,某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查.随机抽取男女驾驶员各50人,进行问卷测评,所得分数的频率分布直方图如图所示.规定得分在80分以上为交通安全意识强. (Ⅰ)求a的值,并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率; (Ⅱ)已知交通安全意识强的样本中男女比例为4:1,完成下列2×2列联表,并判断有多大把握认为交通安全意识与性别有关; (Ⅲ)用分层抽样的方式从得分在50分以下的样本中抽取6人,再从6人中随机选取2人,对未来一年内的交通违章情况进行跟踪调查,求至少有1人得分低于40分的概率. 安全意识强 安全意识不强 合计 男性 女性 合计 附:,其中n=a+b+c+d. P(K2≥k) 0.010 0.005 0.001 k 6.635 7.879 10.828 19.在以ABCDEF为顶点的五面体中,底面ABCD为菱形,∠ABC=120°,AB=AE=ED=2EF,EF∥AB,点G为CD中点,平面EAD⊥平面ABCD. (Ⅰ)证明:BD⊥EG; (Ⅱ)若三棱锥VE﹣FBC=,求菱形ABCD的边长. 20.已知抛物线y2=4x的准线过椭圆C:(a>b>0)的左焦点F,且点F到直线l:x=(c为椭圆焦距的一半)的距离为4. (Ⅰ)求椭圆C的标准方程; (Ⅱ)过点F做直线与椭圆C交于A,B两点,P是AB的中点,线段AB的中垂线交直线l于点Q.若|PQ|=2|AB|,求直线AB的方程. 21.设函数f(x)=ex﹣ax﹣1(a∈R). (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性; (Ⅱ)若关于x的方程ln(ax+a+1)﹣x=1有唯一的实数解,求a的取值范围. 四、解答题(共2小题,满分10分) 22.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=10cosθ. (Ⅰ)设直线l与曲线C交于M,N两点,求|MN|; (Ⅱ)若点P(x,y)为曲线C上任意一点,求|x+y﹣10|的取值范围. 23.已知函数f(x)=|2x﹣a|+|x﹣1|(a∈R). (Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)≥1的解集; (Ⅱ)若存在x∈R满足不等式f(x)<4,求实数a的取值范围. 参考答案 一、选择题(本题共12个小题) 1.若集合A={x|x2﹣3x+2>0},B={x||x﹣1|<2},则A∩B=(  ) A.(﹣1,1) B.(2,3) C.(﹣1,3) D.(﹣1,1)U(2,3) 【分析】可以求出集合A,B,然后进行交集的运算即可. 解:∵A={x|x<1或x>2},B={x|﹣1<x<3}, ∴A∩B=(﹣1,1)∪(2,3). 故选:D. 2.若复数z满足z(1+2i)=4+3i,则=(  ) A.2+i B.2﹣i C.1+2i D.1﹣2i 【分析】等号两边同时除以1+2i,再进行化简,整理. 解:=2﹣i. 故选:B. 3.命题“?x≤0,x2﹣x>0”的否定是(  ) A.?x>0,x2﹣x≤0 B.?x≤0,x2﹣x≤0 C.?x>0,x2﹣x≤0 D.?x≤0,x2﹣x≤0 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可. 解:因为特称命题的否定是全称命题,所以,命题“?x≤0,x2﹣x>0”的否定是:?x≤0,x2﹣x≤0. 故选:B. 4.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,对称轴与准线的交点为T,P为C上任意一点,若|PT|=2|PF|,则∠PTF=(  ) A.30° B.45° C.60° D.75° 【分析】由抛物线的定义可得|PF|=|PM|,sin∠PTM=.,可得∠PTM=,即有则∠PTF=即可. 解:设P在准线l上的射影为M, 由抛物线的定义可得|PF|=|PM|, ∵若|PT|=2|PF|,则sin∠PTM=. ,可得∠PTM=, 即有则∠PTF=. 故选:C. 5.如图所示函数图象经过何种变换可以得到y=sin2x的图象(  ) A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 【分析】本题关键是画出函数y=sin2x的图象,然后与题干中图象进行比较,即可得到结果. 解:由题意,函数y=sin2x的图象如下: 根据图,由y=sin2x的图象向左平移﹣=个单位即可得到题中图象, 则反过来,题中图象向右平移﹣=个单位即可得到y=sin2x的图象. 故选:D. 6.已知变量x,y满足不等式组,则2x﹣y的最小值为(  ) A.﹣4 B.﹣2 C.0 D.4 【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=2x﹣y表示直线在y轴上的截距,只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可. 解:变量x,y满足不等式组,目标函数z=2x﹣y, 画出图形: 点A(1,1),B(0,2), z在点B处有最小值:z=2×0﹣2=﹣2, 故选:B. 7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(  ) A.48+12 B.60+12 C.72+12 D.84 【分析】首先把三视图准换为几何体,进一步利用几何体的表面积公式的应用求出结果 解:根据几何体的三视图转换为几何体为: 所以,该几何体的表面积为:S=2××(4+2)×2+2×6+2×6+4×6+2×6=60+12. 故选:B. 8.已知cos(﹣α)=,α∈(,π),则sinα﹣cosα=(  ) A. B.﹣ C. D.﹣ 【分析】由α∈(,π),所以(),又因为cos(﹣α)=>0,所以角()是第四象限角,所以sin()=﹣,再利用两角和与差的三角函数公式即可算出结果. 解:∵α∈(,π),∴(),又∵cos(﹣α)=>0,∴角()是第四象限角, ∴sin()=﹣, ∴sinα=sin[﹣(﹣α)]=sincos()﹣cossin()=, cosα=cos[﹣(﹣α)]=coscos()+sinsin()=﹣, ∴sinα﹣cosα=, 故选:C. 9.某设备使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)的统计数据(x,y)分别为(2,1.5),(3,4.5),(4,5.5),(5,6.5),由最小二乘法得到回归直线方程为=1.6x+,若计划维修费用超过15万元将该设备报废,则该设备的使用年限为(  ) A.8年 B.9年 C.10年 D.11年 【分析】由已知表格中的数据,我们易计算出变量x,y的平均数,根据回归直线一定经过样本数据中心点,求出后,代入y=15可得答案. 解:由表中数据可得: ==3.5,==4.5, ∵归直线一定经过样本数据中心点, 故=﹣1.23=4.5﹣1.6×3.5=﹣1.1; 故=1.6x﹣1.1; 当y=15时,x=10.625 该设备的使用年限为10年. 故选:C. 10.公比为2的等比数列{an}中存在两项am,an,满足aman=32a12,则的最小值为(  ) A. B. C. D. 【分析】利用等比数列的通项公式,转化求解m、n的方程,利用基本不等式求解表达式的最小值即可. 解:公比为2的等比数列{an}中存在两项am,an,满足aman=32a12, 可得:a1?2m﹣1?a1?2n﹣1=32a12,可得m+n﹣2=5, 所以m+n=7, 则=()×(m+n)=≥=, 当且仅当n=2m,并且m+n=7时,取等号,但是m,n∈N, 所以m=2,n=4时,表达式的值为:=,m=3,n=4时,表达式的值为:, m=2,n=5时,表达式的值为:. 表达式的最小值:. 故选:D. 11.函数f(x)=2x3﹣ax2+1在(0,+∞)内有且只有一个零点,则a的值为(  ) A.3 B.﹣3 C.2 D.﹣2 【分析】先对函数求导,然后结合导数的符号判断函数的单调性,结合零点判定定理即可求解. 解:∵函数f(x)=2x3﹣ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点, ∴f′(x)=2x(3x﹣a),x∈(0,+∞), ①当a≤0时,f′(x)=2x(3x﹣a)>0, 函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(0)=1, f(x)在(0,+∞)上没有零点,舍去; ②当a>0时,f′(x)=2x(3x﹣a)>0的解为x>, ∴f(x)在(0,)上递减,在(,+∞)递增, 又f(x)只有一个零点, ∴f()=﹣+1=0,解得a=3. 故选:A. 12.设F1,F2分别为双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F1作圆x2+y2=b2的切线与双曲线的左支交于点P,若|PF2|=2|PF1|,则双曲线的离心率为(  ) A. B. C. D. 【分析】由双曲线的定义可得,|PF2|﹣|PF1|=2a,则|PF2|=4a,|PF1|=2a,设切点为M,则|OM|=b,|OF1|=c,又|MF1|=a,|PF2|=2b,即有4a=2b,即可. 解:P为双曲线左支上的一点, 则由双曲线的定义可得,|PF2|﹣|PF1|=2a, 由|PF2|=2|PF1|,则|PF2|=4a,|PF1|=2a, 设切点为M,则|OM|=b,|OF1|=c,∴|MF1|=a, ∴OM为△PF1F2的中位线,则|PF2|=2b 即有4a=2b 即有e=. 故选:C. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分 13.记Sn为等比数列{an}的前n项和,已知a5=﹣2,S3=a2+3a1,则a1= ﹣ . 【分析】根据题意,设等比数列{an}的公比为q,由S3=a2+3a1变形可得1+q+q2=q+3,即q2=2,结合等比数列的通项公式分析可得答案. 解:根据题意,设等比数列{an}的公比为q, 若S3=a2+3a1,则a1+a2+a3=a2+3a1,即a1+a2+a3=a2+3a1, 变形可得:1+q+q2=q+3,即q2=2, 又由a5=﹣2,则a1===﹣; 故答案为:﹣. 14.已知半径为R的圆周上有一定点A,在圆周上等可能地任取一点与点A连接,则所得弦长介于R与R之间的概率为  . 【分析】先找出满足条件弦的长度介于R与R之间的图形测度,再代入几何概型计算公式求解. 解:本题利用几何概型求解.测度是弧长. 根据题意可得,满足条件: ”弦长介于R与R之间”, 其构成的区域是2(﹣)圆的周长, 则弦长介于R与R之间的概率P=. 故答案为:. 15.如图所示梯子结构的点数依次构成数列{an},则a100= 5252 . 【分析】由题意知第n个图形,通过等差数列前n项和公式求其通项,代入100可求结果. 解:由题意知an=2+3+4+…+n+(n+1)+(n+2)=, 则=5252. 故答案为:5252. 16.在△ABC中,∠BAC=60°,AD为∠BAC的角平分线,且=+,若AB=2,则BC= 2 . 【分析】因为AD为∠BAC的角平分线,所以,设AC=x,则,2==+,=,结合条件得x=6,利用余弦定理就可解出BC. 解:因为AD为∠BAC的角平分线, 所以, 设AC=x,则, =,=, 所以2=, 2=+﹣, 2=++(), 2=++()(﹣), 2=+, =, 所以,解得x=6,即AC=6, 在△ABC中, cos∠BAC=, cos60°=, 解得BC=2. 故答案为:2 三、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,sin(A+B)=4. (Ⅰ)求cosC; (Ⅱ)若b=7,D是BC边上的点,且△ACD的面积为6,求sin∠ADB. 【分析】(I)由已知结合二倍角及诱导公式进行化简可求cosC, (II)结合三角形的面积可求CD,然后由余弦定理可求AD,再由正弦定理及诱导公式求解 解:(I)∵sin(A+B)=4, ∴=4×, 即+2cosC=2, ∴7cos2C﹣8cosC+1=0, ∵C∈(0,π), ∴cosC=1(舍)或cosC=, (II)b=7,△ACD的面积为6,舍CD=m, 结合(1)可得sinC=, ∴=6, ∴m=CD=3, 由余弦定理可得,AD2=9=52, ∴AD=2, 由正弦定理可得,, ∴sin∠ADB=sin∠ADC= 18.改革开放40年,我国经济取得飞速发展,城市汽车保有量在不断增加,人们的交通安全意识也需要不断加强.为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识,某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查.随机抽取男女驾驶员各50人,进行问卷测评,所得分数的频率分布直方图如图所示.规定得分在80分以上为交通安全意识强. (Ⅰ)求a的值,并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率; (Ⅱ)已知交通安全意识强的样本中男女比例为4:1,完成下列2×2列联表,并判断有多大把握认为交通安全意识与性别有关; (Ⅲ)用分层抽样的方式从得分在50分以下的样本中抽取6人,再从6人中随机选取2人,对未来一年内的交通违章情况进行跟踪调查,求至少有1人得分低于40分的概率. 安全意识强 安全意识不强 合计 男性 女性 合计 附:,其中n=a+b+c+d. P(K2≥k) 0.010 0.005 0.001 k 6.635 7.879 10.828 【分析】(Ⅰ)根据频率和为1列方程求得a的值,计算得分在80分以上的频率即可; (Ⅱ)根据题意填写列联表,计算K2,对照临界值得出结论; (Ⅲ)用分层抽样法求得抽取各分数段人数,用列举法求出基本事件数,计算所求的概率值. 解:(Ⅰ)根据频率和为1,得(0.004+0.008+0.020+0.028+0.020+a+0.004)×10=1, 解得a=0.016; 计算得分在80分以上的频率为(0.016+0.004)×10=0.20, 所以估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率为0.20; (Ⅱ)根据题意知,安全意识强的人数有100×0.2=20, 其中男性为20×=16(人),女性为4人, 填写列联表如下; 安全意识强 安全意识不强 合计 男性 16 34 50 女性 4 46 50 合计 20 80 100 计算K2==9>7.879, 所以有超过99.5%的把握认为“交通安全意识与性别有关”; (Ⅲ)用分层抽样法从得分在50分以下的样本中抽取6人,其中[30,40)内有2人,记为A、B, [40,50)内有4人,分别记为c、d、e、f; 从这6人中随机选取2人,基本事件为: AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef共15种不同取法; 则至少有1人得分低于40分的基本事件为 AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf共9种不同取法; 故所求的概率为P==. 19.在以ABCDEF为顶点的五面体中,底面ABCD为菱形,∠ABC=120°,AB=AE=ED=2EF,EF∥AB,点G为CD中点,平面EAD⊥平面ABCD. (Ⅰ)证明:BD⊥EG; (Ⅱ)若三棱锥VE﹣FBC=,求菱形ABCD的边长. 【分析】(Ⅰ)取AD中点O,连结EO、GO、AC,推导出OG⊥BD,EO⊥AD,从而EO⊥平面ABCD,进而EO⊥BD,BD⊥平面EOG,由此能证明BD⊥EG. (Ⅱ)设菱形ABCD的边长为a,则AB=AE=ED=2EF=a,以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OE为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出菱形ABCD的边长. 解:(Ⅰ)证明:取AD中点O,连结EO、GO、AC, ∵底面ABCD为菱形,∠ABC=120°,AB=AE=ED=2EF,EF∥AB, 点G为CD中点,平面EAD⊥平面ABCD. ∴OG⊥BD,EO⊥AD,∴EO⊥平面ABCD, ∵BD?平面ABCD,∴EO⊥BD, ∵OE∩OG=O,∴BD⊥平面EOG, ∵EG?平面EOG,∴BD⊥EG. (Ⅱ)解:设菱形ABCD的边长为a,则AB=AE=ED=2EF=a, 以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OE为z轴,建立空间直角坐标系, 则E(0,0,),F(,,),B(0,,0),C(﹣2a,,0), =(,,0),=(0,,﹣),=(﹣2a,,﹣), 设平面EFB的法向量=(x,y,z), 则,取x=,得=(), ∴C到平面EFB的距离d==, cos<>===, ∴sin<>==, S△BEF= ==. ∵三棱锥VE﹣FBC=, ∴VE﹣FBC==×a=, 解得a=. ∴菱形ABCD的边长为. 20.已知抛物线y2=4x的准线过椭圆C:(a>b>0)的左焦点F,且点F到直线l:x=(c为椭圆焦距的一半)的距离为4. (Ⅰ)求椭圆C的标准方程; (Ⅱ)过点F做直线与椭圆C交于A,B两点,P是AB的中点,线段AB的中垂线交直线l于点Q.若|PQ|=2|AB|,求直线AB的方程. 【分析】(Ⅰ)由题意知椭圆的c,点F到直线l:x=(c为椭圆焦距的一半)的距离为4知,a,c 的关系,再由a,b,c之间的关系求出椭圆方程; (Ⅱ)神州行AB的方程与椭圆联立,求出两根之和及两根之积,进而求出弦长AB及中点坐标,再由椭圆求出Q的坐标,进而求出PQ的长,再由题意求出参数m的值,即求出直线AB的方程. 解:(Ⅰ)由题意得c=1,+c=4,b2=a2﹣c2,解得:a2=3,b2=2, 所以椭圆C的标准方程:+=1; (Ⅱ)由(Ⅰ)得F(﹣1,0),x==3,显然直线AB的斜率不为零,设直线AB的方程:x=my﹣1,A(x,y),B(x',y'), 联立与椭圆的方程:(3+2m2)y2﹣4my﹣4=0,y+y'=,yy'=,x+x'=m(y+y')﹣2=, 所以中点P的坐标(,),所以AB的中垂线方程:y﹣=﹣m(x+)即:y=﹣mx﹣, 与直线x=3联立得:所以Q的坐标(3,﹣),∴|PQ|2=(3+)2+()2=36?, |AB|2=()2?|y﹣y'|2=(1+m2)?[()2+]=48?()2 由题意|PQ|=2|AB|,∴36=4?48?()2,整理得:3m4﹣4m2﹣4=0,解得:m2=2,所以m=, 所以直线AB方程:x=y﹣1. 21.设函数f(x)=ex﹣ax﹣1(a∈R). (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性; (Ⅱ)若关于x的方程ln(ax+a+1)﹣x=1有唯一的实数解,求a的取值范围. 【分析】(1)对函数求导,然后结合导数与单调性的关系即可判断, (2)结合(1)的讨论及零点判定定理即可求解. 解:(I)∵f(x)=ex﹣ax﹣1, ∴f′(x)=ex﹣a, ①当a≤0时,f′(x)>0恒成立,f(x)在R上单调递增, ②a>0时,若x∈(lna,+∞),f′(x)>0,f(x)单调递增,若x∈(﹣∞,lna),f′(x)<0,f(x)单调递减, 综上可得,当a≤0时,f(x)在R上单调递增;a>0时,f(x)在(lna,+∞)上单调递增,(﹣∞,lna)上单调递减, (Ⅱ)若关于x的方程ln(ax+a+1)﹣x=1有唯一的实数解, 即ex+1=ax﹣a+1=a(x+1)+1有唯一的实数根, 令t=x+1,则et=at+1即et﹣at﹣1=0有唯一的实数根, 结合(1)的讨论可知, ①当a≤0时,f′(t)>0恒成立,f(t)在R上单调递增,f(0)=0,结合零点判定定理可知,只有一个零点0, ②a>0时,若,t∈(lna,+∞),f′(x)>0,f(t)单调递增,若t∈(﹣∞,lna),f′(t)<0,f(t)单调递减, 若只有1个零点,则f(lna)=a﹣alna﹣1=0, 令g(x)=x﹣xlnx﹣1,则g′(x)=﹣lnx, 则g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, x=1时,g(x)取得最大值g(1)=0, ∴a=1 综上可得,a的范围为{a|a≤0或a=1} 四、解答题(共2小题,满分10分) 22.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=10cosθ. (Ⅰ)设直线l与曲线C交于M,N两点,求|MN|; (Ⅱ)若点P(x,y)为曲线C上任意一点,求|x+y﹣10|的取值范围. 【分析】(Ⅰ)参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,利用勾股定理的应用求出弦长. (Ⅱ)利用方程之间的转换和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果. 解:(Ⅰ)直线l的参数方程为为参数),转换为直角坐标方程为:4x+3y=0, 曲线C的极坐标方程为ρ=10cosθ,转换为直角坐标方程为(x﹣5)2+y2=25. 所以圆心(5,0)到直线4x﹣3y=0的d=, 所以:|MN|=2. (Ⅱ)圆的直角坐标方程转换为参数方程为(θ为参数), 所以y=|x+=|=, 当时,ymax=15, 当时,ymin=0, 所以|x+y﹣10|的取值范围为[0,15]. 23.已知函数f(x)=|2x﹣a|+|x﹣1|(a∈R). (Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)≥1的解集; (Ⅱ)若存在x∈R满足不等式f(x)<4,求实数a的取值范围. 【分析】(Ⅰ)当a=1时,f(x)=|2x﹣1|+|x﹣1|,由绝对值的意义,去绝对值,解不等式,求并集可得解集; (Ⅱ)由题意可得f(x)min<4,由绝对值的性质和绝对值的意义,求得最小值,解不等式可得a的范围. 解:(Ⅰ)当a=1时,f(x)=|2x﹣1|+|x﹣1|, 当x≥1时,f(x)≥1即2x﹣1+x﹣1≥1,解得x≥1; 当x≤时,f(x)≥1即1﹣2x+1﹣x≥1,解得x≤; 当<x<1时,f(x)≥1即2x﹣1+1﹣x≥1,解得x∈?, 则原不等式的解集为(﹣∞,]∪[1,+∞); (Ⅱ)若存在x∈R满足不等式f(x)<4, 即为f(x)min<4, 由f(x)=|2x﹣a|+|x﹣1|=|x﹣|+(|x﹣|+|x﹣1|) ≥0+|(x﹣)﹣(x﹣1)|=|1﹣|,即x=时f(x)取得最小值|1﹣|, 所以|1﹣|<4, 解得﹣6<a<10.

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  • ID:3-6778749 2018-2019学年人教A版内蒙古鄂尔多斯西部四旗高三第一学期期末数学试卷(文科)

    高中数学/期末专区/高三

    2018-2019学年高三(上)期末数学试卷(文科) 一、选择题(本题共12个小题) 1.已知集合A={x|x+3>0},B={y|y=log3x,x<3},则A∩B=(  ) A.(﹣3,1) B.(﹣∞,0] C.(﹣∞,0) D.(1,+∞) 2.复数z=2+ai(a<0)满足|z|=,则=(  ) A.1+2i B.1﹣2i C.﹣1+2i D.﹣1﹣2i 3.甲、乙两名学生在之前五次物理测试中成绩的茎叶图,如图,(  ) ①甲的平均成绩低,方差较大 ②甲的平均成绩低,方差较小 ③乙的平均成绩高,方差较大 ④乙的平均成绩高,方差较小 A.①④ B.②③ C.①③ D.③④ 4.已知双曲线中心为原点,焦点在x轴上,过点(,2),且渐近线方程为y=±2x,则该双曲线的方程为(  ) A.x2﹣=1 B.x2﹣4y2=2 C.x2﹣=1 D.x2﹣2y2=1 5.已知x,y满足不等式组,则z=3x﹣2y的最小值为(  ) A. B.﹣ C.2 D.﹣2 6.已知△ABC的面积为,且AB=2,AC=3,A为钝角,则BC=(  ) A. B.4 C. D.5 7.若非零向量,满足||=||,且(+)⊥(3﹣2),则与的夹角为(  ) A. B. C. D. 8.如图所示的程序框图,若输入m=10,则输出的S值为(  ) A.10 B.21 C.33 D.47 9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  ) A. B. C. D. 10.已知函数f(x)是奇函数,且x≥0时,f(x)=2x+x+a,g(x)=,若函数y=g(x)+2x﹣b有2个零点,则b的取值范围是(  ) A.(1,2] B.[2,4) C.(﹣∞,4] D.[4,+∞) 11.已知函数f(x)=sin(ωx+)+(ω>0),x∈R,且f(α)=﹣,f(β)=.若|α﹣β|的最小值为,则函数f(x)的单调递增区间为(  ) A.[2kπ﹣,2kπ+](k∈Z) B.[kπ﹣,kπ+](k∈Z) C.[2kπ+,2kπ+](k∈Z) D.[kπ﹣,kx+](k∈Z) 12.已知函数f(x)=(x2﹣a)e﹣x的图象过点(,0),若函数f(x)在(m,m+1)上是增函数,则实数m的取值范围为(  ) A.[﹣1,2] B.[2,+∞) C.[0,+∞) D.(﹣∞,﹣1]∪[2,+∞) 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.若sin(π+α)=,则cos2α=   . 14.已知直线l:x﹣y﹣2=0与圆(x﹣1)2+(y﹣2)2=6相交于A,B两点,则线段AB的长为   . 15.已知三棱锥P﹣ABC的外接球的球心O在AB上,若三棱锥P﹣ABC的体积为,PA=PB=AC=BC,∠POC=120°,则球O的表面积为   . 16.已知O为坐标原点,F为抛物线C:y2=2x的焦点,直线l:y=m(2x﹣1)与抛物线C交于A,B两点,点A在第一象限,若|AF|=2|BF|,则m的值为   . 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. 17.已知等差数列{an}的前n项和为Sn.且a1=17,2a2﹣a1=11. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)当n为何值时,数列{an}的前n项和最大? 18.在三棱锥P﹣ABC中,△PAC和△PBC是边长为的等边三角形,AB=2,O,D分别是AB,PB的中点. (Ⅰ)求证:OD∥平面PAC; (Ⅱ)求证:OP⊥平面ABC; (Ⅲ)求三棱锥D﹣OBC的体积. 19.高考的成绩不仅需要平时的积累,还与考试时的状态有关系.为了了解考前学生的紧张程度与性别是否有关系,现随机抽取某校500名学生进行了调查,结果如表所示: 心情性别 男 女 总计 正常 30 40 70 焦虑 270 160 430 总计 300 200 500 (Ⅰ)根据该校调查数据,能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为“该学校学生的考前焦虑情况与性别有关”? (Ⅱ)若从考前心情正常的学生中按性别用分层抽样的方法抽取7人,再从被抽取的7人中随机抽取2人,求这两人中有女生的概率. 附:K2=,n=a+b+c+d. P(K2≥k0) 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 K0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 20.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2c,直线bx﹣y+a=0过椭圆的左焦点. (Ⅰ)求椭圆C的标准方程; (Ⅱ)若直线bx﹣y+2c=0与y轴交于点P,A,B是椭圆C上的两个动点,∠APB的平分线在y轴上,|PA|≠|PB|.试判断直线AB是否过定点,若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由. 21.已知函数f(x)=(a﹣)x2+lnx(a∈R) (1)当a=1时,求f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值; (2)证明:当时,在区间(1,+∞)上,不等式f(x)<2ax恒成立. [选修4一4:坐标系与参数方程] 22.在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,椭圆C以极坐标系中的点(0,0)为中心、点(1,0)为焦点、(,0)为一个顶点.直线l的参数方程是,(t为参数). (Ⅰ)求椭圆C的极坐标方程; (Ⅱ)若直线l与椭圆C的交点分别为M(x1,y1),N(x2,y2),求线段MN的长度. [选修4-5:不等式选讲] 23.已知函数f(x)=|x+3|﹣2. (Ⅰ)解不等式|f(x)|<4; (Ⅱ)若?x∈R,f(x)≤|x﹣1|﹣t2+4t﹣1恒成立,求实数t的取值范围. 参考答案 一、选择题(本题共12个小题) 1.已知集合A={x|x+3>0},B={y|y=log3x,x<3},则A∩B=(  ) A.(﹣3,1) B.(﹣∞,0] C.(﹣∞,0) D.(1,+∞) 【分析】可以求出集合A,B,然后进行交集的运算即可. 解:∵A={x|x>﹣3},B={y|y<1}, ∴A∩B=(﹣3,1). 故选:A. 2.复数z=2+ai(a<0)满足|z|=,则=(  ) A.1+2i B.1﹣2i C.﹣1+2i D.﹣1﹣2i 【分析】由已知列式求得a,得到z,代入,再由复数代数形式的乘除运算化简得答案. 解:由z=2+ai(a<0),|z|=,得, 解得a=﹣1. ∴=. 故选:D. 3.甲、乙两名学生在之前五次物理测试中成绩的茎叶图,如图,(  ) ①甲的平均成绩低,方差较大 ②甲的平均成绩低,方差较小 ③乙的平均成绩高,方差较大 ④乙的平均成绩高,方差较小 A.①④ B.②③ C.①③ D.③④ 【分析】根据茎叶图所给的两组数据,算出甲和乙的平均数,把两个人的平均数进行比较,得到乙的平均数大于甲的平均数,再结合极差的大小即可求出结论. 解:由茎叶图知, 甲的平均数是═78; 乙的平均数是═81, 且甲的极差为:96﹣63=33; 乙的极差为97﹣69=28; 所以乙更稳定,故乙的方差较小,甲的方差较大; 故正确的说法为①④; 故选:A. 4.已知双曲线中心为原点,焦点在x轴上,过点(,2),且渐近线方程为y=±2x,则该双曲线的方程为(  ) A.x2﹣=1 B.x2﹣4y2=2 C.x2﹣=1 D.x2﹣2y2=1 【分析】首先根据条件中的渐近线方程,可设双曲线方程为4x2﹣y2=λ,λ≠0,把点的坐标代入即可求出结果. 解:∵渐近线方程为2x±y=0, 设双曲线方程为4x2﹣y2=λ,λ≠0, 将P(,2)的坐标代入方程得 4()2﹣22=λ, 求得λ=4, 则该双曲线的方程为x2﹣=1, 故选:C. 5.已知x,y满足不等式组,则z=3x﹣2y的最小值为(  ) A. B.﹣ C.2 D.﹣2 【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案. 解:由约束条件作出可行域如图, A(0,1), 化目标函数z=3x﹣2y为, 由图可知,当直线过A时,直线在y轴上的截距最大,z有最小值为﹣2. 故选:D. 6.已知△ABC的面积为,且AB=2,AC=3,A为钝角,则BC=(  ) A. B.4 C. D.5 【分析】由已知利用三角形的面积公式可求sinA的值,利用同角三角函数基本关系式可求cosA的值,进而根据余弦定理即可求解BC的值. 解:由题意可得:AB?AC?sinA=3sinA=, 解得sinA=, 又A为钝角, 可得cosA==﹣, 由余弦定理可得BC2=4+9﹣2×2×3×(﹣)=21,解得BC=. 故选:C. 7.若非零向量,满足||=||,且(+)⊥(3﹣2),则与的夹角为(  ) A. B. C. D. 【分析】根据平面向量的数量积求夹角即可. 解:非零向量,满足||=||,且(+)⊥(3﹣2), 则(+)?(3﹣2)=3+?﹣2=0, 解得?=2﹣3=2?﹣3=, 所以cosθ===; 又θ∈[0,π], 所以θ=,即与的夹角为. 故选:A. 8.如图所示的程序框图,若输入m=10,则输出的S值为(  ) A.10 B.21 C.33 D.47 【分析】按照程序图一步一步计算,直到跳出循环. 解:m=10,k=10,s=0; 不满足条件k>m+2,s=10,k=11; 不满足条件k>m+2,s=21,k=12; 不满足条件k>m+2,s=33,k=13, 满足条件k>m+2,退出循环,输出s的值为33. 故选:C. 9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  ) A. B. C. D. 【分析】由三视图可知,几何体是三棱柱与四棱锥的组合体,利用三视图的数据,即可求出该几何体的体积. 解:由题意可知几何体是组合体,左侧是四棱锥右侧是三棱柱,如图: 棱锥的高为2,底面正方形的边长为2,三棱柱的底面等腰三角形的底边长为2,高为2. 所以几何体的体积为:=. 故选:B. 10.已知函数f(x)是奇函数,且x≥0时,f(x)=2x+x+a,g(x)=,若函数y=g(x)+2x﹣b有2个零点,则b的取值范围是(  ) A.(1,2] B.[2,4) C.(﹣∞,4] D.[4,+∞) 【分析】根据定义在R上的奇函数的性质,f(0)=0,可求出a的值; 函数y=g(x)+2x﹣b有2个零点等价于函数y=g(x)+2x的图象与直线y=b有两个交点, 数形结合,由图即可求出b的取值范围. 解:因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,即20+0+a=0,解得a=﹣1. 函数y=g(x)+2x﹣b有2个零点等价于函数y=g(x)+2x的图象与直线y=b有两个交点, y=g(x)+2x=,作出其图象, 由图可知,2≤b<4. 故选:B. 11.已知函数f(x)=sin(ωx+)+(ω>0),x∈R,且f(α)=﹣,f(β)=.若|α﹣β|的最小值为,则函数f(x)的单调递增区间为(  ) A.[2kπ﹣,2kπ+](k∈Z) B.[kπ﹣,kπ+](k∈Z) C.[2kπ+,2kπ+](k∈Z) D.[kπ﹣,kx+](k∈Z) 【分析】直接利用正弦型函数的性质的应用求出函数的单调区间. 解:函数f(α)=﹣,f(β)=.若|α﹣β|的最小值为, 所以T=,解得ω=2. 所以f(x)=sin(2x+)+, 令(k∈Z), 整理得(k∈Z), 所以函数的单调递增区间为:[](k∈Z) 故选:B. 12.已知函数f(x)=(x2﹣a)e﹣x的图象过点(,0),若函数f(x)在(m,m+1)上是增函数,则实数m的取值范围为(  ) A.[﹣1,2] B.[2,+∞) C.[0,+∞) D.(﹣∞,﹣1]∪[2,+∞) 【分析】根据题意可以得出,在对其进行求导求出其单调性即可求解; 解:∵f(x)=(x2﹣a)e﹣x的图象过点(,0), ∴a=3; ∴, ∴; 令f′(x)≥0,则﹣1≤x≤3; ∴f(x)的单调递增区间为[﹣1,3], ∴; ∴﹣1≤m≤2 故选:A. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.若sin(π+α)=,则cos2α=  . 【分析】由题意利用诱导公式求得sinα的值,再利用二倍角公式求得cos2α的值. 解:∵sin(π+α)=﹣sinα=, ∴sinα=﹣, 则cos2α=1﹣2sin2α=, 故答案为:. 14.已知直线l:x﹣y﹣2=0与圆(x﹣1)2+(y﹣2)2=6相交于A,B两点,则线段AB的长为  . 【分析】根据题意,由圆的方程分析圆的圆心与半径,求出圆心到直线的距离,结合直线与圆的位置关系分析可得答案. 解:根据题意,圆(x﹣1)2+(y﹣2)2=6的圆心为(1,2),半径r=, 则圆心到直线l的距离d==, 则弦长|AB|=2×=; 故答案为:. 15.已知三棱锥P﹣ABC的外接球的球心O在AB上,若三棱锥P﹣ABC的体积为,PA=PB=AC=BC,∠POC=120°,则球O的表面积为 16π . 【分析】根据题给的球心O的位置,结合等腰三角形,得到对棱存在一组线面垂直,即可表示出体积求解问题. 解:设球的半径为R,则OA=OB=OC=OP=R,所以O是AB中点, 又因为PA=PB,AC=BC,所以ABOC,ABOP,所以AB平面POC, 所以三棱锥体积, 又因为∠POC=120°,, 所以,解得R=2, 所以球的表面积为4πR2=16π. 故答案为:16π. 16.已知O为坐标原点,F为抛物线C:y2=2x的焦点,直线l:y=m(2x﹣1)与抛物线C交于A,B两点,点A在第一象限,若|AF|=2|BF|,则m的值为  . 【分析】求得抛物线的焦点坐标,设A(x1,y1),B(x2,y2),(x1>0,y1>0),联立直线l的方程和抛物线方程,运用韦达定理和向量共线的坐标表示,解方程可得m的值. 解:y2=2x的焦点F(,0), 设A(x1,y1),B(x2,y2),(x1>0,y1>0), 直线l:y=m(2x﹣1)(m>0)与抛物线y2=2x联立,可得4m2x2﹣(2+4m2)x+m2=0, 即有x1x2=①,x1+x2=1+②, 由题意可得=2,即为﹣x1=2(x2﹣),即x1+2x2=③, 由①③可得x1=1,x2=(x1=x2=舍去), 代入②可得1+=1+,解得m=(负的舍去), 故答案为:. 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. 17.已知等差数列{an}的前n项和为Sn.且a1=17,2a2﹣a1=11. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)当n为何值时,数列{an}的前n项和最大? 【分析】(I)设等差数列{an}的公差为d.由a1=17,2a2﹣a1=11.利用通项公式即可得出. (Ⅱ)令an≥0,解得n即可得出. 解:(I)设等差数列{an}的公差为d.∵a1=17,2a2﹣a1=11. ∴2(17+d)﹣17=11,解得d=﹣3. ∴an=17﹣3(n﹣1)=20﹣3n. (Ⅱ)令an=20﹣3n≥0,解得n≤. ∴当n=6时,数列{an}的前n项和最大. 18.在三棱锥P﹣ABC中,△PAC和△PBC是边长为的等边三角形,AB=2,O,D分别是AB,PB的中点. (Ⅰ)求证:OD∥平面PAC; (Ⅱ)求证:OP⊥平面ABC; (Ⅲ)求三棱锥D﹣OBC的体积. 【分析】(Ⅰ)由已知结合三角形中位线定理得OD∥PA,再由线面平行的判定可得OD∥平面PAC; (Ⅱ)由已知可得AC⊥BC,求解三角形证明PO⊥OC,再由线面垂直的判定可得OP⊥平面ABC; (Ⅲ)由(Ⅱ)可知,OP⊥平面ABC,可得OP=1,再由三棱锥D﹣OBC的体积为P﹣ABC体积的求解. 【解答】(Ⅰ)证明:∵O,D分别为AB,PB的中点,∴OD∥PA, ∵PA?平面PAC,OD?平面PAC, ∴OD∥平面PAC; (Ⅱ)证明:∵AC=BC=,AB=2,∴AC⊥BC, ∵O为AB的中点,AB=2,∴OC⊥AB,OC=1, 同理,PO⊥AB,PO=1. 又PC=,∴PC2=OC2+PO2=2,则∠POC=90°,即PO⊥OC, ∵PO⊥OC,PO⊥AB,AB∩OC=O, ∴OP⊥平面ABC; (Ⅲ)解:由(Ⅱ)可知,OP⊥平面ABC, ∴OP为三棱锥P﹣ABC的高,且OP=1. ∴. 19.高考的成绩不仅需要平时的积累,还与考试时的状态有关系.为了了解考前学生的紧张程度与性别是否有关系,现随机抽取某校500名学生进行了调查,结果如表所示: 心情性别 男 女 总计 正常 30 40 70 焦虑 270 160 430 总计 300 200 500 (Ⅰ)根据该校调查数据,能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为“该学校学生的考前焦虑情况与性别有关”? (Ⅱ)若从考前心情正常的学生中按性别用分层抽样的方法抽取7人,再从被抽取的7人中随机抽取2人,求这两人中有女生的概率. 附:K2=,n=a+b+c+d. P(K2≥k0) 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 K0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 【分析】(Ⅰ)根据题意,计算可得K2的观测值,结合独立性检验的知识分析可得答案; (Ⅱ)根据题意,分析可得抽取7人,其中有3名男生,4名女生;由组合数公式计算可得“从7人中任意抽取2人”和“抽取的两人中有女生”的选法数目,由古典概型公式计算可得答案. 解:(Ⅰ)根据题意,由2×2列联表可得: K2的观测值k==≈9.967>6.635; 故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为该学校学生的考前焦虑情况与性别有关; (Ⅱ)根据题意,若从考前心情正常的学生中按性别用分层抽样的方法抽取7人,其中有3名男生,4名女生, 从7人中任意抽取2人,有C72=种情况, 其中抽取的两人中有女生的抽法有C42+C41C31=18种选法; 故其概率P==. 20.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2c,直线bx﹣y+a=0过椭圆的左焦点. (Ⅰ)求椭圆C的标准方程; (Ⅱ)若直线bx﹣y+2c=0与y轴交于点P,A,B是椭圆C上的两个动点,∠APB的平分线在y轴上,|PA|≠|PB|.试判断直线AB是否过定点,若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由. 【分析】(Ⅰ)因为直线bx﹣y+a=0过椭圆的左焦点,故令y=0,得x=﹣=﹣c,又因为离心率为,从而求出b=2,又因为a2=b2+c2,求出a的值,从而求出椭圆C的标准方程; (Ⅱ)先求出点P的坐标,设直线AB的方程为y=kx+m,联立方程组,利用根与系数的关系,设A(x1,y1),B(x2,y2),得到k1+k2=,又因为∠APB的平分线在y轴上,所以 k1+k2=0,从而求出m的值,得到直线AB的方程为y=kx+1过定点坐标. 解:(Ⅰ)因为直线bx﹣y+a=0过椭圆的左焦点, 故令y=0,得x=﹣=﹣c, ∴==,解得b=2, 又∵a2=b2+c2=b2+,解得a=2, ∴椭圆C的标准方程为:; (Ⅱ)由(Ⅰ)得c=a=2, ∴直线bx﹣y+2c=0的方程为2x﹣y+4=0, 令x=0得,y=4,即P(0,4), 设直线AB的方程为y=kx+m, 联立方程组,消去y得,(2k2+1)x2+4kmx+2m2﹣8=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), ∴x1+x2=﹣,x1x2=, 则直线PA的斜率k1==k+, 则直线PB的斜率k2==k+, 所有k1+k2=2k+=2k+=, ∵∠APB的平分线在y轴上, ∴k1+k2=0,即=0, 又|PA|≠|PB|,∴k≠0,∴m=1, ∴直线AB的方程为y=kx+1,过定点(0,1). 21.已知函数f(x)=(a﹣)x2+lnx(a∈R) (1)当a=1时,求f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值; (2)证明:当时,在区间(1,+∞)上,不等式f(x)<2ax恒成立. 【分析】(1)当a=1时,,利用导数研究函数的单调性即可得出最值; (2)令,x∈(1,+∞),在区间(1,+∞)上,不等式f(x)<2ax恒成立?g(x)<0在区间(1,+∞)上恒成立.利用导数研究函数的单调性即可得出g(x)大值. 【解答】(1)解:当a=1时,, 对于x∈[1,e],有f'(x)>0, ∴f(x)在区间[1,e]上为增函数, ∴,. (2)证明:令,x∈(1,+∞), 在区间(1,+∞)上,不等式f(x)<2ax恒成立?g(x)max<0,x∈(1,+∞). ∵, ∴当时,则有2a﹣1≤0,此时在区间(1,+∞)上恒有g'(x)<0, 从而g(x)在区间(1,+∞)上是减函数; ∴g(x)<g(1),又, ∴g(x)<0,即f(x)<2ax恒成立. [选修4一4:坐标系与参数方程] 22.在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,椭圆C以极坐标系中的点(0,0)为中心、点(1,0)为焦点、(,0)为一个顶点.直线l的参数方程是,(t为参数). (Ⅰ)求椭圆C的极坐标方程; (Ⅱ)若直线l与椭圆C的交点分别为M(x1,y1),N(x2,y2),求线段MN的长度. 【分析】(Ⅰ)直接利用转换关系,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换. (Ⅱ)利用直线和曲线的位置关系的应用及一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果. 解:(Ⅰ)椭圆C以极坐标系中的点(0,0)为中心、点(1,0)为焦点、(,0)为一个顶点. 所以c=1,a=,b=1, 所以椭圆的方程为,转换为极坐标方程为. (Ⅱ)直线l的参数方程是,(t为参数).转换为直角坐标方程为2x+y﹣2=0. 设交点M(x1,y1),N(x2,y2), 所以,整理得9x2﹣16x+6=0, 所以,, 所以|x1﹣x2|==. [选修4-5:不等式选讲] 23.已知函数f(x)=|x+3|﹣2. (Ⅰ)解不等式|f(x)|<4; (Ⅱ)若?x∈R,f(x)≤|x﹣1|﹣t2+4t﹣1恒成立,求实数t的取值范围. 【分析】(Ⅰ)由绝对值不等式的解法,化简可得所求解集; (Ⅱ)若?x∈R,f(x)≤|x﹣1|﹣t2+4t﹣1恒成立,可得|x+3|﹣|x﹣1|≤﹣t2+4t+1恒成立,由绝对值不等式的性质可得不等式左边的最大值,运用二次不等式的解法,可得所求范围. 解:(Ⅰ)函数f(x)=|x+3|﹣2, 不等式|f(x)|<4即为﹣4<f(x)<4, 即﹣4<|x+3|﹣2<4,即有﹣2<|x+3|<6, 所以|x+3|<6,即﹣6<x+3<6,可得﹣9<x<3, 则原不等式的解集为(﹣9,3); (Ⅱ)若?x∈R,f(x)≤|x﹣1|﹣t2+4t﹣1恒成立, 可得|x+3|﹣|x﹣1|≤﹣t2+4t+1恒成立, 由|x+3|﹣|x﹣1|≤|(x+3)﹣(x﹣1)|=4, 可得﹣t2+4t+1≥4,即t2﹣4t+3≤0, 解得1≤t≤3. 则实数t的取值范围是[1,3].

    • 2020-01-20
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