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24.3正多边形和圆
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，正六边形内接于，半径为6，则这个正六边形的边心距为（ ）
A．4 B． C． D．
2．如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（　　）
A． B． C． D．
3．正六边形的中心角为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知正五边形内接于，连结BD，则的度数是（ ）
A．72° B．54° C．36° D．64°
5．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠ACD的度数是（ ）
A．72° B．70° C．60° D．45°
6．如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为1，的顶点都在格点上，则的面积是（　　）
A． B．2 C．3 D．3
7．已知正n边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正n边形的中心角为（ ）
A． B． C． D．
8．下列说法正确的是（　　）
A．正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形
B．正多边形的外接圆圆心是这个正多边形的中心
C．正n边形的中心角与其每一个外角互补
D．正五边形的边长等于其外接圆的半径
9．如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
10．正十边形的中心角的度数为（　　）
A．30 B． C．45 D．60
11．如图，正方形ABCD内接于，点E为上一点，连接BE，若，，则正方形ABCD的边长为（ ）
A．7 B． C． D．
12．如图，正五边形和正三角形都是的内接多边形，则的度数是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．如果一个正多边形的中心角等于，那么这个正多边形的对称轴共有 条．
14．如图，边长为2的正六边形的中心与坐标原点O重合，轴，将正六边形绕原点O逆时针旋转n次，每次旋转，当时，顶点A的坐标为 ．
15．对角线条数和自身边数相同的正多边形的中心角度数为 ．
16．如图，若的半径为1，则的内接正八边形的面积为 ．

17．如图是由中国结和雪花两种元素组成的一个图案，这个图案绕着它的旋转中心旋转角度后能够与它本身重合，则角可以是 度．（写出一个即可）

三、解答题
18．如图，正三角形、正方形、正六边形等正n边形与圆的形状有差异，我们将正n边形与圆的接近程度称为“接近度”．
(1)角的“接近度”定义：设正n边形的每个内角的度数为，将正n边形的“接近度”定义为．于是越小，该正n边形就越接近于圆，
①若，则该正n边形的“接近度”等于 ．
②若，则该正n边形的“接近度”等于______．
③当“接近度”等于______．时，正n边形就成了圆．
(2)边的“接近度”定义：设一个正n边形的外接圆的半径为R，正n边形的中心到各边的距离为d，将正n边形的“接近度”定义为．分别计算时边的“接近度”，并猜测当边的“接近度”等于多少时，正n边形就成了圆？
19．用等分圆周的方法画下列图形．

20．如图，正六边形内接于，边长为2．
(1)求的直径的长；
(2)求的度数．
21．如图，已知．
(1)求作的内接正方形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若的半径为，求它的内接正方形的边长．
22．如图，每个小正方形的边长均为1，线段、的端点A、C、E、F均在小正方形的顶点上．
(1)在方格纸中画出以为对角线的正方形（字母顺序为逆时针顺序），点B、D在小正方形的顶点上；
(2)在方格纸中画出以为顶角的等腰三角形（非等腰直角三角形），点C在小正方形的格点上，连接，并直接写出线段的长．
23．如图，在网格纸中，O、A都是格点，以O为圆心，为半径作圆，用无刻度的直尺完成以下画图：
(1)在图①中画⊙O的一个内接正六边形；
(2)在图②中画⊙O的一个内接正八边形．
24．如图， 的半径为，正六边形内接于．求：
(1)圆心O到的距离；
(2)正六边形的面积．
《24.3正多边形和圆》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C C A D D B D B
题号 11 12
答案 B C
1．B
【分析】连接，证明是等边三角形，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
则，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴
∴
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理是解题的关键．
2．D
【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：计算即可．
【详解】解：∵五边形是的内接正五边形，
∴五边形的中心角的度数为，
故选D．
【点睛】本题考查圆内接正多边形的中心角．熟练掌握正多边形的中心角的计算公式：，是解题的关键．
3．C
【分析】本题考查了正多边形中心角定义．根据题意正多边形中心角即为除以正多边形边数即可选出本题答案．
【详解】解：∵是正六边形，
∴中心角为：，
故选：C．
4．C
【分析】连接、，先求出正五边形的中心角，再根据圆周角知识即可求出．
【详解】解：连接，如图，
∵正五边形内接于，
∴，
∵，
∴．
故选：C
【点睛】本题考查了求正五边形的中心角，圆周角定理等知识，熟知相关知识，求出正五边形的中心角是解题关键．
5．A
【分析】由正五边形的性质可知△ABC是等腰三角形，求出∠B，的度数即可解决问题．
【详解】解：在正五边形ABCDE中，
∠B=∠BCD=×（5-2）×180=108°，AB=BC，
∴∠BCA=∠BAC=（180°-108°）=36°，
∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=108°-36°=72°．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形的内角，此题基础题，比较简单．
6．D
【分析】延长，然后作出过点C与格点所在的直线，一定交于格点E，根据即可求解．
【详解】延长，然后作出过点C与格点所在的直线，一定交于格点E．如图所示：
正六边形的边长为1，则半径是1，则，
两平行的边之间距离是： ，
则的边上的高是： ，
边上的高是： ，
则 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了与正多边形有关的计算，灵活运用是是解题关键．
7．D
【分析】本题考查了正多边形的内角和和外角和，正多边形的中心角，根据题意列出方程求得边数，即可求得中心角的度数．
【详解】解：根据题意，得，
解得，
∴这个正n边形的中心角为，
故选：D．
8．B
【分析】本题主要考查了正多边形和圆，轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握正多边形的性质，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项进行判断即可．
【详解】解：A．边数为偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形，边数为奇数的正多边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误；
B．正多边形的外接圆圆心是这个正多边形的中心，故B正确；
C．正n边形的中心角与其每一个外角都相等，都等于，故C错误；
D．正六边形的边长等于其外接圆的半径，故D错误．
故选：B．
9．D
【分析】先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：连接OC、OD、OE，如图所示：

∵正六边形内接于，
∴∠COD= =60°，则∠COE=120°，
∴∠CME= ∠COE=60°，
故选：D．
【点睛】本题考查正多边形的中心角、圆周角定理，熟练掌握正n多边形的中心角为是解答的关键．
10．B
【分析】本题考查正多边形和圆，一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的个数（多边形的边数），就得到中心角的度数．
【详解】正十边形中心角的度数为，
故选：B．
11．B
【分析】连接DB、OC、OE，根据圆内接正多边形性质，可证是等边三角形，从而可得BO=CO=OE=5，由此即可解题．
【详解】解：连接DB、OC、OE，
，
∵正方形内接于，
∴，，三点共线，
又∵，
∴，
又∵BO=CO=OE，
∴是等边三角形，
又∵，
∴BO=CO=OE=5，
∴，选项B符合题意．
故选B
【点睛】本题考查了正多边形和圆、等边三角形判断与性质，掌握圆内接正多边形性质，正确添加辅助线，得出是等边三角形是解题的关键．
12．C
【分析】如图，连接利用正多边形的性质求出，，可得结论．
【详解】解：如图，连接．
是等边三角形，
，
，
是正五边形，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握正多边形的性质，属于中考常考题型．
13．
【分析】本题考查了正多边形与圆，对称轴数量问题，先求得正多边形的边数，进而根据对称性求得对称轴数量，即可求解．
【详解】解：设这个多边形的边数为，∵中心角的度数=，
，，
∴这个正多边形为正五边形，每个顶点与其对边中点的连线所在的直线为对称轴，共5条对称轴，
故答案为：．
14．
【分析】将正六边形绕原点O逆时针旋转次时，点A所在的位置是自身所在的位置，连接，，设交y轴于点H，先判断是等边三角形，求出和的长度，即可求出点A的坐标．
【详解】解：，
∴当时，顶点A旋转到了原来的位置，
连接，，设交y轴于点H，
在正六边形中，，，是等边三角形，
，，
，
，
，
即当时，顶点A的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形的性质、旋转变换的性质，掌握正多边形的性质、旋转变换的性质是解题的关键．
15．/72度
【分析】本题考查了正多边形的对角线条数公式，正多边形的中心角．根据题意判断出对角线条数和边数相同的正多边形是正五边形，进而即可解答．
【详解】解：设正多边形的边数为，则对角线条数为，
根据题意得，，
解得，或（舍去）
∴对角线条数和边数相同的正多边形是正五边形，
正五边形的中心角为．
故答案为：
16．
【分析】利用勾股定理求出正方形的边长，根据即可．
【详解】
解：连接，，，

∵四边形是圆内接正四边形，，是圆的直径，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆内接正多边形，利用圆内接正多边形的性质求出正方形的边长是解题的关键．
17．（答案不唯一）
【分析】先求出正六边形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可．
【详解】解：，
则这个图案绕着它的中心旋转或的倍数后能够与它本身重合，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了旋转对称图形、正多边形的性质，掌握正六边形的中心角是关键．
18．(1)①120；②18；③0
(2)时，；时，，当边的“接近度”等于0时，正n边形就成了圆
【分析】（1）①根据正n边形的“接近度”的定义，即可求解；②根据正n边形的“接近度”的定义，即可求解；③根据正n边形的“接近度”的定义，即可求解；
（2）结合正多边形的外接圆的半径与正多边形的中心到各边的距离构造的直角三角形，求解即可．
【详解】（1）解：①当时， ，
∴“接近度”等于；
故答案为：120
②当时， ，
∴“接近度”等于；
故答案为：18
③∵越小，该正n边形就越接近于圆，
∴当时，该正n边形就成了圆，
此时，
∴；
故答案为：0
（2）解：如图，当时，为正的外接圆，，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当时，为正六边形的外接圆，，
∴，
∴，
∴，
∴；
当边的“接近度”等于0时，正n边形就成了圆．
【点睛】此题考查了正多边形与其外接圆的关系．解此题的关键是注意数形结合思想的应用．
19．见解析
【分析】根据正多边形和圆的性质求解即可．
【详解】在图1中用半径去截圆周使得，连接，，，，，即可；
在图2中作，连接，，，，即可．

【点睛】本题考查了正多边形和圆，利用圆画出正六边形，正五边形是本题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理：
（1）连接，求出的度数，得到是等边三角形，得到，即可得出结果；
（2）根据圆周角定理，即可得出结果．
【详解】（1）解：连接．
∵正六边形内接于，
∴，
又，
∴是等边三角形．
∴．
∴．
（2）解：∵，
∴．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）作出直径，再过点作的垂线，进而得出答案；
（2）利用正方形的性质结合勾股定理得出正方形的边长．
【详解】（1）解：如图所示，正方形即为所求作图形．
（2）因为的半径为，四边形是正方形，
所以，，
所以．
故的内接正方形的边长为．
【点睛】此题主要考查了复杂作图、正多边形和圆、勾股定理；正确掌握正方形的性质是解题关键．
22．(1)见详解；
(2)见详解．
【分析】（1）利用数形结合的思想求出正方形的边长即可解决问题；
（2）根据，寻找点G，利用勾股定理求出即可．
【详解】（1）解：正方形如图所示：
（2）解：以为顶角的等腰三角形如图所示：
．
【点睛】本题考查作图 应用与设计、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．
23．(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）设的延长线与圆交于点D，根据圆的内接正六边形的性质，点D即为正六边形的一个顶点，且正六边形的边长等于圆的半径，即，故在图中找到的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点B和F,同理∶在图中找到的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点C和E，连接，如图，正六边形即为所求；
（2）圆的内接八边形的中心角为，而正方形的对角线与边的夹角也为，根据正方形对角线能形成角，以此确定，同理即可确定另外4个点位置，再顺次连接即可．
【详解】（1）解：如图所示，
如图①，正六边形即为所求；
（2）如图所示，
如图②，正八边形即为所求．
【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图、正多边形和圆，解决本题的关键是掌握圆内接正多边的性质，准确画图．
24．(1)
(2)
【分析】（1）过点O作于点H，连结、，则可得，，在根据垂径定理和勾股定理即可求出的长；
（2）由，，可得是等边三角形，先求出的面积，即可得正六边形的面积．
本题考查的是正多边形与圆、垂径定理，掌握正六边形的性质、垂径定理是解题的关键．
【详解】（1）
如图，过点O作于点H，连结、，
则，，
，
在中，
，
，
，
故圆心O到的距离为．
（2），，
是等边三角形，
，
，
∴正六边形的面积为．
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