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期中复习·易错攻略篇【十大易错点】
【易错点01】圆柱与圆锥的旋转变化
【易错点拨】不同图形的旋转变化得到的圆柱与锥是不同，未能掌握不同的变化状态
1．有一个长6cm，宽3cm的长方形小旗，如果以宽为轴旋转一周，它的体积是( )cm3。
【答案】339.12
【分析】一个长6cm，宽3cm的长方形小旗，如果以宽为轴旋转一周，旋转后的图形是一个圆柱，圆柱的底面半径是原长方形小旗的长6cm，高是3cm，根据圆柱的体积＝h，据此解答。
【详解】3.14××3
＝3.14×36×3
＝113.04×3
＝339.12（）
所以它的体积是339.12。
2．直角三角形的两条直角边分别是4厘米和3厘米，以其中的一条直角边为轴，旋转一周得到的立体图形是( )，所得的立体图形的体积最大是( )立方厘米。
【答案】 圆锥 50.24
【分析】直角三角形绕一条直角边旋转一周形成的图形是圆锥，根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，分别求出以直角边4厘米为旋转轴时，那么高是4厘米，则底面半径是3厘米的圆锥的体积；以直角边3厘米为旋转轴时，高是3厘米，底面半径是4厘米的圆锥的体积，进而解答。
【详解】直角三角形的两条直角边分别是4厘米和3厘米，以其中的一条直角边为轴，旋转一周得到的立体图形是圆锥。
以直角边4厘米为旋转轴时，高是4厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积：
3.14×32×4×
＝3.14×9×4×
＝37.68（立方厘米）
以直角边3厘米为旋转轴时，高是3厘米，底面半径是4厘米的圆锥的体积：
3.14×42×3×
＝3.14×16×3×
＝50.24（立方厘米）
直角三角形的两条直角边分别是4厘米和3厘米，以其中的一条直角边为轴，旋转一周得到的立体图形是圆锥，所得的立体图形的体积最大是50.24立方厘米。
【易错点02】切拼变化情况
【易错点拨】不同的切拼方法，表面积变化情况不同，未能掌握该变化情况
1．把2米长的圆柱形木棒锯成三段，表面积增加了40平方分米，原来木棒的体积是( )立方分米。
【答案】200
【分析】把圆柱形木棒锯成三段，需要锯2次，表面积增加了4个截面面积，增加的表面积÷4＝截面面积，根据圆柱体积＝截面面积×长，列式计算即可。注意统一单位。
【详解】2米＝20分米
40÷4×20＝200（立方分米）
原来木棒的体积是200立方分米。
2．小思把一块圆柱形的橡皮泥，切成三块（如图），表面积增加了50.24平方厘米；切成两块（如图②），表面积增加了48平方厘米，这块橡皮泥的体积是( )立方厘米。
【答案】75.36
【分析】把一块圆柱形的橡皮泥，切成三块，表面积增加了50.24平方厘米，那么增加的表面积是4个底面积之和；用增加的表面积除以4，即可求出圆柱的底面积；然后根据S底＝πr2，得出圆柱的底面半径；
把这块圆柱形的橡皮泥沿底面直径劈成两半，切成两块，表面积增加了48平方厘米，那么增加的表面积是2个以底面直径和高分别为长、宽的长方形的面积，用增加的表面积除以2，求出一个截面的面积，再除以直径，即可求出圆柱的高；
最后根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出这块橡皮泥的体积。
【详解】圆柱的底面积：50.24÷4＝12.56（平方厘米）
底面半径的平方：12.56÷3.14＝4（平方厘米）
因为4＝2×2，所以圆柱的底面半径是2厘米。
圆柱的底面直径：2×2＝4（厘米）
圆柱的高：48÷2÷4＝6（厘米）
圆柱的体积：12.56×6＝75.36（立方厘米）
这块橡皮泥的体积是75.36立方厘米。
【点睛】掌握圆柱切割的特点，明确不同的切割方式，增加的表面积不相同，找出表面积增加的是哪些面的面积，以此为突破口，利用公式列式计算。
3．李师傅将一个底面半径为2分米、高为6分米的圆锥从顶点沿着高切成两半（如图），切开后的切面呈现( )形，这个切面的底为( )分米，高为( )分米。
【答案】 三角 4 6
【分析】根据题意，李师傅将一个圆锥从顶点沿着高切成两半，切面是一个以圆锥的底面直径为底，以圆锥的高为高的三角形；据此解答。
【详解】底面直径：2×2＝4（分米）
切开后的切面呈现（三角）形，这个切面的底为（4）分米，高为（6）分米。
【易错点03】圆柱与圆锥的关系
【易错点拨】未掌握等底等高条件下圆柱与圆锥的变化关系
1．一个高30厘米的圆锥形容器里盛满水，把水全部倒入与它底面积相等的圆柱形容器中（水未溢出），水面高( )厘米。
A．10 B．30 C．90
【答案】A
【分析】假设圆锥的底面积是1平方厘米，根据，求得的圆锥体积即圆柱里水的体积，再根据的逆运算，用水的体积除以底面积，即可得解。
【详解】假设圆锥的底面积是1平方厘米。
（厘米）
一个高30厘米的圆锥形容器里盛满水，把水全部倒入与它底面积相等的圆柱形容器中（水未溢出），水面高10厘米。
故答案为：A
2．有等底等高的圆柱形容器和圆锥形容器各一个。圆柱形容器内装满水后，再倒入圆锥形容器内。当水全部倒完时，圆锥形容器共溢出36mL的水，这时圆锥形容器内有( )mL水。
A．12 B．18 C．36
【答案】B
【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥的3倍，所以，当圆柱里的水倒入圆锥后溢出的水是圆锥体积的（3－1）倍，据此列式：36÷（3－1），求出圆锥形容器里的水即可。
【详解】36÷（3－1）
＝36÷2
＝18（mL）
这时圆锥形容器内有18mL水。
故答案为：B
3．如图的圆柱与下面左边圆锥体积相等的是( )。
A．A B．B C．C D．D
【答案】C
【分析】根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，圆柱的高h柱＝V÷S，圆锥的高h锥＝3V÷S，所以当圆柱和圆锥等体积等底面积时，圆锥的高是圆柱高的3倍，或者说，圆柱的高是圆锥高的。
【详解】当圆柱和圆锥的底面直径相等，说明它们的底面积相等；
圆锥的底面直径是9、高是12，与圆锥体积相等的圆柱的底面直径是9，高是12÷3＝4。
故答案为：C
【易错点04】倒水过程中体积不变
【易错点拨】未理解等积变形的实质
1．一个装满水的矿泉水瓶，内直径是8厘米，小明喝了一些，水的高度还有12厘米，把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分高10厘米，小明喝了多少毫升水？
【答案】502.4毫升
【分析】当瓶内水的高度是12厘米时，此时水的体积与水瓶倒置放平时，瓶内有水部分的体积相等，根据圆柱的体积＝底面积×高，计算出此时无水部分的体积，无水部分水的体积也就是小明喝了的水，据此解答。
【详解】3.14×（8÷2）2×10
＝3.14×16×10
＝50.24×10
＝502.4（立方厘米）
502.4立方厘米＝502.4毫升
答：小明喝了502.4毫升。
2．爸爸买了一瓶葡萄酒，喝了一些后，芸芸量了量剩下葡萄酒的高度是7厘米，她把瓶盖拧紧倒置放平，又量得无酒部分的高度是18厘米，已知葡萄酒瓶的内直径是8厘米。芸芸算出这个葡萄酒瓶的容积是多少毫升？
【答案】1256毫升
【分析】无论是正放还是倒放，瓶子里酒的体积不变，因此瓶子的容积相当于底面直径是8厘米，高是（7＋18）厘米的圆柱的体积，根据圆柱的体积＝底面积×高，代入相应数值计算，据此解答。
【详解】
（立方厘米）
1256立方厘米＝1256毫升
答：这个葡萄酒瓶的容积是1256毫升。
【易错点05】组合立体图形的表面积计算
【易错点拨】未去掉重叠部分的面积
1．求下面组合图形的表面积。
【答案】901.44
【分析】观察图形可知，组合图形表面积＝圆柱侧面积＋正方体表面积，根据圆柱侧面积＝底面周长×高，正方体表面积＝棱长×棱长×6，据此代入数据进行计算即可。
【详解】表面积：
（）
所以组合图形表面积是901.44。
2．求圆柱的表面积。（单位：厘米）
【答案】471平方厘米
【分析】在大圆柱体上面放一个小圆柱体，则表面积比大圆柱体多了一个小圆柱体的侧面积，根据圆柱的侧面积公式：S＝πdh，圆柱的表面积公式：S＝2πr2＋πdh，用3.14×5×4＋3.14×10×8＋3.14×（10÷2）2×2即可求出这个立体图形的表面积。
【详解】3.14×5×4＋3.14×10×8＋3.14×（10÷2）2×2
＝3.14×5×4＋3.14×10×8＋3.14×52×2
＝3.14×5×4＋3.14×10×8＋3.14×25×2
＝62.8＋251.2＋157
＝471（平方厘米）
这个组合图形的表面积是471平方厘米。
【易错点06】排水法的综合应用问题
【易错点拨】未能理解排水法求体积的方式
1．拓展课上，徐老师和四名同学测量一些螺丝钉的体积，合作进行如下操作：
（1）小潜准备了一个圆柱体玻璃杯，从里面测得底面直径是6厘米，高是10厘米。
（2）小阳往玻璃杯里注入一些水，水的高度与水面离杯口的距离之比是1∶1.
（3）小龙把30枚螺丝钉放入水中（螺丝钉完全浸没在水中）。
（4）小霞测量此时水的高度与水面离杯口的距离之比是3∶2.
请根据以上信息，计算出一枚螺丝钉的体积。
【答案】0.942立方厘米
【分析】根据题意，通过两次距离之比，分别求出放螺丝钉前后的水的高度，结合圆柱的体积公式：，用3.14乘上半径的平方再乘上两次水的高度之差，可算出30枚螺丝钉的体积，再除以30即可得出答案。
【详解】因为高是10cm，所以放螺丝钉之前水的高度：
10×
＝10×
＝5（厘米）
放螺丝钉之后水的高度：
10×
＝10×
＝6（厘米）
3.14××（6－5）
＝3.14××1
＝3.14×9×1
＝28.26×1
＝28.26（立方厘米）
28.26÷30＝0.942（立方厘米）
答：一枚螺丝钉的体积是0.942立方厘米。
【点睛】熟悉不规则物体体积的求法，且能够熟练运用比与分数的关系。
2．兴趣小组的四名同学在老师带领下测量了一些螺丝钉的体积，他们合作进行了如下的测量和操作：
A．亮亮准备了一个圆柱形玻璃杯，从里面测量得到底面半径是2厘米，高是12厘米。
B．明明往玻璃杯里倒入了一些水，水的高度与水面离杯口的距离比是1∶1。
C．强强把60枚同样的螺丝钉放入杯中（螺丝钉完全浸没在水中）。
D．军军测量了此时水的高度与水面离杯口的距离比是3∶1。
根据以上信息，一枚螺丝钉的体积是多少立方厘米？
【答案】0.628立方厘米
【分析】水面上升的体积就是60枚螺丝钉的体积，根据水的高度与水面离杯口的距离比是1∶1，可得水的高度是玻璃杯高的，根据放入螺丝钉后水的高度与水面离杯口的距离比是3∶1，可得此时水的高度是玻璃杯高的，根据求一个数的几分之几是多少用乘法，分别计算出原来水的高度和放入螺丝钉后水的高度，根据圆柱体积公式，60枚螺丝钉的体积＝圆柱底面积×水面上升的高度，60枚螺丝钉的体积÷60＝一枚螺丝钉的体积，据此列式解答。
【详解】3.14×22×÷60
＝3.14×4×÷60
＝12.56×÷60
＝12.56×3÷60
＝0.628（立方厘米）
答：一枚螺丝钉的体积是0.628立方厘米。
【点睛】关键是掌握按比分配问题的解题方法，先求出放入螺丝钉前后水的高度，利用转化思想，将不规则物体的体积转化为圆柱进行计算。
【易错点07】比例式的变换
【易错点拨】未掌握比例式的变换方法
1．把这个等式改写成两个不同的比例：( )，( )。
【答案】 2∶＝3∶0.75 ∶2＝0.75∶3
【分析】比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积，根据比例的基本性质逆运算，即可解答（答案不唯一）。
【详解】2×0.75＝×3
2∶＝3∶0.75
∶2＝0.75∶3
把2×0.75＝×3这个等式改写成两个不同的比例：2∶＝3∶0.75，∶2＝0.75∶3。
2．如果（、均不等于0），那么( )，比少( )%。
【答案】 5∶2 60
【分析】把看作0.4x＝1×y，根据比例的性质求出x与y的比，再化简；根据求一个数比另一个数少百分之几，用两数之差除以另一个数，求出比少百分之几。
【详解】把看作0.4x＝1×y
所以，x∶y＝1∶0.4＝5∶2
假设x＝5，y＝2
（5－2）÷5
＝3÷5
＝0.6
＝60%
如果（、均不等于0），那么5∶2，比少60%。
【易错点08】比例关系的判断
【易错点拨】未理解正比例和反比例关系，无法抓住判断比例关系的关键
1．选择填写“成正、成反或不成”。
(1)三角形的高一定，它的底和面积( )比例；
(2)圆的面积一定，它的半径和圆周率( )比例；
(3)平行四边形的面积一定，它的底和高( )比例；
(4)同学的年龄一定，他们的身高和体重( )比例。
【答案】(1)成正
(2)不成
(3)成反
(4)不成
【分析】两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；如果xy＝k（一定），x和y成反比例关系；除此之外不成比例关系。
【详解】（1）三角形的面积÷底＝高÷2，三角形的高一定，它的底和面积成正比例；
（2）圆周率是个固定值，圆的面积一定，它的半径和圆周率不成比例；
（3）底×高＝平行四边形的面积，平行四边形的面积一定，它的底和高成反比例；
（4）同学的年龄一定，他们的身高和体重不成比例。
2．如果x＝5y（x、y都不为0），那么x和y成( )比例；如果xy＝5，那么x和y成( )比例。
【答案】 正 反
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
【详解】因为x＝5y，所以x∶y＝5（一定），x和y成正比例。
xy＝5（一定），x和y成反比例。
如果x＝5y（x、y都不为0），那么x和y成正比例；如果xy＝5，那么x和y成反比例。
【易错点09】图形的变化情况
【易错点拨】未掌握图形按比例放大或缩小时，周长和面积的变化情况
1．把一个边长为10cm的正方形的边长按照1∶5缩小，缩小后的正方形的周长是( )cm。
【答案】8
【分析】按照1∶5缩小，即缩小后的边长为原来边长的，根据分数乘法的意义，用原正方形的边长乘求出缩小后正方形的边长，再根据正方形的周长＝边长×4解答。
【详解】10××4
＝2×4
＝8（cm）
所以缩小后的正方形的周长是8cm。
2．一个长4厘米，宽是2厘米的长方形按2∶1的比放大，放大后得到长方形面积是( )平方厘米。
【答案】32
【分析】先根据给定的比例求出放大后的长和宽，按2∶1的比放大，也就是放大后的长方形的长和宽分别是原来长方形的长、宽的2倍，用原来长方形的长、宽分别乘2，求出放大后的长和宽，再利用长方形面积＝长×宽算出放大后的面积。
【详解】（4×2）×（2×2）
＝8×4
＝32（平方厘米）
所以放大后得到长方形面积是32平方厘米。
【易错点10】比例尺的生活意义
【易错点拨】未能理解比例尺的意义，无法判断生活实际中的比例尺
1．工程师要研究一种精密零件，零件的实际长度为4mm，而画在图纸上是4dm，这幅图的比例尺是( )。
A．1∶1 B．100∶1 C．1∶100
【答案】B
【分析】比例尺＝图上距离：实际距离，据此代入数据解答即可，注意要统一单位。
【详解】4dm∶4mm
＝400mm∶4mm
＝400∶4
＝（400÷4）∶（4÷4）
＝100∶1
这幅图的比例尺是100∶1。
故答案为：B
2．绘制一个图形用下面( )比例尺画出的图形最大。
A．1∶20 B．1∶200 C．2∶1
【答案】C
【分析】根据比例尺＝图上距离∶实际距离，比例尺分为放大比例尺与缩小比例尺，比值大于1的比例尺叫放大比例尺，比值小于1的比例尺叫缩小比例尺；要使画出的图形最大，那么要选择放大比例尺画图；据此解答。
【详解】A．1∶20是缩小比例尺；
B．1∶200是缩小比例尺；
C．2∶1是放大比例尺。
所以，用2∶1这个比例尺画出的图形最大。
故答案为：C
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