[ID:3-6010023] 求圆锥曲线方程5大类型
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求圆锥曲线方程 5 大类型 求圆锥曲线方程分为五个类型,求解策略一般有以下几种: ①几何分析+方程思想; ②设而不求+韦达定理 ③定义+数形结合; ④参数法+方程思想 类型 1——待定系数法 待定系数法本质就是通过对几何特征进行分析, 利用图形,结合圆锥曲线的定义与几何性质,分析图中 已知量与未知量之间的关系,列出含有待定系数的方程,解出待定的系数即可。 例 1.2014 年全国Ⅱ卷(理科 20)设 ????1 、 ????2 分别是椭圆 ????: ???? 2 ????2 + ???? 2 ????2 = 1(???? > ???? > 0) 的左、右 焦点,???? 是 ???? 上一点且 ????????2 与 ???? 轴垂直,直线 ????????1 与 ???? 的另一个交点为 ????. Ⅰ 若直线 ???????? 的斜率为 3 4 ,求 ???? 的离心率; Ⅰ 若直线 ???????? 在 ???? 轴上的截距为 2,且 ∣ ???????? ∣= 5 ∣ ????1???? ∣,求 ????,????. 【解法分析】第Ⅱ小题利用试题提供的几何位置关系和数量关系,结合椭圆的几何性质和 方程思想,通过待定系数法进行求解。着重考查椭圆的几何性质,将几何特征转化为坐标 表示,突显数形结合的思想。 . 2 1∴. 2 1 02-32., 4 3 2 1∴ 4 3 22222 21 1 的离心率为解得 ,联立整理得:且由题知, Ce eecba ca b FF MF = =++==?=? 72,7 .72,7. ,,1:4:) 2 3-(, :. 2 3-,, .4, .422 222 1111 11 2 2 == ==+= ==+=+= == =?= ba bacba a ceNFMFceaNFecaMF ccNM mMFmNF a bMF 所以, 联立解得 ,且 由焦半径公式可得两点横坐标分别为 可得由两直角三角形相似,由题可知设 ,即知,由三角形中位线知识可 类型 2——相关点法求轨迹方程 动点 P(x,y)依赖与另一个动点 Q(x0,y0)变化而变化,并且动点 Q(x0,y0)又在另一 个已知曲线上,则可先用 x,y 表示 x0,y0,再将 x0,y0 代入已知曲线,可得到所求动点的 轨迹方程。 例 2、2017 年全国Ⅱ 卷(理科 20)设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆 C:???? 2 2 + ????2 = 1 上,过 M 作 x 轴的垂线,垂足为 N,点 P 满足 ???????????? = √2?????????????. (Ⅰ ) 求点 P 的轨迹方程; (Ⅰ ) 设点 Q 在直线 ???? = ?3 上,且 ???????????? ? ???????????? = 1,证明:过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F. 【解法分析】本例第Ⅰ小题充分利用主动点 M 在椭圆上,而从动点 N 与主动点 M 之间存在 横坐标相同,纵坐标有 倍的关系,可利用相关点法进行求解。 ⑴设 ,易知 ( )P x y, ( 0)N x, 又 (0 )NP y? ???? , 1 0 2 2 yNM NP ? ?? ? ? ? ? ? ????? ???? , ∴ ,又 在椭圆上. 1 2 M x y? ?? ? ? ? , M ∴ ,即 . 2 2 12 2 yx ? ?? ?? ? ? ? 2 2 2x y? ? ⑵设点 , , , ( 3 )QQ y? , ( )P PP x y, ( 0)Qy ? 由已知: , ( ) ( 3 ) 1P P P Q POP PQ x y y y y? ? ? ? ? ? ? ???? ???? , , , ? ? 2 1OP OQ OP OP OQ OP? ? ? ? ? ????? ???? ???? ???? ???? ???? ∴ , 2 1 3OP OQ OP? ? ? ? ???? ???? ???? ∴ . 3 3P Q P Q P P Qx x y y x y y? ? ? ? ? ? 设直线 : , OQ 3 Qyy x? ? ? 因为直线与 垂直. OQl ∴ 3l Q k y ? 故直线方程为 , 3 ( )P P Q y x x y y ? ? ? 令 ,得 , 0y ? 3( )P Q Py y x x? ? ? , 1 3 P Q P y y x x? ? ? ? ∴ , 1 3 P Q P x y y x? ? ? ? ∵ , 3 3P Q Py y x? ? ∴ , 1 (3 3 ) 1 3 P P x x x? ? ? ? ? ? 若 ,则 , , , 0Qy ? 3 3Px? ? 1Px ? ? 1Py ? ? 直线 方程为 ,直线方程为 , OQ 0y ? 1x ? ? 直线过点 ,为椭圆 的左焦点. ( 1 0)? , C 类型 3——定义法求轨迹方程 先根据条件确定动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线定义直接写出动点的轨迹方程。 例 3、2016 年全国Ⅰ卷(理科 20)设圆 ????2 + ????2 + 2???? ? 15 = 0 的圆心为 ????,直线 ???? 过点 ????(1,0) 且与 ???? 轴不重合,???? 交圆 ???? 于 ????,???? 两点,过 ???? 作 ???????? 的平行线交 ???????? 于点 ????. Ⅰ 证明 ∣????????∣ + ∣????????∣ 为定值,并写出点 ???? 的轨迹方程; Ⅰ 设点 ???? 的轨迹为曲线 ????1,直线 ???? 交 ????1 于 ????,???? 两点,过 ???? 且与 ???? 垂直的直线与圆 ???? 交于 ????,???? 两点,求四边形 ???????????????? 面积的取值范围. 类型 4——参数法求曲线方程 当动点 P(x,y)坐标之间的关系较探寻时,可考虑 x,y 之间用同一个变量表示,得 E D C A O B x y 到参数方程, 再消去参数即可,但要注意参数的取值范围。 例 4、2016 全国Ⅲ卷(文科 20) 已知抛物线 ????: ????2 = 2???? 的焦点为 ????,平行于 ???? 轴的两条直 线 ????1,????2 分别交 ???? 于 ????,???? 两点,交 ???? 的准线于 ????,???? 两点. Ⅰ 若 ???? 在线段 ???????? 上,???? 是 ???????? 的中点,证明 ????????∥????????; Ⅰ 若 △???????????? 的面积是 △???????????? 的面积的两倍,求 ???????? 中点的轨迹方程. 【解法分析】本例的第Ⅱ小题以两条直线与抛物线的交点的坐标为参数,利用 面积是 面积的两倍,得到直线 AB 与 x 轴交点 N 的坐标,再进一步利用点差 法求得 AB 中点的轨迹方程。着重考查了设而不求的思想方法。 由 AP=AF,BQ=BF及 AP//BQ, ∴AR//FQ. (Ⅱ)设 , 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ,准线为 , 1( ,0) 2 F 1 2 x ? ? , 1 2 1 1 2 2PQF S PQ y y? ? ? ? 设直线 与 轴交点为 , AB x N , 1 2 1 2ABF S FN y y? ? ? ∵ ,∴ ,∴ ,即 . 2PQF ABFS S? ?? 2 1FN ? 1Nx ? (1,0)N 设 中点为 ,由 得 , AB ( , )M x y 2 1 1 2 2 2 2 2 y x y x ? ?? ? ??? 2 2 1 2 1 22( )y y x x? ? ? 又 , 1 2 1 2 1 y y y x x x ? ? ? ? ∴ ,即 . 1 1 y x y ? ? 2 1y x? ? ∴ 中点轨迹方程为 . AB 2 1y x? ? 类型 5——直译法求轨迹方程 例 5、2014 年湖北(理科 21)在平面直角坐标系 ???????????? 中,点 ???? 到点 ????(1,0) 的距离比它到 ???? 轴的距离多 1,记点 ???? 的轨迹为 ????. Ⅰ 求轨迹为 ???? 的方程; Ⅰ 设斜率为 ???? 的直线 ???? 过定点 ????(?2,1),求直线 ???? 与轨迹 ???? 恰好有一个公共点,两个公共 点,三个公共点时 ???? 的相应取值范围. (Ⅰ)设点 ,依题意得 ,即 , ( , )M x y | | | | 1MF x? ? 2 2( 1) | | 1x y x? ? ? ? 化简整理得 . 2 2(| | )y x x? ? 故点 M的轨迹 C的方程为 2 4 , 0, 0, 0. x x y x ?? ? ? ?? (Ⅱ)在点 M的轨迹 C中,记 , . 1 :C 2 4y x? 2 :C 0 ( 0)y x? ? 依题意,可设直线 的方程为 l 1 ( 2).y k x? ? ? 由方程组 可得 ① 2 1 ( 2), 4 , y k x y x ? ? ?? ? ?? 2 4 4(2 1) 0.ky y k? ? ? ? (1)当 时,此时 把 代入轨迹 C的方程,得 . 0k ? 1.y ? 1y ? 1 4 x ? 故此时直线 与轨迹 恰好有一个公共点 . : 1l y ? C 1( , 1) 4 (2)当 时,方程①的判别式为 . ② 0k ? 216(2 1)k k? ? ? ? ? 设直线 与 轴的交点为 ,则 l x 0( , 0)x 由 ,令 ,得 . ③ 1 ( 2)y k x? ? ? 0y ? 0 2 1kx k ? ? ? (ⅰ)若 由②③解得 ,或 . 0 0, 0,x ? ?? ? ?? 1k ? ? 1 2 k ? 即当 时,直线 与 没有公共点,与 有一个公共点, 1( , 1) ( , ) 2 k ? ?? ? ? ?? l 1C 2C 故此时直线 与轨迹 恰好有一个公共点. l C (ⅱ)若 或 由②③解得 ,或 . 0 0, 0,x ? ?? ? ?? 0 0, 0,x ? ?? ? ?? 1{ 1, } 2 k ? ? 1 0 2 k? ? ? 即当 时,直线 与 只有一个公共点,与 有一个公共点. 1{ 1, } 2 k ? ? l 1C 2C 当 时,直线 与 有两个公共点,与 没有公共点. 1[ , 0) 2 k ? ? l 1C 2C 故当 时,直线 与轨迹 恰好有两个公共点. 1 1[ , 0) { 1, } 2 2 k ? ? ?? l C (ⅲ)若 由②③解得 ,或 . 0 0, 0,x ? ?? ? ?? 11 2 k? ? ? ? 10 2 k? ? 即当 时,直线 与 有两个公共点,与 有一个公共点, 1 1( 1, ) (0, ) 2 2 k ? ? ? ? l 1C 2C 故此时直线 与轨迹 恰好有三个公共点. l C 综合(1)(2)可知,当 时,直线 与轨迹 恰好有一个公 1( , 1) ( , ) {0} 2 k ? ?? ? ? ?? ? l C 共 点 ; 当 时 , 直 线 与 轨 迹 恰 好 有 两 个 公 共 点 ; 当 1 1[ , 0) { 1, } 2 2 k ? ? ?? l C 时,直线 与轨迹 恰好有三个公共点. 1 1( 1, ) (0, ) 2 2 k ? ? ? ? l C 【解法分析】本题第Ⅰ小题根据题目条件,设出动点的坐标,建立动点 M 到定点 F 的距离 等于动点到 y 轴的距离加 1 的等式,化简求得。当然,本题出可以用定义法进行求解。
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  • 资料类型: 素材
  • 资料版本:北师大版
  • 适用地区:全国
  • 文件大小:695.06KB
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