[ID:3-6933567] 【全国百强校】2019-2020学年北京市人大附中高二(上)期中数学试卷(Word ...
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2019-2020学年北京市人大附中高二(上)期中数学试卷 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.) 1.(5分)已知a<0<b.下列不等式恒成立的是(  ) A.a+b<0 B.<1 C.>1 D. 2.(5分)在等差数列{an}中,a2=1,a4=5,则公差d=(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.(5分)椭圆C:=1的焦距和离心率分别为(  ) A.2和 B.1和 C.2和 D.1和 4.(5分)等比数列{an}中,a3=9,a5=1,则a6的值为(  ) A. B.﹣ C. D. 5.(5分)若双曲线的实轴长为2,则其渐近线方程为(  ) A.y=±x B. C. D.y=±2x 6.(5分)已知Rt△ABC的斜边长为2.则下列关于△ABC的说法中,正确的是(  ) A.周长的最大值为2+2 B.周长的最小值为2+2 C.面积的最大值为2 D.面积的最小值为1 7.(5分)已知抛物线x2=2py(p>0)的准线被双曲线=1截得的弦长为6,则该抛物线的焦点坐标是(  ) A.(0,) B.(0,32) C.(0,) D.(0,2) 8.(5分)已知平面区域Ω:,若圆C:(x﹣a2)+(y﹣b2)=r2(r>0)与x轴和直线y=(x+1)均相切,且圆心C∈Ω,则的最小值为(  ) A.0 B. C. D. 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.请把结果填在答题纸上的相应位置. 9.(5分)等差数列{an}的前n项和为Sn,若S5=﹣6,S6=15,则a5=   . 10.(5分)已知双曲线的渐近线方程是y=±2x,那么此双曲线的离心率为   . 11.(5分)等比数列{an}中,a1=1,且a2a4+a3=6,则a5=   . 12.(5分)已知A(﹣2,﹣2),B(0,2),C(2,0),则表示△ABC内部区域{含边界)的不等式组为   . 13.(5分)已知直线L:y=x﹣t与抛物线C:y2=4x交于A,B两个不同点,O为坐标原点,若=﹣3,则t的值为   . 14.(5分)已知数列{an}满足ak+12﹣|ak|=d(d为常数,k=1,2…n,n∈N*,n≥3),给出下列四个结论: ①若数列{an}是周期数列,则周期必为2; ②若d=0,则数列{an}必是常数列: ③若d>0,则数列{an}是递增数列: ④若d<0,则数列{an}是有穷数列, 其中,所有错误结论的序号是   . 三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分,解答应写出文字说明过程或演算步骤,请将答案写在答题纸上的相应位置.) 15.(10分)等比数列{an}的前n项和为Sn,已如S1=1,S2=3,. (Ⅰ)求an和Sn; (Ⅱ)证明:对任意n∈N*,bn≥1. 16.(10分)某商家耗资4500万元购进一批VR(虚拟现实)设备,经调试后计划明年开始投入使用,由于设备损耗和维护,第一年需维修保养费用200万元,从第二年开始,每年的维修保并费用比上一年增40万元.该设备使用后,每年的总收人为2800万元. (Ⅰ)求盈利额y(万元)与使用年数x之间的函数关系式; (Ⅱ)该设备使用多少年,商家的年平均盈利额最大?最大年平均盈利额是多少? 17.(10分)已知椭圆E:(a>b>0)的离心率为,过右焦点F(1,0)作两条互相垂直的直线l1,l2,分别交椭圆E于A、B和C、D四点.设AB、CD的中点为M、N. (Ⅰ)求椭圆E的方程; (Ⅱ)直线MN是否经过定点?若是,求出定点坐标;若否,请说明理由, 四、不定项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,可能有项或几项是符合题目要求的,请将所有正确答案填涂在答题纸上的相应位置.) 18.(6分)下列结论中,所有正确的结论有(  ) A.若,则a﹣c2>b﹣c2 B.若a,b,∈R+,则 C.当x∈(0,π)时 D.若a,b∈R*,a+b=1,则. 19.(6分)已知数列{an},{bn}均为递增数列,{an}的前n项和为Sn,{bn}的前n项和为Tn.且满足an+an+1=2n,bn?bn+1=2n(n∈N*),则下列说法正确的有(  ) A.0<a1<1 B.1<b1< C.S2n<T2n D.S2n≥T2n 20.(6分)已知点P是双曲线E:的右支上一点,F1,F2为双曲线E的左、右焦点,△PF1F2的面积为20,则下列说法正确的有(  ) A.点P的横坐标为 B.△PF1F2的周长为 C.∠F1PF2小于 D.△PF1F2的内切圆半径为 五、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.请把结果填在答题纸上的相应位置.) 21.(6分)已知柄圆上存在相异两点关于直线y=x+t对称,请写出两个符合条件的实数t的值:   . 22.(6分)已知f(n)=1+++……+(n∈N*).用数学归纳法证明f(2n)>,请补全证明过程: (1)当n=1时,f(21)=1+>; (2)假设n=k时命题成立,即f(2k)>,则当n=k+1时, f(2k+1)=f(2k)+   >, 即当n=k+1时,命题成立. 综上所述,对任意n∈N*,都有f(2n)>成立. 23.(6分)曲线E是平面内到定点A(1,0)的距离与到定直线x=﹣1的距离之积为8的动点P的轨迹,则x的取值范围是   ;曲线E上的点到原点的最小距离是   . 六、解答题(本大题共1小题,满分14分解箐应写出文字说明过程或演算步骤,请将答案写在答题纸上的相应位置.) 24.(14分)正整数数列{an}的前n项和为Sn,前n项积Tn,若(i=1,2,…n),则称数列{an}为“Z数列”. (Ⅰ)判断下列数列是否是Z数列,并说明理由; ①2,2,4,8;②8,24,40,56. (Ⅱ)若数列{an}是Z数列,且a2=2.求S3和T3; (Ⅲ)是否存在等差数列是Z数列?请阐述理由. 2019-2020学年北京市人大附中高二(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.) 1.【分析】<0<b,说明a,b异号,a为负,b为正,观察法判断即可. 【解答】解:a<0<b,说明a,b异号,a为负,b为正, 显然A,C,D不成立,B成立, 故选:B. 2.【分析】由题目给出的已知条件,直接代入等差数列的通项公式求公差. 【解答】解:在等差数列{an}中,由a2=1,a4=5, 得. ∴等差数列{an}的公差d=2. 故选:B. 3.【分析】利用椭圆的标准方程,求出a,b,c然后求解即可. 【解答】解:椭圆C:=1,可得a=2,b=,c=1, 所以椭圆的焦距为:2,离心率为:, 故选:C. 4.【分析】直接利用等比数列的定义求出公比,进一步利用通项公式的应用求出结果. 【解答】解:设公比为q的等比数列{an}中,a3=9,a5=1, 所以,解得, 所以. 故选:C. 5.【分析】直接利用双曲线的标准方程求出实轴长,即可求出a,然后求解渐近线方程. 【解答】解:双曲线的实轴长为2,可得a=1,所以双曲线x2﹣y2=1(a>0)的实轴长为2,则其渐近线方程为:y=±x. 故选:A. 6.【分析】首先利用勾股定理求出三角形a2+b2=c2=4,进一步利用基本不等式的应用求出三角形的周长和面积的最值. 【解答】解:Rt△ABC的斜边长为2.则下a2+b2=c2=4, 由于(a+b)2≤2(a2+b2)=8,所以. 则△ABC的周长的最大值为2. 另a2+b2≥2ab,所以ab≤1,则, 故选:A. 7.【分析】首先求出抛物线的准线方程,进一步利用准线与双曲线的位置关系的应用建立等量关系,最后求出抛物线的方程,进一步求出焦点的坐标. 【解答】解:抛物线x2=2py(p>0)的准线方程为y=﹣,设准线与双曲线的交点坐标为(x,y),(x>0,y<0), 所以把y=﹣代入双曲线的方程解得x=, 由于所截的弦长为6,故2,解得p=±4(负值舍去). 故x2=8y,所以抛物线的焦点的坐标为(0,2), 故选:D. 8.【分析】依题意,圆心(a,b)满足可行域Ω,且在直线上,令,结合图象可知,通过齐次化可以把所求式子转化为,进而利用函数思想得解. 【解答】解:作出可行域Ω如图, 依题意,,又(a,b)∈Ω, ∴,即, 令,其表示可行域Ω内满足的点(a,b)与原点连线的斜率,由图可知,, 则=, 令,则, 显然当时,. 故选:C. 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.请把结果填在答题纸上的相应位置. 9.【分析】由等差数列{an}的前n项和为Sn,a6=S6﹣S5=21,S5=5a3=﹣6,,求出公差,代入即可. 【解答】解:由等差数列{an}的前n项和为Sn, a6=S6﹣S5=21,S5=5a3=﹣6,, 所以, , 故答案为:. 10.【分析】由焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±2x,知双曲线的标准方程可设为 ,由此能求出此双曲线的离心率. 【解答】解:∵焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±2x, ∴设双曲线方程为,λ>0, ∴双曲线的标准方程为 , ∴a2=λ,b2=4λ,c2=5λ, ∴此双曲线的离心率e==. 故答案为: 11.【分析】直接利用等比数列的定义的应用和一元二次方程的解法的应用求出公比,进一步求出结果. 【解答】解:设公比为q的等比数列{an}中,由于a1=1,且a2a4+a3=6, 所以, 整理得q4+q2﹣6=0,解得q2=2或﹣3(负值舍去), 所以. 故答案为:4. 12.【分析】利用两点坐标求出三角形三边对应的直线方程,结合平面区域与直线的关系建立不等式组即可. 【解答】解:AC对应的方程为 =,得x﹣2y﹣2=0; BC对应的方程为+=1,得x+y﹣2=0; AB对应的方程为=,得2x﹣y+2=0; 画出图形,如图所示; 则平面区域满足x﹣2y﹣2≤0,且2x﹣y+2≥0,x+y﹣2≤0; 所以对应不等式组为. 故答案为:. 13.【分析】首先利用直线与圆锥曲线的位置关系式的应用,建立一元二次方程,再利用根和系数的关系式的应用求出t的值. 【解答】解:直线L:y=x﹣t与抛物线C:y2=4x交于A(x1,y1),B(x2,y2)两个不同点, 则:整理得x2﹣(2t+4)x+t2=0, 所以x1+x2=2t+4,. 由于, 所以x1x2+y1y2=﹣3,即x1x2+(x1﹣t)(x2﹣t)=﹣3, 整理得t2﹣4t+3=0,解得t=1或3, 由于△=(2t+4)2﹣4t2>0,即t≥﹣1. 故t=1或3符合题意. 所以t=1或3. 故答案为:1或3. 14.【分析】本题主要考查数列的递推公式,作为填空题,可以采用特殊值法,找出反例. 【解答】解:对于①,若d=0,ak+1=ak=1,这一数列是周期数列,但周期不是必为2,因此①错误; 对于②,若d=0,则有ak+12=|ak|,显然数列﹣1,1,﹣1,1……满足题意,但该数列不是常数列,因此②错误; 对于③,当数列中有连续三项为1,﹣2,时,d=3>0,但该数列不是递增数列,因此③错误; 对于④,当a1=,d=﹣时,满足题设条件,依题意有an=,该数列是无穷数列,因此④错误; 故答案为:①②③④. 三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分,解答应写出文字说明过程或演算步骤,请将答案写在答题纸上的相应位置.) 15.【分析】(Ⅰ)根据题意,设等比数列{an}的公比为q,由等比数列的通项公式可得a1=1,a1+a2=1+q=3,解可得q的值,进而分析可得答案; (Ⅱ)由(Ⅰ)的结论求出数列{bn}的通项公式,由作差法分析可得数列{bn}为递增数列,据此分析可得答案. 【解答】解:(Ⅰ)根据题意,设等比数列{an}的公比为q, 若S1=1,S2=3,即a1=1,a1+a2=1+q=3,则q=2, 则有an=a1×qn﹣1=2n﹣1, Sn==2n﹣1; (Ⅱ)证明:由(1)的结论,Sn=2n﹣1,则bn=,bn+1=; 则有bn+1﹣bn=﹣=, 则数列{bn}为递增数列,则bn≥b1==1; 故有bn≥1. 16.【分析】(Ⅰ)y=2800x﹣4500﹣[200x﹣40×]; (Ⅱ)先求出平均利润,然后利用基本不等式即可求解. 【解答】解:(Ⅰ)由题意,前x年每年的维修保养费用构成首项为200,公差为40的等差数列, 所以前x年的总维修保养费用为200x﹣40×, 则y=2800x﹣4500﹣[200x﹣40×]=﹣20x2+2620x﹣4500; (Ⅱ)=﹣20x+2620﹣=2620﹣(20x+)≤2620﹣2=2620﹣2×300=2020, 当仅当20x=,即x=15时取等, 所以当该设备使用15年时,商家的年平均盈利额最大,最大为2020万元. 17.【分析】(Ⅰ)根据焦点坐标可知c,再利用离心率可求出a,进而求出椭圆方程; (Ⅱ)设出直线方程,与椭圆方程联立,表示出M,N的坐标,分类讨论,确定直线MN的方程,即可得到结论. 【解答】解:(Ⅰ)由题知c=1,根据e==,得a=2,所以b2=4﹣1=3,所以椭圆E的方程为; (Ⅱ)设l1:y=k(x﹣1),l2:y=﹣(x﹣1),A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0), 联立,整理得(3+4k2)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0,x1+x2=,所以x0=,y0=﹣, 即M(,﹣); 同理可得N(,), 当k2=1时,直线MN的方程为x=,则MN过点(,0), 当k2≠1时,直线MN的斜率kMN=﹣?,则MN方程为y+=﹣?(x﹣), 整理得y═﹣?(x﹣),所以过点(,0), 则直线MN恒过定点(,0). 四、不定项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,可能有项或几项是符合题目要求的,请将所有正确答案填涂在答题纸上的相应位置.) 18.【分析】直接利用不等式的性质和基本不等式和的应用求出结果. 【解答】解:对于选项A:由于,所以a>b,故a﹣c2>b﹣c2,故正确. 对于选项B:当为真分数时,不等式成立,当为假分数时,不等式不成立,故错误. 对于选项C:x∈(0,π)时,当且仅当时,等号成立,故选项C正确. 对于选项D:若a,b∈R*,a+b=1,所以==4,故正确. 故选:ACD. 19.【分析】利用代入法求出前几项的关系即可判断出a1,b1的取值范围,在求出其前2n项和的表达式即可判断大小; 【解答】解:∵数列{an}为递增数列; ∴a1<a2<a3; ∵an+an+1=2n, ∴; ∴ ∴0<a1<1;故A正确. ∴S2n=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n﹣1+a2n)=2+6+10+…+2(2n﹣1)=2n2; ∵数列{bn}为递增数列; ∴b1<b2<b3; ∵bn?bn+1=2n ∴; ∴; ∴1<b1<,故B正确. ∵T2n=b1+b2+…+b2n =(b1+b3+b5+…+b2n﹣1)+(b2+b4+…+b2n) = ; ∴对于任意的n∈N*,S2n<T2n;故C正确,D错误. 故选:ABC. 20.【分析】设△F1PF2的内心为I,连接IP,IF1,IF2,求得双曲线的a,b,c,不妨设P(m,n),m>0,n>0,运用三角形的面积公式求得P的坐标,运用两直线的夹角公式可得tan∠F1PF2,由两点的距离公式,可得△PF1F2的周长, 设△PF1F2的内切圆半径为r,运用三角形的面积公式和等积法,即可计算r. 【解答】解:设△F1PF2的内心为I,连接IP,IF1,IF2, 双曲线E:的a=4,b=3,c=5, 不妨设P(m,n),m>0,n>0, 由△PF1F2的面积为20,可得|F1F2|n=cn=5n=20,即n=4, 由﹣=1,可得m=,故A正确; 由P(,4),且F1(﹣5,0),F2(5,0), 可得k=,k=, 则tan∠F1PF2==∈(0,), 则∠F1PF2<,故C正确; 由|PF1|+|PF2|=+=+=, 则△PF1F2的周长为+10=,故B正确; 设△PF1F2的内切圆半径为r,可得r(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)=?|F1F2|?4, 可得r=40,解得r=,故D正确. 故选:ABCD. 五、填空题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.请把结果填在答题纸上的相应位置.) 21.【分析】根据对称性可知线段AB被直线y=x+t垂直平分,且AB的中点M(x0,y0)在直线y=x+t上,故可设直线AB的方程为y=﹣x+b,联立方程AB方程与椭圆方程,整理可得关于x的一元二次方程,结合方程的根与系数关系可求中点M,由△>0可求b的范围,由中点M在直线y=x+t可得b,t的关系,从而可求t的范围,即可得到结论. 【解答】解:设椭圆上存在关于直线y=x+t对称的两点为A(x1,y1),B(x2,y2), 根据对称性可知线段AB被直线y=x+t垂直平分,且AB的中点M(x0,y0)在直线y=x+t上,且KAB=﹣1, 故可设直线AB的方程为y=﹣x+b. 联立方程,整理可得5x2﹣4bx+2b2﹣2=0. ∴x1+x2=,y1+y2=2b﹣(x1+x2)=, 由△=16b2﹣20(2b2﹣2)>0,可得﹣<b<, ∴x0==,y0==. ∵AB的中点M(,)在直线y=x+t上, ∴=+t,t=﹣, ∴﹣<t<.不妨t为:0, 故答案为:0;. 22.【分析】由当n=k时,>,可知当n=k+1时,f(2k+1)=+++++,从而得到答案. 【解答】解:∵当n=k时,>, ∴当n=k+1时, > > =>. 故答案为: > > =. 23.【分析】设P(x,y) 写出曲线E的方程,当y2≥0,解得x的取值范围;点到原点的距离平方为:d2=x2+y2=x2+﹣(x﹣1)2求出最小值,再开方,就可得出结论. 【解答】解:设P(x,y), ∵到定点A(1,0)的距离与到定直线x=﹣1的距离之积为8, ∴曲线E:, ∴曲线E:y2=, ∴y2≥0,即≥0, ∴﹣3≤x≤3. 曲线E上的点到原点的距离平方为: d2=x2+y2=x2+=, 令f(x)=,(﹣3≤x≤3) 当x∈(﹣3,﹣1)时,f′(x)>0,f(x)递增, 当x∈(﹣1,3)时,f′(x)<0,f(x)递减, ∴f(x)min=f(﹣3)=f(3)=9, ∴曲线E上的点到原点的最小距离是d=3. 故答案为:[﹣3,3],3. 六、解答题(本大题共1小题,满分14分解箐应写出文字说明过程或演算步骤,请将答案写在答题纸上的相应位置.) 24.【分析】(Ⅰ)根据题目所给定义,验证其是否满足即可判断; (Ⅱ)根据“Z数列”定义,结合整数的概念,即可得到所求; (Ⅲ)假设存在等差数列{an}为是Z数列,由等差数列的定义可得至少存在三项a,b,c成等差数列,运用整数的性质和Z数列的定义,变形可判断存在性. 【解答】解:(Ⅰ)①由题意可知S1=2,S2=4,S3=8,S4=16,T1=2,T2=4,T3=16,T4=128, 所以=1,=1,=2,=8, 所以①是Z数列; ②由题意可知S1=8,S2=32,S3=72,S4=128,T1=8,T2=192,T3=7680,T4=430080, 所以=1,=6,≈106.67?N*, 所以②不是Z数列; (Ⅱ)数列{an}是Z数列,且a2=2.设==k∈N*,即2a1=ka1+2k, 所以(2﹣k)a1=2k,即a1=∈N*,所以k=1,则a1=2, 则==t∈N*,则a3=∈N*,t=1,2,3, 所以当t=1时,显然不成立, 当t=2时,a3=4,成立, 当t=3时,a3=12,成立, 所以当a3=4,S3=8,T3=16;当a3=12,S3=16,T3=48; (Ⅲ)假设存在等差数列{an}为是Z数列, 由等差数列的定义可得至少存在三项a,b,c成等差数列,即有=1,∈N*,=∈N*, 由a+c=2b,可得∈N*,可得a,c中至少有一个为3的倍数, 可设a=3,则=c∈N*,只要=3﹣∈N*,可得b=6,c=9,即3,6,9成等差数列,且为Z数列; 若a=6,则=2c∈N*,只要=6﹣∈N*,可得b=6,c=6,即6,6,6成等差数列,且为Z数列; 或b=12,c=18,即6,12,18成等差数列,且为Z数列;或b=30,c=54,即6,30,54成等差数列,且为Z数列; 同样a=9,12,…,3n(n∈N*),…可得b,c的值,使得它们成等差数列,且为Z数列. 综上可得存在等差数列是Z数列
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  • 资料类型: 试卷
  • 资料版本:人教新课标A版
  • 适用地区:北京市
  • 文件大小:261.04KB
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