[ID:3-5412640] 2019年高考理科数学考前分章节复习资料,往届高考题专题分析
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[ID:3-5412640] 2019年高考理科数学考前分章节复习资料,往届高考题专题分析

5个学币 (或普通点1个) 2019-01-27 08:48 下载4次 意见反馈 有奖上传 分享 收藏
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第十四章 推理与证明 合情推理与演绎推理 1.(2017全国2卷理科7)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( ). A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 1.解析 四人所知只有自己看到,老师所说及最后甲说的话.甲不知道自己成绩→乙、丙中必有一优一良(若为两优,甲会知道自己成绩;两良亦然).乙看了丙成绩,知道自己的成绩→丁看甲,甲、丁中也为一优一良,丁知道自己的成绩.故选D. 2.(2017 全国1卷理科12)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16 ,…,其中第一项是,接下来的两项是,,再接下来的三项是,,,依此类推.求满足如下条件的最小整数且该数列的前项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( ). A. B. C. D. 2. 解析 设首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第3组,以此类推. 设第组的项数为,则组的项数和为,由题意得,,令, 得且,即出现在第13组之后,第组的和为,组总共的和为 ,若要使前项和为2的整数幂,则项的和应与互 为相反数,即,,得的最小值为, 则.故选A. 题型149 归纳推理 题型150 类比推理 题型151 演绎推理 第十五章 数系的扩充与复数的引入 题型155 复数的概念及分类 1.(天津理9)已知,为虚数单位,若为实数,则的值为 . 1.解析 为实数,则,解得. 2.(全国1卷理科3)设有下面四个命题: 若复数满足,则;若复数满足,则; 若复数满足,则;若复数,则. 其中的真命题为( ). A. B. C. D. 2. 解析 设,则,得到,所以.故正确; 若,满足,而,不满足,故不正确; 若,,则,满足,而它们实部不相等,不是共轭复数,故不正确; 实数没有虚部,所以它的共轭复数是它本身,也属于实数,故正确.故选B. 题型156 与共轭复数、复数相等有关的问题 3.(2107山东理2)已知,是虚数单位,若,,则( ). A.1或 B.或 C. D. 3. 解析 由,,得,所以.故选A. 4.(浙江11)已知,,(是虚数单位),则 , . 4.解析 由,,所以, 解得,所以,. 题型157 复数的模 5.(江苏02)已知复数,其中是虚数单位,则的模是 . 5.解析 解法一:,所以.故填. 解法二:.故填. 6.(2107全国3卷理科2)设复数满足,则( ). A. B. C. D.2 6.解析 由题意得,则.故选C. 题型158 复数的四则运算 7.(2107全国2卷理科1)( ). A. B. C. D. 7.解析 .故选D. 题型159 复数的几何意义 8.(北京理2)若复数在复平面内对应的点在第二象限,则实数的取值范围是( ). A. B. C. D. 8. 解析 由,则,即.故选B. 第十一章 算法初步 题型131 条件分支结构型算法问题 1.(江苏04)如图所示是一个算法流程图,若输入的值为,则输出的值是 . 1.解析 由,得.故填. 2.(全国1卷理科8)如图所示的程序框图是为了求出满足的最小偶数,那么在 和 两个空白框中,可以分别填入( ). A.和 B.和 C.和 D.和 2. 解析 因为要求大于1000时输出,且框图中在“否”时输出,所以“”中不能输入 ,排除A,B.又要求为偶数,且的初始值为0,所以“”中依次加2可保证其为 偶.故选D. 3.执行如图所示的程序框图,如果输入的,则输出的( ). A.2 B.3 C.4 D.5 3.解析 ,,代入循环得,时停止循环,.故选B. 题型132 循环结构型算法问题 4.执行如图所示的程序框图,为使输出的值小于,则输入的正整数的最小值为( ). A.5 B.4 C.3 D.2 4.解析 程序运行过程如下表所示. 初始状态 0 100 1 第1次循环结束 100 2 第2次循环结束 90 1 3 此时,首次满足条件,程序需在时跳出循环,即为满足条件的最小值.故选D. 5.(北京理3)执行如图所示的程序框图,输出的值为( ). A.2 B. C. D. 5. 解析 当时,,执行程序,,成立;执行程序,,,执行程序,,?否,输出.故选C. 题型133 含有多种结构的算法问题 6.(天津理3)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入的值为,则输出的值为( ). A.0 B.1 C.2 D.3 6.解析 第一次:,24能被3整除,执行不成立; 第二次:,8不能被3整除,执行不成立; 第三次:,7不能被3整除,执行,不成立,成立,输出,故选C. 7.(山东理6)执行两次右图所示的程序框图,若第一次输入的的值为,第二次输入的的值为,则第一次、第二次输出的的值分别为( ). A. B. C. D. 7. 解析 第一次:输入,,,,; 第二次:输入,,,,能被整除,,故选D. 题型134 算法案例 第十章 圆锥曲线 第一节 椭圆及其性质 题型113 椭圆的定义与标准方程 4.椭圆的离心率是( ). A. B. C. D. 4.解析 由椭圆方程可得,,所以,所以,,.故选B. 5.(江苏17(1))如图所示,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,离心率为,两准线之间的距离为.点在椭圆上,且位于第一象限,过点作直线的垂线,过点作直线的垂线. (1)求椭圆的标准方程; 5.解析 (1)设椭圆的半焦距为,由题意,解得,因此 ,所以椭圆的标准方程为. 6.(山东理21(1))在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,焦距为. (1)求椭圆的方程; 6.解析 (1)由题意知 ,,所以 ,,因此椭圆的方程为. 7.(2107全国1卷理科20(1))已知椭圆,四点,,,中恰有三点在椭圆上. (1)求的方程; 7. 解析 (1)根据椭圆对称性,必过,,又横坐标为1,椭圆必不过,所以过 三点.将代入椭圆方程得,解得, ,所以椭圆的方程为. 题型114 椭圆离心率的值及取值范围 8.(2107全国3卷理科10)已知椭圆的左、右顶点分别为,,且以线段为直径的圆与直线相切,则的离心率为( ). A. B. C. D. 8.解析 因为以为直径的圆与直线相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即,又因为,则上式可化简为.因为,可得,即,所以.故选A. 题型115 椭圆焦点三角形 第二节 双曲线及其性质 题型116 双曲线的定义与标准方程 9.(北京理9)若双曲线的离心率为,则实数_________. 9. 解析 由题知,则. 10.(天津理5)已知双曲线的左焦点为,离心率为.若经过点和点两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( ). A. B. C. D. 10.解析 由题意得,,所以.又因为,所以,,则双曲线方程为.故选B. 11.(全国3卷理科5)已知双曲线的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点,则的方程为( ). A. B. C. D. 11.解析 因为双曲线的一条渐近线方程为,则 ① 又因为椭圆与双曲线有公共焦点,易知,则 ② 由①,②,解得,则双曲线的方程为.故选B. 题型117 双曲线的渐近线 12.(江苏08)在平面直角坐标系中,双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点,其焦点是,则四边形的面积是 . 12.解析 双曲线的渐近线方程为,而右准线为,所以,,从而.故填. 13(山东理14).在平面直角坐标系中,双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点,若,则该双曲线的渐近线方程为 . 13. 解析 设,由题意得. 又,所以, 从而双曲线的渐近线方程为. 题型118 双曲线离心率的值及取值范围 14.(2107全国2卷理科9)若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2,则的离心率为( ). A.2 B. C. D. 14.解析 取渐近线,化成一般式,圆心到直线的距离为,得,,.故选A. 15.(全国1卷理科15)已知双曲线的右顶点为,以为圆心,为半径作圆,圆与双曲线的一条渐近线交于,两点.若,则的离心率为________. 15. 解析 如图所示,,.因为,所以, ,从而.又因为,所以 ,解得,则. 题型119 双曲线的焦点三角形 第三节 抛物线及其性质 题型120 抛物线的定义与标准方程 16.(北京理18(1))已知抛物线过点.过点作直线与抛物线交于不同的两点,,过点作轴的垂线分别与直线,交于点,,其中为原点. (1)求抛物线的方程,并求其焦点坐标和准线方程; 16.解析 (1)由抛物线过点,得.所以抛物线的方程为,抛物线的焦点坐标为,准线方程为. 17.(2107全国2卷理科16)已知是抛物线的焦点,是上一点,的延长线交轴于点. 若为的中点,则 . 17.解析 由,得,焦点为,准线.如图所示,由为的中点,故易知线段为梯形的中位线.因为,,所以.又由抛物线的定义知,且,所以. 题型121 与抛物线有关的距离和最值问题 18.(全国1卷理科10)已知为抛物线的焦点,过点作两条互相垂直的直线,,直线与交于,两点,直线与交于,两点,则的最小值为( ). A. B. C. D. 18. 解析 解法一:设直线的斜率为,则直线的斜率为,设, ,,,直线,直线.联立 ,消去整理得, 所以,同理 ,从而,当且仅当 时等号成立.故选A. 解法二:设的倾斜角为,抛物线的准焦距为.作垂直准线于点,垂直轴于点 ,如图所示. 易知, 所以, 即,同理,所以. 又与垂直,即的倾斜角为,. 而,即, 所以 ,当时取等号,即的最小值为.故选A. 题型122 抛物线中三角形、四边形的面积问题 第四节 曲线与方程 题型123 求动点的轨迹方程 19. (全国2卷理科20(1))设为坐标原点,动点在椭圆上,过作轴的垂线,垂足为,点满足. (1)求点的轨迹方程; 19.解析 (1)设点,易知,,又, 所以点.又在椭圆上,所以,即. 第五节 直线与圆锥曲线 题型124 直线与圆锥曲线的位置关系 20.(江苏17)如图所示,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,离心率为,两准线之间的距离为.点在椭圆上,且位于第一象限,过点作直线的垂线,过点作直线的垂线. (1)求椭圆的标准方程; (2)若直线的交点在椭圆上,求点的坐标. 20解析 (1)设椭圆的半焦距为,由题意,解得,因此 ,所以椭圆的标准方程为. (2)由(1)知,.设,因为点为第一象限的点,故. 当时,与相交于,与题设不符. 当时,直线的斜率为,直线的斜率为. 因为,,所以直线的斜率为,直线的斜率为, 从而直线的方程为 ① 直线的方程为 ② 联立①②,解得,所以. 因为点在椭圆上,由对称性得,即或. 又点在椭圆上,故. 由,解得;由,无解. 因此点的坐标为. 21.(北京理18)已知抛物线过点.过点作直线与抛物线交于不同的两点,,过点作轴的垂线分别与直线,交于点,,其中为原点. (1)求抛物线的方程,并求其焦点坐标和准线方程; (2)求证:为线段的中点. 21.解析 (1)由抛物线过点,得.所以抛物线的方程为, 抛物线的焦点坐标为,准线方程为. (2)解法一:由题意,设直线的方程为,与抛物线的交点为,.由,得.则,. 因为点的坐标为,所以直线的方程为,点的坐标为. 因为直线的方程为,所以点的坐标为. 因为 ,所以. 故为线段的中点. 解法二:要证为的中点,且相同,只需证,等式两边同时除以,则有.因为 .又,所以等式成立,即为的中点. 题型125 弦长与面积问题 22.(2107天津理19)设椭圆的左焦点为,右顶点为,离心率为.已知是抛物线的焦点,到抛物线的准线的距离为. (1)求椭圆的方程和抛物线的方程; (2)设上两点,关于轴对称,直线与椭圆相交于点(异于点),直线与轴相交于点.若的面积为,求直线的方程. 22.解析 (1)依题意设点,由题意知,且. 由对称性知抛物线的准线方程为,则,解得,,, 于是.从而椭圆的方程为,抛物线的方程为. (2)由于准线的方程为,依题意设(),则.因为, 则,得直线的方程为 ① 将①式代入中化简得.设点,由韦达定理得,则,即,则,于是得直线方程为. 令,解得,即.则, 于是,化简得,即得.代入①式化简得直线方程为,或. 23.(山东理21)在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,焦距为. (1)求椭圆的方程; (2)如图所示,动直线:交椭圆于两点,是椭圆上一点,直线的斜率为,且,是线段延长线上一点,且,的半径为,,是的两条切线,切点分别为,.求的最大值,并求取得最大值时,直线的斜率. 23.解析 (1)由题意知 ,,所以 ,,因此椭圆的方程为. (2)设点,联立方程消去整理得, 由题意知,且,, 所以, 由题意可知圆的半径. 由题设知,所以,因此直线的方程为. 联立方程,解得,因此 . 由题意可知 ,而. 令,则,因此 , 当且仅当,即时等号成立,此时,所以 , 因此,所以的最大值为. 综上所述,的最大值为,取得最大值时直线的斜率为. 题型126 中点弦问题 题型127 平面向量在解析几何中的应用 24.(2107全国3卷理科20)已知抛物线,过点的直线交与,两点,圆是以线段为直径的圆. (1)求证:坐标原点在圆上; (2)设圆过点,求直线与圆的方程. 24.解析 (1)显然当直线斜率为时,直线与抛物线交于一点,不符合题意. 设,,,联立,得, 恒大于,,. ,所以,即点在圆上. (2)若圆过点,则,即,即,即,化简得,解得或. ①当时,,设圆心为, 则,,半径, 则圆. ②当时,,设圆心为, ,,半径,则圆. 题型128 定点问题 25. (全国2卷理科20)设为坐标原点,动点在椭圆上,过作轴的垂线,垂足为,点满足. (1)求点的轨迹方程; (2)设点在直线上,且.求证:过点且垂直于的直线过的左焦点. 25.解析 (1)设点,易知,,又, 所以点.又在椭圆上,所以,即. (2)由题知,设,,则,,,,,由,得.又由(1)知,所以,从而,即.又过点存在唯一直线的垂直于,所以过点且垂直于的直线过曲线的左焦点. 26.(2107全国1卷理科20)已知椭圆,四点,,,中恰有三点在椭圆上. (1)求的方程; (2)设直线不经过点且与相交于,两点.若直线与直线的斜率的和为,求证:过定点. 26. 解析 (1)根据椭圆对称性,必过,,又横坐标为1,椭圆必不过,所以过 三点.将代入椭圆方程得,解得, ,所以椭圆的方程为. (2)当斜率不存在时,设, ,得,此时过椭圆右顶点,不存在两个交点, 故不满足. 当斜率存在时,设,,联立, 消去整理得,,, 则 ,又,此时,存在使得成立. 所以直线的方程为. 当时,,所以过定点. 题型129 定值问题 题型130 最值问题 27. (2107浙江21)如图所示,已知抛物线.点,,抛物线上的点,过点作直线的垂线,垂足为. (1)求直线斜率的取值范围; (2)求的最大值. 27.解析 (1)设直线的斜率为,已知,,则. 因为,所以,所以直线斜率的取值范围是. (2)因为直线,且,所以直线的方程为,联立直线与的方程,解得点的横坐标是. 因为,,,所以, 令, 因为,当时,,当时,,所以在上单调递增,上单调递减,因此当时,取得最大值. 第四章 三角函数 第一节 三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式 题型42 终边相同的角的集合的表示与识别 题型43 倍角、等分角的象限问题 题型44 弧长与扇形面积公式的计算 题型45 三角函数定义题 题型46 三角函数线及其应用 题型47 象限符号与坐标轴角的三角函数值 题型48 诱导求值与变形 题型49 同角求值——已知角与目标角相同 第二节 三角函数的图像与性质 题型50 已知解析式确定函数性质 1.(全国3理6)设函数,则下列结论错误的是( ). A.的一个周期为 B.的图像关于直线对称 C.的一个零点为 D.在上单调递减 解析 函数的图像可由向左平移个单位长度得到,由图可知,在上先递减后递增,所以D选项错误.故选D. 题型51 根据条件确定解析式 1.(天津理7)设函数,,其中,.若,,且的最小正周期大于,则( ). A., B., C., D., 解析 解法一:由题意,其中,所以.又,所以,从而.由,由,得.故选A. 解法二:由,,易知为的一条对称轴,点为的一个零点,则,又因为 ,即.又,且的最小正周期大于,所以,从而,又,所以.故选A. 2.(浙江理18)已知函数. (1)求的值; (2)求的最小正周期及单调递增区间. 解析 (1)由,,得. (2)由,,得, 所以的最小正周期是. 由正弦函数的性质得,解得. 所以的单调递增区间是. 题型52 三角函数的值域(最值) 题型53 三角函数图像变换 1.(全国1理9)已知曲线,, 则下面结论正确的是( ). A.把上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线 B.把上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线 C.把上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线 D.把上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线 解析 ,. 首先曲线,统一为一三角函数名,可将用诱导公式处理. .横坐标变换需将变成, 即. 注意的系数,左右平移需将提到括号外面,这时平移至, 根据“左加右减”原则,“”到“”需加上,即再向左平移.故选D. 2.(山东理1)设函数,其中.已知. (1)求; (2)将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图像向左平移个单位,得到函数的图像,求在上的最小值. 解析 (1)因为, 所以 . 由题设知,所以,. 故,,又,所以. (2)由(1)得,所以. 因为,所以,当,即时,取得最小值. 第三节 三角恒等变换 题型54 化简求值 1.(17江苏05)若,则 . 解析 解法一(角的关系):.故填. 解法二(直接化简):,所以.故填. 2.(北京理12)在平面直角坐标系中,角与角均以为始边,它们的终边关于轴对称.若,=___________. 解析 由题作出图形,如图所示,,则,由于与关于轴对称, 则,,故. 3.(全国2理14)函数的最大值是 . 解析 ,令且,,当,即时,取最大值为1. 4.(浙江理18)已知函数. (1)求的值; (2)求的最小正周期及单调递增区间. 解析 (1)由,,得. (2)由,,得, 所以的最小正周期是. 由正弦函数的性质得,解得. 所以的单调递增区间是. 第四节 解三角形 题型55 正弦定理的应用 1.(天津理15)在中,内角所对的边分别为.已知,,. (1)求和的值; (2)求的值. 解析 (1)在中,因为,故由,可得.由已知及余弦定理,得,所以. 由正弦定理,得. (2)由(Ⅰ)及,得,所以, ,故. 2.(山东理9)在中,角,,的对边分别为,,.若为锐角三角形,且满足,则下列等式成立的是( ). A. B. C. D. 解析 因为,所以,又,得,即.故选A. 题型56 余弦定理的应用 题型57 判断三角形的形状 题型58 解三角形的综合应用 1.(江苏18)如图所示,水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为,容器的底面对角线的长为,容器的两底面对角线,的长分别为和. 分别在容器和容器中注入水,水深均为. 现有一根玻璃棒,其长度为(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计). (1)将放在容器中,的一端置于点处,另一端置于侧棱上,求没入水中部分的长度; (2)将放在容器中,的一端置于点处,另一端置于侧棱上,求没入水中部分的长度. 解析 (1)由正棱柱的定义,平面,所以平面平面,. 记玻璃棒的另一端落在上点处,如图所示为截面的平面图形.因为,,所以,从而.记与水面的交点为, 过点作,为垂足,则平面,故,从而. 答:玻璃棒没入水中部分的长度为. (2)如图所示为截面的平面图形,,是正棱台两底面的中心. 由正棱台的定义,平面, 所以平面平面,. 同理,平面平面,. 记玻璃棒的另一端落在上点处. 过作,为垂足,则. 因为,,所以, 从而. 设,,则. 因为,所以. 在中,由正弦定理可得,解得. 因为,所以, 于是 . 记与水面的交点为,过作,为垂足,则平面, 故,从而. 答:玻璃棒没入水中部分的长度为. 评注 此题本质上考查解三角形的知识,但在这样的大背景下构造的应用题让学生有畏惧之感,且该应用题的实际应用性也不强. 也有学生第(1)问采用相似法解决,解法如下: ,,所以,, 所以由,,即,解得. 答:玻璃棒没入水中部分的长度为. 2.(北京理15)在中,,. (1)求的值; (2)若,求的面积. 解析 (1)在中,因为,, 所以由正弦定理得. (2)因为,所以.由余弦定理,得, 解得或(舍).所以的面积. 3.(全国1理17)的内角,,的对边分别为,,,已知的面积为. (1)求的值; (2)若,,求的周长. 分析 本题主要考查三角函数及其变换,正弦定理,余弦定理等基础知识的综合应用. 解析 (1)因为的面积且,所以,即. 由正弦定理得,由,得. (2)由(1)得,又,因为, 所以. 又因为,所以,,. 由余弦定理得 ① 由正弦定理得,,所以 ② 由①,②,得,所以,即周长为. 4.(全国2理17)的内角的对边分别为,已知. (1)求; (2)若,的面积为2,求 解析 (1)依题得. 因为,所以,所以,得(舍去)或. (2)由⑴可知,因为,所以,即,得.因为,所以,即,从而, 即,解得. 5.(全国3理17)的内角的对边分别为 ,已知,,. (1)求; (2)设为边上一点,且,求的面积. 解析 (1)由,得,即, 又,所以,得.由余弦定理得. 又因为代入并整理得,解得. (2)因为,由余弦定理得. 因为,即为直角三角形,则,得. 从而点为的中点,. 6.(浙江理14)已知,,.?点为延长线上的一点,,联结,则的面积是___________,__________. 解析 如图所示,取的中点为,在等腰中,,所以,, 所以的面积为.因为,所以是等腰三角形,所以,,解得. 第五章 平面向量 第一节 平面向量的线性运算及其坐标表示 题型59 向量的概念及共线向量 题型60 平面向量的线性表示 题型61 向量共线的应用 1.(全国3理12)在矩形中,,,动点在以点为圆心且与相切的圆上. 若,则的最大值为( ). A.3 B. C. D.2 解析 解法一:由题意,作出图像,如图所示.设与切于点,联结.以点 为坐标原点,为轴正半轴,为轴正半轴建立直角坐标系,则点坐标为 .因为,.所以.因为切于点.所以 ⊥.所以是斜边上的高., 即的半径为.因为点在上.所以点的轨迹方程为. 设点的坐标为,可以设出点坐标满足的参数方程, 而,,. 因为, 所以,. 两式相加得 (其中,), 当且仅当,时,取得最大值为3.故选A. 解法二:如图所示,考虑向量线性分解的等系数和线,可得的最大值为3. 2.(浙江理15)已知向量,满足,,则的最小值是 ,最大值是 . 解析 解法一:如图所示,和是以为邻边的平行四边形的两条对角线,则,是以为圆心的单位圆上的一动点,构造2个全等的平行四边形,平行四边形.所以. 易知当,B,C三点共线时,最小,此时; 当时,最大,此时. 解法二: (是向量,的夹角). 所以当时,取得最小值4;当时,取得最大值. 题型62 平面向量基本定理及应用 1.(江苏12)如图所示,在同一个平面内,向量,,的模分别为,,,与的夹角为,且,与的夹角为.若, 则 . 解析 解法一:由题意 (*) 而由,得,, . 将(*)式化简为 式①加式②,得.故填. 解法二(坐标法):如图所示,以所在的直线为轴,过且垂直于的直线为轴建立平 面直角坐标系,由题意结合解法一可得,,,由 ,得,即,解得,故 .故填. 解法三(解三角形):由,可得,,如图所示,根据向量的分解, 易得,即,即,解得,所以. 题型63 平面向量的坐标运算 1.(江苏13)在平面直角坐标系中,点,,点在圆上.若,则点的横坐标的取值范围是 . 解析 不妨设,则,且易知. 因为 ,故. 所以点在圆上,且在直线的左上方(含直线). 联立,得,,如图所示,结合图形知.故填. 评注 也可以理解为点在圆的内部来解决,与解析中的方法一致. 题型64 向量共线(平行)的坐标表示 第二节 平面向量的数量积 题型65 平面向量的数量积 1.(天津理13)在中,,,.若,,且,则的值为___________. 解析 解法一:如图所示,以向量,为平面向量的基底,则依题意可得.又因为, 则, 则,解得. 解法二:以点为坐标原点,以所在的直线为轴,建立直角坐标系(如图所示).依题意易得,,,,,. 则可得,,于是有,解得. 2.(北京理6)设,为非零向量,则“存在负数,使得”是“”的( ). A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 若,使,即两向量方向相反,夹角为,则.若,也可能夹角为,方向并不一定相反,故不一定存在.故选A. 3.(全国1理13)13.已知向量,的夹角为,, ,则 . 解析 ,所以. 4.(全国2理12)已知是边长为2的等边三角形,为平面内一点,则的最小值是( ). A. B. C. D. 解析 解法一(几何法):如图所示,取的中点,联结,取的中点,由,则 ,当且仅当,即点与点重合时,取得最小值为,故选B. 解法二(解析法):建立如图所示的直角坐标系,以的的中点为坐标原点, 所以,,.设点,,,,所以, 则其最小值为,此时,.故选B. 5.(全国3理12)在矩形中,,,动点在以点为圆心且与相切的圆上. 若,则的最大值为( ). A.3 B. C. D.2 解析 解法一:由题意,作出图像,如图所示.设与切于点,联结.以点 为坐标原点,为轴正半轴,为轴正半轴建立直角坐标系,则点坐标为 .因为,.所以.因为切于点.所以 ⊥.所以是斜边上的高., 即的半径为.因为点在上.所以点的轨迹方程为. 设点的坐标为,可以设出点坐标满足的参数方程, 而,,. 因为, 所以,. 两式相加得 (其中,), 当且仅当,时,取得最大值为3.故选A. 解法二:如图所示,考虑向量线性分解的等系数和线,可得的最大值为3. 6.(山东理12)已知是互相垂直的单位向量,若与的夹角为,则实数的值是 . 解析 , , , 所以,解得. 7.(浙江理10)如图所示,已知平面四边形,,,,与交于点,记 ,,,则( ). A. B. C. D. 解析 如图所示,动态研究问题:,.此时有,,,且,. 故. 8.(浙江理15)已知向量,满足,,则的最小值是 ,最大值是 . 解析 解法一:如图所示,和是以为邻边的平行四边形的两条对角线,则,是以为圆心的单位圆上的一动点,构造2个全等的平行四边形,平行四边形.所以. 易知当,B,C三点共线时,最小,此时; 当时,最大,此时. 解法二: (是向量,的夹角). 所以当时,取得最小值4;当时,取得最大值. 题型66 向量与三角形的四心 第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集合 题型1 集合的基本概念 题型2 集合间的基本关系 题型3 集合的运算 1.(江苏01)已知集合,,若,则实数的值为 . 解析 由题意,故由,得.故填. 2.(天津理1)设集合,,,则( ). A. B. C. D. 解析 因为,所以, 从而.故选B. 3.(北京理1)若集合,,则( ). A. B. C. D. 解析 画出数轴图如图所示,则.故选A. 4.(全国1理1)已知集合,,则( ). A. B. C. D. 解析 ,,所以,.故选A. 5.全国2理2)设集合,.若,则( ). A. B. C. D. 解析 由题意知是方程的解,代入解得,所以的解为或,从而.故选C. 6.(全国3理1)已知集合A=,,则中元素的个数为( ). A.3 B.2 C.1 D.0 解析 集合表示圆上所有点的集合,表示直线上所有点的集合,如图所示,所以表示两直线与圆的交点,由图可知交点的个数为2,即元素的个数为2.故选B. 7.(山东理1)设函数的定义域,函数的定义域为,则( ). A. B. C. D. 解析 由,解得,所以.由,解得,所以. 从而.故选D. 8.(浙江理1)已知集合,,那么( ). A. B. C. D. 解析 是取集合的所有元素,即.故选A. 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件 题型4 四种命题及真假关系 1.(山东理3)已知命题,;命题若a>b,则,下列命题为真命题的是( ). A. B. C. D. 解析 由,所以恒成立,故为真命题; 令,,验证可知,命题为假.故选B. 题型5 充分条件、必要条件、充要条件的判断 1.(天津理4)设,则“”是“”的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 .但,,不满足,所以“”是“”的充分不必要条件.故选A. 2.(北京理6)设,为非零向量,则“存在负数,使得”是“”的( ). A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 若,使,即两向量方向相反,夹角为,则.若,也可能夹角为,方向并不一定相反,故不一定存在.故选A. 3.(浙江理6)已知等差数列的公差为,前项和为,则“”是“”的( ). A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 ,. 当时,有,当时,有.故选C. 题型6 充分条件、必要条件中的含参问题 第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 题型7 判断含逻辑联结词的命题的真假 题型8 全(特)称命题 题型9 根据命题真假求参数的范围
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