[ID:3-4909507] 2017年高考试题(北京卷)——数学(理)
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2017年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理)(北京卷) 本试卷共5页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分(选择题 共40分) 一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 (1)若集合A={x|–2x1},B={x|x–1或x3},则AB= (A){x|–2x–1} (B){x|–2x3} (C){x|–1x1} (D){x|1x3} (2)若复数(1–i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是 (A)(–∞,1) (B)(–∞,–1) (C)(1,+∞) (D)(–1,+∞) (3)执行如图所示的程序框图,输出的s值为 (A)2 (B) (C) (D) (4)若x,y满足 则x + 2y的最大值为 (A)1 (B)3 (C)5 (D)9 (5)已知函数,则 (A)是奇函数,且在R上是增函数 (B)是偶函数,且在R上是增函数 (C)是奇函数,且在R上是减函数 (D)是偶函数,且在R上是减函数 (6)设m,n为非零向量,则“存在负数,使得”是“”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (7)某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为 (A)3 (B)2 (C)2 (D)2 (8)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是 (参考数据:lg3≈0.48) (A)1033 (B)1053? (C)1073 (D)1093 第二部分(非选择题 共110分) 二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。 (9)若双曲线的离心率为,则实数m=_________. (10)若等差数列和等比数列满足a1=b1=–1,a4=b4=8,则=_______. (11)在极坐标系中,点A在圆上,点P的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为___________. (12)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若,则=___________. (13)能够说明“设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为______________________________. (14)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3. ①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1,Q2,Q3中最大的是_________. ②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是_________. 三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15)(本小题13分) 在△ABC中, =60°,c=a. (Ⅰ)求sinC的值; (Ⅱ)若a=7,求△ABC的面积. (16)(本小题14分) 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD//平面MAC,PA=PD=,AB=4. (I)求证:M为PB的中点; (II)求二面角B-PD-A的大小; (III)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值. (17)(本小题13分) 为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者. (Ⅰ)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率; (Ⅱ)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求的分布列和数学期望E(); (Ⅲ)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论) (18)(本小题14分) 已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点(0,)作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点. (Ⅰ)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程; (Ⅱ)求证:A为线段BM的中点. (19)(本小题13分) 已知函数f(x)=excosx?x. (Ⅰ)求曲线y= f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (Ⅱ)求函数f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值. (20)(本小题13分) 设和是两个等差数列,记 , 其中表示这个数中最大的数. (Ⅰ)若,,求的值,并证明是等差数列; (Ⅱ)证明:或者对任意正数,存在正整数,当时,;或者存在正整数,使得是等差数列. 2017年普通高等学校招生全国统一考试 数 学(理)(北京卷)答案 一、 (1)A (2)B (3)C (4)D (5)A (6)A (7)B (8)D 二、 (9)2 (10)1 (11)1 (12) (13)(答案不唯一) (14)Q1 p2 三、 (15)(共13分) 解:(Ⅰ)在△ABC中,因为,, 所以由正弦定理得. (Ⅱ)因为,所以. 由余弦定理得, 解得或(舍). 所以△ABC的面积. (16)(共14分) 解:(I)设交点为,连接. 因为平面,平面平面,所以. 因为是正方形,所以为的中点,所以为的中点. (II)取的中点,连接,. 因为,所以. 又因为平面平面,且平面,所以平面. 因为平面,所以. 因为是正方形,所以. 如图建立空间直角坐标系,则,,, ,. 设平面的法向量为,则,即. 令,则,.于是. 平面的法向量为,所以. 由题知二面角为锐角,所以它的大小为. (III)由题意知,,. 设直线与平面所成角为,则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. (17)(共13分) 解:(Ⅰ)由图知,在服药的50名患者中,指标的值小于60的有15人, 所以从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标的值小于60的概率为. (Ⅱ)由图知,A,B,C,D四人中,指标的值大于1.7的有2人:A和C. 所以的所有可能取值为0,1,2. . 所以的分布列为 0 1 2 故的期望. (Ⅲ)在这100名患者中,服药者指标数据的方差大于未服药者指标数据的方差. (18)(共14分) 解:(Ⅰ)由抛物线C:过点P(1,1),得. 所以抛物线C的方程为. 抛物线C的焦点坐标为(,0),准线方程为. (Ⅱ)由题意,设直线l的方程为(),l与抛物线C的交点为,. 由,得. 则,. 因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为,点A的坐标为. 直线ON的方程为,点B的坐标为. 因为 , 所以. 故A为线段BM的中点. (19)(共13分) 解:(Ⅰ)因为,所以. 又因为,所以曲线在点处的切线方程为. (Ⅱ)设,则. 当时,, 所以在区间上单调递减. 所以对任意有,即. 所以函数在区间上单调递减. 因此在区间上的最大值为,最小值为. (20)(共13分) 解:(Ⅰ) , . 当时,, 所以关于单调递减. 所以. 所以对任意,于是, 所以是等差数列. (Ⅱ)设数列和的公差分别为,则 . 所以 ①当时,取正整数,则当时,,因此. 此时,是等差数列. ②当时,对任意, 此时,是等差数列. ③当时, 当时,有. 所以 对任意正数,取正整数, 故当时,. PAGE 1
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  • 资料类型: 试卷
  • 资料版本:北师大版
  • 适用地区:北京市
  • 文件大小:811KB
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