[ID:3-5936120] 初三数学专题——旋转相似讲义(含解析)
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专题:旋转相似 模型:手拉手相似模型,旋转相似成双对。 条件:CD∥AB(本质即为△OCD∽△OAB),将△OCD绕点O旋转到图1和图2的位置。 结论:⑴、△OCD∽△OAB △OAC∽△OBD。即连接对应点所得的一对新三角形相似。 ⑵、延长AC交BD于点E,则∠AEB=∠BOA(用蝴蝶形图证明)(能得到点A、O、E、B四点共圆) 模型特例:共直角顶点的直角三角形相似 当∠AOB=∠COD=90°时,除 ⑴、△OCD∽△OAB △OAC∽△OBD ⑵、延长AC交BD于点E,则∠AEB=∠BOA=90°(用蝴蝶形图证明) 外,还有结论 ⑶、 ⑷、因为AC⊥BD于点E,那么,若连AD、BC,则四边形ABCD对角线互相垂直,则 例题讲解 例1.已知△ABC与△DEF都是等腰三角形,AB、EF的中点均为O,且顶角∠ACB=∠EDF. (1)如图1,若∠ACB=900,探究BF与CD间的数量关系; (2)如图2,若tan∠ACB=,求的值; (3)如图3,若△ABC中AC=BC=a ,将△DEF绕点O旋转,设直线CD与直线BF交于点H,则最大值为__________(用含a的式子表示)。 分析: (1)连OC,OD,△OBF≌ △OCD,BF=CD (2)构造手拉手旋转相似。可证△OBC∽ △OFD, △ODC∽ △OFB ==tan 问题转化为已知tan∠ACB=,求tan的问题,必须熟悉等腰三角形中有关三角函数值的常见处理方法。 由右图提示可得tan=; (3)由(2)△OBC∽ △OFD, △ODC∽ △OFB,蝴蝶形图易得∠CHB=∠COB=90°;又BC=a ,定边定角,点H在以BC为直径的圆上,易求 例2.如图1,已知在正方形ABCD和正方形BEFG中,求证:AG=CE;求的值 分析:如图2,证,∴AG=CE 如图2,连接BD,BF,DF,    易证,,     ∴ ∴ ∴ 变式:如图3,正方形ABCD和EFGH中,O为BC,EF中点(1)求证:AH=DG;(2)求的值。 分析:(1)连接 易证: 例3.如图,∠ACB=∠DCE=90°,∠ABC=∠CED=∠CAE=30°,AC=3,AE=8,求AD的长。 分析: 连接BE,由基本图形易得 可证△ACD∽△BCE,AD= EQ \F(, 3 )BE,∠BAE=90° 在Rt△ABE作,由勾股定理求得BE=10 则AD= EQ \F(10, 3 ) 练习1.如图,点A是△DBC内一点,求BD得长。 分析:构造旋转相似,由基本图形可得出以下几种方法,求出BD=10. 练习2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC=2AC,F、G分别为AC、BC的中点,将△CFG绕点C顺时针旋转,直线AF与直线BG交于点I. (1) 求证:AF⊥BG; (2) 当旋转角小于90°时,求的值; (3) 若AC=4,直接写出△ACI面积的最大值___________. 分析: (3)需分析出I点轨迹,由A、C、I、B四点共圆可得∠AIC=∠ABC,又AC=4,定边定角得I轨迹为圆弧。 练习3.将等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按图1方式放置,∠A=90°,AD边与AB边重合,AB=2AD=4.将△ADE绕点A逆时针旋转(旋转角不超过180°),BD的延长线交直线CE于点P. (1)如图2,BD与CE的数量关系是___________,位置关系是___________; (2)在旋转的过程中,当AD⊥BD时,求CP的长; (3)当点D落在BA的延长线上时,求点P所经过的路径的长. 分析: (1)BD=CE BD⊥CE (2)∵BD⊥CE,AD⊥BD,∴∠ADP=∠DPE=90° 又∠DAE=90°,AD=AE,∴四边形ADPE为正方形 ∵AB=2AD=4,∴PE=AD=2 ∴CE=BD==2 ∴CP=2-2 (3)取BC中点O,连接OA、OP ∵在旋转过程中,BD⊥CE,∴∠BPC=90° ∴OP= BC=2 ∴点P的运动路径是以O为圆心、半径为2的一段圆弧 即△ABC外接圆的一部分 则∠AOP=2∠ABP 易知点D在以A为圆心、半径为2的半圆上运动 当BP与半圆A相切于点D时,∠ABP最大,从而∠AOP最大 ∵AD= AB,∴∠ABP=30°,∴∠AOP=60° 即当△ADE从初始位置旋转60°时,点P沿圆弧从A点运动到∠AOP=60° 当△ADE继续旋转,直至点D落在BA的延长线上时,∠ABP=0°,∠AOP=0° ∴点P从∠AOP=60°处又回到A点 ∴点P所经过的路径的长为:2×= A E D B C A E D B C A E D B C A E B C 图1 图2 D A D B C E P A E B C D O P
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  • 资料类型: 教案
  • 资料版本:通用
  • 适用地区:全国
  • 文件大小:400KB
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