[ID:3-6015273] 高中数学立体几何大题专项突破
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高中数学立体几何大题专项突破 1.如图所示,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC//AD,BE//FA,G、H分别为FA、FD的中点. (1)证明:四边形BCHG是平行四边形; (2)C、D、F、E四点是否共面?为什么? 2.如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA=PB=AB=2,BC=3,∠ABC=90°,平面PAB⊥平面ABC,D,E分别为AB,AC中点. (Ⅰ)求证:DE∥面PBC; (Ⅱ)求证:AB⊥PE; (Ⅲ)求三棱锥B﹣PEC的体积. 3. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E、F、G分别是BC、DC、SC的中点,求证: (1)直线EG∥平面BDD1B1; (2)平面EFG∥平面BDD1B1. 4.如图,P、Q、R分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AA1,BB1,DD1上的三点,试作出过P,Q,R三点的截面图. 5.如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2. 求证:(1)E、F、G、H四点共面; (2)EG与HF的交点在直线AC上. 6.如图(1),在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图(2). (1)求证:DE∥平面A1CB. (2)求证:A1F⊥BE. (3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ?说明理由. 7.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形. (1)求该几何体的体积V;(2)求该几何体的侧面积S. 8.如图,在底面为直角梯形的四棱锥P?ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD,AC∩BD=E,AD=2,AB=2,BC=6.求证:平面PBD⊥平面PAC. 9.在长方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F、E1、F1分别是AB、CD、A1B1、C1D1的中点.求证:平面A1EFD1∥平面BCF1E1. 10.如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点.求证: (1)E,C,D1,F四点共面; (2)CE,D1F,DA三线共点. 11. 如图所示,平面α∥平面β,点A∈α,C∈α,点B∈β,D∈β,点E、F分别在线段AB、CD上,且AE∶EB=CF∶FD.求证:EF∥β,EF∥α. 12.如图,平面四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D均在平行四边形A′B′C′D′所确定的平面α外且在平面α的同一侧,AA′、BB′、CC′、DD′互相平行.求证:四边形ABCD是平行四边形. 13.如图所示,已知长方体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD为正方形,E为线段AD1的中点,F为线段BD1的中点, (1)求证:EF∥平面ABCD; (2)设M为线段C1C的中点,当的比值为多少时,DF⊥平面D1MB?并说明理由. 14.在四面体ABCD中,AB=CD=,BC=AD=2,BD=AC=5,求四面体ABCD的体积. 15.如图,在底面为平行四边形的四棱锥P?ABCD中,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB,点E是PD的中点. (1)求证:AC⊥PB; (2)求证:PB∥平面AEC; (3)求二面角E?AC?B的大小. 16.如图,已知平面α∩β=l,点A∈α,点B∈α,点C∈β,且A?l,B?l,直线AB与l不平行,那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系?证明你的结论. 17.如图,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,AD=PA=2,,E,F分别是AB、PD的中点. (Ⅰ)求证:AF∥平面PCE; (Ⅱ)求证:平面PCE⊥平面PCD; (Ⅲ)求二面角F﹣EC﹣D的大小. 18.如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是棱B1C1、B1B的中点. 求证:CF⊥平面EAB. 19.如图,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,你能发现哪些平面互相垂直,为什么? 20.如图,A,B,C,D四点都在平面a,b外,它们在a内的射影A1,B1,C1,D1是平行四边形的四个顶点,在b内的射影A2,B2,C2,D2在一条直线上,求证:ABCD是平行四边形. 21.如图所示,在正方体ABCD?A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO? 22.如图所示,在正方体A1B1C1D1?ABCD中,EF与异面直线AC,A1D都垂直相交. 求证:EF∥BD1 23.把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面半径的比是1:4,母线长10cm.求:圆锥的母线长. 24.在四棱柱P﹣ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=PB=PC=BC=2CD=2,平面PBC⊥平面ABCD (1)求证:AB⊥平面PBC; (2)求三棱锥C﹣ADP的体积; (3)在棱PB上是否存在点M使CM∥平面PAD?若存在,求的值.若不存在,请说明理由. 答案解析 1.【答案】(1)证明 由已知FG=GA,FH=HD, 可得GH//AD.又BC//AD,∴GH//BC, ∴四边形BCHG为平行四边形. (2)由BE//AF,G为FA的中点知,BE//FG, ∴四边形BEFG为平行四边形,∴EF∥BG. 由(1)知BG//CH, ∴EF∥CH,∴EF与CH共面. 又D∈FH,∴C、D、F、E四点共面. 【解析】 2.【答案】解:(I)∵△ABC中,D、E分别为AB、AC中点,∴DE∥BC ∵DE?面PBC且BC?面PBC,∴DE∥面PBC; (II)连结PD ∵PA=PB,D为AB中点,∴PD⊥AB ∵DE∥BC,BC⊥AB,∴DE⊥AB, 又∵PD、DE是平面PDE内的相交直线,∴AB⊥平面PDE ∵PE?平面PDE,∴AB⊥PE; (III)∵PD⊥AB,平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB ∴PD⊥平面ABC,可得PD是三棱锥P﹣BEC的高 又∵PD=,S△BEC=S△ABC=. ∴三棱锥B﹣PEC的体积V=VP﹣BEC=S△BEC×PD=. 【解析】 3.【答案】证明 (1)如图,连接SB, ∵E、G分别是BC、SC的中点, ∴EG∥SB. 又∵SB?平面BDD1B1, EG?平面BDD1B1, ∴直线EG∥平面BDD1B1. (2)连接SD, ∵F、G分别是DC、SC的中点, ∴FG∥SD. 又∵SD?平面BDD1B1, FG?平面BDD1B1, ∴FG∥平面BDD1B1,且EG?平面EFG, FG?平面EFG,EG∩FG=G, ∴平面EFG∥平面BDD1B1. 【解析】 4.【答案】作法:(1)连接PQ,并延长之交A1B1的延长线于T; (2)连接PR,并延长之交A1D1的延长线于S; (3)连接ST交C1D1、B1C1分别于M,N,则线段MN 为平面PQR与面A1B1C1D1的交线. (4)连接RM,QN,则线段RM,QN分别是平面PQR与面DCC1D1, 面BCC1B1的交线.得到的五边形PQNMR即为所求的截面图(如图). 【解析】 5.【答案】证明 (1)∵BG∶GC=DH∶HC,∴GH∥BD. ∵E,F分别为AB,AD的中点, ∴EF∥BD,∴EF∥GH, ∴E,F,G,H四点共面. (2)∵G,H不是BC,CD的中点, ∴EF∥GH,且EF≠GH,故EFHG为梯形. ∴EG与FH必相交,设交点为M, ∴EG?平面ABC,FH?平面ACD, ∴M∈平面ABC,且M∈平面ACD, ∴M∈AC,即GE与HF的交点在直线AC上. 【解析】 6.【答案】(1)证明 因为D,E分别为AC,AB的中点, 所以DE∥BC. 又因为DE?平面A1CB, 所以DE∥平面A1CB. (2)证明 由已知得AC⊥BC且DE∥BC, 所以DE⊥AC. 所以DE⊥A1D,DE⊥CD. 所以DE⊥平面A1DC. 而A1F?平面A1DC, 所以DE⊥A1F. 又因为A1F⊥CD,所以A1F⊥平面BCDE, 所以A1F⊥BE. (3)解 线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ.理由如下: 如图,分别取A1C,A1B的中点P,Q,则PQ∥BC. 又因为DE∥BC, 所以DE∥PQ. 所以平面DEQ即为平面DEP. 由(2)知,DE⊥平面A1DC, 所以DE⊥A1C. 又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点, 所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP. 从而A1C⊥平面DEQ. 故线段A1B上存在点Q,使得A1C⊥平面DEQ. 【解析】 7.【答案】(1)64(2)40+24 【解析】由已知可得该几何体是一个底面为矩形、高为4、顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V?ABCD. (1)V=×(8×6)×4=64. (2)该四棱锥有两个侧面VAD,VBC是全等的等腰三角形,且BC边上的高为h1==4,另两个侧面VAB,VCD也是全等的等腰三角形,AB边上的高为h2==5. 因此S=2=40+24 8.【答案】证明 ∵PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,∴BD⊥PA.又tan∠ABD==, tan∠BAC==, ∴∠ABD=30°,∠BAC=60°, ∴∠AEB=90°,即BD⊥AC. 又PA∩AC=A, ∴BD⊥平面PAC. ∵BD?平面PBD,平面PBD⊥平面PAC. 【解析】 9.【答案】证明 ∵E、E1分别是AB、A1B1的中点, ∴A1E1∥BE且A1E1=BE. ∴四边形A1EBE1为平行四边形. ∴A1E∥BE1. ∵A1E?平面BCF1E1, BE1?平面BCF1E1. ∴A1E∥平面BCF1E1. 同理A1D1∥平面BCF1E1, A1E∩A1D1=A1, ∴平面A1EFD1∥平面BCF1E1. 【解析】 10.【答案】证明:(1)连接EF,A1B,D1C, ∵E,F分别是AB,AA1的中点, ∴EF∥A1B,A1B∥D1C, ∴EF∥D1C, ∴由两条平行线确定一个平面,得到E,C,D1,F四点共面. (2)分别延长D1F,DA,交于点P, ∵P∈DA,DA?面ABCD, ∴P∈面ABCD. ∵F是AA1的中点,FA∥D1D, ∴A是DP的中点, 连接CP,∵AB∥DC, ∴CP∩AB=E, ∴CE,D1F,DA三线共点于P. 【解析】 11.【答案】证明 ①当AB,CD在同一平面内时,由α∥β,α∩平面ABDC=AC,β∩平面ABDC=BD, ∴AC∥BD,∵AE∶EB=CF∶FD,∴EF∥BD, 又EF?β,BD?β,∴EF∥β. ②当AB与CD异面时,设平面ACD∩β=l,在l上取一点H,使DH=AC. ∵α∥β,α∩平面ACDH=AC, ∴AC∥DH, ∴四边形ACDH是平行四边形. 在AH上取一点G, 使AG∶GH=CF∶FD, 又∵AE∶EB=CF∶FD, ∴GF∥HD,EG∥BH, 又EG∩GF=G,BH∩HD=H, ∴平面EFG∥平面β. ∵EF?平面EFG,∴EF∥β. 综上,EF∥β. ∵α∥β,EF∥β且EF?α,∴EF∥α. 【解析】 12.【答案】证明 ∵AA′∥BB′∥CC′∥DD′,BB′?平面AA′D′D,AA′?平面AA′D′D, ∴BB′∥平面AA′D′D. ∵四边形A′B′C′D′是平行四边形, ∴B′C′∥A′D′. ∵B′C′?平面AA′D′D,A′D′?平面AA′D′D, ∴B′C′∥平面AA′D′D. 又∵BB′∩B′C′=B′,BB′?平面BB′C′C,B′C′?平面BB′C′C, ∴平面AA′D′D∥平面BB′C′C. ∵平面AA′D′D∩平面ABCD=AD,平面BB′C′C∩平面ABCD=BC, ∴AD∥BC.同理AB∥DC, ∴四边形ABCD是平行四边形. 【解析】 13.【答案】(1)证明 ∵E为线段AD1的中点,F为线段BD1的中点,∴EF∥AB.∵EF?平面ABCD,AB?平面ABCD, ∴EF∥平面ABCD. (2) 当=时,DF⊥平面D1MB. ∵ABCD是正方形,∴AC⊥BD. ∵D1D⊥平面ABC,∴D1D⊥AC. ∴AC⊥平面BB1D1D,∴AC⊥DF. ∵F,M分别是BD1,CC1的中点, ∴FM∥AC.∴DF⊥FM. ∵D1D=AD,∴D1D=BD. ∴矩形D1DBB1为正方形. ∵F为BD1的中点,∴DF⊥BD1. ∵FM∩BD1=F,∴DF⊥平面D1MB. 【解析】 14.【答案】8 【解析】以四面体的各棱为对角线还原为长方体,如图. 设长方体的长、宽、高分别为x、y、z, 则 ∵VD?ABE=DE·S△ABE=V长方体, 同理VC?ABF=VD?ACG=VD?BCH=V长方体, ∴V四面体ABCD=V长方体-4×V长方体 =V长方体.而V长方体=2×3×4=24, ∴V四面体ABCD=8. 15.【答案】(1)证明 由PA⊥平面ABCD可得PA⊥AC. 又AB⊥AC,所以AC⊥平面PAB,所以AC⊥PB. (2)证明 如图,连接BD交AC于点O,连接EO,则EO是△PDB的中位线, ∴EO∥PB.又EO?平面AEC,PB?平面AEC, ∴PB∥平面AEC. (3)解 如图,取AD的中点F,连接EF,FO, 则EF是△PAD的中位线,∴EF∥PA. 又PA⊥平面ABCD, ∴EF⊥平面ABCD. 同理,FO是△ADC的中位线, ∴FO∥AB,∴FO⊥AC. 因此,∠EOF是二面角E?AC?D的平面角. 又FO=AB=PA=EF, ∴∠EOF=45°.而二面角E?AC?B与二面角E?AC?D互补,故所求二面角E?AC?B的大小为135°. 【解析】 16.【答案】平面ABC与β的交线与l相交.证明如下: ∵AB与l不平行,且AB?α,l?α, ∴AB与l一定相交.设AB∩l=P, 则P∈AB,P∈l. 又∵AB?平面ABC,l?β, ∴P∈平面ABC,P∈β. ∴点P是平面ABC与β的一个公共点,而点C也是平面ABC与β的一个公共点,且P,C是不同的两点, ∴直线PC就是平面ABC与β的交线, 即平面ABC∩β=PC,而PC∩l=P, ∴平面ABC与β的交线与l相交. 【解析】 17.【答案】解:(Ⅰ)证明:设G为PC的中点,连接FG,EG, ∵F为PD的中点,E为AB的中点, ∴FGCD,AECD ∴FGAE,∴AF∥GE ∵GE?平面PEC, ∴AF∥平面PCE; (Ⅱ)证明:∵PA=AD=2,∴AF⊥PD 又∵PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD, ∴PA⊥CD,∵AD⊥CD,PA∩AD=A, ∴CD⊥平面PAD, ∵AF?平面PAD,∴AF⊥CD. ∵PD∩CD=D,∴AF⊥平面PCD, ∴GE⊥平面PCD, ∵GE?平面PEC, ∴平面PCE⊥平面PCD; (Ⅲ)取AD的中点M,连接FM,EM,MC, 因为F是PD的中点; ∴FM∥PA; ∴FM⊥平面ABCD;?EC⊥FM ① 在三角形EMC中, 因为MC=;ME=;EC=; ∴MC2=ME2+EC2; ∴EM⊥EC ②; ∴由①②得EC⊥平面FME, ∴EC⊥FE, 即∠FEM为二面角F﹣EC﹣D的平面角, 而tan∠FEM=; ∴∠FEM=30°. 故二面角F﹣EC﹣D为30°. 【解析】 18.【答案】证明 在平面B1BCC1中, ∵E、F分别是B1C1、B1B的中点, ∴△BB1E≌△CBF, ∴∠B1BE=∠BCF, ∴∠BCF+∠EBC=90°,∴CF⊥BE, 又AB⊥平面B1BCC1,CF?平面B1BCC1, ∴AB⊥CF,又AB∩BE=B, ∴CF⊥平面EAB. 【解析】 19.【答案】面ABC⊥面BCD,面ABD⊥面BCD,面ACD⊥面ABC 【解析】面ABC⊥面BCD,面ABD⊥面BCD,面ACD⊥面ABC. 由于AB⊥平面BCD,AB?面ABC,所以面ABC⊥面BCD; 由于AB?面ABD,所以面ABD⊥面BCD; 由于BC⊥CD,也易知AB⊥CD, 又AB∩BC=B, 所以CD⊥面ABC,CD?面ACD, 所以面ACD⊥面ABC. 20.【答案】证明:∵A,B,C,D四点在b内的射影A2,B2,C2,D2在一条直线上, ∴A,B,C,D四点共面. 又A,B,C,D四点在a内的射影A1,B1,C1,D1是平行四边形的四个顶点, ∴平面ABB1A1∥平面CDD1C1. ∴AB,CD是平面ABCD与平面ABB1A1,平面CDD1C1的交线. ∴AB∥CD.同理AD∥BC. ∴四边形ABCD是平行四边形. 【解析】 21.【答案】当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO. 理由如下: ∵Q为CC1的中点,P为DD1的中点,连接PQ,则PQ∥DC∥AB,∴四边形PABQ为平行四边形,∴QB∥PA. ∵P,O分别为DD1,DB的中点, ∴D1B∥PO. 而PO?平面PAO,PA?平面PAO, ∴D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO.又D1B∩QB=B, ∴平面D1BQ∥平面PAO. 【解析】 22.【答案】证明 如图所示: 连接AB1,B1D1,B1C1,BD. ∵DD1⊥平面ABCD, AC?平面ABCD,∴DD1⊥AC. 又AC⊥BD,DD1∩BD=D, ∴AC⊥平面BDD1B1. 又BD1?平面BDD1B1,∴AC⊥BD1. 同理可证BD1⊥B1C.又B1C∩AC=C, ∴BD1⊥平面AB1C. ∵EF⊥AC,EF⊥A1D,又A1D∥B1C,∴EF⊥B1C.又AC∩B1C=C,∴EF⊥平面AB1C,∴EF∥BD1. 【解析】 23.【答案】解:设圆锥的母线长为l,圆台上、下底半径为r,R. , 【解析】 24.【答案】(1)证明:因为∠ABC=90°,所以AB⊥BC. 因为平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,AB?平面ABCD, 所以AB⊥平面PBC; (2)解:取BC的中点O,连接PO ∵PB=PC,∴PO⊥BC ∵平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC ∴PO⊥平面ABCD, 在等边三角形PBC中,PO= ∴. (3)解:在棱PB上存在点M使得CM∥平面PAD,此时=.理由如下: 取AB的中点N,连接CM,CN,MN,则MN∥PA,AN=AB. 因为AB=2CD,所以AN=CD. 因为AB∥CD,所以四边形ANCD是平行四边形. 所以CN∥AD. 因为MN∩CN=N,PA∩AD=A,所以平面MNC∥平面PAD 因为CM?平面MNC,所以CM∥平面PAD. 【解析】 1 立体几何常考证明题 1、已知四边形是空间四边形,分别是边的中点 (1) 求证:EFGH是平行四边形 (1) 若BD=,AC=2,EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。 2、如图,已知空间四边形中,,是的中点。 求证:(1)平面CDE; (2)平面平面。 3、如图,在正方体中,是的中点, 求证: 平面。 4、已知中,面,,求证:面. 5、已知正方体,是底对角线的交点. 求证:(1) C1O∥面;(2)面. 6、正方体中,求证:(1);(2). 7、正方体ABCD—A1B1C1D1中.(1)求证:平面A1BD∥平面B1D1C; (2)若E、F分别是AA1,CC1的中点,求证:平面EB1D1∥平面FBD. 8、四面体中,分别为的中点,且, ,求证:平面 9、如图是所在平面外一点,平面,是的中点,是上的点, (1)求证:;(2)当,时,求的长。 10、如图,在正方体 HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" EMBED Equation.DSMT4 中, HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" EMBED Equation.DSMT4 、、分别是、、的中点.求证:平面∥平面. 11、如图,在正方体 HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" EMBED Equation.DSMT4 中, HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" EMBED Equation.DSMT4 是 HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" EMBED Equation.DSMT4 的中点. (1)求证: HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" EMBED Equation.DSMT4 平面 HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" EMBED Equation.DSMT4 ; (2)求证:平面 HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" EMBED Equation.DSMT4 平面 HYPERLINK "http://www.7caiedu.cn/" EMBED Equation.DSMT4 . 12、已知是矩形,平面,,,为的中点. (1)求证:平面;(2)求直线与平面所成的角. 13、如图,在四棱锥中,底面是且边长为的菱形,侧面是等边三角形,且平面垂直于底面. (1)若为的中点,求证:平面; (2)求证:; (3)求二面角的大小. 14、如图1,在正方体中,为 的中点,AC交BD于点O,求证:平面MBD. 15、如图2,在三棱锥A-BCD中,BC=AC,AD=BD, 作BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥BE于H.求证:AH⊥平面BCD. 16、证明:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1C⊥平面BC1D 17、如图,过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC,且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°,求证:平面ABC⊥平面BSC. F G H A E D C B A E D B C A1 E D1 C1 B1 D C B A C1 B B1 A A1 C D1 D G E F PAGE 6
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  • 资料类型: 学案
  • 资料版本:北师大版
  • 适用地区:全国
  • 文件大小:693.12KB
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