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资料简介 (网络参考版)2024年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷 新课标Ⅰ卷(含部分解析).doc 展开
2024年普通高等学校招生全国统一考试 新课标Ⅰ卷
数学试卷
1.已知集合,,则( ).
A. B. C. D.
2.若,则( ).
A. B. C. D.
3.已知向量,,若,则( ).
A.-2 B.-1 C.1 D.2
4.已知,,则( ).
A. B. C. D.
5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为,则圆锥的体积为( ).
A. B. C. D.
6.已知函数在R上单调递增,则a的取值范围是( ).
A. B. C. D.
7.当时,曲线与的交点个数为( ).
A.3 B.4 C.6 D.8
8.已知函数的定义域为R,,且当时,,则下列结论中一定正确的是( ).
A. B. C. D.
9.为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值,样本方差,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布,假设失去出口后的亩收入Y服从正态分布,则( ).(若随机变量Z服从正态分布,则)
A. B. C. D.
10.设函数,则( ).
A.是的极小值点 B.当时,
C.当时, D.当时,
11.造型可以看作图中的曲线C的一部分,已知C过坐标原点O,且C上的点满足横坐标大于-2,到点的距离与到定直线的距离之积为4,则( ).
A.
B.点在C上
C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
D.当点在C上时,
12.设双曲线(,)的左右焦点分別为,,过作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若,,则C的离心率为_________.
13.若曲线在点处的切线也是曲线的切线,则_________.
14.甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两个各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片的数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛比赛后,甲的总得分小于2的概率为_________.
15.记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,.
(1)求B;
(2)若的面积为,求c.
16.已知和为椭圆上两点.
(1)求C的率心率;
(2)若过P的直线l交C于另一点B,且的面积为9,求l的方程.
17.如图,四棱锥中,底面,,,.
(1)若,证明:平面PBC;
(2)若,且二面角的正弦值为,求AD.
18.已知函数.
(1)若,且,求a的最小值;
(2)证明:曲线是中心对称图形;
(3)若,当且仅当,求b的取值范围.
19.设m为正整数,数列,,…,是公差不为0的等差数列,若从中删去两项和后剩余的4m项可被平均分为m组,且每组的4个数都能构成等差数列,则称数列,,…,是——可分数列.
(1)写出所有的,,使数列,,…,是——可分数列;
(2)当时,证明:数列,,…,足——可分数列;
(3)从1,2,…,中一次任取两个数i和,记数列,,…,足——可分数列的概率为,证明:.
参考答案
1.A
解析:,选A.
2.C
解析:
3.D
解析:,,,,,选D.
4.A
解析:,,,选A.
5.B
解析:设它们底面半径为r,圆锥母线l,,,,,选B.
6.B
解析:在R上↗,,,选B.
7.C
解析:6个交点,选C.
8.B
解析:,,,,,,,,,,,,,,,,,选B.
9.BC
解析:,,,,A错.
,B对.
,,C对.
,D错,所以选BC.
10.ACD
解析:A对,因为;
B错,因为当时且,所以;
C对,因为,,,时,,,D对.
11.ABD
解析:A对,因为O在曲线上,所以O到的距离为,而,
所以有,那么曲线的方程为.
B对,因为代入知满足方程;
C错,因为,求导得,那么有,,于是在的左侧必存在一小区间上满足,因此最大值一定大于1;
D对,因为.
12.
解析:由知,即,而,所以,即,代回去解得,所以.
13.
解析:
14.
解析:甲出1一定输,所以最多3分,要得3分,就只有一种组合、、、.
得2分有三类,分别列举如下:
(1)出3和出5的赢,其余输:,,,
(2)出3和出7的赢,其余输:,,,;,,,,,,,
(3)出5和出7的赢,其余输:,,,;,,,;,,,;,,,;,,,;,,,;,,,
共12种组合满足要求,而所有组合为24,所以甲得分不小于2的概率为
15.(1)
(2)
解析:(1)已知,根据余弦定理,
可得:.
因为,所以.
又因为,即,,解得.
因为,所以.
(2)由(1)知,,则.
已知的面积为,且,
则,即,.
又由正弦定理,可得.
则,,同理.
所以
解得.
16.(1)
(2)见解析
解析:(1)将、代入椭圆,则
,.
(2)①当L的斜率不存在时,,,,A到PB距离,
此时不满足条件.
②当L的斜率存在时,设,令、,
,消y可得
,.
17.(1)证明见解析
(2)
解析:(1)面,平面,
又,,平面PAB
面,平面,
中,,
,B,C,D四点共面,
又平面,平面PBC
平面PBC.
(2)以DA,DC为x,y轴过D作与平面ABCD垂直的线为z轴建立如图所示空间直角坐标系
令,则,,,,
设平面ACP的法向量
不妨设,则,,
设平面CPD的法向量为
不妨设,则,,
二面角的正弦值,则余弦值为
,.
18.(1)-2
(2)证明见解析
(3)
解析:(1)时,,对恒成立
而,
当且仅当时取“=”,
故只需,即a的最小值为-2.
(2)方法一:,
关于中心对称.
方法二:将向左平移一个单位关于中心对称平移回去关于中心对称.
(3)当且仅当,
对恒成立
令,必有(必要性)
当时,对,
对恒成立,符合条件,
综上:.
19.(1),,
(2)证明见解析
(3)证明见解析
解析:(1)以下满足:,,
(2)易知:,,,等差等差
故只需证明:1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14可分
分组为,,即可
其余,,按连续4个为一组即可
(3)由第(2)问易发现:,,…,是可分的是可分的.
易知:1,2,…,是可分的
因为可分为,…,与
,…,
此时共种
再证:1,2,…,是可分的
易知与是可分的
只需考虑,,,…,,,
记,只需证:1,3,5,…,,,可分
去掉2与
观察:时,1,3,4,6无法做到;
时,1,3,4,5,6,7,8,10,可以做到;
时,1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14
时,1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,18
,,,满足
故,可划分为:
,,,
,…,,,共p组
事实上,就是,,且把2换成
此时,均可行,共组
,,…,不可行
综上,可行的与至少组
故,得证!
数学试卷
1.已知集合,,则( ).
A. B. C. D.
2.若,则( ).
A. B. C. D.
3.已知向量,,若,则( ).
A.-2 B.-1 C.1 D.2
4.已知,,则( ).
A. B. C. D.
5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为,则圆锥的体积为( ).
A. B. C. D.
6.已知函数在R上单调递增,则a的取值范围是( ).
A. B. C. D.
7.当时,曲线与的交点个数为( ).
A.3 B.4 C.6 D.8
8.已知函数的定义域为R,,且当时,,则下列结论中一定正确的是( ).
A. B. C. D.
9.为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值,样本方差,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布,假设失去出口后的亩收入Y服从正态分布,则( ).(若随机变量Z服从正态分布,则)
A. B. C. D.
10.设函数,则( ).
A.是的极小值点 B.当时,
C.当时, D.当时,
11.造型可以看作图中的曲线C的一部分,已知C过坐标原点O,且C上的点满足横坐标大于-2,到点的距离与到定直线的距离之积为4,则( ).
A.
B.点在C上
C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
D.当点在C上时,
12.设双曲线(,)的左右焦点分別为,,过作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若,,则C的离心率为_________.
13.若曲线在点处的切线也是曲线的切线,则_________.
14.甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两个各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片的数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛比赛后,甲的总得分小于2的概率为_________.
15.记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,.
(1)求B;
(2)若的面积为,求c.
16.已知和为椭圆上两点.
(1)求C的率心率;
(2)若过P的直线l交C于另一点B,且的面积为9,求l的方程.
17.如图,四棱锥中,底面,,,.
(1)若,证明:平面PBC;
(2)若,且二面角的正弦值为,求AD.
18.已知函数.
(1)若,且,求a的最小值;
(2)证明:曲线是中心对称图形;
(3)若,当且仅当,求b的取值范围.
19.设m为正整数,数列,,…,是公差不为0的等差数列,若从中删去两项和后剩余的4m项可被平均分为m组,且每组的4个数都能构成等差数列,则称数列,,…,是——可分数列.
(1)写出所有的,,使数列,,…,是——可分数列;
(2)当时,证明:数列,,…,足——可分数列;
(3)从1,2,…,中一次任取两个数i和,记数列,,…,足——可分数列的概率为,证明:.
参考答案
1.A
解析:,选A.
2.C
解析:
3.D
解析:,,,,,选D.
4.A
解析:,,,选A.
5.B
解析:设它们底面半径为r,圆锥母线l,,,,,选B.
6.B
解析:在R上↗,,,选B.
7.C
解析:6个交点,选C.
8.B
解析:,,,,,,,,,,,,,,,,,选B.
9.BC
解析:,,,,A错.
,B对.
,,C对.
,D错,所以选BC.
10.ACD
解析:A对,因为;
B错,因为当时且,所以;
C对,因为,,,时,,,D对.
11.ABD
解析:A对,因为O在曲线上,所以O到的距离为,而,
所以有,那么曲线的方程为.
B对,因为代入知满足方程;
C错,因为,求导得,那么有,,于是在的左侧必存在一小区间上满足,因此最大值一定大于1;
D对,因为.
12.
解析:由知,即,而,所以,即,代回去解得,所以.
13.
解析:
14.
解析:甲出1一定输,所以最多3分,要得3分,就只有一种组合、、、.
得2分有三类,分别列举如下:
(1)出3和出5的赢,其余输:,,,
(2)出3和出7的赢,其余输:,,,;,,,,,,,
(3)出5和出7的赢,其余输:,,,;,,,;,,,;,,,;,,,;,,,;,,,
共12种组合满足要求,而所有组合为24,所以甲得分不小于2的概率为
15.(1)
(2)
解析:(1)已知,根据余弦定理,
可得:.
因为,所以.
又因为,即,,解得.
因为,所以.
(2)由(1)知,,则.
已知的面积为,且,
则,即,.
又由正弦定理,可得.
则,,同理.
所以
解得.
16.(1)
(2)见解析
解析:(1)将、代入椭圆,则
,.
(2)①当L的斜率不存在时,,,,A到PB距离,
此时不满足条件.
②当L的斜率存在时,设,令、,
,消y可得
,.
17.(1)证明见解析
(2)
解析:(1)面,平面,
又,,平面PAB
面,平面,
中,,
,B,C,D四点共面,
又平面,平面PBC
平面PBC.
(2)以DA,DC为x,y轴过D作与平面ABCD垂直的线为z轴建立如图所示空间直角坐标系
令,则,,,,
设平面ACP的法向量
不妨设,则,,
设平面CPD的法向量为
不妨设,则,,
二面角的正弦值,则余弦值为
,.
18.(1)-2
(2)证明见解析
(3)
解析:(1)时,,对恒成立
而,
当且仅当时取“=”,
故只需,即a的最小值为-2.
(2)方法一:,
关于中心对称.
方法二:将向左平移一个单位关于中心对称平移回去关于中心对称.
(3)当且仅当,
对恒成立
令,必有(必要性)
当时,对,
对恒成立,符合条件,
综上:.
19.(1),,
(2)证明见解析
(3)证明见解析
解析:(1)以下满足:,,
(2)易知:,,,等差等差
故只需证明:1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14可分
分组为,,即可
其余,,按连续4个为一组即可
(3)由第(2)问易发现:,,…,是可分的是可分的.
易知:1,2,…,是可分的
因为可分为,…,与
,…,
此时共种
再证:1,2,…,是可分的
易知与是可分的
只需考虑,,,…,,,
记,只需证:1,3,5,…,,,可分
去掉2与
观察:时,1,3,4,6无法做到;
时,1,3,4,5,6,7,8,10,可以做到;
时,1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14
时,1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,18
,,,满足
故,可划分为:
,,,
,…,,,共p组
事实上,就是,,且把2换成
此时,均可行,共组
,,…,不可行
综上,可行的与至少组
故,得证!
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