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  • ID:3-4880570 [精]第一讲 数的开方实数培优竞赛辅导(含答案)

    初中数学/华师大版/八年级上册/第11章 数的开方/本章综合与测试

    中小学教育资源及组卷应用平台 第一讲 数的开方,实数培优竞赛辅导 知识要点: 平方根 ①定义:若x=a,则_____叫做_____的一个平方根。记作:x=______(a≥0). 其中_______叫a的算术平方根。 ②平方根的性质:一个正数的平方根有______个,它们互为_______;0的平方根是 ;负数 平方根;一个非负数的算术平方根是一个_____数。 立方根 ①定义:若x=a,则______叫做_______的立方根,记x=______, ②立方根的性质:互为相反数的两个数的立方根之和为_______。 即:, 3、实数: 无限不循环小数叫做无理数,有理数和无理数统称实数. ______与数轴上的点一一对应. 任何有理数都可以表示为分数(p、q是两个互质的整数,且q≠0)的形式. 注意:1、平方与开平方、立方与开立方互为逆运算。 2、相关公式: (); = ; ; ; 。 3、三个非负数: , , (a≥0)。 平方根等于本身的数是 立方根等于本身的数是 ; 算术平方根等于本身的数是 ; 二、基础夯实 一.选择题 1、下列给出的“25的平方根是±5”的表达式中,正确的是( )   A. =±5 B. =﹣5 C. ±=±5 D. =5 2、下列说法正确的是( ) A.一个数的立方根有两个 B.一个非零数与它的立方根同号 C.若一个数有立方根,则它就有平方根 D.一个数的立方根是非负数 3、下列说法正确的是( ) A.数轴上任一点表示唯一的有理数 B.数轴上任一点表示唯一的无理数 C.两个无理数之和一定是无理数 D.数轴上任意两点之间都有无数个点 4、下列语句:①﹣1是1的平方根.②带根号的数都是无理数.③无理数都是无限小数.④无限小数是无理数⑤的立方根是2.⑥(﹣2)2的算术平方根是2.⑦﹣125的立方根是±5.⑧有理数和数轴上的点一一对应.其中正确的有( )   A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 5、已知a、b是实数,下列命题结论正确的是( ) A.若a>b,则a2>b2 B.若a>|b|,则a2>b2 C.若|a|>b,则a2>b2 D.若a3>b3,则a2>b2 6、一个数的平方是4,这个数的立方是( )   A. 8 B. ﹣8 C. 8或﹣8 D. 4或﹣4 的算术平方根与的相反数的倒数的积是( ) A.﹣1 B.±1 C.-1 D. 8、一个立方体的体积是9,则它的棱长是( )   A. 3 B. 3 C. D. 9、如图,数轴上A,B两点表示的数分别为和5.1,则A,B两点之间表示整数的点共有( ) A.6个 B.5个 C.4个 D.3个 10、如图,数轴上 A、B两点表示的数分别为-1和,点B关于点A的对称点C,则点C所表示的数为( ) A.-3 B.-2 C.-3+ D.2+ 11、在实数、0、、3.1415、、、2.123122312223…,,,中,无理数的个数为( ) A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 12、一个正数x的两个平方根分别是a+1与a?5,则x值为( ) A. 2 B.-3 C.9 D. -9 13、估算的值是在(  )   A. 2与3之间 B. 3与4之间 C. 4与5之间 D. 5与6之间 14、数轴上有两点A、B分别表示实数a、b,则线段AB的长度是(  )   A. a﹣b B. a+b C. |a﹣b| D. |a+b| 15、若x2=(﹣3)2,y3﹣27=0,则x+y的值是(  )   A. 0 B. 6 C. 0或6 D. 0或﹣6 16、使为最大的负整数,则a的值为(  )   A. ±5 B. 5 C. ﹣5 D. 不存在 17、如果-b是a的立方根,则下列结论正确的是( ) A.-b3=a B.-b=a3 C.b=a3 D.b3=a 18、两个无理数的和,差,积,商一定是(  )   A. 无理数 B. 有理数 C. 0 D. 实数 19、若( ) A、0 B、1 C、-1 D、2 20、实数的平方根为(  )   A. a B. ±a C. ± D. ± 二.填空题 1、的平方根是_______,的算术平方根是 , 的立方根是_______,的平方根为_____。 2、若与互为相反数,则=______。 3、若和互为相反数。则x+y=_______。 4、设、为实数,且,则的值是______ 5、边长为的两个正方形拼成一个正方形的边长为 6、比较大小:, 7、若则x=______. 8、若(x﹣15)2=169,(y﹣1)3=﹣0.125,则x-y=_________. 9、的平方根与﹣的立方根的积为 _________ . 三.解答题 1、计算:﹣++. 2、已知x是 的整数部分,y是 的小数部分,求 的平方根. 培优 竞赛精例 【例1】、实数a,b,c在数轴上的位置如图,化简 【变式题组】 已知,化简: 【例2】(全国竞赛)已知非零实数a、b满足,则a+b等于( ) A.-1 B. 0 C.1 D.2 【变式题组】 已知,求的值。 2、x,y,m适合不等式,试求的平方根。 【例3】若a为?2的整数部分,b?1是9的平方根,且,求a+b的值. 【变式题组】 1、若3+的小数部分是a,3?的小数部分是b,则a+b的值为____. 2、-5的整数部分为a,小数部分为b,则(+a)--b=____. 3、已知M是满足不等式的所有整数a的和,N是满足不等式的最大整数.求M+N的平方根. 【例4】若a、b都为有理效,且满足.求a+b的平方根.. 【变式题组】 设a、b为有理数,且a、b满足等式a2+3b+b=21?5,则a+b=____. (西安市竞赛题)已知m、n是有理数,且(+2)m+(3-2)n+7=0求m、n. 数的开方培优竞赛检测 1、若,则的值为( ) A. B. C. D. 2、设,b= -2,,则a、b、c的大小关系是( ) A.a , > 7、若则x=_-1_____. 8、若(x﹣15)2=169,(y﹣1)3=﹣0.125,则x-y=_27.5或1.5________. 9、的平方根与﹣的立方根的积为 _________ . 三.解答题 1、计算:﹣++. 答案:9 2、已知x是 的整数部分,y是 的小数部分,求 的平方根. 答案:9 培优 竞赛精例 【例1】、实数a,b,c在数轴上的位置如图,化简 答案: EMBED Equation.KSEE3 原式=a 【变式题组】 已知,化简: 答案:5-2x 【例2】(全国竞赛)已知非零实数a、b满足,则a+b等于( C ) A.-1 B. 0 C.1 D.2 【变式题组】 已知,求的值。 解:a-20210 a-2020+=a 所以=2020 a-2021=2020 =2020 2、x,y,m适合不等式,试求的平方根。 ,的平方根为 【例3】若a为?2的整数部分,b?1是9的平方根,且,求a+b的值. 解:由题可得a=2,b-1=3所以a=2,b=4或-2 因为所以a=2,b=4 所以a+b=6 【变式题组】 1、若3+的小数部分是a,3?的小数部分是b,则a+b的值为__1__. 2、-5的整数部分为a,小数部分为b,则(+a)--b=_1__. 3、已知M是满足不等式的所有整数a的和,N是满足不等式的最大整数.求M+N的平方根. 解:M=2,N=2所以M+N的平方根为。 【例4】若a、b都为有理效,且满足.求a+b的平方根.. 解:任何两个有理数的和、差、积、商(除数不为0)还是有理数,但两个无理数的和、差、积、商(除数不为0)不一定是无理数.∵, ∴ 即,∴, a +b=12 +13=25. ∴a+b的平方根为:. 【变式题组】 设a、b为有理数,且a、b满足等式a2+3b+b=21?5,则a+b=_1或-11___. (西安市竞赛题)已知m、n是有理数,且(+2)m+(3-2)n+7=0求m、n. 解:由题可得 数的开方培优竞赛检测 1、若,则的值为( B ) A. B. C. D. 2、设,b= -2,,则a、b、c的大小关系是( C ) A.a

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  • ID:3-4880096 [精]高考一轮复习学案 第17讲 同角三角函数基本关系及诱导公式(原卷+解析卷)

    高中数学/高考专区/一轮复习

    第17讲 同角三角函数基本关系 及诱导公式(原卷版)  考点 考纲要求 要求 常考题型  同角三角函数关系式的应用 理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1,=tan α. II 选择题,填空题  诱导公式的应用 能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式 II 选择题,填空题  巧用诱导公式 灵活运用诱导公式 II 选择题,填空题    1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:   . (2)商数关系:  .  2.三角函数的诱导公式 组序 一 二 三 四 五 六  角 2kπ+ α(k∈Z) π+α -α π-α -α +α  正弦 sin α       余弦 cos α       正切 tan α       口诀 函数名不变,符号看象限 函数名改变符号看象限  记忆 规律 奇变偶不变,符号看象限    题型一 同角三角函数关系式的应用 考向一 知弦求弦 例1:已知 sin=,α∈,则sin(π+α)等于(  ) A.   B.-   C.   D.- 【解析】因为sin=,α∈,所以cos α=,所以sin α=, 所以sin(π+α)=-sin α=-. 【答案】D 考向二 知弦求切 例2:(2018·辽宁省五校高三联考)已知cos=,且α∈,则tan α=(  ) A. B. C.- D.± 【解析】 因为cos=,所以sin α=-, 显然α在第三象限,所以cos α=-,故tan α=. ================================================ 压缩包内容: 第17讲 同角三角函数基本关系及诱导公式(原卷版) .doc 第17讲 同角三角函数基本关系及诱导公式(解析版).doc

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  • ID:3-4878823 [精]高考一轮复习学案 第15讲 定积分与微积分基本原理(原卷版+解析版)

    高中数学/高考专区/一轮复习

    第15讲 定积分与微积分基本定理 (原卷版)  考点 考纲要求 要求 常考题型  定积分的计算 了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念. I 选择题、填空题   定积分几何意义的应用 了解定积分的几何意义 I 选择题、填空题  定积分在物理上的应用 了解定积分基本定理的含义 I 选择题、填空题    1.定积分的相关概念 在中, 与 分别叫做积分下限与积分上限,区间 叫做积分区间,函数 叫做被积函数, 叫做积分变量, 叫做被积式. 2.定积分的性质 (1)(k为常数); (2); (3)(其中a<c<b). 3.定积分的几何意义 如图:  设阴影部分面积为S. (1); (2); (3); (4). 4.微积分基本定理 一般地,如果f (x)是区间[a,b]上的连续函数,且F′(x)=f (x),那么= .这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼茨公式,其中F(x)叫做f (x)的一个原函数.为了方便,我们常把F(b)?F(a)记作,即= . 5.定积分在物理中的应用 (1)变速直线运动问题 如果作变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v=v(t)(v(t)≥0),那么物体从时刻t=a到t=b所经过的路程为s; (2)变力做功问题 一物体在恒力F(单位:N)的作用下做直线运动,如果物体沿着与F相同的方向移动了s ,则力F所做的功为W=Fs.如果物体在变力F(x)的作用下沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b,则变力F(x)做的功.  题型一 定积分的计算 例1:已知  =  =1,  =  ,求下列定积分: (1) ; (2) . 【答案】(1)解:  ?=  +  =2 (2)解:  ?=  【解析】 (1)由定积分的运算法则直接求解; (2)由定积分的运算法则及微积分定理求解. 类题通法   变式训练 1.定积分等于(?? ) ================================================ 压缩包内容: 第15讲定积分与微积分基本定理(原卷版).doc 第15讲定积分与微积分基本定理(解析版).doc

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  • ID:3-4878819 [精]3.7 正多边形(课件+学案)

    初中数学/浙教版/九年级上册/第3章 圆的基本性质/3.7 正多边形

    中小学教育资源及组卷应用平台 1.求正七边形的内角的度数. 解:. 2.已知一个正多边形的内角是140°,它是几边形? 解:9边形. 3.已知正六边形ABCDEF(如图). (1)用直尺和圆规作它的外接圆. (2)求证:CF是它的外接圆的直径. 解: (1)略. (2)证明:设正六边形的圆心为O,由正六边形的定义,得AB=BC=CD=DE=DF=FA, ∴======60°, ∴∠COD=∠DOE=∠EOF=60°, ∴∠FOC=∠COD+∠DOE+∠EOF=3×60°=180°, ∴CF是⊙O的直径. 4.如图,正五边形ABCDE内接于⊙O,求∠ABD的度数. 解:72°. 5.用直尺和圆规作如图图案(尺寸大小不限). 解:略. 6.尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中,连当年叱宅风云的拿破仑[1769~1821年]也不例外.下面一道题传说是拿破仑考他的大臣的,你想试一试吗? 只用圆规把一个圆四等分. 解:将圆6等分,设其中四个分依次点为A,B,C,D;分别以A,D为圆心,AC长为半径画弧相交于E;则OE即为四等分圆的弦长.若圆半径为1,容易证明OE=. 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 中小学教育资源及组卷应用平台 3.7 正多边形 学习目标 1.了解正多边形的概念. 2.了解正多边形与圆的关系:任何一个正多边形都有一个外接圆. 3.了解正多边形的一般画法. 4.会用尺规作正六边形. 学习过程 正多边形的定义 正多边形的性质 例1已知一个正多边形的内角为176.4°,这个正多边形是几边形?有没有内角为100°的正多边形? 1.如图,已知正三角形,用直尺和圆规作它的外接圆. 2.如图,已知正方形,用直尺和圆规作它的外接圆. 例2 如图,已知⊙O,用直尺和圆规作⊙O的内接正六边形. 我们来探索正多边形的轴对称性和中心对称性. 1.正三角形和正方形都是轴对称图形吗?都是中心对称图形吗? 2.填写下表. 正五边形正六边形正七边形正八边形中心对称轴对称对称轴条数 3.用命题的形式概括正n边形的中心对称性和轴对称性,以及轴对称图形的对称轴的条数. 作业题 1.求正七边形的内角的度数. 2.已知一个正多边形的内角是140°,它是几边形? 3.已知正六边形ABCDEF(如图). (1)用直尺和圆规作它的外接圆. (2)求证:CF是它的外接圆的直径. 4.如图,正五边形ABCDE内接于⊙O,求∠ABD的度数. 5.用直尺和圆规作如图图案(尺寸大小不限). 6.尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中,连当年叱宅风云的拿破仑[1769~1821年]也不例外.下面一道题传说是拿破仑考他的大臣的,你想试一试吗?只用圆规把一个圆四等分. 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 数学浙教版 九年级上 3.7 正多边形 3.7 正多边形 教学目标 1.了解正多边形的概念. 2.了解正多边形与圆的关系:任何一个正多边形都有一个外接圆. 3.了解正多边形的一般画法. 4.会用尺规作正六边形. 重点与难点 1.本节教学的重点是正多形的概念和与圆的关系. 2.正六边形的尺规作图是本节教学的难点. 这个美丽图案的主体部分由一些多边形构成,你发现这些多边形有什么特别之处吗? 我们把各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形. 思考 1.各边相等但各内角不相等的多边形是正多边形么? 2.各内角相等但各边不相等的多边形是正多边形么? 请举例说明. 根据正多边形的边数的不同,分别把它们叫做正三角形、正方形、正五边形、正六边形等. 回顾之前所学正多边形的性质还有哪些? 正n边形的每个内角度数: 正n边形的每一个外角度数: 例1已知一个正多边形的内角为176.4°,这个正多边形是几边形?有没有内角为100°的正多边形? 解:设正多边形的边数为n,由内角为176.4°, 得=176.4,解得n=100. 所以内角为176.4°的正多边形为100边形. 设正n边形的内角为100°, 则=100,解得n=4.5. 因为n应是整数,所以不存在内角为100°的正多边形. 1.如图,已知正三角形,用直尺和圆规作它的外接圆. 2.如图,已知正方形,用直尺和圆规作它的外接圆. 对于任意一个正三角形和正方形都能作出它的外接圆.我们把经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形的外接圆,这个正多边形也就叫做圆内接正多边形,任何正多边形都有一个外接圆. 例2 如图,已知⊙O,用直尺和圆规作⊙O的内接正六边形. 我们来探索正多边形的轴对称性和中心对称性. 1.正三角形和正方形都是轴对称图形吗?都是中心对称图形吗? 2.填写下表. 3.用命题的形式概括正n边形的中心对称性和轴对称性,以及轴对称图形的对称轴的条数. 正五边形 正六边形 正七边形 正八边形 中心对称 轴对称 对称轴 条数 √ √ √ √ √ √ 5 6 7 8 小 结 1.求正七边形的内角的度数. 2.已知一个正多边形的内角是140°,它是几边形? 3.已知正六边形ABCDEF(如图). (1)用直尺和圆规作它的外接圆. (2)求证:CF是它的外接圆的直径. F E D C B A 4.如图,正五边形ABCDE内接于⊙O,求∠ABD的度数. O E D C B A 5.用直尺和圆规作如图图案(尺寸大小不限). 6.尺规作图特有的魅力曾使无数人沉酒其中,连当年叱宅风云的拿破仑[1769~1821年]也不例外.下面一道题传说是拿破仑考他的大臣的,你想试一试吗? 只用圆规把一个圆四等分. 谢谢 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料?一线教师?一线教研员? 欢迎加入21世纪教育网教师合作团队!!月薪过万不是梦!! 详情请看: https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php

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  • ID:3-4878591 [精]高考一轮复习学案 第16讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数(原卷+解析卷)

    高中数学/高考专区/一轮复习

    第16讲 任意角和弧度制及任意角的 三角函数(原卷版)  考点 考纲要求 要求 常考题型  角的集合及象限角 了解任意角的概念;了解弧度制的概念.能进行弧度与角度的互化. I 选择题、填空题   三角函数的定义 理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. II 选择题、填空题  三角函数线的应用 能运用三角函数知识解题 II 选择题、填空题    1.角的概念 (1)角的分类(按旋转的方向): 角 (2)象限角与轴线角:   (3)终边相同的角 所有与α终边相同的角,包括α本身构成一个集合,这个集合可记为S={β|β=α+k·360°,k∈Z}. 2.弧度制 (1)定义 长度等于  的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度记作rad. (2)公式 角α的弧度数公式 |α|=(弧长用l表示)  角度与弧度的换算 ①1°=rad ②1 rad=°  弧长公式 弧长l=        扇形面积公式 S=l·r=|α|·r2  (3)规定 正角的弧度数是一个   ,负角的弧度数是一个   ,零角的弧度数是0. 3.任意角的三角函数 任意角α的终边与单位圆交于点P(x,y)时,sin α= y ,cos α= x ,tan α=(x≠0).三个三角函数的初步性质如下表: 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号  sin α R + + - -  cos α R + - - +  tan α         + - + -  4.三角函数线 如下图,设角α的终边与单位圆交于点P,过P作PM⊥x轴,垂足为M,过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.  有向线段   为正弦线;有向线段   为余弦线;有向线段   为正切线  题型一 角的集合及象限角 例1:(1)(2018·潍坊二模)集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(  )  【解析】当k=2n(n∈Z)时,2nπ+≤α≤2nπ+,此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样; ================================================ 压缩包内容: 第16讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数(原卷版) .doc 第16讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数(解析版).doc

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  • ID:3-4877532 [精]3.8 弧长及扇形的面积(1)(课件+学案)

    初中数学/浙教版/九年级上册/第3章 圆的基本性质/3.8 弧长及扇形的面积

    中小学教育资源及组卷应用平台 1.已知弧的长为3πcm,弧的半径为6cm.求弧的度数. 解:90° 2.已知圆的半径为cm,圆心角为150°.求这个圆心角所对的弧长. 解: 3.已知圆的半径为R.设弧的度数为n°,当n分别为120,90,60 时,求弦长与弧长的比.所求的三个比中,哪一个更接近1? 解:,,.当n为60时,弦长与弧长的比更接近1. 4.西气东输工程全长四千多千米,其中有成千上万个圆弧形弯管援制作弯管时,需要先按中心线计算“展直长度”再下料.求出图中管道的全长(中心线的长度,精确到1cm). 解:+2×70≈297(cm). 5.如图,弧AB的半径R为30m,弓形的高h为15m. 求的长. 解:由题意可得∠AOB=120°. ∴ 的长l==20π(m). 6.如图,某田径场的最内圈周长为400m,其中两个半圆弯道的内圈共长200m,每条直道长100m,且每条跑道宽1m(共6条跑道). (1)最内圈弯道半径为多少米(精确到0.1m)? (2)最内圈弯道与最外圈弯道的长相差多少米(精确到0.1m)? (3)相邻两圈的长度之间有什么规律? 解: (1)31.8m. (2)2π(31.8+5)-2π×31.8=10π≈31.4(m). (3)相邻两圈的长度相差2πcm. 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 中小学教育资源及组卷应用平台 3.8 弧长及扇形的面积(1) 学习目标 1.经历探索弧长计算公式的过程. 2.掌握弧长计算公式,并会应用公式解决问题. 学习过程 我们知道圆的周长????=????????????, 则(1)1° 圆心角所对的弧长是多少? (2)60° 圆心角所对的弧长是多少? (3)n° 圆心角所对的弧长是多少? 所以,在半径为 R 的圆中,n°圆心角所对的弧长l是? 应用公式: 1.半径为的圆弧所对的圆心角的度数是求这条弧长. 2.直径为的圆弧的度数是,求这条弧长(结果精确到0.1cm). 3.已知半径为圆弧长,求这条弧所对圆心角的度数(精确到) 4.已知弧长为,弧的半径为,求弧的度数. 5.已知圆弧的度数为,弧长为.求圆的半径.() 总结: 【例1】如图,BM是⊙O的直径,四边形ABMN是矩形,D是⊙O上的点,DC⊥AN,与AN交于点C,已知AC=15,⊙O的半径为R=30,求BD的长. 例2 一段圆弧形的跑道,圆弧的半径是,一辆汽车以每时的速度通过弯道,需时,求弯道所对的圆心角的度数?(精确到) 作业题 1.已知弧的长为3πcm,弧的半径为6cm.求弧的度数. 2.已知圆的半径为cm,圆心角为150°.求这个圆心角所对的弧长. 3.已知圆的半径为R.设弧的度数为n°,当n分别为120,90,60 时,求弦长与弧长的比.所求的三个比中,哪一个更接近1? 4.西气东输工程全长四千多千米,其中有成千上万个圆弧形弯管援制作弯管时,需要先按中心线计算“展直长度”再下料.求出图中管道的全长(中心线的长度,精确到1cm). 5.如图,AB的半径R为30m,弓形的高h为15m.求的长. 6.如图,某田径场的最内圈周长为400m,其中两个半圆弯道的内圈共长200m,每条直道长100m,且每条跑道宽1m(共6条跑道). (1)最内圈弯道半径为多少米(精确到0.1m)? (2)最内圈弯道与最外圈弯道的长相差多少米(精确到0.1m)? (3)相邻两圈的长度之间有什么规律? 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 数学浙教版 九年级上 3.8 弧长及扇形 面积(1) 3.8 弧长及扇形面积(1) 教学目标 1.经历探索弧长计算公式的过程. 2.掌握弧长计算公式,并会应用公式解决问题. 重点和难点 本节教学的重点是圆的弧长计算公式. 例1图形较为复杂,牵涉知识较多,并需添加辅助线,思路不易形成,是本节教学的难点. 西气东输工程全长四千多米,其中有成千上万个圆弧形弯管.制作弯管时,需要按中心计算“展直长度”再下件,你知道怎么样计算这些弯管吗? 我们知道圆的周长????=????????????, 则 (1)1° 圆心角所对的弧长是多少? (2)60°圆心角所对的弧长是多少? (3)n° 圆心角所对的弧长是多少? 所以,在半径为 R 的圆中,n°圆心角所对的弧长l是?  1.半径为的圆弧所对的圆心角的度数是求这条弧长. 应用公式: 2.直径为的圆弧的度数是, 求这条弧长(结果精确到0.1cm). 3.已知半径为圆弧长,求这条弧所对圆心角的度数(精确到) 5.已知圆弧的度数为,弧长为.求圆的半径.(取) 4.已知弧长为,弧的半径为,求弧的度数. 在公式中、都常数, 所以只要已知其中两个量,就可知道第三个量. 圆心角,半径,弧长是变量. 弧长的计算公式: 【例1】如图,BM是⊙O的直径,四边形ABMN是矩形,D是⊙O上的点,DC⊥AN,与AN交于点C,已知AC=15,⊙O的半径为R=30,求BD的长. O C B M A N D E 解:如图,连结OD,BD, 则OB=OD=30mm. 延长DC,交OB于点E. 在矩形ANMB中,OB⊥AB, 又∵ CD⊥AN,∴ DE⊥OB, ∴ 四边形ACEB是矩形, ∴ BE=AC=15. ∵ OB=30,∴ OE=BE,∴ BD=OD(根据什么?). ∴ △OBD是等边三角形,∴ ∠DOB=60°, ∴ BD===10π(mm). 答:BD的长为10 π mm. O B M A N D C E 例2 一段圆弧形的跑道,圆弧的半径是,一辆汽车以每时的速度通过弯道,需时,求弯道所对的圆心角的度数?(精确到) 解:汽车在20s内通过的路程为l=×20=(km), 由弧长公式l=, 得圆心角的度数为n===≈9.5(度) 答:弯道所对圆心角的度数约为9.5° 小 结 1.已知弧的长为3πcm,弧的半径为6cm.求弧的度数. 2.已知圆的半径为cm,圆心角为150°.求这个圆心角所对的弧长. 3.已知圆的半径为R.设弧的度数为n°,当n分别为120,90,60 时,求弦长与弧长的比.所求的三个比中,哪一个更接近1? 4.西气东输工程全长四千多千米,其中有成千上万个圆弧形弯管援制作弯管时,需要先按中心线计算“展直长度”再下料.求出图中管道的全长(中心线的长度,精确到1cm). 5.如图,弧AB的半径R为30m,弓形的高h为15m. 求AB的长. 6.如图,某田径场的最内圈周长为400m,其中两个半圆弯道的内圈共长200m,每条直道长100m,且每条跑道宽1m(共6条跑道). (1)最内圈弯道半径为多少米(精确到0.1m)? (2)最内圈弯道与最外圈弯道的长相差多少米(精确到0.1m)? (3)相邻两圈的长度之间有什么规律? 谢谢 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料?一线教师?一线教研员? 欢迎加入21世纪教育网教师合作团队!!月薪过万不是梦!! 详情请看: https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php

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  • ID:3-4875540 [精]3.6 圆内接四边形(课件+学案)

    初中数学/浙教版/九年级上册/第3章 圆的基本性质/3.6 圆内接四边形

    中小学教育资源及组卷应用平台 1.在圆内接四边形ABCD中,已知∠A=50°,∠D-∠B=40°.求∠B,∠C,∠D的度数. 解:∠B=70°,∠C=130°,∠D=110°. 2.已知:如图,以等腰三角形ABC的底边BC为直径的☉O分别交两腰AB,AC于点D,E,连结 DE.求证:DE∥BC. 解:提示:由已知可得∠B=∠C,∠C+∠BDE=180°, ∴∠B+∠BDE=180°, ∴DE∥BC. 3.在圆内接四边形 ABCD 中,ADB与ABC的比为3︰2.求∠B,∠D的度数. 解:∠B=108°,∠D=72°. 4.已知四边形ABCD的内角∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比为3︰1︰2︰5,判断这个四边形是不是圆内接四边形,并说明理由. 解:不是,因为对角不互补. 5.在圆内接四边形ABCD中,AB,BC,CD,DA的度数之比为1︰2︰3︰4.求四边形ABCD各内角的度数. 解:90°,126°,90°,54°. 6.判断命题“圆内接平行四边形一定是矩形”的真假,并给出证明. 解:真命题,证明提示如下:连结AC,BD (如图),由已知得AB∥CD, ∴=, 同理可得=, ∴+=+=180°, ∴∠BAD==×180°=90°, ∴□ABCD是矩形. 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 中小学教育资源及组卷应用平台 3.6 圆内接四边形 学习目标 1.了解圆的内接四边形和四边形的外接圆的概念. 2.理解圆的内接四边形的性质定理: 圆的内接四边形对角互补. 3.会运用圆的内接四边形的性质定理进行有关的论证和计算. 学习过程 合作学习:任意画一个圆,在圆上依次取四个点A,B,C,D,连结AB,BC,CD,DA.用量角器量出四边形ABCD任意一组对角的度数之和,你发现了什么?你的同伴是否有同样的发现? 结论: 圆内接四边形有以下性质定理的证明 1.已知圆内接四边形有一个内角是50°,求它的对角的度数. 2.若⊙O 的内接四边形ABCD满足∠A=∠C,∠B=∠D,则四边形ABCD是怎样的特殊平行四边形? 例1 如图,AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,与△ABC的外接圆交于点D.求证:DB=DC. 例2 如果要把横截面直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材,并使截面尽可能地大,应怎样锯?如果这根原木长15m, 问:锯出的木材的体积为多少立方米(树皮等损耗略去不计)? 1.如图,AB是半圆O的直径,∠BAC=40°,求∠D的大小. 2.已知圆内接四边形ABCD中,∠A︰∠B︰∠C=2︰3︰7.求∠D的大小. 3.任意画一个矩形,再画出它的外接圆. 作业题 1.在圆内接四边形ABCD中,已知∠A=50°,∠D-∠B=40°.求∠B,∠C,∠D的度数. 2.已知:如图,以等腰三角形ABC的底边BC为直径的☉O分别交两腰AB,AC于点D,E,连结 DE.求证:DE∥BC. 3.在圆内接四边形 ABCD 中,ADB与ABC的比为3︰2.求∠B,∠D的度数. 4.已知四边形ABCD的内角∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比为3︰1︰2︰5,判断这个四边形是不是圆内接四边形,并说明理由. 5.在圆内接四边形ABCD中,AB,BC,CD,DA的度数之比为1︰2︰3︰4.求四边形ABCD各内角的度数. 6.判断命题“圆内接平行四边形一定是矩形”的真假,并给出证明. 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 数学浙教版 九年级上 3.6 圆内接四边形 3.6 圆内接四边形 教学目标 1. 了解圆的内接四边形和四边形的外接圆的概念. 2. 理解圆的内接四边形的性质定理: 圆的内接四边形对角互补. 3. 会运用圆的内接四边形的性质定理进行有关的论证和计算. 重点与难点 1. 本节的教学重点是圆内接四边形的性质定理. 2. 例1图形比较复杂, 牵涉定理较多,是本节的教学难点. 怎样把圆柱形原木锯成截面为正方形的木材,并使截面正方形的面积尽可能地大? 合作学习 任意画一个圆,在圆上依次取四个点A,B,C,D,连结AB,BC,CD,DA.用量角器量出四边形ABCD任意一组对角的度数之和,你发现了什么?你的同伴是否有同样的发现? 圆内接四边形有以下性质定理:圆内接四边形的对角互补. 已知:如图,四边形ABCD内接于⊙O. 求证:∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°. 证明:把∠A所对的弧记做BCD,∠C所对的弧叫做BAD, 则∠A BCD,∠C= BAD. ∵ BCD与BAD的度数之和是360°, ∴ ∠A+∠C BCD+∠C= BAD =(BCD+BAD)=×360°=180°. 同理可得∠B+∠D=180°. 1.已知圆内接四边形有一个内角是50°,求它的对角的度数. 答案:130°. 2.若☉O 的内接四边形ABCD满足∠A=∠C, ∠B=∠D,则四边形ABCD是怎样的特殊平行四边形? 答案:矩形. 例1 如图,AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,与△ABC的外接圆交于点D.求证:DB=DC. 证明 ∵AD是∠EAC的平分线, ∴∠DAC=∠DAE. ∵四边形ABCD内接于圆, ∴∠BAD+∠DCB=180° (圆内接四边形的对角互补). ∴∠DCB=∠DAE. 而∠DAC=∠DBC (在同圆中,同弧所对的圆周角相等), ∴∠DCB=∠DBC, ∴DB=DC. 例2 如果要把横截面直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材,并使截面尽可能地大,应怎样锯?如果这根原木长15m, 问:锯出的木材的体积为多少立方米(树皮等损耗略去不计)? 解 设原木的横截面为圆O.要使锯出的木材的横截面正方形ABCD尽可能地大,正方形ABCD应内接于圆O,由正方形ABCD四个内角都是直角,得它的两条对角线是圆O的两条直径,且这两条直径相互垂直,所以只 要在圆O内作两条互相垂直的直径AC和BD,就可以做出圆O的内接正方形ABCD. 当原木的直径为30cm时,AO=BO=15cm, 正方形ABCD的面积为4××AO×BO=4××15×15 =450(cm2)=4.50×10-2(m2). 所以木材的体积为4.50×10-2×15=0.675(m3). 答:如图,沿正方形ABCD的四条边,就可以锯出符合要求的截面为正方形的木材.如果这根原木长15m,那么锯出木材的体积为0.675m2. 1 ∠D=30°. 1.如图,AB是半圆O的直径,∠BAC=40°,求∠D的大小. 1 ∠D=120°. 2.已知圆内接四边形ABCD中,∠A:∠B:∠C=2:3:7.求∠D的大小. 1 3.任意画一个矩形,再画出它的外接圆. 小结 说一说你今天学习了哪些知识 1.在圆内接四边形ABCD中,已知∠A=50°,∠D-∠B=40°.求∠B,∠C,∠D的度数. 2.已知:如图,以等腰三角形ABC的底边BC为直径的☉O分别交两腰AB,AC于点D,E,连结 DE.求证:DE∥BC. O E D C B A 3.在圆内接四边形 ABCD 中,ADB与ABC的比为3︰2.求∠B,∠D的度数. 4.已知四边形ABCD的内角∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比为3︰1︰2︰5,判断这个四边形是不是圆内接四边形,并说明理由. 5.在圆内接四边形ABCD中,AB,BC,CD,DA的度数之比为1︰2︰3︰4.求四边形ABCD各内角的度数. 6.判断命题“圆内接平行四边形一定是矩形”的真假,并给出证明. 谢谢 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料?一线教师?一线教研员? 欢迎加入21世纪教育网教师合作团队!!月薪过万不是梦!! 详情请看: https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php

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  • ID:3-4873439 [精]高考一轮复习学案 第22讲 正弦定理、余弦定理应用举例(原卷版+解析版)

    高中数学/高考专区/一轮复习


    第22讲 正弦定理、余弦定理应用举例
    (原卷版)
    
    考点
    内容解读
    要求
    常考题型
    
    1. 仰角、俯角、方位角、方向角、坡度
    了解仰角、俯角、方位角、方向角的含义,体会平面方向关系;能合理应用仰角、俯角、方位角、方向角、坡度等概念建立三角函数模型。
    Ⅰ
    选择题
    
    2. 正弦定理
    理解正弦定理含义,能利用公式解决距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等。
    Ⅱ
    选择题、应用题
    
    3. 余弦定理
    理解余弦弦定理含义,能利用公式解决距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等。
    Ⅱ
    选择题、应用题
    
    
    
    1.仰角、俯角、方位角、方向角、坡度
    (1)仰角和俯角:在视线和水平线所成的角中,视线在水平线 的角叫仰角,在水平线 的角叫俯角。
    (2)方位角:指从正北方向 转到目标方向线的水平角。
    (3)方向角:相对于某 的 ,如南偏东30°,北偏西45°,西偏南60°,东北方向等.
    (4)坡度: 与 所成的二面角的度数.
    2.正弦定理
    在任意△ABC中,角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,三角形 的半径为R,直径为D。则有: 
    一个三角形中,各边和所对角的 之比相等,且该 等于该三角形 的直径(半径的2倍)长度。?
    余弦定理
    对于任意三角形,任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍积,若三边为a,b,c 三角为A(??),B(??),C(??),则如下图所示,在△ABC中,余弦定理表达式1 : 
    
    同理,也可描述为:  
    勾股定理是余弦定理的特例,当??为?时,??
    余弦定理可简化为??,即勾股定理。
    余弦定理表达式2:  
    
    余弦定理表达式3(角元形式): 
     
    4.解三角形应用题的两种情形
    (1)实际问题经抽象概括后, 与 全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解.
    ================================================
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  • ID:3-4873413 [精]高考一轮复习学案 第21讲 正弦定理和余弦定理(原卷版+解析版)

    高中数学/高考专区/一轮复习


    第21讲 正弦定理和余弦定理(原卷版)
    
    考点
    内容解读
    要求
    常考题型
    
    1.正弦定理和余弦定理的推导方法
    掌握正弦定理和余弦定理的推导方法
    Ⅰ
    选择题,填空题,大题
    
    2.正、余定理的应用
    通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换,解题过程中做到正余弦定理的优化选择
    Ⅱ
    选择题,填空题,大题
    
    
    
    1.正弦定理
    其中R是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形为:
    (1)a∶b∶c=
    (2)a= ,b= ,c= ;
    (3)sin A= ,sin B= ,sin C= 等形式,以解决不同的三角形问题.
    2.三角形面积公式
    S△ABC= = = = (r是三角形内切圆的半径),并可由此计算R、r.
    3.余弦定理:
    .
    余弦定理可以变形为:
    cos A= ,cos B= ,cos C= .
    4.在解三角形时,正弦定理可解决两类问题:
    (1)已知两角及任一边,求其它边或角;
    (2)已知两边及一边的对角,求其它边或角.
    5.余弦定理可解决两类问题:
    已知两边及夹角或两边及一边对角的问题;(2)已知三边问题.
    已知两边和其中一边的对角,解三角形时,注意解的情况.如已知a,b,A,则
    A为锐角
    A为钝角或直角
    
    图形
    
    
    
    
    
    
    关系

    
    
    
    
    
    
    
    解的
    个数
    
    
    
    
    
    ================================================
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  • ID:3-4873361 [精]高考一轮复习学案 第20讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(原卷版+解析版)

    高中数学/高考专区/一轮复习


    第20讲 两角和与差的正弦、余弦
    和正切公式(原卷版)
    
    考点
    内容解读
    要求
    常考题型
    
    1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
    能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、正切公式和两角和的余弦公式.
    Ⅰ
    选择题,填空题,大题
    
    2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特征
    熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特征
    Ⅱ
    选择题,填空题,大题
    
    3.化简和求值
    能灵活运用公式进行化简和求值.
    Ⅱ
    选择题,填空题,大题
    
    
    

    1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
    (1)C(α-β):cos(α-β)=
    (2)C(α+β):cos(α+β)=
    (3)S(α+β):sin(α+β)=
    (4)S(α-β):sin(α-β)=
    (5)T(α+β):tan(α+β)=
    (6)T(α-β):tan(α-β)=
    2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
    (1)S2α:sin 2α=
    (2)C2α:cos 2α=
    (3)T2α:tan 2α=
    3.常用的公式变形
    (1)tan α±tan β=
    (2)cos2α= ,sin2α= ;
    (3)1+sin 2α=
    1-sin 2α=
    sin α±cos α=
    4.两角和与差的三角函数公式的理解
    (1)正弦公式概括为“正余,余正符号同”.“符号同”指的是前面是两角和,则后面中间为“+”号;前面是两角差,则后面中间为“-”号.
    ================================================
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    第20讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(原卷版).doc
    第20讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(解析版).doc

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