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24.2点和圆、直线和圆的位置关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，已知矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝3cm，若以A为圆心，4cm长为半径画圆A，则点C与圆A的位置关系为( )
A．点C在圆A外 B．点C在圆A上 C．点C在圆A内 D．无法判断
2．如图，与分别相切于点A，B，，，则的长度为（ ）
A． B．2 C．3 D．
3．已知的半径是，点在上，如果点到直线的距离是，那么与直线的位置关系是 （ ）
A．相交 B．相离 C．相切或相交 D．相切或相离
4．下列命题中，错误的是（　　）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．圆的两条平行弦所夹的弧相等
C．任意一个三角形有且只有一个外接圆
D．直径是圆中最长的弦
5．如图，⊙O是的内切圆，D，E，F分别为切点，且．已知，，则四边形OFCE的面积为（ ）
A．1 B．15 C． D．4
6．如图，在平面直角坐标系中， ，，，则的外心坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知圆O是的内切圆，且，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，内接于，是的直径，，点D是劣弧上一点，连结，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
9．中，，，，若以点C为圆心，以r为半径的圆与所在直线相交，则r可能为（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
10．如图，点是外接圆的圆心．点是的内心．连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，则的周长为（　　）
A．18 B．16 C．14 D．12
12．已知的半径为，点P在直线l上，且，直线l与的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交
二、填空题
13．证明“如果，那么”是假命题，可以取 ．（填一种即可）
14．如图，为半圆O的直径， ，点C为半圆上动点，以为边向形外作正方形，连接，则的最大值为 ．
15．如图，在网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是的外心，在不添加其他字母的情况下，则除外把你认为外心也是O的三角形都写出来 ．
16．如图，，，那么以为圆心，为半径的圆与直的位置关系是 ．

17．用反证法证明“三角形三个内角至少有一个不大于”时，应先假设 ．
三、解答题
18．如图，△ABC的边AB为⊙O的直径，BC与⊙O交于点D，D为BC的中点，连接AD，过D作DE⊥AC于E．

(1)求证：DE为⊙O的切线；
(2)若AB＝13，CD＝5，求DE的长．
19．如图，已知线段是的一条弦．
(1)实践与操作：用尺规作图法作出圆心O；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与计算：若弦，圆心O到的距离为4，求的半径．
20．如图△ABC，用圆规和没有刻度的直尺作出△ABC的外接圆．（用黑水笔描清楚作图痕迹）
21．如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E．
(1)求证：是的切线
(2)若，，则的长
22．如图，以的边的长为直径作，交于点D，若，求证：是的切线．
23．如图，是的直径，点C是劣弧中点，与相交于点E．连接，，与的延长线相交于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
24．（1）；
（2）如图，的三个顶点坐标分别为，，．
①画出将绕点顺时针旋转得到的，并写出点，的坐标；
②请在图中作出的外接圆，写出圆心的坐标．
《24.2点和圆、直线和圆的位置关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D A D D C C D C
题号 11 12
答案 A D
1．C
【分析】利用勾股定理求得的长，判断的长与半径的关系，即可求解．
【详解】解：矩形ABCD中，AB＝2cm，BC＝3cm，
∴，
若以A为圆心，4cm长为半径画圆A，，
∴点C在圆A内，
故选C．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系．
2．B
【分析】本题考查了切线长定理，等边三角形的判定与性质；由切线长定理得，由得是等边三角形，由等边三角形的性质即可求得结果．
【详解】解：∵与分别相切，
∴；
∵，
∴是等边三角形，
∴；
故选：B．
3．D
【分析】此题考查直线与圆的位置关系，掌握数形结合是解题的关键．根据圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的大小关系解答．
【详解】解：如图，

当点 与 重合时， 与直线 相切；
当点 与 不重合时， 与直线 相离，
∴ 与直线 的位置关系是相切或相离．
故选：D．
4．A
【分析】利用垂径定理、三角形的外接圆，圆的有关定义及性质分别判断后即可得出答案．
【详解】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原命题错误；
B、圆的两条平行弦所夹的弧相等，正确；
C、任意一个三角形有且只有一个外接圆，正确；
D、直径是圆中最长的弦，正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理、三角形的外接圆，圆的有关性质等知识，解题的关键是熟练掌握圆的基本性质，属于中考常考题型．
5．D
【分析】先根据勾股定理求出的长，再连接，设半径为，再根据切线长定理，，，，得到关于的方程，解方程，即可求出四边形的面积．
【详解】解：如图，连接，设半径为，则，，，，
∵，，，
∴,
∴，，
∴，
∴，
∵，分别为切点，且，，
∴四边形是正方形，
∴四边形的面积为．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理及切线长定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
6．D
【分析】本题考查了三角形的外心和平面直角坐标系内点的坐标，解题的关键是利用垂直平分线的交点找外心．依据三角形的外心是边的垂直平分线的交点，作和的垂直平分线，交点为所求．
【详解】解：作和的垂直平分线，交点为所求，
的外心坐标为，
故选：D．
7．C
【分析】由三角形内切定义可知是的角平分线，所以可得到关系式，把对应数值代入即可求得的值．
【详解】解：∵O是的内切圆，
∴是的角平分线，
∴
，
∴．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三角形的内切圆，以及三角形的角平分线．关键是要知道内切圆的圆心是三个角平分线的交点．
8．C
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，先根据圆周角定理，由，则利用互余可计算出，然后根据圆内接四边形的性质得到的度数，熟练掌握三角形的外心的定义与性质是解题的关键．
【详解】
解：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
9．D
【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理求出 ，再利用面积法求出的长，即可得到答案．
【详解】解：如图，中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴当时，以点C为圆心r为半径的圆与所在直线相交，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形的面积法求斜边上的高线，直线与圆的位置关系，理解以点C为圆心r为半径的圆与所在直线相交先求出最短距离进行判断是解题的关键．
10．C
【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
连接，由点是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案．
【详解】如图，连接，
∵点是的内心，
∴平分，
∵，
∴，
∵点是外接圆的圆心，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
11．A
【分析】本题考查了三角形的内切圆，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，根据，于是得到的周长．
【详解】解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，
∴，，，
∵，
∴，
∴的周长，
故选：A．
12．D
【分析】直线和圆的位置关系与数量关系之间的联系：若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离；
【详解】解：∵的半径为，
∴点到直线的距离：
∴直线与的位置关系是相切或相交；
故选：D．
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线和圆的位置关系与数量关系之间的联系是解题的关键．
13．（答案不唯一）
【分析】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
举出反例说明它是假命题即可．
【详解】解：证明“如果，那么”是假命题，可以取，
故答案为：（答案不唯一）．
14．/
【分析】设与⊙O交于点M，连接 ， ，，易证，从而得到，即点D的运动轨迹是以M伪圆心 为半径的圆，从而得到时，最长，设与⊙O交于点M，连接 ，先证明，得、再利用勾股定理计算即可．
【详解】解：设与⊙O交于点M，连接 ， ，，
∵与都是等腰直角三角形，
∴ ，，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
∴点D的运动轨迹是以M伪圆心 为半径的圆，
∴当D，M，O共线时，最长，
∵
∴
∵四边形是正方形
∴C，M，E共线， ，
在于中，
，
∴，
∴ ，
∴的最大值为
故答案为．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及旋转的性质等知识，解题的关键是取得最大值时的位置，学会通过特殊位置探究得出结论．
15．△ADC、△BDC、△ABD
【分析】先求出△ABC的外接圆半径r，再找到距离O点的长度同为r的点，即可求解．
【详解】由网格图可知O点到A、B、C三点的距离均为：，
则外接圆半径，
图中D点到O点距离为：，
图中E点到O点距离为：，
则可知除△ABC外把你认为外心也是O的三角形有：△ADC、△ADB、△BDC，
故答案为：△ADC、△ADB、△BDC．
【点睛】本题考查了外接圆的性质、勾股定理等知识，求出△ABC的外接圆半径r是解答本题的关键．
16．相交
【分析】先求出点M到的距离，再进行判断得出即可．
【详解】解：过点作于点，
，，
，
以点为圆心，半径为4的圆与的位置关系是：相交．
故答案为：相交．

【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置，正确掌握直线与圆相切时与的关系是解题关键．
17．三角形三个内角都大于60 °．
【分析】写出与结论相反的假设即可．
【详解】解：用反证法证明：“三角形三个内角中至少有一个角不大于60°”时应先提出与结论相反的假设：三角形三个内角都大于60 °．
故答案为：三角形三个内角都大于60 °．
【点睛】本题考查反证法，熟练掌握反证法的基本步骤是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由中位线定理知OD//AC，然后由平行线的性质得到OD⊥DE，故得到答案；
（2）由直径所对的圆周角是90°及等腰三角形的性质得到AC的长，然后使用勾股定理求出AD的长度，最后用等积法算出DE长度即可．
【详解】（1）证明：连接OD，
∵BO＝OA，BD＝DC，
∴OD//AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；

（2）∴AD⊥BD，
∵BD＝CD＝5，
∴AC＝AB＝13，
∴AD＝＝＝12，
∵
∴，
解得：DE＝，
答：DE的长为．
【点睛】本题考查了切线的判定及性质定理，涉及了圆周角、等腰三角形等相关知识，掌握并熟练使用相关定义、定理，精准识图是本题的解题关键．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了尺规作图—确定圆心，垂径定理，勾股定理：
（1）如图所示，在圆上取一点C，连接，分别作的垂直平分线，二者交于点O，点O即为所求；
（2）连接，由垂径定理得到，再由，即可利用勾股定理得到．
【详解】（1）解：如图所示，在圆上取一点C，连接，分别作的垂直平分线，二者交于点O，点O即为所求；
（2）解：如图所示，连接，
∵，，圆心O到的距离为4，
∴，
∴，
∴的半径为．
20．见解析
【分析】作线段BC的垂直平分线MN，作线段AB的垂直平分线EF，直线EF交MN于点O，连接OB，以O为圆心，OB为半径作⊙O即可．
【详解】解：如图，⊙O即为所求．
【点睛】此题考查作图﹣应用与设计作图，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是理解三角形的外心是三角形两边的垂直平分线的交点．
21．(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查了切线的判定和性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，全等三角形的性质和判定，正确的作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，求得，得到，根据切线的判定定理得到答案；
（2）根据勾股定理得到，求得，根据切线的性质得到根据勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）证明：连接，如图，
为直径，
，即，
又，
，
，
，
即，
是的半径，
是的切线；
（2）解：连接，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：．
22．见解析
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得∠BDC＝∠BDA＝90°，然后可得∠A＋∠ABD＝90°，等量代换求出即可证得结论．
【详解】证明：∵BC为的直径，
∴∠BDC＝∠BDA＝90°，
∴∠A＋∠ABD＝90°，
∵，
∴，即，
∴AB⊥BC，
∴是的切线．
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，切线的判定，熟练掌握基础知识是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】连接，由圆周角定理得，再由等腰三角形性质及切线的判定定理可得结论；
根据同圆中等弧对等角、等角对等弧可得答案；
设为x，则为，根据勾股定理可得方程，求得的长，再根据三角形中位线定理可得答案．
此题考查的是圆周角定理、切线的判定与性质、勾股定理和三角形中位线定理，正确作出辅助线是解决此题关键．
【详解】（1）解：连接，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
（2）解：∵点C是中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
（3）解：如图：连接线，交于H，
∵，，
于点H，
设为x，则为，根据勾股定理，
，
解得：，
，
是中位线，
24．（1），；（2）①见详解，，；②见详解，
【分析】本题主要考查解一元二次方程和旋转的性质，
（1）利用完全平方公式展开、合并同类项，结合因式分解求解即可；
（2）①根据旋转得到顶点坐标和，再顺次连接即可；②利用网格找到和的垂直平分线交点即为圆心，有网格得点．
【详解】解：（1），
去括号得，，
整理得，，
因式分解得，，
则，；
（2）①如图所示；，的坐标分别为，；
②如图所示，．
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