[ID:3-6942078] 2019-2020学年人教A版四川省自贡市高一第一学期期末数学试卷 Word版含解析
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2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷 一、选择题 1.已知集合A={y|y=log2x,x>1},B={},则A∩B=(  ) A.( 0,1 ) B.( 0,) C.(,1 ) D.? 2.已知角α终边经过点P(﹣3,4),则cosα的值为(  ) A. B. C. D. 3.在下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是(  ) A.y=x2+1 B.y=cosx C.y=2x D. 4.已知函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+x,h(x)=x3+x的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小顺序为(  ) A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.b>a>c 5.若tanβ=2则=(  ) A. B. C. D. 6.函数的定义域是(  ) A. B. C. D.[1,+∞) 7.要得到函数y=sin2x的图象,只需将函数的图象(  ) A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 8.某商场经营一批进价为30元/件的商品,在市场试销中发现,此商品的销售单价x(单位:元)与日销售量y(单位:件)之间有如表所示的关系. x … 30 40 45 50 … y … 60 30 15 0 … 销售单价为x元时,才能获得最大日销售利润p,则x、p分别为(  ) A.35,225 B.40,300 C.45,350 D.45,400 9.若,,且则(  ) A. B. C. D. 10.关于函数,(其中a为常数)下列说法正确的是(  ) A.增函数,时是奇函数 B.减函数,a=1时是奇函数 C.减函数,时是奇函数 D.增兩数,a=1时是奇函数 11.若定义在R上的函数y=f(x)满足f(x+1)=﹣f(x),且当x∈[﹣1,1]时,f(x)=x2,函数g(x)=则函数h(x)=f(x)﹣g(x)在区间[﹣5,5]内的零点的个数为(  ) A.6 B.7 C.8 D.9 12.已知函数f(x)=ln(x2﹣1)+2x+2﹣x,则使不等式f(x+1)<f(2x)成立的x的取值范围是(  ) A.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) B.(1,+∞) C. D.(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞) 二、填空题(共4小题) 13.若xlog43=1,则3x+3﹣x=   . 14.已知sin,α∈(0,π),则tanα=   . 15.若函数f(x)=sin2x+2cos2x+m在区间[0,]上的最大值为6,则m=   . 16.函数f(x)=是 在x∈R内单调递减,则实数a的取值范围是   . 三、解答题(共6小题,满分70分) 17.已知集合A=(1,3,a2},B={1,a+2},是否存在实数a,使得A∪B=A?若存在,试求出实数a的值;若不存在,请说明理由. 18.如图,已知直线l1∥l2,A是l1,l2之间的一定点,并且点A到l1,l2的距离分别为h1,h2,B是直线l2上一动点,作AC⊥AB,且使AC与直线l1交于点C.设∠ABD=α. (1)写出△ABC面积S关于角α的函数解析式S(α); (2)画出上述函数的图象; (3)由(2)中的图象求S(α)的最小值 19.若0≤x≤2,求函数的最大值和最小值. 20.已知函数. (1)求函数f(x)的单调递减区间; (2)求使f(x)≥1成立的x的取值集合. 21.已知函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(1﹣x),(a>0,且a≠1). (1)求函数y=f(x)﹣g(x)的定义域; (2)判断函数y=f(x)﹣g(x)的奇偶性和单调性,并说明理由. 22.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x),满足f(mn)=f(m)+f(n)(m>0,n>0),而且当x>1时,有f(x)>0. (1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)判断与的大小,并说明理由. 参考答案 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分) 1.已知集合A={y|y=log2x,x>1},B={},则A∩B=(  ) A.( 0,1 ) B.( 0,) C.(,1 ) D.? 【分析】求对数函数的值域可得A、求指数函数的值域可得B,再根据两个集合的交集的定义求得A∩B. 解:∵集合A={y|y=log2x,x>1}={y|y>0}=(0,+∞),B={}={y|0<y<1}=(0,), ∴A∩B=(0,+∞)∩(0,)=(0,), 故选:B. 2.已知角α终边经过点P(﹣3,4),则cosα的值为(  ) A. B. C. D. 【分析】先求出角α的终边上的点P(﹣3,4)到原点的距离为 r,再利用任意角的三角函数的定义cosα= 求出结果. 解:角α的终边上的点P(﹣3,4)到原点的距离为 r=5, 由任意角的三角函数的定义得 cosα==. 故选:B. 3.在下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的是(  ) A.y=x2+1 B.y=cosx C.y=2x D. 【分析】结合函数的奇偶性及单调性的定义检验各选项即可判断. 解:结合二次函数的性质可知,y=x2+1为偶函数且在(0,+∞)上单调递增,符合题意; y=cosx在(0,+∞)上不单调性,不符合题意; 由于y=2x为非奇非偶函数,不符合题意, 当x>0时,y==在(0,+∞)上单调递减,不符合题意. 故选:A. 4.已知函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+x,h(x)=x3+x的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小顺序为(  ) A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.b>a>c 【分析】求出三个函数零点时x的表达式,分别画出四个函数在同一坐标系的图象,即可得到a,b,c的大小关系 解:f(x)=3x+x=0,则x=﹣3x, g(x)=log3x+x,则x=﹣log3x, h(x)=x3+x,则x=﹣x3, ∵函数f(x),g(x),h(x)的零点分别为a,b,c, 作出函数y=﹣3x,y=﹣log3x,y=﹣x3,y=x的图象如图, 由图可知:b>c>a, 故选:B. 5.若tanβ=2则=(  ) A. B. C. D. 【分析】由已知先利用诱导公式对式子进行化简,然后结合同角基本关系即可求值. 解:tanβ=2, 则==, ==. 故选:D. 6.函数的定义域是(  ) A. B. C. D.[1,+∞) 【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解对数不等式得答案. 解:由log2(3﹣4x)≥0=log21,得 3﹣4x≥1,即x. ∴函数的定义域是(﹣∞,]. 故选:B. 7.要得到函数y=sin2x的图象,只需将函数的图象(  ) A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 【分析】利用诱导公式化简函数y=cos(2x﹣)为正弦函数类型,然后通过平移原则,推出选项. 解:因为函数y=cos(2x﹣)=sin(2x+), 所以可将函数y=cos(2x﹣)的图象,沿x轴向右平移,得到y=sin[2(x﹣)+]=sin2x,得到函数y=sin2x的图象, 故选:C. 8.某商场经营一批进价为30元/件的商品,在市场试销中发现,此商品的销售单价x(单位:元)与日销售量y(单位:件)之间有如表所示的关系. x … 30 40 45 50 … y … 60 30 15 0 … 销售单价为x元时,才能获得最大日销售利润p,则x、p分别为(  ) A.35,225 B.40,300 C.45,350 D.45,400 【分析】由表格可知,x与y满足一次函数关系,设y=ax+b,(a≠0),把点(30,60),和点(40,30)代入可求出,所以y=﹣3x+150 (x≥30),所以销售利润p=y(x﹣30)=﹣3x2+240x﹣4500,(x≥30),再利用二次函数的性质即可求出销售利润p的最大值. 解:由表格可知,x与y满足一次函数关系,设y=ax+b,(a≠0), 把点(30,60),和点(40,30)代入得:,解得:, ∴y=﹣3x+150 (x≥30), ∴销售利润p=y(x﹣30)=﹣3x2+240x﹣4500,(x≥30), ∴当x=40时,销售利润p的值最大,最大值为:300, 故选:B. 9.若,,且则(  ) A. B. C. D. 【分析】由已知结合切化弦及两角差的正弦公式可得sin(β﹣α)=sin(),结合已知角的范围即可求解两角的关系. 解:因为=, 所以sinβcosα=sinαcosβ+cosβ, 即sin(β﹣α)=cosβ=sin(), 又,, 所以β﹣α=,即2β﹣α=. 故选:C. 10.关于函数,(其中a为常数)下列说法正确的是(  ) A.增函数,时是奇函数 B.减函数,a=1时是奇函数 C.减函数,时是奇函数 D.增兩数,a=1时是奇函数 【分析】根据题意,设t=3x+1,则y=a+,由复合函数的单调性分析可得函数f(x)在R上为增函数,进而求出f(﹣x)的解析式,分析f(x)与f(﹣x)的关系,即可得答案. 解:根据题意,函数=a+, 设t=3x+1,则y=a+, t=3x+1在R上为增函数且t>1,y=a+在(1,+∞)上为增函数, 故在R上为增函数, 又由f(﹣x)=a﹣=a﹣, 当a=时,有f(﹣x)+f(x)=0,即函数f(x)为奇函数, 故选:A. 11.若定义在R上的函数y=f(x)满足f(x+1)=﹣f(x),且当x∈[﹣1,1]时,f(x)=x2,函数g(x)=则函数h(x)=f(x)﹣g(x)在区间[﹣5,5]内的零点的个数为(  ) A.6 B.7 C.8 D.9 【分析】令h(x)=f(x)﹣g(x)=0,即f(x)=g(x),考察出y=f(x),y=g(x)在区间[﹣5,5]上的交点的个数即可. 解:定义在R上的函数y=f(x)满足f(x+1)=﹣f(x),则f(x+2)=f[(x+1)+1]=﹣f(x+1)=﹣[﹣f(x)]=f(x), 所以函数y=f(x)是以2周期的函数. 在同一坐标系内画出y=f(x),y=g(x)在区间[﹣5,5]上的图象, 共有8个交点,所以函数h(x)=f(x)﹣g(x)在区间[﹣5,5]内的零点的个数为8个 故选:C. 12.已知函数f(x)=ln(x2﹣1)+2x+2﹣x,则使不等式f(x+1)<f(2x)成立的x的取值范围是(  ) A.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) B.(1,+∞) C. D.(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞) 【分析】容易看出f(x)是(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)上的偶函数,可设g(x)=2x+2﹣x,根据导数符号可判断g(x)在(1,+∞)上是增函数,从而判断出f(x)在(1,+∞)上是增函数,这样即可由f(x+1)<f(2x)得出f(|x+1|)<f(|2x|),进而得出,解出x的范围即可. 解:f(x)是(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)上的偶函数,设g(x)=2x+2﹣x,g′(x)=(2x﹣2﹣x)ln2,g′(x)在(1,+∞)上是增函数,且, ∴x>1时,g′(x)>0, ∴g(x)在(1,+∞)上是增函数,且y=ln(x2﹣1)在(1,+∞)上是增函数, ∴f(x)在(1,+∞)上是增函数, ∴由f(x+1)<f(2x)得,f(|x+1|)<f(|2x|), ∴, ∴,解得x<﹣2或x>1, ∴x的取值范围是:(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞). 故选:D. 二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分) 13.若xlog43=1,则3x+3﹣x=  . 【分析】利用指数对数运算性质即可得出. 解:xlog43=1,则x=log34,3x=4. ∴3x+3﹣x=4+=. 故答案为:. 14.已知sin,α∈(0,π),则tanα= ﹣ . 【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系,以及三角函数在各个象限中的符号,求得sinα和cosα的值,可得tanα的值. 解:已知sin,α∈(0,π),sin2α+cos2α=1,sinα>0,∴sinα=,cosα=﹣, 则tanα==﹣, 故答案为:﹣. 15.若函数f(x)=sin2x+2cos2x+m在区间[0,]上的最大值为6,则m= 3 . 【分析】首先把函数的关系式变形成正弦型函数,进一步根据函数的定义域求出函数的值域,进一步利用最大值求出m的值. 解:函数f(x)=sin2x+2cos2x+m, =, =, 由于x∈[0,], 故:, 所以当时, 函数的最大值为2+m+1=6, 解得:m=3, 故答案为:3. 16.函数f(x)=是 在x∈R内单调递减,则实数a的取值范围是 [,] . 【分析】根据分段函数在在R内单调递减,具有连续性,求出二次函数的对称轴,对a讨论,可求解 解:由题意:当x<1时,f(x)=x2﹣4ax+3,对称轴为x=2a, 要使f(x)在R内单调递减,函数f(x)=ax+1在x≥1必须是减函数, 故0<a<1,其最大值:a+1, 故需2a≥1,即a≥,则f(1)min=1﹣4a+3=4﹣4a, 需满足:1+a≤4﹣4a, 解得:≤a≤, 故而:≤a≤. 故答案为:[,]. 三、解答题(共6小题,满分70分) 17.已知集合A=(1,3,a2},B={1,a+2},是否存在实数a,使得A∪B=A?若存在,试求出实数a的值;若不存在,请说明理由. 【分析】若A∪B=A成立,则可得出B?A,从而得出a+2=3或a+2=a2,解出a,并验证是否满足集合元素的互异性即可. 解:若A∪B=A,则B?A, ∴a+2=3或a+2=a2,解得a=﹣1或1或2, ∵a=﹣1或1时,不满足集合元素的互异性,应舍去, ∴a=2, ∴存在实数a=2使得A∪B=A. 18.如图,已知直线l1∥l2,A是l1,l2之间的一定点,并且点A到l1,l2的距离分别为h1,h2,B是直线l2上一动点,作AC⊥AB,且使AC与直线l1交于点C.设∠ABD=α. (1)写出△ABC面积S关于角α的函数解析式S(α); (2)画出上述函数的图象; (3)由(2)中的图象求S(α)的最小值 【分析】(1)用h1,h2表示出AB,AC,得出S(α); (2)根据S(α)的单调性作出图象; (3)根据图象得出最小值. 解:(1)∵AE⊥l1,AD⊥l2,AC⊥AB, ∴∠ABD+∠BAD=90°,∠CAE+∠BAD=90°, ∴∠CAE=∠ABD=α, ∴AB=,AC=, ∴S(α)===(0<α<). (2)作出函数的图象如图: (3)由图象可知S(α)的最小值为S()=h1h2. 19.若0≤x≤2,求函数的最大值和最小值. 【分析】本题运用换元法令t=3x,将函数f(x)转化为二次函数g(t)=t2﹣2t+5,t∈[1,9].再根据二次函数的性质即可函数f(x)的最大值和最小值. 解:由题意,=?(3x)2﹣2?3x+5. 令t=3x,则 ∵0≤x≤2,∴1≤t≤9. 故原函数转化为g(t)=t2﹣2t+5,t∈[1,9]. ∵g(t)=t2﹣2t+5=(t﹣3)2+2, ∴由二次函数的性质,可知 g(t)max=g(9)=14,g(t)min=g(3)=2. ∴函数f(x)的最大值为14,最小值为2. 20.已知函数. (1)求函数f(x)的单调递减区间; (2)求使f(x)≥1成立的x的取值集合. 【分析】(1)先结合和差角的余弦公式及辅助角公式对已知函数进行化简,然后结合正弦函数的单调性可求; (2)结合正弦函数的图象与性质即可求解不等式. 解:因为, =++sinx, ==2sin(x+), (1)令x+,k∈Z, 可得,, 故函数f(x)的单调递减区间[,],k∈Z, (2)由f(x)=2sin(x+)≥1可得sin(x+), 结合正弦函数的性质可得,, 解可得,+2kπ, 故满足条件成立的x的取值集合{x|+2kπ},k∈Z. 21.已知函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(1﹣x),(a>0,且a≠1). (1)求函数y=f(x)﹣g(x)的定义域; (2)判断函数y=f(x)﹣g(x)的奇偶性和单调性,并说明理由. 【分析】(1)结合关于对数函数的定义域可建立关于x的不等式,即可求解. (2)结合奇偶性的定义,只要检验h(﹣x)与h(x)的关系即可判断;然后根据反比例函数的单调性及复合函数的单调性对a进行分类讨论即可判断. 解:(1)由题意可得,1+x>0且1﹣x>0, 解可得﹣1<x<1, 所以函数的定义域(﹣1,1), (2)y=h(x)=f(x)﹣g(x)=, 则h(﹣x)==﹣log=﹣f(x),即h(﹣x)=﹣h(x), 所以h(x)为奇函数, 令t(x)==﹣1﹣,则根据反比例函数的性质可知t(x)在(﹣1,1)上单调递增, 根据复合函数的单调性可知, 当a>1时,h(x)在(﹣1,1)上单调递增; 当0<a<1时,h(x)在(﹣1,1)上单调递减. 22.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x),满足f(mn)=f(m)+f(n)(m>0,n>0),而且当x>1时,有f(x)>0. (1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数; (2)判断与的大小,并说明理由. 【分析】本题第(1)题运用单调性的定义法及运用f(mn)=f(m)+f(n)(进行转化计算即可得证f(x)在定义域内单调递增;第(2)题根据题意对与进行转化之后,运用均值不等式及第(1)题的结论可判断大小. 【解答】(1)证明:设?x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2,则 >1,故f()>0. ∴f(x2)﹣f(x1)=f(?x1)﹣f(x1)=f()+f(x1)﹣f(x1)=f()>0. ∴f(x2)>f(x1), ∴f(x)在定义域内单调递增. (2)解:由题意,f(m)+f(n)=f(mn), 2=+=f(). ∵m>0,n>0, ∴mn>0, =≥=mn, 当且仅当m=n时,等号成立. 由(1)知,f(x)在定义域内单调递增. 故2≥f(mn). ∴≥,当且仅当m=n时,等号成立.
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  • 资料类型: 试卷
  • 资料版本:人教新课标A版
  • 适用地区:四川省自贡市
  • 文件大小:989.08KB
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