资料简介 24.1圆的有关性质暑假预习练 人教版数学九年级上册.docx 展开
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24.1圆的有关性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，弦，，交、于点，，的半径为10，，，则为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．1
2．下列命题中，正确的是（ ）.
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径.
B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦.
C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心.
D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心.
3．如图，为的一条弦，直径于点E，连接、，若，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，在中，是直径，弦于点H．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．有下列说法：①同圆中，所有的半径都相等；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）相等的圆周角所对的弧相等；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，是的直径，已知，，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，是的半径，B为上一点（且不与点O、A重合），过点B作的垂线交于点C，以为邻边作矩形，连结．若，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
9．如图，四边形是的内接四边形，连接，，，已知，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示，，，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
11．的半径为10cm，弦，且，，则和的距离为（ ）
A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．10cm或20cm
12．如图，在中，已知是直径，是弦，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．在中，AB是的直径，，，M是上一动点，的最小值是 ．
14．如图，是的弦，根据下列条件填空：
（1）如果是的直径，且于点，那么有 ， ， ；
（2）如果是的直径，且，那么有 ， ， ；
（3）如果，且，那么有 ， ， ．
15．如图，内接于，将弧沿弦翻折，弧交弦于点D，连接，若，则的度数为 ．
16．如图，圆中以为一个端点的劣弧有 条．
17．如图，在中，，则的度数为 ．
三、解答题
18．如图，是公园内常见的圆形“月亮门”示意图，已知门的下部宽度米，门的最高点到的距离米，求这个圆形“月亮门”的半径．
19．如图，在中，，求证：．
20．蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知，半径，求高度．
21．如图是某风景区的一个圆拱形门（示意图），净高为5米，路面的宽为2米，求圆拱形门所在的半径．
22．如图，是的直径，是上两点，且，连接．求证：．
23．如图，为的直径，，交于点E，交于点E，，连接．
(1)求的度数；
(2)求证：．
24．用反证法证明：在同一圆中，如果两条弦不等，那么它们的弦心距（圆心到弦的距离）也不等．已知：中和是它的两条弦，垂足为，垂足为，．求证：．
《24.1圆的有关性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B C C A C B D C
题号 11 12
答案 C A
1．A
【分析】连接、，根据垂径定理，可得，，根据勾股定理可得，， 进而即可求解．
【详解】解：如图，连接、，
∵弦，，交、于点，，
∴，即，，，
∵的半径为10，即，
在Rt中，由勾股定理，得：，
在Rt中，同理可得：，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是做辅助线构造直角三角形，进而利用勾股定理求出，．
2．D
【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、两条直径互相平分，但不一定垂直，故本选项错误，不符合题意；
B、平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦，故本选项错误，不符合题意；
C、弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，故本选项错误，不符合题意；
D、在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心，故本选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径垂直这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
3．B
【分析】先由垂径定理求得，再由，得出，然后根据勾股定理求出，最后证明是等边三角形，得出．
【详解】解：∵直径于点E，
∴，，
∵，
∴，，
由勾股定理，得，即，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理、勾股定理、直角三角形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
4．C
【分析】连接，根据垂径定理求出，根据圆的性质及线段的和差求出，，根据勾股定理求出，据此即可得解．
【详解】解：连接，
∵是直径，弦，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
5．C
【分析】利用圆的有关定义及性质分别进行判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①同圆中，所有的半径都相等，原说法正确，符合题意；
②弦不一定是直径，原说法错误，不符合题意；
③半径相等的两个半圆是等弧，原说法正确，符合题意；
④能够完全重合的两条弧是等弧，原说法错误，不符合题意；
⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆，原说法正确，符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆的认识及圆的有关定义，解题的关键是了解圆的有关概念，难度不大．
6．A
【分析】本题考查圆中有关定义，利用等弧的定义、圆周角定理、弧的定义及弦的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故原说法错误；
（2）同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等，故原说法错误；
（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故原说法错误；
（4）直径是圆中最长的弦，故原说法正确，
正确的只有1个，
故选：A．
7．C
【分析】根据等弧对等角，进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查等弧对等角．熟练掌握等弧等对角是解题的关键．
8．B
【分析】本题主要考查了圆的基本元素，矩形的性质，勾股定理．连结，根据矩形的性质可得，再由巩固独立可得的长，即可求解．
【详解】解：连结，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴．
故选：B
9．D
【分析】根据等腰三角形的性质得出，求出，再求出，根据圆内接四边形对角互补求出即可．
【详解】解：，，
，
，
，
∵四边形是的内接四边形，
，
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，能熟记圆内接四边形的性质是解此题的关键．
10．C
【分析】先求得OA的长，从而求出OC的长即可．
【详解】解：∵，
∴OA=，
∵，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，
∴，
∴，
∵点C为x轴负半轴上的点，
∴C，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，勾股定理等知识，明确AB=AC是解题的关键．
11．C
【分析】分两种情况考虑：当圆心位于与之间时，连接，如图1所示，过O作，由，得到，利用垂径定理得到E、F分别为的中点，分别求出与，由即可得到的长；当圆心在与一侧时，连接，如图2所示，过O作，由，得到，同理求出与，由即可求出的长．
【详解】解：当圆心位于与之间时，连接，如图1所示，过O作，
∵，
∴，
∴E、F分别为的中点，
∴，，
在中，，，
根据勾股定理得：，
在中，，
根据勾股定理得到，
此时和的距离；
当圆心在与一侧时，连接，如图2所示，过O作，
同理可得：，
此时和的距离，
综上，和的距离为2cm或14cm．
故选C．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
12．A
【分析】根据是的直径，可得，再由圆周角定理可得，即可求解．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴．
故选：A
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
13．8
【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，熟记定理并作出图形，判断出的最小值等于圆的直径的长度是解题的关键．作点C关于的对称点，连接与相交于点M，根据轴对称确定最短路线问题，点M为的最小值时的位置，根据垂径定理可得，然后求出为直径，从而得解．
【详解】解：如图，作点C关于的对称点，连接与相交于点M，
此时，点M为的最小值时的位置，即点M与点O重合
由垂径定理，，
∴，
∵，为直径，
∴为直径，
即
∴的最小值是．
故答案为：8．
14． 是的直径
【分析】（）根据垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧求解即可；
（）根据垂径定理的推论：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧求解即可；
（）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧求解即可．
【详解】解：（）∵是的直径，且于点，
∴，，；
（）∵是的直径，且，
∴，，；
（）∵，且，
∴是的直径，，．
【点睛】此题考查了垂径定理和垂径定理的推论，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
15．
【分析】根据折叠的性质和圆的内接四边形的性质可得，再根据邻补角的定义和三角形的内角和即可得出结论．
【详解】解：∵弧沿弦翻折，弧交弦于点D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，圆的内接四边形，三角形的内角和，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补．
16．3
【分析】根据劣弧的定义，所对圆心角小于180度的圆弧叫作劣弧，求解即可．
【详解】解：由图形可得，以为一个端点的劣弧有、、，有3条
故答案为：3
【点睛】此题考查了劣弧的定义，解题的关键是理解劣弧的定义．
17．
【分析】由题意易得，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键．
18．这个圆形“月亮门”的半径是1米
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理．设这个圆形“月亮门”的半径为米，则米，由勾股定理得，，解得得值，即为这个圆形“月亮门”的半径．
【详解】解：连接，
设这个圆形“月亮门”的半径为米，则米，
由勾股定理得，，
解得：，
答：这个圆形“月亮门”的半径是1米．
19．见解析
【分析】本题考查在同圆或等圆中同弧或等弧所对的弦相等，根据得到，即可得到即可得到答案；
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．
【分析】弦，半径，根据题意得是直角三角形，可求出的长，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，在中，，半径，
∴，，，
∴，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
21．2.6米
【分析】连接，设圆的半径为，可得，利用垂径定理进行求解即可．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
设的半径为，则：，，
在中，，
∴，
∴米；
∴的半径为2.6米．
【点睛】本题考查垂径定理．解题的关键是掌握垂径定理，利用勾股定理进行求解．
22．见解析
【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，等边对等角，平行线的判定，连接，根据圆周角定理和等腰三角形的性质证即可．
【详解】证明：如解图，连接，
，
，
又，
，
，
．
23．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质：
（1）等边对等角，求出的度数，根据直径所对的圆周角为直角，得到，进而得到，再根据角的和差关系即可得出结果；
（2）连接，圆周角定理，得到，三线合一，得到即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴；
（2）连接，
∵为的直径，
∴，
又∵，
∴．
24．证明见解析
【分析】首先从结论的反面出发进而假设结论不成立，即在同一个圆中，如果两条弦不等，弦心距可能相等，再利用勾股定理结合已知得出矛盾，进而得出答案．
【详解】证明：假设，
如图，连接、，
∵和是的两条弦，，，
∴，，，
∵，
，
∴，
∴，
即，与矛盾，假设不成立，
∴在同一圆中，如果两条弦不等，那么它们的弦心距（圆心到弦的距离）也不等．
【点睛】本题考查反证法，垂径定理，勾股定理，通过连接半径构造直角三角形以利用勾股定理是解题关键．
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24.1圆的有关性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，弦，，交、于点，，的半径为10，，，则为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．1
2．下列命题中，正确的是（ ）.
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径.
B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦.
C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心.
D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心.
3．如图，为的一条弦，直径于点E，连接、，若，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，在中，是直径，弦于点H．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．有下列说法：①同圆中，所有的半径都相等；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）相等的圆周角所对的弧相等；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，是的直径，已知，，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，是的半径，B为上一点（且不与点O、A重合），过点B作的垂线交于点C，以为邻边作矩形，连结．若，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
9．如图，四边形是的内接四边形，连接，，，已知，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示，，，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
11．的半径为10cm，弦，且，，则和的距离为（ ）
A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．10cm或20cm
12．如图，在中，已知是直径，是弦，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．在中，AB是的直径，，，M是上一动点，的最小值是 ．
14．如图，是的弦，根据下列条件填空：
（1）如果是的直径，且于点，那么有 ， ， ；
（2）如果是的直径，且，那么有 ， ， ；
（3）如果，且，那么有 ， ， ．
15．如图，内接于，将弧沿弦翻折，弧交弦于点D，连接，若，则的度数为 ．
16．如图，圆中以为一个端点的劣弧有 条．
17．如图，在中，，则的度数为 ．
三、解答题
18．如图，是公园内常见的圆形“月亮门”示意图，已知门的下部宽度米，门的最高点到的距离米，求这个圆形“月亮门”的半径．
19．如图，在中，，求证：．
20．蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知，半径，求高度．
21．如图是某风景区的一个圆拱形门（示意图），净高为5米，路面的宽为2米，求圆拱形门所在的半径．
22．如图，是的直径，是上两点，且，连接．求证：．
23．如图，为的直径，，交于点E，交于点E，，连接．
(1)求的度数；
(2)求证：．
24．用反证法证明：在同一圆中，如果两条弦不等，那么它们的弦心距（圆心到弦的距离）也不等．已知：中和是它的两条弦，垂足为，垂足为，．求证：．
《24.1圆的有关性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B C C A C B D C
题号 11 12
答案 C A
1．A
【分析】连接、，根据垂径定理，可得，，根据勾股定理可得，， 进而即可求解．
【详解】解：如图，连接、，
∵弦，，交、于点，，
∴，即，，，
∵的半径为10，即，
在Rt中，由勾股定理，得：，
在Rt中，同理可得：，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是做辅助线构造直角三角形，进而利用勾股定理求出，．
2．D
【分析】根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、两条直径互相平分，但不一定垂直，故本选项错误，不符合题意；
B、平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦，故本选项错误，不符合题意；
C、弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，故本选项错误，不符合题意；
D、在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心，故本选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径垂直这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
3．B
【分析】先由垂径定理求得，再由，得出，然后根据勾股定理求出，最后证明是等边三角形，得出．
【详解】解：∵直径于点E，
∴，，
∵，
∴，，
由勾股定理，得，即，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理、勾股定理、直角三角形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键．
4．C
【分析】连接，根据垂径定理求出，根据圆的性质及线段的和差求出，，根据勾股定理求出，据此即可得解．
【详解】解：连接，
∵是直径，弦，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
5．C
【分析】利用圆的有关定义及性质分别进行判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①同圆中，所有的半径都相等，原说法正确，符合题意；
②弦不一定是直径，原说法错误，不符合题意；
③半径相等的两个半圆是等弧，原说法正确，符合题意；
④能够完全重合的两条弧是等弧，原说法错误，不符合题意；
⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆，原说法正确，符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆的认识及圆的有关定义，解题的关键是了解圆的有关概念，难度不大．
6．A
【分析】本题考查圆中有关定义，利用等弧的定义、圆周角定理、弧的定义及弦的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故原说法错误；
（2）同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等，故原说法错误；
（3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故原说法错误；
（4）直径是圆中最长的弦，故原说法正确，
正确的只有1个，
故选：A．
7．C
【分析】根据等弧对等角，进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查等弧对等角．熟练掌握等弧等对角是解题的关键．
8．B
【分析】本题主要考查了圆的基本元素，矩形的性质，勾股定理．连结，根据矩形的性质可得，再由巩固独立可得的长，即可求解．
【详解】解：连结，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴．
故选：B
9．D
【分析】根据等腰三角形的性质得出，求出，再求出，根据圆内接四边形对角互补求出即可．
【详解】解：，，
，
，
，
∵四边形是的内接四边形，
，
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，能熟记圆内接四边形的性质是解此题的关键．
10．C
【分析】先求得OA的长，从而求出OC的长即可．
【详解】解：∵，
∴OA=，
∵，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，
∴，
∴，
∵点C为x轴负半轴上的点，
∴C，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，勾股定理等知识，明确AB=AC是解题的关键．
11．C
【分析】分两种情况考虑：当圆心位于与之间时，连接，如图1所示，过O作，由，得到，利用垂径定理得到E、F分别为的中点，分别求出与，由即可得到的长；当圆心在与一侧时，连接，如图2所示，过O作，由，得到，同理求出与，由即可求出的长．
【详解】解：当圆心位于与之间时，连接，如图1所示，过O作，
∵，
∴，
∴E、F分别为的中点，
∴，，
在中，，，
根据勾股定理得：，
在中，，
根据勾股定理得到，
此时和的距离；
当圆心在与一侧时，连接，如图2所示，过O作，
同理可得：，
此时和的距离，
综上，和的距离为2cm或14cm．
故选C．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
12．A
【分析】根据是的直径，可得，再由圆周角定理可得，即可求解．
【详解】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴．
故选：A
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
13．8
【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，熟记定理并作出图形，判断出的最小值等于圆的直径的长度是解题的关键．作点C关于的对称点，连接与相交于点M，根据轴对称确定最短路线问题，点M为的最小值时的位置，根据垂径定理可得，然后求出为直径，从而得解．
【详解】解：如图，作点C关于的对称点，连接与相交于点M，
此时，点M为的最小值时的位置，即点M与点O重合
由垂径定理，，
∴，
∵，为直径，
∴为直径，
即
∴的最小值是．
故答案为：8．
14． 是的直径
【分析】（）根据垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧求解即可；
（）根据垂径定理的推论：平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧求解即可；
（）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧求解即可．
【详解】解：（）∵是的直径，且于点，
∴，，；
（）∵是的直径，且，
∴，，；
（）∵，且，
∴是的直径，，．
【点睛】此题考查了垂径定理和垂径定理的推论，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
15．
【分析】根据折叠的性质和圆的内接四边形的性质可得，再根据邻补角的定义和三角形的内角和即可得出结论．
【详解】解：∵弧沿弦翻折，弧交弦于点D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，圆的内接四边形，三角形的内角和，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补．
16．3
【分析】根据劣弧的定义，所对圆心角小于180度的圆弧叫作劣弧，求解即可．
【详解】解：由图形可得，以为一个端点的劣弧有、、，有3条
故答案为：3
【点睛】此题考查了劣弧的定义，解题的关键是理解劣弧的定义．
17．
【分析】由题意易得，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键．
18．这个圆形“月亮门”的半径是1米
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理．设这个圆形“月亮门”的半径为米，则米，由勾股定理得，，解得得值，即为这个圆形“月亮门”的半径．
【详解】解：连接，
设这个圆形“月亮门”的半径为米，则米，
由勾股定理得，，
解得：，
答：这个圆形“月亮门”的半径是1米．
19．见解析
【分析】本题考查在同圆或等圆中同弧或等弧所对的弦相等，根据得到，即可得到即可得到答案；
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．
【分析】弦，半径，根据题意得是直角三角形，可求出的长，由此即可求解．
【详解】解：根据题意得，在中，，半径，
∴，，，
∴，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
21．2.6米
【分析】连接，设圆的半径为，可得，利用垂径定理进行求解即可．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
设的半径为，则：，，
在中，，
∴，
∴米；
∴的半径为2.6米．
【点睛】本题考查垂径定理．解题的关键是掌握垂径定理，利用勾股定理进行求解．
22．见解析
【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，等边对等角，平行线的判定，连接，根据圆周角定理和等腰三角形的性质证即可．
【详解】证明：如解图，连接，
，
，
又，
，
，
．
23．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质：
（1）等边对等角，求出的度数，根据直径所对的圆周角为直角，得到，进而得到，再根据角的和差关系即可得出结果；
（2）连接，圆周角定理，得到，三线合一，得到即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴；
（2）连接，
∵为的直径，
∴，
又∵，
∴．
24．证明见解析
【分析】首先从结论的反面出发进而假设结论不成立，即在同一个圆中，如果两条弦不等，弦心距可能相等，再利用勾股定理结合已知得出矛盾，进而得出答案．
【详解】证明：假设，
如图，连接、，
∵和是的两条弦，，，
∴，，，
∵，
，
∴，
∴，
即，与矛盾，假设不成立，
∴在同一圆中，如果两条弦不等，那么它们的弦心距（圆心到弦的距离）也不等．
【点睛】本题考查反证法，垂径定理，勾股定理，通过连接半径构造直角三角形以利用勾股定理是解题关键．
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