中小学教育资源及组卷应用平台
22.2二次函数与一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的开口方向向下 B．抛物线的对称轴是直线
C．抛物线与轴交于点 D．抛物线与轴没有交点
2．在平面直角坐标系xOy中，二次函数（）的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤若m为任意实数，则．其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤
3．方程x2﹣4x+5＝0根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
4．下表是二次函数（，a，b，c为常数）的自变量x与函数值y的部分对应值．判断方程的一个根的取值范围是（ ）
x 6.17 6.18 6.19 6.20
0.01 0.04
A． B． C． D．
5．抛物线y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（ ）
A． B． C． D．4
6．根据下列表格的对应值：
判断方程（，、、为常数）的一个解的范围是（ ）
A． B． C． D．
7．二次函数的部分图象如图，图象过点对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当时，的取值范围是；⑤，其中正确的结论序号为（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．②③④
8．二次函数的函数值是8，那么对应的x的值是（ ）
A．3 B．5 C．和5 D．3和
9．如图，抛物线经过点（-1，0），与y轴交于点（0，2），抛物线的对称轴为直线，关于此题，甲、乙、丙三人的说法如下：
甲：，；
乙：方程的解为-1和3；
丙：．下列判断正确的是（　　）
A．甲对，乙错 B．甲和乙都错 C．乙对，丙错 D．甲、乙、丙都对
10．如图，以为顶点的二次函数的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程的正数解的范围是（　　）
A． B． C． D．
11．在直角坐标系中，抛物线上部分点的横、纵坐标的对应值如下表：
… 0 1 2 2.5 3 4 …
… 0 …
则下列结论中正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标为
C．当时，随的增大而减小 D．抛物线必经过点
12．已知关于的方程有四个不同的实数解，，，，设，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．若，则
二、填空题
13．二次函数的图象与x轴有 个交点．
14．已知二次函数（其中是自变量），当时对应的函数值均为正数，则的取值范围是 ．
15．求抛物线与y轴的交点坐标为 ．
16．已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围 ．
17．已知抛物线与的交点坐标是，则一元二次方程的解是 ．
三、解答题
18．已知抛物线（为常数），求证：无论为何值，抛物线与轴总有两个公共点．
19．已知二次函数的图象经过点，
求证：这个二次函数图象的对称轴是直线．
题目中矩形方框部分是一段被墨水污损了无法辨认的字．
(1)根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中二次函数的解析式？若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由．
(2)请你根据已有的信息，在原题中的矩形方框中添加一个适当的条件，把原题补充完整．
20．已知二次函数的表达式为．
(1)将其化成的形式；
(2)求图象与两坐标轴交点的坐标；
(3)在平面直角坐标系中画出图象；
(4)观察图象，当_________时，随的增大而减小；
(5)观察图象，当时，直接写出的取值范围：_________．
21．已知二次函数．
(1)求证：对于任意实数m，二次函数的图象与x轴总有交点；
(2)若这个二次函数的图象与x轴交于点A，，求点A的坐标．
22．数学兴趣小组同学们对二次函数（n为正数）进行如下探究：
(1)同学们在探究中发现，该函数图象除与y轴交点不变外，还经过一个定点A______；
(2)有同学研究后认为，该二次函数图象顶点不会落在第一象限，你认为是否正确；
(3)若抛物线与x轴有两个交点，且交点与顶点构成的三角形是直角三角形，请帮兴趣小组同学求出n的值．
23．如图，抛物线与直线相交于点A和点B．点M是直线上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段与抛物线只有一个公共点，求点M的横坐标的取值范围．
24．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2
(1)如图①，求点E的坐标；
(2)将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形，点C，O，D，E的对应点分别为．设，矩形与重叠部分的面积为S．
①如图②，当矩形与重叠部分为五边形时，，分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．
《22.2二次函数与一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D C B C B D D C
题号 11 12
答案 D C
1．C
【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、与坐标轴的交点问题对各选项一一进行判断即可得出答案．
【详解】解：A、由知抛物线开口向上，故此选项说法错误，不符合题意；
B、抛物线的对称轴是直线，故此选项说法错误，不符合题意；
C、当时，，故抛物线与轴交于点，此选项说法正确，符合题意；
D、由知抛物线与轴有两个不同交点，故此选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握抛物线的开口方向、对称轴的相关性质和抛物线与坐标轴的交点的求法是解答此题的关键．
2．B
【分析】由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与y轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①抛物线开口向下，则，
抛物线对称轴位于y轴右侧，则异号，即，
抛物线与y轴交于正半轴，则，所以，
故①错误；
②∵抛物线与x轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线，
∴抛物线与x轴的另一个交点在的右侧，
∴当时，，
∴，
故②正确；
③∵抛物线对称轴为直线
∴，即，
故③错误；
④∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∴
故④正确；
⑤∵抛物线对称轴为直线
∴函数的最大值为：，
∴，即，
故⑤正确；
故正确的结论有：②④⑤，共3个，
故选：B．
【点睛】主要考查图像与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与b的关系，以及二次函数的方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
3．D
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】解：∵，
∵＝﹣4＜0，
∴方程没有实数根．
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程（a≠0）的根与如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根，熟练掌握判别式的意义是解题的关键．
4．C
【分析】根据当时，，当时，，即可得到答案．
【详解】解：∵当时，，当时，，
∴方程的一个根的取值范围是，
故选Ｃ．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程，正确理解题意是解题的关键．
5．B
【分析】根据抛物线与x轴只有一个公共点，得到根的判别式等于0，即可求出c的值．
【详解】解：∵y=x2+x+c与x轴只有一个公共点，
∴x2+x+c=0有两个相等的实数根，
∴△=1-4c=0，
解得：c=．
故选：B．
【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，弄清根的判别式的意义是解本题的关键．
6．C
【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，用列举法估算一元二次方程的近似解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：根据表格可知，当时，；当时，，
∴ 当时，一个解的范围是，
故选：．
7．B
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即），对称轴在y轴的左边；当a与b异号时（即），对称轴在y轴的右边；常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于；抛物线与x轴交点个数由决定，时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①由图象可得，
∵
∴，
∴，故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线
∴即，故②错误；
③∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴，
故③正确；
④∵图象过点对称轴为直线，
∴抛物线与x轴另一个交点为，
由图可知：时，x的取值范围是，
故④正确；
⑤∵当时，，
∴，即
故⑤错误；
∴正确的有①③④，
故选：B．
8．D
【分析】本题考查了求二次函数的自变量，因式分解法解一元二次方程．熟练掌握求二次函数的自变量，因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
由题意得，然后利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：由题意得，，
，
，
解得，或，
故选：D．
9．D
【分析】甲：由抛物线经过（-1，0）可得，由抛物线对称轴为可得；
乙：由抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一交点坐标，从而可得方程的解为-1和3；
丙：由抛物线与y轴交点坐标可得c的值，由抛物线开口向下可得，从而可判断．
【详解】解：抛物线经过点（-1，0），
，
，
抛物线的对称轴为，
，
，故甲正确；
抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点坐标为（-1，0），
抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），
方程的解为-1和3，故乙正确；
抛物线与y轴交于点（0，2），
，
抛物线开口向下，
，
，故丙正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．
10．C
【分析】根据二次函数的顶点坐标得出函数的对称轴为，根据对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是，得出抛物线与x轴另一个交点的横坐标的取值范围，即可得出的正数解的范围．
【详解】解：∵二次函数的顶点为，
∴对称轴为，
而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是，
∴右侧交点横坐标的取值范围是．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象和性质，根据二次函数的对称轴找出图象与x轴右侧交点横坐标的取值范围，是解题的关键．
11．D
【分析】首先根据表格判定出二次函数的对称轴，然后判断出增减性，进而逐项判断求解即可．
【详解】由表格可得，
当时，，当时，，
∴对称轴为，
∴由表格可得，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
∴开口向上，故A选项错误；
∵对称轴为，
∴顶点坐标的横坐标为2，故B选项错误；
∴当时，随的增大而增大，故C选项错误；
∵对称轴为，，
∴点和点关于对称轴对称，
∴抛物线必经过点，故D选项正确．
故选：D．
【点睛】主要考查了二次函数的性质．根据表格中数据找到对称性以及数据的特点求出对称轴及确定函数的增减性是解题关键．
12．C
【分析】本题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键．
把，看做是直线与抛物线交点的横坐标，把，看做是直线与抛物线交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案．
【详解】

解：关于的方程有四个不同的实数解，，，，
与的交点有四个不同的实数解，，，，
如图所示，画出与的图象，易得，
与都关于轴对称，
，，故排除A．
与轴交点为，，易得，故排除B．
当时，与的交点横坐标为，，
即方程有两个大于零的解，
，
即，，故选C．
观察图像，当，显然，故排除D
故选：C
13．2
【分析】根据一元二次方程根的判别式即可求得．
【详解】解：令，得，
∵，
∴此一元二次方程有两个不同的实数根，
故二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，
故答案为：2．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点问题，熟知二次函数(是常数，)与x轴的交点与一元二次方程根之间的关系是解答此题的关键．
14．或
【详解】令，则二次函数与轴的交点坐标为，二次函数的对称轴是直线，当时，满足当时对应的函数值均为正数，，解得；当时，令，则，解得．综上所述，的取值范围为或．
15．
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据y轴上点的坐标特征，求出自变量为0时的函数值即可．
【详解】解：把代入得，
所以抛物线与y轴的交点坐标为；
故答案为：．
16．且
【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数与一元二次方程根与系数的关系，求不等式的解集，掌握二次函数定义，根与系数的关系是解题的关键．
根据二次函数的定义可得，根据图象和x轴有交点，可得，再根据不等式求解集即可求解．
【详解】解：∵是二次函数，
∴，
∵图象和x轴有交点，
∴，
解得，，
故答案为：且 ．
17．
【分析】利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标．
【详解】解：∵抛物线与的交点坐标是，
∴的解为的横坐标，
即．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根据图像法求一元二次方程的解，理解题关于的方程的解为两个函数的交点的坐标是解题的关键．
18．见解析
【分析】求得判别式并分解得到平方与正数的和，得到判别式大于0即可证明．
【详解】证明：∵，
∴无论为何值，抛物线与轴总有两个公共点．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，把抛物线与x轴的交点问题转化为一元二次方程的问题是解题的关键．
19．(1)能，见解析
(2)，（答案不唯一）
【分析】（1）首先根据对称轴是直线得到，求出，然后将代入表达式求解即可；
（2）将代入得到函数经过点，进而求解即可．
【详解】（1）能．
由结论中函数图象的对称轴是直线，得，则．
因为图象经过点，
所以，
，
，
所以，
所以二次函数的解析式为．
（2）将代入得，，
∴函数经过点，
∴可添加条件：，（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式．
20．(1)；
(2)图象与两坐标轴交点的坐标为；
(3)图象见解析；
(4)；
(5)．
【分析】（1）利用配方法化顶点式即可得解；
（2）求与x轴的交点，把 代入函数解析即可求出与x轴的交点，把代入函数解析式即可求出与y轴的交点；
（3）先列出表表格，再画出函数图象即可；
（4）观察图象，即可求解；
（5）观察图象，即可求解．
【详解】（1）解： ；
∴将化为顶点式为；
（2）解：对于，令 ，则，
∴ ，
∴方程没有实数解，
∴二次函数的图象与x轴没有交点；
令 ，则 ，
∴二次函数的图象与y轴的交点为，
∴图象与两坐标轴交点的坐标为；
（3）解：列表得，
0 1
3 1 3
描点并连线得，
（4）解：由图象可知，当 时， y随x的增大而减小，
故答案为∶；
（5）解：观察图象，当 时，直接写出y的取值范围，
故答案为∶ ．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
21．(1)见解析
(2)点A的坐标为或
【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点坐标，把二次函数与x轴的交点的问题，转化为求的问题进行解答即可．
（1）依题意可计算出，得出，即可得出二次函数图象与x轴总有公共点；
（2）令求出两交点为，从而分类讨论得解．
【详解】（1）证明：，
，
对于任意实数，二次函数的图象与轴总有公共点；
（2）解：令，则，
解得：，
即这个二次函数的图象与x轴交于点，
当即为点时，，；
当即为点时，，；
∴点A的坐标为或
22．(1)；
(2)正确，见解析
(3)或5．
【分析】（1）由，当时，函数过定点，即或1，即可求解；
（2）求出抛物线的顶点坐标为∶，即可求解；
（3）由题意知，三角形是等腰直角三角形，且为直角，则，即，即可求解．
【详解】（1）解∶，
当时，函数过定点，
即或1，
当时，当时，，
即函数图像除与轴交点不变，还有点．
故答案为∶；
（2）正确，理由：
抛物线的对称轴为直线，
当时，
抛物线的顶点坐标为∶，
为正数，则，即对称轴在y轴右侧，
而，即顶点不在第一象限；
（3）由（2）可大致画出抛物线的图象如下：
设抛物线和轴的另外一个交点为，抛物线对称轴交轴于点H，顶点为，
令，则或，
则点的坐标为，
，
由题意知，三角形是等腰直角三角形，且为直角，
则，
即，
解得∶(舍去)或1或5，
即或5．
【点睛】本题是二次函数综合题，二次函数的图象和性质、等腰直角三角形的性质，去绝对值，解一元二次方程等知识，绝对值的运用是解题的关键．
23．或时，线段MN与抛物线只有一个公共点
【分析】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质、坐标与图形变化 平移．分类求解确定的位置，进而求解．
【详解】联立两个函数表达式得
解得或
∴点A的坐标为，点B的坐标为，
∴A，B的水平距离为3，
当点M在线段上（不与点A重合）时，
∵M，N的距离为3，而A，B的水平距离是3，
∴此时只有一个交点，即；
当点M在点B的左侧时，线段MN与抛物线没有公共点；
当点M在点A的右侧时，当时，抛物线和交于抛物线的顶点，即时，线段与抛物线只有一个公共点．
综上所述，或时，线段与抛物线只有一个公共点．
24．(1)的坐标为
(2)①，；②
【分析】（1）先根据A点坐标和已知得出AD的长，再根据30角所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理得出CO的长即可得到点E的坐标；
（2）①根据平移的性质和30角所对的直角边等于斜边的一半得出，再根据勾股定理得出，再根据得出S与t的函数关系式；
②分2和4两种情况，根据平移的性质和30角所对的直角边等于斜边的一半得出S与t的函数关系式，分别求出s=和s=时t的值即可．
【详解】（1）解：由点，得，
又，得，
在矩形中，有，得，
∴在中，，
∴由勾股定理，得，有，
∴点的坐标为．
（2）解：①由平移知，，，，
由，得，
∴在中，，
∴由勾股定理，得，
∴，
∵，
∴．
∴，其中的取值范围是．
②当时，，
当S=时，，解得t=，
当S=时，，解得t=，
当2时，如左下图，OF=，=，
∴S=，
当S=时，=，解得t=4.5，
当S=时，=，解得t=；
当4时，如右下图，，，
∴S=（6-t）（6-t）=，
当S=时， =，解得t= 或t=，
当S=时， =，解得t= 或t=，
∴当时，．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，勾股定理，求函数关系式以及一元二次方程的解法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)