[ID:3-6603776] 2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高二(上)期中数学试卷(理科)(word解 ...
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2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高二(上)期中数学试卷 (理科) 一、选择题:(本大题共14小题,每小题4分,共56分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.椭圆+=1的离心率是(  ) A. B. C. D. 2.两平行直线2x+y﹣1=0与2x+y+3=0间的距离为(  ) A. B. C. D. 3.若双曲线(a>0)的渐近线方程为,则a的值为(  ) A.2 B.4 C.6 D.8 4.当圆C:x2+y2﹣4x﹣2my+2m=0的面积最小时,m的取值是(  ) A.4 B.3 C.2 D.1 5.P(x0,y0)是抛物线y2=4x上一点,点P到焦点的距离是点P到y轴距离的3倍,则x0=(  ) A. B.1 C. D.2 6.已知F1,F2是双曲线的两个焦点,P为C上一点,且PF1⊥PF2,若△PF1F2的面积是9,则b=(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 7.以抛物线x2=﹣10y的焦点为圆心,为半径的圆,与直线2mx﹣my+1=0相切,则m=(  ) A.或1 B.或1 C.或 D.或﹣1 8.已知两点A(2,0),B(0,4),O为坐标原点,动点P(x,y)在线段AB(不含端点)上运动,过P点分别向x,y轴作垂线,垂足分别为M,N,则四边形PMON的面积的最大值为(  ) A. B.2 C. D.8 9.双曲线x2﹣3y2=3t的一个焦点坐标为(0,4),则t=(  ) A.﹣4 B.﹣2 C.2 D.4 10.直线l过抛物线C:y2=2x的焦点F,且与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限)若|BF|=2,则|AF|=(  ) A. B. C. D. 11.若直线l:x﹣2y=0与双曲线x2﹣ay2=4(a>0)的右支仅有一个公共点,则a的取值范围是(  ) A.(4,+∞) B.[4,+∞) C.(0,4) D.(0,4] 12.已知点M(﹣1,2)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若∠AMB=90°,则k=(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 13.已知双曲线的右支与焦点为F的抛物线(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=6|OF|,则双曲线C1的渐近线方程为(  ) A. B.y=±x C. D. 14.已知过椭圆的左焦点F1且斜率为的直线l与椭圆交于A,B两点.若椭圆上存在一点P,满足=0(其中O为坐标原点),则椭圆的离心率为(  ) A. B. C. D. 二、填空题:(本大题共6小题,每小题4分,共24分.) 15.已知双曲线左、右焦点分别为F1、F2,点P(x,y)在C右支上,若|PF2|=2,则|PF1|=   . 16.已知圆,圆,则两圆的公切线条数是   . 17.点P(x,y)在抛物线y2=4x上,则点P到(0,3)的距离与点P到准线距离之和的最小值是   . 18.已知椭圆左、右焦点分别为F1,F2,若椭圆C上存在四个不同的点P满足,则a的取值范围是   . 19.已知定点F1(﹣2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的垂直平分线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹方程是   . 20.如图,过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线l与C相交于A,B两点,且A,B两点在准线上的射影分别为M,N.若,则=   . 三、解答题:(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 21.已知直线,圆C:x2+y2+4x﹣4y﹣1=0. (1)判断直线l与圆C的位置关系,并证明; (2)若直线l与圆C相交,求出圆C被直线l截得的弦长;否则,求出圆上的点到直线l的最短距离. 22.已知双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,过点. (1)求双曲线标准方程; (2)若直线y=k(x﹣1)与双曲线有两个不同的公共点,求k的取值范围. 23.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F为圆(x﹣1)2+y2=1的圆心,O为坐标原点. (1)求抛物线C的方程; (2)过抛物线C焦点F,作斜率为的直线l交C于A,B两点(A点在第一象限),若,求λ的值. 24.已知椭圆,点A(0,2)与点P在椭圆C上.已知B(2,0),O为坐标原点,且. (1)求椭圆C的方程; (2)已知M(0,8),若Q是椭圆C上一动点,求|QM|的最大值,并写出此时Q点坐标. 25.如图,已知直线l与抛物线y2=x相交于A(x1,y1),B(x2,y2) 两点,O为坐标原点,直线l与x轴相交于点M,且y1y2=﹣1. (1)求证:OA⊥OB; (2)求点M的横坐标; (3)过A,B点分别作抛物线的切线,两条切线交于点Q,求kQM?kAB. 26.已知椭圆的一个顶点为抛物线x2=8y的焦点,点P(x0,y0)在椭圆C上且x0?y0≠0,P关于原点O的对称点为Q,过P作OP的垂线交椭圆于另一点T,连QT交x轴于M. (1)求椭圆C的方程; (2)求证:PM⊥x轴; (3)记△POM的面积为S1,△PQT的面积为S2,求的取值范围. 2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高二(上)期中数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题:(本大题共14小题,每小题4分,共56分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.椭圆+=1的离心率是(  ) A. B. C. D. 【解答】解:椭圆+=1,可得a=3,b=2,则c==, 所以椭圆的离心率为:=. 故选:B. 2.两平行直线2x+y﹣1=0与2x+y+3=0间的距离为(  ) A. B. C. D. 【解答】解:根据两平行线间的距离公式得:d=. 故选:D. 3.若双曲线(a>0)的渐近线方程为,则a的值为(  ) A.2 B.4 C.6 D.8 【解答】解:双曲线(a>0)的渐近线方程:y=±x, 因为双曲线(a>0)的渐近线方程为, 所以a=2, 故选:A. 4.当圆C:x2+y2﹣4x﹣2my+2m=0的面积最小时,m的取值是(  ) A.4 B.3 C.2 D.1 【解答】解:∵圆C:x2+y2﹣4x﹣2my+2m=0, ∴圆C的标准方程为:(x﹣2)2+(y﹣m)2=m2﹣2m+4, 从而对于圆C的半径r有r2=m2﹣2m+4=(m﹣1)2+3≥3, 所以m=1时,r2取得最小值, 从而圆C的面积πr2在m=1时取得最小值. 故选:D. 5.P(x0,y0)是抛物线y2=4x上一点,点P到焦点的距离是点P到y轴距离的3倍,则x0=(  ) A. B.1 C. D.2 【解答】解:设抛物线y2=4x上的点P(,y),抛物线的焦点坐标(1,0), 点P到焦点的距离是点P到y轴距离的3倍,所以; 解得y2=2; 所以P到x轴的距离是:; 故选:A. 6.已知F1,F2是双曲线的两个焦点,P为C上一点,且PF1⊥PF2,若△PF1F2的面积是9,则b=(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解答】解:根据椭圆定义知PF1+PF2=2a, ∵⊥, ∴△PF1F2为直角三角形, ∴(PF1)2+(PF2)2=(2c)2, 又∵△PF1F2的面积为9, ∴?PF1?PF2=9, ∴(2a)2=(PF1+PF2)2 =(PF1)2+(PF2)2+2PF1?PF2 =4c2+36, ∴b2=a2﹣c2=9, ∴b=3, 故选:C. 7.以抛物线x2=﹣10y的焦点为圆心,为半径的圆,与直线2mx﹣my+1=0相切,则m=(  ) A.或1 B.或1 C.或 D.或﹣1 【解答】解:抛物线x2=﹣10y的焦点(0,﹣), 以抛物线x2=﹣10y的焦点为圆心,为半径的圆,与直线2mx﹣my+1=0相切, 可得:=, 解得:m=或. 故选:C. 8.已知两点A(2,0),B(0,4),O为坐标原点,动点P(x,y)在线段AB(不含端点)上运动,过P点分别向x,y轴作垂线,垂足分别为M,N,则四边形PMON的面积的最大值为(  ) A. B.2 C. D.8 【解答】解:两点A(2,0),B(0,4),O为坐标原点,动点P(x,y)在线段AB(不含端点)上运动,、 过P点分别向x,y轴作垂线,垂足分别为M,N,如图所示: 则:设P(x,y),根据平行线的性质,整理得y=4﹣2x, 所以S四边形POMN=xy=x(4﹣2x)=﹣2x2+4x=﹣2(x﹣1)2+2. 当x=1时,面积的最大值为2. 故选:B. 9.双曲线x2﹣3y2=3t的一个焦点坐标为(0,4),则t=(  ) A.﹣4 B.﹣2 C.2 D.4 【解答】解:根据题意,双曲线x2﹣3y2=3t的焦点为(0,4),焦点在y轴上, 则有t<0, 化为标准方程为:, 又由其焦点为(0,4), 且﹣4t=16, 解可得t=﹣4, 故选:A. 10.直线l过抛物线C:y2=2x的焦点F,且与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限)若|BF|=2,则|AF|=(  ) A. B. C. D. 【解答】解:若斜率不存在,则|AB|=2p=1,不成立,所以AB斜率存在,设为k, 则直线AB:y=k(x﹣), 设A(x1,y1),B(x2,y2), 根据抛物线的性质,|BF|=2,则x2+=2,x2=, 代入抛物线方程得y2=, 所以k=,所以y=, 与C:y2=2x,联立得3x2﹣5x+=0, x1x2=,所以x1=, 所以|AF|=. 故选:B. 11.若直线l:x﹣2y=0与双曲线x2﹣ay2=4(a>0)的右支仅有一个公共点,则a的取值范围是(  ) A.(4,+∞) B.[4,+∞) C.(0,4) D.(0,4] 【解答】解:双曲线x2﹣ay2=4(a>0)的渐近线方程为:x=, 直线l:x﹣2y=0与双曲线x2﹣ay2=4(a>0)的右支仅有一个公共点, 可得,解得0<a<4, 所以a的取值范围是(0,4), 故选:C. 12.已知点M(﹣1,2)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若∠AMB=90°,则k=(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解答】解:∵抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0), ∴过A,B两点的直线方程为y=k(x﹣1), 联立可得,k2x2﹣2(2+k2)x+k2=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=,x1x2=1, ∴y1+y2=k(x1+x2﹣2)=,y1y2=k2(x1﹣1)(x2﹣1)=k2[x1x2﹣(x1+x2)+1]=﹣4, ∵M(﹣1,2), ∴=(x1+1,y1﹣2),=(x2+1,y2﹣2), ∵∠AMB=90°,∴?=0, ∴(x1+1)(x2+1)+(y1﹣2)(y2﹣2)=0, 整理可得,x1x2+(x1+x2)+y1y2﹣2(y1+y2)+5=0, ∴1+2+﹣4﹣+5=0, 即k2﹣2k+1=0, ∴k=1. 故选:A. 13.已知双曲线的右支与焦点为F的抛物线(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=6|OF|,则双曲线C1的渐近线方程为(  ) A. B.y=±x C. D. 【解答】解:把x2=2py(p>0)代入双曲线双曲线,可得:a2y2﹣2pb2y+a2b2=0, ∴yA+yB=2p. ∵|AF|+|BF|=6|OF|,∴yA+yB+2×=6×. ∴2p=2p,∴, 则双曲线C1的渐近线方程为y=, 故选:B. 14.已知过椭圆的左焦点F1且斜率为的直线l与椭圆交于A,B两点.若椭圆上存在一点P,满足=0(其中O为坐标原点),则椭圆的离心率为(  ) A. B. C. D. 【解答】解:根据题意,设F1(﹣c,0),则直线l的方程为y=(x+c),设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立,整理得2x2+2cx+c2﹣a2=0,则x1+x2=﹣c,x1?x2=,所以y1+y2= 因为=0,即=﹣()=﹣(x1+x2,y1+y2),则P(c,﹣), 又因为点P在椭圆上,代入整理得=1,即2e2=1,解得e=, 故选:D. 二、填空题:(本大题共6小题,每小题4分,共24分.) 15.已知双曲线左、右焦点分别为F1、F2,点P(x,y)在C右支上,若|PF2|=2,则|PF1|= 2+2 . 【解答】解:双曲线左、右焦点分别为F1、F2,可得a=, 点P(x,y)在C右支上, 若|PF2|=2,则|PF1|=|PF2|+2a=2+2. 故答案为:2+2. 16.已知圆,圆,则两圆的公切线条数是 2 . 【解答】解:已知圆,转换为(x﹣1)2+(y+2)2=9, 即该圆是以(1,﹣2)为圆心,3为半径的圆. 圆,转换为(x+1)2+(y﹣1)2=4, 即该圆是以(﹣1,1)为圆心,2为半径的圆. 所以圆心距d==, 所以3﹣2=1<d<3+2=5, 所以两圆相交,故公切线的条数为2. 故答案为:2. 17.点P(x,y)在抛物线y2=4x上,则点P到(0,3)的距离与点P到准线距离之和的最小值是  . 【解答】解:如图所示, 设此抛物线的焦点为F(1,0),准线l:x=﹣1. 过点P作PM⊥l,垂足为M. 则|PM|=|PF|. 设Q(0,3),因此当F、P、Q三点共线时,|PF|+|PQ|取得最小值. ∴(|PF|+|PQ|)min=|QF|==. 即|PM|+|PQ|的最小值为:. 故答案为:. 18.已知椭圆左、右焦点分别为F1,F2,若椭圆C上存在四个不同的点P满足,则a的取值范围是 (4,+∞) . 【解答】解:根据题意,椭圆,b=2, 若椭圆C上存在四个不同点P满足,则×b×2c>4,即c>2,则c2>12, 则有a2=b2+c2>16, ∴a>4, a的取值范围为(4,+∞); 故答案为:(4,+∞). 19.已知定点F1(﹣2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的垂直平分线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹方程是 x2﹣ . 【解答】解:连接ON,由题意可得ON=1,且N为MF1的中点∴MF2=2 ∵点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P 由垂直平分线的性质可得PM=PF1 ∴|PF2﹣PF1|=|PF2﹣PM|=MF2=2<F1F2 由双曲线的定义可得点P得轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线,c=2,a=1,则b=. 所以所求双曲线方程为:x2﹣. 故答案为:x2﹣. 20.如图,过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线l与C相交于A,B两点,且A,B两点在准线上的射影分别为M,N.若,则=  . 【解答】解:如图,因为,则(S△MFN)2=S△BNF?S△AMF, 设∠MAF=θ,AF=a,BF=b, 又抛物线定义可得:AM=a,BN=b,∠MFO+∠NFO=∠MFA+∠NFB=90°, 由余弦定理得MF2=2a2(1﹣cosθ),NF2=2b2(1+cosθ), ∴S△MAF=,S△MBF=,(S△MFN)2=MF?NF=a2b2sin2θ. ∴(S△MFN)2=4S△BNF?S△AMF, ∴即可得, 故答案为:4. 三、解答题:(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 21.已知直线,圆C:x2+y2+4x﹣4y﹣1=0. (1)判断直线l与圆C的位置关系,并证明; (2)若直线l与圆C相交,求出圆C被直线l截得的弦长;否则,求出圆上的点到直线l的最短距离. 【解答】解:(1)直线l与圆C相交. 证明如下: 化圆C:x2+y2+4x﹣4y﹣1=0为(x+2)2+(y﹣2)2=9, 可知圆C的圆心坐标为C(﹣2,2),半径r=3. ∵圆心C到直线的距离d=<3, ∴直线l与圆C相交. (2)由(1)知,圆心C到直线l的距离d=,又r=3. ∴圆C被直线l截得的弦长为. 22.已知双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,过点. (1)求双曲线标准方程; (2)若直线y=k(x﹣1)与双曲线有两个不同的公共点,求k的取值范围. 【解答】解:(1)双曲线的中心在原点,焦点在x轴上, 设双曲线的方程为﹣=1(a>0,b>0), 由e===,可得a=b, 由双曲线过点,可得﹣=1, 解得a=b=6, 则双曲线的标准方程为﹣=1; (2)直线y=k(x﹣1)与双曲线﹣=1联立, 可得(1﹣k2)x2+2k2x﹣k2﹣6=0, 由1﹣k2≠0,△>0即4k4﹣4(1﹣k2)(﹣k2﹣6)>0, 即有k≠±1,且﹣<k<, 则k的取值范围是(﹣,﹣1)∪(﹣1,1)∪(1,). 23.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F为圆(x﹣1)2+y2=1的圆心,O为坐标原点. (1)求抛物线C的方程; (2)过抛物线C焦点F,作斜率为的直线l交C于A,B两点(A点在第一象限),若,求λ的值. 【解答】解:(1)圆(x﹣1)2+y2=1的圆心为(1,0), 即抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1,0), 可得=1,即p=2, 抛物线的方程为y2=4x; (2)过抛物线C焦点F(1,0),斜率为的直线l的方程为y=(x﹣1), 代入抛物线方程y2=4x,可得4x2﹣17x+4=0, 解得x=4或, 可设A(4,4),B(,﹣1), 若,则1﹣4=λ(﹣1),解得λ=4. 24.已知椭圆,点A(0,2)与点P在椭圆C上.已知B(2,0),O为坐标原点,且. (1)求椭圆C的方程; (2)已知M(0,8),若Q是椭圆C上一动点,求|QM|的最大值,并写出此时Q点坐标. 【解答】解:(1)将A(0,2)代入方程得b2=4,又因为,即(0,2)+(2,0)=,则P(,), 将P(,)代入椭圆方程得a2=8,所以椭圆C的方程为; (2)设Q(x,y),因为Q在椭圆上,所以x2=8﹣2y2, 则|MQ|2=x2+(y﹣8)2=﹣y2﹣16y+72=﹣(y+8)2+136,其中﹣2≤y≤2, 则当y=﹣2时,|MQ|2最大,此时为100,即此时Q(0,﹣2),|MQ|最大值为10. 25.如图,已知直线l与抛物线y2=x相交于A(x1,y1),B(x2,y2) 两点,O为坐标原点,直线l与x轴相交于点M,且y1y2=﹣1. (1)求证:OA⊥OB; (2)求点M的横坐标; (3)过A,B点分别作抛物线的切线,两条切线交于点Q,求kQM?kAB. 【解答】解:(1)证明:可设直线l的方程为x=my+t,代入抛物线y2=x,可得y2﹣my﹣t=0, A(x1,y1),B(x2,y2),可得y1+y2=m,y1y2=﹣t, 由y1y2=﹣1,可得t=1, 由x1x2=(y1y2)2=1,可得x1x2+y1y2=1﹣1=0, 可得?=0,即OA⊥OB; (2)由直线x=my+1,令y=0,可得x=1,即M的横坐标为1; (3)对y2=x,两边对x求导,可得2yy′=1,即y′=, 可得A处的切线的斜率为,切线方程为y﹣y1=(x﹣x1), 由y12=x1,y22=x2, 可得y1y=(x+x1),① 同理可得B处的切线方程为y2y=(x+x2),② 由①②可得y===, x=2y1y﹣x1=my1﹣y12=(y1+y2)y1﹣y12=y1y2=﹣1, 可得Q(﹣1,), 则kQM?kAB=?=﹣?=﹣?=﹣. 26.已知椭圆的一个顶点为抛物线x2=8y的焦点,点P(x0,y0)在椭圆C上且x0?y0≠0,P关于原点O的对称点为Q,过P作OP的垂线交椭圆于另一点T,连QT交x轴于M. (1)求椭圆C的方程; (2)求证:PM⊥x轴; (3)记△POM的面积为S1,△PQT的面积为S2,求的取值范围. 【解答】解:(1)∵抛物线x2=8y的焦点(2,0), ∴b=2, ∴椭圆的方程. (2)证明:∵OP⊥PT, ∴kOP?kPT=﹣1, ∴?kPT=﹣1, ∴kPT=﹣, 直线PT方程:y﹣y0=﹣(x﹣x0),即y=﹣, 联立直线PT与椭圆的方程得(1+)x2﹣()x+, ∴x0+xT=, ∴xT=, ∴yT=﹣?+, =, ∴T(,), ∴直线QT方程y+y0=, 令y=0,得x=x0, ∴M(x0,0), ∴PM⊥x轴, (3)S△OPM=|OM|?|PM|=|x0y0|, S△PQT=S△OQM+S△OMP+S△PMT=+|OM|?|PM|+|xT﹣x0|, =, =|x0y0|+, ∴==, ∴∈(0,).
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  • 资料类型: 试卷
  • 资料版本:人教A版(2019)
  • 适用地区:黑龙江哈尔滨市
  • 文件大小:476.96KB
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