[ID:3-5952182] 2019年全国统一高考(新课标1)文科数学真题试卷(解析版)
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2019年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅰ) 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.(5分)设z=,则|z|=(  ) A.2 B. C. D.1 2.(5分)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩?UA=(  ) A.{1,6} B.{1,7} C.{6,7} D.{1,6,7} 3.(5分)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则(  ) A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a 4.(5分)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(≈0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是(  ) A.165cm B.175cm C.185cm D.190cm 5.(5分)函数f(x)=在[﹣π,π]的图象大致为(  ) A. B. C. D. 6.(5分)某学校为了解1000名新生的身体素质,将这些学生编号1,2,…,1000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是(  ) A.8号学生 B.200号学生 C.616号学生 D.815号学生 7.(5分)tan255°=(  ) A.﹣2﹣ B.﹣2+ C.2﹣ D.2+ 8.(5分)已知非零向量,满足||=2||,且(﹣)⊥,则与的夹角为(  ) A. B. C. D. 9.(5分)如图是求的程序框图,图中空白框中应填入(  ) A.A= B.A=2+ C.A= D.A=1+ 10.(5分)双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C的离心率为(  ) A.2sin40° B.2cos40° C. D. 11.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinA﹣bsinB=4csinC,cosA=﹣,则=(  ) A.6 B.5 C.4 D.3 12.(5分)已知椭圆C的焦点为F1(﹣1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为(  ) A. +y2=1 B. +=1 C. +=1 D. +=1 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。 13.(5分)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为   . 14.(5分)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1,S3=,则S4=   . 15.(5分)函数f(x)=sin(2x+)﹣3cosx的最小值为   . 16.(5分)已知∠ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到∠ACB两边AC,BC的距离均为,那么P到平面ABC的距离为   . 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。 17.(12分)某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表: 满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客 30 20 (1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率; (2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异? 附:K2=. P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 18.(12分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=﹣a5. (1)若a3=4,求{an}的通项公式; (2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围. 19.(12分)如图,直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点. (1)证明:MN∥平面C1DE; (2)求点C到平面C1DE的距离. 20.(12分)已知函数f(x)=2sinx﹣xcosx﹣x,f′(x)为f(x)的导数. (1)证明:f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点; (2)若x∈[0,π]时,f(x)≥ax,求a的取值范围. 21.(12分)已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4,⊙M过点A,B且与直线x+2=0相切. (1)若A在直线x+y=0上,求⊙M的半径; (2)是否存在定点P,使得当A运动时,|MA|﹣|MP|为定值?并说明理由. (二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。[选修4-4:坐标系与参数方程](10分) 22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ+11=0. (1)求C和l的直角坐标方程; (2)求C上的点到l距离的最小值. [选修4-5:不等式选讲](10分) 23.已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明: (1)++≤a2+b2+c2; (2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24. 2019年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅰ) 参考答案与试题解析 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.(5分)设z=,则|z|=(  ) A.2 B. C. D.1 解:由z=,得|z|=||=. 故选:C. 2.(5分)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩?UA=(  ) A.{1,6} B.{1,7} C.{6,7} D.{1,6,7} 解:∵U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7}, ∴?UA={1,6,7}, 则B∩?UA={6,7} 故选:C. 3.(5分)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则(  ) A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a 解:a=log20.2<log21=0, b=20.2>20=1, ∵0<0.20.3<0.20=1, ∴c=0.20.3∈(0,1), ∴a<c<b, 故选:B. 4.(5分)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(≈0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是(  ) A.165cm B.175cm C.185cm D.190cm 解:头顶至脖子下端的长度为26cm, 说明头顶到咽喉的长度小于26cm, 由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是≈0.618, 可得咽喉至肚脐的长度小于≈42cm, 由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是, 可得肚脐至足底的长度小于=110, 即有该人的身高小于110+68=178cm, 又肚脐至足底的长度大于105cm, 可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65cm, 即该人的身高大于65+105=170cm, 故选:B. 5.(5分)函数f(x)=在[﹣π,π]的图象大致为(  ) A. B. C. D. 解:∵f(x)=,x∈[﹣π,π], ∴f(﹣x)==﹣=﹣f(x), ∴f(x)为[﹣π,π]上的奇函数,因此排除A; 又f()=,因此排除B,C; 故选:D. 6.(5分)某学校为了解1000名新生的身体素质,将这些学生编号1,2,…,1000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到,则下面4名学生中被抽到的是(  ) A.8号学生 B.200号学生 C.616号学生 D.815号学生 解::∵从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本, ∴系统抽样的分段间隔为=10, ∵46号学生被抽到, 则根据系统抽样的性质可知,第一组随机抽取一个号码为6,以后每个号码都比前一个号码增加10,所有号码数是以6为首项,以10为公差的等差数列, 设其数列为{an},则an=6+10(n﹣1)=10n﹣4, 当n=62时,a62=616,即在第62组抽到616. 故选:C. 7.(5分)tan255°=(  ) A.﹣2﹣ B.﹣2+ C.2﹣ D.2+ 解:tan255°=tan(180°+75°)=tan75°=tan(45°+30°) ===. 故选:D. 8.(5分)已知非零向量,满足||=2||,且(﹣)⊥,则与的夹角为(  ) A. B. C. D. 解:∵(﹣)⊥, ∴ =, ∴ ==, ∵, ∴. 故选:B. 9.(5分)如图是求的程序框图,图中空白框中应填入(  ) A.A= B.A=2+ C.A= D.A=1+ 解:模拟程序的运行,可得: A=,k=1; 满足条件k≤2,执行循环体,A=,k=2; 满足条件k≤2,执行循环体,A=,k=3; 此时,不满足条件k≤2,退出循环,输出A的值为, 观察A的取值规律可知图中空白框中应填入A=. 故选:A. 10.(5分)双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C的离心率为(  ) A.2sin40° B.2cos40° C. D. 解:双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=, 由双曲线的一条渐近线的倾斜角为130°,得, 则=, ∴=, 得, ∴e=. 故选:D. 11.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinA﹣bsinB=4csinC,cosA=﹣,则=(  ) A.6 B.5 C.4 D.3 解:∵△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, asinA﹣bsinB=4csinC,cosA=﹣, ∴, 解得3c2=, ∴=6. 故选:A. 12.(5分)已知椭圆C的焦点为F1(﹣1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为(  ) A. +y2=1 B. +=1 C. +=1 D. +=1 解:∵|AF2|=2|BF2|,∴|AB|=3|BF2|, 又|AB|=|BF1|,∴|BF1|=3|BF2|, 又|BF1|+|BF2|=2a,∴|BF2|=, ∴|AF2|=a,|BF1|=a, 在Rt△AF2O中,cos∠AF2O=, 在△BF1F2中,由余弦定理可得cos∠BF2F1=, 根据cos∠AF2O+cos∠BF2F1=0,可得+=0,解得a2=3,∴a=. b2=a2﹣c2=3﹣1=2. 所以椭圆C的方程为: +=1. 故选:B. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。 13.(5分)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为 y=3x . 解:∵y=3(x2+x)ex, ∴y'=3ex(x2+3x+1), ∴当x=0时,y'=3, ∴y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线斜率k=3, ∴切线方程为:y=3x. 故答案为:y=3x. 14.(5分)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1,S3=,则S4=  . 解:∵等比数列{an}的前n项和,a1=1,S3=, ∴q≠1,=, 整理可得,, 解可得,q=﹣, 则S4===. 故答案为: 15.(5分)函数f(x)=sin(2x+)﹣3cosx的最小值为 ﹣4 . 解:∵f(x)=sin(2x+)﹣3cosx, =﹣cos2x﹣3cosx=﹣2cos2x﹣3cosx+1, 令t=cosx,则﹣1≤t≤1, ∵f(t)=﹣2t2﹣3t+1的开口向上,对称轴t=,在[﹣1,1]上先增后减, 故当t=1即cosx=1时,函数有最小值﹣4. 故答案为:﹣4 16.(5分)已知∠ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到∠ACB两边AC,BC的距离均为,那么P到平面ABC的距离为  . 解:∠ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到∠ACB两边AC,BC的距离均为, 过点P作PD⊥AC,交AC于D,作PE⊥BC,交BC于E,过P作PO⊥平面ABC,交平面ABC于O, 连结OD,OC,则PD=PE=, ∴CD=CE=OD=OE==1, ∴PO===. ∴P到平面ABC的距离为. 故答案为:. 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。 17.(12分)某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表: 满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客 30 20 (1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率; (2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异? 附:K2=. P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 解:(1)由题中数据可知,男顾客对该商场服务满意的概率P==, 女顾客对该商场服务满意的概率P==; (2)由题意可知,K2==≈4.762>3.841, 故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. 18.(12分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9=﹣a5. (1)若a3=4,求{an}的通项公式; (2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围. 解:(1)根据题意,等差数列{an}中,设其公差为d, 若S9=﹣a5,则S9==9a5=﹣a5,变形可得a5=0,即a1+4d=0, 若a3=4,则d==﹣2, 则an=a3+(n﹣3)d=﹣2n+10, (2)若Sn≥an,则na1+d≥a1+(n﹣1)d, 当n=1时,不等式成立, 当n≥2时,有≥d﹣a1,变形可得(n﹣2)d≥﹣2a1, 又由S9=﹣a5,即S9==9a5=﹣a5,则有a5=0,即a1+4d=0,则有(n﹣2)≥﹣2a1, 又由a1>0,则有n≤10, 则有2≤n≤10, 综合可得:n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N}. 19.(12分)如图,直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点. (1)证明:MN∥平面C1DE; (2)求点C到平面C1DE的距离. 解法一: 证明:(1)连结B1C,ME,∵M,E分别是BB1,BC的中点, ∴ME∥B1C,又N为A1D的中点,∴ND=A1D, 由题设知A1B1DC,∴B1CA1D,∴MEND, ∴四边形MNDE是平行四边形, MN∥ED, 又MN?平面C1DE,∴MN∥平面C1DE. 解:(2)过C作C1E的垂线,垂足为H, 由已知可得DE⊥BC,DE⊥C1C, ∴DE⊥平面C1CE,故DE⊥CH, ∴CH⊥平面C1DE,故CH的长即为C到时平面C1DE的距离, 由已知可得CE=1,CC1=4, ∴C1E=,故CH=, ∴点C到平面C1DE的距离为. 解法二: 证明:(1)∵直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形, AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点. ∴DD1⊥平面ABCD,DE⊥AD, 以D为原点,DA为x轴,DE为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系, M(1,,2),N(1,0,2),D(0,0,0),E(0,,0),C1(﹣1,,4), =(0,﹣,0),=(﹣1,),=(0,), 设平面C1DE的法向量=(x,y,z), 则, 取z=1,得=(4,0,1), ∵=0,MN?平面C1DE, ∴MN∥平面C1DE. 解:(2)C(﹣1,,0),=(﹣1,,0), 平面C1DE的法向量=(4,0,1), ∴点C到平面C1DE的距离: d===. 20.(12分)已知函数f(x)=2sinx﹣xcosx﹣x,f′(x)为f(x)的导数. (1)证明:f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点; (2)若x∈[0,π]时,f(x)≥ax,求a的取值范围. 解: (1) 证明:∵f(x)=2sinx﹣xcosx﹣x, ∴f′(x)=2cosx﹣cosx+xsinx﹣1 =cosx+xsinx﹣1, 令g(x)=cosx+xsinx﹣1, 则g′(x)=﹣sinx+sinx+xcosx =xcosx, 当x∈(0,)时,xcosx>0, 当x时,xcosx<0, ∴当x=时,极大值为g()=<0, 又g(0)=0,g(π)=﹣2, ∴g(x)在(0,π)上有唯一零点, 即f′(x)在(0,π)上有唯一零点; (2) 由(1)知,f′(x)在(0,π)上有唯一零点x0, 使得f′(x0)=0, 且f′(x)在(0,x0)为正, 在(x0,π)为负, ∴f(x)在[0,x0]递增,在[x0,π]递减, 结合f(0)=0,f(π)=0, 可知f(x)在[0,π]上非负, 令h(x)=ax, 作出图示, ∵f(x)≥h(x), ∴a≤0, ∴a的取值范围是(﹣∞,0]. 21.(12分)已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4,⊙M过点A,B且与直线x+2=0相切. (1)若A在直线x+y=0上,求⊙M的半径; (2)是否存在定点P,使得当A运动时,|MA|﹣|MP|为定值?并说明理由. 解:∵⊙M故点A,B且A在直线x+y=0上, ∴点M在线段AB的中垂线x﹣y=0上, 设⊙M的方程为:(x﹣a)2+(y﹣a)2=R2(R>0),则 圆心M(a,a)到直线x+y=0的距离d=, 又|AB|=4,∴在Rt△OMB中, d2+(|AB|)2=R2, 即① 又∵⊙M与x=﹣2相切,∴|a+2|=R② 由①②解得或, ∴⊙M的半径为2或6; (2)∵线段为⊙M的一条弦,∴圆心M在线段AB的中垂线上, 设点M的坐标为(x,y),则|OM|2+|OA|2=|MA|2, ∵⊙M与直线x+2=0相切,∴|MA|=|x+2|, ∴|x+2|2=|OM|2+|OA|2=x2+y2+4, ∴y2=4x, ∴M的轨迹是以F(1,0)为焦点x=﹣1为准线的抛物线, ∴|MA|﹣|MP|=|x+2|﹣|MP| =|x+1|﹣|MP|+1=|MF|﹣|MP|+1, ∴当|MA|﹣|MP|为定值时,则点P与点F重合,即P的坐标为(1,0), ∴存在定点P(1,0)使得当A运动时,|MA|﹣|MP|为定值. (二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。[选修4-4:坐标系与参数方程](10分) 22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ+11=0. (1)求C和l的直角坐标方程; (2)求C上的点到l距离的最小值. 解:(1)由(t为参数),得, 两式平方相加,得(x≠﹣1), ∴C的直角坐标方程为(x≠﹣1), 由2ρcosθ+ρsinθ+11=0,得. 即直线l的直角坐标方程为得; (2)设与直线平行的直线方程为, 联立,得16x2+4mx+m2﹣12=0. 由△=16m2﹣64(m2﹣12)=0,得m=±4. ∴当m=4时,直线与曲线C的切点到直线的距离最小,为. [选修4-5:不等式选讲](10分) 23.已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明: (1)++≤a2+b2+c2; (2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24. 证明:(1)分析法:已知a,b,c为正数,且满足abc=1. 要证(1)++≤a2+b2+c2;因为abc=1. 就要证: ++≤a2+b2+c2; 即证:bc+ac+ab≤a2+b2+c2; 即:2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2; 2a2+2b2+2c2﹣2bc﹣2ac﹣2ab≥0 (a﹣b)2+(a﹣c)2+(b﹣c)2≥0; ∵a,b,c为正数,且满足abc=1. ∴(a﹣b)2≥0;(a﹣c)2≥0;(b﹣c)2≥0恒成立;当且仅当:a=b=c=1时取等号. 即(a﹣b)2+(a﹣c)2+(b﹣c)2≥0得证. 故++≤a2+b2+c2得证. (2)证(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24成立; 即:已知a,b,c为正数,且满足abc=1. (a+b)为正数;(b+c)为正数;(c+a)为正数; (a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)(b+c)(c+a); 当且仅当(a+b)=(b+c)=(c+a)时取等号;即:a=b=c=1时取等号; ∵a,b,c为正数,且满足abc=1. (a+b)≥2;(b+c)≥2;(c+a)≥2; 当且仅当a=b,b=c;c=a时取等号;即:a=b=c=1时取等号; ∴(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)(b+c)(c+a)≥3×8=24abc=24
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  • 资料类型: 试卷
  • 资料版本:通用
  • 适用地区:全国
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