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第三单元解决问题的策略·五种策略方法【五大考点】
【第一篇】专题解读篇
专题名称 第三单元解决问题·五种策略方法
专题内容 本专题以五种解决问题的策略为主，包括线段图法、列表法、转化法、假设法、方程法等方法。
总体评价
讲解建议 本专题考察综合性较强，建议作为本章核心内容进行讲解。
考点数量 五个考点。
【第二篇】目录导航篇
【考点一】解决问题的策略其一：线段图法 3
【考点二】解决问题的策略其二：列表法 6
【考点三】解决问题的策略其三：假设法 11
【考点四】解决问题的策略其四：方程法 14
【考点五】解决问题的策略其五：转化法 17
【第三篇】典型例题篇
【考点一】解决问题的策略其一：线段图法。
【方法点拨】
线段图法是小学数学中解决应用题的有效方法，在解决分数应用题方面，具有化抽象为具体、化难为易、化繁为简的作用，借助线段图我们可以准确找出数量间的对应关系，快速帮助我们理解题意，有时候我们还可以反向利用线段图编写应用题，通过看图说话，培养数学综合能力。
【典型例题】
一款套装的价格在830~850元，其中裤子的价格是上衣的，裤子的价格是总价的几分之几？裤子多少元？（上衣和裤子的价格均为整数，先根据题意把线段图补充完整，再解答）
上衣：
裤子：
【答案】；350元；图见详解
【分析】（1）根据“裤子的价格是上衣的”可知，如果把上衣的价格看作7份，则裤子就是5份，据此补全线段图；
（2）把上衣的价格看作7份，则裤子的价格是5份，总价就是7＋5＝12份，据此用裤子的份数除以总价的份数即可得到裤子的价格是总价的几分之几；
（3）根据套装的价格是在830~850之间的整数，且总价是12的倍数，找出830~850之间是12的倍数的整数就是套装的价格，再用套装的价格乘裤子的价格占总价的分率即可得到裤子的价格。
【详解】补全线段图如下：
5÷（5＋7）
＝5÷12
＝
830~850之间，只有整数840是12的倍数，所以这款套装的价格是840元；
840×＝350（元）
答：裤子的价格是总价的，裤子是350元。
【对应练习1】
松树棵数是柏树棵数的，松树比柏树少48棵。松树和柏树各有多少棵？（先完成下面的线段图，再解答）
【答案】松树72棵，柏树120棵
【分析】把柏树的棵数看作单位“1”，松树是柏树的，松树比柏树少了（1－），对应的数量是48棵，根据分数除法的意义，用48除以（1－），即可求出柏树的棵数，进而求出松树的棵数。
【详解】如图：
柏树：
48÷（1－）
＝48÷
＝48×
＝120（棵）
松树：120－48＝72（棵）
答：松树有72棵，柏树有120棵。
【点睛】找准单位“1”，单位“1”未知，用具体的数量除以它对应的分率，求出单位“1”的量。
【对应练习2】
两个仓库共有货物840吨。从甲仓库取出的货物放入乙仓库，两个仓库的货物就一样多，原来两个仓库各有货物多少吨？（先把线段图补充完整，再解答）
【答案】540吨；300吨；作图见详解
【分析】将甲仓库货物吨数看作单位“1”，从甲仓库取出的货物放入乙仓库，两个仓库的货物就一样多，说明甲仓库比乙仓库多了2个甲仓库的，据此作图；两个仓库货物总吨数占甲仓库的（1－×2＋1），货物总吨数÷对应分率＝甲仓库货物吨数，总吨数－甲仓库货物吨数＝乙仓库货物吨数，据此列式解答。
【详解】
840÷（1－×2＋1）
＝840÷（1－＋1）
＝840÷
＝540（吨）
840－540＝300（吨）
答：甲仓库原来有540吨，乙仓库原来有300吨。
【点睛】关键是确定单位“1”，部分数量÷对应分率＝整体数量。
【对应练习3】
修路队修条公路，已修的比没修的多2500m，已修的和没修的长度比是8∶3，这条公路全长多少米？（先画线段图，再解答）
【答案】线段图如下：
；
5500米
【分析】已修部分与未修部分的比是8∶3，可知：已修部分占8份，未修部分占3份，全长就占11份，先求出一份是多少米，再求出全长即可。
【详解】线段图如下：
2500÷（8－3）×（8＋3）＝5500（米）
答：这条公路全长5500米
【点睛】此题解答关键是：用已知数量除以它的对应份数求出一份的长度，再求全长。
【考点二】解决问题的策略其二：列表法。
【方法点拨】
列表法解鸡兔同笼问题是一种通过列出鸡和兔不同数量组合，并计算对应腿的总数，从而找到符合题目条件的鸡兔数量的解题方法。。
【典型例题】
鸡兔同笼，有15个头，36条腿，鸡、兔各有几只？根据下列条件，填写下表。
头/个 鸡/只 兔/只 腿/条
15 8 7
15 5
15 4
15 3
（1）假设鸡有8只，兔有7只，腿有（ ）条。腿（ ）了，说明兔子（ ）了，应减少（ ）的只数。
（2）兔子数减少2只，鸡的数是（ ）只，这时共有（ ）条腿。
（3）腿（ ）了，再把（ ）减少1只，这时共有（ ）条腿。
（4）腿还多（ ）条，再把兔子数减少1只，得到鸡（ ）只，兔（ ）只，共有36条腿。
【答案】填表见详解
（1）44；多；多；兔子；（2）10；40；（3）多；兔子；38；（4）2；12；3
【分析】先假设鸡和兔的数量，然后根据鸡有2条腿，兔有4条腿来计算总腿数，再与题目给出的腿数比较，逐步调整鸡和兔的数量，直到总腿数符合题目要求。
【详解】（1）15－8＝7（只）
8×2＋4×7
＝16＋28
＝44（条）
44＞36
答：假设鸡有8只，兔有7只，腿有44条。腿多了，说明兔子多了，应减少兔子的只数。
（2）7－2＝5（只）
15－5＝10（只）
10×2＋4×5
＝20＋20
＝40（条）
答：兔子数减少2只，鸡的数是10只，这时共有40条腿。
（3）40＞36
5－1＝4（只）
15－4＝11（只）
11×2＋4×4
＝22＋16
＝38（条）
答：腿多了，再把兔子减少1只，这时共有38条腿。
（4）38－36＝2（只）
4－1＝3（只）
15－3＝12（只）
12×2＋4×3
＝24＋12
＝36（条）
答：腿还多2条，再把兔子数减少1只，得到鸡12只，兔3只，共有36条腿。
表格填写如下：
头/个 鸡/只 兔/只 腿/条
15 8 7 44
15 10 5 40
15 11 4 38
15 12 3 36
【对应练习1】
停车场有小轿车和两轮摩托车共25辆，共有轮子72个，小轿车和两轮摩托车各有几辆？（可以尝试列表解答）
小轿车/辆 两轮摩托车/辆 车轮总数/个
… … …
【答案】
12 13 74
11 14 72
小轿车有11辆，两轮摩托车有14辆。
【分析】小轿车和两轮摩托车共25辆，如果小轿车有12辆，则两轮摩托车有25－12＝13（辆），车轮总数：12×4＋13×2＝74（个），74比72大，轮子多了，所以要减少小轿车的辆数，当小轿车有11辆，则两轮摩托车有：25－11＝14（辆），车轮总数为：11×4＋14×2＝72（辆），据此解答。
【详解】由分析可知：
12 13 74
11 14 72
所以小轿车有11辆，两轮摩托车有14辆。
【对应练习2】
要把89个乒乓球放入大、小两种盒子里，每个大盒装11个，每个小盒装8个。要使每个盒子都恰好装满，需要大、小盒子各多少个？（先假设，在下表中填一填，再找出答案）
大盒子个数 小盒子个数 装入乒乓球个数 与89个比较
【答案】表格见详解
大盒子3个，小盒子7个
【分析】先假设装了5个大盒、5个小盒，算出共装乒乓球的个数，再与89个比较，进而调整大小盒的个数，直到找出正确答案，据此解答。
【详解】大盒子5个，小盒子5个：（个）
大盒子4个，小盒子6个：（个）
大盒子3个，小盒子7个：（个）
大盒子个数 小盒子个数 装入乒乓球个数 与89个比较
5 5 95 多
4 6 92 多
3 7 89 一样多
故使每个盒子都恰好装满，需要大盒子3个，小盒子7个。
【对应练习3】
光明小学举办数学知识竞赛，一共20题。答对一题得5分，答错一题扣3分，不答得0分。小丽得了79分。她答对几题？答错几题？有几题没答？请你借助表格尝试解决。
答对 答错 不答 得分
【答案】答对17题，答错2题，没答1题；填表见详解
【分析】由题意可知，小丽得了79分，这样她最少答对了16题。答对题数假设为16，17，18，19，20题，然后逐个分析。
假设答对16题，则得分是16×5＝80（分），比实际得分多；假设答对16题，答错1题，不答为20－16－1＝3（题），则得分是16×5－3＝77（分），比实际得分少。
假设答对17题，则得分是17×5＝85（分），比实际得分多；假设答对17题，答错1题，不答为20－17－1＝2（题），则得分是17×5－3＝82（分），比实际得分多；假设答对17题，答错2题，不答为20－17－2＝1（题），则得分是17×5－3×2＝79（分），与实际得分相同。
假设答对18题，答错0题，不答为20－18＝2（题），则得分是18×5＝90（分），比实际得分多；假设答对18题，答错1题，不答为20－18－1＝1（题），则得分是18×5－3＝87（分），比实际得分多；假设答对18题，答错2题，不答为20－18－2＝0（题），则得分是18×5－3×2＝84（分），比实际得分多。
假设答对19题，答错0题，不答为20－19＝1（题），则得分是19×5＝95（分），比实际得分多；假设答对19题，答错1题，不答为20－19－1＝0（题），则得分是19×5－3＝92（分），比实际得分多。
如果是答对20题，就会是100分，与实际得分不符。据此填表。
【详解】16×5－3
＝80－3
＝77（分）
17×5－3
＝85－3
＝82（分）
17×5－3×2
＝85－6
＝79（分）
填表如下：
答对 答错 不答 得分
16题 1题 3题 16×5－3＝77（分）
17题 1题 2题 17×5－3＝82（分）
17题 2题 1题 17×5－3×2＝79（分）
答：她答对17题，答错2题，有1题没答。
【考点三】解决问题的策略其三：假设法。
【方法点拨】
1. 假设法。
假设法是先将鸡兔同笼问题中的两个事物（鸡和兔）全部假设为同一事物，然后根据已知条件进行推理，通过比较假设情况与实际情况的差异来求解鸡和兔各自数量的方法。
2. 解题步骤。
（1）进行假设。
将鸡和兔这两个事物假设为其中一个，例如可以假设笼中全是鸡或者全是兔。
（2）计算假设总和。
根据假设的情况和已知的头的总数，求出另一个属性（脚的数量）的假设总和。例如：已知笼子里鸡和兔共有8个头，若假设全是鸡，因为每只鸡有2只脚，所以全是鸡时脚的个数为2×8=162×8=16只；若假设全是兔，每只兔有4只脚，那么全是兔时脚的个数为4×8=324×8=32只。
（3）比较并计算差值。
拿算出的假设脚的数量与实际脚的数量进行比较，计算出两者的差值，例如实际有26只脚，假设全是鸡时算出16只脚，相差26 16=1026 16=10只脚。
（4）分析原因并求解。
分析产生差值的原因，一只兔子看成一只鸡，会少4 2=24 2=2只脚，根据这个差值和每只鸡兔脚数的差异，就可以求出兔或鸡的数量，例如前面假设全是鸡时脚少了10只，一只兔子看成鸡少2只脚，所以兔的数量为10÷2=510÷2=5只，进而鸡的数量为8 5=38 5=3只。
3. 注意事项。
假设法需要已知两个事物（如鸡和兔）的两种属性（如头的数量和脚的数量）各自的总和，满足这样特征的问题才可以考虑用假设法求解。
【典型例题】
笼子里有若干只鸡和兔，从上面数有10个头，从下面数有26只脚，鸡有几只？
【答案】7只
【分析】首先假设10只都是兔子，总脚数是40只，总脚数比实际的多了14只；一只兔子比一只鸡多2只脚，也就是每多2只脚就对应一只鸡，所以多的14支脚是因为有7只鸡被当成了兔子，据此解答。
【详解】第一步：假设10只都是兔子，计算出总脚数；
（只）
第二步：计算出总脚数比实际的多了多少；
（只）
第三步：计算出鸡的只数；
（只）
答：鸡有7只。
【对应练习1】
小明的储蓄罐里有1角和5角的硬币共27枚，价值7.5元。1角的硬币有几枚，5角的硬币有几枚？
【答案】1角的硬币有15枚，5角的硬币有12枚
【分析】1元＝10角，那么1角是0.1元，5角是0.5元。假设全部是5角的硬币，那么总价值应是（27×0.5）元，而实际是7.5元，用假设的总价值减去实际的，求出差。这个差是因为实际上，有一些硬币是1角的。每枚5角的硬币比1角的多4角，那么将总价值差除以0.4，即可求出1角的硬币有多少枚。将硬币总数减去1角硬币的数量，得出5角硬币的数量。
【详解】1角的硬币数量：
（27×0.5－7.5）÷（0.5－0.1）
＝（13.5－7.5）÷0.4
＝6÷0.4
＝15（枚）
5角的硬币数量：27－15＝12（枚）
答：1角的硬币有15枚，5角的硬币有12枚。
【对应练习2】
小军网购了一些组装配件，想要组装一些四轮车和三轮车。现在有8个车身，29个车轮，可以组装四轮车和三轮车各几辆？
【答案】5辆四轮车；3辆三轮车
【分析】假设都是三轮车，需要8×3＝24个车轮，比实际少了29－24＝5个轮子，一辆四轮车看作三轮车少4－3＝1个轮子，用5除以1即等于四轮车的辆数，车身数减四轮车的辆数等于三轮车的辆数，据此即可解答。
【详解】（29－8×3）÷（4－3）
＝（29－24）÷1
＝5÷1
＝5（辆）
8－5＝3（辆）
答：可以组装出5辆四轮车，3辆三轮车。
【对应练习3】
李明参加知识竞赛，一共有30道题，共得了78分。已知答对一道题得5分，答错一道题扣1分。李明所有的题都答了，那么答错了几道题？
【答案】12道
【分析】假设30道题全答对，则应得分30×5分，比实际多30×5－78分；答错一题比答对一题少得5＋1分，所以用实际多得的分数除以答错一题比答对一题少得的分数，就是答错的题数，据此解答即可。
【详解】30×5－78
＝150－78
＝72（分）
72÷（5＋1）
＝72÷6
＝12（道）
答：答错了12道题。
【考点四】解决问题的策略其四：方程法。
【方法点拨】
1. 方程法。
方程法解鸡兔同笼问题是指通过设未知数，依据鸡兔的头和脚的数量关系建立方程，再求解方程得出鸡和兔各自数量的解题方法。
2. 解题步骤。
（1）设未知数。
有两种常见的设未知数方式，通常建议设脚数多的兔为未知数，这样在解方程过程中会更简便。
（2）找等量关系。
根据鸡兔同笼问题的实际情况，等量关系为“鸡脚总数 + 兔脚总数 = 脚的总只数”。
（3）列方程。
根据等量关系列出方程。
（4）解方程。
运用等式的基本性质对方程进行求解。
（5）求出另一个未知数。
将求出的x的值代入式子，从而得到鸡或兔的另一个数量。
3. 注意事项。
方程法适用于所有鸡兔同笼问题及其变形问题，但要注意设脚数更多的动物为未知数。
【典型例题】
小红买6角和8角的邮票一共13张，用去8元4角钱。这两种邮票各买了多少张？
【答案】6角的10张；8角的3张
【分析】根据1元＝10角，统一单位，设6角的邮票有x张，则8角的邮票有（13－x）张，根据6角的邮票钱数×张数＋8角的邮票钱数×张数＝总钱数，列出方程求出x的值是6角的邮票张数，总张数－6角的邮票张数＝8角的邮票张数。
【详解】8元4角＝84角
解：设6角的邮票有x张。
6x＋8×（13－x）＝84
6x＋104－8x＝84
104－2x＝84
104－2x＋2x ＝84＋2x
84＋2x－84＝104－84
2x＝20
2x÷2＝20÷2
x＝10
13－10＝3（张）
答：6角的邮票买了10张，8角的邮票买了3张。
【对应练习1】
张老师带着45名学生去划船，一共乘坐8条船，全部坐满。每条大船坐6人，每条小船坐5人。大船、小船各几条？
【答案】6条；2条
【分析】根据题意，可知一共有46人，可以先假设他们乘坐大船x条，则乘坐小船（8－x）条，列出方程式为：6x＋5×（8－x）＝46，即可计算。
【详解】总人数：1＋45＝46（人）
解：设乘坐大船x条，则乘坐小船（8－x）条。
6x＋5×（8－x）＝46
6x＋40－5x＝46
x＋40＝46
x＋40－40＝46－40
x＝6
小船：8－6＝2（条）
答：大船6条，小船2条。
【点睛】此题考查了学生对解决鸡兔同笼问题以及列方程的熟练掌握程度。
【对应练习2】
“六一”期间，某校六（1）班3位老师、9名家长志愿者带着42名同学到琅琊山开展活动。应同学们要求，所有人一起乘坐深秀湖的船游玩。后经协商，一共租赁了5只大船和6只小船，正好坐满。已知1只大船比1只小船多坐2人，1只大船坐了多少人？
【答案】6人
【分析】根据题意可知，5只大船坐的人数＋6只小船坐的人数＝（3＋9＋42）人，设一只小船坐x人，则一只大船坐（x＋2）人，据此列方程解答。
【详解】解：设一只小船坐x人，则一只大船坐（x＋2）人。
5（x＋2）＋6x＝3＋9＋42
5x＋10＋6x＝54
11x＋10－10＝54－10
11x＝44
x＝4
4＋2＝6（人）
答：1只大船坐了6人。
【点睛】此题属于含有两个未知数的应用题，这类题用方程解答比较容易，关键是找准数量间的相等关系，设一个未知数为x，另一个未知数用含x的式子来表示，进而列并解方程即可。
【对应练习3】
明明的存钱罐里有1角和5角的硬币共19枚，一共是55角。1角和5角的硬币各有多少枚？
【答案】10枚；9枚
【分析】设5角的硬币有x枚，1角的硬币有（19－x）枚，然后分别表示出1角和5角的各有多少钱加在一起就是55角，求出5角的数量，进一步求出1角钱的数量。
【详解】解：设5角的硬币有x枚，1角的硬币有（19－x）枚。
5x＋1×（19－x）＝55
5x＋19－x＝55
4x＝36
x＝9
19－9＝10（枚）
答：1角的硬币有10枚，5角的硬币有9枚。
【点睛】此题属于鸡兔同笼问题，解这类题可以用假设法进行分析，进而得出结论；也可以用方程进行解答。
【考点五】解决问题的策略其五：转化法。
【方法点拨】
题目中涉及到分数或比的混合应用题，我们可以采用转化的策略，通过统一单位“1”或者统一形式，将分数或比应用互相转化，以更好理解和解决问题。
【典型例题1】比转化为分数除法应用。
（1）某工厂男、女工人数的比是，现在共有工人320人，这个工厂有男、女工人各多少人？
解析：
总份数：。
男工人数：（人）
女工人数：（人）
答：男工人有120人，女工有200人。
（2）甲、乙两车同时从两地相对开出，相遇时甲车比乙车多行。如果甲、乙两车的速度比是，速度之和是120千米时，则两车从出发到相遇共经过多长时间？
解析：
（千米）
（小时）
答：两车从出发到相遇共经过8小时。
【对应练习1】
有一块菜地，长30米，宽10米，其中的地种西红柿，剩下的地按照2∶1的比种黄瓜和茄子。黄瓜和茄子分别要种多大的面积？
解析：
30×10＝300（平方米）
300×（1－）
＝300×
＝180（平方米）
黄瓜：180×
＝180×
＝120（平方米）
茄子：180×
＝180×
＝60（平方米）
答：黄瓜要种120平方米，茄子要种60平方米。
【对应练习2】
甲乙两地之间铁路长300千米。一列客车和一列货车分别从甲乙两地出发。相向而行，货车的速度与客车的速度比是。相遇时客车和货车各行驶了多少千米？
解析：
（千米）
（千米）
答：相遇时客车行驶了180千米，货车行驶了120千米。
【对应练习3】
火药、造纸术、印刷术和指南针是我国古代四大发明。最早应用的火药是我国发明的黑色火药，是由木炭、硝石、硫磺按3∶15∶2的比配置成的。如果配置100千克火药，需要硫磺多少千克？
解析：
100×
＝100×
＝10（千克）
答：如果配置100千克火药，需要硫磺10千克。
【典型例题2】分数转化为比的应用。
修一条长30千米的路，已经修的是剩下的，已经修的比剩下的少多少千米？
解析：
2＋3＝5
已修的：30×＝12（千米）
剩下的：30×＝18（千米）
18－12＝6（千米）
答：已经修的比剩下的少6千米。
【对应练习1】
果园里有梨树和苹果树共210棵，其中梨树的棵数是苹果树的，梨树和苹果树各有多少棵？
解析：
210÷（1＋）
＝210×
＝120（棵）
210－120＝90（棵）
答：苹果树有120棵，梨树有90棵。
【对应练习2】
体育老师买了1个篮球和4个排球，正好用去245元。已知排球的单价是篮球的，篮球和排球的单价各是多少元？
解析：
1个篮球的单价＝3个排球的单价
排球：245÷（3＋4）＝35（元）
篮球：35×3＝105（元）
答：篮球的单价是105元，排球的单价是35元。
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