[ID:3-5931693] 2019年中考数学典题精选系列专题1. 数与式(PDF版,原卷+解析卷)
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2019 年中考数学典题精选系列 专题 01 数与式 1.3 月 30 日,我区航空经济产业功能区 2019 年一季度重大项目集中开工仪式在电子科大产业园四期项目 用地举行.参加此次集中开工仪式项目共计 71 个,总投资超过 249 亿元,未来随着这一波又一波项目的建 成投产,必将为双流航空经济插上腾飞之翼,助力双流打造中国航空经济之都.用科学记数法表示 249 亿 元为( ) A.249×10 8 元 B.24.9×10 9 元 C.2.49×10 10 元 D.0.249×10 11 元 2.实数 a,b 在数轴上的对应点的位置如图所示,把﹣a,﹣b,0 按照从小到大的顺序排列,正确的是( ) A.﹣a<0<﹣b B.0<﹣a<﹣b C.﹣b<0<﹣a D.0<﹣b<﹣a 3.按如图所示的运算程序运算,能使输出的结果为 7 的一组 x,y 的值是( ) A.x=1,y=2 B.x=﹣2,y=1 C.x=2,y=1 D.x=﹣3,y=1 4.下列整数中,比 小的数是( ) A. B. C. D. 5.已知 2 3 a b ? ,则代数式 a b a ? 的值为( ) A. 5 2 B. 5 3 C. 2 3 D. 3 2 6.下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 7.一列数 a1,a2,a3,…,其中 a1= ,an= (n 为不小于 2 的整数),则 a100=( ) A. B.2 C.﹣1 D.﹣2 8.已知 a﹣b=3,则代数式 a 2 ﹣b 2 ﹣6b 的值为( ) A.3 B.6 C.9 D.12 9.我们知道,一元二次方程 2 1x ? ? 没有实数根,即不存在一个实数的平方等于-1,若我们规定一个“新 数”,使其满足 (即方程 有一个根为 i ),并且进一步规定:一切实数可以与新数进行四则 运 算 , 且 原 有 的 运 算 律 和 运 算 法 则 仍 然 成 立 , 于 是 有 , 从而对任意正整数 n,我们可得到 同理可得 那么, 2 3 4 2016 2017? ? ? ? ? ?i i i i i i? ? ? ? ? ?。 的值为( ) A.0 B.1 C.-1 D. i 10.在数学中,为了书写简便,我们通常记 n 1k? ? k=1+2+3+…+(n﹣1)+n,如 4 1k? ?(x+k)=(x+1)+(x+2) +(x+3)+(x+4),则化简 3 1k? ? [(x﹣k)(x﹣k﹣1)]的结果是( ) A. 3x 2﹣15x+20 B. 3x2﹣9x+8 C. 3x2﹣6x﹣20 D. 3x2﹣12x﹣9 11. 因式分解:4x 2 ﹣y 2 +2y﹣1=___. 12.已知 m+n=mn,则(m﹣1)(n﹣1)= . 13.观察分析下列数据,寻找规律:0, 2 ,2, 6 ,2 2 , 10 …,那么第 10 个数据应是_____. 14.若 23 2 0a a? ? ? ,则 25+2 6a a? ? ________. 15.计算(2 +3 )(2 ﹣3 )的结果等于_____ 16.(1)计算: +(﹣ ) ﹣1 +|1﹣ |﹣4sin45°. (2)先化简,再求值: ,其中 a= +1. 17.计算: (1) (2) 18.已知: ? ? ? ?? ?2 2 2 6 9 3 1 4 x x x A x x ? ? ? ? ? ? ? ? . (1)化简 A. ( 2 )若 x 满足不等式组 2 1 { 4 1 3 3 x x x ? ? ? ? ,且 x 为整数时,求 A的值. 19.如果一个正整数 m 能写成 m=a2﹣b2(a、b均为正整数,且 a≠b),我们称这个数为“平方差数”,则 a、 b为 m 的一个平方差分解,规定:F(m)= . 例如:8=8×1=4×2,由 8=a2﹣b2=(a+b)(a﹣b),可得 或 .因为 a、b为正整数, 解得 ,所以 F(8)= .又例如:48=132﹣112=82﹣42=72﹣12,所以 F(48)= 或 或 . (1)判断:6 平方差数(填“是“或“不是“),并求 F(45)的值; (2)若 s 是一个三位数,t 是一个两位数,s=100x+5,t=10y+x(1≤x≤4,1≤y≤9,x、y 是整数),且满足 s+t 是 11 的倍数,求 F(t)的最大值. 20.设 a1=3 2 ﹣1 2 ,a2=5 2 ﹣3 2 ,……,an=(2n+1) 2 ﹣(2n﹣1) 2 ,(n 为正整数) (1)试说明 an是 8 的倍数; (2)若△ABC 的三条边长分别为 ak、ak+1、ak+2(k 为正整数) ①求 k 的取值范围. ②是否存在这样的 k,使得△ABC 的周长为一个完全平方数,若存在,试举出一例,若不存在,说明理由. 2019 年中考数学典题精选系列 专题 01 数与式 1.3 月 30 日,我区航空经济产业功能区 2019 年一季度重大项目集中开工仪式在电子科大产业园四期项目 用地举行.参加此次集中开工仪式项目共计 71 个,总投资超过 249 亿元,未来随着这一波又一波项目的建 成投产,必将为双流航空经济插上腾飞之翼,助力双流打造中国航空经济之都.用科学记数法表示 249 亿 元为( ) A.249×10 8 元 B.24.9×10 9 元 C.2.49×10 10 元 D.0.249×10 11 元 【答案】C 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为 a×10 n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时,要看把原数变成 a 时, 小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1 时,n 是正数;当原数的绝 对值<1 时,n 是负数. 【详解】 将 249 亿用科学记数法可表示为 2.49×10 10 . 故选 C. 【点睛】 此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10 n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数,表示 时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值. 2.实数 a,b 在数轴上的对应点的位置如图所示,把﹣a,﹣b,0 按照从小到大的顺序排列,正确的是( ) A.﹣a<0<﹣b B.0<﹣a<﹣b C.﹣b<0<﹣a D.0<﹣b<﹣a 【答案】C. 3.按如图所示的运算程序运算,能使输出的结果为 7 的一组 x,y的值是( ) A.x=1,y=2 B.x=﹣2,y=1 C.x=2,y=1 D.x=﹣3,y=1 【答案】C 【解析】 【分析】 将各项中的 x 与 y 代入程序计算,即可得到结果. 【详解】 A、当 x=1,y=2 时,原式=2﹣2=0,不符合题意; B、当 x=﹣2,y=1 时,原式=8+1=9,不符合题意; C、当 x=2,y=1 时,原式=8﹣1=7,符合题意; D、当 x=﹣3,y=1 时,原式=18+1=19,不符合题意, 故选:C. 【点睛】 本题考查代数式求值,熟练掌握运算法则是解题关键. 4.下列整数中,比 小的数是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 可根据有理数大小比较的方法:正数>0>负数,两个负数比较大小,绝对值越大的反而越小.通过比较直 接得出. 【详解】 ∵-3>-π,0>-π,1>-π,-4<-π 故选 D. 【点睛】 本题考查有理数比大小,深刻理解有理数中正数>0>负数,两个负数比较大小,绝对值越大的反而越小. 5.已知 2 3 a b ? ,则代数式 a b a ? 的值为( ) A. 5 2 B. 5 3 C. 2 3 D. 3 2 【答案】B 【解析】 由 2 3 a b ? 得到:a= 2 3 b,则代入可得 2 53 3 b b a b b b ? ? ? ? .故选:B. 6.下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据合并同类项法则,有理数的混合运算,负整数指数幂,二次根式的混合运算求出每个式子的值,再根 据结果判断即可. 【详解】 A、 与 不是同类项,故本选项错误; B、 ,故本选项错误; C、 ,故本选项正确; D、 ,故本选项正确. 故选 D. 【点睛】 本题考查了合并同类项法则,有理数的混合运算,负整数指数幂,二次根式的混合运算等知识点,主要考 查学生的计算能力和辨析能力,题目比较好,但是一道比较容易出错的题目. 7.一列数 a1,a2,a3,…,其中 a1= ,an= (n 为不小于 2 的整数),则 a100=( ) A. B.2 C.﹣1 D.﹣2 【答案】A 【解析】 根据表达式求出前几个数后发现:每三个数为一个循环组.用 100 除以 3,根据商和余数的情况确定 a100的 值即可. 解:根据题意得,a2= =2, a3= =﹣1, a4= = , a5= =2, …, 依此类推,每三个数为一个循环组依次循环, ∵100÷3=33…1, ∴a100是第 34 个循环组的第一个数,与 a1相同, 即 a100= . 故选 A. 8.已知 a﹣b=3,则代数式 a 2 ﹣b 2 ﹣6b 的值为( ) A.3 B.6 C.9 D.12 【答案】C. 【解析】由 a﹣b=3,得到 a=b+3,则原式=(b+3) 2 ﹣b 2 ﹣6b=b 2 +6b+9﹣b 2 ﹣6b=9.故选 C. 9.我们知道,一元二次方程 2 1x ? ? 没有实数根,即不存在一个实数的平方等于-1,若我们规定一个“新 数”,使其满足 (即方程 有一个根为 i ),并且进一步规定:一切实数可以与新数进行四则 运算,且原有的运算律和运算法则仍然成立,于是有 , 从而对任意正整数 n,我们可得到 同理可得 那么, 2 3 4 2016 2017? ? ? ? ? ?i i i i i i? ? ? ? ? ?。 的值为( ) A.0 B.1 C.-1 D. i 【答案】D 【解析】∵根据 i 1 =i,i 2 =-1,i 3 =i 2 ?i=(-1)?i=-i,i 4 =(i 2 ) 2 =(-1) 2 =1, ∴原式=(i-1-i+1)+…+(i-1-i+1)+i=i; 故选 D。 【点睛】此题运用直接开平方法解一元二次方程,弄清题中的新定义是解本题的关键. 10.在数学中,为了书写简便,我们通常记 n 1k? ? k=1+2+3+…+(n﹣1)+n,如 4 1k? ?(x+k)=(x+1)+(x+2) +(x+3)+(x+4),则化简 3 1k? ? [(x﹣k)(x﹣k﹣1)]的结果是( ) A. 3x 2﹣15x+20 B. 3x2﹣9x+8 C. 3x2﹣6x﹣20 D. 3x2﹣12x﹣9 【答案】A 11. 因式分解:4x 2 ﹣y 2 +2y﹣1=___. 【答案】(2x+y﹣1)(2x﹣y+1). 【解析】 【分析】 根据完全平方公式、平方差公式进行因式分解. 【详解】 4x 2 ﹣y 2 +2y﹣1 =4x 2 ﹣(y 2 ﹣2y+1) =(2x) 2 ﹣(y﹣1) 2 =(2x﹣y+1)(2x+y﹣1) 故答案为:(2x+y﹣1)(2x﹣y+1). 【点睛】 本题考查的是因式分解,掌握分组分解法进行因式分解的一般步骤是解题的关键. 12.已知 m+n=mn,则(m﹣1)(n﹣1)= . 【答案】1. 13.观察分析下列数据,寻找规律:0, 2 ,2, 6 ,2 2 , 10 …,那么第 10 个数据应是_____. 【答案】3 2 【解析】试题解析:第十个数为 ? ?2 10 1 18 3 2.? ? ? 故答案为: 3 2. 14.若 23 2 0a a? ? ? ,则 25+2 6a a? ? ________. 【答案】1 【解析】∵ 23 2 0a a? ? ? , ∴ 23 2a a? ? , ∴5+2a-6a?=5-2(3a2-a)=5-2×2=1. 15.计算(2 +3 )(2 ﹣3 )的结果等于_____ 【答案】-6 【解析】 【分析】 利用平方差公式计算即可. 【详解】 原式=12﹣18 =﹣6. 故答案为:﹣6. 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算:先把二次根式化为最简二次根式,然后进行二次根式的乘除运算,再合 并即可.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径, 往往能事半功倍. 16.(1)计算: +(﹣ ) ﹣1 +|1﹣ |﹣4sin45°. (2)先化简,再求值: ,其中 a= +1. 【答案】(1) ;(2) . 【解析】 【分析】 (1)直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值分别化简得出答案; (2)首先进行通分运算,再利用分式的混合运算法则化简,再把已知代入求出答案. 【详解】 解:(1)原式=2 ﹣3+ ﹣1﹣4× = ﹣4; (2)原式= = = , 当 a= +1 时,原式= =2 . 【点睛】 此题主要考查了分式的化简求值和特殊角的锐角三角函数的计算,正确掌握相关运算法则是解题关键. 17.计算: (1) (2) 【答案】(1) ;(2) 【解析】 【分析】 (1)原式利用二次根式性质,特殊角的三角函数值,绝对值的代数意义,以及零指数幕、负整数指数幂法 则计算即可得到结果; (2)先把各二次根式化为最简二次根式,再进行二次根式的乘除运算,然后合并同类二次根式. 【详解】 解:(1)原式= ; (2)原式= =2-1+6+ = 【点睛】 此题考查了二次根式的混合运算,特殊角的三角函数值,绝对值的代数意义,以及零指数幂、负整数指数 幂法则,熟练掌握其定义和运算法则是解本题的关键. 18.已知: ? ? ? ?? ?2 2 2 6 9 3 1 4 x x x A x x ? ? ? ? ? ? ? ? . (1)化简 A. ( 2 )若 x 满足不等式组 2 1 { 4 1 3 3 x x x ? ? ? ? ,且 x 为整数时,求 A的值. 【答案】(1)原式 1 3x ? ? ;(2) 1 3 A ? ? 【解析】试题分析:(1)原式第一项利用除法法则变形,约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计 算即可得到结果;(2)分别求出不等式组中两不等式的解集,找出解集的公共部分确定出不等式组的解集, 确定出整数 x 的值,代入计算即可求出 A 的值. 试题解析:(1) ? ? ? ?? ?2 2 2 6 9 3 1 4 x x x A x x ? ? ? ? ? ? ? ? , ? ? ? ?? ? ? ?? ? 2 2 3 3 1 2 2 x x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? , ? ? ? ?? ? ? ?? ? 2 2 2 3 1 2 3 x x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? , 2 3 3 3 x x x x ? ? ? ? ? ? , 2 3 3 x x x ? ? ? ? ? , 1 3x ? ? . ( 2 ) 2 1 { 4 1 3 3 x x x ? ? ? ? ① ② , 由①得: 1x ? , 由②得: 1 3 3 x ? ? , 1x ? ? , ∴不等式组的解为: 1 1x? ? ? , 又∵ x为整数, ∴ 0x ? , ∴ 1 1 3 3 A x ? ? ? ? . 19.如果一个正整数 m 能写成 m=a2﹣b2(a、b 均为正整数,且 a≠b),我们称这个数为“平方差数”,则 a、 b 为 m的一个平方差分解,规定:F(m)= . 例如:8=8×1=4×2,由 8=a2﹣b2=(a+b)(a﹣b),可得 或 .因为 a、b为正整数, 解得 ,所以 F(8)= .又例如:48=132﹣112=82﹣42=72﹣12,所以 F(48)= 或 或 . (1)判断:6 平方差数(填“是“或“不是“),并求 F(45)的值; (2)若 s是一个三位数,t是一个两位数,s=100x+5,t=10y+x(1≤x≤4,1≤y≤9,x、y是整数),且满足 s+t 是 11 的倍数,求 F(t)的最大值. 【答案】(1)不是;F(45)= 或 或 ;(2) . 【解析】 【分析】 (1)根据题目的例子的形式,对所给的数进行分解,若算出来的 a,b 均为正整数,则这个数是平方差数. (2)根据 s+t 为 11 的倍数,再根据 s+t 的取值范围就可以知道 s+t 的值.从而算出 t 的值. 【详解】 解:(1)根据题意,6=2×3=1×6,由 6=a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)可得, 或 ,因为 a, b为正整数,则可判断出 6 不是平方差数. 故答案为:不是. 根据题意,45=3×15=5×9=1×45,由 45=a2﹣b2=(a+b)(a﹣b),可得 或 或 . ∵a 和 b都为正整数,解得 或 或 , ∴F(45)= 或 或 . (2)根据题意,s=100x+5,t=10y+x, ∴s+t=100x+10y+x+5 ∵1≤x≤4,1≤y≤9,x、y 是整数 ∴100≤100x≤400,10≤10≤90,6≤x+5≤9 ∴116≤s+t≤499 ∵s+t 为 11 的倍数 ∴s+t 最小为 11 的 11 倍,最大为 11 的 45 倍 ∵100x 末位为 0,10y 末位为 0,x+5 末位为 6 到 9 之间的任意一个整数 ∴s+t 为一个末位是 6 到 9 之间的任意一个整数 ①当 x=1 时,x+5=6 ∴11×16=176,此时 x=1,y=7 ∴t=71 根据题意,71=71×1,由 71=a2﹣b2=(a+b)(a﹣b),可得 , 解得 ,∴F(t)= ②当 x=2 时,x+5=7 ∴11×27=297,此时 x=2,y=9 ∴t=92 根据题意,92=92×1=46×2=23×4,由 92=a2﹣b2=(a+b)(a﹣b),可得 或 或 解得 , ∴F(t)= ③当 x=3 时,x+5=8 ∴11×38=418,此时 x=3,y 没有符合题意的值 ∴11×28=308,此时 x=3,y 没有符合题意的值 ④当 x=4 时,x+5=9 ∴11×39=429,此时 x=4,y=2 ∴t=24 根据题意,24=24×1=12×2=8×3=6×4,由 24=a2﹣b2=(a+b)(a﹣b),可得 或 或 或 解得 或 ,∴F(t)= 或 11×49=539 不符合题意 综上,F(t)= 或 F(t)= 或 F(t)= 或 F(t)= ∴F(t)的最大值为 . 【点睛】 本题考查了因式分解的应用,本题为阅读材料题,考查学生的自主学习能力和应变能力,第二问综合性较 强,考查了分类讨论的思想. 20.设 a1=3 2 ﹣1 2 ,a2=5 2 ﹣3 2 ,……,an=(2n+1) 2 ﹣(2n﹣1) 2 ,(n为正整数) (1)试说明 an是 8 的倍数; (2)若△ABC 的三条边长分别为 ak、ak+1、ak+2(k为正整数) ①求 k的取值范围. ②是否存在这样的 k,使得△ABC 的周长为一个完全平方数,若存在,试举出一例,若不存在,说明理由. 【答案】(1)证明见解析;(2)①k>1;②当 k=5 时,△ABC 的周长为一个 完全平方数. 【解析】 【分析】 (1)先化简,再判断出整除的特点判断即可; (2)①利用三角形的三边关系建立不等式,即可得出结论; ②先计算出三角形 ABC 的周长,即可得出结论. 【详解】 (1)∵an=(2n+1) 2 ﹣(2n﹣1) 2 =[(2n+1)﹣(2n﹣1)][(2n+1)+(2n﹣1)]=2×4n=8n, ∵8n 能被 8 整除, ∴an是 8 的倍数; (2)①由(1)可得,ak=8k,ak+1=8(k+1),ak+2=8(k+2), ∴8k+8(k+1)>8(k+2),解得,k>1, 即 k 的取值范围是:k>1; ②存在这样的 k,使得△ABC 的周长为一个完全平方数, 理由:∵△ABC 的周长是:8k+8(k+1)+8(k+2)=24k+24=24(k+1)=4×6×(k+1), ∵△ABC 的周长为一个完全平方数,则 k+1=6 m ,(m 为 1,3,5,…奇数), 取 m=1; ∴k=5; 即当 k=5 时,△ABC 的周长为一个完全平方数. 【点睛】 此题主要考查了整除问题,完全平方数,三角形的周长,三角形的三边关系,掌握三角形的三边关系是解 本题的关键.
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  • 资料类型: 试卷
  • 资料版本:通用
  • 适用地区:全国
  • 文件大小:1.3M
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