[ID:3-6942165] 2019-2020学年北师大版江西省赣州市高一第一学期期末数学试卷 Word版含解析
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2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷 一、选择题 1.已知集合M={(x,y)|2x+y=3},N={(x,y)|x﹣y=6},那么集合M∩N为(  ) A.x=3,y=﹣3 B.(3,﹣3) C.{(3,﹣3)} D.{3,﹣3} 2.已知幂函数y=f(x)的图象过(4,2)点,则=(  ) A. B. C. D. 3.函数的定义域为(  ) A.[1,+∞) B.(1,+∞) C. D. 4.已知,x为第三象限角,那么sin2x=(  ) A. B. C. D. 5.点P从点(1,0)出发,沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点,则Q的坐标是(  ) A.() B.(﹣,﹣) C.() D.() 6.若扇形的面积是4cm2,它的周长是10cm,则扇形圆心角的弧度数为(  ) A. B.8 C.或8 D.2或 7.函数的大致图象是(  ) A. B. C. D. 8.已知,,则的值为(  ) A. B. C. D. 9.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x﹣3)=f(x+3),且当x∈(﹣3,0)时,f(x)=3x﹣1,则f(8)=(  ) A. B. C. D. 10.已知函数y=f(x)在区间(﹣∞,0)内单调递增,且f(﹣x)=f(x),若a=f(3),b=f(2﹣1.2),c=f(),则a,b,c的大小关系为(  ) A.a>c>b B.b>c>a C.b>a>c D.a>b>c 11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,)的图象如图所示,将函数f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象,则关于函数g(x)的下列说法正确的是(  ) ①g(x)=﹣sin2x; ②g(x)的图象关于直线对称; ③; ④g(x)在区间上单调递增. A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 12.若直角坐标平面内的两点P,Q满足条件:①P,Q都在函数y=f(x)的图象上;②P,Q关于原点对称.则称点对[P,Q]是函数y=f(x)的一对“友好点对”(点对[P,Q]与[Q,P]看作同一对“友好点对”).已知函数(a>0且a≠1),若此函数的“友好点对”有且只有一对,则a的取值范围是(  ) A.(0,1)∪(1,+∞) B. C. D.(0,1) 二、填空题 13.已知,则=   . 14.函数的零点有   个. 15.已知函数,若f(﹣a)=1,则f(a)=   . 16.下列四个判断正确的是   (写出所有正确判断的序号.) ①函数是奇函数,但不是偶函数; ②函数与函数y=10lg(x﹣1)表示同一个函数; ③已知函数f(x)=sinx﹣acosx图象的一条对称轴为,则a的值为1; ④设函数,若关于x的方程f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,则的值为3. 三、解答题 17.已知全集U=R,集合A={x|log2x≤1},集合B={x|m﹣2<x<m+1}. (1)若m=1,求A∪B,A∩(?UB); (2)若A∪B=B,求实数m的取值范围. 18.已知α是第四象限角,. (1)若,求f(α)的值; (2)令,当时,求函数g(x)的值域. 19.为落实国家“精准扶贫”政策,让市民吃上放心蔬菜,某企业于2018年在其扶贫基地投入200万元研发资金,用于蔬菜的种植及开发,并计划今后十年内在此基础上,每年投入的资金比上一年增长10%. (1)写出第x年(2019年为第一年)该企业投入的资金数y(万元)与x的函数关系式,并指出函数的定义域; (2)该企业从第几年开始(2019年为第一年),每年投入的资金数将超过400万元? (参考数据lg0.11≈﹣0.959,lg1.1≈0.041,lg11≈1.041,lg2≈0.301) 20.已知f(x)为定义在[﹣2,2]上的奇函数,当x∈[﹣2,0]时,函数解析式为f(x)=4x﹣b?2x(b∈R). (1)求b的值,并求出f(x)在(0,2]上的解析式; (2)若对任意的x∈(0,2],总有f(x)≥m,求实数m的取值范围. 21.已知函数 (1)求函数f(x)的单调增区间和对称中心坐标; (2)若关于x方程f(x)=m+2在上有两个不同的解,求实数m的取值范围. 22.对于函数f(x)=ax2+(1+b)x+b﹣1(a≠0),总存在实数x0,使f(x0)=mx0成立,则称x0为f(x)关于参数m的不动点. (1)当a=1,b=﹣3时,求f(x)关于参数1的不动点; (2)若对任意实数b,函数f(x)恒有关于参数1两个不动点,求a的取值范围; (3)当a=1,b=5时,函数f(x)在x∈(0,4]上存在两个关于参数m的不动点,试求参数m的取值范围. 参考答案 一、选择题 1.已知集合M={(x,y)|2x+y=3},N={(x,y)|x﹣y=6},那么集合M∩N为(  ) A.x=3,y=﹣3 B.(3,﹣3) C.{(3,﹣3)} D.{3,﹣3} 【分析】利用交集定义直接求解. 解:∵集合M={(x,y)|2x+y=3},N={(x,y)|x﹣y=6}, ∴集合M∩N={(x,y)|}={(3,﹣3)}. 故选:C. 2.已知幂函数y=f(x)的图象过(4,2)点,则=(  ) A. B. C. D. 【分析】本题考查的是幂函数的图象与性质以及求解析式问题.在解答时可以先设出幂函数的解析式,由于过定点,从而可解得函数的解析式,故而获得问题的解答. 解:由题意可设f(x)=xα,又函数图象过定点(4,2),∴4α=2,∴,从而可知, ∴. 故选:D. 3.函数的定义域为(  ) A.[1,+∞) B.(1,+∞) C. D. 【分析】由根式内部的代数式大于等于0,分式的分母不为0联立不等式组求解. 解:由,解得x≥1且x. ∴函数的定义域为. 故选:D. 4.已知,x为第三象限角,那么sin2x=(  ) A. B. C. D. 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinx的值,进而根据二倍角的正弦函数公式即可求解. 解:∵,x为第三象限角, ∴sinx=﹣=﹣, ∴sin2x=2sinxcosx=2×=. 故选:B. 5.点P从点(1,0)出发,沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点,则Q的坐标是(  ) A.() B.(﹣,﹣) C.() D.() 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义,诱导公式,求得Q的坐标. 解:点P从点(1,0)出发,沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点, 则Q的横坐标为cos(﹣)=cos=﹣cos=﹣, 纵坐标为sin(﹣)=﹣sin=﹣,即Q的坐标是(﹣,﹣), 故选:B. 6.若扇形的面积是4cm2,它的周长是10cm,则扇形圆心角的弧度数为(  ) A. B.8 C.或8 D.2或 【分析】设扇形的半径为r,圆心角为α,由题意列关于r与α的方程组,求解得答案. 解:设扇形的半径为r,圆心角为α, 由题意,, 由②得,r=③,把③代入①, 得2α2﹣17α+8=0. 解得或α=8(舍). ∴扇形圆心角的弧度数为. 故选:A. 7.函数的大致图象是(  ) A. B. C. D. 【分析】利用奇偶性结合单调性即可选出答案. 解:函数,可知函数f(x)是偶函数,排除C,D; 定义域满足:|x|﹣1>0, 可得x<﹣1或x>1. 当x>1时,y=是递增函数,排除A; 故选:B. 8.已知,,则的值为(  ) A. B. C. D. 【分析】=tan(α+),只需求出tan(α+)的值即可.先通过α+=(α+β)﹣(β﹣),利用两角和公式求出tan(α+). 解:tan(α+)=tan[(α+β)﹣(β﹣)]====. 故选:B. 9.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x﹣3)=f(x+3),且当x∈(﹣3,0)时,f(x)=3x﹣1,则f(8)=(  ) A. B. C. D. 【分析】根据题意,由f(x﹣3)=f(x+3)可得f(x+6)=f(x),结合函数的奇偶性可得f(8)=﹣f(﹣8)=﹣f(﹣2),由函数的解析式分析可得答案. 解:根据题意,函数f(x)满足f(x﹣3)=f(x+3),则有f(x+6)=f(x), 又由f(x)为定义在R上的奇函数, 则f(8)=﹣f(﹣8)=﹣f(﹣2)=﹣(3﹣2﹣1)=; 故选:C. 10.已知函数y=f(x)在区间(﹣∞,0)内单调递增,且f(﹣x)=f(x),若a=f(3),b=f(2﹣1.2),c=f(),则a,b,c的大小关系为(  ) A.a>c>b B.b>c>a C.b>a>c D.a>b>c 【分析】根据题意,由f(﹣x)=f(x)可得f(x)为偶函数,结合函数的单调性可得f(x)在(0,+∞)上递减,进而又由2﹣1.2<2﹣1<1<log23,分析可得答案. 解:根据题意,函数y=f(x)满足f(﹣x)=f(x),则函数f(x)为偶函数, 又由函数y=f(x)在区间(﹣∞,0)内单调递增,则f(x)在(0,+∞)上递减, a=f(3)=f(log23),b=f(2﹣1.2),c=f()=f(2﹣1), 又由2﹣1.2<2﹣1<1<log23, 则b>c>a, 故选:B. 11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,)的图象如图所示,将函数f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象,则关于函数g(x)的下列说法正确的是(  ) ①g(x)=﹣sin2x; ②g(x)的图象关于直线对称; ③; ④g(x)在区间上单调递增. A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出ω,由五点法作图求出φ的值,可得f(x)的解析式,再利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得到g(x)的解析式,再利用正弦函数图象和性质,得出结论. 解:由题意根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,)的图象, 可得A=1,=﹣,求得ω=2. 再根据五点法作图可得2×+φ=π,∴φ=,故f(x)=sin(2x+). 将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)=sin(2x++)=﹣sin2x 的图象,显然,①正确,③不正确; 当x=﹣时,g(x)=,不是最值,故g(x)的图象不关于直线对称,故②不正确; 在区间上,2x∈( ,π),显然,g(x)单调递增,故④正确, 故选:D. 12.若直角坐标平面内的两点P,Q满足条件:①P,Q都在函数y=f(x)的图象上;②P,Q关于原点对称.则称点对[P,Q]是函数y=f(x)的一对“友好点对”(点对[P,Q]与[Q,P]看作同一对“友好点对”).已知函数(a>0且a≠1),若此函数的“友好点对”有且只有一对,则a的取值范围是(  ) A.(0,1)∪(1,+∞) B. C. D.(0,1) 【分析】根据原点对称的性质,求出当﹣5≤x<0时函数关于原点对称的函数,条件转化函数f(x)=logax,(x>0)与y=﹣|x﹣4|,(0<x≤5),只有一个交点,作出两个函数的图象,利用数形结合结合对数函数的性质进行求解即可. 解:当﹣5≤x<0时,函数y=|x+4|关于原点对称的函数 为﹣y=|﹣x+4|,即y=﹣|x﹣4|,(0<x≤5), 若此函数的“友好点对”有且只有一对, 则等价为函数f(x)=logax,(x>0)与y=﹣|x﹣4|,(0<x≤5), 只有一个交点, 作出两个函数的图象如图: 若a>1,则f(x)=logax,(x>0)与y=﹣|x﹣4|,(0<x≤5), 只有一个交点,满足条件, 当x=5时,y=﹣|5﹣4|=﹣1, 若0<a<1,要使两个函数只有一个交点, 则满足f(5)<﹣1, 即loga5<﹣1=loga得<5,得a<0或a>, ∵0<a<1,∴<a<1, 综上可得a的范围是<a<1或a>1, 即实数a的取值范围是(,1)∪(1,+∞), 故选:C. 二、填空题 13.已知,则= 7 . 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解. 解:∵, ∴===7. 故答案为:7. 14.函数的零点有 1 个. 【分析】由题求函数f(x)的零点既是f(x)=0的根,转化成两个函数的交点问题,数形结合求出交点的个数即是函数零点的个数. 解:由题意=0,(x≠0)所以x3+2x+1=0, 即x3=﹣2x﹣1,令g(x)=x3,(x≠0),h(x)=﹣2x﹣1(x≠0). 大致图象如图所示:由图象可知两个函数仅有一个交点, 所以函数f(x)仅有一个零点, 故答案为:1. 15.已知函数,若f(﹣a)=1,则f(a)= 0 . 【分析】根据题意,由函数的解析式可得f(﹣x)的解析式,进而分析可得f(x)+f(﹣x)=1,据此分析可得答案. 解:根据题意,函数,则f(﹣x)=(﹣x)3+sin(﹣x)+=﹣x3﹣sinx+, 则有f(x)+f(﹣x)=1, 若f(﹣a)=1,则f(a)=1﹣f(﹣a)=0; 故答案为:0 16.下列四个判断正确的是 ②③ (写出所有正确判断的序号.) ①函数是奇函数,但不是偶函数; ②函数与函数y=10lg(x﹣1)表示同一个函数; ③已知函数f(x)=sinx﹣acosx图象的一条对称轴为,则a的值为1; ④设函数,若关于x的方程f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,则的值为3. 【分析】直接利用函数的性质的应用,三角函数关系式的恒等变换正弦型函数性质的应用,对数函数的性质的应用,函数的图象的应用求出结果. 解:①函数,由于x=±2,y=0,所以该函数既是奇函数,又是偶函数;故错误. ②函数=x﹣1(x>1)与函数y=10lg(x﹣1)=x﹣1(x>1),所以这两个函数表示同一个函数;故正确. ③已知函数f(x)=sinx﹣acosx图象的一条对称轴为,所以当x=时,则,解得a=1;故正确. ④设函数,若关于x的方程f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4, 根据函数的图象: 所以,故x1+x2=﹣4, 由于,log2x4=a,整理得x3x4=1, 则的值为﹣3.故错误. 故答案为:②③ 三、解答题 17.已知全集U=R,集合A={x|log2x≤1},集合B={x|m﹣2<x<m+1}. (1)若m=1,求A∪B,A∩(?UB); (2)若A∪B=B,求实数m的取值范围. 【分析】(1)化简集合A,计算m=1时集合B,再求A∪B和A∩(?UB)的值; (2)A∪B=B时A?B,由此列出不等式组求得实数m的取值范围. 解:(1)集合A={x|log2x≤1}={x|0<x≤2}, m=1时,集合B={x|m﹣2<x<m+1}={x|﹣1<x<2}. 所以A∪B={x|﹣1<x≤2}; 又U=R,所以?UB={x|x≤﹣1或x≥2}, 所以A∩(?UB)={x|x=2}={2}; (2)若A∪B=B,则A?B, 所以, 解得1<m≤2; 所以实数m的取值范围是(1,2]. 18.已知α是第四象限角,. (1)若,求f(α)的值; (2)令,当时,求函数g(x)的值域. 【分析】(1)利用诱导公式、同角三角函数基本关系式即可得出. (2)利用和差公式、三角函数的单调性即可得出. 解:(1)==cosα. ∵,∴sinα=﹣. ∵α是第四象限角,∴cosα==. ∴f(α)=. (2)=cosx+sinx﹣1=2sin(x+)﹣1. 当时,(x+)∈(,). ∴sin(x+)∈. ∴函数g(x)∈(0,1]. 19.为落实国家“精准扶贫”政策,让市民吃上放心蔬菜,某企业于2018年在其扶贫基地投入200万元研发资金,用于蔬菜的种植及开发,并计划今后十年内在此基础上,每年投入的资金比上一年增长10%. (1)写出第x年(2019年为第一年)该企业投入的资金数y(万元)与x的函数关系式,并指出函数的定义域; (2)该企业从第几年开始(2019年为第一年),每年投入的资金数将超过400万元? (参考数据lg0.11≈﹣0.959,lg1.1≈0.041,lg11≈1.041,lg2≈0.301) 【分析】(1)根据题意可得y=100(1+10%)x万元,其定义域为{x∈N*|x≤10}, (2)由200(1+10%)x>400,解得即可. 解:(1)第一年投入的资金数为200(1+10%)万元, 第二年投入的资金数为200(1+10%)+200(1+10%)10%=200(1+10%)2万元, 第x年(2018年为第一年)该企业投入的资金数y(万元)与x的函数关系式y=200(1+10%)x万元, 其定义域为{x∈N*|x≤10}; (2)由200(1+10%)x>400可得1.1x>2,即x>≈≈7.3, 即企业从第8年开始(2019年为第一年),每年投入的资金数将超过200万元. 20.已知f(x)为定义在[﹣2,2]上的奇函数,当x∈[﹣2,0]时,函数解析式为f(x)=4x﹣b?2x(b∈R). (1)求b的值,并求出f(x)在(0,2]上的解析式; (2)若对任意的x∈(0,2],总有f(x)≥m,求实数m的取值范围. 【分析】(1)根据题意,由奇函数的性质结合函数的解析式可得f(0)=1﹣b=0,解可得b的值,再设x∈[0,2],则﹣x∈[﹣2,0],结合函数奇偶性分析可得[﹣2,0]上函数的解析式,综合即可得答案; (2)根据题意,由(1)的结论可得[﹣2,0]上函数的解析式,用换元法分析可得f(x)在[﹣2,0]上的值域,据此分析可得答案. 解:(1)根据题意,f(x)为定义在[﹣2,2]上的奇函数,则有f(0)=0, 又由当x∈[﹣2,0]时,函数解析式为f(x)=4x﹣b?2x,则f(0)=1﹣b=0, 解可得:b=1, 则当x∈[﹣2,0]时,函数解析式为f(x)=4x﹣2x, 设x∈[0,2],则﹣x∈[﹣2,0], 则f(﹣x)=4﹣x﹣2﹣x, 又由f(x)为奇函数,则f(x)=﹣f(﹣x)=2﹣x﹣4﹣x, 故f(x)=, (2)由(1)的结论,x∈(0,2]时,f(x)=2﹣x﹣4﹣x=﹣()2, 设t=,则≤t<1,则y=t﹣t2=﹣(t﹣)2+>0, 即f(x)>0在(0,2]上恒成立, 若f(x)≥m,必有m≤0,即m的取值范围为(﹣∞,0]. 21.已知函数 (1)求函数f(x)的单调增区间和对称中心坐标; (2)若关于x方程f(x)=m+2在上有两个不同的解,求实数m的取值范围. 【分析】(1)利用倍角公式、和差公式化简函数=2sin(2x+)+1.由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,可得其单调区间.由sin(2x+)=0,解得x,可得对称中心坐标. (2)由,可得:(2x+)∈[,].画出图象:y=f(x),.根据关于x方程f(x)=m+2在上有两个不同的解,结合图象可得实数m的取值范围. 解:(1)函数 =2cosx(sinx+cosx)﹣sin2x+sin2x+1 =sin2x+(cos2x﹣sin2x)+1 =sin2x+cos2x+1 =2sin(2x+)+1. 由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+, 解得:kπ﹣π≤x≤kπ+,k∈Z. 可得:函数f(x)的单调增区间为:[kπ﹣π,kπ+],k∈Z. 由sin(2x+)=0,解得:2x+=kπ,解得:x=﹣,k∈Z. ∴对称中心坐标为(﹣,1)k∈Z. (2)由,可得:(2x+)∈[,]. 画出图象:y=f(x),. 若关于x方程f(x)=m+2在上有两个不同的解, 则1+≤m+2<3. 解得:﹣1≤m<1. ∴实数m的取值范围是:﹣1≤m<1. 22.对于函数f(x)=ax2+(1+b)x+b﹣1(a≠0),总存在实数x0,使f(x0)=mx0成立,则称x0为f(x)关于参数m的不动点. (1)当a=1,b=﹣3时,求f(x)关于参数1的不动点; (2)若对任意实数b,函数f(x)恒有关于参数1两个不动点,求a的取值范围; (3)当a=1,b=5时,函数f(x)在x∈(0,4]上存在两个关于参数m的不动点,试求参数m的取值范围. 【分析】(1)当a=1,b=﹣3时,结合已知可得f(x)=x2﹣2x﹣4=x,解方程可求; (2)由题意可得,ax2+(1+b)x+b﹣1=x恒有2个不同的实数根(a≠0),结合二次方程的根的存在条件可求; (3)当a=1,b=5时,转化为问题f(x)=x2+6x+4=mx在(0,4]上有两个不同实数解,进行分离m,结合对勾函数的性质可求. 解:(1)当a=1,b=﹣3时,f(x)=x2﹣2x﹣4, 由题意可得,x2﹣2x﹣4=x即x2﹣3x﹣4=0, 解可得x=4或x=﹣1, 故f(x)关于参数1的不动点为4或﹣1, (2)由题意可得,ax2+(1+b)x+b﹣1=x恒有2个不同的实数根(a≠0), 则ax2+bx+b﹣1=0恒有2个不同的实数根(a≠0), 所以△=b2﹣4a(b﹣1)>0恒成立, 即b2﹣4ab+4a>0恒成立, 所以△′=16a2﹣16a<0, 解可得,0<a<1, (3)a=1,b=5时,f(x)=x2+6x+4=mx在(0,4]上有两个不同实数解, 即m﹣6=x+在(0,4]上有两个不同实数解, 令h(x)=x+,0<x≤4, 结合对勾函数的性质可知,4<m﹣6≤5, 解可得,10<m≤11. 故m的范围为(10,11]
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  • 资料类型: 试卷
  • 资料版本:北师大版
  • 适用地区:江西省赣州市
  • 文件大小:1.22M
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