[ID:3-6599945] 2019-2020学年山东省聊城市高二(上)期中数学试卷(解析版)
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资料简介:
2019-2020学年山东省聊城市高二(上)期中数学试卷 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.椭圆的一个焦点坐标为(  ) A.(7,0) B.(0,7) C.(1,0) D.(0,1) 2.数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和,若a4+a9=20,则S12=(  ) A.120 B.60 C.80 D.240 3.在各项均为正数的等比数列{an}中,a5=2,则a3+a7(  ) A.有最小值3 B.有最小值4 C.有最大值3 D.有最大值4 4.从椭圆的长轴的一个端点看短轴的两个端点的视角为60°,那么此椭圆的离心率(  ) A. B. C. D. 5.已知命题p:存在x∈R,x2+ax+4a≤0.若命题p是假命题,则实数a的取值范围是(  ) A.﹣16<a<0 B.﹣4<a<0 C.0<a<4 D.0<a<16 6.{an}是等比数列,若“m+n=p+q(m,n,p,q∈N+)”是“aman=apaq”成立的充分必要条件,则数列{an}可以是(  ) ①递增数列;②递减数列;③常值数列;④摆动数列 A.①② B.①③④ C.①②④ D.①②③④ 7.设函数f(x)=x2﹣x﹣1,若关于x的不等式在区间[﹣2,m]上恒成立,则实数m的取值范围是(  ) A.(﹣2,3] B.[﹣2,3] C.(0,3] D.(2,3] 8.椭圆的左右焦点为F1,F2,P为椭圆上第一象限内任意一点,F1关于P的对称点为M,关于F2的对称点为N,则△MF1N的周长为(  ) A.8 B.10 C.16 D.22 9.已知数列{an}的通项公式an=﹣n2+12n﹣35,其前n项和为Sn,若m>n,则Sm﹣Sn的最大值是(  ) A.1 B.3 C.5 D.7 10.设F1,F2是椭圆的两个焦点,若C上存在点P满足∠F1PF2=90°,则m的取值范围是(  ) A.(0,8]∪[32,+∞) B.(0,4]∪[32,+∞) C.(0,4]∪[8,+∞) D.(0,4]∪[16,+∞) 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中的横线上) 11.已知,则函数f(x)=x(1﹣4x)的最大值为   . 12.已知等比数列{an}中a4=1,若,则a1+a3+a5+a7=   . 13.下列命题中正确的序号是   . ①“a>b”是“a2>b2”的充要条件; ②若a>b>0,则x∈{(x,y)||x|≤a,|y|≤b}是的充分必要条件; ③命题“对任意x∈R,有x2≥0”的否定是“存在x∈R,有x2<0”; ④若p:x<5,q:﹣1<x<5,则p是q成立的必要不充分条件. 14.F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,点P在椭圆C上,|PF1|=10,过F1作∠F1PF2的角平分线的垂线,垂足为M,则|OM|的长为   . 三、解答题(本大题共4小题,共50分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.设m是实数,已知命题p:?x0∈R,使函数f(x)=x2﹣2x+m2+3m﹣3满足f(x0)<0;已知命题q:方程表示焦点在x轴上的椭圆. (1)若命题p为真命题,求m的取值范围; (2)若命题p,q均为假命题,求实数m的取值范围. 16.已知函数f(x)=x2+2ax﹣b. (1)若b=8a2,求不等式f(x)≤0的解集; (2)若a>0,b>0,且f(b)=b2+b+a,求a+b的最小值. 17.已知椭圆的长轴两端点为A1,A2,离心率为,F1,F2分别是椭圆C的左,右焦点,且|A1F1|?|A2F1|=1. (1)求椭圆的标准方程; (2)设A,B是椭圆C上两个不同的点,若直线AB在y轴上的截距为4,且OA,OB的斜率之和等于4,求直线AB的方程. 18.若各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn,数列{an2}的前n项和为Tn,且Sn2+4Sn=3Tn,n∈N*. (1)证明数列{an}是等比数列,并求{an}的通项公式; (2)设bn=(n+1)log2an,是否存在正整数k,使得<k对于?n∈N*恒成立.若存在,求出正整数k的最小值;若不存在,请说明理由. 2019-2020学年山东省聊城市高二(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.椭圆的一个焦点坐标为(  ) A.(7,0) B.(0,7) C.(1,0) D.(0,1) 【解答】解:椭圆的焦点在y轴上的椭圆,a=5,b=2,c=1, 椭圆的焦点坐标是(0,±1), 故选:D. 2.数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和,若a4+a9=20,则S12=(  ) A.120 B.60 C.80 D.240 【解答】解:∵数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和,a4+a9=20, ∴S12=(a1+a12)=6(a4+a9)=6×20=120. 故选:A. 3.在各项均为正数的等比数列{an}中,a5=2,则a3+a7(  ) A.有最小值3 B.有最小值4 C.有最大值3 D.有最大值4 【解答】解:各项均为正数的等比数列{an}中,a5=2, 则a3+a7≥2=2a5=4,当且仅当q=1时取等号. 故选:B. 4.从椭圆的长轴的一个端点看短轴的两个端点的视角为60°,那么此椭圆的离心率(  ) A. B. C. D. 【解答】解:因为椭圆的长轴为A1A2,B为短轴一端点,∵∠CA2B=60°, 所以b=a,即3b2=a2,又a2﹣c2=b2, ∴2a2=3c2, 解得e==; 故选:B. 5.已知命题p:存在x∈R,x2+ax+4a≤0.若命题p是假命题,则实数a的取值范围是(  ) A.﹣16<a<0 B.﹣4<a<0 C.0<a<4 D.0<a<16 【解答】解:命题p:存在x∈R,x2+ax+4a≤0,则¬p:任意x∈R,x2+ax+4a>0, ∵命题p是假命题,∴¬p:任意x∈R,x2+ax+4a>0是真命题, 则△=a2﹣16a<0,即0<a<16. 故选:D. 6.{an}是等比数列,若“m+n=p+q(m,n,p,q∈N+)”是“aman=apaq”成立的充分必要条件,则数列{an}可以是(  ) ①递增数列;②递减数列;③常值数列;④摆动数列 A.①② B.①③④ C.①②④ D.①②③④ 【解答】解:数列{an}是等比数列,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则一定有aman=apaq; 即对于任意等比数列,一定有“m+n=p+q(m,n,p,q∈N+)”是“aman=apaq”成立的充分条件, 反之,在等比数列{an}中,若“m+n=p+q(m,n,p,q∈N+)”是“aman=apaq”成立的必要条件, 即由aman=apaq,一定得到m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则等比数列的公比不等于1, 如数列2,2,2,…,由a2a3=a5a6=4,不能得到2+3=5+6. ∴数列{an}可以是①递增数列;②递减数列;④摆动数列;不能是③常值数列. 故选:C. 7.设函数f(x)=x2﹣x﹣1,若关于x的不等式在区间[﹣2,m]上恒成立,则实数m的取值范围是(  ) A.(﹣2,3] B.[﹣2,3] C.(0,3] D.(2,3] 【解答】解:f(x)=x2﹣x﹣1=(x﹣)2﹣, 而f(﹣2)=5,f()=﹣, 由题知m≥, 又函数f(x)在(,m)上递增,令f(m)=5,解得:m=3. 故得实数m的取值范围是(﹣2,3]. 故选:A. 8.椭圆的左右焦点为F1,F2,P为椭圆上第一象限内任意一点,F1关于P的对称点为M,关于F2的对称点为N,则△MF1N的周长为(  ) A.8 B.10 C.16 D.22 【解答】解:椭圆的左右焦点为F1,F2, 可得a=3,c=1, P为椭圆上第一象限内任意一点,F1关于P的对称点为M,关于F2的对称点为N,如图: 则△MF1N的周长为:MF1+MN+F1N=2(F1P+PF2+F1F2)=2(2a+2c)=16. 故选:C. 9.已知数列{an}的通项公式an=﹣n2+12n﹣35,其前n项和为Sn,若m>n,则Sm﹣Sn的最大值是(  ) A.1 B.3 C.5 D.7 【解答】解:由an=﹣n2+12n﹣35=0,得n=5或n=7,即a5=a7=0, 又函数f(n)=﹣n2+12n﹣35的图象开口向下,所以数列前4项为负, 当n>7时,数列中的项均为负数, 在m>n的前提下,Sm﹣Sn的最大值是S6﹣S5=a6=﹣62+12×6﹣35=1. 故选:A. 10.设F1,F2是椭圆的两个焦点,若C上存在点P满足∠F1PF2=90°,则m的取值范围是(  ) A.(0,8]∪[32,+∞) B.(0,4]∪[32,+∞) C.(0,4]∪[8,+∞) D.(0,4]∪[16,+∞) 【解答】解:①若焦点在x轴上时,C点为椭圆短轴的端点时,∠F1PF2取得最大角,设θ=∠F1PF2, 则cos=,∴,解得0<m≤8. ②若焦点在y轴上时,C点为椭圆短轴的端点时,∠F1PF2取得最大角,设θ=∠F1PF2, 则cos=,∴,解得m≥32. 综上可得:m的取值范围是(0,8]∪[32,+∞). 故选:A. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中的横线上) 11.已知,则函数f(x)=x(1﹣4x)的最大值为  . 【解答】解:∵, ∴0<4x<1,1﹣4x>0, ∴,当且仅当4x=1﹣4x,即时取等号, ∴f(x)的最大值为. 故答案为:. 12.已知等比数列{an}中a4=1,若,则a1+a3+a5+a7= 6 . 【解答】解:等比数列{an}中a4=1,若, 则+==6, a1+a3+a5+a7=6=6. 故答案为:6. 13.下列命题中正确的序号是 ③④ . ①“a>b”是“a2>b2”的充要条件; ②若a>b>0,则x∈{(x,y)||x|≤a,|y|≤b}是的充分必要条件; ③命题“对任意x∈R,有x2≥0”的否定是“存在x∈R,有x2<0”; ④若p:x<5,q:﹣1<x<5,则p是q成立的必要不充分条件. 【解答】解:对于①,由a>b,不一定有a2>b2,反之也不成立,∴“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件,故①错误; 对于②,由a>b>0,可得集合{(x,y)||x|≤a,|y|≤b}与{(x,y)|}表示的平面区域如图: 由x∈{(x,y)||x|≤a,|y|≤b}不能得到,反之成立, 则x∈{(x,y)||x|≤a,|y|≤b}是的充分必要条件,故②错误; 对于③,命题“对任意x∈R,有x2≥0”的否定是“存在x∈R,有x2<0”故③正确; 对于④,由x<5,不能得到﹣1<x<5,反之成立,则p是q成立的必要不充分条件,故④正确. ∴正确命题的序号是③④. 故答案为:③④. 14.F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,点P在椭圆C上,|PF1|=10,过F1作∠F1PF2的角平分线的垂线,垂足为M,则|OM|的长为 2 . 【解答】解:延长F1M,延长PF2,交于N,则|F1M|=|MN|,|PF1|=|PN|=10, 又根据椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=2×8=16,所以|PF2|=6, ∴|F2N|=|PN|﹣|PF2|=10﹣6=4, 根据OM是三角形F1NF2的中位线可得|OM|=2, 故答案为:2. 三、解答题(本大题共4小题,共50分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.设m是实数,已知命题p:?x0∈R,使函数f(x)=x2﹣2x+m2+3m﹣3满足f(x0)<0;已知命题q:方程表示焦点在x轴上的椭圆. (1)若命题p为真命题,求m的取值范围; (2)若命题p,q均为假命题,求实数m的取值范围. 【解答】解:(1)当命题p为真时,由f(x0)<0可知函数f(x)=x2﹣2x+m2+3m﹣3的图象与x轴有两个交点. 即△>0,即4﹣4(m2+3m﹣3)>0,则m2+3m﹣4<0,解得﹣4<m<1; (2)当命题q为真时,即方程表示焦点在x轴上的椭圆, ∴5m﹣1>2﹣m>0,得. 当p为假命题时,m≤﹣4或m≥1. 当命题q为假命题时,或m≥2. 因此当命题p为假命题,q为假命题时, 解得m≤﹣4或m≥2. 故实数m的取值范围为{m|m≤﹣4或m≥2}. 16.已知函数f(x)=x2+2ax﹣b. (1)若b=8a2,求不等式f(x)≤0的解集; (2)若a>0,b>0,且f(b)=b2+b+a,求a+b的最小值. 【解答】解:(1)因为b=8a2,所以f(x)=x2+2ax﹣8a2, 由f(x)≤0,得x2+2ax﹣8a2≤0,即(x+4a)(x﹣2a)≤0, 当a=0时,不等式f(x)≤0的解集为{x|x=0}; 当a>0时,不等式f(x)≤0的解集为{x|﹣4a≤x≤2a}; 当a<0时,不等式f(x)≤0的解集为{x|2a≤x≤﹣4a}; 综上所述,不等式f(x)≤0的解集为:当a=0时解集为{x|x=0},当a>0时解集为{x|﹣4a≤x≤2a},当a<0时,解集为{x|2a≤x≤﹣4a}; (2)因为f(b)=b2+2ab﹣b,由已知f(b)=b2+b+a, 可得2ab=a+2b.即, 由=. (当且仅当,即,时取等号). 所以a+b的最小值为. 17.已知椭圆的长轴两端点为A1,A2,离心率为,F1,F2分别是椭圆C的左,右焦点,且|A1F1|?|A2F1|=1. (1)求椭圆的标准方程; (2)设A,B是椭圆C上两个不同的点,若直线AB在y轴上的截距为4,且OA,OB的斜率之和等于4,求直线AB的方程. 【解答】(1)由题意可知A1(﹣a,0),A2(a,0),F1(﹣c,0), 以及|A1F1|?|A2F1|=1可知(a+c)(a﹣c)=b2=1, ∵,解得a2=4. ∴椭圆的标准方程为. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+4. 联立,得(4k2+1)x2+32kx+60=0. 则,, 由=, 解得k=﹣30, ∴直线AB的方程为y=﹣30x+4. 18.若各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn,数列{an2}的前n项和为Tn,且Sn2+4Sn=3Tn,n∈N*. (1)证明数列{an}是等比数列,并求{an}的通项公式; (2)设bn=(n+1)log2an,是否存在正整数k,使得<k对于?n∈N*恒成立.若存在,求出正整数k的最小值;若不存在,请说明理由. 【解答】解:(1)证明:∵Sn2+4Sn=3Tn①,∴Sn+12+4Sn+1=3Tn+1②, 由数列{an}的前n项和为Sn,数列的前n项和为Tn及②﹣①得 (Sn+1﹣Sn)(Sn+1+Sn)+4(Sn+1﹣Sn)=3(Tn+1﹣Tn), 即为an+1(Sn+1+Sn+4)=3an+12, 由an+1≠0,可得(Sn+1+Sn)+4=3an+1,③ 从而当n≥2时,(Sn+Sn﹣1)+4=3an,④ ③﹣④得Sn+1﹣Sn﹣1=3an+1﹣3an,即an+1+an=3an+1﹣3an,所以an+1=2an, ∵an≠0,∴. ∵,∴令n=1,得,∵a1≠0,∴a1=2. 当n=2时,由(2+a2)2+4(2+a2)=3(4+a22), 得, 由a2≠0知a2=4,此时. ∴数列{an}是以2为首项,以2为公比的等比数列,且. (2)∵bn=(n+1)log2an=(n+1)log22n=n(n+1), ∴,∴=, 假设存在正整数k,使得对于?n∈N*恒成立, 可得k≥1,即k的最小值为1.
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  • 资料类型: 试卷
  • 资料版本:人教A版(2019)
  • 适用地区:山东省聊城市
  • 文件大小:253.51KB
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