[ID:3-6888283] 中考二轮专题:一元二次方程学案含答案
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中考专题:一元二次方程 一、要点搜索台 1.一元二次方程的概念是: ;这里“一元”的含义是: ,“二次”的含义是: . 2.一元二次方程的一般形式为: ;其中ax2叫 ,bx为 ,c为 . 3.方程的解指的是: ;当一个方程只含有 时,这样的方程的解又称为方程的根;一元二次方程的解叫做 ;一般地一元二次方程有根时,有 . 4.如果x2=a,那么x叫做a的 ,当a>0时,a 的平方根有 ,它们互为 ,已知x2=4,则有 . 5.当一个一元二次方程可化为形如 时,根据平方根的定义, ,那么原方程转化为 ,于是得 或 ,这样就将二次方程降次——转化成了两个一元一次方程,进而解得这两个一次方程的根,则得到原方程的根. 6.通过将一元二次方程的一边配成 来解这个一元二次方程的方法,叫做 ;当二次项系数为1时,配方的关键是方程的两边都配上(加) ;配方的目的是为了 ,把一个一元二次方程 为两个一元一次方程来解. 7.完全平方公式为:a2±2ab+b2= . 8.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)当 时;其求根公式为 ; 9.利用 解一元二次方程的方法,叫公式法. 10.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当 时,方程有 的实数根,为 ;当 时,方程有 的实根为 ; 时,方程 ;反之成立;如方程2x2-3x=0的根的情况是 的实根为;3x2-2x+1=0有 的实根;4x2+x+1=0 . 11.因式分解的方法有: 、 、 等. 12.当一个一元二次方程可分解变形为(ax+b)(cx+d)=0(a≠0、 c≠0),则有 或 ,这样就将二次方程降次转化为 求解;这体现了将高次方程转化为低次的 的数学思想. 13.解一元二次方程的方法有 . 14. 适用于解所有一元二次方程, 只适用于解某些特殊的一元二次方程; 15.配方法的关键是 ;公式法是由 推导而得,不要死记硬背,应理解掌握;求根公式为 ,由此可知一元二次方程的根是由方程的各项系数决定的,因而在用公式法解一元二次方程时应先用 判断方程根的情况; 16.特殊几何图形的面积公式:(1)三角形的面积公式是 ,直角三角形的面积公式为 ;(2)矩形的面积公式是 ,正方形的面积公式是 ;(3)平行四边形的面积公式是 ,菱形的面积公式是 (m、n为对角线的长) ;(4)梯形的面积公式为 ;(5)圆的面积公式为 ; 17.在运动问题中,速度、时间、路程三者的关系为 ;在工程问题中,工作总量= ; 二、考点大本营 1.一元二次方程及其解法 【例1】方程的解是( ) A.,     B., C.,     D., 【解析】考查一元二次方程的解法,一元二次方程的解法有:一是因式分解法;二是配方法;三是求根公式法.此题可以用此三种方法求解,此题以因式分解法较简单,此式可以分解为(x-1)(x-2)=0,所以x-1=0或x-2=0,解得x1=1,x2=2.故此题选A. 2.一元二次方程的解的应用 【例2】若n(n≠0)是关于x的方程的根,则m+n的值为 ( D ) A.1 B.2 C.-1 D.-2 【解析】根据方程解的概念,则n2+mn+2n=0,则n(n+m+2)=0,由n≠0,则可推得:n+m+2=0,由此可得:m+n=-2. 故此题选D. 3.一元二次方程根的判别式 【例3】若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( ) A.k>-1 B.k>-1且k≠0 C.k<1 D.k<1且k≠0 【解析】因为一元二次方程有两个不相等的实数根,所以必须满足两个条件,,解之得,k>-1且k≠0,故此题选B. 4.一元二次方程的根与系数的关系 【例4】如果是方程的两个根,那么的值为: A.-1 B.2 C. D. 【解析】本题考查一元二次方程的根与系数关系即韦达定理,两根之和是,两根之积是,易求出两根之和是2.故此题选B. 5.一元二次方程的应用 【例5】某商品经过两次连续降价,每件售价由原来的55元降到了35元.设平均每次降价的百分率为x,则下列方程中正确的是(  ) A.55 (1+x)2=35 B.35(1+x)2=55 C.55 (1-x)2=35 D.35(1-x)2=55 【解析】列一元二次方程解决实际问题是一个难点,但在中考试题中经常出现,所以我们要学好列方程解决实际问题,则需要在这方面加大训练力度。列方程的全过程,其步骤如下: 1.弄清题意,正确理解,准确把握题目条件中的数量关系,必要时可用图表辅助分析; 2.用字母表示问题中的一个未知数; 3.将题设条件中的语句都“翻译”成含有“字母”的代数式; 4.寻找等量关系,列出方程. 因为增长率问题是“加”;下降率问题是“减”,所以本题正确的是55 (1-x)2=35. 故此题选B. 三、错点回收站 错点一 用判别式解题时,二次项系数不为零 例1:若关于x的方程m2x2 +(2m+1)x+1=0有两个实数根,求m的取值范围。 错解:∵方程有两个实数根,∴Δ=(2m + 1)2- 4m2≥0 解得m≥ ,∴当m≥ 时,方程有两个实数根。 剖析:已知方程有两个实数根,说明它是一元二次方程,即二次项系数m2≠0,又由判别式Δ≥0,所以m的取值范围的受这两个条件的限制。正确解为:当m≥ 且m≠0时,方程有两个实数根。 错点二 用根与系数关系式解题时,Δ≥0 例2:已知关于x的方程(m2-1)x2 + 2(m+1)x +1=0的两个实数根为x1,x2,且x1x2=1,求m的值。 错解:∵x1x2=1,∴x1x2= =1 ∴m2 = 2 m = 剖析:根与系数关系式是以一元二次方程有两个实数根(Δ≥0)为前提的,因此,运用根与系数关系式求得方程中的待定系数必须解Δ≥0,即[2(m+1)]2-4(m2-1)≥0,解得m≥-1,正确解为:m =。 错点三 方程有解的具体的含义 例3:若关于x的方程(m2-1)x2-2(m+2)x+1=0有实数根,求m的取值范围。 错解:由 m2-1≠0 解得 m≠±1 Δ=[-2(m+2)]2-4(m2-1)≥0 m≥ 即m≥ 且m=±1 剖析:题设中的方程未必是一元二次方程,因此方程也有可能为一次方程,此时有 m2-1=0 ,-2(m+2)≠0 解得 m=±1 所以正确解为: m≥ 时,原方程有实数根。 错点四 运算结果是否符合题意 例4:若关于x的方程4x2-2(m+1)x + m=0的两根恰好是一直角三角形两锐角的正弦值,求m的值。 错解:设方程的两根为x1,x2,则x1+x2= ,x1x2=,由题意得x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=( )2-2× =1 得 m= ,当得 m=时,Δ>0,∴ m = 。 剖析:考虑Δ≥0是必要的,但还必须考虑到x1和x2是锐角的正弦值,然而当0<x1<1,0<x2<1时,则x1+x2<0 ,x1x2<0,与题意不符,,∴ m=。 错点五 不考虑隐含条件 例5:已知关于x的方程(k-1)x2 + x +3=0的两个不相等的实数根,求k的取值范围。 错解:∵方程有两个不相等的实数根,∴Δ=()2- 4(k-1)×3>0 解得k<,又∵k-1≠0,解得k≠1,∴k的取值范围是k<且k≠1。 剖析:考虑Δ>0及k-1≠0是必要的,但没有考虑不周, ∵是二次根式,则≥0,∴k≥0, 故k的取值范围是0≤k<且k≠1。 实战训练场: 1.若,则 (?http:?/??/?www.czsx.com.cn?)的值等于( ) A. B. C. D.或 2.关于x的一元二次方程2x-3x-a+1=0的一个根为2,则a的值是( ) A.1 B. C. D. 3.某商品原价289元,经连续两次降价后售价为256元,设平均每降价的百分率为x,则下面所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 4.设一元二次方程的两个实数根分别为和, 则 ,x1、·x2 . 5.乌鲁木齐农牧区校舍改造工程初见成效,农牧区最漂亮的房子是学校.2005年市政府对农牧区校舍改造的投入资金是5786万元,2007年校舍改造的投入资金是8058.9万元,若设这两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为x,则根据题意可列方程为 . 6.关于x的一元二次方程有实数根,则k的取值范围是 。 7.已知:关于的方程 (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)若方程的一个根是,求另一个根及值. 8.将一块长18米,宽15米的矩形荒地修建成一个花园(阴影部分)所占的面积为原来荒地面积的三分之二.(精确到0.1m) (1)设计方案1(如左图)花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路. (2)设计方案2(如右图)花园中每个角的扇形都相同. 以上两种方案是否都能符合条件?若能,请计算出左图甲中的小路的宽和右图乙中扇形的半径;若不能符合条件,请说明理由. 中考专题:一元二次方程参考答案 一、要点搜索台 1.只含有一个未知数,且未知数的最高次数为2的整式方程 ,未知数的个数为1,未知数的最高次数为2;  2.ax2+bx+c=0(a≠0),二次项、a为二次项系数,一次项、b为一次项系数,常数项;  3.使方程左右两边相等的未知数的取值,一个未知数,一元二次方程的根,两个根;  4.平方根,两个,相反数, x=2或x=—2;  5.(x+m)2=n(n≥0),两边直接开平方,x+m=, x+m= , x+m=—;  6.完全平方形式,配方法,一次项系数一半的平方,降次,转化;  7.(a±b)2; 8.≥0, x=;  9.求根公式;  10.b2-4ac>0,两个不相等,, b2-4ac=0,两个相等, , b2-4ac<0,没有实根, 有两个不相等, 两个相等, 没有实根; 11.提取公因式法,公式方法, 十字相乘法;  12.ax+b=0,cx+d=0,两个一元一次方程,降次;  13.直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法;  14.配方法、公式法,因式分解法, 因式分解法; 15.方程两边同时加上一次项系数的一半的平方(二次项系数为1),配方法,, ; 16.(1)S△=, S△=, (2)S=ab, S=a2 ,(3)S=ah, (4)S=,(5)S=; 17.路程=速度×时间,工作效率×工作时间. 实战训练场: 1.A  2.D   3.A    4.7,3; 5.; 6.. 7.解:(1), , 无论取何值,,所以,即, ∴方程有两个不相等的实数根. (2)设的另一个根为, 则,, 解得:,, ∴的另一个根为,的值为1. 8.解:都能.(1)设小路宽为x,则18x+15x-x2=×18×15, x2-33x+180=0,b2-4ac=(-33)2-4×180=369,x=,x≈6.9m, ∵6.9m<15m ∴符合要求 (2)设扇形半径为r,则3.14r2=×18×15,r2≈57.32,r≈7.6m ∵7.6m<15m ∴符合要求 第 5 页 共 8 页
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  • 资料类型: 学案
  • 资料版本:通用
  • 适用地区:全国
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