[ID:3-6717325] 2019-2020学年江西省吉安市四校高二(上)期中数学试卷(文科) word版试卷 ...
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资料简介:
2019-2020学年高二(上)期中数学试卷(文科) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.直线l:x+y﹣3=0的倾斜角为(  ) A.30° B.60° C.120° D.90° 2.已知直线l:y+m(x+1)=0与直线my﹣(2m+1)x=1平行,则直线l在x轴上的截距是(  ) A.1 B. C.﹣1 D.﹣2 3.下列说法正确的是(  ) A.命题“?x>0,sinx≤x”的否定是“?x≤0,sinx>x B.命题“若x≠y,则sinx≠siny”的逆否命题是真命题 C.两平行线2x+2y﹣1=0与2x+2y﹣3=0之间的距离为 D.直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay﹣2=0,l1⊥l2的充要条件是a=±1 4.已知命题p:?x∈R,;命题q:?x0∈R,sinx0>1,则下列命题中为真命题的是(  ) A.¬p∧¬q B.p∧¬q C.¬p∧q D.p∧q 5.直线l与圆x2+y2+2x﹣4y+1=0相交于A,B两点,若弦AB的中点(﹣2,3),则直线l的方程为(  ) A.x+y﹣3=0 B.x+y﹣1=0 C.x﹣y+5=0 D.x﹣y﹣5=0 6.设m,n是两条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,给出下列命题: ①若m⊥α,n∥α,则m⊥n; ②若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ; ③若m∥α,m∥β,则α∥β; ④若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β. 其中正确命题的序号是(  ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 7.设F1,F2是椭圆+=1(a>b>0)的左右焦点,过点F1,F2作x轴的垂线交椭圆四点构成一个正方形,则椭圆的离心率e为(  ) A. B. C. D. 8.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是(  ) A.2+ B.4+ C.2+2 D.5 9.若实数x,y满足,则z=2x+y的最大值为(  ) A.3 B.4 C.8 D.9 10.当曲线y=﹣与直线kx﹣y+2k﹣4=0有两个相异的交点时,实数k的取值范围是(  ) A.(0,) B.(,] C.(,1] D.(,+∞) 11.直线与圆O:x2+y2=4交于A、B两点,则=(  ) A.2 B.﹣2 C.4 D.﹣4 12.已知四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,,PA=PD=AD=3,则四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为(  ) A.20π B.18π C.16π D.12π 二、填空题(每大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.等腰梯形ABCD中,上底CD=1,腰,下底AB=3,以下底所在直线为x轴,则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为   . 14.一个圆锥的表面积为πa(cm2),且它的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的底面半径为   . 15.已知P:A={x|(x﹣1)(x﹣2)>0},q:B={x|x﹣a≤0},若p是q的必要不充分条件,则实数{x|x﹣a≤0}的取值范围为   . 16.已知过点(2,4)的直线l被圆C:x2+y2﹣2x﹣4y﹣5=0截得的弦长为6,则直线l的方程为   . 三、解答题 17.已知命题p:关于x的方程x2﹣ax+4=0有实根;命题q:关于x的函数y=2x2+ax+4在[3,+∞)上是增函数,若“p或q”是真命题,“p且q”是假命题,求实数a的取值范围. 18.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,PA⊥底面ABCD,PA=1,点M是棱PC上的一点,且AM⊥PB. (Ⅰ)求三棱锥C﹣PBD的体积; (Ⅱ)证明:AM⊥平面PBD. 19.已知圆C经过点A(﹣2,0),B(0,2),且圆心C在直线y=x上,又直线l:y=kx+1与圆C相交于P、Q两点. (1)求圆C的方程; (2)若,求实数k的值. 20.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,∠DAB=60°,PD⊥底面ABCD,PD=DC=2,E,F,G分别是AB,PB,CD的中点. (1)求证:AC⊥PB; (2)求证:GF∥平面PAD; (3)求点G到平面PAB的距离. 21.如图(1)在四边形PBCD中,BC∥PD,AB⊥PD,PA=6,AB=BC=4,AD=8,沿AB把三角形PAB折起,使P,D两点的距离为10,得到如图(2)所示图形. (Ⅰ)求证:平面PCD⊥平面PAC; (Ⅱ)若点E是PD的中点,求三棱锥A﹣PCE的体积. 22.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率是,A1,A2分别为椭圆E的左右顶点,B为上顶点,△A1BA2的面积为2.直线l过点D(1,0)且与椭圆E交于P,Q两点. (1)求椭圆E的标准方程; (2)求△OPQ面积的最大值; (3)设直线A1P与直线QA2交于点N,证明:点N在定直线上,并写出该直线方程. 参考答案 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.直线l:x+y﹣3=0的倾斜角为(  ) A.30° B.60° C.120° D.90° 解:直线l:x+y﹣3=0, 可得y=3﹣x, 即有直线的斜率为k=﹣, 设倾斜角为α, 即有tanα=﹣, 由α为钝角,可得α=120°, 故选:C. 2.已知直线l:y+m(x+1)=0与直线my﹣(2m+1)x=1平行,则直线l在x轴上的截距是(  ) A.1 B. C.﹣1 D.﹣2 解:化直线的方程为一般式可得 l:mx+y+m=0,(2m+1)x﹣my=1=0, 由直线平行可得(2m+1)=﹣m2, 解得m=﹣1, 经验证当m=﹣1时,满足两直线平行, ∴直线l:y﹣x﹣1=0, 令y=0可得x=﹣1, ∴直线l在x轴上的截距为:﹣1 故选:C. 3.下列说法正确的是(  ) A.命题“?x>0,sinx≤x”的否定是“?x≤0,sinx>x B.命题“若x≠y,则sinx≠siny”的逆否命题是真命题 C.两平行线2x+2y﹣1=0与2x+2y﹣3=0之间的距离为 D.直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay﹣2=0,l1⊥l2的充要条件是a=±1 解:命题“?x>0,sinx≤x”的否定是“?x>0,sinx>x,所以A错误; 命题“若x≠y,则sinx≠siny”为假命题,故其逆否命题为假命题,所以B错误; 两平行线2x+2y﹣1=0与2x+2y﹣3=0之间的距离为:=,所以C正确; 直线l1:ax+y+1=0,l2:x+ay﹣2=0,l1⊥l2的充要条件是a=0,故D不正确; 故选:C. 4.已知命题p:?x∈R,;命题q:?x0∈R,sinx0>1,则下列命题中为真命题的是(  ) A.¬p∧¬q B.p∧¬q C.¬p∧q D.p∧q 解:∵x2+2x+3=(x+1)2+2≥2, ∴log2(x2+2x+3)≥log22=1, 即命题p是假命题, ∵?x∈R,﹣1≤sinx≤1,∴命题q是假命题, 则¬p∧¬q是真命题,其余为假命题, 故选:A. 5.直线l与圆x2+y2+2x﹣4y+1=0相交于A,B两点,若弦AB的中点(﹣2,3),则直线l的方程为(  ) A.x+y﹣3=0 B.x+y﹣1=0 C.x﹣y+5=0 D.x﹣y﹣5=0 解:圆x2+y2+2x﹣4y+1=0化为标准方程为(x+1)2+(y﹣2)2=4,圆心坐标为C(﹣1,2). ∵弦AB的中点D(﹣2,3), ∴kCD==﹣1, ∴直线l的斜率为1, ∴直线l的方程为y﹣3=x+2,即x﹣y+5=0. 故选:C. 6.设m,n是两条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,给出下列命题: ①若m⊥α,n∥α,则m⊥n; ②若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ; ③若m∥α,m∥β,则α∥β; ④若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β. 其中正确命题的序号是(  ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 解:①若n∥α,经过n的平面与α交于a,根据线面平行的性质定理,可得n∥a,m⊥α,则m⊥a,∴m⊥n,正确; ②若α∥β,β∥γ,则α∥γ,由m⊥α,可得m⊥γ,正确; ③若m∥α,m∥β,则α∥β或α,β相交,故不正确; ④若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β或α,β相交,故不正确; 故选:A. 7.设F1,F2是椭圆+=1(a>b>0)的左右焦点,过点F1,F2作x轴的垂线交椭圆四点构成一个正方形,则椭圆的离心率e为(  ) A. B. C. D. 解:F1,F2是椭圆+=1(a>b>0)的左右焦点,过点F1,F2作x轴的垂线交椭圆四点构成一个正方形,所以(c,c)是椭圆上的点,可得:, 即, a2c2﹣c4+a2c2=a4﹣a2c2, 可得e4﹣3e2+1=0.解得e==. 故选:B. 8.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是(  ) A.2+ B.4+ C.2+2 D.5 解:根据三视图可判断直观图为: OA⊥面ABC,AC=AB,E为BC中点, EA=2,EC=EB=1,OA=1, ∴可得AE⊥BC,BC⊥OA, 由直线与平面垂直的判定定理得:BC⊥面AEO,AC=,OE= ∴S△ABC=2×2=2,S△OAC=S△OAB=×1=. S△BCO=2×=. 故该三棱锥的表面积是2, 故选:C. 9.若实数x,y满足,则z=2x+y的最大值为(  ) A.3 B.4 C.8 D.9 解:由实数x,y满足,画出可行域如图: 目标函数z=2x+y可化为:y=﹣2x+z, 得到一簇斜率为﹣2,截距为z的平行线, 要求z的最大值,须满足截距最大, ∴当目标函数过点A时截距最大, 又,∴x=2,y=4, ∴点A的坐标为(2,4), ∴z的最大值为:2×2+4=8; 故选:C. 10.当曲线y=﹣与直线kx﹣y+2k﹣4=0有两个相异的交点时,实数k的取值范围是(  ) A.(0,) B.(,] C.(,1] D.(,+∞) 解:如图,曲线y=﹣是以O(0,0)为圆心,以2为半径的下半圆, 直线kx﹣y+2k﹣4=0过定点D(﹣2,﹣4), A(﹣2,0),B(2,0),kBD==1, 设直线kx﹣y+2k﹣4=0与圆相切时, 圆心O(0,0)到直线的距离: d==2,解得k=, 结合图形得当曲线y=﹣与直线kx﹣y+2k﹣4=0有两个相异的交点时, 实数k的取值范围是(,1]. 故选:C. 11.直线与圆O:x2+y2=4交于A、B两点,则=(  ) A.2 B.﹣2 C.4 D.﹣4 解:圆O:x2+y2=4的圆心是(0,0),由此知圆心到直线的距离是=<2 所以直线与圆相交 故AB=2=2=r,所以∠AOB= 所以=2×2×cos=2 故选:A. 12.已知四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,,PA=PD=AD=3,则四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为(  ) A.20π B.18π C.16π D.12π 解:由题意,由平面PAD⊥平面ABCD,,PA=PD=AD=3, ∴底面ABCD矩形外接圆半径r=. 四棱锥P﹣ABCD的高为:. 球心与圆心的距离为d,构造直角三角形, 即d2+r2=R2,, 解得:R2=5 ∴四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积S=4πR2=20π. 故选:A. 二、填空题(每大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.等腰梯形ABCD中,上底CD=1,腰,下底AB=3,以下底所在直线为x轴,则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为  . 解:在等腰梯形ABCD中,上底CD=1,腰,下底AB=3, ∴高DE=1, 根据斜二测画法的规则可知,A'B'=AB=3,D'C'=DC=1,O'D'=, 直观图中的高D'F=O'D'sin45°═, ∴直观图A′B′C′D′的面积为, 故答案为:; 14.一个圆锥的表面积为πa(cm2),且它的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的底面半径为 cm . 解:设圆锥的底面半径为r,圆锥的母线为l, 则由πl=2πr,解得l=2r; 又圆锥的表面积为S=πr2+πr?2r=3πr2=πa, 解得r2=,所以r=. 故答案为:cm. 15.已知P:A={x|(x﹣1)(x﹣2)>0},q:B={x|x﹣a≤0},若p是q的必要不充分条件,则实数{x|x﹣a≤0}的取值范围为 (﹣∞,1) . 解:∵P:A={x|(x﹣1)(x﹣2)>0}; ∴P:{x|x<1或x>2}; ∵q:B={x|x﹣a≤0}; ∴q:{x|x≤a}; 又∵p是q的必要不充分条件; ∴a<1; 故a的取值范围为:(﹣∞,1). 16.已知过点(2,4)的直线l被圆C:x2+y2﹣2x﹣4y﹣5=0截得的弦长为6,则直线l的方程为 x﹣2=0或3x﹣4y+10=0 . 解:设过点(2,4)的直线l的方程为y=k(x﹣2)+4, 圆C:x2+y2﹣2x﹣4y﹣5=0的圆心C(1,2),半径r==, 圆心C(1,2)到直线l的距离d==, ∵过点(2,4)的直线l被圆C:x2+y2﹣2x﹣4y﹣5=0截得的弦长为6, ∴由勾股定理得:,即, 解得k=,∴直线l的方程为y=(x﹣2)+4,即3x﹣4y+10=0, 当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=2, 圆心C(1,2)到直线x=2的距离d=1, 满足,故x﹣2=0是直线l的方程. 综上,直线l的方程为x﹣2=0或3x﹣4y+10=0. 故答案为:x﹣2=0或3x﹣4y+10=0. 三、解答题 17.已知命题p:关于x的方程x2﹣ax+4=0有实根;命题q:关于x的函数y=2x2+ax+4在[3,+∞)上是增函数,若“p或q”是真命题,“p且q”是假命题,求实数a的取值范围. 解:若p真:则△=a2﹣4×4≥0 ∴a≤﹣4或a≥4 若q真:, ∴a≥﹣12 由“p或q”是真命题,“p且q”是假命题得:p、q两命题一真一假 当p真q假时:a<﹣12;当p假q真时:﹣4<a<4 综上,a的取值范围为(﹣∞,﹣12)∪(﹣4,4) 18.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,PA⊥底面ABCD,PA=1,点M是棱PC上的一点,且AM⊥PB. (Ⅰ)求三棱锥C﹣PBD的体积; (Ⅱ)证明:AM⊥平面PBD. 解:(Ⅰ)PA⊥底面ABCD,PA=1,即三棱锥P﹣BCD的高为PA=1,,…2分 所以,三棱锥C﹣PBD的体积VC﹣PBD=VP﹣BCD,…4分 =AP?S△BCD=…6分 (Ⅱ)由于PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD,…7分 设AC,BD的交点为O, 由正方形知,BD⊥AC,…8分 所以,BD⊥平面PAC,…9分 从而,BD⊥AM…10分 又AM⊥PB,所以,AM⊥平面PBD…12分 19.已知圆C经过点A(﹣2,0),B(0,2),且圆心C在直线y=x上,又直线l:y=kx+1与圆C相交于P、Q两点. (1)求圆C的方程; (2)若,求实数k的值. 解:(I)设圆C(a,a)半径r.因为圆经过A(﹣2,0),B(0,2) 所以:|AC|=|BC|=r,解得a=0,r=2, 所以C的方程x2+y2=4. (II)方法一: 因为,, 所以,,∠POQ=120°, 所以圆心到直l:kx﹣y+1=0的距离d=1,,所以 k=0. 方法二:P(x1,y1),Q(x2,y2),因,代入消元(1+k2)x2+2kx﹣3=0. 由题意得△=4k2﹣4(1+k2)(﹣3)>0且和 因为, 又y1?y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1, 所以, 化简得:﹣5k2﹣3+3(k2+1)=0, 所以:k2=0即k=0. 20.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,∠DAB=60°,PD⊥底面ABCD,PD=DC=2,E,F,G分别是AB,PB,CD的中点. (1)求证:AC⊥PB; (2)求证:GF∥平面PAD; (3)求点G到平面PAB的距离. 【解答】(1)证明:如图,连接AC,BD, 因为PD⊥面ABCD,且AC?平面ABCD, 所以AC⊥PD, 又因为四边形ABCD为菱形, 所以AC⊥BD, 又PD∩BD=D,PD,BD?平面PBD, 所以AC⊥平面PBD, 又PB?平面PBD, 所以AC⊥PB; (2)证明:如图取PA中点H,连接FH,HD, 因为F为PB中点, 所以HF∥AB,且HF=AB, 又因为四边形ABCD为菱形,且G为CD中点, 所以DG∥AB,且DG=AB, 所以HF∥DG,且HF=DG, 所以四边形HDGF为平行四边形, 所以GF∥HD, 因为GF?平面PAD,HD?平面PAD, 所以GF∥平面PAD, (3)解:设G到平面PAB的距离为h, 因为DC∥AB,DC?平面PAB,AB?平面PAB, 所以DC∥平面PAB, 所以VG﹣PAB=VD﹣PAB=VP﹣ABD, 所以=, 所以h=, 所以G到平面PAB的距离为. 21.如图(1)在四边形PBCD中,BC∥PD,AB⊥PD,PA=6,AB=BC=4,AD=8,沿AB把三角形PAB折起,使P,D两点的距离为10,得到如图(2)所示图形. (Ⅰ)求证:平面PCD⊥平面PAC; (Ⅱ)若点E是PD的中点,求三棱锥A﹣PCE的体积. 【解答】证明:(Ⅰ)由已知在图(2)中,PA=6,AD=8,PD=10, ∴PA2+AD2=PD2,∴PA⊥AD, ∵PA⊥AB,∴PA⊥平面ABCD, ∴PA⊥CD, ∵AB=BC=4,AD=8, ∴由平面几何知识得AC=CD=4, ∴AC2+CD2=AD2,∴AC⊥CD, ∵PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC, ∵CD?平面PCD,∴平面PCD⊥平面PAC. 解:(Ⅱ)由(Ⅰ)知PA⊥平面ABCD, ∴平面PAD⊥平面ABCD, ∵AB⊥AD,且平面PAD与平面ABCD的交线为AD, ∴AB⊥平面PAD, 又∵BC∥AD,∴BC∥平面PAD, ∴三棱锥A﹣PCE的体积: VA﹣PCE=VC﹣PAE=VC﹣PAE=×4=16. 22.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率是,A1,A2分别为椭圆E的左右顶点,B为上顶点,△A1BA2的面积为2.直线l过点D(1,0)且与椭圆E交于P,Q两点. (1)求椭圆E的标准方程; (2)求△OPQ面积的最大值; (3)设直线A1P与直线QA2交于点N,证明:点N在定直线上,并写出该直线方程. 解:由题意知e===, ∴=,即a=2b, ∵△A1BA2的面积为2, ∴ab=2, 解得a=2,b=1, ∴椭圆C的标准方程为+y2=1, (2)PQ斜率不存在时,易知P(1,),Q(1,﹣),此时S△OPQ=, 当直线PQ的斜率存在时,设PQ的方程为y=k(x﹣1),k≠0, 设P(x1,y1),Q(x2,y2), 将y=k(x﹣1)代入+y2=1,整理可得(1+4k2)x2﹣8k2x+4k2﹣4=0, ∴x1+x2=,x1x2=, ∴|x1﹣x2|==, ∴S△OPQ=×1×|y1﹣y2|=?|x1﹣x2|=, 令1+4k2=t,t>1, ∴S△OPQ==<, 故△OPQ面积的最大值 证明(3)PQ斜率不存在时,易知N(4,), 当直线PQ的斜率存在时,直线A1P的方程为y=(x+2),直线A2Q的方程为y=(x﹣2), ∴(x+2)=(x﹣2), ∴=====, 解得x=4,即N点的横坐标为4, 综上所述,点N在定直线x=4上.
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  • 资料类型: 试卷
  • 资料版本:人教A版(2019)
  • 适用地区:江西省吉安市
  • 文件大小:1.04M
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