[ID:3-5932401] 2019年中考数学冲刺压轴题:填空题(PDF版,附答案解析)
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2019 年中考数学冲刺压轴题 压轴填空题 1.若 m ﹣2n=﹣1,则代数式 m 2 ﹣4n 2 +4n= ____________. 2.已知 ,其中 表示当 时,代数式 的值如 , , , 则 ______. 3.已知方程组 的解也是方程 3x﹣2y=0 的解,则 k=_____. 4.关于 x 的一元二次方程(a﹣1)x 2﹣2x+3=0 有实数根,则整数 a 的最大值是_____________. 5.若关于 x 的分式方程 =a 无解,则 a 的值为____. 6.如图,P 为反比例函数 (x<0)在第三象限内图象上的一点,过点 P 分别作 x 轴、y轴的垂线交一次函 数 y=-x+4 的图像于点 A、B.若 AO、BO 分别平分∠BAP,∠ABP ,则 k 的值为___________. 7.如图,直线 y=﹣x+4 与两坐标轴交 A、B 两点,点 P 为线段 OA 上的动点,连接 BP,过点 A 作 AM 垂直 于直线 BP,垂足为 M,当点 P 从点 O 运动到点 A 时,则点 M 运动路径的长为____________. 8.如图,点 是等边 的边 上的一个动点,连结 ,将射线 绕点 顺时针旋转 交 于点 ,若 ,则 的最小值是 ___________. 9.如图,直线 交坐标轴于 、 两点,交抛物线 于点 ,且 是线段 的中点,抛物线 上另有位于第一象限内的一点 ,过 的直线 交坐标轴于 、 两点,且 恰好是线段 的中点, 若 ,则 点的坐标是________. 10.如图,在菱形 ABCD 中,AB=6,∠DAB=60°,AE 分别交 BC,BD 于点 E,F,CE=2,连接 CF.给 出以下结论:①△ABF≌△CBF;②点E到AB的距离是 3 ;③tan∠DCF= ;④△ABF的面积为 .其 中正确的结论序号是_____ 11.在△ABC 中,BC=a.作 BC 边的三等分点 C1,使得 CC1:BC1=1:2,过点 C1作 AC 的平行线交 AB 于 点 A1,过点 A1作 BC 的平行线交 AC 于点 D1,作 BC1边的三等分点 C2,使得 C1C2:BC2=1:2,过点 C2 作 AC 的平行线交 AB 于点 A2,过点 A2作 BC 的平行线交 A1C1于点 D2;如此进行下去,则线段 AnDn的长 度为______________. 12.如图,已知在 中, , , ,动点 从点 出发,沿着 方向以 1 个单位长度 /秒的速度匀速运动,同时动点 从点 出发,沿着 方向也以 1 个单位长度/秒的速度匀速运动,设运动时 间为 秒( ),以 为圆心, 长为半径的 与 的另一个交点为点 ,连结 ,当 与线 段 只有一个公共点时, 的取值范围是__________. 13.如图,在矩形 中, , 是 边上的一个动点,连接 ,过点 作 于 ,连接 , 当 为等腰三角形时,则 的长是_____________. 14.如图,在 中, ,点 分别在 边上, ,且 ,若 , 则 的长是__________. 15.如图,在 Rt△ABC 中,已知∠BAC=90°,AB=6,AC=8,点 D 是 AC上的一点,将△ABC 沿着过点 D 的一条直线翻折,使点 C 落在 BC 边上的点 E 处,连接 AE、DE,当∠CDE=∠AEB 时,AE 的长是______. 16.如图,AB 为弓形 AB 的弦,AB=2 ,弓形所在圆⊙O 的半径为 2,点 P 为弧 AB 上动点,点 I 为△PAB 的内心,当点 P 从点 A 向点 B 运动时,点 I 移动的路径长为_____. 17.如图,已知反比例函数 y= (x>0)的图象绕原点 O 逆时针旋转 45°,所得的图象与原图象相交于点 A,连接 OA,以 O 为圆心,OA 为半径作圆,交函数 y= (x>0)的图象与点 B,则扇形 AOB 的面积为 _____. 18.如图,矩形 OABC 的边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴上,点 B 的坐标为(8,4),反比例函数 y= (k>0)的图象 分别交边 BC、AB 于点 D、E,连结 DE,△DEF 与△DEB 关于直线 DE 对称,当点 F 恰好落在线段 OA 上 时,则 k 的值是________. 19.如图,△ABD是边长为 3 的等边三角形,E,F分别是边 AD,AB上的动点,若∠ADC=∠ABC=90°,则 △ CEF周长的最小值为______. 20.如图,已知矩形 ABCD中,AB=4,AD=3,P是以 CD为直径的半圆上的一个动点,连接 BP. (1)半圆CD =__; (2)BP的最大值是__. 2019 年中考数学冲刺压轴题 压轴填空题 1.若 m ﹣2n=﹣1,则代数式 m 2﹣4n 2+4n= ____________. 【答案】1 【解析】 【分析】 先根据平方差公式分解,再代入,最后变形后代入,即可求出答案. 【详解】 解: , 故答案为:1. 【点睛】 本题考查了平方差公式的应用,能根据公式分解因式是解此题的关键. 2.已知 ,其中 表示当 时,代数式 的值如 , , , 则 ______. 【答案】2014 【解析】 【分析】 根据代数式求值即可求出答案. 【详解】 解:∵ = , ∴f(1)?f(2)?f(3)……f(2013) = =2014, 故答案为:2014 【点睛】 本题考查代数式求值,解题的关键是熟练根据题意找出运算规律,本题属于基础题型. 3.已知方程组 的解也是方程 3x﹣2y=0 的解,则 k=_____. 【答案】-5 【解析】 由题意可列方程组 ,解得 代入 4x-3y+k=0 得 k=-5 4.关于 x 的一元二次方程(a﹣1)x 2﹣2x+3=0 有实数根,则整数 a 的最大值是_____________. 【答案】0 【解析】 解:根据题意得:a+1≠0且△=(-2)2-4×(a+1)×3≥0,解得 a≤ 且 a≠-1,所以整数 a 的最大值为-2.故 答案为:-2. 5.若关于 x 的分式方程 =a 无解,则 a 的值为____. 【答案】1 或-1 【解析】 根据方程无解,可让 x+1=0,求出 x=-1,然后再化为整式方程可得到 x-a=a(x+1),把 x=-1 代入即可求得-1-a= (-1+1)×a,解答 a=-1;当 a=1 时,代入可知方程无解. 故答案为:1 或-1. 6.如图,P 为反比例函数 (x<0)在第三象限内图象上的一点,过点 P 分别作 x 轴、y 轴的垂线交一次 函数 y=-x+4 的图像于点 A、B.若 AO、BO 分别平分∠BAP,∠ABP ,则 k 的值为___________. 【答案】8 【解析】分析: 作 BF⊥x轴,OE⊥AB,CQ⊥AP,易证△BOE∽△AOD,根据相似三角形对应边比例相等 的性质即可求出 k 的值. 详解: 作 BF⊥x轴,OE⊥AB,CQ⊥AP;设 P 点坐标(n, ), ∵直线 AB 函数式为 y=-x+4,PB⊥y 轴,PA⊥x轴, ∴∠PBA=∠PAB=45°, ∴PA=PB, ∵P 点坐标(-n,- ), ∴OD=CQ=n, ∴AD=AQ+DQ=n+4; ∵当 x=0 时,y=-x+4=4, ∴OC=DQ=4,GE=OE= OC=2 ; 同理可证:BG= BF= PD= , ∴BE=BG+EG= +2 ; ∵∠APB=90°, ∴∠PAB+∠PBA=90°. ∵AO、BO 分别平分∠BAP,∠ABP , ∴∠OBE+∠OAE=45°, ∵∠DAO+∠OAE=45°, ∴∠DAO=∠OBE, 在△BOE 和△AOD 中, ∵∠DAO=∠OBE, ∠BEO=∠ADO=90°, ∴△BOE∽△AOD; ∴ , ∴ ; 整理得:nk+2n 2 =8n+2n 2, 化简得:k=8; 故答案为:8. 点睛: 本题主要考查了一次函数图形与坐标轴的交点,等腰直角三角形的判定与性质,相似三角形的判定与 性质及反比例函数图象上点的坐标特征,解题的关键是正确作出辅助线,构造相似三角形. 7.如图,直线 y=﹣x+4 与两坐标轴交 A、B 两点,点 P 为线段 OA 上的动点,连接 BP,过点 A 作 AM 垂 直于直线 BP,垂足为 M,当点 P 从点 O 运动到点 A 时,则点 M 运动路径的长为____________. 【答案】 2 π. 【解析】解:∵AM 垂直于直线 BP,∴∠BMA=90°,∴点 M 的路径是以 AB 的中点 N 为圆心,AB 长的一半 为半径的弧 OA,连接 ON.∵直线 y=﹣x+4 与两坐标轴交 A、B 两点,∴OA=OB=4,∴ON⊥AB,∴∠ ONA=90°.∵AB= 2 2OA OB? =4 2 ,∴ON=2 2 ,∴弧 OA 的长= 90 180 ? ?2 2 = 2? .故答案为: 2 π. 点睛:本题考查了一次函数的综合题,涉及了两坐标轴交点坐标及点的运动轨迹,难点在于根据∠BMC=90°, 判断出点 M 的运动路径是解题的关键,同学们要注意培养自己解答综合题的能力. 8.如图,点 是等边 的边 上的一个动点,连结 ,将射线 绕点 顺时针旋转 交 于点 ,若 ,则 的最小值是 ___________. 【答案】 【解析】 【分析】 由等边三角形的性质可知∠B=∠C,利用外角的性质证得∠BAD=∠EDC,可得出△ABD∽△DCE,设 BD 的长为 x,由相似的性质求出 CE 的长,再求出 AC 的长,利用函数的性质可求出 AE 的最小值. 【详解】 ∵△ABC 为等边三角形, ∴∠B=∠C=60°,AB=BC=AC=4, ∵∠B+∠BAD=∠ADC=∠ADE+∠EDC,∠ADE=60°, ∴∠BAD=∠EDC, ∴△ABD∽△DCE, ∴ , 设 BD=x,则 CD=4-x, ∴ , ∴CE=- x2+x, ∴AE=AC-CE =4-(- x2+x) = x 2 -x+4 = (x-2)2+3, ∵ >0, 由二次函数的性质可知,当 x 的值为 2 时,AE 有最小值,最小值为 3, 故答案为:3. 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质,相似的判定与性质以及二次函数的性质等,解题的关键是能够用字母将所 求线段的长段表示出来,用函数的性质求极值. 9.如图,直线 交坐标轴于 、 两点,交抛物线 于点 ,且 是线段 的中点,抛物线 上另有位于第一象限内的一点 ,过 的直线 交坐标轴于 、 两点,且 恰好是线段 的中点, 若 ,则 点的坐标是________. 【答案】 【解析】 【分析】 先求出二次函数的解析式,然后根据 C为 AB中点表示出 A,B的坐标,利用三角形相似设出 D的坐标并表示出 E 的坐标,根据 P为线段 DE的中点表示出 P的坐标,代入即可求值. 【详解】 解:∵抛物线经过点 , ∴抛物线的解析式为 y= x2, ∵C 是线段 AB的中点, ∴B(0,6),A(8,0) ∵△AOB∽△DOE ∴ 设点 D的坐标为(0,a),则点 E的坐标为( ,0), ∵点 P为 DE的中点, ∴点 P的坐标为( , ), ∵点 P在抛物线 y= x2上, ∴ ( )2, 解得:a= , ∴P 点坐标 . 【点睛】 本题考查了二次函数的综合性质,难度较大,根据相似三角形性质表示出 E,D的坐标是解题关键. 10.如图,在菱形 ABCD 中,AB=6,∠DAB=60°,AE 分别交 BC,BD 于点 E,F,CE=2,连接 CF.给 出以下结论:①△ABF≌△CBF;②点 E 到 AB 的距离是 3 ;③tan∠DCF= ;④△ABF 的面积为 .其中正确的结论序号是_____ 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】 利用 SAS 证明△ABF与△CBF全等,得出①正确,根据含 30°角的直角三角形的性质得出点 E 到 AB 的距 离是 2 ,得出②错误,同时求出△ABF的面积,得出④错误,得出 tan∠DCF= ,得出③正确. 【详解】 解:∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AB=BC=6, ∵∠DAB=60°, ∴AB=AD=DB,∠ABD=∠DBC=60°, 在△ABF与△CBF中, ∴△ABF≌△CBF(SAS),故①正确; 过点 E 作 EG⊥AB,过点 F作 MH⊥CD 于 M,MH⊥AB 于 H,如图所示: ∵CE=2,BC=6,∠ABC=120°, ∴BE=6﹣2=4, ∵EG⊥AB, ∴EG=2 , ∴点 E 到 AB 的距离是 2 ,故②错误; ∵BE=4,EC=2, ∴S△BFE:S△FEC=4:2=2:1, ∴S△ABF:S△FBE=3:2, ∴△ABF的面积为= S△ABE= × ×6×2 = ,故④正确; ∵S△ADB= ×6×3 =9 , ∴S△DFC=S△ADB﹣S△ABF=9 ﹣ = , ∵S△DFC= ×6×MF, ∴FM= , ∴DM= = , ∴CM=DC﹣DM=6﹣ = , ∴tan∠DCF= = , 故③正确; 故答案为:①②③④ 【点睛】 此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质,熟练掌握菱形的性质,证 明三角形全等是解题的关键,重点掌握辅助线的作法. 11.在△ABC 中,BC=a.作 BC 边的三等分点 C1,使得 CC1:BC1=1:2,过点 C1作 AC 的平行线交 AB 于点 A1,过点 A1作 BC 的平行线交 AC 于点 D1,作 BC1边的三等分点 C2,使得 C1C2:BC2=1:2,过点 C2作 AC 的平行线交 AB 于点 A2,过点 A2作 BC 的平行线交 A1C1于点 D2;如此进行下去,则线段 AnDn 的长度为______________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据平行四边形的判定定理得到四边形 A1C1CD1为平行四边形,根据平行四边形的性质得到 A1D1=C1C,总 结规律,根据规律解答. 【详解】 ∵A1C1∥AC,A1D1∥BC, ∴四边形 A1C1CD1为平行四边形, ∴A1D1=C1C= a= , 同理,四边形 A2C2C1D2为平行四边形, ∴A2D2=C1C2= a= , …… ∴线段 AnDn= , 故答案为: . 【点睛】 本题考查的是平行四边形的判定和性质、图形的变化规律,掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解题 的关键. 12.如图,已知在 中, , , ,动点 从点 出发,沿着 方向以 1 个单位长度 /秒的速度匀速运动,同时动点 从点 出发,沿着 方向也以 1 个单位长度/秒的速度匀速运动,设运动时 间为 秒( ),以 为圆心, 长为半径的 与 的另一个交点为点 ,连结 ,当 与线 段 只有一个公共点时, 的取值范围是__________. 【答案】 或 【解析】 【分析】 先由勾股定理求出 AB=5,分两种情况:①当 DN 与⊙M 相切时,证明△ADN∽△ACB,得出 ,求 出 t= ,得出 0<t≤ 即可; ②当 DN⊥AC 时,证明△AND∽△ACB,得出 ,求出 t= ,再由 0<t≤ ,得出 <t≤ 即可. 【详解】 解:∵△ABC 中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3, ∴AB= = =5 分两种情况: ①当 DN 与⊙M 相切时,则∠NDA=90°, ∵CN=AM=t, ∴AN=4-t,AD=2t, ∵∠A=∠A,∠NDA=∠ACB=90°, ∴△ADN∽△ACB, ∴ ,即 , ∴t= ; ∴当 0<t≤ 时,⊙M 与 DN 只有一个交点; ②当 DN⊥AC 时,则∠DNA=90°, ∵CN=AM=t, ∴AN=4-t,AD=2t, ∵∠A=∠A,∠DNA=∠ACB=90°, ∴△AND∽△ACB, ∴ ,即 , 解得:t= , ∵0<t≤ , ∴ <t≤ ; 综上所述,t 的取值范围为 或 ; 故答案为: 或 . 【点睛】 本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识;熟练掌握直线与圆相切的 性质,证明三角形相似是解题的关键. 13.如图,在矩形 中, , 是 边上的一个动点,连接 ,过点 作 于 ,连接 , 当 为等腰三角形时,则 的长是_____________. 【答案】1 或 或 【解析】 【分析】 过点 C 作 CM⊥DF,垂足为点 M,判断△CDF 是等腰三角形,要分类讨论,①CF=CD;②DF=DC;③FD=FC, 根据相似三角形的性质进行求解. 【详解】 解:①CF=CD 时,过点 C 作 CM⊥DF,垂足为点 M, 则 CM∥AE,DM=MF, 延长 CM交 AD 于点 G, ∴AG=GD=1, ∵AG∥EC,AE∥CG, ∴四边形 AECG 是平行四边形, ∴CE=AG=1, ∴当 BE=1 时,此时 EF 重合,△CDF 是等腰三角形. ②DF=DC 时,则 DC=DF=1, ∵DF⊥AE,AD=2, ∴∠DAE=30°, ∴∠AEB=30° 则 BE= ∴当 BE= 时,△CDF 是等腰三角形; ③FD=FC 时,则点 F 在 CD 的垂直平分线上,故 F 为 AE 中点. ∵AD∥BC∥FH, ∴AF=EF, ∴AD=DE ∴CE= = = , ∴BE=BC-CE=2- ∴当 BE=2- 时,△CDF 是等腰三角形. 综上,当 BE=1、 、2- 时,△CDF 是等腰三角形. 故答案为:1 或 或 . 【点睛】 本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学 会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型. 14.如图,在 中, ,点 分别在 边上, ,且 ,若 , 则 的长是__________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据已知条件和等腰三角形的性质可先求得∠BDE=90°,然后根据三角形相似的判定和性质可得 ,从而可得 AD+DC=3AB,然后再利用勾股定理求得 CD,从而可得 AC 和 AB,再利用勾股定 理求得 BC 即可. 【详解】 解:∵∠C+ ∠CDE=45°, ∴ ∠CDE+2∠C=90°, 又∵ BD=CD, ∴∠DBE=∠C, ∴∠C+∠DBE+∠CDE=90°, ∴∠BDE=90°, 又∵∠A=90°, ∴△BDE∽△CAB, ∴ , ∵AC=AD+DC, ∴AD+DC=3AB, 又∵AB2+AD2=BD2=CD2, ∴ ,解得 CD= (CD=-6 舍), ∴AC= ,AB= , ∴BC= . 【点睛】 本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识,熟练掌握其相关知识是 解题的关键. 15.如图,在 Rt△ABC 中,已知∠BAC=90°,AB=6,AC=8,点 D 是 AC 上的一点,将△ABC 沿着过 点 D 的一条直线翻折,使点 C 落在 BC 边上的点 E 处,连接 AE、DE,当∠CDE=∠AEB 时,AE 的长是 ______. 【答案】 【解析】 【分析】 分别过 A、D 点作 AM、DN 垂直于 BC 与 M、N 点,利用三角形内角和 180°,以及平角 180 度,推导出 ED 平分∠AEC,则 DA=DN,设 DN=DA=x,则 CD=8-x,利用三角函数求出 ED、DN 长,从而确定了 EN 和 CN 长为 4,可求 BE=2,利用三角函数知识求出 AM、BM 值,最后在 Rt△AEM 中利用勾股定理求的 AE 长. 【详解】 由勾股定理可得 BC=10. 分别过 A、D 点作 AM、DN 垂直于 BC 与 M、N 点, 根据折叠的性质可知∠C=∠DEC,EN=CN, ∵∠DEC+∠C+∠EDC=180°,∠DEC+∠AED+∠AEB=180°, 已知∠EDC=∠AEB,∴∠AED=∠DCE=∠DEC,即 ED 平分∠AEC, 根据角平分线的性质可得 DN=DA, 设 DN=DA=x,则 CD=8-x, sinC= ,即 , 解得 x=3, 所以 DN=3,CD=5, 所以 NC=4,EN=4, 所以 BE=10-4-4=2, sinB= ,即 ,解得 AM=4.8, 在 Rt△ABM 中利用勾股定理可得 BM=3.6, 则 EM=3.6-2=1.6, 在 Rt△AEM 中,AE= . 【点睛】 本题主要考查了翻折的性质、解直角三角形、勾股定理,综合性较强,熟练运用三角函数解直角三角形中 线段问题是解题的捷径. 16.如图,AB 为弓形 AB 的弦,AB=2 ,弓形所在圆⊙O 的半径为 2,点 P 为弧 AB 上动点,点 I 为△PAB 的内心,当点 P 从点 A 向点 B 运动时,点 I 移动的路径长为_____. 【答案】 【解析】 【分析】 连接 OB,OA,过 O 作 ,得到 ,求得 ,连接 IA,IB,根据 角平分线的定义得到 , ,根据三角形的内角和得到 ,设 A,B,I 三点所在的圆的圆心为 ,连接 , ,得到 ,根据等腰三角形的性质得到 ,连接 ,解直角三角形得到 ,根据弧长公式即可得到结论. 【详解】 解:连接 OB,OA,过 O 作 , , , 在 Rt 中, , , , , 连接 IA,IB, 点 I 为 的内心, , , , , 点 P 为弧 AB 上动点, 始终等于 , 点 I 在以 AB 为弦,并且所对的圆周角为 的一段劣弧上运动, 设 A,B,I 三点所在的圆的圆心为 , 连接 , , 则 , , , 连接 , , , , 点 I 移动的路径长 故答案为: 【点睛】 本题考查了三角形的内切圆与内心,解直角三角形,弧长公式以及圆周角定理,根据题意作出辅助线,构 造出全等三角形,得出点 I 在以 AB 为弦,并且所对的圆周角为 的一段劣弧上是解答此题的关键. 17.如图,已知反比例函数 y= (x>0)的图象绕原点 O 逆时针旋转 45°,所得的图象与原图象相交于点 A,连接 OA,以 O 为圆心,OA 为半径作圆,交函数 y= (x>0)的图象与点 B,则扇形 AOB 的面积为 _____. 【答案】 π. 【解析】 【分析】 如图,作 AD⊥y轴于 D,由题意∠AOD=22.5°,根据对称性可知,∠AOB=90°﹣2×22.5°=45°,在 OD 上 取一点 F,使得 OF=OA,推出∠FOA=∠FAO=22.5°,推出∠AFD=∠DAF=45°,设 DA=DF=a,则 ,A[a,(1+ )a],由点 A 在 上,推出( )a2=2,推出 ,由 OA2 =a2+(1+ )2a2=(4+2 )a2 ,根据扇形 AOB 的面积= 计算即可. 【详解】 解:如图,作 AD⊥y轴于 D,由题意∠AOD=22.5°, 根据对称性可知,∠AOB=90°﹣2×22.5°=45°, 在 OD 上取一点 F,使得 OF=FA, ∴∠FOA=∠FAO=22.5°, ∴∠AFD=∠DAF=45°,设 DA=DF=a,则 ,A[a,(1+ )a],∵点 A 在 上, ∴( )a2=2, ∴ ∵OA2=a2+(1+ )2a2=(4+2 )a2 , ∴扇形 AOB 的面积= = π. 故答案为: π. 【点睛】 本题考查坐标与图形的变化﹣旋转、反比例函数的性质、扇形的面积公式、勾股定理等知识,解题的关键 是学会添加常用辅助线,构造特殊三角形解决问题,属于中考常考题型. 18.如图,矩形 OABC 的边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴上,点 B 的坐标为(8,4),反比例函数 y= (k>0)的图 象分别交边 BC、AB 于点 D、E,连结 DE,△DEF 与△DEB 关于直线 DE 对称,当点 F 恰好落在线段 OA 上时,则 k 的值是________. 【答案】12 【解析】 【分析】 由于四边形是矩形 OABC,且△DEF与△DEB 关于直线 DE 对称.当点 F正好落在边 OA 上,可得 △DGF∽△FAE,然后把 D 和 E 点坐标表示出来,再由三角形相似对应边成比例即可求出 AF的长.然后利 用勾股定理求出 k=12. 【详解】 过点 D 作 DG⊥OA 垂足为 G(如图所示) 由题意知 D( ,4),E(8, ),DG=4 又∵△DEF与△DEB 关于直线 DE 对称.当点 F正好落在边 OA 上 ∴DF=DB,∠B=∠DFE=90° ∵∠DGF=∠FAE=90°,∠DFG+∠EFA=90° 又∵∠EFA+∠FEA=90° ∴∠GDF=∠EFA ∴△DGF∽△FAE ∴ ,即 , 解得:AF=2, ∵EF 2 =EA 2 +AF 2 即(4? )2=( )2+4 解得:k=12 故答案为:12 【点睛】 本题主要利用图形的对称,三角形相似及反比例函数的性质来解决问题.把各个边的长表示来,再利用勾 股定理即可解决. 19.如图,△ABD 是边长为 3 的等边三角形,E,F分别是边 AD,AB 上的动点,若∠ADC=∠ABC=90°,则 △ CEF周长的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 分别作点 C 关于 AD、AB 的对称点 M、N,连接 MN,MN 与 AD 交于点 E,与 AB 交于点 F,连接 CE、 CF,则此时△CEF的周长最小.分别证△ADC≌△ABC,△ACD≌△MCP,得 MP=AD=3, ∠MPC=∠ADC=90°,MN=2MP=6. 【详解】 如图,因为 ,所以分别作点 C 关于 AD、AB 的对称点 M、N,连接 MN,MN与 AD 交 于点 E,与 AB 交于点 F,连接 CE、CF,则此时△CEF的周长最小, 连接 AC,交 MN 于点 P, 由作图可知 CE=ME、CF=FN,∴△CEF的周长:CE+CF+EF=MN, ∵△ABD 是等边三角形,∴AB=AD=3,∠DAB=∠ADB=∠ABD=60°, ∵∠ADC=∠ABC=90°,∴∠CDB=∠CBD=30°, ∴CD=CB, ∵DM=CD,BN=CB,∴CM=2CD=2BC=CN,MN//BD,∴∠M=∠N=∠CDB=30°, 又∵AC=AC,∴△ADC≌△ABC, ∴CD=CB,∠DAC=∠BAC= ∠DAB=30°, ∴AC=2CD,∠M=∠DAC,∴AC=CM, 又∵∠ACD=∠MCP,∴△ACD≌△MCP,∴MP=AD=3,∠MPC=∠ADC=90°, ∴MN=2MP=6, 即△CEF周长的最小值是 6, 故答案为:6. 【点睛】 本题考查了最短路径问题,涉及到等边三角形的性质,全等三角形的判定与性质, 轴对称的性质等,正确根据轴对称的性质作出符合条件的图形是解题的关键. 20.如图,已知矩形 ABCD中,AB=4,AD=3,P是以 CD为直径的半圆上的一个动点,连接 BP. (1)半圆CD =__; (2)BP的最大值是__. 【答案】 2π 2+ 13 故答案为(1)2π, (2)2+ 13 .
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  • 资料类型: 试卷
  • 资料版本:通用
  • 适用地区:全国
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