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22.3实际问题与二次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．据安徽省统计局公布的数据，初步核算2021年安徽省生产总值为42959.2亿元，若设2023年安徽省生产总值为y亿元，平均年增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，若用长的铁丝借助墙围成一个斜边为的直角三角形，则所围成的的最大面积为（　　）
A． B． C． D．
3．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是．有下列结论：①小球从抛出到落地需要6s；②小球运动中的高度可以是30m；③小球运动2s时的高度小于运动5s时的高度．其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．把一根长为的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则与之间的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
5．为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，某塑料玩具生产公司一年中每月获得的利润（万元）和月份之间满足函数关系式，则没有盈利的月份为（ ）
A．月和月 B．月至月
C．月 D．月、月和月
6．如图，菱形的边长为，，动点E从点B出发，以的速度沿射线方向运动，动点F同时从B出发，以的速度沿边向点C运动，点F到达点C时点E同时停止运动，若点F运动的时间为t秒，的面积为，则S关于t的函数图象是（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣2）2+6，则水柱的最大高度是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．2+
8．如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y=-0.01（x-20）2+4，桥拱与桥墩AC的交点C恰好位于水面，且AC⊥x轴，若OA=5米，则桥面离水面的高度AC为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
9．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（　　）
A． B．
C． D．
10．已知一个直角三角形两直角边长之和为10 cm，则这个直角三角形的最大面积为（　　）
A．6.25 cm2 B．12.5 cm2 C．25 cm2 D．31.25 cm2
11．如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞．门洞内的地面宽度为，两侧距地面高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为，则这个门洞内部顶端离地面的距离为（　　）

A． B．8 C． D．
12．某抛物线型拱桥的示意图如图所示，水面，拱桥最高处点C到水面的距离为，在该抛物线上的点E，F处要安装两盏警示灯（点E，F关于y轴对称），警示灯F距水面的高度是，则这两盏灯的水平距离是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
13．如图是王明正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，B，C三个点，且，在上方有五个台阶（各拐角均为），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，第一个台阶到x轴距离．从点A处向右，上方沿抛物线发出一个带光的点P．当点P落在台阶上时，落点的坐标是 ．
14．学校卫生间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）小丽经过测量发现：洗手液瓶子的截面图下部分是矩形，洗手液瓶子的底面直径，D，H与喷嘴位置点B三点共线．当小丽按住顶部A下压至如图②位置时，洗手液从喷口B流出（此时喷嘴位置点B距台面的距离为16），路线近似呈抛物线状，小丽在距离台面15处接洗手液时，手心Q到直线的水平距离为4，若小丽不去接，则洗手液落在台面的位置距的水平距离是16．根据小丽测量所得数据，可得洗手液喷出时的抛物线函数解析式的二次项系数是 ．
15．为了节省材料，某工厂以岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80米的材料围成一个由三块面积相等的小长方形组成的长方形区域（如图），若米，则给出下列四个结论：①米，②；③；④长方形的最大面积为300平方米，其中，正确的是 .

16．某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元（利润=总销售额-总成本）．

17．大强对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，由此可知大强此次实心球训练的成绩为 米．
三、解答题
18．赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项广受欢迎的民俗体育运动．某地计划进行一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：）与到点O的水平距离x（单位：）近似满足函数关系，据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．
(1)水面的宽度_______；
(2)要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计龙舟赛道的数量．
19．如图，抛物线经过点，，．
(1)在y轴上取一点P，使得，写出点P的坐标；
(2)在（1）的条件下，求直线与抛物线L的交点D的坐标．
20．某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量w（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y（元），解答下列问题：
(1)求y与x的关系式；
(2)当x取何值时，y的值最大？
21．综合与实践
问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点A，B在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O，点P是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段上确定点C，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红；
第二步：在线段上取点F（不与C，P重合），过点F作的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：
(1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；
(2)求6米材料恰好用完时与的长；
(3)种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值．
22．相框边的宽可影响放入的相片的大小，如图所示，相框长，宽．设相框边的宽为，相框内的面积为．
(1)写出关于的函数解析式．
(2)在这个函数解析式中，自变量的取值范围是什么？
(3)当取1，1.5，2时分别可以放入多大面积的相片？
23．综合与实践
优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率
信息1 如图1，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口H离地竖直高度为．
信息2 如图2，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口．
问题解决
任务1 确定浇灌方式 （1）求外边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
（2）直接写出内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
任务2 提倡有效浇灌 （3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围．
24．如图，在矩形中，，点P在线段上，点P从点A开始沿边以的速度向点B移动；E是的中点，点Q从点E开始，沿以的速度向点C移动，如果点分别从点A、E同时出发．
(1)请探究的面积与运动时间之间的函数关系式，并求出t的取值范围；
(2)画出此函数的图像．
《22.3实际问题与二次函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C D D D C C B B
题号 11 12
答案 D A
1．D
【分析】根据2023年安徽省生产总值=2021年安徽省生产总值×列函数表达式即可．
【详解】解：根据题意，y关于x的函数表达式是，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的应用，理解题意，找到等量关系是解答的关键．
2．D
【分析】本题考查二次函数的实际应用，设，根据列出函数关系式并配方找到最大值即可解题.
【详解】设，则，
∴，
∵，
∴该函数图象的开口向下，
∴当时，面积最大，为，
故选D.
3．C
【详解】①令，则，解得，，小球从抛出到落地需要6s，故①正确；②，，当时，h有最大值，最大值为45，
小球运动中的高度可以是30m，故②正确；③当时，，当时，，小球运动2s时的高度大于运动5s时的高度，故③错误．
4．D
【分析】此题考查的是根据实际问题列二次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．
要求长方形的面积，需求出长方形相邻两边的长度，根据长方形的周长公式可计算出长方形另一边的长为；接下来，根据长方形的面积公式即可得到与的函数关系式．
【详解】解：设这个长方形的一边长为，周长是，
另一边长是，
与的函数关系式为：．
选项、、都不正确，选项正确．
故选：．
5．D
【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
根据题意可知没有盈利时，利润为和小于的月份都不合适，从而可以解答本题．
【详解】解：，且为整数，
当时，或，
当时，，
故选：D．
6．D
【分析】本题考查动点的函数图象问题，菱形的性质，解直角三角形，分点在上，三种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：∵菱形的边长为，，
∴，
过点作，则：，
①当点在上运动，即：时，，
过点作，则：，
∴，图象为过原点，开口向上的一段抛物线；
②当点在上运动，即：时，此时点到的距离为定值的长，
∴，图象为一段上升的直线；
③当点在上运动，即：，过点作，则，
∵菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，此时图象为开口向下的一段抛物线；
故选D．
7．C
【分析】根据二次函数的性质，在顶点处取最值即可．
【详解】解：∵抛物线形水柱，其解析式为y＝﹣（x﹣2）2+6，
∵a=-1＜0
∴当x=2时，水柱的最大高度是：6．
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用—喷水问题．根据二次函数的解析式得到抛物线顶点坐标是解决此类问题的关键．
8．C
【分析】根据OA=5知点C的横坐标为-5，据此求出点C的纵坐标即可得出答案．
【详解】解：∵AC⊥x轴，OA=5米，
∴点C的横坐标为-5，
当x=-5时，y=-0.01（x-20）2+4=y=-0.01（-5-20）2+4=-2.25，
∴C（-5，-2.25），
∴桥面离水面的高度AC为2.25米．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用．解题的关键是明确题意找出所求问题需要的条件．
9．B
【分析】根据降价x元，则售价为元，销售量为件，由题意可得等量关系：总销售额为销量售价，根据等量关系列出函数解析式即可．
【详解】解：降价x元，则售价为元，销售量为件，
根据题意得，，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，找准等量关系，正确的列出函数表达式，是解题的关键．
10．B
【分析】本题考查二次函数的应用．设一条直角边长为为，则另一条直角边长为，然后列出三角形的面积与a的函数关系式，再利用二次函数的性质即可求解．
【详解】解：设一条直角边长为，则另一条直角边长为，
∴，
∵，
∴当时，面积的最大值为，
故选：B．
11．D
【分析】建立直角坐标系，得到二次函数，门洞高度即为二次函数的顶点的纵坐标.
【详解】解：如图，以地面为x轴，门洞中点为O点，画出y轴，建立直角坐标系，

由题意可知各点坐标为，，，
设抛物线解析式为把B、D两点带入解析式，
∴，解得：，
∴解析式为，则，
所以这个门洞内部顶端离地面的距离为，
故选D.
【点睛】本题考查二次函数的简单应用，能够建立直角坐标系解出二次函数解析式是本题关键.
12．A
【分析】根据题意，可以设抛物线的解析式为，然后根据题意可得点A的坐标，再代入抛物线解析式，即可求得a的值，再将代入，即可求得相应的x的值，从而即可求解．
【详解】解：解：设该抛物线的解析式为，
由题意可得，点A的坐标为，
将代入得，，
解得，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
解得，，
∴，，
∴这两盏灯的水平距离是：（米），
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想求解．
13．
【分析】本题考查二次函数的应用，先求出点I左边和右边端点的坐标，求出当，时的y值，比较即可．
【详解】
由题意得：点I左边端点的坐标为，右边端点的坐标为
对于抛物线，当时，，当时，，
当时，解得或5，
∴点P在台阶I上，落点的坐标是
故答案为：．
14．
【分析】以直线为y轴，以H为原点，建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为，则抛物线经过，运用待定系数法确定a，b，c的值即可．
【详解】以直线为y轴，以H为原点，建立平面直角坐标系，
设抛物线解析式为，则抛物线经过，
所以，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法确定解析式，二次函数的生活应用，熟练掌握待定系数法，灵活建立坐标系是解题的关键．
15．③④/④③
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，几何图形相关的整式运算，理解题意，找准图形间的数量关系是解题关键．设两个相同的小长方形的两边长分别为a，b，通过计算说明①②③，针对④可列出面积S与x的关系式，然后根据二次函数的性质说明即可．
【详解】解：∵三块小长方形的面积相等，
∴，，
设米，米，则米，
∴米，
∴，
无法得出，故②错误，③正确；
∵，
∴，
∴米，故①错误.
∵，
又∵，
∴当，即米时，长方形的面积最大，且最大面积为300平方米，故④正确；
综上分析可知，正确的是③④．
故答案为：③④．
16．121
【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润=单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值．
【详解】解：当时，设，把（10，20），（20，10）代入可得：
，
解得，
∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为，
设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，
，
∵1<0，
∴当时，w有最大值为121，
故答案为：121．
【点睛】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润=单价商品利润×销售量”的等量关系及二次函数的性质是解题关键．
17．10
【分析】根据实心球落地时，高度，即把实际问题可理解为当时，求x的值，解出x后，舍去不合题意的值即可．
【详解】解：令，即，
解得：，（舍）．
故该生此次实心球训练的成绩为10米．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用．结合题意，选取函数或自变量的特殊值，列出方程求解是解题关键．
18．(1)
(2)4条．
【分析】（1）求出抛物线与x轴的交点坐标即可得到答案；
（2）求出当时，x的值，即可求出可设计赛道的宽度，再根据每条龙舟赛道宽度为即可得到答案．
【详解】（1）解：令，则，
∴，
解得或，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：令，得，
∴
解得，．
可设计赛道的宽度为，
∵每条龙舟赛道宽度为，
最多可设计赛道4条．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
19．(1)或；
(2)或
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、一次函数和二次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定和性质等知识．
（1）分两种情况，利用全等三角形的判定和性质即可求出答案；
（2）分别求出直线的解析式和直线的解析式，分别与二次函数解析式联立，求出交点坐标即可．
【详解】（1）解：①在y轴正半轴上取一点P，使得，如解图，
∵，．
∴，
∵，，
∴，
点P的坐标为；
②在y轴负半轴上取一点，使得，如解图，
同理可证，，
，
∴.点的坐标为.
综上所述，点P的坐标为或；
（2）如解图，设直线的解析式为，
由点B、P的坐标可得
则
解得
∴直线的解析式为，
同理可得，直线的解析式为，，
当时，
解得（舍去）或，
当时，，
点D的坐标为，
当时，
解得（舍去）或，
则
点的坐标为.
综上所述，点D的坐标为或.
20．(1)
(2)
【分析】（1）把代入即可求解；
（2）把函数解析式转化为顶点式即可求解．
【详解】（1）解：；
∴w与x的关系式为：．
（2）解：，
∴当时，y的值最大．
【点睛】本题考查二次函数的应用，理解题意求函数解析式是解题的关键．
21．(1)图见解析，
(2)的长为4米，的长为2米
(3)矩形周长的最大值为米
【分析】本题考查二次函数的实际应用，建立适当坐标系求出函数表达式是解题的关键．
（1）根据题意以点O为原点建立坐标系，根据垂直平分，得出，根据设抛物线的函数表达式为，将代入求出a的值即可；
（2）设点E的坐标为，可得，，，根据求出m的值即可；
（3）由矩形周长，即可求解．
【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系，
∵所在直线是的垂直平分线，且，
∴．
∴点B的坐标为，
∵，
∴点P的坐标为，
∵点P是抛物线的顶点，
∴设抛物线的函数表达式为，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：．
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵点D，E在抛物线 上，
∴设点E的坐标为，
∵，交y轴于点F，
∴，，
∴．
∵在中，，
∴．
∴，
根据题息，得，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），
∴．
∴，
答：的长为4米，的长为2米．
（3）解：如图矩形灯带为，
，，点C在y轴的正半轴，点A在x轴的负半轴，
∴，，
设直线解析式为，
将，代入，得：，
解得，
∴直线解析式为，
同理可得，直线的表达式，
设点、、、，
则矩形周长，
故矩形周长的最大值为米．
22．(1)
(2)
(3)分别可以放入面积为，，的相片
【分析】（1）由四周相框边的宽度相同，进一步求出相框内部的长和宽从而能求出内部的面积；
（2）根据镜框的长、宽以及相框边的宽大于0，列出不等式组，解不等式组，可得答案；
（3）把分别为、，，分别代入函数解析式求得值即可．
【详解】（1）解：由题意，得．
（2）由题意，得
∴．
（3）把，，分别代入，
得，，，
∴分别可以放入面积为，，的相片．
【点睛】本题考查二次函数的实际运用，关键是看到四周相框边的宽度和内部长方形的长和宽的关系，从而求出函数式，进一步利用解析式解决问题．
23．（1），最大射程为 （2）点的坐标为 （3）
【分析】本题主要考查了二次函数是实际应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，二次函数与坐标轴的交点等知识，读懂题意，建立二次函数模型．
（1）根据题意可得是外边缘抛物线的顶点，抛物线过点，用顶点式即可求解函数解析式，求出函数值为时的的值即可求喷出水的最大射程；
（2）根据对称轴为直线可得点的对称点为,则是由向左平移得到的，即可求出点的坐标；
（3）根据，求出点F的坐标，利用增减性可得的最大值和最小值，从而得出答案．
【详解】解：（1）如图, 由题意得是外边缘抛物线的顶点，
设，
又∵抛物线过点，
，
，
∴外边缘抛物线的函数解析式为，
当时, ，解得(舍去)，
∴喷出水的最大射程为；
对称轴为直线
∴点的对称点为，
是由向左平移得到的，
由（1）可得，
∴点的坐标为；
（3）∵，
∴点的纵坐标为，
，
解得 ，
∵，
，
当时， 随的增大而减小，
∴当时, 要使，
则，
∵当时, 随的增大而增大，且时， ，
∴当时，要使，则，
∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴的最大值为，再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴的最小值为，
综上所述，的取值范围是．
24．(1)
(2)见解析
【分析】（1）的面积，把相关数值代入即可求解，注意得到的相关线段为非负数即可．
（2）根据五点作图法，先列表再描点连线，即可作答．
本题考查了二次函数与几何运动内容，画二次函数的图象，解决本题的关键是找到所求的三角形的面积的等量关系，注意求自变量的取值应从线段长度为非负数考虑．
【详解】（1）解：由题意，得
∴．
∵，点P、Q运动的速度均为，
∴，
∴．
（2）解：∵
∴列表如下：
0 1 2 3 6
18 16 0
画出函数 的图象，如图
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