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24.4弧长和扇形面积暑假预习练(含解析)
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24.4弧长和扇形面积暑假预习练(含解析)

2025-06-24 浏览量 56 30个学币
详细信息
ID: 3-23268609
版本: 人教版
类型: 试卷
地区: 全国
文件: 1.4MB
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资料简介 24.4弧长和扇形面积暑假预习练 人教版数学九年级上册.docx 展开

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24.4弧长和扇形面积
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.在单位长度为1米的平面直角坐标系中,曲线是由半径为2米,圆心角为120°的弧多次复制并首尾连接而成,现有一点P从A(A为坐标原点)出发,以每秒米的速度沿曲线向右运动,则在第2023秒时点P的纵坐标为(  )
A.1 B.0 C. D.-2
2.已知圆锥的底面半径是2,侧面展开图的圆心角为,则其侧面积为(  )
A. B. C. D.
3.图中的五个半圆,邻近的两半圆相切,两只小虫同时出发,以相同的速度从A点到B点,甲虫沿路线爬行,乙虫沿路线爬行,则下列结论正确的是(  )
A.甲先到B点 B.乙先到B点
C.甲、乙同时到B D.无法确定
4.如图,△ABC中,AB=2,将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1,AB1恰好经过点C.则阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
5.某校在社会实践活动中,明明同学用一个直径为24cm的定滑轮带动重物上升.如图,滑轮上一点A绕点O逆时针旋转105°,假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动,则重物上升了( )
A. B. C. D.
6.如图,圆锥底面圆的半径为7cm,体积为392π,则它侧面展开图的面积是(  )

A.π B.π C.175π D.350π
7.如图,AB是⊙O的直径,弦,,,则阴影部分图形的面积为( )
A.4π B.2π C.π D.
8.已知正内接于,的半径为2,则的弧长为( )
A. B. C. D.
9.如图,从边长为的正方形铁皮中,剪下一块圆心角为的扇形铁皮,要把它做圆锥形容器(接缝忽略不计),那么这个圆锥形容器的高为( )
A. B. C. D.
10.如图,有一圆锥形粮堆,其主视图是边长为的正三角形,母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食,小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠, 则小猫经过的最短路程是(  ).
A. B.4 C. D.6
11.把长度为的一根铁丝弯成圆心角是的一条弧,那么这条弧所在圆的半径是(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
12.已知扇形的半径为6,圆心角为,则扇形的面积为(  )
A. B. C. D.
二、填空题
13.如图,是的直径,弦交于点,且是的中点,,,则阴影部分面积为 .
14.扇形的半径为2,圆心角为90°,则该扇形的面积(结果保留)为 .
15.如图,在扇形中,,半径,将扇形沿着过点B的直线折叠,点O恰好落在上的点D处,折痕交OA于点C,则的长等于 .
16.如图所示,半径为1的圆心角为 的扇形纸片 在直线 上向右做无滑动的滚动. 且滚动至扇形 处,则顶点 所经过的路线总长是 .

17.如图,AB是半圆O的直径,且AB=10,点P为半圆上一点.将此半圆沿AP所在的直线折叠,若恰好弧AP过圆心O,则图中阴影部分的面积是 .(结果保留π)
三、解答题
18.如图,中,,,,与相切于点D.

(1)求图中阴影部分的面积;
(2)设上有一动点P,连接,.当的长最大时,求的长.
19.如果圆锥的底面圆的周长是,侧面展开后所得的扇形的圆心角为,求该圆锥的侧面积和全面积.
20.如图,已知扇形AOB中,∠AOB=60°,半径R=3.
(1)求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S阴;
(2)在扇形AOB的内部,⊙O1与OA,OB都相切,且与弧只有一个交点C,此时我们称⊙O1为扇形AOB的内切圆,试求⊙O1的面积S1.
21.如图,C是圆O被直径AB分成的半圆上一点,过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P,连接CA,CO,CB.

(1)求证:∠ACO=∠BCP;
(2)若∠ABC=2∠BCP,求∠P的度数;
(3)在(2)的条件下,若AB=4,求图中阴影部分的面积(结果保留π和根号).
22.如图,已知为的直径,是弦,于E,于F,连接.
(1)求证:;
(2)求证:;
(3)若,求的值及阴影部分的面积.
23.如图,以的边为直径作,交于点,交于点,.
(1)求证:是等腰三角形;
(2)若是的中点,的半径为2,连接,求阴影部分的面积(结果保留).
24.已知C、D两点在以AB为直径的半圆周上且把半圆三等分,若已知AB长为10,求阴影部分的面积.(结果保留)
《24.4弧长和扇形面积》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A C A B C D C C C
题号 11 12
答案 C C
1.C
【分析】根据题意和图形,可以求得的长,得到点P纵坐标的规律:以1,0,,0四个数为一个周期依次循环,然后即可得到在第2023秒时点P的纵坐标,本题得以解决.
【详解】解:
的长为:,
(秒),
如图,作于E,与交于点D.
在中,,,
∴,
∴,
∴,
∴第1秒时点P纵坐标为1;
第2秒时点P纵坐标为0;
第3秒时点P纵坐标为;
第4秒时点P纵坐标为0;
第5秒时点P纵坐标为1;
…,
∴点P的纵坐标以1,0,,0四个数为一个周期依次循环,,
故在第2023秒时点P的纵坐标为,
故选:C.
【点睛】本题考查了规律型中的点的坐标,解题的关键是找出点P纵坐标的规律:以1,0,,0四个数为一个周期依次循环.
2.A
【分析】本题考查了圆锥的计算.设圆锥的母线长为,由于圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长,则根据弧长公式得到,解方程求出,然后根据扇形的面积公式计算扇形的面积,从而得到圆锥的侧面积.
【详解】解:设圆锥的母线长为,
根据题意得,
解得,
所以圆锥的侧面积.
故选:A.
3.C
【分析】甲虫走的路线应该是4段半圆的弧长,那么应该,乙虫走的路程为,因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等,因此两个同时到点.本题考查了圆的认识,主要掌握弧长的计算公式.
【详解】解:甲虫沿路线爬行,乙虫沿路线爬行,
∴甲虫走的路程为,
乙虫走的路程为,
甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等,
∵两只小虫同时出发,以相同的速度从A点到B点,
因此甲虫和乙虫同时到点.
故选:C.
4.A
【分析】根据旋转的性质可知,由此可得,根据扇形面积公式即可得出结论.
【详解】由旋转得:∠B1AB=60°,
∵,
∴==.
故选:A.
【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及扇形的面积公式,解决本题的关键根据旋转的性质找出阴影部分的面积等于扇形的面积.
5.B
【分析】本题考查弧长公式,解题的关键是掌握弧长公式.利用弧长公式算出重物上升的高度即可.
【详解】解:.
故选:B.
6.C
【分析】根据圆锥体积求出圆锥的高,再根据侧面展开图的面积公式求解即可.
【详解】解:圆锥底面圆的半径为7cm,体积为392πcm3,设圆柱的高为,
则,
解得,,
则圆锥的母线,
它侧面展开图的面积是,
故选:C.
【点睛】本题考查了圆锥的计算,解题关键是熟记圆锥的体积和侧面公式,准确计算.
7.D
【分析】连接,设与交于点E,首先根据垂径定理得到,然后得到阴影部分的面积等于扇形的面积,根据勾股定理求出,最后利用扇形的面积公式求解即可.
【详解】解:连接,设与交于点E.
∵,,
∴,
∴.
∴阴影部分的面积等于扇形的面积.
又∵,,
∴,
∴,
∴,
∵在中,,

∴解得
∴,
∴阴影部分的面积为.
故选:D.
【点睛】本题考查了垂径定理、含30度角的直角三角形的性质,全等三角形的性质与判定,圆周角定理,扇形面积的计算等知识点,能知道阴影部分的面积=扇形的面积是解此题的关键.
8.C
【分析】本题考查了等边三角形的性质、弧长公式、圆周角定理,由等边三角形的性质结合圆周角定理得出,再由弧长公式计算即可得出答案.
【详解】解:如图,连接、,

∵为等边三角形,
∴,
∴,
∵的半径为2,
∴,
故选:C.
9.C
【分析】本题考查了圆锥的计算,扇形的弧长计算,勾股定理等知识点,先根据弧长公式求出圆锥的底面圆的周长,再求出圆锥的底面圆的半径,最后勾股定理求出圆锥形容器的高即可,
掌握知识点的应用是解题的关键.
【详解】解:圆锥的底面圆的周长为,
设圆锥的底面圆的半径为,
则,
解得:,
则这个圆锥形容器的高为,
故选:.
10.C
【分析】求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题,转化为平面上两点间的距离的问题.根据圆锥的轴截面是边长为的等边三角形可知,展开图是半径是4的半圆.点是半圆的一个端点,而点是平分半圆的半径的中点,根据勾股定理就可求出两点和在展开图中的距离,就是这只小猫经过的最短距离.
【详解】解:圆锥主视图是边长为的正三角形,
圆锥的底面周长是,则,
,即圆锥侧面展开图的圆心角是180度.
如图,在圆锥侧面展开图中,,度.
在圆锥侧面展开图中.
故小猫经过的最短距离是.
故选:C.
【点睛】本题考查的是平面展开最短路线问题,根据题意画出圆锥的侧面展开图,利用勾股定理求解是解答此题的关键.
11.C
【分析】设半径为R,利用弧长公式构建方程求出R即可.
【详解】解:设半径为R.
由题意,,
∴,
故选:C.
【点睛】本题考查了弧长公式,解题的关键是记住弧长公式.
12.C
【分析】根据扇形面积公式直接计算即可.
【详解】解:扇形的面积=,
故选:C.
【点睛】此题考查了扇形的面积计算公式,熟记公式是解题的关键.
13.
【分析】由题意可得,,由圆周角定理得,则,在中可求得,由扇形面积公式即可求得阴影部分面积.
【详解】是的直径,且是的中点,,
,,

由圆周角定理得,
,,
在中,,由勾股定理得,
解得:,
阴影部分面积为.
故答案为:.
【点睛】本题考查了垂径定理,圆周角定理,勾股定理,角直角三角形的性质,扇形面积计算等知识,题目简单,但涉及的知识点较多,熟练运用是关键.
14.
【分析】根据扇形面积公式可直接进行求解.
【详解】解:由题意得:该扇形的面积为;
故答案为.
【点睛】本题主要考查扇形面积公式,熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键.
15.
【分析】连接,则,根据折叠可知,,从而得到是等边三角形,进而得到,,再利用弧长公式进行计算即可.
【详解】解:连接,则,
∵将扇形沿着过点B的直线折叠,
∴,
∴,
∴是等边三角形,
∴,
∴,
∴的长;
故答案为:.
【点睛】本题考查求弧长.熟练掌握折叠的性质,证明三角形是等边三角形,是解题的关键.
16.
【分析】本题考查了旋转的性质,弧长的计算,仔细观察顶点O经过的路线可得,顶点O到所经过的路线可以分为三段,分别求出三段的长,再求出其和即可.
【详解】解:顶点O经过的路线可以分为三段,当切直线l于点B时,有,此时O点绕不动点B转过了;
第二段:到,O点绕动点转动,而这一过程中始终是切于直线l的,所以O与转动点的连线始终⊥直线l,所以O点在水平运动,此时O点经过的路线长的弧长;
第三段:到O点落在直线l上,O点绕不动点A转过了.
所以,O点经过的路线总长.
故答案为:.
17.
【分析】过点O作OD⊥BC于点D,交弧AP于点E,则可判断点O是弧AOP的中点,由折叠的性质可得OD=DE=R=,在Rt△OBD中求出∠OAD=30°,继而得出∠AOC,求出扇形AOC的面积即可得出阴影部分的面积.
【详解】解:过点O作OD⊥BC于点D,交弧AP于点E,连接OP,
则点E是弧AEP的中点,由折叠的性质可得点O为弧AOP的中点,
∴S弓形AO=S弓形PO,
在Rt△AOD中,OA=OB=R=5,OD=DE=R=,
∴∠OAD=30°,
∴∠BOP=60°,
∴S阴影=S扇形BOP==π.
故答案为:π.
【点睛】本题考查了扇形面积的计算,解答本题的关键是作出辅助线,判断点O是弧AOP的中点,将阴影部分的面积转化为扇形的面积.
18.(1)
(2)
【分析】本题考查了切线的性质,勾股定理的逆定理,扇形的面积公式等知识,解题的关键是:
(1)连接,利用勾股定理的逆定理判定得出,利用切线的性质得出,利用等面积法求出,然后利用求解即可;
(2)延长交于P,连接,则最大,然后在中,利用勾股定理求解即可.
【详解】(1)解∶连接,

∵,,,
∴,
∴,
∵与相切于D,
∴,
∵,
∴,
∴;
(2)解∶延长交于P,连接,此时最大,

由(1)知:,,
∴.
19.该圆锥的侧面积为,全面积为
【分析】根据底面周长可求得底面半径,进而可求得底面积,根据扇形的弧长=圆锥的底面周长可得到母线长,进而求得侧面积.
【详解】解:设底面半径为r,母线长为R,则底面周长,
所以,
∴底面面积,
∵,
∴,
∴侧面面积,
所以全面积.
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积的计算,牢记圆锥的侧面积公式是解答本题的关键.如果圆锥的底面半径为r,母线长为l,那么圆锥的侧面积等于.
20.(1)扇形面积S=,阴影部分面积S=﹣
(2)π
【分析】(1)根据扇形的面积公式就可以求出,阴影的面积用扇形的面积减去三角形的面积;
(2)设⊙O1与OA相切于点E,连接O1O,O1E,通过解三角形就可以求出半径,再利用圆的面积进行计算.
【详解】(1)∵∠AOB=60°,半径R=3,
∴S==,
∵OA=OB,∠AOB=60°,
∴△OAB是等边三角形,
∴S△OAB=,
∴阴影部分的面积S阴=﹣.
(2)设⊙O1与OA相切于点E,连接O1O,O1E,
∴∠EOO1=∠AOB=30°,∠OEO1=90°,
在Rt△OO1E中,
∵∠EOO1=30°,
∴OO1=2O1E,
∵OC=OO1+O1C,O1E=O1C,
∴O1E=1,
∴⊙O1的半径O1E=1.
∴S1=πr2=π.
【点睛】本题考查了相切两圆的性质.构造直角三角形是常用的方法,本题的关键是求得圆的半径.
21.(1)见解析
(2)30°
(3)2π﹣2
【分析】(1)由AB是半圆O的直径,CP是半圆O的切线,可得∠ACB=∠OCP,即得∠ACO=∠BCP;
(2)由∠ABC=2∠BCP,可得∠ABC=2∠A,从而∠A=30°,∠ABC=60°,可得∠P的度数是30°;
(3)∠A=30°,可得BC=AB=2,AC=BC,即得S△ABC,再利用阴影部分的面积等于半圆减去S△ABC即可解题.
【详解】(1)∵AB是半圆O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵CP是半圆O的切线,
∴∠OCP=90°,
∴∠ACB=∠OCP,
∴∠ACO=∠BCP;
(2)由(1)知∠ACO=∠BCP,
∵∠ABC=2∠BCP,
∴∠ABC=2∠ACO,
∵OA=OC,
∴∠ACO=∠A,
∴∠ABC=2∠A,
∵∠ABC+∠A=90°,
∴∠A=30°,∠ABC=60°,
∴∠ACO=∠BCP=30°,
∴∠P=∠ABC﹣∠BCP=60°﹣30°=30°,
答:∠P的度数是30°;
(3)由(2)知∠A=30°,
∵∠ACB=90°,
∴BC=AB=2,AC=BC=2,
∴S△ABC=BC AC=×2×2=2,
∴阴影部分的面积是﹣2=2π﹣2,
答:阴影部分的面积是2π﹣2.
【点睛】本题考查圆的综合应用,涉及圆的切线性质,直角三角形性质及应用等知识,题目难度不大.
22.(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3),
【分析】(1)利用直径所对的圆周角等于,得到,再利用即可证明;
(2)利用,得到,进一步得到,再根据即可证明三角形全等;
(3)连接,由全等三角形的性质得到,则可证明是等边三角形,得到,再推出,即可求出,,再根据阴影部分面积等于扇形的面积减去三角形的面积进行求解即可.
【详解】(1)证明:∵为的直径,
∴,
又∵,
∴.
(2)证明:∵,为的直径,
∴,
∴,
在和中,
∴.
(3)解:连接,
∵,
∴,
∴,
∴是等边三角形,
∴,
∵,
∴,
∴,,
∴,,

∴扇形的面积是:,的面积是:,
∴阴影部分的面积是:.
【点睛】本题主要考查了平行线的判定定理,全等三角形的判定及性质,垂径定理,勾股定理,扇形的面积公式,圆周角定理等等,解题的关键是熟练掌握以上相关知识.
23.(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)连接、,如图所示,利用同弦所对的圆心角相等和圆周解是圆心角的一半等量代换得出,从而得出三角形是等腰三角形;
(2)连接,根据圆周角定理得到,再由“三线合一”知为中点,,从而确定是的中位线,利用中位线的性质,得到,,
,且是等边三角形,根据扇形的面积公式计算即可.
【详解】(1)证明:连接、,如图所示:












是等腰三角形;
(2)解:连接,如图所示:
是直径,
,即,
由(1)知是等腰三角形,根据“三线合一”知为中点,
是的中点,
是的中位线,
,,
,且是等边三角形;
,,
的半径为2,
根据扇形面积公式得.
【点睛】本题考查圆的综合,涉及等弦对等角、圆周角定理、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、不规则图形面积及扇形的面积公式等知识,熟练掌握圆的性质,熟记相关几何图形的判定与性质是解决问题的关键.
24.
【分析】阴影部分的面积,根据等底等高的两三角形面积相等,然后把阴影部分的面积转为求扇形的面积并利用扇形面积公式计算即可.
【详解】解:阴影部分的面积
、把半圆弧三等份,

、等底等高,
阴影面积.
答:阴影部分面积是.
【点睛】本题的关键是分析阴影部分的面积是由哪几部分是组成的,然后根据扇形面积公式计算.
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九年级(初高衔接)试卷

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