[ID:3-5010427] 2019高考数学二轮复习 压轴提升练(打包4套)文
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压轴提升卷(一)
解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1.(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的两个顶点A,B的坐标分别为(-1,0),(1,0),且AC,BC所在直线的斜率之积等于-2,记顶点C的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程;
(2)设直线y=2x+m(m∈R且m≠0)与曲线E相交于P,Q两点,点M,求△MPQ面积的取值范围.
解:(1)设C(x,y).
由题意,可得·=-2(x≠±1),
∴曲线E的方程为x2+=1(x≠±1).
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2).
联立,得消去y,
可得6x2+4mx+m2-2=0,
∴Δ=48-8m2>0,∴m2<6.
∵x≠±1,∴m≠±2.
又m≠0,
∴0<m2<6且m2≠4.
∵x1+x2=-,x1x2=,
∴|PQ|=|x1-x2|=·
=·=·.
又点M到直线y=2x+m的距离d=,
∴△MPQ的面积S△MPQ=···=·|m|·= ,
∴S=m2(6-m2)≤=.
∵0<m2<6且m2≠4,∴S∈,
∴△MPQ面积的取值范围为.
2.(本题满分12分)已知函数f(x)=+x2-x(其中e=2.718 28…).
(1)求f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)已知函数g(x)=-aln[f(x)-x2+x]--ln x-a+1,若对任意x≥1,g(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
解:(1)由题意得f′(x)=+2x-1,f(1)=,
所以f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线斜率为f′(1)=1,
所以f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y-=x-1,即ex-ey-e+1=0.
(2)由题意知函数g(x)=-(a+1)ln x+ax--a+1,
所以g′(x)=-+a+==,
①若a≤0,当x≥1时,g′(x)≤0,所以g(x)在[1,+∞)上是减函数,故g(x)≤g(1)=0;
②若0<a<1,则>1,当1<x<时,g′(x)<0,当x>时,g′(x)>0,所以g(x)在上是减函数,在上是增函数,故当1<x<时,g(x)<g(1)=0;
③若a≥1,则0<≤1,当x≥1时,g′(x)≥0,所以g(x)在[1,+∞)上是增函数,所以g(x)≥g(1)=0.
综上,实数a的取值范围为[1,+∞).
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