[ID:3-6941796] 2019-2020学年湖北省武汉二十三中、十二中、汉铁高中高一(上)期末数学试 ...
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2019-2020学年湖北省武汉二十三中、十二中、汉铁高中高一(上)期末数学试卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 1.(5分)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(1,﹣2),则sinα的值为(  ) A. B. C. D. 2.(5分)若幂函数f(x)=xa的图象过点(8,4),则f(x)=(  ) A. B. C. D. 3.(5分)下列函数中,在区间((0,+∞)上是增函数的是(  ) A.y=x2﹣e2 B.y=cosx+ex C.y=log2(1﹣x) D.y=tanx 4.(5分)y=a(a为常数)与y=tan3x图象相交时,相邻两交点间的距离为(  ) A.π B. C. D. 5.(5分)若,b=sin2,,则有(  ) A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b 6.(5分)扇形周长为6cm,面积为2cm2,则其圆心角的弧度数是(  ) A.1或5 B.1或2 C.2或4 D.1或4 7.(5分)已知,θ∈(0,π),则=(  ) A. B. C. D. 8.(5分)已知函数f(x)=x+tanx+1,若f(a)=﹣3,则f(﹣a)的值为(  ) A.0 B.3 C.4 D.5 9.(5分)函数f(x)的图象如图所示,为了得到y=2sinx函数的图象,可以把函数f(x)的图象(  ) A.每个点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位 B.每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位 C.先向左平移个单位,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变) D.先向左平移个单位,再把所得各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变) 10.(5分)函数的图象向左平移个单位后关于原点对称,则函数f(x)在上的最大值为(  ) A. B. C. D.1 11.(5分)中国古代近似计算方法源远流长,早在八世纪,我国著名数学家、天文学家张隧(法号:一行)为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法一二次插值算法(又称一行算法,牛顿也创造了此算法,但是比我国张隧晚了上千年):函数y=f(x)在x=x1,x=x2,x=x3(x1<x2<x3)处的函数值分别为y1=f(x1),y2=f(x2),y3=f(x3)则在区间[xi,x3]上f(x)可以用二次函数来近似代替:f(x)=y1+k1(x﹣x1)+k2(x﹣x1)(x﹣x2),其中,,,若令x1=0,,x3=π,请依据上述算法,估算是(  ) A. B. C. D. 12.(5分)已知定义在区间上的函数y=f(x)满足,当时,f(x)=cosx,如果关于x的方程f(x)=a有解,记所有解的和为S,则S不可能为(  ) A. B. C. D.3π 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.(5分)已知函数,则f(f(﹣1))的值为   . 14.(5分)sin14°cos16°+sin76°cos74°的值是   . 15.(5分)下面是一半径为2米的水轮,水轮的圆心O距离水面1米,已知水轮自点M开始以1分钟旋转4圈的速度顺时针旋转,点M距水面的高度d(米)(在水平面下d为负数)与时间t(秒)满足函数关系式d=Asin(ωt+φ)+1,则函数关系式为   . 16.(5分)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=﹣f(x),且当x∈[﹣1,1]时,f(x)=tanx,则下列四个命题:①f(2020)=0;②f(x)的最小正周期为2:③x∈[﹣2020,2020]时,方程有2020个根:④f(x)=log5|x|有4个根,正常命题序号为   . 三、解答题:本大题共6小题,共70分. 17.(10分)已知,求下列式子的值: (1); (2)sinαcosα. 18.(12分)已知集合,. (1)求(?RA)∩B; (2)当x∈(?RA)∩B时,求函数f(x)=22﹣x的值域. 19.(12分)已知函数f(x)=cos4x﹣sin4x﹣2sinxcosx﹣1. (1)求f(x)的最小正周期,并求出f(x)的单调递减区间; (2)求函数y=f(x)的零点. 20.(12分)王久良导演的纪录片《垃圾围城》真实地反映了城市垃圾污染问题,目前中国668个城市中有超过的城市处于垃圾的包围之中,且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升,有关数据显示,某城市从2016年到2019年产生的包装垃圾量如表: 年份x 2016 2017 2018 2019 包装垃圾y(万吨) 4 6 9 13.5 (1)有下列函数模型: ①y=a?bx﹣2016;②;③y=alg(x+b).(a>0,b>1)试从以上函数模型中,选择模型   (填模型序号),近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y(万吨)与年份x的函数关系,并直接写出所选函数模型解析式; (2)若不加以控制,任由包装垃圾如此增长下去,从哪年开始,该城市的包装垃圾将超过40万吨?(参考数据:lg2=0.3010,lg3=0.4771) 21.(12分)已知函数. (1)已知,,求cos2α的值; (2)已知ω>0,函数,若函数g(x)在区间上是增函数,求ω的最大值. 22.(12分)已知函数,(k∈Z,a>0且a≠1). (1)若,求f1(2)的值; (2)若fk(x)为定义在R上的奇函数,且0<a<1,是否存在实数λ,使得fk(cos2x)+fk(2λsinx﹣5)>0对任意的恒成立,若存在,请写出实数λ的取值范围:若不存在,请说明理由. 2019-2020学年湖北省武汉二十三中、十二中、汉铁高中高一(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 1.【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义,求得sinα的值. 【解答】解:∵角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(1,﹣2), 则sinα==﹣, 故选:D. 2.【分析】把点的坐标代入函数解析式,求得a的值即可. 【解答】解:函数f(x)=xa的图象过点(8,4), 所以8a=4,解得a=; 所以f(x)=. 故选:B. 3.【分析】结合函数奇偶性及单调性的定义,结合选项进行判断即可. 【解答】解:易知y=x2﹣e2对称轴为y轴,开口朝上,所以(0,+∞)上为增函数. 故选:A. 4.【分析】y=tan3x的周期为,所以y=a(a为常数)与y=tan3x图象相交时,相邻两交点间的距离为,求出即可. 【解答】解:y=tan3x的周期为, 所以y=a(a为常数)与y=tan3x图象相交时, 相邻两交点间的距离为, 故选:C. 5.【分析】利用指数对数函数、三角函数的单调性, 【解答】解:>1>b=sin2=, 则有a>b>c. 故选:A. 6.【分析】设扇形的半径为r,弧长为l,由题意可得r和l的方程组,解方程组代入α=计算可得. 【解答】解:设扇形的半径为r,弧长为l, 则由题意可得, 解得,或, 当,时,其中心角的弧度数α==4; 当时,其中心角的弧度数α==1 故选:D. 7.【分析】由,由此利用诱导公式能求出. 【解答】解:∵, ,θ∈(0,π), ∴由诱导公式知. 故选:C. 8.【分析】根据题意,设g(x)=f(x)﹣1=x+tanx,分析可得g(x)为奇函数,结合奇函数的定义可得g(a)+g(﹣a)=f(a)﹣1+f(﹣a)﹣1=0,代入f(a)的值,即可得答案. 【解答】解:根据题意,函数g(x)=f(x)﹣1=x+tanx, 则g(﹣x)=(﹣x)+tan(﹣x)=﹣(x+tanx)=﹣g(x),则函数g(x)为奇函数, 则g(a)+g(﹣a)=f(a)﹣1+f(﹣a)﹣1=0, 又由f(a)=﹣3, 则f(﹣a)=5, 故选:D. 9.【分析】由函数的最值求出A,由周期求出ω,由五点法作图求出φ的值,可得f(x)的解析式,再利用y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得出结论. 【解答】解:根据函数f(x)的图象,设f(x)=Asin(ωx+φ), 可得A=2,=﹣,∴ω=2. 再根据五点法作图可得2×+φ=0,∴φ=﹣,f(x)=2sin(2x﹣), 故可以把函数f(x)的图象先向左平移个单位,得到y=2sin(2x+﹣)=2sin2x的图象, 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),即可得到y=2sinx函数的图象, 故选:C. 10.【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换把函数的关系式变形成正弦型函数,进一步求出函数的最值. 【解答】解:函数图象向左平移个单位得y=sin(2x++φ)., 由于函数图象关于原点对称, 所以函数为奇函数, 又, 所以φ=﹣, 所以f(x)=sin(2x﹣), 由于, 所以, 当时,f(x)的最大值为1. 故选:D. 11.【分析】函数y=f(x)=sinx在x=0,x=,x=π处的函数值分别为y1=f(0)=0,y2=f()=1,y3=f(π)=0,利用k1=,k=,,可得f(x)=x﹣x(x﹣)=﹣x2+x,代入即可得出. 【解答】解:函数y=f(x)=sinx在x=0,x=,x=π处的函数值分别为 y1=f(0)=0,y2=f()=1,y3=f(π)=0, 故k1==,k==﹣,=﹣, 故f(x)=x﹣x(x﹣)=﹣x2+x, 即sinx≈﹣x2+x, ∴≈﹣×+×=, 故选:D. 12.【分析】作出函数的图象,分类讨论a的取值对应的S的值即可 【解答】解:依题意作出在区间[0,]上的简图, 当直线y=a与函数y=f(x)的图象有交点时,则可得﹣1≤a≤0, ①当﹣<a≤0时,f(x)=a有2个解,此时S=; ②当a=﹣时,f(x)=a有3个解,此时S=; ③当﹣1<a<﹣时,f(x)=a有4个交点,此时S=3π; ④当a=﹣1时,f(x)=a有2个交点,此时S=. 故S不可能为. 故选:A. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.【分析】根据题意,由函数的解析式可得f(﹣1)的值,进而计算可得答案. 【解答】解:根据题意,函数, 则f(﹣1)=()﹣1=, 则f(f(﹣1))=f()=sin=; 故答案为:. 14.【分析】利用诱导公式化简表达式为sin14°cos16°+cos14°sin16°,再用两角和的正弦函数对sin14°cos16°+cos14°sin16°,利用特殊角的三角函数求值. 【解答】解:由题意sin14°cos16°+sin76°cos74°=sin14°cos16°+cos14°sin16°=sin30°= 故答案为:. 15.【分析】由题意求出A、T、ω和φ的值,即可写出函数关系式. 【解答】解:由题意知水轮的半径为2,水轮圆心O距离水面1,所以A=2; 又水轮每分钟旋转4圈,所以转一圈需要15秒, 所以T=15=,解得ω=; 由顺时针旋转t=0时,ωt+φ=2kπ﹣, 解得φ=2kπ﹣(k∈Z), 又|φ|<,所以φ=; 所以函数关系式为d=2sin(t﹣)+1. 故答案为:d=2sin(t﹣)+1. 16.【分析】先根据f(x+2)=﹣f(x)推出函数的最小正周期为4,再逐一判断每个选项:①f(2020)=f(0);②最小正周期为4;③找出方程在一个周期内根的个数即可得知x∈[﹣2020,2020]时,方程根的个数;④利用数形结合,找两个函数的交点个数即可. 【解答】解:∵f(x+2)=﹣f(x), ∴f(x+4)=﹣f(x+2),∴f(x+4)=f(x)即函数的最小正周期T=4. 每个选项判断如下: ①∵T=4,∴f(2020)=f(505×4+0)=f(0)=tan0=0,即①正确; ②最小正周期为4,所以②错误. ③当x∈[﹣3,﹣1]时,x+2∈[﹣1,1], 则, ∴. 当x∈[﹣1,1]时,有1个根; 当x∈[﹣3,﹣1]时,有1个根, 由于T=4,说明每个周期内都有2个根, 而x∈[﹣2020,2020],共有个周期,则有2020个根,即③正确. ④如图所示: 由图可得有5个交点,即④错误. 故答案为:①③. 三、解答题:本大题共6小题,共70分. 17.【分析】(1)结合已知条件,利用弦化切即可直接求解; (2)把所求的式子分母上结合同角平方关系利用1的代换,然后进行弦化切即可求解. 【解答】解:(1)原式====2. (2)原式==. 18.【分析】(1)先求出集合A,B,再利用补集的定义求出?RA,即可求出结果; (2)由(1)知x∈(﹣2,﹣1],利用定义法证出f(x) 在(﹣2,﹣1]上单调递减,即可求出函数f(x)=22﹣x的值域. 【解答】解:(1)由 得:﹣1<x<3,∴A={x|﹣1<x<3}, 由 得:﹣2<x≤2,∴B={x|﹣2<x≤2}, ∴?RA={x|x≤﹣1或x≥3}, ∴(?RA)∩B={x|﹣2<x≤﹣1}; (2)由(1)知x∈(﹣2,﹣1],任取x1,x2,﹣2<x1<x2≤﹣1, 则, ∵x1<x2,∴,∴, ∴f(x1)﹣f(x2)>0,∴f(x1)>f(x2), ∴f(x) 在(﹣2,﹣1]上单调递减, ∴f(﹣1)≤f(x)<f(﹣2), 即8≤f(x)<16, 函数f(x)=22﹣x 在x∈(﹣2,﹣1]时的值域是[8,16). 19.【分析】(1)由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式,再利用余弦函数的周期性、单调性,得出结论. (2)由题意根据函数y=f(x)的零点定义,求得求得cos(2x+)=,2x+=2kπ±,由此求得结果. 【解答】解:(1)函数f(x)=cos4x﹣sin4x﹣2sinxcosx﹣1=cos2x﹣sin2x﹣sin2x﹣1=cos2x﹣sin2x+1=cos(2x+)﹣1, ∴最小正周期 T==π. 令2kπ≤2x+≤2kπ+π,求得kπ﹣≤x≤kπ+, 可得f(x)的单调递减区间为[kπ﹣,kπ+],k∈Z. (2)由于f(x)=cos(2x+)﹣1,令f(x)=0,求得cos(2x+)=, ∴2x+=2kπ±,求得x=kπ,或 x=kπ﹣,k∈Z. 20.【分析】(1)选函数模型:①y=a?bx﹣2016,代入数据得到所选函数模型解析式为:y=4×()x﹣2016; (2)令y>40得:,∴x>2021.6786,使用若不加以控制,任由包装垃圾如此增长下去,从2022年开始,该城市的包装垃圾将超过40万吨. 【解答】解:(1)所选函数模型解析式为:y=4×()x﹣2016; (2)∵函数模型解析式为:y=4×()x﹣2016, ∴令y>40得:, ∴, ∴, ∴, ∴x>2021.6786, ∴从2022年开始,该城市的包装垃圾将超过40万吨, 故若不加以控制,任由包装垃圾如此增长下去,从2022年开始,该城市的包装垃圾将超过40万吨. 21.【分析】(1)利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式,由已知可求sin(2α+)=,根据范围,可得2x+∈(,π),利用同角三角函数基本关系式可求cos(2x+)的值,进而根据两角差的余弦函数公式即可求解cos2α的值. (2)求出函数g(x)的解析式,结合函数g(x)的单调性建立不等式关系进行求解即可. 【解答】解:(1)∵=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+cos2x=sin(2x+), ∴,可得sin(2α+)=, ∵,可得2x+∈(,π), ∴cos(2x+)=﹣=﹣, ∴cos2α=cos(2x+﹣)=cos(2x+)cos+sin(2x+)sin=﹣×+=. (2)∵f(x)=sin(2x+), ∴=sin(ωx+), 当x∈[﹣,],ωx+∈[﹣+,+], ∵函数g(x)在区间[﹣,]上是增函数,且ω>0, 则[﹣+,+]?[2kπ﹣,2kπ+],k∈Z, 即 ,则 , ∵ω>0, ∴﹣<k<,k∈Z, ∴k=0, ∴ω≤1, 则ω的最大值为1. 22.【分析】(1)由指数的运算性质和完全平方公式,计算可得所求值; (2)由奇函数的定义可得k=﹣1,由0<a<1,fk(x)=ax﹣a﹣x在R上为减函数,由题意可得原不等式等价为cos2x<5﹣2λsinx对任意的恒成立,由参数分离和二倍角公式,以及换元法、对勾函数的单调性,可得所求范围. 【解答】解:(1)由已知,即a+a=3, 即(a+a)2=a+a﹣1+2=3,即a+a﹣1=7, (a+a﹣1)2=a2+a﹣2+2=49, 则a2+a﹣2=47, 即f1(2)=47. (2)若fk(x)为定义在R上的奇函数, 则若fk(0)=1+k=0,解得k=﹣1, 由0<a<1,fk(x)=ax﹣a﹣x在R上为减函数, 则fk(cos2x)+fk(2λsinx﹣5)>0, 可化为fk(cos2x)>﹣fk(2λsinx﹣5)=fk(5﹣2λsinx), 即cos2x<5﹣2λsinx对任意的恒成立, 即λ<==sinx+对任意的恒成立, 令t=sinx,t∈[0,1],则y=t+为减函数, 当t=1时,y取最小值为3,所以存在,且λ<3
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  • 资料类型: 试卷
  • 资料版本:人教新课标A版
  • 适用地区:湖北省武汉市
  • 文件大小:328.81KB
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