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(浙江版)2020年高考数学一轮复习:同角三角函数的基本关系及诱导公式(讲解) 第四章 三角函数与解三角形 同角三角函数的基本关系及诱导公式 - 1. 理解同角三角函数的基本关系. 2. 掌握正弦、余弦、正切的诱导公式. 3.高考预测: (1)1.公式的应用. (2)高考对同角三角函数基本关系式和诱导公式的考查方式以小题或在大题中应用为主. 4.备考重点: (1)掌握诱导公式,注意灵活运用诱导公式进行三角函数的求值运算和沟通角度之间的联系; (2)掌握同角三角函数基本关系式,注意同角的三个函数值中知一求二. 知识点1.同角三角函数的基本关系式 同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1(α∈R). (2)商数关系:tan α=. 【典例1】(2019·北京高考模拟(文))已知,且,那么( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 因为, >0,故 即, 又, 解得: 故选 :B 【规律方法】 同角三角函数关系式的应用方法 (1)利用sin2α+cos2α=1可实现α的正弦、余弦的互化,利用=tanα可以实现角α的弦切互化. (2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值,因为利用“平方关系”公式,需求平方根,会出现两解,需根据角所在的象限判断符号,当角所在的象限不明确时,要进行分类讨论. 【变式1】(2019·全国高考模拟(文))若α∈(,π),sinα=,则tanα=(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ∵α∈(,π),且sinα= ,∴cosα=,则tan . 故选:C. 知识点2.利用诱导公式化简求值 六组诱导公式  角函数  2kπ+α(k∈Z) π+α -α π-α -α +α 正弦 sin_α -sin_α -sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos_α -cos_α cos_α -cos_α sin_α -sin_α 正切 tan_α tan_α -tan_α -tan_α 对于角“±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”,“奇变偶不变”是指“当k为奇数时,正弦变余弦,余弦变正弦;当k为偶数时,函数名不变”.“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时,原函数值的符号” 【典例2】(2016·全国高考真题(文))已知θ是第四象限角,且sin(θ+)=,则tan(θ–)= . 【答案】 【解析】 ∵θ是第四象限角, ∴,则, 又sin(θ), ∴cos(θ). ∴cos()=sin(θ),sin()=cos(θ). 则tan(θ)=﹣tan(). 故答案为:. 【总结提升】 用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有-α与+α, +α与-α, +α与-α等,常见的互补关系有-θ与+θ, +θ与-θ, +θ与-θ等. 【变式2】(2019·陕西高考模拟(文))已知,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ,由诱导公式即可求解. 因为,则.故应选C. 知识点3.特殊角的三角函数值(熟记) 【典例3】求值:sin(-1 200°)cos1 290°+cos(-1 020°)·sin(-1 050°)= . 【答案】1 【解析】原式 【总结提升】 利用诱导公式化简求值的步骤:(1)负化正;(2)大化小;(3)小化锐;(4)锐求值. 【变式3】(2019·云南省玉溪第一中学高考模拟(文))等于( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由题,故选C. 考点1 同角三角函数的基本关系式 【典例4】(2019·上海高考模拟)设且,若,则______. 【答案】1 【解析】 设且,若, 所以:, =1, 又+=1, , =1, 又 = = = , 故答案为:1. 【总结提升】 (1)应用公式时注意方程思想的应用:对于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子,利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,可以知一求二. (2)注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α. 【变式4】(2019·江苏高考模拟)在平面直角坐标系中,若曲线与在上交点的横坐标为,则的值为_ __. 【答案】 【解析】 由题可得:,解得:,又 所以 又,解得: 所以 考点2 sinαcosα与sinαcosα的关系及应用 【典例5】(2019·山东高三期末(理))已知,,则( ) A. B. C.或 D.或 【答案】B 【解析】 由题意知,,① ,即, ,为钝角,, , , ,② 由①②解得, ,故选B. 【规律方法】 三角函数求值与化简必会的三种方法 (1)弦切互化法:主要利用公式tan α=;形如,等类型可进行弦化切. (2)“1”的灵活代换法:等. (3)和积转换法:利用的关系进行变形、转化. 【变式5】(2018·河北高考模拟(理))已知,,则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ∵,∴, ∴,又∵,∴,∴, ∴,故选B. 考点3 利用诱导公式化简求值 【典例6】化简 【答案】当时,原式;当时,原式. 【解析】(1)当时, 原式; (2)当时, 原式. 【规律方法】 1.利用诱导公式化简三角函数的基本思路:(1)分析结构特点,选择恰当公式;(2)利用公式化成单角三角函数;(3)整理得最简形式. 2.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值. 【变式6】(2018届贵州省贵阳市适应性考试(二))已知,且,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ∵ ∴ ∵ ∴,则. ∵ ∴ 故选A. 考点4 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 【典例7】(2018·山东高三期中(文))若是的一个内角,且,则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 已知是的一个内角,则0<θ<π,结合, 可知sinθ>0,cosθ<0, =sinθ-cosθ,∵ ∴, ∴.故选D. 【总结提升】 三角形中的三角函数关系式 【变式7】(2019·河北高考模拟(文))已知,且为第三象限角,则( ) A. B.- C. D. 【答案】B 【解析】 ∵,∴. ∵, ∴,即, 又∵为第三象限角,∴. 故选B.
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  • 资料类型: 学案
  • 资料版本:人教新课标A版
  • 适用地区:浙江省
  • 文件大小:800.5KB
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