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第三单元专项练习02：多策略解分数和比例问题
1．学校美术组与音乐组的人数比是5∶3。现在音乐组补充了15名学员，于是学校又购进20台口风琴，美术组与音乐组的人数比变为了4∶3，这时音乐组共有多少名学员？
【答案】75名
【分析】根据题意可知，学校原来美术组与音乐组的人数比是5∶3，可以设原来美术组有5x名学员，音乐组有3x名学员。音乐组补充了15名学员后，音乐组人数变为（3x ＋ 15）名。此时美术组与音乐组的人数比变为4∶3，即此时美术组人数是音乐组人数的；再根据比和除法的关系，可列出方程式5x÷ （3x ＋ 15） ＝。解方程得到x ＝ 20，进而得出音乐组现在的人数。
【详解】解：设原来美术组有5x名学员，音乐组有3x名学员。
5x÷ （3x ＋ 15） ＝
5x＝×（3x ＋ 15）
5x＝×3x＋ ×15
5 x＝4x＋20
5 x－4 x＝20
x ＝20
3×20＋15
＝60＋15
＝75（名）
答：这时音乐组共有75名学员。
2．荆州市骑行俱乐部2025年元旦开展骑自行车比赛的活动迎接蛇年的到来，“蛇”在中华传统文化中象征着智慧。李欣同学从荆州到荆门第一小时骑了全程的，第二小时行了30千米，这时已行的路程和剩下的比是7∶5，这次比赛的全程有多少千米？
【答案】90千米
【分析】把这次比赛的全程看作单位“1”，已知第一小时骑了全程的，第二小时行了30千米，这时已行的路程和剩下的比是7∶5，即此时已行的路程占全程的；那么第二小时行的路程占全程的（－），单位“1”未知，用第二小时行的路程除以（－），即可求出全程。
【详解】30÷（－）
＝30÷（－）
＝30÷（－）
＝30÷
＝30×3
＝90（千米）
答：这次比赛的全程有90千米。
3．甲、乙两车同时从A、B两地相向开出，甲车每小时行驶36千米，乙车每小时行驶全程的。两车相遇时甲车和乙车行驶的路程比是3∶2，乙车每小时行驶多少千米？A、B两地相距多少千米？
【答案】24千米；120千米
【分析】已知两车相遇时，甲车和乙车行驶的路程比是3∶2，行驶时间相同时，两车的速度比等于路程比，即甲车和乙车的速度比是3∶2，把甲车的速度看作3份，乙车的速度看作2份；已知甲车每小时行驶36千米，用甲车的速度除以3，求出一份数，再用一份数乘2，求出乙车的速度。
已知乙车每小时行驶全程的，把全程看作单位“1”，单位“1”未知，用乙车的速度除以，即可求出全程。
【详解】36÷3×2
＝12×2
＝24（千米）
24÷
＝24×5
＝120（千米）
答：乙车每小时行驶24千米，A、B两地相距120千米。
4．鱼池中原有鲤鱼苗与草鱼苗两种鱼苗共630尾，其中鲤鱼苗与草鱼苗的尾数比是1∶4，6月份又采购了一批鲤鱼苗，这时鲤鱼苗与草鱼苗的尾数比达到3∶7，你知道6月份采购了多少尾鲤鱼苗吗？（列方程解答）
【答案】90尾
【分析】前后草鱼苗的数量没变，根据鲤鱼苗与草鱼苗的尾数比是1∶4，可知6月前草鱼苗占总数量的，6月份又采购了一批鲤鱼苗，这时鲤鱼苗与草鱼苗的尾数比达到3∶7，这时草鱼苗占总数量的，分别将前后总数量看作单位“1”，设6月份采购了x尾鲤鱼苗，则6月份共有（630＋x）尾，根据6月份鲤鱼苗与草鱼苗总数×＝6月前鲤鱼苗与草鱼苗总数×，列出方程解答即可。
【详解】解：设6月份采购了x尾鲤鱼苗。
（630＋x）×＝630×
（630＋x）×＝630×
（630＋x）×＝504
（630＋x）×÷＝504÷
630＋x＝504×
630＋x－630＝720－630
x＝90
答：6月份采购了90尾鲤鱼苗。
【点睛】关键是理解比的意义，确定单位“1”，用方程解决问题的关键是找到等量关系。
5．学校合唱团里男、女生的人数比为4∶3，有3名女生因毕业离开，这时合唱团里的女生人数只有男生人数的，学校合唱团里原来有多少名学生？
【答案】35名
【分析】将比的前后项看成份数，根据男、女生的人数比为4∶3，可知原来女生人数是男生人数的，将男生人数看作单位“1”，3名女生因毕业离开，女生人数减少了男生人数的（－），离开的女生人数÷对应分率＝男生人数，男生人数÷对应份数＝一份数，一份数×原来总份数＝原来总人数，据此列式解答。
【详解】3÷（－）
＝3÷
＝3×
＝20（名）
20÷4×（4＋3）
＝5×7
＝35（名）
答：学校合唱团里原来有35名学生。
6．甲、乙两包糖的质量比是4∶1，如果从甲包中取出13千克放入乙包，这时甲、乙两包糖的质量比为7∶5，那么两包糖一共重多少千克？
【答案】60千克
【分析】已知甲、乙两包糖的质量比是4∶1，即原来甲包糖的质量占两包糖的总质量的；
如果从甲包中取出13千克放入乙包，这时甲、乙两包糖的质量比为7∶5，即这时甲包糖的质量占两包糖的总质量的；
那么从甲包中取出的13千克占两包糖的总质量的（－），把两包糖的总质量看作单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义求出两包糖的总质量。
【详解】13÷（－）
＝13÷（－）
＝13÷（－）
＝13÷
＝13×
＝60（千克）
答：两包糖一共重60千克。
7．实验二小五、六年级共有36名同学参加少先队大队委的竞选活动，其中五年级参选的同学比六年级少，五、六年级各有多少名同学参加了竞选活动？
【答案】五年级16名；六年级20名
【分析】根据题意，以六年级的人数为单位“1”，即五年级参选的同学是六年级的（1－），得出五年级参选的同学和六年级的比是4∶5，按比分配五年级占了总人数的，六年级占了总人数的，根据一个数的几分之几是多少用乘法得出五、六年级的人数。
【详解】1－＝
（名）
（名）
答：五年级16名同学参加了竞选活动，六年级20名同学参加了竞选活动。
8．六一班男生与女生的人数比是，新学期又转来5名女生后，男生人数是女生的，六一班现在有多少人？
【答案】45人
【分析】由题可知，男生人数不变，把男生人数看作单位“1”，原来男生与女生的人数比是，则女生人数是男生人数的，而现在男生人数是女生的，则现在女生人数是男生的，因此新学期又转来5名女生对应的分率是（－），根据单位“1”的量＝对应的量÷对应分率，求出男生人数，再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，求出现在的女生人数，最后用加法求出六一班现在有多少人，据此解答。
【详解】5÷（－）
＝5÷
＝5×
＝24（人）
24×＝21（人）
24＋21＝45（人）
答：六一班现在有45人。
9．在运动会的“8字跳绳”比赛中，六一班跳绳数量是六二班的，六三班与六二班的比是9∶8，六一班共跳280个，你知道六三班跳了多少个吗？
【答案】270个
【分析】将六二班的跳绳数量看作单位“1”，单位“1”未知，用六一班跳绳数量除以求出六二班的跳绳数量。根据比可知，六三班跳绳数量是六二班的，那么将六二班跳绳数量乘，即可求出六三班的跳绳数量。
【详解】280÷×
＝280××
＝240×
＝270（个）
答：六三班跳了270个。
10．小刚最近正在读一本名著《西游记》，已看的页数和总页数的比是3∶11，如果再看60页，已看的页数就占总页数的一半。这本故事书一共有多少页？
【答案】264页
【分析】将这本故事书的总页数看作单位“1”，根据已看的页数和总页数的比是3∶11，可以确定已看的页数是总页数的，如果再看60页，已看的页数就占总页数的一半，即总页数的，由此可知，60页的对应分率是（－），根据部分数量÷对应分率＝整体数量，即可列式求出总页数。
【详解】60÷（－）
＝60÷
＝60×
＝264（页）
答：这本故事书一共有264页。
11．丽丽读一本书，第一天读了这本书的，第二天读了32页，这时已读的页数与未读的页数的比是3∶4，这本书一共有多少页？
【答案】140页
【分析】根据题意，已读页数与未读的页数的比是3∶4，那么已读的页数占总页数的，用已读的页数占总页数的几分之几减去第一天读的占总页数的几分之几，就得到了第二天读的占总页数的几分之几，再根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，即用32除以第二天读的占总页数的几分之几即可求得这本书一共有多少页。据此解答即可。
【详解】32÷（－）
＝32÷（－）
＝32÷（）
＝32÷
＝32×
＝140（页）
答：这本书一共有140页。
12．一辆长途客车只有的座位坐了人，如果再增加6人，则已坐座位和空座位的比是4∶1，这辆客车一共有多少个座位？（用方程解答）
【答案】45个
【分析】把这辆客车的座位总数看作单位“1”，原来有的座位坐了人，即已坐座位占座位总数的；如果再增加6人，由“已坐座位和空座位的比是4∶1”知：已坐的座位占座位总数的。设座位总数为，根据座位总数×对应增加的分率＝增加的人数，列出方程解答即可。
【详解】解：这辆客车一共有个座位。
答：这辆客车一共有45个座位。
13．英英读一本科技书，已读了全书的还多12页，已读页数与未读页数的比是。全书有多少页？（根据题意，在线段图上补充“”与“12”这两个信息，再列式解答）
【答案】图见详解；70页
【分析】把全书的总页数看作单位“1”，把它平均分成5份，其中的2份表示全书的，应在中点的左侧，12页在的右边，4∶3中的4份的左边，已读页数与未读页数的比是4∶3，则已读的是总页数的，用已读的占总页数的分率减去对应的页数是12页，单位“1”未知，用数量除以对应的分率，据此列式解答。
【详解】如图：
12÷（－）
＝12÷（－）
＝12÷
＝12×
＝70（页）
答：全书有70页。
14．六（1）班原有48人报名参加红色精神研学活动，女生占，后来又有几名女生报名参加，这时女生人数和总人数的比是，现在一共有多少名学生参加研学活动？
【答案】54名
【分析】根据题意可知男生占总人数48人的，根据求一个数的几分之几是多少，用这个数乘这个分数，先计算出参加活动的男生有几个人。增加几名女生后，女生与总人数的比是12∶27，也就是女生占后来总人数的，则男生占后来总人数的，根据已知一个数的几分之几是多少求这个数，列除法解答，即可求出现在一共有多少名学生参加研学活动。
【详解】
（名）
答：现在一共有54名学生参加研学活动。
15．看完视频后，聪聪乘校车回家，先行驶了全程的，接着又行驶了80米，这时已行的和剩下的距离的比是，聪聪家到学校的距离是多少米？
【答案】800米
【分析】把聪聪家到学校的距离看作单位“1”，根据题意，已行的和剩下的距离比是3∶7，则已行的距离占全程的，用已行的距离占全程的分率－先行的距离占全程的，求出80米对应的分率，求单位“1”，用80米除以80米占全程的分率，即可解答。
【详解】80÷（－）
＝80÷（－）
＝80÷（－）
＝80÷
＝80×10
＝800（米）
答：聪聪家到学校的距离是800米。
16．实验小学女教师人数与男教师人数的比是5∶7，后来调进4名男教师后，女教师人数是男教师的。原来实验小学有男、女教师各多少人？
【答案】女教师：40人；男教师：56人
【分析】女教师人数一直没变，所以让女教师为单位“1”分析。
因为实验小学女教师人数与男教师人数的比是5∶7，则实验小学原来男教师人数是女教师人数的，后来女教师人数是男教师的，即男教师是女教师的。故新进的4名男教师占女教师的，女教师是单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义列式计算出女教师的人数，进而求出原来男教师人数即可。
【详解】
＝
＝
＝
＝40（人）
男教师原来有：40＝56（人）
答：原来实验小学有男教师56人，女教师40人。
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第三单元专项练习02：多策略解分数和比例问题
1．学校美术组与音乐组的人数比是5∶3。现在音乐组补充了15名学员，于是学校又购进20台口风琴，美术组与音乐组的人数比变为了4∶3，这时音乐组共有多少名学员？
【答案】75名
【分析】根据题意可知，学校原来美术组与音乐组的人数比是5∶3，可以设原来美术组有5x名学员，音乐组有3x名学员。音乐组补充了15名学员后，音乐组人数变为（3x ＋ 15）名。此时美术组与音乐组的人数比变为4∶3，即此时美术组人数是音乐组人数的；再根据比和除法的关系，可列出方程式5x÷ （3x ＋ 15） ＝。解方程得到x ＝ 20，进而得出音乐组现在的人数。
【详解】解：设原来美术组有5x名学员，音乐组有3x名学员。
5x÷ （3x ＋ 15） ＝
5x＝×（3x ＋ 15）
5x＝×3x＋ ×15
5 x＝4x＋20
5 x－4 x＝20
x ＝20
3×20＋15
＝60＋15
＝75（名）
答：这时音乐组共有75名学员。
2．荆州市骑行俱乐部2025年元旦开展骑自行车比赛的活动迎接蛇年的到来，“蛇”在中华传统文化中象征着智慧。李欣同学从荆州到荆门第一小时骑了全程的，第二小时行了30千米，这时已行的路程和剩下的比是7∶5，这次比赛的全程有多少千米？
【答案】90千米
【分析】把这次比赛的全程看作单位“1”，已知第一小时骑了全程的，第二小时行了30千米，这时已行的路程和剩下的比是7∶5，即此时已行的路程占全程的；那么第二小时行的路程占全程的（－），单位“1”未知，用第二小时行的路程除以（－），即可求出全程。
【详解】30÷（－）
＝30÷（－）
＝30÷（－）
＝30÷
＝30×3
＝90（千米）
答：这次比赛的全程有90千米。
3．甲、乙两车同时从A、B两地相向开出，甲车每小时行驶36千米，乙车每小时行驶全程的。两车相遇时甲车和乙车行驶的路程比是3∶2，乙车每小时行驶多少千米？A、B两地相距多少千米？
【答案】24千米；120千米
【分析】已知两车相遇时，甲车和乙车行驶的路程比是3∶2，行驶时间相同时，两车的速度比等于路程比，即甲车和乙车的速度比是3∶2，把甲车的速度看作3份，乙车的速度看作2份；已知甲车每小时行驶36千米，用甲车的速度除以3，求出一份数，再用一份数乘2，求出乙车的速度。
已知乙车每小时行驶全程的，把全程看作单位“1”，单位“1”未知，用乙车的速度除以，即可求出全程。
【详解】36÷3×2
＝12×2
＝24（千米）
24÷
＝24×5
＝120（千米）
答：乙车每小时行驶24千米，A、B两地相距120千米。
4．鱼池中原有鲤鱼苗与草鱼苗两种鱼苗共630尾，其中鲤鱼苗与草鱼苗的尾数比是1∶4，6月份又采购了一批鲤鱼苗，这时鲤鱼苗与草鱼苗的尾数比达到3∶7，你知道6月份采购了多少尾鲤鱼苗吗？（列方程解答）
【答案】90尾
【分析】前后草鱼苗的数量没变，根据鲤鱼苗与草鱼苗的尾数比是1∶4，可知6月前草鱼苗占总数量的，6月份又采购了一批鲤鱼苗，这时鲤鱼苗与草鱼苗的尾数比达到3∶7，这时草鱼苗占总数量的，分别将前后总数量看作单位“1”，设6月份采购了x尾鲤鱼苗，则6月份共有（630＋x）尾，根据6月份鲤鱼苗与草鱼苗总数×＝6月前鲤鱼苗与草鱼苗总数×，列出方程解答即可。
【详解】解：设6月份采购了x尾鲤鱼苗。
（630＋x）×＝630×
（630＋x）×＝630×
（630＋x）×＝504
（630＋x）×÷＝504÷
630＋x＝504×
630＋x－630＝720－630
x＝90
答：6月份采购了90尾鲤鱼苗。
【点睛】关键是理解比的意义，确定单位“1”，用方程解决问题的关键是找到等量关系。
5．学校合唱团里男、女生的人数比为4∶3，有3名女生因毕业离开，这时合唱团里的女生人数只有男生人数的，学校合唱团里原来有多少名学生？
【答案】35名
【分析】将比的前后项看成份数，根据男、女生的人数比为4∶3，可知原来女生人数是男生人数的，将男生人数看作单位“1”，3名女生因毕业离开，女生人数减少了男生人数的（－），离开的女生人数÷对应分率＝男生人数，男生人数÷对应份数＝一份数，一份数×原来总份数＝原来总人数，据此列式解答。
【详解】3÷（－）
＝3÷
＝3×
＝20（名）
20÷4×（4＋3）
＝5×7
＝35（名）
答：学校合唱团里原来有35名学生。
6．甲、乙两包糖的质量比是4∶1，如果从甲包中取出13千克放入乙包，这时甲、乙两包糖的质量比为7∶5，那么两包糖一共重多少千克？
【答案】60千克
【分析】已知甲、乙两包糖的质量比是4∶1，即原来甲包糖的质量占两包糖的总质量的；
如果从甲包中取出13千克放入乙包，这时甲、乙两包糖的质量比为7∶5，即这时甲包糖的质量占两包糖的总质量的；
那么从甲包中取出的13千克占两包糖的总质量的（－），把两包糖的总质量看作单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义求出两包糖的总质量。
【详解】13÷（－）
＝13÷（－）
＝13÷（－）
＝13÷
＝13×
＝60（千克）
答：两包糖一共重60千克。
7．实验二小五、六年级共有36名同学参加少先队大队委的竞选活动，其中五年级参选的同学比六年级少，五、六年级各有多少名同学参加了竞选活动？
【答案】五年级16名；六年级20名
【分析】根据题意，以六年级的人数为单位“1”，即五年级参选的同学是六年级的（1－），得出五年级参选的同学和六年级的比是4∶5，按比分配五年级占了总人数的，六年级占了总人数的，根据一个数的几分之几是多少用乘法得出五、六年级的人数。
【详解】1－＝
（名）
（名）
答：五年级16名同学参加了竞选活动，六年级20名同学参加了竞选活动。
8．六一班男生与女生的人数比是，新学期又转来5名女生后，男生人数是女生的，六一班现在有多少人？
【答案】45人
【分析】由题可知，男生人数不变，把男生人数看作单位“1”，原来男生与女生的人数比是，则女生人数是男生人数的，而现在男生人数是女生的，则现在女生人数是男生的，因此新学期又转来5名女生对应的分率是（－），根据单位“1”的量＝对应的量÷对应分率，求出男生人数，再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，求出现在的女生人数，最后用加法求出六一班现在有多少人，据此解答。
【详解】5÷（－）
＝5÷
＝5×
＝24（人）
24×＝21（人）
24＋21＝45（人）
答：六一班现在有45人。
9．在运动会的“8字跳绳”比赛中，六一班跳绳数量是六二班的，六三班与六二班的比是9∶8，六一班共跳280个，你知道六三班跳了多少个吗？
【答案】270个
【分析】将六二班的跳绳数量看作单位“1”，单位“1”未知，用六一班跳绳数量除以求出六二班的跳绳数量。根据比可知，六三班跳绳数量是六二班的，那么将六二班跳绳数量乘，即可求出六三班的跳绳数量。
【详解】280÷×
＝280××
＝240×
＝270（个）
答：六三班跳了270个。
10．小刚最近正在读一本名著《西游记》，已看的页数和总页数的比是3∶11，如果再看60页，已看的页数就占总页数的一半。这本故事书一共有多少页？
【答案】264页
【分析】将这本故事书的总页数看作单位“1”，根据已看的页数和总页数的比是3∶11，可以确定已看的页数是总页数的，如果再看60页，已看的页数就占总页数的一半，即总页数的，由此可知，60页的对应分率是（－），根据部分数量÷对应分率＝整体数量，即可列式求出总页数。
【详解】60÷（－）
＝60÷
＝60×
＝264（页）
答：这本故事书一共有264页。
11．丽丽读一本书，第一天读了这本书的，第二天读了32页，这时已读的页数与未读的页数的比是3∶4，这本书一共有多少页？
【答案】140页
【分析】根据题意，已读页数与未读的页数的比是3∶4，那么已读的页数占总页数的，用已读的页数占总页数的几分之几减去第一天读的占总页数的几分之几，就得到了第二天读的占总页数的几分之几，再根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，即用32除以第二天读的占总页数的几分之几即可求得这本书一共有多少页。据此解答即可。
【详解】32÷（－）
＝32÷（－）
＝32÷（）
＝32÷
＝32×
＝140（页）
答：这本书一共有140页。
12．一辆长途客车只有的座位坐了人，如果再增加6人，则已坐座位和空座位的比是4∶1，这辆客车一共有多少个座位？（用方程解答）
【答案】45个
【分析】把这辆客车的座位总数看作单位“1”，原来有的座位坐了人，即已坐座位占座位总数的；如果再增加6人，由“已坐座位和空座位的比是4∶1”知：已坐的座位占座位总数的。设座位总数为，根据座位总数×对应增加的分率＝增加的人数，列出方程解答即可。
【详解】解：这辆客车一共有个座位。
答：这辆客车一共有45个座位。
13．英英读一本科技书，已读了全书的还多12页，已读页数与未读页数的比是。全书有多少页？（根据题意，在线段图上补充“”与“12”这两个信息，再列式解答）
【答案】图见详解；70页
【分析】把全书的总页数看作单位“1”，把它平均分成5份，其中的2份表示全书的，应在中点的左侧，12页在的右边，4∶3中的4份的左边，已读页数与未读页数的比是4∶3，则已读的是总页数的，用已读的占总页数的分率减去对应的页数是12页，单位“1”未知，用数量除以对应的分率，据此列式解答。
【详解】如图：
12÷（－）
＝12÷（－）
＝12÷
＝12×
＝70（页）
答：全书有70页。
14．六（1）班原有48人报名参加红色精神研学活动，女生占，后来又有几名女生报名参加，这时女生人数和总人数的比是，现在一共有多少名学生参加研学活动？
【答案】54名
【分析】根据题意可知男生占总人数48人的，根据求一个数的几分之几是多少，用这个数乘这个分数，先计算出参加活动的男生有几个人。增加几名女生后，女生与总人数的比是12∶27，也就是女生占后来总人数的，则男生占后来总人数的，根据已知一个数的几分之几是多少求这个数，列除法解答，即可求出现在一共有多少名学生参加研学活动。
【详解】
（名）
答：现在一共有54名学生参加研学活动。
15．看完视频后，聪聪乘校车回家，先行驶了全程的，接着又行驶了80米，这时已行的和剩下的距离的比是，聪聪家到学校的距离是多少米？
【答案】800米
【分析】把聪聪家到学校的距离看作单位“1”，根据题意，已行的和剩下的距离比是3∶7，则已行的距离占全程的，用已行的距离占全程的分率－先行的距离占全程的，求出80米对应的分率，求单位“1”，用80米除以80米占全程的分率，即可解答。
【详解】80÷（－）
＝80÷（－）
＝80÷（－）
＝80÷
＝80×10
＝800（米）
答：聪聪家到学校的距离是800米。
16．实验小学女教师人数与男教师人数的比是5∶7，后来调进4名男教师后，女教师人数是男教师的。原来实验小学有男、女教师各多少人？
【答案】女教师：40人；男教师：56人
【分析】女教师人数一直没变，所以让女教师为单位“1”分析。
因为实验小学女教师人数与男教师人数的比是5∶7，则实验小学原来男教师人数是女教师人数的，后来女教师人数是男教师的，即男教师是女教师的。故新进的4名男教师占女教师的，女教师是单位“1”，单位“1”未知，根据分数除法的意义列式计算出女教师的人数，进而求出原来男教师人数即可。
【详解】
＝
＝
＝
＝40（人）
男教师原来有：40＝56（人）
答：原来实验小学有男教师56人，女教师40人。
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