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2024-2025学年高一数学人教A版（2019）下学期期末考试模拟卷C卷
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．某班有男生32人,女生24人,现在要用分层随机抽样的方法从该班中抽取14人参加跳绳比赛,则女生被抽取的人数为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
2．若，则( )
A. B. C. D.
3．已知向量，，满足，，，，则( )
A.1 B. C. D.2
4．如图，在平行六面体中，底面ABCD是正方形，，M是CD中点，，则直线与BM所成角的正弦值为( )
A. B. C.1 D.
5．的虚部为( )
A.9 B.-7 C. D.
6．若两个非零向量，的夹角为，且满足，，则( )
A. B. C. D.
7．已知向量，满足，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8．已知复数和，满足，则( )
A. B.3 C. D.1
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法中,正确的是( )
A.一组数据9,8,13,10,12,14的第70百分位数为13
B.若样本数据,,的方差为2,那么数据,,的方差为6
C.已知随机事件A和B互斥,且,,则
D.某一组样本数据为,,,,,,,,,,则样本数据落在区间内的频率为
10．树人中学2006班某科研小组，持续跟踪调查了他们班全体同学一学期中16周锻炼身体的时长，经过整理得到男生、女生各周锻炼身体的平均时长（单位：h）的数据如下：
男生：6.3，7.4，7.6，8.1，8.2，8.2，8.5，8.6，8.6，8.6，8.6，9.0，9.2，9.3，9.8，10.1；
女生：5.1，5.6，6.0，6.3，6.5，6.8，7.2，7.3，7.5，7.7，8.1，8.2，8.4，8.6，9.2，9.4.
以下判断中正确的是( )
A.女生每周锻炼身体的平均时长的平均值等于8
B.男生每周锻炼身体的平均时长的分位数是9.2
C.男生每周锻炼身体的平均时长大于的概率的估计值为0.3125
D.与男生相比，女生每周锻炼身体的平均时长的波动性比较大
11．2024年旅游市场强劲复苏,7,8月的暑期是旅游高峰期．甲、乙、丙、丁四名旅游爱好者计划2024年暑期在北京、上海、广州三个城市中随机选择一个去旅游,每个城市至少有一人选择．事件M为“甲选择北京”,事件N为“乙选择上海”,则下列结论正确的是( )
A.事件M与N互斥 B.
C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．若复数是纯虚数，则实数_________.
13．如图，在菱形ABCD中，，，则__________.
14．如图，四边形和是两个相同的矩形，面积均为300，图中阴影部分也是四个相同的矩形，现将阴影部分分别沿，，，折起，得到一个无盖长方体，则该长方体体积的最大值为__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图，已知四边形是直角梯形，，，，是等边三角形，平面平面，M为的中点，F为的中点，.
(1)证明：平面平面；
(2)P，Q分别为棱，上的动点（不包含端点），当时，试判断二面角和二面角的大小是否相等，并说明理由.
16．如图，在三棱柱ABCDEF中，，，，，.
(1)证明：平面平面ADEF.
(2)求二面角的正弦值.
17．设，是椭圆的左 右焦点，点P，Q为椭圆C上的两点，且满足，，则椭圆C的离心率为___________.
18．在中，.
(1)求；
(2)若，边上中线的长为2，求的面积.
19．在三棱锥,底面是边长为4的正三角形,平面平面,且．
（1）若,求证：平面平面;
（2）若底面,垂足为O,,求平面与平面夹角的余弦值．
参考答案
1．答案：B
解析：女生被抽取的人数为.
故选：B.
2．答案：A
解析：由题，，
则.
故选：A.
3．答案：C
解析：由，
可知，且，
则，，又，
则，则，
则，
则
故选：C.
4．答案：C
解析：设，
，
由，
所以
，
因为，
所以
，
，
所以，
直线与BM所成角的正弦值为1.
故选：C
5．答案：B
解析：,
所以的虚部为-7，
故选：B
6．答案：A
解析：因为，
所以，
所以，
所以，
所以.
故选:A.
7．答案：A
解析：由题意，，
所以在上的投影向量为，
故选：A.
8．答案：C
解析：因为复数和，
满足，
则，
所以，所以.
故选：C.
9．答案：ACD
解析：A选项,数据从小到大排列为8,9,10,12,13,14,由,
故第5个数作为第70百分位数,即13,A正确;
B选项,样本数据,,,的方差为2,
则数据,,,的方差为,所以B选项错;
C选项,因为A和B互斥,则,
可得,所以,C正确;
D选项,样本数据落在区间有120,122,116,120有4个,
所以样本数据落在区间内的频率为,故选D;
故选：ACD.
10．答案：BD
解析：因为，所以女生每周锻炼身体的平均时长的平均值等于7.36875，故A错误.因为，所以男生每周锻炼身体的平均时长的分位数是将样本数据按从小到大排序后的第13个数据，即9.2，故B正确.男生每周锻炼身体的平均时长大于的有4周，所以所求概率的估计值为，故C错误.男生每周锻炼身体的平均时长分布在区间内的有8个，女生有4个；男生每周锻炼身体的平均时长分布在区间内的有14个，女生有10个；男生每周锻炼身体的平均时长的极差为3.8，女生为4.3，据此可知，与男生相比，女生每周锻炼身体的平均时长的波动性比较大（也可通过计算方差，标准差判断），故D正确.
11．答案：BC
解析：对于A,甲选择北京与乙选择上海可能会同时发生,即事件M与N会同时发生,不互斥,A错误;
对于B,由题意知共有事件个数,事件M与N的个数均为个,
故,,
则,,即,B正确,
对于C,,C正确;
对于D,,D错误,
故选：BC.
12．答案：
解析：依题意，
，
而复数是纯虚数，
则且，解得.
故答案为：
13．答案：
解析：如图所示，设菱形对角线交点为O，.
因为，所以，
所以为等边三角形.
又，，
所以.
在中，，
所以.
故答案为:
14．答案：1000
解析：由题意设，
因为面积为300，所以，
根据题意有：，
所以，
则长方体的体积为
，
，
令，有，
所以时，，函数在上单调递增，
时，，函数在上单调递减，
所以当时，V取得最大值，
最大值为.
故答案为：1000
15．答案：(1)证明见解析；
(2)二面角和二面角大小相等，理由见解析
解析：（1）因为是等边三角形，M为的中点，，
所以，在底面内，过点B作交于点H，如图，
因为四边形是直角梯形，所以，
四边形为矩形，则，
因为，所以，，所以，
因为F为的中点，所以，，
在中，，所以，
所以，即，
因为是等边三角形，M为的中点，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，，
又，平面，平面，
平面，平面平面.
（2）二面角和二面角的大小相等，证明如下：
法一：以M为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
设，则，
，，
，
易得平面和平面的法向量均为，
设平面的法向量，
则，令，则，
设平面的法向量，
则，令，则，
由已知易得二面角和二面角均为锐角，
设二面角和二面角的平面角分别为，，
则，，，即.
法二：过P作，交于R，过Q作，
交于T，连接，，
则，，，平面，
同理可证平面，
平面平面，平面平面，
，且平面，
平面，，，，均与垂直，
二面角的平面角为，
二面角的平面角为，
，，，，
，与全等，，
即二面角和二面角大小相等.
16．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：延长DA，作，
垂足为O，连接FO，因为，
所以.
在中，，
因为，
所以.
在中，，
因为，，平面ADEF，
所以平面ADEF.
因为平面ABCD，
所以平面平面ADEF
(2)以O为坐标原点，OB，OD，OF所在直线分别为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
，，
设平面BCE的法向量为，
则取.
设平面ECD的法向量为，
则
取.
,
所以，
二面角的正弦值为.
17．答案：
解析：延长交椭圆于点M，连接，
因为，故，
由对称性可知，，
因为，所以，
设，则，
，
故，
在中，，
即，
即，解得，
故，
由余弦定理得，
即，
解得.
故答案为：
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为，由正弦定理得
所以，
即，
又因为，
所以，
所以，所以.
(2)
设中点为D，，，
则，
即，
即，
所以，
所以.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）取AC的中点H,则,连接HP、HB,由,得,
又平面平面,平面PAC,所以平面ABC,
由,平面ABC,得,,
以H为原点,方向为x轴,方向为y轴,方向为z轴,建立空间坐标系,
由题意可得,,
则,,,,,
有,,
设平面PAB和平面PBC的一个法向量分别为,,
则,
令,,得,,,,
所以,有,
即,故平面平面．
（2）由（1）知,若,则,,,,
有,,,,
设平面、平面一个法向量分别为,,
则,,
令,,得,,,
所以,,
设平面与平面夹角为,得,
所以平面与平面夹角的余弦值为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2024-2025学年高一数学人教A版（2019）下学期期末考试模拟卷C卷
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
2.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．某班有男生32人,女生24人,现在要用分层随机抽样的方法从该班中抽取14人参加跳绳比赛,则女生被抽取的人数为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
2．若，则( )
A. B. C. D.
3．已知向量，，满足，，，，则( )
A.1 B. C. D.2
4．如图，在平行六面体中，底面ABCD是正方形，，M是CD中点，，则直线与BM所成角的正弦值为( )
A. B. C.1 D.
5．的虚部为( )
A.9 B.-7 C. D.
6．若两个非零向量，的夹角为，且满足，，则( )
A. B. C. D.
7．已知向量，满足，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8．已知复数和，满足，则( )
A. B.3 C. D.1
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法中,正确的是( )
A.一组数据9,8,13,10,12,14的第70百分位数为13
B.若样本数据,,的方差为2,那么数据,,的方差为6
C.已知随机事件A和B互斥,且,,则
D.某一组样本数据为,,,,,,,,,,则样本数据落在区间内的频率为
10．树人中学2006班某科研小组，持续跟踪调查了他们班全体同学一学期中16周锻炼身体的时长，经过整理得到男生、女生各周锻炼身体的平均时长（单位：h）的数据如下：
男生：6.3，7.4，7.6，8.1，8.2，8.2，8.5，8.6，8.6，8.6，8.6，9.0，9.2，9.3，9.8，10.1；
女生：5.1，5.6，6.0，6.3，6.5，6.8，7.2，7.3，7.5，7.7，8.1，8.2，8.4，8.6，9.2，9.4.
以下判断中正确的是( )
A.女生每周锻炼身体的平均时长的平均值等于8
B.男生每周锻炼身体的平均时长的分位数是9.2
C.男生每周锻炼身体的平均时长大于的概率的估计值为0.3125
D.与男生相比，女生每周锻炼身体的平均时长的波动性比较大
11．2024年旅游市场强劲复苏,7,8月的暑期是旅游高峰期．甲、乙、丙、丁四名旅游爱好者计划2024年暑期在北京、上海、广州三个城市中随机选择一个去旅游,每个城市至少有一人选择．事件M为“甲选择北京”,事件N为“乙选择上海”,则下列结论正确的是( )
A.事件M与N互斥 B.
C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．若复数是纯虚数，则实数_________.
13．如图，在菱形ABCD中，，，则__________.
14．如图，四边形和是两个相同的矩形，面积均为300，图中阴影部分也是四个相同的矩形，现将阴影部分分别沿，，，折起，得到一个无盖长方体，则该长方体体积的最大值为__________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．如图，已知四边形是直角梯形，，，，是等边三角形，平面平面，M为的中点，F为的中点，.
(1)证明：平面平面；
(2)P，Q分别为棱，上的动点（不包含端点），当时，试判断二面角和二面角的大小是否相等，并说明理由.
16．如图，在三棱柱ABCDEF中，，，，，.
(1)证明：平面平面ADEF.
(2)求二面角的正弦值.
17．设，是椭圆的左 右焦点，点P，Q为椭圆C上的两点，且满足，，则椭圆C的离心率为___________.
18．在中，.
(1)求；
(2)若，边上中线的长为2，求的面积.
19．在三棱锥,底面是边长为4的正三角形,平面平面,且．
（1）若,求证：平面平面;
（2）若底面,垂足为O,,求平面与平面夹角的余弦值．
参考答案
1．答案：B
解析：女生被抽取的人数为.
故选：B.
2．答案：A
解析：由题，，
则.
故选：A.
3．答案：C
解析：由，
可知，且，
则，，又，
则，则，
则，
则
故选：C.
4．答案：C
解析：设，
，
由，
所以
，
因为，
所以
，
，
所以，
直线与BM所成角的正弦值为1.
故选：C
5．答案：B
解析：,
所以的虚部为-7，
故选：B
6．答案：A
解析：因为，
所以，
所以，
所以，
所以.
故选:A.
7．答案：A
解析：由题意，，
所以在上的投影向量为，
故选：A.
8．答案：C
解析：因为复数和，
满足，
则，
所以，所以.
故选：C.
9．答案：ACD
解析：A选项,数据从小到大排列为8,9,10,12,13,14,由,
故第5个数作为第70百分位数,即13,A正确;
B选项,样本数据,,,的方差为2,
则数据,,,的方差为,所以B选项错;
C选项,因为A和B互斥,则,
可得,所以,C正确;
D选项,样本数据落在区间有120,122,116,120有4个,
所以样本数据落在区间内的频率为,故选D;
故选：ACD.
10．答案：BD
解析：因为，所以女生每周锻炼身体的平均时长的平均值等于7.36875，故A错误.因为，所以男生每周锻炼身体的平均时长的分位数是将样本数据按从小到大排序后的第13个数据，即9.2，故B正确.男生每周锻炼身体的平均时长大于的有4周，所以所求概率的估计值为，故C错误.男生每周锻炼身体的平均时长分布在区间内的有8个，女生有4个；男生每周锻炼身体的平均时长分布在区间内的有14个，女生有10个；男生每周锻炼身体的平均时长的极差为3.8，女生为4.3，据此可知，与男生相比，女生每周锻炼身体的平均时长的波动性比较大（也可通过计算方差，标准差判断），故D正确.
11．答案：BC
解析：对于A,甲选择北京与乙选择上海可能会同时发生,即事件M与N会同时发生,不互斥,A错误;
对于B,由题意知共有事件个数,事件M与N的个数均为个,
故,,
则,,即,B正确,
对于C,,C正确;
对于D,,D错误,
故选：BC.
12．答案：
解析：依题意，
，
而复数是纯虚数，
则且，解得.
故答案为：
13．答案：
解析：如图所示，设菱形对角线交点为O，.
因为，所以，
所以为等边三角形.
又，，
所以.
在中，，
所以.
故答案为:
14．答案：1000
解析：由题意设，
因为面积为300，所以，
根据题意有：，
所以，
则长方体的体积为
，
，
令，有，
所以时，，函数在上单调递增，
时，，函数在上单调递减，
所以当时，V取得最大值，
最大值为.
故答案为：1000
15．答案：(1)证明见解析；
(2)二面角和二面角大小相等，理由见解析
解析：（1）因为是等边三角形，M为的中点，，
所以，在底面内，过点B作交于点H，如图，
因为四边形是直角梯形，所以，
四边形为矩形，则，
因为，所以，，所以，
因为F为的中点，所以，，
在中，，所以，
所以，即，
因为是等边三角形，M为的中点，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，，
又，平面，平面，
平面，平面平面.
（2）二面角和二面角的大小相等，证明如下：
法一：以M为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
设，则，
，，
，
易得平面和平面的法向量均为，
设平面的法向量，
则，令，则，
设平面的法向量，
则，令，则，
由已知易得二面角和二面角均为锐角，
设二面角和二面角的平面角分别为，，
则，，，即.
法二：过P作，交于R，过Q作，
交于T，连接，，
则，，，平面，
同理可证平面，
平面平面，平面平面，
，且平面，
平面，，，，均与垂直，
二面角的平面角为，
二面角的平面角为，
，，，，
，与全等，，
即二面角和二面角大小相等.
16．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：延长DA，作，
垂足为O，连接FO，因为，
所以.
在中，，
因为，
所以.
在中，，
因为，，平面ADEF，
所以平面ADEF.
因为平面ABCD，
所以平面平面ADEF
(2)以O为坐标原点，OB，OD，OF所在直线分别为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
，，
设平面BCE的法向量为，
则取.
设平面ECD的法向量为，
则
取.
,
所以，
二面角的正弦值为.
17．答案：
解析：延长交椭圆于点M，连接，
因为，故，
由对称性可知，，
因为，所以，
设，则，
，
故，
在中，，
即，
即，解得，
故，
由余弦定理得，
即，
解得.
故答案为：
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为，由正弦定理得
所以，
即，
又因为，
所以，
所以，所以.
(2)
设中点为D，，，
则，
即，
即，
所以，
所以.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）取AC的中点H,则,连接HP、HB,由,得,
又平面平面,平面PAC,所以平面ABC,
由,平面ABC,得,,
以H为原点,方向为x轴,方向为y轴,方向为z轴,建立空间坐标系,
由题意可得,,
则,,,,,
有,,
设平面PAB和平面PBC的一个法向量分别为,,
则,
令,,得,,,,
所以,有,
即,故平面平面．
（2）由（1）知,若,则,,,,
有,,,,
设平面、平面一个法向量分别为,,
则,,
令,,得,,,
所以,,
设平面与平面夹角为,得,
所以平面与平面夹角的余弦值为．
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