2025届全国各地高三模拟试题分类精编05三角函数小题 (原卷版+解析版)

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2025届全国各地高三模拟试题分类精编05三角函数小题
考点一 三角函数概念
一、单项选择题
1.(2025届北京清华附中朝阳学校、望京学校高三上开学检测T8)已知实数“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A【解】当时，，
且，充分性成立；
当时，未必有，
例如时，此时，但不满足.
所以实数“”是“”的充分而不必要条件.故选：A.
二．填空题：
1.(2025届北京清华附中朝阳学校、望京学校高三上开学检测T11)如图所示，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点在第二象限，，则点的坐标为__________．
【答案】【解】∵，∴，∴．故答案为
考点二 三角恒等变换
一、单项选择题
1.(2025届成都市郫都区高三三模T4)，，，则( )
A. B. C. D.
【答案】B【分析】由得，由，可得，由差角公式可解.
【解】由，可得，又，所以，
故，，解得，故选：B.
2.(2025届烟台市、东营市高三联考一模T3)已知，则( )
A. B. C. D. 2
【答案】C【分析】应用诱导公式化简，再由弦化切求值即可.
【解】由；故选：C.
3.(2025届安徽皖南八校高三8月考试T5)已知，则值为( )
A. B. C. D. 1
【答案】C【解】因为，所以，
，即，
所以，解得(负根舍去).故选：C．
4.(2025届福建省漳州市高三第一次质量检测T4)若，则( )
A. B. C. D.
【答案】C【解】由，得，即，
由，得，故，
则，故选：C
5.(2025届广东省八校高三上8月联考T4)已知，则( )
A. B. C. D. 1
【答案】C【解】由，
由，
可得，所以；故选：C
6.(2025届广东省高三毕业班第一次调研考试T4)已知 ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B【解】由题干得
所以 ，故选：B.
7.(2025届广东省六校高三第一次联考T4)已知，，则( )
A. B. C. D.
【答案】C【解】因为，所以，
因为，所以，故，，，，
所以，，所以；故选：C.
8.(2025届黑龙江省大庆市高三上第一次质量检测T7)已知，且，则( )
A. -1 B. C. D.
【答案】D【解】由题意得，则，
又因为，所以，同号，
又因为，则，同正，
所以，则，所以，
所以，故D正确；故选：D.
9.(2025届湖南省部分学校高三开学联考T6)已知，则( )
A. B. C. D.
【答案】A【解】∵
，
∴，∴，故选：A．
10.(2025届湖南省湖南师大附中高三上第一次月考T6)，则( )
A. B. C. D.
【答案】D【解】由已知可得，解得
，，，故选：D．
11.(2025届湖南省名校高三上第二次联考T6)若为锐角，且，则( )
A. B. C. D.
【答案】B【解】，
所以，因为为锐角，故.故选：B
12.(2025届湖南省名校高三上入学摸底联考T4)已知，则( )
A. B. C. D.
【答案】A【解】因为，又，
则可得；所以，故选：A.
13.(2025届湖南省宁远县三中等高三上入学联考T5)若，则( )
A. B. C. D.
【答案】B【解】因为，所以，
所以，故选：B
14.(2025届湖南省长沙市周南中学高三第一阶段考试T6)已知，，则( )
A. B. C. D.
【答案】A【解】由得，由得，
联立方程得：，，所以；故选：A
15.(2025届江苏省常州市高三上第一次质量测试T3)，，，若，则( )
A. B. C. D.
【答案】B【解】因为，所以，
，，所以或，
又，所以，所以，所以，故选：B.
16.(2025届江苏省高三云帆杯8月学情调研考试T4)已知，，，则( )
A. B. C. D.
【答案】B【解】因为且，；所以；
因为且，；所以,
所以
；故选：B.
17.(2025届高三天枢杯第二届线上联考T9)不是方程的解的选项是( )
A. B. C. D.
【答案】B【解】由于，
由于，其中，，，由可得，
结合三倍角公式可得当时，，
故只需要，且即可，故，，均是方程的根，
但，故不是方程的根；故选：B
18.(2025届江苏省海门中学高三第一次调研考试T7)锐角、满足，若，则( )
A B. C. D.
【答案】B【解】由，
所以，
所以；
又、均为锐角，所以，所以；所以；故选：B
19.(2025届江西省多所学校第一次大联考T5)锐角满足，则( )
A. B. C. D.
【答案】A【解】因为，
所以，
又因为为锐角，则，而在上单调递减，
从而，即；故选：A.
20.(2025届宁夏宁朔中学高三上开学考试T6)已知角，满足，，则( )
A. B. C. D.
【答案】A【解】，，
，，
，故选：A.
21.(2025届山东省招远二中等校高三上摸底联考T7)若，则( )
A. B. C. D.
【答案】C【解】，
；故选：C.
22.(2025届山西省大同市高三第一次学情调研T3)已知，且，则( )
A. B. C. D.
【答案】D【解】因为,
整理得,又,所以.故选：D.
23.(2025届陕西省宝鸡市金台区高三上第一次模拟T4)若，且，则( )
A. B. C. D.
【答案】D【解】因为，又，即，
则，所以，
故.故选：D
24.(2025届四川省高三上入学摸底考试T3)，则( )
A. B. C. D.
【答案】D【解】由，
则，因此可得，故选：D.
25.(2025届浙江省部分学校高三上返校联考T4)已知，则( )
A. B. C. D.
【答案】A【解】，，解得：，
．故选：A.
26.(2025届浙江省数海漫游高三第一次模拟考试T2)已知，，则( )
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】C【解】因为，且，所以；故选：C.
27.(2025届重庆市南开中学高三8月第三次质量检测T2)已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则( )
A. 0 B. C. D.
【答案】D【解】因为，即，所以，，
所以；故选：D
28.(2025届安徽省部分学校高三上8月联考T6)( )．
A. B. C. D.
【答案】D【解】；故选：D.
29.(2025届江苏省海门中学高三上第一次调研考试T3)已知点是角终边上一点，则( )
A. B. C. D.
【答案】B【解】；所以；故选：B.
二、多项选择题
1.(2025届黑龙江省大庆市高三上第一次质量检测T9)，则下列正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】BC【解】，则，故A错误；
，故B正确；
又，当，则，所以，
所以，即，故C正确；
当，则，所以，所以，故不使得，故D错误；故选：BC
2.(2025届重庆市南开中学高三8月第三次质量检测T10)，则( )
A. 的值域为 B. 是周期函数
C. 在递减 D. 的图像关于直线对称，但不关于点对称
【答案】BCD【解】对于A，．
因为，且，
所以的值域是，A错误．
对于B，的定义域且，
对任意恒有，B正确．
对于C，在有意义，
当时，，
所以在单调递减，C正确．
对于D，，
的图象关于直线对称，且的定义域关于对称，
所以的图像关于直线称．，
的图象关于点对称，但的定义域不关于点对称，
所以的图象不关于点对称，D正确．故选：BCD．
三．填空题：
1.(2025届成都市郫都区高三三模T12)____________.
【答案】【解】
；故答案为.
2.(2025届四川省大数据精准联盟高三上一模T12)已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则________.
【答案】【解】由题意可知，所以，故答案为：
3.(2025届广东省广州市执信中学高三上第三次测试T13)如图，圆与轴的正半轴的交点为，点，在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为，.若，则的值为____________.
【答案】【解】圆的半径为1；又，
为等边三角形；，且为锐角.
.
由三角函数的定义可得，；故答案为：.
4.(2025届上海新高三开学摸底T6)若，则　　．
【答案】【解】，，．故答案为：．
5.(2025届安徽省江淮十校高三第一次联考T12)已知，则______．
【答案】或．【解】
当,
当；故答案为：或.
考点三 三角函数图象性质
一、单项选择题
1.(2025成都市川师附中二诊模拟T4)已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则( )
A. B. C. 1 D. 0
【答案】B【分析】根据图象求出的解析式，再由图象平移确定的解析式，进而求函数值.
【解】由图知，则，由，则，
可得，又，则，故，
由题意，故.故选：B
2.(2025届成都七中高新校区二诊模拟T8)已知函数的图象如图所示，图象与轴的交点为，与轴的交点为，最高点，且满足．若将的图象向左平移1个单位得到的图象对应的函数为，则( )
A. B. 0 C. D.
【答案】A【分析】根据图象，利用正弦型函数的性质、向量垂直的充要条件以及诱导公式进行求解.
【解】由图象可知，，所以，又，所以，
所以，又，所以，
又，所以，所以，所以点的坐标为，
因为，所以，即，又，解得，
所以，将的图象向左平移1个单位，得到的图象对应的函数为:
，
所以，故选：A.
3.(2025届四川省自贡市二模T7)已知函数的部分图象如图所示，为图象与轴的交点，为图象与轴的一个交点，且.若实数，满足，则( )
A. B. 0 C. D. 2
【答案】C【分析】先根据函数图象确定的值，再利用、两点坐标及距离公式求出点纵坐标，进而确定，然后求出得到函数表达式，最后根据计算.
【解】由的图象可知，，则.
已知，设，根据两点间距离公式，因为，
所以，即，解得(由图象可知点纵坐标为负).
因为在的图象上，所以，即，
又因为，所以，则.
因为在的图象上，所以，即，，
，，.
由图象可知，(为函数周期)，，又，所以，，
当时，满足条件，所以.
因为的最大值为，最小值为，已知，所以，一个为，一个为.
不妨设，，则，，解得；，，
解得；所以；将代入得：
；故选：C.
4.(2025届湖南省名校高三上第二次联考T5)函数在()内没有最小值，且存在，使得，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B【解】当时，此时
，； ，，
不满足存在，使得，故排除A,D
当时，此时
，， ，
，，此时不满足题意，故排除C；综上所述B正确；故选：B
5.(2025解湖南省长郡中学高三上第一次调研考试T7)函数，对于任意的，，都恒成立，且函数在上单调递增，则的值为( )
A. 3 B. 9 C. 3或9 D.
【答案】A【解】设周期为，在上单调递增，所以，得，因此．
由知的图象关于直线对称，则①．
由知图象关于点对称，则②．
②①得，令，则，
结合可得或9．
当时，代入①得，又，所以，
此时，因为，故在上单调递增，符合题意；
当时，代入①得，，又，所以，此时，
因为，故在上不是单调递增的，所以不符合题意，应舍去．
综上，的值为3．故选：A.
6.(2025届湖南省长沙市周南中学高三第一阶段考试T1)在下列区间函数单调递减的是( )
A. B. C. D.
【答案】B【解】根据正弦函数的图象，作出函数的图象，如图所示，
可得函数区间上单调递减；故选：C.
7.(2025届吉林省吉大附中实验学校高三一模T7)将函数的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为( )
A. 7 B. 5 C. 9 D. 11
【答案】D【解】，，，
由题可知，，，解得，，
又，当时，取得最小值11．故选：D．
8.(2025届江苏省海门中学高三上第一次调研考试T8)函数在上只有一个零点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A【解】由，
易知，令，则由题意知；故选：A
9.(2025届山东省部分学校高三上开学联考T7)设函数，若对于任意实数在区间上至少2个零点，至多有3个零点，则取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B【解】令，则，令，则，则原问题转化为
在区间上至少2个，至多有3个t，使得，求得取值范围，
作出与的图象，如图所示，
由图知，满足条件的最短区间长度为，最长区间长度为，
∴，解得．故选：B．
10.(2025届山西省大同市高三第一次学情调研T6)已知函数在区间内有最大值，但无最小值，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A【解】，
因为，所以时，；因为函数在区间内有最大值，无最小值，
结合正弦函数图像得，解得，故选：A.
11.(2025届浙江省部分学校高三上返校联考T7)已知函数，若方程在上有且只有五个实数根，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】C【解】由，
得：或，即，或，
易知由小到大第5、6个正根分别为，；因为方程在上有且只有五个实数根，
所以有且，解得；故选：C.
12.(2025届福建省漳州市高三第一次教学质量检测T7)已知函数，若方程在区间上恰有3个实数根，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C【解】当时，，由题意得在上有3个实根，
即可得，解得，即的取值范围是；故选：C.
13.(2025届广东省广州市执信中学高三上第三次测试T5)在区间上是增函数，且，，则函数在区间上( )
A. 是增函数 B. 是减函数 C. 可以取到最大值 D. 可以取到最小值
【答案】C【解】函数在区间上是增函数，
且，，则当时，，
而函数在区间上先增后减，
所以，函数在区间上先增后减，
当，该函数取到最大值.故选：C.
14.(2025届湖南省部分学校高三开学联考T7)将函数的图象绕原点逆时针旋转角，得到曲线.若曲线始终为函数图象，则的最大值为( )
A. B. C. D. 1
【答案】A【解】令原函数为，即，求导得，
当时，，函数在上单调递增，
函数的图象上点处切线斜率由1逐渐增大到2，记时的点为，
令函数图象在处的切线倾斜角为，则，
曲线在除端点外的任意一点处的切线垂直于轴时，则曲线上存在两点，其横坐标相同，
而曲线始终为函数图象，因此，而，
则，所以的最大值为；故选：A
二、多项选择题
1.(2025届成都七中高新校区二诊模拟T10)在上恰有3个零点，则( )
A. B. 在上单调递减
C. 函数在上最多有3个零点 D. 在上恰有2个极值点
【答案】BC【分析】，根据范围得到的范围，结合图像列出不等式，则得到的范围，利用代入检验法即可判断B选项，对C选项证明达不到四个零点，再列举三个零点的情况即可，对D选项，找到一个值满足3个极值点即可.
【解】，；，，，
函数在上恰有3个零点，故，解得，故A错误，
当，，
，，，
而正弦函数在上单调递减，故函数在上单调递减，故B正确，
令，即，解得
，，，
区间长度为，若在某闭区间上有四个解，
则区间长度至少为，比如，则不可能存在四个解，
当时，即，，
则或或，解得或或，故最多有3个零点，故C正确.
当时，此时，令，；解得，，
则 ，解得，，，
当时，，当时，，当时，，
此时上有3个极值点，故D错误，故选：BC.
【点睛】关键点睛：首先利用辅助角公式将函数化成关于正弦的函数，然后整体法结合图像得到关于的不等式，即可求出其范围，单调性问题可以通过代入检验，零点个数和极值点个数问题，通过寻找特例去证明或反驳，这也是选择题常用的方法.
2.(2025届四川省自贡一中二模T9)已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位得到，则( )
A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增
C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称
【答案】AD【分析】首先求出函数解析式，由周期知A正确；
整体代入法求函数的增区间、对称轴、对称中心知其他选项是否正确.
【解】因为，向右平移个单位得，
对于选项A：则最小正周期为，故A选项正确；
对于选项B：令，解得，
所以单调递增区间为，故B选项错误；
对于选项C：令，解得，故C选项错误；
对于选项D：令，解得所以函数的对称中心为，故D选项正确.
故选：AD.
3.(2025届烟台市、东营市高三一模T9)已知函数，则( )
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称
C. 在区间上的取值范围为
D. 的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
【答案】ABD【分析】应用二倍角正余弦公式化简函数式，再应用正弦型函数性质判断A、B、C；根据图象平移写出解析式即可判断D.
【解】由，所以，A对；
，即的图象关于直线对称，B对；
由上，故，C错；
向右平移个单位长度，，D对;故选：ABD
4.(2025届山东省部分学校高三7月联考T10)如图为函数的部分图象，则下列说法中正确的是( )
A. 函数的最小正周期是 B. 函数的图象关于点成中心对称
C. 函数在区间上单调递增
D. 函数图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移后关于轴对称
【答案】BC【解】对于A，由图可知，所以，A错误；
对于B，因，图象过点，所以，
所以，即，所以，
因为，所以点为函数的一个对称中心，B正确；
对于C，，由解得，
所以为函数的一个单调递增区间，所以，在区间上单调递增，C正确；
对于D，将的图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍得，
再向右平移得，为奇函数，D错误；故选：BC
5.(2025届安徽省江淮十校高三第一次联考T10)函数部分图象如图所示，其中，图象向右平移个单位后得到函数的图象，且在上单调递减，则下列说正确的是( )
A. B. 为图象的一条对称轴 C. 可以等于5 D. 的最小值为2
【答案】BD【解】由函数图象，可得，所以，所以，解得，
又由函数的图象过点，且，
当时，可得，所以，
解得，因为，可得；
当时，可得，所以，
解得，因为，不存在，舍去，
综上可得，，，所以，所以A不正确，B正确；
又因为，所以是函数的一条对称轴，所以B正确；
将函数的图象向右平移个单位后，得到，
因为在上单调递减，则满足．解得，
当时，，而，故不可能等于5，所以C错误．
当时，，又因为，所以，所以D正确．故选：BD.
6.(2025届广东省部分学校高三摸底联考T10)如图，与轴的其中两个交点为，，与轴交于点，点为中点，，，，则( )
A. 的图象不关于直线对称 B. 的最小正周期为
C. 图像关于原点对称 D. 在单调递减
【答案】ACD【解】由题可，，，则，
有，；，，
把代入上式，得，解得(负值舍去)，
，，由，解得，；解得，，
对A，，故A正确；对B：的最小正周期为，故B错误；
对C：，为奇函数，故C正确；
对D：当时，，在单调递减，为奇函数，故D正确；故选：ACD.
7.(2025届湖南省部分学校高三开学联考T9)已知函数的最小正周期为，则下列结论中正确的是( )
A. 的图像关于点对称 B. 的图像关于直线对称
C. 在上单调递增 D. 在区间上的值域为
【答案】BCD【解】，故，故，
对于A, ,故的图像关于点对称，A错误，
对于B，，的图像关于直线对称，故B正确，
对于C，当时，，故在上单调递增，C正确，
对于D，时，，故，故，D正确，故选：BCD
8.(2025届湖南省衡阳县一中高三上开学考试T10)函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )
A. B. 函数在区间上单调递增
C. D. 函数的图象关于直线对称
【答案】BC【解】由图象可知，，解得，所以，
将点代入中，得，解得，
又，所以，所以，故A错误；
所以函数的解析式为；由，得，令，
则在上单调递增，所以函数在区间上单调递增，故B正确；
，故C正确；
，
所以函数的图象不关于直线对称，故D错误；故选：BC.
9.(2025届湖南省湖南师大附中高三上第一次月考T10)已知函数，则( )
A. 的一个对称中心为
B. 的图象向右平移个单位长度后得到的是奇函数的图象
C. 在区间上单调递增
D. 若在区间上与有且只有6个交点，则
【答案】BD【解】对于A，由，故A错误；
对于B，的图象向右平移个单位长度后得：
，为奇函数，故B正确；
对于C，当时，则，所以:在区间上单调递减，故C错误；
对于D，由，得，解得或，
在区间上与有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为：，
而第7个交点的横坐标为，，故D正确；故选：BD
10.(2025届湖南省临湘市一中高三上入学考试T10)已知函数(，)，函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是( )
A. 的表达式可以写成
B. 的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是奇函数
C. 的对称中心(，1)，
D. 若方程在(0，m)上有且只有6个根，则
【答案】AB【解】对A，由图分析可知：得；
由，得，即，又，所以，
又，所以，即得，，又，
所以，所以，故A正确；
对B，向右平移个单位后得
，为奇函数，故B正确；
对于C，，令()得()，
所以对称中心(，1)，，故C不正确；
对于D，由，得，因为，所以，
令，，，，，，解得，，，，，．
又在(0，m)上有6个根，则根从小到大为，，，，，，
再令，解得，则第7个根为，，故D错误．故选：AB．
11.(2025届湖南省宁远县三中等高三上入学联考T10)，则下列结论正确的是( )
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称
C. 的一个零点为 D. 最大值为1
【答案】AC【解】，故A正确；，所以不是对称轴，故B错误；
，所以是的一个零点，故C正确；
因为振幅，所以的最大值为，故D错误；故选：AC.
12.(2025届湖南省岳阳县一中高三上入学考试T10)函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是( )
A. B. 函数的图象关于点对称
C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在上单调递减
【答案】ABD【解】函数，当，此时，
，因为，所以，所以，故A正确；
，所以关于点对称，故B正确；
函数图象向左平移个单位长度后得到，，
当时，，所以函数的图象不关于直线对称，故C错误；
，当时，，
所以函数在上单调递减，故D正确；故选：ABD
13.(2025届吉林省吉大附中实验学校高三一模T9)已知向量，则( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 的最大值为5 D. 若，则
【答案】AD【解】因为，，所以，，
对于A，若，则，所以，故A正确；
对于B，若，则，所以，
又，解得或，故B错误；
对于C，，其中，
当时，取得最大值，故C错误；
对于D，若，则，即，所以，
所以，故D正确；故选：AD.
14.(2025届江苏省常州市高三上第一次质量测试T9)，下列说法正确的是( )
A. 最小正周期为 B. 点为图象的一个对称中心
C. 若在上有两个实数根，则
D. 若的导函数为，则函数的最大值为
【答案】ACD【解】由题意可得，故A正确；
，所以不是图象的一个对称中心，故B错误；
令，由得，
可转化为直线与曲线，有两个交点，数形结合可得，故C正确；
设为的导函数，则，其中，
当且仅当，即当且仅当时等号成立，故D正确，故选：ACD．
15.(2025届江苏省高三云帆杯8月调研考试T9)已知函数，则下列函数为周期函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】ABD【解】不妨令表示四个选项中的对应函数，
对于A，易知， 注意到，
因此为周期函数，故A正确；
对于B，
注意到，
因此为周期函数，故B正确；
对于D，
注意到，
因此为周期函数，故D正确；
对于C，易知，假设存在正常数T，使得恒成立，
分别取，得：，
，．
不妨设，其中，
，，
由于，而为无理数，则上式不恒成立，∴T不存在，不是周期函数，故C错误．
故选：ABD
16.(2025届江苏省海安高中高三上期初检测T9)下列函数中，在区间上单调递减的函数是( )
A. B. C. D.
【答案】AC【解】A选项，对于，由，得，
所以在区间上单调递减的函数，A选项正确.
B选项，对于，由，得，不符合题意.
C选项，由，得，且，
所以在区间上单调递减的函数，C选项正确.
D选项，对于，由，得，不符合题意；故选：AC
17.(2025届江苏省海安高中高三上期初检测T11)．则下列结论正确的是( )
A. 图像关于点中心对称 B. 图像关于直线对称
C. 的最大值为 D. 既是奇函数又是周期函数
【答案】ABD【解】A：因为，
，所以，
因此图像关于点中心对称，所以本选项结论正确；
B：因为，，
所以，因此图像关于直线对称，所以本选项结论正确；
C：，
设，所以，
当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，函数有极大值，
极大值为：，而，所以函数的最大值为，因此本选项结论不正确；
D：因为，所以是奇函数，
因为，
所以是周期函数，因此本选项结论正确，故选：ABD
18.(2025届山东省招远二中等校高三上摸底联考T9)函数的部分图象如图所示，令，则( )
A. 的一个对称中心是 B. 的对称轴方程为
C. 在上的值域为 D. 的单调递减区间为
【答案】ABD【解】由题图可得函数的最小值为，
，又，，，所以，
结合对称性可得函数的图象过点，
所以，解得，又，所以，
所以，所以，
所以.
对于A，当，，所以是的一个对称中心，故A正确；
对于B，令，，可得，，故的对称轴为，，故B正确；
对于C，时，，所以，故在上值域为，故C错误；
对于D，令，解得，
所以的单调递减区间为，故D正确；故选：ABD.
19.(2025届四川省大数据精准联盟高三一模T9)的最小正周期为，则( )
A. 的最大值为2
B. 在上单调递增
C. 的图象关于点中心对称
D. 的图象可由的图象向右平移个单位得到
【答案】ACD【解】易知，其最小正周期为，
所以，即，显然，故A正确；
令，
显然区间不是区间的子区间，故B错误；
令，则是的一个对称中心，故C正确；
将的图象向右平移个单位得到
，故D正确；故选：ACD
20.(2025届四川省高三上入学摸底考试T9)已知函数，则( )
A. 的最小正周期为 B. 与有相同的最小值
C. 直线为图象的一条对称轴 D. 将向左平移个单位长度后得到的图像
【答案】ABD【解】因为，
对于选项A：的最小正周期，故A正确；
对于选项B：与的最小值均为，故B正确；
对于选项C：因为，可知直线不为图象的对称轴，故C错误；
对于选项D：将向左平移个单位长度后，得到，故D正确.
故选：ABD.
三．填空题：
1.(2025届山东省部分学校高三7月联考T13)已知函数在区间内恰有3个零点，则的取值范围是______．
【答案】【解】，
当时，，由于函数在区间内恰有3个零点，
则有，解得，所以的取值范围是；故答案为：
2.(2025届安徽省部分学校高三上8月联考T13)已知函数在区间上单调递增，且，则__________．
【答案】【解】由，，
且的最大值为，最小值为，由，
可知当且仅当且时等式成立.
又函数在区间上单调递增，故与为两条相邻的对称轴，
所以周期，从而，故，故，
，由代入解析式可得，
则，则，故；故答案为：.
3.(2025届安徽皖南八校高三8月摸底考试T13)已知函数与的图象上任意3个相邻的交点构成直角三角形，则______．
【答案】【解】如图，设与的交点分别为，
由得，所以，则，
由对称性和已知可得为等腰直角三角形，所以点到直线的距离为，
即，解得．故答案为：
4.(2025届广东省六校高三八月第一次联考T13)若函数与在区间上均单调递增，则实数的取值范围为___________.
【答案】【解】当时，不具备单调性，
当时，，
若在区间上单调递增，则在在区间上单调递减，
可得，因为在上是单调递增的，
所以在上不可能单调递减，所以不成立，于是.
若函数在区间上单调递增，则，，
若函数在区间上单调递增，则，，
因为，所以时，，综上所述，；故答案为：.
5.(2025届湖南省名校高三上入学摸底联考T12)将函数的图象沿轴向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的值为__________.
【答案】1【解】由已知得，所以；故答案为：1.
6.(2025届江西省多所学校第一次大联考T13)已知函数在区间内恰有两个极值点，则实数的取值范围为__________.
【答案】【解】当时，，由函数在内恰有两个极值点，
可知，解得；故答案为：
7.(2025届山东省泰安市部分学校高三上摸底联考T14)设是正实数，若函数在上至少存在两个极大值点，则的取值范围是______.
【答案】【解】令，解得，.
若在上无极大值点，则存在实数，使得，
整理得到，解得，
因为且存在，故，或，故或.
若在上有且只有一个极大值点，
则存在实数，使得，或，
解得①或者②，
对于①，因且存在，故且，故整数满足，
当时，，当时，，当时，，故
对于②，同理可得
综上，在上无极大值点和有且只有一个极大值点时，.
故函数在上至少存在两个极大值点，；故答案为：.
考点四 解三角形
一、单项选择题
1.(2025届成都市川师附中二诊模拟T8)在中，若的平分线的长为，则边上的高线的长等于( )
A. B. C. 2 D.
【答案】B【分析】由可得的值，进而可求得、的值，结合余弦定理可得，由等面积法可求得.
【解】由题意知，设，则，如图所示，
由可得，整理得，
即，又因为，所以，
所以，所以，
在中，由余弦定理得，所以，
由可得，解得;故选：B.
2.(2025届河南省部分学校高三7月联考T2)在中，角的对边分别为，若，则中角B的大小是( )
A. B. C. D.
【答案】D【解】设，则，
由余弦定理得，又，所以；故选：D.
3.(2025届河南省部分学校高三7月联考T6)冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象 新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了，如图，测得，若点恰好在边上，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C【解】在中，由余弦定理，；
因为，所以，
在中，由正弦定理，所以，解得，故选：C
4.(2025届湖南省衡阳县一中高三上开学考试T5；2025届湖南省临湘市一中高三上入学考试T6) 在△ABC中，，，则( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】B【解】因为，所以，所以；故选：B
5.(2025届湖南省临湘市一中高三上入学考试T2)图1是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A【解】在直角中， ，即，
在直角中；故选：A.
6.(2025届湖南省岳阳县一中高三入学考试T4)在中，，则( )
A. 3 B. 2 C. D. 1
【答案】A【解】因为，所以，
又，所以，
得到，
整理得，所以，故选：A.
7.(2025届吉林省吉大附中实验学校高三一模T4)在中，“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B【解】若，则，故必要；
当，，时，有，，故不充分；故选：B.
8.(2025届江苏省高三云帆杯8月学情调研考试T7)锐角中，，，，则AB边上的高CD长为( )
A. B. C. D.
【答案】D【解】因为且为锐角三角形，可得，所以，
因为为锐角三角形，所以，又，所以，
解得，由正弦定理可得，所认，
设边上的高长为，所以，
；故选：D.
9.(2025届湖南省名校高三上入学摸底联考T6)在中，若，则的大小为( )
A. B. C. D.
【答案】D【解】因为，由正弦定理得，得，
所以，即，
因为，所以，所以，或，
所以，或(舍)，所以，所以；故选：D.
二．填空题：
1.(2025届广东省部分学校高三上开学摸底联考T12)在，角，，所对的边分别为，，，，交AC于点，且，则的最小值为___________．
【答案】【解】，，
，，，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，故答案：
2.(2025届广东省深圳红岭中学教育集团高三上第一次统考T13)已知a、b、c分别为的三个内角A、B、C的对边，，且，则面积的最大值为______．
【答案】【解】因为，根据正弦定理可知，
即，由余弦定理可知，又，故，
又因为，所以，(当且仅当时取等号)，
即；所以，即面积的最大值为，故答案为：.
3.(2025届吉林省吉林大学附中实验学校高三一模T13)在中，若，则的值为______.
【答案】2023【解】因为，
由余弦定理得，所以，
所以，
故答案为：2023.