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【高考真题】2024年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2024·全国甲卷）设z＝5+i，则i（+z）＝（　　）
A．10i B．2i C．10 D．﹣2
2．（2024·全国甲卷）集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则 A（A∩B）＝（　　）
A．{1，4，9} B．{3，4，9} C．{1，2，3} D．{2，3，5}
3．（2024·全国甲卷）若实数x，y满足约束条件则z＝x﹣5y的最小值为（　　）
A．5 B． C．﹣2 D．
4．（2024·全国甲卷）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若S5＝S10，a5＝1，则a1＝（　　）
A．﹣2 B． C．1 D．2
5．（2024·全国甲卷）已知双曲线C：的左、右两个焦点分别为F1（0，-4），F2（0，4），点P（﹣6，4）在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．
6．（2024·全国甲卷）设函数f（x）＝，则曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024·全国甲卷）函数f（x）＝﹣x2+（ex﹣e﹣x）sinx的区间[﹣2.8，2.8]的图像大致为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024·全国甲卷）已知，则＝（　　）
A． B． C． D．
9．（2024·全国甲卷）已知向量＝（x+1，x），＝（x，2），则（　　）
A．“⊥”的必要条件是“x＝﹣3”
B．“∥”的必要条件是“x＝﹣3”
C．“⊥”的充分条件是“x＝0”
D．“∥”的充分条件是“x＝﹣1+”
10．（2024·全国甲卷）已知α、β是两个平面，m、n是两条直线，α∩β＝m．下列四个命题：
①若m∥n，则n∥α或n∥β
②若m⊥n，则n⊥α，n⊥β
③若n∥α，且n∥β，则m∥n
④若n与α和β所成的角相等，则m⊥n
其中，所有真命题的编号是（　　）
A．①③ B．②③ C．①②③ D．①③④
11．（2024·全国甲卷）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，则sinA+sinC＝（　　）
A． B． C． D．
12．（2024·全国甲卷）已知a，b，c成等差数列，直线ax+by+c＝0与圆C：x2+（y+2）2＝5交于A，B两点，则|AB|的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2024·全国甲卷）二项式的展开式中，各项系数的最大值是　 　．
14．（2024·全国甲卷）已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为r2和r1，母线长分别为2（r1﹣r2）和3（r1﹣r2），则两个圆台的体积之比＝　 　．
15．（2024·全国甲卷）已知a＞1，，则a＝　 　．
16．（2024·全国甲卷）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球．记m表示前两个球号码的平均数，记n表示前三个球号码的平均数，则m与n差的绝对值不超过的概率是　 　．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（2024·全国甲卷）某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：
优级品 合格品 不合格品 总计
甲车间 26 24 0 50
乙车间 70 28 2 100
总计 96 52 2 150
（1）填写如下列联表：
优级品 非优级品
甲车间 　 　
乙车间 　 　
能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？
（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5．设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（≈12.247）
附：，
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
18．（2024·全国甲卷）已知数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝3an+4．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和为Tn．
19．（2024·全国甲卷）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BC∥AD，EF∥AD，AD=4，AB=BC=EF=2，，FB=，M为AD的中点.
（1）证明：EM∥平面BCF；
（2）求二面角A﹣EM﹣B的正弦值．
20．（2024·全国甲卷）已知函数f（x）＝（1﹣ax）ln（1+x）﹣x．
（1）当a＝﹣2时，求f（x）的极值；
（2）当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围．
21．（2024·全国甲卷）已知椭圆的右焦点为F，点M（1，）在椭圆C上，且MF⊥x轴．
（1）求C的方程；
（2）过点P（4，0）的直线与椭圆C交于A，B两点，N为FP的中点，直线NB与MF交于Q，证明：AQ⊥y轴．
四、选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．第22题[选修4-4：坐标系与参数方程]；第23题[选修4-5：不等式选讲]
22．（2024·全国甲卷）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝ρcosθ+1．
（1）写出C的直角坐标方程；
（2）直线l：（t为参数），若C与l交于A、B两点，|AB|＝2，求a的值．
23．（2024·全国甲卷）实数a，b满足a+b≥3．
（1）证明：2a2+2b2＞a+b；
（2）证明：|a﹣2b2|+|b﹣2a2|≥6．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：据题意，，则，，
所以
故答案为：A.
【分析】利用已知条件先求出，再求出的值，代入即可求出结果
2．【答案】D
【知识点】全集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：根据题意，，
而，利用代入法求解集合B，
可得，
此时，
所以
故答案为：D.
【分析】根据集合A与集合B的运算求出集合B的所有元素，进而求出A∩B ，即可求出 A（A∩B） 的结果.
3．【答案】D
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：据题意，先画出的可行域：
如下图所示：
法一：先把三条直线两两相交的交点求出得：
，
分别将这三点代入z＝x﹣5y ，
则在A点时，z有最小值为；
法二：由
化简成：，
此时，为的截距，并且截距有最大值，z有最小值，
此时，在可行域内平移直线，
在A点时，截距有最大值，
此时z有最小值为.
故答案为：D.
【分析】首先画出可行域，法一：先求交点，直接代入交点比较即可得到结果；法二，对先化简得，利用截距最大，得到z的最小值即可得到结果.
4．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：由S5＝S10 ，
则，
化简得：5a1 +35d=0，
又a5＝1 ，即
解得
故答案为：B.
【分析】由S5＝S10，a5＝1 ，化成基本量a1与的，列方程组求解即可得到结果.
5．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：据题意，由F1（0，-4），F2（0，4） ，则c=4，
又P（﹣6，4）在该双曲线上，根据定义有：
，
根据两点坐标公式得：，，
所以2a=4，则a=2；
所以
故答案为：C.
【分析】根据焦点坐标得c得值，根据定义求得a的值，进而求出离心率.
6．【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由f（x）＝，要求在点（0，1）处的切线，
则，
此时切线斜率
利用点斜式，则切线方程为：，即3x-y+1=0；
令，则；令，则；
所以切线与两坐标轴所围成的三角形面积.
故答案为：A.
【分析】利用求导先求出切线斜率，进而求出切线方程，即可求出与坐标轴的交点，进而求出结果.
7．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：由f（x）＝﹣x2+（ex﹣e﹣x）sinx ，
则，
所以f(x)为偶函数，根据图象排除AC选项，
利用特殊值：当x=1时，
，所以B符合.
故答案为：B.
【分析】先判断函数奇偶性，接着利用特殊值x=1，进而得到结果.
8．【答案】B
【知识点】弦切互化；两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：由，
利用齐次式分子分母同时除以得：
，解得，
则
故答案为：B.
【分析】利用齐次式化简得，再利用两角和的正切公式求解即可得到结果.
9．【答案】C
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：＝（x+1，x），＝（x，2）
当时，，则，
解得或，
所以A错误，C正确；
同理，当，即，即，
所以，BD错误.
故答案为：C.
【分析】利用平行垂直得坐标运算结合充分条件，必要条件的判断即可得到结果.
10．【答案】A
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】 【解答】解：如图，
对①，当，因为，，则，
当，因为，，则，
当既不在也不在内，
因为，，
则且，故①正确；
对②，若，则与不一定垂直，n可以在面内，故②错误；
对③，如图，过直线n分别作两平面与、分别相交于直线l1和直线I2，
由，
得，同理，
根据基本事实四，则，
所以.，
所以，
又∩=m，
则，
根据基本事实四，则，③正确；
对于 ④ ， 若n与α和β所成的角相等，根据同角定理，
则，则④错误.
故答案为：A.
【分析】借助正方体与直线，平面的位置关系进行判断即可得到结果.
11．【答案】C
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：由，
根据正弦定理有：
又因为，即，
所以；
根据余弦定理，
所以，
根据正弦定理得：，
即，结合，
因为
所以，
因为A，B，C 是三角形的内角，所以
所以
故答案为：C.
【分析】根据题意，结合正弦定理化简出得，根据余弦定理与正弦定理化简得，结合完全平方公式展开即可得到结果.
12．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：由 a，b，c成等差数列，根据等差中项得：，
将，代入直线方程，
所以有，
化简得：，则直线恒过定点；
对于圆的方程x2+（y+2）2＝5 ，
圆心为，半径为，
直线ax+by+c＝0与圆C：x2+（y+2）2＝5交于A，B两点，
要求|AB|的最小值，只需，此时，，
利用勾股定理有
故答案为：C.
【分析】根据题意，先判断出直线的定点坐标，结合圆的几何要素进行判断，当|AB|要取最小值，只需，结合勾股定理即可得到结果.
13．【答案】5
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：根据题意， 二项式的通项为：
并且假设展开式中第项系数最大，
则此时第项系数大于第项系数；并且第项系数大于第项系数，
建立不等式进行求解：，
解得：，由因为k为正整数，则；所以.
故答案为：5.
【分析】先设展开式中第项系数最大，此时第项系数大于第项系数；并且第项系数大于第项系数，则建立不等式有，进而求出k即可求解.
14．【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：据题意，甲乙两个圆台的轴截面都是等腰梯形，
可以利用构造直角三角形，结合勾股定理的计算得到圆台的高，
即甲、乙两个圆台上下底面的半径均为r2和r1，
母线长分别为2（r1﹣r2）和3（r1﹣r2），
所以甲圆台构造的直角三角形斜边长为： 2（r1﹣r2） ，而其中一条直角边为，
则甲圆台的高为：；
同理，乙圆台构造的直角三角形斜边长为： 3（r1﹣r2） ，
则；
此时，
故答案为：..
【分析】先根据已知条件和圆台结构特征，构造出直角三角形分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式，直接代入计算即可得解.
15．【答案】64
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由，利用换底公式将式子化成以2为底，
即，对式子进行化简得：，
即，
利用因式分解得，
所以或，
因为a＞1，所以，
所以，即，
故答案为：64.
【分析】将利用换底公式转化成，接着化简式子，得到进而因式分解得到即可得到结果.
16．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列及排列数公式
【解析】【解答】解：从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有种，
设前两个球的号码为，第三个球的号码为，
则，，则，
故，，所以，
若，则，则为：，故有2种，
若，则，则为：，
，故有10种，
当，则，则为：，
，故有16种，
当，则，同理有16种，
当，则，同理有10种，
当，则，同理有2种，
共与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为，
故所求概率为.
故答案为：.
【分析】利用古典概型的计算公式，先根据题意进行全排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，就的不同取值分类讨论后列出对应事件的数量，进而利用古典概型的计算公式求解即可得到结果.
17．【答案】（1）解：根据题意可得列联表如下所示：
优级品 非优级品 总数
甲车间 26 24 50
乙车间 70 30 100
总计 96 54 150
将上面的数值代入公式计算得：
，
又因为，
所以有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异.
（2）解：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为，
所以用频率估计概率可得，
根据题意，升级改造前该工厂产品的优级品率，
则，
可知，
所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.
【知识点】独立性检验
【解析】【分析】（1）将列联表进行补充，并将数值代入公式进行计算得，再进行比较即可得到解果；
（2）根据题意先计算出，在代入进行计算比较，即可得到结论.
18．【答案】（1）解：当时，，解得．
当时，，所以即，
而，故，故，
∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，
所以.

（2）解：，
所以
故
所以
，
.

【知识点】数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据题意，由Sn与an之间的关系，利用分类讨论思想求得与的表达式，结合化简即可得到结果；
（2）利用错位相减法求解即可得到结果.
19．【答案】（1）证明：根据题意，因为为的中点，
所以，
四边形为平行四边形，
所以，
又因为平面，
平面，
所以平面；
（2）过B作交于，连接，
因为四边形为等腰梯形，
，
所以，
由（1）可知为平行四边形，
则，又，
所以为等边三角形，
为中点，根据直角三角形OBA，
所以，
又因为四边形为等腰梯形，
为中点，
所以，
四边形为平行四边形，
，
所以为等腰三角形，
与底边上中点重合，
，，
利用勾股定理得，
所以，所以两两垂直，
所以以方向为轴，方向为轴，方向为轴，如图建立空间直角坐标系，
，，
，
，
设平面的法向量为，
平面的法向量为，
则，即，
则，
又，即，
则，
所以，
则，
故二面角的正弦值为.
【知识点】空间点、线、面的位置；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）根据题意，由得到四边形为平行四边形，进而证明，结合直线与平面平行的判定定理即可得到结果；
（2）作交于，连接，易证三线两两垂直，利用建系法求出二面角夹角余弦公式即可得到结果.
20．【答案】（1）解：当时，f(x)的定义域为，
所以，
故，
因为在上为增函数，根据单调性的性质，
所以在上为增函数，
又因为，故当时，，当时，，
故在处取极小值且极小值为，无极大值.
（2）解：因为，
所以，
设，
则，
当时，，故在上为增函数，
又，即，所以在上为增函数，
故.
当时，当时，，故在上为减函数，
故在上，即在上即为减函数，
故在上，不合题意，舍去.
当，此时在上恒成立，同理可得在上恒成立，不合题意，舍去；
综上，.

【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性结合零点存在性定理（考察隐零点问题）即可求出函数的极值.
（2）求出函数的二阶导数，根据、、进行分类讨论后可得参数的取值范围.
（分离参数，进行求导运算同样也是可以拿分的）
21．【答案】（1）解：设，由题设有且，
故，解得，，
故椭圆方程为.

（2）解：直线的斜率必定存在，
设，，，
由
可得，
故，
故，
又根据韦达定理得：，
而，故直线，
故，
所以
，
故，即轴.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的应用
【解析】【分析】（1）设，根据的坐标及轴可求基本量，故可求椭圆方程.
（2）设，，，联立直线方程和椭圆方程，用的坐标表示，结合韦达定理化简前者可得，故可证轴.
22．【答案】（1）解：由，
将代入，
故可得，
两边平方后得：.
（2）解：对于直线的参数方程消去参数，得直线的普通方程为.
联立，
得，
，
所以，设，根据韦达定理，
所以，
则，
解得

【知识点】极坐标系；点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】【分析】（1）根据公式即可得到的直角方程.
（2）将直线的新的参数方程代入的直角方程，将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求的值.
23．【答案】（1）证明：因为，
当时等号成立，
则，
因为，
所以；
（2）证明：
【知识点】不等关系与不等式；基本不等式
【解析】【分析】（1）直接利用，利用放缩法，结合做差法比较两个式子大小，利用基本不等式即可得到结果.
（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.
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